数学博弈论 - 外文文献专区

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收藏 2022-04-24

英文标题：
《Mathematical Game Theory》
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作者：
Ulrich Faigle
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最新提交年份：
2020
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分类信息：

一级分类：Economics 经济学
二级分类：Theoretical Economics 理论经济学
分类描述：Includes theoretical contributions to Contract Theory, Decision Theory, Game Theory, General Equilibrium, Growth, Learning and Evolution, Macroeconomics, Market and Mechanism Design, and Social Choice.
包括对契约理论、决策理论、博弈论、一般均衡、增长、学习与进化、宏观经济学、市场与机制设计、社会选择的理论贡献。
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一级分类：Computer Science 计算机科学
二级分类：Computer Science and Game Theory 计算机科学与博弈论
分类描述：Covers all theoretical and applied aspects at the intersection of computer science and game theory, including work in mechanism design, learning in games (which may overlap with Learning), foundations of agent modeling in games (which may overlap with Multiagent systems), coordination, specification and formal methods for non-cooperative computational environments. The area also deals with applications of game theory to areas such as electronic commerce.
涵盖计算机科学和博弈论交叉的所有理论和应用方面，包括机制设计的工作，游戏中的学习（可能与学习重叠），游戏中的agent建模的基础（可能与多agent系统重叠），非合作计算环境的协调、规范和形式化方法。该领域还涉及博弈论在电子商务等领域的应用。
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英文摘要：
These lecture notes attempt a mathematical treatment of game theory akin to mathematical physics. A game instance is defined as a sequence of states of an underlying system. This viewpoint unifies classical mathematical models for 2-person and, in particular, combinatorial and zero-sum games as well as models for investing and betting. n-person games are studied with emphasis on notions of utilities, potentials and equilibria, which allows to subsume cooperative games as special cases. The represenation of a game theoretic system in a Hilbert space furthermore establishes a link to the mathematical model of quantum mechancis and general interaction systems.
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2022-4-24 19:21:45

数学游戏理论——初步版——这些笔记的大幅修订和扩展版将与世界科学出版有限公司（World Scientifi Publishing Co Pte Ltd.）合作出版：https://doi.org/10.1142/12540Ulrich法格卢大学——位于祖克奥尔曼学院80faigle@zpr.uni-科恩。露珠。扎克。尤尼·科恩。de/AFS内容前言第三部分1。导言1第1章。真实世界的数学模型31。数学模型李宁32。数学预科53。系统144。游戏16第2部分。2人游戏21第2章。组合游戏231。交替播放232。递归243。组合游戏254。获胜策略275。游戏代数296。第三章。零和游戏391。矩阵游戏402。平衡403。凸零和博弈424。拉格朗日游戏第4章。投资和赌博531。比例投资552。财富公式563。公平的赔率584。赌备选方案605。投注和信息636。常识65iii内容Spart 3。n人游戏第5章。效用、潜力和均衡751。公用事业和潜力752。平衡第6章。n人游戏811。n人游戏的动力学832。平衡833。矩阵游戏的随机化854。交通流参见第7章。合作游戏891。合作图游戏902。核心983。价值1054。玻尔兹曼值1105。联盟组建1136。合作博弈中的均衡第8章。相互作用系统s和量子模型1171。代数预备课1172。复矩阵1193。互动系统1224。量子系统1265。量子游戏1306。最后的评论见附录。1331.来自真实分析的概念和事实1332。凸性1343。BR OUWER不动点定理1354。线性不等式1375。MONGE算法1376。熵和玻尔兹曼分布数千年来，人们一直在赌博和玩游戏。

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能者818

2022-4-24 19:21:51

然而，直到17世纪，我们才看到对这一主题进行科学研究的严肃尝试。概率论中的组合论是由不同的数学学者发展而来的，作为理解变化（主要是用骰子）和猜测的一种手段。从那时起，博弈论已经发展到一个广阔的领域，有时甚至与它的数学根源相去甚远。游戏的概念已经扩展到包括各种人类行为以及个人、群体和社会的互动。当前的许多研究都是在经济和社会环境中研究人类，并试图发现类似于物理定律的行为规律。然而，到目前为止，数学在这方面的作用还相当有限。一个主要原因当然是，现实生活中的玩家的行为往往与简单的数学模型预测的不同。在人们似乎对数学模型构建者的直截了当的分析持保留态度之前，就存在着如此看似矛盾的情况。塞尔滕的连锁店悖论就是一个著名的例子。与研究支配人类心理、社会或经济行为的规律一样有趣和有价值的是，数学博弈论与博弈论的这些方面无关。我们关注的中心是数学模型，这些模型可能有助于博弈论情境的分析。我们关心的是博弈论模型的数学，但把一个特定模型是否恰当地描述了现实生活中的特定情况的问题放在一边。博弈论模型的数学分析以中立的态度对待对象。元素和集合本身没有感觉，也没有心理行为。它们既不慷慨，也不节约成本，除非模型中有明确的数学性质。

