单调回归不连续设计中的推理

2022-4-24 17:15:24

单调性下回归不连续设计的推理*Koohyun Kwon+Soonwoo Kwon2020年11月23日摘要我们提供了一个在单调性下，可能有多个运行变量的急剧回归不连续设计（RDD）的推理过程。特别地，我们考虑真实回归函数相对于所有（或全部）运行变量是单调的情况，假设它位于Aalpsiz光滑类中。这种单调性条件在许多经验环境中都是自然的，Lipschitz常数有一个直观的解释。我们提出了极大极小双边置信区间（CI）和自适应单边置信区间。对于双面CI，研究人员需要选择一个她认为真实回归函数所在的Lipschitz常数。这是唯一的调整参数，结果CI具有均匀的覆盖范围，并获得最小最大最佳长度。单边CI可以构造成覆盖所有单调函数，在Lipschitz常数的选择方面提供最大可信度。此外，单调性使得CI的（多余）长度能够适应未知回归函数的真实Lipschitz常数。总的来说，建议的程序很容易看出在什么条件下，给定的估计值对基础回归函数是重要的，这可以增加使用RDD方法进行研究的透明度。*我们感谢顾问唐纳德·安德鲁斯和蒂莫西·阿姆斯特朗的持续指导。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-4-24 17:15:30

我们还感谢耶鲁计量经济学招股说明书午餐会的与会者进行了深入的讨论。+耶鲁大学经济系，koohyun。kwon@yale.edu——耶鲁大学经济系，soonwoo。kwon@yale.edu1引言最近，人们对回归不连续设计中的诚实和极小极大最优推理方法越来越感兴趣（阿姆斯特朗和科尔斯ar，2018a；阿姆斯特朗和科尔斯ar，2020b；Imbens和Wager，2019；科尔斯ar和罗斯，2018；诺克和罗斯，2020）。这种方法要求研究人员指定一个她认为回归函数所在的函数空间，一旦选择了这个函数空间，推理过程就会随之进行。文献中提出的方法本质上是利用二阶导数的界来指定函数空间。这是由局部线性回归方法在实践中的流行所推动的，这种方法通常通过对回归函数的二阶导数施加局部边界来进行调整。然而，在实践中，选择二阶导数的合理界限可能很困难。我们通过考虑在单调性和Lipschitz条件下对快速回归不连续（RD）参数进行推理的问题来解决这个问题。具体而言，假设所有或部分运行变量的回归函数都是单调的，且一阶导数有界。单调性自然出现在许多回归不连续设计（RDD）环境中，Babii和Kumar（2020）对此进行了充分的记录。Lipschitz常数，或第一导数的界限，有一个直观的解释，因为这是一个界限，取决于如果运行变量改变一个单位，结果会发生多大的变化。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-4-24 17:15:36

因此，如果研究人员报告了推断结果以及用于执行建议程序的Lipschitz常数，则很容易看出研究人员在回归函数的什么（可解释）条件下获得了此类结果。我们利用单调性和Lipschitz连续性限制的组合来构造一个有效的置信区间（CI），该区间在一个潜在的更大、更可解释的函数空间上保持正确的覆盖率。我们提供了一个极小极大双边CI和一个自适应单边CI。对于双面CI，研究人员需要选择真实回归函数的一阶导数的界。界是唯一的调整参数，结果CI具有均匀覆盖，并在考虑的回归函数类上获得最小最大最优长度。此外，通过利用单调性，theCI的长度比在没有这种形状限制的情况下构造的minimax CI短得多。据我们所知，当回归函数被假定为单调时，本文是考虑极小极大优化过程的第一步。可以构造单边CI以保持覆盖所有单调函数，从而在Lipschitz常数的选择方面提供最大可信度。由于单调性，只要真回归函数有一个有界的一阶导数，由此产生的CI仍然有有限的剩余长度，其中该界允许非常大且未知。这与没有单调性条件的极小极大CI形成对比，在这种情况下，长度必须与覆盖函数一致。此外，我们提出的单边CI适用于基础平滑度类别，当真实回归函数的一阶导数界较小时，会产生较短的CI。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-4-24 17:15:43

这使得研究人员能够对RD参数进行非保守推断，同时在显著更大的回归函数空间内保持诚实的覆盖率。这种适应的代价是，根据治疗分配规则，我们只能构造一个单侧的下限或上限CI，但不能同时构造两者。我们描述了治疗分配规则和我们可以构建的自适应单边CI方向之间的关系。我们的方法，尤其是双边CI，与RDDs中诚实推理的文献密切相关。通过使用二阶导数边界，文献中的推理程序基于局部线性回归估计，这与RDD设置中使用的更传统的方法是一致的。然而，很难评估Aresearch指定的二阶导数界限的有效性。虽然忽略带有扭结的回归函数似乎是无害的，因此对于有限的二阶导数来说，二阶导数应该被视为“太大”还是“太小”，目前尚不清楚。因此，文献通常建议进行敏感性分析，以增强推理结果的可信度。然而，当平滑度参数不容易解释时，灵敏度分析的可信度增益有限。例如，很难判断灵敏度分析中考虑的最大值是否足够大。相比之下，可以根据更直接的经验推理来选择第一个导数的界限，因为第一个导数对部分效应有直观的解释。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-4-24 17:15:49

