IFemodel（分别具有“最佳”因子数和一个因子）在IR和SR标准方面优于现有模型，后者通常用于衡量表3：样本外预测的结果。“FE”和“IFE”分别指与具有固定效应的模型和具有交互固定效应的模型相关的结果。对于IFE模型，“最优”是指在每次估计中使用信息标准（2.19）选择因素数量时的结果。因子数平均值（%）标准IR生存率114.92 11.56 1.29 1.262 15.98 13.82 1.16 1.133 13.38 13.40 1.00 0.974 13.61 12.82 1.06 1.035 13.84 12.61 1.10 1.07最佳16.11 12.331.31 1.28BL 9 10.46 0.94 0.90FE 8 10.27 0.83 0.80EW 13.35 15.36 0.87 0.84CM24。54、19.96、1.23、1.21的投资组合表现（例如，Pelger和熊，2021；恩格尔等人，2019）。总的来说，新提出的框架具有相当好的性能。最后，我们承认当前实证研究的局限性。例如，如Bernanke等人（2005）所述，可以对非可观测因素采用VAR结构，并进一步研究脉冲响应和最佳滞后数。此外，还可以进一步指导对具有正收益的高概率URNs的惩罚估计，这桥接了二元响应模型的文献（例如，陈、Fern n ANDEZ Val和WiDENA，2021；王，20 20）和高维协方差矩阵估计的文献（例如，FANE等人，2013）。为了不偏离我们的主要目标，我们在目前的研究中不追求这些结果。5结论在本文中，我们研究了具有交互固定效应的异质面板数据的二元反应模型，允许横截面维度和时间维度发生变化。

从建模的角度来看，我们的设置与Boneva和Linton（20 17）相似，但我们不需要回归器的特定结构，这允许我们避免在回归器的数量和不可观察因素的数量之间设置任何限制。我们的调查建立了最大似然估计和最小二乘法之间的联系。因此，Bai（2009）和Moon及Weidner（2015）中提供的识别限制很容易应用于二元响应模型，且具有非常小的差异。我们进一步建立了不可观测f因子及其载荷的渐近分布，这可以被视为Bai和Ng（2013）中建立的二元响应对应物。此外，我们还提供了一个简单的信息标准来检测因素的数量。最后，我们进行了深入的数值研究，以检验新提出的模型和方法的有限样本性能，并证明其实际相关性。从实践角度来看，fra方法可用于预测公司破产概率（Caggiano et a l.，2014），进行信用评级分析（Jones et al.，201 5）等。继Christo Offersen and Diebold（2006）和Nyberg（2011）之后，在实证研究中，我们着重于股票收益的符号预测，然后利用符号预测的结果进行投资组合分析。通过实施滚动窗口抽样预测，证明了本文的实用性。在未来的工作中，考虑一个网络模型可能会很有趣，比如Yan等人（2019）和Dzemski（2019）中考虑的网络模型。我们结合了一个类似Lemme2的结果。1可以简化渐近发展。此外，一个具有稀疏系数的高维模型，如Chu等人的模型。

（201 1）也值得调查。Acknowl edgement sGao承认澳大利亚研究委员会发现资助计划的财政支持，资助编号为DP170104421和D P200102769。Peng感谢澳大利亚研究委员会发现资助计划在资助号DP210100476下提供的财政支持。参考Sahn，S.C.和Hor enstein，A.R.（20 13），“因子S数量的特征值比率检验”，计量经济学81（3），1203-1227。Altman，E.I.（1968），“财务比率、判别分析和企业银行景气预测”，《金融杂志》23（4），589-609。Ando，T.和Bai，J.（2017），“金融时间序列数量的聚类：具有高维预测因子和因子结构的面板数据方法”，《美国统计学会杂志》112（519），1182–1198。Ando，T.和Bai，J.（2020），“金融市场中的分位数协动：具有未观察到的异质性的面板分位数模型”，美国统计协会杂志115（52 9），266–279。Ando，T.和Lu，L.（2020），一个具有未观察到的异质性的空间面板分位数模型。工作文件可在https://ssrn.com/abstract=3516306.Bai，J.（2009），“具有互动固定效应的面板数据模型”，计量经济学77（4），1229–1279。Bai，J.和Ng，S.（2002），“在近似因子模型中确定因子的数量”，计量经济学70（1），191-221。Bai，J.和Ng，S.（2013），“静态因素的主成分估计和识别”，经济计量学杂志176（1），18–9。伯南克，B.S.，博伊文，J.和埃利亚兹，P.（2005），“货币政策影响的评估：因子增强向量自回归（FAVAR）评估”，经济学季刊120（1），387–422。博尼娃，L.和林顿，O。