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2022-4-24 19:21:57

例如，J.BERNOULLI（1654-1705）所著的《Ars联合体》参见，例如，e.BERNE，《人们玩的游戏：人际关系的心理学》，格罗夫出版社，1964R。塞尔滕（1978）：连锁店悖论，理论与决定9127-159。然而，数学中立的优势是巨大的，因为它使我们能够将数学分析嵌入到更广泛的框架中。目前对数学博弈论的介绍认为博弈是在（可能相当普遍的）系统上进行的。然后，游戏的移动对应于系统从一种状态过渡到另一种状态。这种方法通过同一基础数学揭示了与基本物理系统的密切联系。因此，人们希望数学游戏理论最终能在现实世界的游戏中扮演类似于理论物理在现实世界物理系统中扮演的角色。本导论课文的读者应具备一定的数学知识，可能在线性代数和实分析的入门课程水平。然而，本课文将尝试回顾相关的数学概念和性质，并参考文献了解更多细节。读者应该“积极地”阅读课文“Ex”不仅是一个“例子”，也是一个可能加深对数学发展理解的“练习”。这本书的基础是一个学期的课程，作者在H·OGNE大学反复给予硕士学位学生，他们对应用数学、运筹学和M数学建模感兴趣。第1部分导论第1章现实世界的数学模型本导论章讨论数学模型，概述用于分析的数学工具，定义总体系统，特别是决策系统。

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2022-4-24 19:22:04

然后从一般的角度介绍了博弈，指出了博弈在组合、经济、社会、物理和其他环境中是如何产生的。1.数学建模数学是分析和构造观测并可能发现自然“规律”的强大工具。这些定律是逻辑原理，它们不仅让我们了解观察到的现象（即所谓的现实世界），而且让我们计算当前情况的可能演变，从而尝试“展望未来”。为什么会这样？这个问题的答案即使不是不可能的，也是很难回答的。人们普遍认为数学是宇宙的语言。所以一切都可以被数学所捕捉，所有的数学推论都揭示了真实世界的事实。我不知道这是不是真的。但即使是这样，人们也必须谨慎对待现实世界中对血液学的解释。一个简单的例子可以说明这一点：虽然树上的苹果是按自然数n计算的，但并非每个自然数n都有一棵树上有n个苹果。换句话说，当我们用一组非负整数来描述苹果的数量时，我们的数学模型将包含没有真正对应的数学对象。从理论上讲，人们可以通过将数学模型限制为苹果树实现的数字n来摆脱苹果困境。但是，这样一个受限的模型没有实际用途，因为这样的数n的集合并不是明确已知的。伽利略伽利略（1564-1622）4 1。现实世界的数学模型总的来说，现实世界情况的数学模型不一定是绝对全面的。

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2022-4-24 19:22:10

数学结论只是理论上的，可能暗示现实中不存在的对象和情况。人们总是要仔细检查现实世界中对数学推理的解释，并问一种解释在某种意义上是否“合理”，即它是否与一个人的个人经历相称。例如，在分析博弈论的情况时，可能需要考虑单个玩家的心理。然而，心理行为的数学模型通常基于假设，其准确性往往不明确。因此，当然，在这样一个模型中，数学上已经确定的结果必须谨慎解释。此外，与具有大量粒子（如分子等）的物理系统类似，具有许多因素（如交通系统和经济）的GAME理论系统过于复杂，无法通过单独跟踪每个因素进行分析。因此，一个实用的方法必须集中于“群体行为”，并考虑统计参数，平均每个个体的数学属性。在仔细了解了读者对数学演绎的真实解释之后，我们将集中讨论数学模型（及其数学模型），并将解释留给读者。我们的重点是相同的理论模型。所以我们应该解释一下我们所理解的。一个游戏涉及玩家执行的动作，使一个给定的系统通过一系列的状态。当游戏结束时，系统处于一种状态，根据该状态，玩家可以获得奖励（或支付费用或永久支付）。许多博弈论者认为“玩家”是一个胡人，即一个有人类情感、愿望和欲望的生物，因此给它起了一个人类的名字。然而，数学模型的元素本身并没有人形的感觉。

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大多数88

2022-4-24 19:22:17

如果它们要代表具有欲望和欲望的对象，则这些欲望和欲望必须明确表示为具有特定目标函数和约束的数学优化挑战。因此，我们将尝试保持中立，并经常将“玩家”称为没有特定性特征的代理。特别是，代理通常会使用“it”而不是“he”或“she”。这种术语中立性清楚地表明，数学博弈论所包含的模型比人类博弈论所包含的模型多得多。weAlice和Bob是很受欢迎的选择。数学预科5将看到，许多游戏、决策、经济和社会科学模型与物理和信息学模型有着相同的基础。关于连续可微函数的一个注记。现实世界中的现象通常是用连续甚至可微的函数来建模的。然而，对于函数的连续性或可微性，没有实际可行的测试！因此，连续性和可微性是modelbuilder的假设。这些假设通常非常合理，并在应用中产生了良好的结果。此外，它们还有助于数学分析。然而，读者应该意识到数学模型与其物理起源之间的差异。2.数学入门假定读者具备一些基本的数学知识（至少达到线性代数入门课程的水平）。然而，回顾一些数学术语是有用的。附录中概述了进一步的基本事实。2.1. 函数和数据表示。函数f:S→ 将集合W的元素fs=f（s）与集合s的元素s进行符号化。

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2022-4-24 19:22:23

观察f的方法是把f想象成一个测量装置，在输入s:s时产生结果f（s）∈ s-→ F-→ f（s）∈ W.我们将所有这类函数的集合表示为ws={f:S→ W}。函数F和变量s的作用是相反的，我们可以用两种方式来看待这个问题。双视点将s视为探针，当应用于f:f时，它会产生值f（s）∈ WS-→ s-→ f（s）。如果S很小，f可以以表格的形式表示，显示f对S的总影响：f←→sss。snf（s）f（s）f（s）。f（sn）61。现实世界的数学模型双重视角将固定一个元素∈ 测试并评估测量装置f，例如，fk，因此代表一个单独的元素∈ 通过k维数据表：S←→fff。fkf（s）f（s）f（s）。fk（s）当on e试图通过数据值f（s），…，来描述经济、社会或物理系统的状态时，通常会出现双重观点，统计测量值的fk，关于FKK系统特性。这两种观点在逻辑上是等价的。事实上，双视角看到了元素s∈ 它就像一个函数→ W值^s（f）=f（s）。第一个观点也与数据表示相关。例如，考虑n-元素SETn= {i，…，in }。在这种情况下，函数f:N→ {0，1}可以通过标识（1）f指定N的子集sfon∈ {0，1}N←→ Sf={i∈ N | f（i）=1} N.备注1.1。（1）中的向量f是子集合Sf的关联向量。用N表示N的所有子集的集合，并写出2={0，1}，上下文（1）建立对应的N={0，1}N←→ N={S N} 。不是贝尼。（0，1）-值函数当然也可能有其他解释。例如，信息论认为它们是位向量，因此是信息的载体。