例如，如果一个结果变量y和一个运行变量X是当前和以前的测试分数，则这类回归函数的值要求回归函数在所有运行变量中都是单调的。当x的标准偏差增加1/10时，y的标准偏差增加不超过1，这是合理的。Armstrong和Koles’ar（2020a）在其经验应用中采用了类似的方法来指定Lipschitz常数，这是一个不同环境下平均治疗效果的推理问题。通过对一阶导数施加一个界，我们的程序基于Nadaraya–Watsontype估计量，并正确考虑了边界偏差。Armstrong（2015）和Armstrong and Koles\'ar（2018b）首次考虑了在单调性下RDD设置中形成自适应单侧CI的可能性。不同之处在于，这些论文关注的是如何适应H？older指数β∈ （0，1]在拟合Lipschitz常数时。在这里，我们拟合β=1并适应Lipschitz常数。当β=1时，决定自适应CIS性能的是常数的大小乘以收敛速度，而不是速度本身。这与阿姆斯特朗（2015）和阿姆斯特朗与科尔斯的ar（2018b）中主要讨论速度适应的设置相反。在本文中，我们提供了一个程序，使相乘常数的大小相当小。Babii和库马尔（2020）也考虑了具有单调回归函数的RDD设置。他们引入了一个基于等渗回归刺激的推理过程，向我们传达了一个类似的信息，即单调性限制可以导致更高效的推理过程。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

2022-4-24 17:15:55

我们的方法主要有以下几个方面：1）我们明确地关注保持一致覆盖和优化CI的长度，2）考虑Lipschitz类在考虑具有指数β＞1/2的H类OLD类的情况下，3）我们的过程可用于具有多个运行变量的设置。本文中对运行变量维度的一般处理允许研究人员在具有多个运行变量的环境中使用我们的程序，Cattaneo等人（2020）将其称为多分数RDD。Imbens and Wager（2019）也考虑过这种设置。我们的论文是第一次在这种情况下考虑单调回归函数的空间，而单调性的增益对于多个运行变量的情况尤其重要，正如我们在本文后面所展示的。我们允许回归函数仅对某些变量是单调的，这拓宽了应用范围。事实上，我们的程序可以很容易地适应β的情况∈ （0,1），使用Kwon和Kwon（2020）中提供的结果。我们关注β=1，主要是因为Lipschitz常数的可解释性，以及假设有界的第一导数在非经验环境中似乎相当无害。我们的程序。论文的其余部分组织如下。第2节描述了该设置下的最佳内核和带宽的设置和形式。第3节介绍了极小极大双边CI，第4节介绍了自适应单边CI。第5节提供了模拟研究的结果，以证明拟议程序的有效性。第6节回顾了Lee（2008）的实证分析。第7节最后讨论了可能的扩展。2设置我们观察i.i.d.观察{（yi，xi）}ni=1，其中yi∈ R是结果变量，而席∈ 十、 RDI是运行变量的标量或向量。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-4-24 17:16:01

我们假设Xto是Rd中的一个超矩形，让XT和XC与非空元素连接，这些元素构成X的一个分区。在本文中，下标t和c分别对应于“治疗”组和“对照”组。我们写席∈ Xtandxi∈ XC表明个人i分别属于治疗组和对照组。当d=1时，我们的设置对应于标准夏普RD设计，只有一个切入点。让（·）表示指示器功能。然后，我们的设置可以写成非参数回归模型yi=f（xi）+ui，f（x）=ft（x）{x∈ Xt}+fc（x）{x∈ Xc}，（1）其中随机变量Ui在i中是独立的。这里，Ft和Fc分别表示治疗组和对照组的平均结果函数。因此f对应于观察结果的平均结果函数，我们在本文中称之为“回归函数”。我们感兴趣的参数是边界点处的治疗效果参数，∈ B:=Xt∩ Xc，定义为asLRDf:=limx→x、 x∈Xtf（x）- 利克斯→x、 x∈Xcf（x）。当d=1时，LRDf对应于传统的夏普RD参数。另一方面，当d>1时，LRDf是B中特定临界点处的锐RD参数。Imbens and Wager（2019）和Cattaneo等人（2020）在分析具有多个运行变量的RD设计时也考虑了此类参数。在不损失一般性的情况下，我们设置x＝0，因为我们总是可以重新定义席=席。- x、备注1（两种以上的治疗状态）。我们的框架还可以处理根据多个运行变量的值将个体分配到两个以上治疗的情况，Papay等人（2011）对此进行了分析。例如，当D＝2时，两个Cuto点C、C，四个不同的治疗状态取决于席≥ cifor i=1,2。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-4-24 17:16:09

设{Xj}j=1是x的分划，其中j=1。。。，4.对不同的治疗状态进行索引。然后，如果我们对关于RST和第二处理的治疗E席感兴趣，我们可以LexEx＝XSX，并且用EX代替X的方法，XT= xANDXC= X.2.1函数空间，我们考虑研究者愿意指定一些C> 0个这样的框架，即FQ（x）。- fq（z）|≤ C·| | x- z | |对于所有x，z∈ Xq，对于每个q∈ |································。当d=1时，范数可以理解为绝对值，当d>1时，范数的选择可以给出不同的解释。我们允许一类一般的形式，只要求| | x | |增加x的每个元素的绝对值。我们说，在（1）中定义的回归函数f在（2）中有一个Lipschitz常数C，如果f满足（2）。除了Lipschitz连续性，研究人员还假设平均潜在结果函数对于运行变量是单调的。形式上，让z（s）表示运行变量z的sth组件∈ 第三，第五 {1，…，d}是单调变量的索引集，研究者假设fq（x）≥ fq（z）如果x（s）≥ z（s）代表所有s∈ V和x（t）=z（t）表示所有t/∈ 五、（3）对于所有q∈ {t，c}。我们用F（C）来表示rds上分别满足（2）和（3）的函数空间。我们将讨论我们的框架的实际意义。首先，在很多情况下，这种单调性条件是合理的。关于带有单调运行变量的RDD示例，请参见我们论文的附录C以及Babii和Kumar（2020）的附录A.3。单调性盛行的一个原因是政策设计的性质。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-4-24 17:16:16