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附录A.2 p提供了一些在推导过程中反复使用的符号。附录A.3关于如何进行偏差校正的评论。阿彭·迪克萨。4.提供了平均部分效应的结果。最后，我们在附录A.5中展示了Th eorem 2.1的p屋顶。由于空间的限制，我们将省略定理和前置引理的证明及其证明调整到本文的在线补充附录B中。A.1理论发展概述我们首先概述了论文的理论发展策略。在引理2.1中，我们使用泰勒展开来研究对数似然函数。通过这样做，我们能够在极大似然估计和线性最小二乘法之间建立联系。因此，Bai（2009）和Moon and Weidner（2015）中提供的识别限制（例如，Bai（2009）第1264页上的术语（β，F）的条件）很容易应用于线性响应模型，只需进行非常小的修改。然后，它立即产生了Lemma 2.2的一致性。之后，我们进一步建立了引理2的前两个结果的一致性。3.有一些温和的限制。然后，我们研究对数似然函数的一阶条件，并研究Hessian矩阵，以进一步推导与不同参数相关的速率。结果在引理2.3的第三和第四个结果中给出。在研究了收敛速度之后，前导项变得清晰，因此我们相应地建立了渐近d分布（即定理2.1）。定理2.2和定理2.3可视为上述发展的延伸。A.2符号我们将介绍一些符号，以促进开发。在下文中，O（1）始终代表一个常数，并且在每次出现时可能会有所不同。回想一下B=（β，…，β0N）′，F=（F。

，f0T′，Γ=（γ，…，γ0N′，θ0i=（β′0i，γ′0i′，和Θ=（B，Γ=（θ，…，θ0N）\'）。此外，请再次说明OhmUOhmγ和Ohmuγ已在（2.12）中定义。在推导过程中，我们进一步定义了（B，）的是（B，）的是（θ，，，θ，θN）的是（β′i，γ′i）的。在推导过程中，我们进一步定义了（B，我们，我们，我们是：920）的是（B，我们，我们，我们是（B，我们，我们，我们，我们，我们，我们进一步定义）是：920V=（θ（θ）是（θ（θ，我们，我们，我们是，920V=，（θ，，，920V=，（θ，，，，，，，，，，，，920）0v=，（θ（θ。简单代数表明 对数L（Θ，F）Θv=vec 对数L（Θ，F）θ, ··· , 对数L（Θ，F）θN, 对数L（Θ，F）Fv=vec 对数L（Θ，F）f、 ·····························， 对数L（Θ，F）英尺,哪里 对数L（Θ，F）θi=TXt=1[yit- Gε（zit）]Gε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uit， 对数L（Θ，F）ft=NXi=1[yit- Gε（zit）]Gε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）γi.对数似然函数的第二阶导数如下。对数L（Θ，F）ΘvΘ′v=diag对数L（Θ，F）θθ′, . . . ,对数L（Θ，F）θNθ′N,对数L（Θ，F）FvF′v=diag对数L（Θ，F）Ff′，对数L（Θ，F）英尺f\'T,对数L（Θ，Fv）ΘF′v=对数L（Θ，F）θif\'tN（dβ+df）×T df，其中对数L（Θ，F）θiθ′i=-TXt=1[gε（zit）][1- Gε（zit）]Gε（zit）uitu\'it，+TXt=1（[yit- Gε（zit）[G（1）ε（zit）Gε（zit）（1）- Gε（zit））+[Gε（zit）]（1- 2Gε（zit））[1- Gε（zit）[Gε（zit）]uitu′it，对数L（Θ，F）英尺f′t=-NXi=1[gε（zit）][1- Gε（zit）]Gε（zit）γiγ′i，+NXi=1（[yit- Gε（zit）[G（1）ε（zit）Gε（zit）（1）- Gε（zit））+[Gε（zit）]（1- 2Gε（zit））[1- Gε（zit）[Gε（zit）]γiγ′i，对数L（Θ，F）θif′t=-[gε（zit）][1- Gε（zit）]Gε（zit）uitγ′i，+[yit- Gε（zit）[G（1）ε（zit）Gε（zit）（1）- Gε（zit））+[Gε（zit）]（1- 2Gε（zit））[1- Gε（zit）[Gε（zit）]uitγ′i.A.3关于偏置校正为了简单起见，我们让β0i≡ β、 然后关注定理2.2的第三个结果。通过Theorem2的证明。1，我们可以得到Bβ- β=NTNXi=1TXt=1[yit-Gε（zit）]Gε（zit）∑（dβ）u，i[1- Gε（zit）]Gε（zit）uit+TBias+NBias:=NTNXi=1text=1wit+TBias+NBias，其中wit的定义很明显，偏差=OP（1），偏差=OP（1）。