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2022-4-24 19:22:29

抽象函数是一个纯粹的数学对象，本身没有物理意义。它只有在所指的语境中才有具体的含义。2.数学预科7记法。当我们想到函数f:S时→ 作为数据代表，我们认为f是坐标向量f∈ wsf使用坐标分量fs=f（s），也使用符号onf=（fs | s∈ S）。在S={S，S，S…}的情况下，我们可以写f=（f（s），f（s），…）=（财政司司长，财政司司长，…）=（fs | s）∈ S）对于直积=X×Y={（X，Y）|X∈ 十、 y∈ 集合X和Y的Y}，函数a:X×Y→ W可以被想象为amatrix，其行由元素x标记∈ X和s列由元素y标记∈ Y:A=AxyAxy。AxyAxy。AxyAxyAxy。。。。。。。。。。。。。函数值Axy是A的系数。我们用简写符号A=[Axy]来表达这一观点∈ WX×Y。矩阵形式表明类似的结构与A有关。矩阵A的转置∈ 例如，WX×Y是matrixAT=[ATyx]∈ WY×x，系数ATyx=Axy。在X={1，2，…，m}和Y={1，2，…，n}的情况下，一个通常是简单地写wm×n~=WX×Y.备注1.2（行和列向量）。当一个人想到一个协调者f∈ WXA是一个矩阵，只有f作为唯一的列n，e上称为fa列向量。如果f对应于一个矩阵，其中f是一行，则f是row向量。软行向量<==> f列向量。8 1. 真实世界图的数学模型。

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2022-4-24 19:22:35

（组合）图G=G（X）由一组X节点（或顶点）组成，这些节点（或顶点）将元素的有序对（X，y）视为节点之间的箭头（或（有向）边：-→y（x，y）∈ 十）。像往常一样，用R表示所有实数的集合，G的R加权是实数值axx到n个节点x的赋值∈ X和AxY到其他边（X，y），因此对应于一个矩阵∈ RX×X，X作为其行和列索引集，系数Axy=Axy。尽管在逻辑上等同于矩阵，但图形表示在动态环境中往往更直观。例如，有向边e=（x，y）可以表示一条道路，人们可以沿着该道路在交通环境中从x行驶到y。e也可能表示x可能转化为y等。重量ae=AxY可能是x到y的距离或x对y等施加的风机作用的强度。函数和矩阵的代数。虽然数据向量或矩阵的系数可能会有很大的不同（颜色、声音、配置等），但我们通常会处理数字数据，以便坐标向量以实数作为分量。因此，我们要处理typeRS={f:S的坐标空间→ R} 。加法和标量乘法。两个坐标因子f，g的和f+g∈ rsi是分量和（f+g）s=fs+gs的向量，即f+g=（fs+gs | s∈ S）。对于任何s calarλ∈ R、标量积通过λ：λf=（λfs | s）对每个成分进行多次分解∈ S）。警告向量乘法有许多不同的概念。2.数学预备课程。

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2022-4-24 19:22:42

两个向量f，g的乘积fog∈ RSI是带有分量乘积的向量，即fog=（fsgs | s∈ S）。在矩阵A，B的特殊情况下∈ RX×Y A和B的函数乘积称为HADAMARDproductAoB∈ RX×Y（系数（AoB）xy=AxyBxy）。警告：这不是标准的矩阵乘法规则（2）！矩阵A的标准产品∈ RX×Yand B∈ RU×Z仅在U=Y的情况下声明，然后定义为矩阵（2）C=AB∈ RX×z，系数Cxz=Xy∈亚克斯比兹。不是贝尼。在指数集X和Y为有限的情况下，两个矩阵的标准积可能无法很好地定义，因为有限和是有问题的。然而，就本书的目的而言，这并不是障碍：o主要考虑有限金额。备注1.3（希尔伯特空间）。许多博弈论分析可以扩展到希尔伯特s p ACE的框架，也可以扩展到形式（3）的坐标l（S） ={f:S→ R|Xs∈Sfs<∞},其中S是一个可数（可能是单位）集合。内积与规范。两个矩阵a，B的内积hA | Bi∈ RX×y是各成分的乘积之和：hA | Bi=Xx∈XXy∈Y=Xx∈XXy∈YAxyBxy=X（X，y）∈X×Y（AoB）xy。不是贝尼。内积hA | Bi是一个标量数，而不是一个矩阵！J.哈达玛（1865-1963）D.希尔伯特（1862-1943）10 1。真实世界的数学模型在向量的情况下，我们有f，g∈ RS，内部产物hf | gi=XS∈Sfsgs~=fTg，其中后一个表达式假设我们将f和g视为列向量，并用标量hf | gi识别（1×1）-矩阵fTg。例1.1。如果f，g∈ Rnare列向量，然后是fTg∈ R1×1是一个（1×1）矩阵。这与（n×n）-矩阵xfgt有明显区别=fgfg。fgnfgfg。fgn。。。。。。。。。。。。fngfng。