例如，考试成绩较低的学生被分配到暑期学校，因为政策制定者担心成绩最低的学生在未来会表现出较低的学业成绩。他们认为，平均未来学业成绩（一个结果变量）在当前的考试成绩（运行变量）中是单调的。接下来，我们的Lipschitz连续性框架与之前的方法不同，后者指定了二阶导数的一个界。例如，阿姆斯壮和Koeles AR（2018a）考虑以下局部光滑函数空间：FT，FC∈ FT，p:=ng：g（x）-Xpj=0g（j）（0）xj/j！≤ C | x | p十、∈ Xo，并在其经验应用中设置p=2。类似地，Imbens and Wager（2019）提出了一个全局平滑假设，即kfqk≤ C代表q∈ {t，c}，其中kfqk表示Hessian矩阵的算子范数。相反，我们考虑的情况是，研究人员相信第一个导数的大小，而不是第二个导数的大小。使用一阶导数的主要优点是函数空间的可解释性。覆盖范围一致的函数空间应该易于解释，因为研究人员本人或分析推理过程的决策者可以评估不属于函数空间的函数是否可以安全地忽略为“极端”。为此，一阶导数的大小提供了一个合理的标准。具体来说，让我们考虑李（2008）分析在职人员对选举结果的影响，结果变量是当前选举中两方标准杆数之间的差额，而在前一次选举中，运行量是相同的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-4-24 17:16:22

然后，一个最大斜率为C=50的平均潜在结果函数似乎是不合理的。这大致意味着，在一次选举中，投票率差异的微小增加，比如0.1%，预示着在随后的选举中，投票率差异的大幅增加，即5%。类似地，如果研究人员提出在职影响参数的CI，该参数在函数空间上具有有效覆盖率，且其第一个导数以C=0.5为界，则评估分析的决策者可能会发现函数空间过于严格。相比之下，在二阶导数上评估一个给定绑定的有效性似乎相对更困难。以前的论文提出了启发式论证来设定二阶导数的界。例如，Armstrong和Koles\'ar（2018a）选择平滑度参数，以便使用真实条件平均值而不是泰勒近似值时，预测MSE的减少不会太大。虽然这为它们的平滑度常数提供了另一种解释，但预测MSE没有一种可以与正在考虑的实例相联系的解释。Imbens and Wager（2019）建议使用二次函数估计Ft和Fc的曲率，并将一个常数（如2或3）乘以估计值，但我们可以预期，如果没有对函数空间的进一步限制，这一过程将无法实现均匀覆盖，正如他们在论文中指出的那样。Armstrong和Koles\'ar（2020b）正式推导了函数空间上的一个附加条件，该条件允许对平滑度参数进行数据驱动的估计，但他们警告说，这一附加假设可能难以证明其合理性。阿姆斯特朗和科尔斯的ar（2018a）和Imbens and Wager（2019）建议进行敏感性分析，而不是设定单一界限。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-4-24 17:16:28

然而，当研究人员改变的平滑度参数具有直观意义时，敏感性分析更有意义。必须指定Lipschitz常数的一个可能缺点是，当平均势函数为线性或接近线性且斜率大于预先设置的平滑常数时，我们的程序无法确保覆盖范围。对于minimax双边CI，我们可以将其视为通过保持具有任意大的二阶导数的函数的有效性而付出的代价。另一方面，我们的自适应过程可以用来构造一个单边CI，该CI可以适应Lipschitz平滑度。自适应程序使研究人员能够设置一个非常大的平滑度参数值，甚至将其设置为完整性（以便覆盖所有单调函数），如果真回归函数具有较小的一阶导数界，则可以获得较短的CI。这是可能的，因为单调性假设，这在许多RDD应用中是合理的。注2（一般维数下的Lipschitz连续性）。当d>1时，可以更合理地假设研究人员对平均潜在结果函数的部分导数的大小有信心。也就是说，存在C。。。，Cd>0以至于| fq（x）- fq（z）|≤ Cs | x（s）- z（s）|对于所有x，z∈ X s.t.X-s=z-s、（4）对于每个q∈ {c，t}和s∈ {1，…，d}。给，x-SDE注意到x中的元素∈ RDE排除了它的sth组件。很容易证明，在（4）下，原始的Lipschitz连续性假设（2）成立，C=1，| |·| | | | | | | |=Pds=1Cs | z（s）|。此外，（2）以C=1和加权范数保持（4）。因此，假设（4）的研究人员可以用这个加权的“范数”等价地假设（2）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-4-24 17:16:35

在Armstrong和Koles’ar（2020a）中，这种方法也被用于推断无根据情况下的平均治疗效果。备注3（RDD无单调性）。取V=, 我们的程序可用于构造RD参数的极小极大CI，而无需单调性假设。虽然阿姆斯特朗和科尔斯的ar（2018a）以及姆本斯和瓦格（2019）等其他替代方案可以用来处理这种情况，但我们的程序对喜欢对一阶导数而不是二阶导数施加界限的研究人员仍然有用，这可能是因为更好的解释性。2.2最佳内核和带宽程序取决于特定的内核函数和带宽，这些函数和带宽取决于Lipschitz参数。我们首先介绍一些符号。给一些z∈ 在指数集V中，我们定义（z）V+为rds中的一个元素，其中其sth元素由（z）V+（s）：=max给出z（s），0（s）∈ 五） +z（s）（s）/∈ 五），s=1。。。，d、同样，我们定义了（z）V-:= - (-z） V+。当a是标量时，我们使用方括号[a]+来表示max{a，0}。此外，我们定义了σ（xi）：=Var1/2[ui | xi]，并给出了LRDf的一个激励值，我们用biasf（bL）表示Ef[bL]- LRDf]和sd（bL）表示1/2（bL）。minimax过程基于以下核函数k（z）：=[1- （k（z）V+k+k（z）V-k） ]+。（5）在自适应过程中，根据坐标的符号，每个坐标使用不同的带宽。利用不同的带宽，对于h=（h，h）∈ R、我们定义（z，h）：=[1- （k（z/h）V+k+k（z/h）V-k） ]+。估算中使用的最佳带宽基于以下两个函数ωt（δt；C，C）和ωC（δC；C，C），定义为以下方程的解：Xxi∈Xq[ωq（δq；C，C）- Ck（xi）V+k- Ck（xi）V-k] +/σ（xi）=δq，对于每个q∈ {t，q}，给定一对非负数（δt，δc）和σ（x）：=Var[ui | xi=x]。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-4-24 17:16:41