为了简单起见，我们省略了这两个有偏项的详细公式，这两个项也与Chen、Fern’andez Val和Weidner（2021）中的类似。我们现在解释如何应用半面板刀切技术来消除渐近偏差。该技术最初在Dhaene和J ochmans（2015）中提出，并在Fern’andez Val和Weidner（2018）和d Chen、Fern’andez Val和Weidner（2021）中进行了进一步讨论。以下方法可被视为Chen、Fern’andez Val和Weidner（2021）的修正版本，因为我们需要考虑沿时间维度的自然顺序，还希望允许或可能随时间平滑过渡（即沿时间维度的某些异方差）。例如，虽然我们对ft施加了混合条件，但实际上可以通过假设F′F来放松这些条件→P∑f，（A.1），它允许随时间的异方差。因此，我们考虑以下程序。首先，在不损失一般性的情况下，让N为偶数，并将个体随机划分为两个新的集合，并对横截面维数进行分析∩S=, s∪ S={1，…，N}，和S=S=N，在哪里sjf代表sjj=1，2的基数。对于时间维度，我们还创建了另外两个新集合：Sodd={t∈ [T]和T是奇数}和7={T∈ [T]和T是偶数。请注意，使用偶数和奇数指数分割时间点，使我们能够保留数据沿时间维度的行为，从而允许某些异方差（例如，Gao等人，2020）。然后，我们将偏差校正估计器定义如下。bβbc=3bβ- （bβS+bβS+bβSodd+bβSeven）/2，（A.2）其中bβSl是使用S获得的l{1，…，T}l = 使用{1，…，N}中的样本获得1,2和BβSODD和BβSEVENA Soddand{1，…，N}七个分别。我们现在简要地解释一下（A.2）为什么有效。