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2022-4-24 19:22:48

FGN∈ 向量（或矩阵）f的Rn×n范数∈ RSI定义为kfk=phf | fi=Xs∈S | fs |。向量的范数通常被几何解释为其欧几里得长度。所以One说两个向量f，g∈ 如果满足所谓的毕达哥拉斯定理（4）kf+gk=kfk+kgk，则R是正交的。引理1.1（正交性）。假设有限，坐标向量f，g∈ RS:f和g是正交的<==> hf | gi=0。证据简单的运动。2.3. 数字和代数。实数集合R在通常的实数加法和乘法规则下具有代数结构。R包含自然数的集合n={0，1，2，…，n，…}。因此，R的代数计算规则也可以应用于N，因为两个自然数的总和产生一个自然N数。类似的代数规则可以在其他集合上定义。我们举两个例子。虽然减法和除法不能保证相同。数学预科11个复数。当定义（a，b）+（c，d）=（a+c，b+d）（a，b）·（c，d）=（ab）时，R的计算规则可以扩展到实数对的集合R×R- bd，ad+bd）。关于这个代数的一个方便的表示法是（A，b）=A（1，0）+b（0，1）←→ a+ib，用所谓的虚单位i<-> (0, 1). 请注意，代数然后是Yieldsi<-> (0, 1) · (0, 1) = (-1, 0) <-> -1+i·0=-1.我们将复数集定义为setC={z=a+ib |（a，b）∈ R×R}并将R识别为C:a的子集∈ R←→ （a，0）∈ R×R←→ a+i·0∈ C.C中的代数遵循与R中代数相同的规则，附加规则i=-1.二元代数。

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2022-4-24 19:22:54

关于二元集B={0，1}，定义加法⊕和乘法根据下表：⊕0 10 0 11 0和0 10 0 00 1.在这个二元代数中，除法也是可能的，因为等式x y=1有一个唯一的解决方案y“for every”x 6=0。（只有一种情况：y=x=1。）12 1. 真实世界向量代数的数学模型。复数使我们能够在分析实数和乘积时，用复数系数定义向量的和和和乘积。第8章将讨论这种代数技术的应用。在二元规则下，具有（0，1）-系数的向量也是如此。二元代数的一个应用是在第二章分析NIM对策的策略。评论数据结构上是否有明确定义的“正确”或“最佳”加法和乘法规则，可以从数学上揭示它们的真实世界结构？答案通常是“不”。强加的代数总是数学分析师的一种选择，而不是“自然之母”。这通常需要谨慎和真诚。此外，不同的代数设置可能会揭示不同的结构方面，从而带来更多的见解。2.4. 概率，信息和熵。考虑n个互斥事件E，…期望其中任何一个，比如Ei，都“以概率”pi=Pr（Ei）出现。然后这些参数在集合e={e，…，En}上形成概率分布，即和为1:p+…+的非负整数pn=1和p，pn≥ 0.如果我们有更进一步的测量或观测设备f，如果EI发生，则产生数字f，那么这些数字具有预期值（5）u（f）=fp+…+fnpn=nXk=1pipi=hf | pi。在博弈论背景下，概率通常是对事件发生可能性的主观评估。

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能者818

2022-4-24 19:23:00

赌徒、投资者或普通赌徒可能事先不知道未来会带来什么，但对某些事件的可能性有更多或更少的猜测。这与信息的概念有着密切的联系。2.数学预科。我们认为事件E的强度是一个数值参数，它与概率p=Pr（E）成反比：ERP越小，E的实际发生就越强烈。为了简单起见，让我们以1/p作为主观的强度度量。备注1.4（费希纳定律）。根据费希纳的说法，物理刺激的强度在生理上是对数级的。众所周知的例子是地震的里氏震级或声音的分贝级。在费希纳之后，我们感觉到事件E的强度，我们期望概率p在对数mic尺度上，因此根据函数（6）Ia（p）=loga（1/p）=-logap，其中logap是p相对于a>0基的对数m（见例1.2）。特别是，我们预计“不可能”事件的发生概率为零，其强度为（0）=-loga0=+∞.不是贝尼。事件的数学强度仅取决于其发生的概率，而不取决于其在建模环境中的解释或其在物理环境中的“真实性质”。例1.2（对数）。回想一下：对于任何给定的正数a，x>0，都有一个统一数y=logax，这样x=ay=alogax。其中e=2.718281828。。。是欧拉数，常用的符号是Lnx=logExi。ln x是所谓的自然对数算法，对于所有x>0，其导数（ln x′=1/x）。两个对数函数logax和logbx只相差一个乘法常数。事实上，一个hasalogax=x=blogbx=a（logba）logbx和hencelogax=（logba）·logbx表示所有x>0。G.TH。费希纳（1801-1887）L。

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2022-4-24 19:23:06

欧拉（1707-1783）14 1。真实世界信息的数学模型。在信息基础理论中，参数i（p）=-logp是概率为p的事件E提供的信息量。请注意，概率值p可以从信息量I（p）中获得：p=2logp=2-I（p）。这种关系表明，“概率”可以理解为捕捉事件发生时信息量（或缺乏信息）的参数。熵。概率分布为π=（p，…，pn）的事件家族提供的预期信息量称为其熵（7）H（E）=H（π）=nXk=1pkI（pk）=-nXk=1pklogpk，其中，按照惯例，e上的集合为0·log0=0。同样，它应该是不需要注意的：h（E）只取决于参数向量π，而不是对E的真实解释。熵也是热力学中的一个基本概念，例如，它用于确定系统的温度。物理学家更喜欢用基数e而不是基数2，因此用Lnx而不是logx，也就是说，用相应的标度entropyH（π）=-nXk=1pkln-pk=（ln2）·H（π）。系统系统是在任何给定时刻处于特定状态的实体、经济实体或其他实体。用S表示所有可能状态σ的集合，用S来标识系统。这当然是一个非常抽象的定义。在实践中，必须以适合具体数学分析的方式描述系统状态。为了初步了解其含义，让我们看一些例子。由于C.E.香农（1916-2001）3。国际象棋。