此外，给定一些标量δ≥ 0，我们定义δ*t（δ；C，C）和δ*c（δ；c，c）为δ上的解*T≥0,δ*C≥0,(δ*t） +（δ）*c） =Δωt（δ*TC、 C）+ωC（δ）*CC、 C）。基于这些定义，我们介绍了本文中使用的以下速记符号：；问∈ {t，c}，δ≥ 0，（C，C）∈ R+，h∈ R+，我们定义ω*q（δ；C，C）：=ωq（δ*q（δ；C，C）；C、 C），aq（h；C，C）：=·Pxi∈XqK（xi，h）[Ck（xi）V+k- Ck（xi）V-k] /σ（xi）Pxi∈XqK（xi，h）/σ（xi），s（δ，h；C，C，σ（·））：=δ/ω*t（δ；C，C）Pxi∈XtK（xi，h）/σ（xi）。此外，对于q∈ {t，c}，δ≥ 0和C，h∈ R、我们定义ω*q（δ；C）：=ω*q（δ；C，C），aq（h；C）：=aq（h，h；C，C），s（δ，h；C，σ（·））：=s（δ，h，h；C，C，σ（·））。本节中给出的最优核和带宽的形式来自于在minimax最优推理的背景下求解Donoho和Liu（1991）和Donoho（1994）中考虑的连续模问题，以及在Cai和Low（2004）和Armstrong和Koles’ar（2018a）中在自适应干扰的背景下考虑的连续模问题。当我们在附录A中证明我们的程序的有效性时，我们仅将其与我们的环境具体联系起来，感兴趣的读者可以参考上述论文进行更一般性的讨论。3极大极小双面CiWe RST考虑研究者舒适地指定Li Switz常数和/或经验上下文需要双面CI的情况。在这种情况下，我们建议使用minimax a ffine CI，即最坏情况下的预期长度在基于a ffine估计的所有CI中最短的CI（Donoho，1994）。为了简洁起见，我们将这种CI称为minimax CI。minimax CI是基于一个有效的估计器BLMM:=a+Pni=1wiyi，非负权重（wi）ni=1，半长χmm构建的，即CImm=hbLmm- χmm，bLmm+χmmi。半长χmmis非随机且经过校准，以在函数空间F（C）：inff上均匀地保持正确的覆盖率∈F（C）Pf（LRDf）∈ CImm）≥ 1.- α.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-4-24 17:16:47

（6） Donoho（1994）表明，关注有效估计是合理的，因为考虑非有效估计的收益是有限的。注意，PF（LRDf∈ CImm）=PfbLmm- LRDfsd（bLmm）≤χmmsd（bLmm）！。假设误差项为高斯分布，则随机变量（bLmm- LRDf）/sd（bLmm）是正态分布，平均值等于tobiasf（bLmm）/sd（bLmm），单位方差为。因此，随机变量|（bLmm）的分位数- LRDf）/sd（bLmm）|在f上最大化∈ F（C）当| biasf（bLmm）|最大时。因此，如果我们将cvα（t）定义为1-|Z |的α分位数~ N（t，1），保证覆盖要求（6）的最小可能值χmm由χmm=cvαsupf给出∈F（C）| biasf（bLmm）| sd（bLmm）|！sd（bLmm）。（7）仍然需要推导χmmis最小化的估计量blmmsuch的形式。Wetakeblmmt是两个重新集中的核回归估计器之间的差异，saybLmmt-bLmmc，其中blmmq:=Pxi∈XqK（xi/hq）yi/σ（xi）Pxi∈XqK（xi/hq）/σ（xi）- aq，对于每个q∈ {t，c}，（8）对于（5）中定义的核函数K（·）。请注意，BLMM和BLMMC分别对应于ft（0）和fc（0）的估计值。关于最优核函数K的形式，当d=1时，K（z）是通常的三角形核，其最优性在Donoho（1994）和Armstrong及Koles\'ar（2020b）中讨论过。在这里，我们还导出了多维情况下，对于任何给定的范数和次部分或完全单调性的最优核。与RDDs中以前的推理方法相比，一个显著的区别是，估计量RBLMMQ是一个Nadaraya Watson估计量，而不是局部线性估计量。这种差异自然产生，因为我们是在有界一阶导数的假设下工作的。一般来说，由于Nadaraya-Watson型估计的边界偏差问题，局部线性估计是首选的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-4-24 17:16:55