写√NT（bβbc）- β) = 3√NT（bβ- β) -√p（N/2）T（bβS）- β) -√p（N/2）T（bβS）- β)-√pN（T/2）（bβ-Sodd）- β) -√pN（T/2）（bβ7）- β).直接计算表明√NT（bβbc）- β） =n√NTNXi=1text=1wit- 3rNTBias-3rTNBias-√p（N/2）TXi∈STXt=1wit-rN/2T偏差-sTN/2Bias-√p（N/2）TXi∈STXt=1wit-rN/2T偏差-sTN/2Bias-√pN（T/2）NXi=1Xt∈索德维特-sNT/2Bias-rT/2N偏差-√pN（T/2）NXi=1Xt∈塞文威特-sNT/2Bias-rT/2NBias！o=n√NTNXi=1text=1wit-rNT3偏见-偏见-偏见- 偏见- 偏见-rTN3偏见- 偏见- 偏见-偏见-偏见o=√NTNXi=1text=1wit。因此，偏见消失了。A.4平均部分效应我们现在考虑基于二元模型（2.1）的平均部分效应（APE）估计。Letxit，kandβ0i，kbe分别是xit和β0i的K元素。Yitc的条件概率的样本版本可定义为i、 k=TTXt=1g（zit）β0i，k。利用第2节的（bB，bF，bΓ），我们可以估计我=(i、 1，i、 dβ′）如下所示。Bi=TTXt=1g（bzit）bβi。那么下面的结果立即成立。引理A.1。在假设1-3下，as（N，T）→ (∞, ∞), 马克西≥1kb我- ik=oP（1）。以类似于定理2.2的方式，可以建立B的渐近正态性i在附加条件下。由于这不是本文的主要关注点，我们不再对其进行进一步研究，并请感兴趣的读者参考Chen、Fern’an dez Val和Weidner（2021）对体育的广泛讨论。A.5定理2.1的证明定理2.1的证明：（1）我们已经建立了Bθiandbftin引理2.3的一致性，由于页面限制，其证明在联机补充附录B中提供。在假设4中，通过对误差项的弱横截面相关性和时间序列相关性的附加条件，我们可以建立√T-bθi的一致性√这个定理的N-一致性。回想一下bΘv=（bθ′，··，bθ′N′）和bfv=（bf′，··，bf′T′）。

在引理2.3的证明中，我们可以遵循类似的论点，来证明单个估计量sbθiandbft:kθi的以下收敛速度- θ0ik=OP√N∧√T, kbft- f0tk=OP√N∧√T. （A.3）对于每个i=1，N和t=1，T因此，我们需要进一步证明kθi-θ0ik=OP√T和kbft-f0tk=OP√N.首先，回想一下，我们有附录A.2中定义的对数似然函数的最新导数。我们首先推导出bβi中的主导项- β0ifrom 对数L（Θ，F）θi.对于 对数L（Θ，F）θi，扭转条件意味着0=TTXt=1[yit- Gε（bzit）]Gε（bzit）[1- Gε（bzit）]Gε（bzit）buit=TTXt=1耶- Gε（zit）gε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uit+TTXt=1（[yit- Gε（bzit）]Gε（bzit）[1- Gε（bzit）]Gε（bzit）buit-耶- Gε（zit）gε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uit）：=a1ti+a2ti，（A.4），其中A1T主要取决于zit和uit的统计行为。现在我们继续2ti，对于2ti，我们有2ti=TTXt=1a-1ita*2，it+TTXt=1（a+-1它- A.-1）a*2，it，=a3ti+a4ti，（A.5），其中ait=[1- Gε（zit）[Gε（zit）]，a+it=[1- Gε（zit）]Gε（zit）[1- Gε（bzit）]Gε（bzit），a*2.it=[yit]-Gε（bzit）]Gε（bzit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）buit-[耶- Gε（zit）]G（zit）[1- Gε（bzit）]Gε（bzit）uit。其中，ait是实值zit的函数，因此我们对a的收敛性感兴趣*2、它和一个+它。