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大多数88

2022-4-24 19:23:12

一个系统由国际象棋的名称产生，如下所示：棋子的状态是国际象棋棋盘上棋子的特定配置，以及两个棋手（“B”或“W”）下一步要绘制的信息。如果C是所有可能的国际象棋配置的集合，那么一个状态可以被描述为一对σ=（C，p）和C∈ C和p∈ {B，W}。以类似的方式，纸牌游戏在一个系统中占有一席之地，该系统描述了纸牌在玩家之间的可能分布，以及玩家下一步要移动的信息。经济交换经济的模型包括一组试剂和一组特定商品。给i探员的包裹∈ N是adata vectorb∈ RG，其中组件BG表示束b由良好的BGG单元组成∈ G.用B表示所有可能的束的集合。交换经济的状态现在用β：N图来描述→ B（或向量β∈ BN）该特定代理i的特定捆绑β（i）∈ B.与之密切相关的是对总体经济状况的描述。我们考虑一组经济统计数据。假设这些统计数据在给定时刻取数值，相应的经济状态由数据向量给出∈ 重新保存统计值是其组成部分。决定。在一般的微分系统d中，我们得到一个集合N={N，N，…}假设每个代理∈ N必须对给定的类型做出决定，也就是说，我们假设N必须在其“决策集”Di中选择一个元素。n i的联合决定是一个向量d=（d，d，…）=|i∈ N）∈ D×D×··=易∈NDI描述了集合N的决策状态。在博弈论的背景下，代理人的决策通常对应于从某些可行的策略集合中选择策略。决策系统无处不在。

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2022-4-24 19:23:18

例如，在交通情况下，N可以是一组想要从个人出发点到个人目的地旅行的人。假设每个人我都从一组可能的Pip中选择了一条路径Pi。然后是16-1的状态。现实世界的数学模型相关的交通系统是N组成员的路径的有限选择π，我们是一个具有路径值分量的数据向量：π=（π| i∈ N） .4。GamesA gameΓ包含一组代理（或玩家）和一个系统的相对人，该系统与该游戏有关。一个具体的游戏实例γ从一些初始状态σ开始，并考虑移动的等式，即状态转移σt→ σt+1根据Γ的规则是可行的。在t步之后，系统从状态σ演变为一系列（可行的）运动σ中的状态σ→ σ→ . . . → σt-1.→ σt。我们指的是相关序列γt=σσ····∑t-1σt表示时间t时Γ的阶段，并用（8）Γt={γt|t是时间t时Γ的可能阶段}表示t步后所有可能阶段的集合。如果游戏实例γ在阶段γt=σσ····∑t中结束，那么σ是γ的最终状态。值得注意的是，S中可能有许多st at e序列不一定是Γ的阶段，因为根据Γ的规则，它们是不可行的。这个非正式的讨论表明了如何从一个抽象的角度来定义一个一般的博弈：o一个博弈是一组具有∑∑··∑t性质的有限状态序列γ-1σt∈ Γ ==> σ∑··∑t-1.∈ Γ.成员们∈ Γ被称为Γ的阶段。因此，国际象棋将被抽象地定义为所有可能的合法国际象棋动作序列的集合。

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2022-4-24 19:23:24

然而，这个集合非常大，在计算上难以处理。在具体的实际情况下，博弈Γ的特征是一组规则，这些规则允许我们检查一个状态序列γ对Γ是否可行，也就是说，它属于那个潜在的巨大集合Γ。这些规则通常还涉及一组玩家（或代理人），这些玩家（或代理人）通过在时间t=0、1、2……的后续点上采取某些行动并做出某些选择来“影响”游戏的演化。。4.让我们在这一点上对“影响”的精确数学含义保持一点模糊。这将在以后的特殊游戏环境中变得清晰。例如，在国际象棋的一个例子中，一个人知道在给定的时间t，哪个棋手在移动。然后，这个棋手可以根据国际象棋规则，将系统从当前状态σtint确定地移动到下一个状态eσt+1。然而，许多游戏都涉及随机过程（如rollin gdice或shu f fling cards），其结果事先未知，因此玩家不可能确定地选择所需的后续状态。备注1.6。当一场比赛在时间t=0的状态eσ中开始时，通常不清楚它将在哪个阶段结束（或者是否结束）。目标和实用程序。游戏中的玩家通常有特定的目标，根据这些目标，他们试图影响游戏的发展。当然，一个严格的数学模型需要用数学术语清楚地表述这些目标。此类目标的一个典型例子是一组效用函数sui:Γ→ R（i）∈ N）它与每个p层i相关联∈ N实数ui（γ）∈ R为阶段γ后的效用值∈ Γ实现了。当然，它的预期效用对于玩家在游戏中的战略决策至关重要。我们用一个赌博的例子来说明这一点。例1.3。