然而，在诚实推理的背景下，最坏情况下的偏见被明确纠正。对于带宽（ht，hc）和中心项（at，ac）的最佳选择，我们可以证明，可以通过取q=hq（δ）=ω来获得minimax双边CI*每个q的q（δ；C）/C∈ {t，c}，（9）选择合适的δ≥ 0，将Donoho（1994）的结果应用于我们的设置。接下来，从（7）的形式中，中心术语的选择应确保SUPF∈F（C）biasf（bLmm）=- inff∈F（C）biasf（bLmm），以最小化χmm，即最坏情况下的正负偏差应平衡。我们可以证明，如果我们为每个q选择q:=aq（hq；C），这是可以实现的∈ {t，c}。（10）注意，当（ht，hc）取决于δ时，这个量取决于δ。现在，Letblm（δ）是上述核回归估计器，其带宽（ht（δ），hc（δ））和中心项（at，ac）如上所述。在这些带宽和中心项的选择下，我们得到了sd（bLmm（δ））=s（δ，ht（δ）；C、 σ（·）），supf∈F（C）biasf（bLmm（δ））=- inff∈F（C）biasf（bLmm（δ））=C（ht（δ）+hc（δ））- δsd（bLmm（δ））.（11）然后，我们通过在（7）中插入（11）来选择δ的最佳值，并计算使半长χmm最小的δ值，即δ*, 产生最短半长度的值。堵塞δ=δ*在带宽和定心项公式中，也可以得到与这一半长度对应的估计器的形式。程序1总结了我们关于极小极大CI构造的讨论。以下是关于极小极大过程的主要理论结果。当我们考虑一个具有高斯误差和已知条件方差的理想化设置时，这种精确的NNITE样本结果可以被转换成具有非相似误差的非高斯误差的渐近结果，其具有类似的参数givenby Armstrong和Koeles胡（2018C）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-4-24 17:17:01

在第5节中，我们将更详细地讨论如何引入条件方差的一致性估计。程序1极小极大值。1.选择一个值C，使（2）中的Lipschitz连续性得到满足，当d>1.2时，在Rd上选择一个合适的范数| |·| |。使用（8）计算估计器的形式，使用（9）和（10）给出的带宽和中心项作为δ3的函数。使用（11）确定δ的值，该值使半长（7）最小，比如δ*.4.通过插入δ来计算估算值和半长*,这给出了CI的最终形式。假设1。{xi}ni=1是非随机和ui~ N（0，σ（xi）），其中已知σ（·）。定理3.1。在假设1下，我们有∈F（C）Pf（LRDf）∈ CImm）=1- α.此外，CImmis是所有（固定长度）具有统一覆盖率的有效CI中最短的。从（9）中，我们可以看到带宽的大小和研究人员选择的Lipschitz常数C之间存在一对一的关系。因此，如果必须选择带宽，选择C不一定是研究人员的额外负担。虽然也存在各种数据驱动的带宽选择方法，但我们选择带宽的方式明确了带宽与函数空间之间的关系，在该函数空间上，生成的CI具有均匀覆盖，同时实现了最小最大最佳长度。讨论d=1的情况有助于说明单调限制在极小极大最优推理中的作用。直观地说，在单调性下，我们不必担心负斜率函数引起的偏差，因此最好使用比没有单调性的情况更大的带宽来减少标准误差。使用上面的核函数和带宽公式，我们可以计算出在单调性下带宽应该多大。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-4-24 17:17:07

当nv={1}时，（5）中的核函数由K（z）=[1]给出- |z |]+，而当V=,核函数由K（z）=[1]给出- 2 | z |]+=K（z/（1/2））。因此，如果我们将核函数设为K（z）=K（z），则0以下的核函数之间的带宽比。20.40.60.80 1 2 3 4 5 Lipschitz系数CI长度（d=1）法-单调的。51.01.52.00 1 2 3 4 5 Lipschitz系数CI长度（d=2）法-单调图1：有无单调性的极小极大长度的比较。在运行变量的设计中，通过均匀分布生成了500个观测值[-1,1]d，对于d=1,2。当d=2时，我们设置V={1，2}并使用thelnorm。根据σ（x）=1计算长度。V={1}和V= 由2ω给出*q（δ；C，{1}）ω*q（δ；C，), 每个q∈ {t，c}，δ≥ 0，其中ω*q（δ；C，V）表示ω的值*q（δ；C）当指数集V的单调性约束成立时。继Kwon和Kwon（2020）之后，我们可以证明上述数量约为22/3≈ 1.6对于大n.因此，如果我们认为平均潜在结果函数是单调的，最好使用比不应使用单调性的带宽大60%的带宽。通过类似的论证，当我们只考虑单调函数的空间时，极大极小CI的长度变短。由于CI的长度是一个限定量，我们可以很容易地将其在形状限制下的长度与没有形状限制的长度进行比较。图1考虑了治疗设计中d=1和2的情况，即当所有运行变量的值均为负值时，对个体进行治疗。不考虑单调性的CI在d=1时可长30%，在d=2时可长40%。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-4-24 17:17:13

考虑到具有单调回归函数的RDD的普遍性，这种效率的提高证明了在构造极小极大CI时合并形状限制的重要性。4自适应单侧CIA极大极小双侧的显著特征是它是一个固定长度的CI，从这个意义上说，它的长度是在观察结果{yi}ni=1的实现之前确定的。CI的长度取决于研究人员选择的Lipschitz常数C，C的值越大，CI越长。因此，如果研究人员希望通过设置Lipschitz常数的保守值来增强推理结果的可信度，那么minimaxCI可能会变得过于广泛，无法使用。在极端情况下，研究人员希望设置C=∞, CI必须是整个实线，不提供任何信息。为了解决这个问题，我们提供了一种构造自适应单边DCI的方法。CI可以使函数空间的覆盖率保持在一个较大的常数C上，甚至允许C=∞. 此外，只要真回归函数位于更平滑的类中，当d=1时，CI的长度不依赖于C，当d>1时，几乎不依赖于C。在第4.1节中，我们将更详细地讨论这个属性，并提供一个简单的条件，说明处理分配规则与该属性所处的单调方向之间的关系。这一特性确保了研究人员可以通过考虑一个大的函数空间来增强推理结果的可信度，而不会以一个无信息的CI结束。此外，单边CI可以利用观察结果{yi}ni=1中包含的未知回归函数f的光滑性信息。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-4-24 17:17:19