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2022-4-24 19:23:31

考虑一个具有100欧元资本的玩家，在一个情境中，赌注可以放在一个（0, 1）值随机变量x的结果上，概率为p＝pr {x＝1 }，q= pr {x＝0 }＝1。- p、假设：o如果玩家在游戏中投资f欧元，并且事件{X=1}发生，玩家将获得2f欧元。在{X=0}事件中，投资f将丢失。问题：f的最佳投资金额是多少*对球员来说？要回答这个问题，请观察玩家下注后的总端口对开本是x=x（f）=100+f，概率p100- 为了这个例子，让我们假设游戏者有一个效用函数u（x），并希望s最大化x的预期效用，即效用函数（f）=p·u（100+f）+q·u（100）- f） .18.1。现实世界的数学模型让我们考虑两种情况：（i）u（x）=x和henceg（f）=p（100+f）+1（100- f）带导数eg′（f）=p- q=2p- 1.如果p<1/2，g（f）i在f中单调递减*= 这是最好的决定。在p>1/2的情况下，g（f）单调增加，因此，全投资f*= 100是最好的。（ii）u（x）=lnx和henceg（f）=p ln（100+f）+q ln（100-f）用导数eg′（f）=p100+f-q100- f=100（p- q）-f10000+f（0≤ F≤ 100).在这种情况下，g（f）单调增加直到f=100（p- q）然后单调递减。所以最好的投资选择是F*= 100（p- q）如果p≥ q、如果p<q，我们有100（p- q） <0。因此f*= 0将是最佳投资选择。不是贝尼。例1.3中效用函数u（x）=x的玩家在概率为p>1/2的情况下面临资本完全损失的风险。效用函数u（x）=lnx的玩家永远不会经历资本完全损失。例1.4。分析了效用函数u（x）=x的投资者在例1.3中的下注问题。

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2022-4-24 19:23:38

代表收益的效用函数通常是“凹”的，这意味着当参考量较小时，边际效用收益比参考量较大时更高。作为说明，假设u：（0，∞) → R是一个可微效用函数。然后导数u′（x）代表边际效用值atx。如果导函数为7，则u是凹的→ u′（x）随x.4单调减小。对数函数f（x）=ln x具有严格递减的导数f′（x）=1/x，因此是凹效用的一个（重要）例子。利润和成本。在专业游戏中，我假设玩家的目标是最大化他们的效用ui。在成本博弈中，人们试图尽可能地降低自己的效用。备注1.8。利润博弈和成本博弈的概念是密切相关的：与公用事业UIA的利润博弈在形式上等同于与公用事业ci的成本博弈=-用户界面。术语学。一个有N个玩家的游戏叫做N人游戏。如果N的基数为N=|N |，则N人博弈也被简化为N人博弈。两人游戏的特殊情况是基本的，我们将在后面看到。决策和战略。为了追查特工的身份∈ 在一场游戏中，经纪人可以从一系列策略中选择一种策略。联合战略选择=（si | i）∈ N）通常会影响游戏的发展。我们用一个著名的博弈论谜题来说明这种情况：例1.5（囚徒的伊莱玛）。

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2022-4-24 19:23:44

有两个代理A、B和数据矩阵（9）U=（uA，uB）（uA，uB）（uA，uB）（uA，uB）=(7, 7) (1, 9)(9, 1) (3, 3).A和B按照以下规则进行游戏：（1）A选择U的第i行和第j列。（2）选择（i，j）意味着A被“惩罚”的值为uaij，B被“惩罚”的值为uBij。这个双人游戏有一个初始标准σ和4个其他状态（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），对应于美国的四个参赛位置。代理商必须决定策略i，j∈ {1, 2}. 他们的j点决策（i，j）将把游戏从σ移动到最终状态σ=（i，j）。游戏在t=1时结束。那么，玩家A的效用就是价值uAij。B具有实用价值uBij。这种博弈通常被理解为一种成本博弈，即a和B的目标是最小化它们的效用。A和B应该最佳地做什么？即使玩家不是真正的“人”21。现实世界的数学模型备注1。9（囚犯的困境）。（9）yi eldsa版本中的效用矩阵U描述了所谓的囚徒困境，这是两名囚徒A和B的故事，他们可以单独“坦白”或“不坦白”他们共同被控的罪行。取决于他们的工作决定，他们可能会面临美国特有的监禁。他们的“困境”是：o无论他们做什么，至少有一个人最终会觉得做出了错误的决定。第22部分人物游戏2组合游戏从两个交替玩家的角度来看一般游戏。这方面揭示了游戏的递归特性。有限博弈是组合的。在正常的获胜规则下，组合博弈看起来就像广义数。例如，游戏代数允许人们明确计算nim游戏的获胜策略。1.

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2022-4-24 19:23:50

交替玩家让Γ成为在系统S上玩的游戏，并回忆说Γ代表了抽象意义上所有可能阶段的集合。假设Γ的具体实例开始于初始状态σ∈ 然后我们可以想象，游戏的进化是由两个“超级玩家”引起的，它们交替进行以下动作：（1）开始玩家选择一个阶段γ=σσ∈ Γ.（2）然后第二个玩家选择一个s tageγ=σσ∈ Γ.（3）现在又轮到第一个玩家实现下一个可行阶段γ=σ∑∈ Γ等等。（4）如果下一个移动的玩家找不到可行的扩展γt+1，游戏停止∈ Γ的当前阶段γt。这种观点允许我们将游戏的演化解释为所谓的交替两人游戏的演化。对于这样的博弈a，weassume（a）有一个集合G和两个P层L和R，以及一个初始元素G∈ G.（A）每G∈ G、有子集GL G和GR G.两组格兰·格林（A）是各自球员相对于G.24 2的选项集。组合游戏交替游戏A的规则是：（A）开始玩家选择与G相对应的选项。然后第二个玩家选择与G相对应的选项。现在第一个玩家可以选择与G相对应的选项，依此类推。（A）如果轮到Gt的玩家没有相对Gt的选项（即，相应的选项集为空），游戏将以Gt停止。例2。1（国际象棋）。国际象棋是一个明显的两人交替游戏的例子。它的停止规则（A）说，当一名玩家的王位被带走（“将死”）时，游戏结束。备注2.1。虽然国际象棋比赛总是以白棋手的一个动作开始，但请注意，我们还没有明确说明L或R是否是交替2人棋局的一般定义中的第一个棋手。这个规定将在以后的递归分析中提供必要的灵活性。2.