通过使用这些信息，CI的长度会相应地调整，而不包括长度固定的最小最大最优CI，无论观察到的输出值如何。拥有这种属性的CI被称为自适应CI，如下CAI和Low（2004）。这一性质进一步提高了单侧CI的实用性；CI的长度不仅（几乎）与C无关，而且当真实回归函数的一阶导数界较小时，CI的长度会缩小。我们重点讨论了自适应低顺式和相关治疗分配规则的构建。在许多RDD应用中，研究人员往往对真正的治疗效果显著大于0感兴趣。在这种情况下，较低的单面CI提供了有用的信息。上CI可以以类似的方式处理，但需要不同（或“相反”）的处理分配规则。最后，单侧CI的“长度”指的是trueparameter LRDf与其端点之间的距离，在Armstrong和Koles\'ar（2018a）中称为“多余长度”。4.1治疗分配的条件在本节中，我们更详细地描述了治疗分配规则，在此规则下，可以构建覆盖F（C）的均匀较低CI，但随着长度的增加，这不一定会随着C的增加而增加。具体来说，考虑到较小的Lipschitz常数C，例如0≤ C<C，我们问什么时候可以构造一个较低的CIC，其最坏情况下F（C）上的预期长度不随C增长。这一性质确保了更高的可信度不一定会导致更广泛的CI。为了给出一种直觉，我们首先在一个简单的设置中描述参数，其中有一个切入点x=0的运行变量。考虑一个较低的CI[BL- χL，∞) 通过从线性估计器BL中减去常数χlf来构造。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-4-24 17:17:25

为了在函数空间F（C）上保持均匀覆盖，我们必须有χL=supf∈F（C）biasf（bL）+sd（bL）·z1-α.注意，我们考虑的估计量是作为FT（0）和Fc（0）的估计量之间的二次关系，如FT（0）。-^fc（0）。现在，假设个体接受一些治疗，当且仅当xi<0。这种设计的一个关键特性是，如果ft（x）增加，则^ft（0）总是有负偏差，因为^ft（0）仅使用xi<0的观测值计算。同样，当fc（x）增加时，^fc（0）总是有正偏差。因此，BL对f的偏差∈ F（C）始终为负值，与研究人员指定的C值无关。因此，在f（c）上保持均匀覆盖的单侧下CI可以形成独立于C。我们也可以很容易地看到，当I i被处理时，当且仅当席时，该论点不再成立。≥ 0，在这种情况下，最大偏差超过∈ F（C）随着C的增加而增加。我们现在正式陈述这个观点，包括d>1的情况。给定someeC>0，设Lα（eC）表示覆盖概率为1的下顺式集合（作为{yi}ni=1和{xi}ni=1的函数）- F（eC）上的α，即CI∈ Lα（eC）<==> inff∈F（eC）P（LRDf）∈ （CI）≥ 1.- α.现在，考虑下面的数量：（c，c）：= INF[C，∞)∈Lα（C）supf∈F（C）E[LRDf- ^c]，（12）其中c≤ C.这是CI的最坏情况预期长度，1）在F（C）上具有正确的均匀覆盖，2）最坏情况预期长度是最小的F（C）。Armstrong和Koles\'ar（2018a）根据附录A中定义的连续性模型计算该数量。我们在这里提出的问题是，在什么条件下，数量（C；C）可以被视为独立于C。换句话说，我们描述了当回归函数属于更光滑的函数空间时，可以构造长度不随C增长的单侧下CI。引理4.1。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-4-24 17:17:31

假设XT和XC都是非空的，假设1成立。然后，给定一对Lipschitz常数（C，C），使得C<C，存在一些与C无关的常数a（C），使得`（C；C）≤ A（c），当且仅当下列条件成立时：1）存在席∈ 席西∈ (-∞, 0）d，2）存在席∈ 西席∈ [0, ∞)d、 3）回归函数是完全单调的，即V={1，…，d}。在引理4.1中提供的条件下，研究人员可以构造一个单侧CI，如果真回归函数属于更光滑的空间F（C），则其最坏情况下的预期长度不会太大，同时通过指定一个大的C来保持严格的覆盖要求。当d=1时，可以采用引理4.1中的不等式保持相等的a（C）=`（C；C），正如上面讨论的说明所示。也就是说，当nd=1时，C根本不影响`（C；C）的大小。另一方面，当d>1时，相同的性质不成立，除非我们的观测值仅超过[0，∞)丹德(-∞, 0]d，这在实践中通常不是这样。因此，指定一个更大的C将转化为一个更长的CI（通过对[0]之外的观测值给予较小的权重，∞)D∪ (-∞, 0]d）当d>1时。然而，有一个上限，这个长度可以增长多少与C。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-4-24 17:17:37

这个上限与C无关，因此CI的最坏情况长度几乎与ofC无关。换句话说，引理4.1中的条件意味着“处境更不利的群体应该得到治疗”在教育文献中很容易找到这样的RDD设置，学习成绩较低的学生或学校会得到某种支持（蔡等人，2005年；蒋，2009年；雅各布和勒夫格伦，2004年；鲁汶等人，2007年；马苏代拉，2008年），在环境经济学文献中，高污染水平的国家受到一些环境法规的影响（Chay and Greenstone，2005；Greenstone and Gallagher，2008），以及向需要帮助的人提供资金的贫困项目中（Ludwig and Miller，2007）。最后，我们注意到，当平均潜在结果函数减少而不是增加时，我们可以简单地切换Xt和Xcin引理4.1.4.2类自适应程序的条件。根据前一节中考虑的治疗分配规则，可以为某些C构造一个单侧CI，该CI对于单个函数空间F（C）是最优的，其长度与较大的Lipschitz-constantC无关或几乎无关。理想情况下，我们将使用在函数空间范围内表现良好的单边CI，对应于Lipschitz常数C的范围∈ [C，C]对于某些特定的界限C和C。为此，我们定义了一类自适应程序，以便我们的程序基于多个CI，解决了不同Lipschitz常数C值的优化问题（12）∈ {Cj}Jj=1，带C≤ C<··<CJ≤ C.目前，我们假设（Cj）Jj=1是给定的。我们将讨论如何以一种在以后是最优的方式选择这个利普斯奇兹常数序列。为了介绍我们的程序，我们首先描述（12）的解，将阿姆斯特朗和科尔斯ar（2018a）的一般结果应用到我们的设置中。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-4-24 17:17:43

给定一个C值，结果表明求解（12）的下CI基于线性估计BL（C）：=a（C）+Pni=1wi（C）yi，用于非负权重wi（C）和中心常数a（C）。给定一些τ∈ （0，1），维持统一超龄概率1的较低CI的终点- F（C）上的τ，形式为^cLτ（C）=bLτ（C）- supf∈F（C）biasf（bLτ（C））- z1-τsd（bLτ（C））。（13）在这里，我们明确表示对τ的依赖，因为当J>1时，我们会选择一个合适的τ<α。对于估计量，我们认为blτ（C）是两个核回归估计量saybLt，τ（C）之间的差异-bLc，τ（C），其中blq，τ（C）：=Pxi∈XqK（xi，hq，τ（C））yi/σ（xi）Pxi∈XqK（xi，hq，τ（C））/σ（xi），对于每个q∈ {t，c}。最佳带宽由ht，τ（C）=ω给出*t（z1-τ; C、 C）·（1/C，1/C）和HC，τ（C）=ω*c（z1-τ; C、 C）·（1/C，1/C），（14）完成了对估值器blτ（C）的定义。bLτ（C）的最坏情况偏差和标准偏差由D（bLτ（C））=s（z1）给出-τ、 ht，τ（C）；C、 C，σ（·））supf∈F（C）偏差（bLτ（C））=at（ht，τ（C）；C、 C）- ac（hc，τ（C），C，C）+[ω*t（z1-τ; C、 C）+ω*c（z1-τ; C、 C）- z1-τsd（bLτ（C））]，（15），它总结了单侧CI的形式，解（12）。词^cLτ（C），∞对于单Lipschitz常数C，我们构造了一个在函数空间集合上表现良好的CI，通过将CI的交集取为^cLτ（C），∞对于C的不同值，请注意，在形成的多个CI中，取交叉点“选出”最短的CI。这大致相当于从数据中推断回归函数所属的真函数空间，并使用在该函数空间上表现良好的CI。应校准τ的值，以便所得CI保持正确覆盖概率1- 穿过十字路口后。假设我们有一个J CI的集合^cLτ（Cj），∞Jj=1。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-4-24 17:17:50

利用Bonferroni方法求出此类精度的交集的简单方法，并取τ=α/J。然而，该方法是保守的，因为估计器之间的相关性sblτ（C）。。。，bLτ（CJ）为正，当CJ和ck接近时为正。为了在考虑到正相关的情况下校准τ的值，让（Vj，τ）Jj=1定义一个以零为中心的J维多变量随机变量，单位方差，且具有给定的协方差项asCov（Vj，τ，Vk，τ）=Pxi∈XtK（xi，ht，τ（Cj））K（xi，ht，τ（Ck））/σ（xi）z1-τ/ω*t（z1-τ; C、 Cj）ω*t（z1-τ; C、 Ck）+Pxi∈XcK（xi，hc，τ（Cj））K（xi，hc，τ（Ck））/σ（xi）z1-τ/ω*c（z1-τ; Cj，C）ω*c（z1-τ; Ck，C）。（16）然后，我们可以证明如果我们取τ*是求解sp的τ的值max1≤J≤JVj，τ>z1-τ,= α、（17）则通过交叉口获得的结果CI具有正确的覆盖范围。关于上述方程的解，我们实际上可以证明Cov（Vj，τ，Vk，τ）不依赖于τ作为n→ ∞, 这意味着max1≤J≤JVj，τ*分布收敛到不依赖于τ的随机变量vmax。以下是我们的交叉点CI的主要理论结果。定理4.2。给定{C，…，CJ}，C和α∈ （0,1），设τ*定义如（17）所示。那么，在假设1下，如果我们让^c:=max1≤J≤J^cLτ*（Cj）我们有∈F（C）Pf（LRDf）∈ [^c，∞)) ≥ 1.- α.从阿姆斯壮和Koeles AR（2018A）中得到的下一个结果表明，我们考虑的一类自适应过程是合理的。它基本上表明每个顺式[^cLτ*（Cj），∞) 当f∈ F（Cj），除了概率为1的真实参数- τ*而不是1- α、这就是我们为适应多个Lipschitz课程所付出的代价。推论4.3。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-4-24 17:17:56

在假设1下，[^cLτ*（Cj），∞) solvesinf[^c，∞)∈Lτ*（C） supf∈F（Cj）Ef[LRDf- ^c]。同样，考虑d=1和V={1}的简单情况，在我们的自适应过程背后提供了一种直觉。在这种简单的情况下，bLq，τ（C）只是一个核函数。在没有报道的模拟练习中，我们发现这种渐近近似对于适度的样本量（如n=100）非常有效。核K（z）=[1的回归估计- |z |]+和带宽sht，τ（C）=ω*t（z1-τ; C、 C）/C，hc，τ（C）=ω*c（z1-τ; C、 C）/C.（18）应用Kwon和Kwon（2020）的结果，我们可以证明这些数量大约为C×（C）-2/3对于大n的某些常数c，这意味着我们构造了具有不同带宽大小的估计器，并比较了结果单边CI的长度。当回归函数的Lipschitz常数较大时，带宽较小的估计器的性能较好，而带宽较大的估计器的性能较差。这是因为当回归函数的Lipschitzconstant较大时，单边CI的多余长度会通过使用较小的带宽来减小偏差的绝对大小而减少。另一方面，当回归函数的Lipschitz常数很小时，通过采用更大的带宽来减少标准偏差对于减少单侧CI的多余长度更为重要。这个想法类似于阿姆斯特朗和科尔斯ar（2018b）提出的带宽监听程序。其中的结果集中在一个运行变量和适应H？older指数的情况下。备注4（C）。当d=1时，根据第4.1节中的治疗分配规则，最坏情况偏差为0。因此，研究人员可以设置C=∞ 不要担心正确的报道。另一方面，当d>1时，C的大小显示出较大的权重，应在[0]之外的观测值上，∞)丹德(-∞, 0]d。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-4-24 17:18:02