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2022-4-24 19:23:56

递归上述两人交替游戏A有一个递归结构：（R）可行的移动G→ 玩家的G′将当前的游戏简化为一个新的交替2人游戏，初始元素为G′。为了让这一点在概念上更清晰，我们将p层L和R相对于G的选项表示为（10）G={GL，GL，|GR，GR，…}把G想象成一个G游戏的（递归）描述，它可能被L简化为一个游戏gli，或者被R简化为一个游戏GLj，这取决于谁在移动。3.组合游戏253。组合对策考虑了递归形式（10）的g 2人对策：g={GL，GL，…|GR，GR，…}。通过| G |表示G中可能的后续动作的最大值，我们说G是一个组合对策，如果|G |<∞,i、例如，如果G保证在一定数量的移动后停止（无论玩家从哪个开始）。显然，所有的选项和GRjof G也必须成为组合游戏：|G |∞ ==> |GLi |，|GRj |≤ |G|- 1 < ∞.例2.2（国际象棋）。根据国际象棋的标准规则，国际象棋并不是一种组合游戏，因为棋手可以在一段时间内来回移动棋子，从而创造出一个永无止境的移动序列。在实践中，国际象棋有一个额外的规则，可以确保一致性，从而使其具有组合性（在上述意义上）。例如，计时时钟的使用限制了移动的次数。例2.3（Nim）。nim游戏G=G（N，…，Nk）有两个交替的布局，并从有限集合和成对不相交集合N，…，的初始配置开始，Nk。玩家的动作：o选择其中一组，sa y Nj，并从Nj中移除一个或多个元素。显然，在e上有| G（N，…，Nk）|≤ |N |+…+|Nk<∞. 所以尼姆是一个组合游戏。例2.4（青蛙）。有固定的数字n和k，两只青蛙L和R位于艺术的位置。

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大多数88

2022-4-24 19:24:02

一只青蛙的动作包括向另一只青蛙跳跃至少1个但不超过k个位置：L→ o o o···o o o ←青蛙不能互相跳过。很明显，游戏在最多n步后结束。nim的一个流行版本是从四个集合N，N，N，Nof碎片（卵石或棋子等）开始的，带有|N |=1、|N |=3、|N |=5和|N |=7个元素2。组合游戏标记2.2。Ex.2.4中的青蛙游戏可以理解为一个有额外移动限制的游戏。最初，有一个包含元素的集合N（对应于分离青蛙的位置）。玩家必须移除至少1个但不超过k个元素。创造组合游戏。所有组合游戏的R类都可以系统地创建。我们首先观察到，确实存在一个|g |=0的组合游戏g，即gameO={······}，其中没有玩家可以移动。回忆一下，furt hermore，所有选项都必须满足|G |=t的游戏G≤ T- 1和| GR |≤ T- 1.所以我们可以想象R是在一个永无止境的过程中被“创造”出来的：第0天：游戏O={·|··}被创造出来并产生R={O}。第一天：游戏{O |·}，{·| O}，{O | O}被创建，一个人获得所有组合游戏G与|G |的类R={O，{| O}，{O |O}≤ 1.第2天：完成Ris选项组合游戏类的创建。这些游戏包括已经出现的游戏和新游戏{·|{O |·}、{·|{O |·}、{·|{···}。{O |{O |·}，{O |{O |··}，{O |···························。{O，{·| O}{O |·}，{O，{O |··}{O，{O |·································。{O，{·| O}{O |·}。。。。第t天：所有这些组合游戏G和Rt选项的课堂-它被创造出来了。所以有一个是R R . . . Rt . . . 安德烈=R∪ R∪ . . . ∪ Rt∪ . . .例2.5。

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2022-4-24 19:24:09

组合博弈的数量迅速增长：（1）列出R中的所有组合博弈。（2）认为在第3天的第四天，有超过6000个组合博弈存在（见例2.6）。获胜策略27EX。2.6 . 显示rt=| rt |以超指数速度增长：rt>2rt-1（t=1，2，…）（提示：具有n=|S |元素的有限集S包含2个子集。）4.制胜策略组合游戏的开始是L或R第一步。这是第一个玩家。另一个玩家是第二个玩家。两人交替比赛的正常获胜规则是：（NR）如果一名球员∈ {L，R}无法移动，玩家i已失败，另一名玩家被宣布为赢家。例如，国际象棋比赛是按照正常规则进行的：国王的失败意味着比赛的失败（见例2.1）。备注2.3（错误）。米斯厄尔规则宣布没有移动的玩家是游戏的赢家。对于球员i来说，一个获胜的策略是一个移动（可选）选择规则，以确保我成为赢家。定理2.1。在任何组合游戏G中，第一个或第二个玩家都有一个整体获胜策略。证据我们用数学归纳法证明了这个定理。在t=0的情况下，我们有g=O={·|·}。因为第一个玩家在O中没有移动，第二个玩家在正常游戏中自动成为赢家，因此有一个简单的赢家策略。根据米斯规则，第一名玩家获胜。现在假设t≥ 1并且该定理适用于t天创建的所有游戏- 1或之前。考虑G中的rST播放器，并确保它是R.（L的参数将完全一样）！如果R没有选择权，在正常比赛中，L是宣布的赢家，而R是宣布的失利比赛中的赢家。