较大的C会对这些观察结果施加较小的权重，从而导致更大的CI，C=∞对应于仅在[0]中使用观测值，∞)丹德(-∞, 0]d.然而，当真实回归函数的初始导数界较小时，即使C被设置为一个较大的数字，自适应CI的长度也会缩短，从而减轻了大C可能导致信息量较小CI的担忧。备注5（多维RDD中的适应性）。考虑EngE2的设置，其中损坏的Lipschitz连续性由加权的L-模与Lipschitz常数C，…光盘然后，我们的自适应过程允许一个考虑除C＝1以外的C的二值。注意，对于s=2，…，取C/Cs。。。，d、适应C/CSI的不同价值观是一个有趣的扩展，我们在这里没有追求。4.3自适应程序的选择在本节中，我们讨论了Lipschitz常数（Cj）Jj=1的选择，以总结我们对自适应单边CI的定义。与之前关于自适应推理的文献不同，选择适应的函数空间在我们的环境中特别重要。以前的文献大多集中在速率适应上，即如何构造以最佳速率收缩的CI的问题。例如，Armstrong（2015）和Armstrong以及Koles\'ar（2018b）讨论了RD参数的自适应测试和自适应信息构造，这些参数适用于H¨older指数β∈ （0，1）。在这种情况下，由于不同的H？older指数意味着不同的收敛速度，所以从某种意义上说，适应H？older指数的整个连续统始终是最优的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-4-24 17:18:09

另一方面，当我们fixβ=1并尝试适应Lipschitz常数时，收敛速度总是n1/（2+d），重要的是CI的实际长度，而不是它们的收敛速度。最佳但不可行的自适应CI为CI=[^c，∞) 真是太棒了∈F（C）E[LRDf- ^c]=`（c；c），对于所有c∈ [C，C]，其中（C；C）在（12）中定义。这是不可行的，因为在F（C）上最优的CI的形式不同于在C6=C上最优的CI的形式。相反，我们的目标是构造一个CI[^C，∞) 使`adpt（C）：=supf∈F（C）E[LRDf- ^c]接近于`（c；c）超过c∈C、 C给一些C、 C, 当`adpt（C）和`（C；C）被视为C的函数时。通过将单边CI的类别限制在第4.2节中考虑的类别，我们可以证明，`adpt（·）和`（·；C）之间存在一个合理且易于计算的距离度量。具体来说，让c=（Cj）Jj=1指定一个Lipschitz常数序列，用于构造自适应CI，并用^c（c）表示CI的端点。然后写\'adpt（C；C）：=supf∈F（C）E[LRDf- ^c（c）]。程序2自适应单侧CI。1.选择C，以满足（2）中的Lipschitz连续性，当d>1时，在Rd上选择合适的范数| |·| |。-当d=1时，我们可以设置C=∞; 见第4.2.2节中的备注4。选择C和C的值，使0≤ C<C≤ C、这是自适应CI接近最优的区域。-可以估算出合理的C值；见附录B.3。设C（J）是大小为J的等距网格C、 C. 从J=2开始，将J增加1，直到|（C（J））- （C（J）- 1))| ≤ ε、对于公差水平ε4。让J*是我们在步骤3中停止的J的值。我们使用C（J）*) = （Cj）J*j=1表示构造自适应CI的Lipschitz常数序列。5.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-4-24 17:18:15

使用（13）、（14）、（15）和（17），最终获得自适应单侧CI hmax1≤J≤J^cLτ*（Cj），∞.考虑下面的量，测量‘ADPT（·；C）’和‘（；C）’之间的“距离”：（C）：=supC∈[C，C]`adpt（C；C）`（C；C）。（19）请注意，这一标准与之前的文献一致，该文献使用比率测量法比较了不同置信区间的表现（Cai和Low，2004；Armstrong和Koles\'ar，2018a）。具体来说，（C） satis fies\'adpt（C；C）≤ （C） `（C；C），C∈C、 C.这正是Cai和Low（2004）中引入的自适应CI的概念。由于在我们的设置下，`adpt（C；C）和`（C；C）的速率是相同的，因此自适应过程的选择应该基于常数的大小（C）。关注第4.2节中提出的自适应CI类别的一个优点是易于评估（C）如下面的命题所示。提案4.4。我们有\'adpt（C；C）=E minj≤JUj，其中U:=（U，…，UJ）是具有已知均值和方差的高斯随机向量。此外，我们还有`（C；C）=ω*t（z1-α、 C，C）+ω*c（z1-α、 C，C）。根据到目前为止的讨论，我们建议根据（C）。在计算这个值时，搜索所有可能的序列C在实践中是不可行的。相反，我们建议将C=C（J）作为大小为J的等距网格C、 C和计算（C（J））对于不同的J值。我们的模拟研究（未报告）表明，在某个阈值之后，增加J的增益变得非常小。因此，计算上有吸引力的程序是增加J的值，直到使用J+1代替J的额外增益小于公差参数。在第5节的模拟设计中（C（J）*)) 在所有情况下都小于1.07，其中J*是通过上述方法获得的J值。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