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能者818

2022-4-24 19:24:16

不管怎样，G都有一个肯定的赢家。如果选项存在，归纳假说认为，R的每个选项都会导致一种情况，即第一个或第二个玩家都会有赢家策略。28 2. 组合游戏如果（在l east）有一个选项GR，第二个玩家作为赢家，RCA可以选择这个选项并作为GR中的第二个玩家获胜。另一方面，如果所有的o f R选项都以第一个玩家作为赢家，则没有什么可以阻止l获胜。所以最初的第二名球员L有一个赢得比赛的总体策略。请注意，定理2.1的证明在以下意义上是有建设性的：（1）玩家i以v（Gi）=+1标记所有选项Giin G，将i作为赢家，并设置v（Gi）=-1否则。（2）玩家i遵循策略移动到v值最高的选项。（3）如果一个成功的策略对我来说是存在的，那么策略（2）对我来说就是一个胜利的策略。然而，读者必须注意。在现实生活中，制胜策略的具体组合可能是一项非常困难的任务，例如2.7（德布鲁因的游戏）。两个p层选择一个自然数n≥ 写下自己所有的数字1，2，3，N- 游戏者的一个动作是将其中一个数字s与它的所有（适当或不适当）除数连在一起，直到出现为止。请注意，在非正规比赛中，第一名球员的获胜策略是存在的。事实上，如果第二个玩家有“1”，第一个玩家可以在第一步删除“1”，然后（现在是第二个玩家）使用该策略并获胜。遗憾的是，目前还没有一种计算获胜策略的切实有效的方法。备注2.4。如果国际象棋是用统一规则下的，那么两个棋手中的一个就有一个获胜的策略。不幸的是，我们不知道它长什么样。

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2022-4-24 19:24:23

甚至不知道哪名球员是潜在的保证赢家。4.1. 练习打球。虽然获胜策略原则上可以计算（见定理2.1的证明），但许多游戏的组合结构非常复杂，即使是今天的计算机也无法有效地执行计算。5.博弈代数29在实践中，一个玩家我将按照以下v-贪婪策略进行：（vgi）分配一个质量估计v（Gi）∈ 选择所有选项，然后选择v值最高的选项。质量评估v不一定由游戏的绝对值来确定，但可能会反映以前的经验和其他考虑因素。一旦质量指标被认为是“合理的”，那么期望游戏按照与这些指标相关的贪婪策略发展或许是很自然的。例2.8。一种流行的经验法则评估p层W的国际象棋配置σ的质量，例如，通过将数字权重v分配给棋盘上的白色棋子。例如：v（兵）=1v（主教）=3v（骑士）=3v（城堡）=4.5v（女王）=9。式中，v（σ）是白色棋子的总重量，一个v-贪婪的玩家将选择一个最大值v（σ）的配置σ。（当然，球员B也可以对黑色棋子进行类似的评估。）5.博弈代数对于本章的其余部分，我们将（除非另有明确说明）假设：o所考虑的组合自然博弈是按照正常的获胜规则进行的。组合对策的集合R有一个代数结构，允许我们将对策视为广义数。本节将简要介绍这个想法。此外，国际象棋计算机程序也遵循这一理念（更多），在高度推荐的论文《J.H.康威，关于数字和游戏》中可以找到更多。A.K.彼得斯，2000年3月2日。组合博弈论。我们首先定义gameG={GL，GL。

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何人来此

2022-4-24 19:24:30

.| GR，GR，…}∈ 比赛开始了(-G）球员L和R交换角色：L扮演“右t”，R扮演“左”球员。所以我们递归地得到了否定对策-O=O-G={-GR，-GR.|-德国劳埃德船级社，-GL，…}如果G6=O，也-G是一个组合博弈，在e上有代数规则G=-(-G）。附加游戏G和H的总和G+H是一个玩家i∈ {L，R}可以选择在G或H上玩。这意味着ati选择G中的一个选项或H中的一个选项，并相应地将游戏还原为G+H或G+Hi。请读者验证进一步的代数规则：G+H=H+G（G+H）+K=G+（H+K）G+O=G- H=G+(-H）。例2.9。第二名选手赢得G- G在正常的游戏中，使用非凡的策略：o模仿第一个玩家的每一个动作。当第一名玩家选择Giin G选项时，第二名玩家将回答该选项(-Gi）在(-G）等等5.1。合作游戏。受Ex.2.9的启发，我们说组合对策G和H是全等的（符号：“G≡ H”）如果（C）G-H由第二名选手（在正常比赛中）获胜。博弈代数，尤其是G≡ O表示G被第二个玩家赢了。定理2。2（同余定理）。为了所有的G，H，K∈ R有：（a）如果G≡ H、然后H≡ G.（b）如果G≡ H、然后G+K≡ H+K.（c）如果G≡ H和H≡ K、 THEN G≡ K.证据。com变异性规则（a）的验证留给读者。为了看到（b）是真的，我们考虑GAMM＝（G+K）。- （H+K）=G+K-H- K=（G）- H） +（K）-K）。游戏K-K总是能被第二个玩家赢（例2.9）。因此，如果第二个玩家能够赢得G- H、显然，M也是：o第二个玩家可以将各自的获胜策略应用于G-H和K- 传递性规则（c）的证明是相似的。

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