我们通过查看*2、它和书写*2，它=-[Gε（bzit）- Gε（zit）]Gε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uit+[yit- Gε（zit）[Gε（bzit）- gε（zit）][1- Gε（zit）]Gε（zit）uit+[yit- Gε（zit）]Gε（zit）[Gε（bzit）- Gε（zit）]Gε（zit）uit-[耶- Gε（zit）]Gε（zit）[1- Gε（zit）[Gε（bzit）- Gε（zit）]uit+[yit- Gε（zit）]Gε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）（buit- （美国）-[Gε（bzit）- Gε（zit）[Gε（bzit）- gε（zit）][1- Gε（zit）]Gε（zit）uit-[Gε（bzit）- Gε（zit）]Gε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）（buit- uit）+[yit- Gε（zit）[Gε（bzit）- gε（zit）][1- Gε（zit）]Gε（zit）（buit- uit）+[yit- Gε（zit）]Gε（zit）[Gε（bzit）- Gε（zit）]uit-[Gε（bzit）- Gε（zit）[Gε（bzit）- gε（zit）][1- Gε（zit）]Gε（zit）（buit- uit）：=a（1）*2，it+··+a（10）*2.it，其中a的定义（1）*2，itto a（10）*这是显而易见的。下面，我们逐一检查右手边的术语。a（1）*2，它由泰勒展开式写成（1）*2，它=-gε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uit（bzit- 青春痘）-g（1）ε（˙zit）gε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uit（bzit- 青春痘）：=a（1）*21，it+a（1）*22.它，其中˙zit位于BZit和zit之间，以及a（1）的定义*21、itand a（1）*22.这是显而易见的。注意，对于a（1）*21，it，我们有text=1a-1ita（1）*21，它=-TTXt=1gε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uit（bzit- 青春痘）=-TTXt=1gε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uitx′it（bβi- β0i）-TTXt=1gε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uit（bγ′ibft- γ′0if0t）=-TTXt=1gε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uitu0′it（bθi- θ0i）-TTXt=1gε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uitγ′0i（bft-f0t）-TTXt=1gε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uit（bγi- γ0i′（bft）- f0t）=-TTXt=1gε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uitu0′it（bθi- θ0i）-TTXt=1gε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uitγ′0i（bft-f0t）+OPN∧ T,最后一个平等的地方，因为TTXt=1gε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uit（bγi- γ0i′（bft）- f0t）≤ kbγi- γ0ik×（TTXt=1gε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uit)·（TTXt=1bft- f0t)= 操作N∧ T,其中我们使用了柯西-施瓦兹不等式和引理2.3。

此外，通过引理2.3和（A.3），我们得到了ttxt=1gε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uitu0′it（bθi- θ0i）=∑u，i（bθi- θ0i）+OPp（N）∧ T）T！。因此，我们得到TTxt=1a-1ita（1）*21，它=-∑u，i（bθi）- θ0i）-TTXt=1gε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uitγ′0i（bft- f0t）+OPN∧ T. （A.6）对于A（1）*22，it，TTXt=1a-1ita（1）*22，它=-TTXt=1g（1）ε（˙zit）gε（zit）2[1]- Gε（zit）]Gε（zit）uit（bzit- 青春痘）=-TTXt=1g（1）ε（˙zit）gε（zit）2[1]- Gε（zit）]Gε（zit）uit（u0′it（bθi- θ0i）+γ′0i（bft）- f0t）+（bγi- γ0i′（bft）- f0t））=-TTXt=1g（1）ε（˙zit）gε（zit）2[1]- Gε（zit）]Gε（zit）uit（u0′it（bθi- θ0i）-TTXt=1g（1）ε（˙zit）gε（zit）2[1]- Gε（zit）]Gε（zit）uit（γ′0i（bft- f0t）-TTXt=1g（1）ε（˙zit）gε（zit）2[1]- Gε（zit）]Gε（zit）uit（（bγi- γ0i′（bft）-f0t））+相互作用项。（A.7）对于（A.7）右边的相互作用项，我们可以通过柯西-施瓦兹不等式证明它们在概率上受前三项的限制。因此，省略了对它们概率顺序的证明。我们现在逐一考虑前三个术语。第一学期，TTXt=1g（1）ε（˙zit）gε（zit）2[1]- Gε（zit）]Gε（zit）uit（u0′it（bθi- θ0i）≤TTXt=1g（1）ε（˙zit）gε（zit）2[1- Gε（zit）]Gε（zit）uit· 库伊特· kbθi- θ0ik=OPkbθi- θ0ik, （A.8）假设3中的等式成立。对于（A.7）右侧的第二项，TTXt=1g（1）ε（˙zit）gε（zit）2[1]- Gε（zit）]Gε（zit）uit（γ′0i（bft- f0t）≤ OP（log（nt））·TTXt=1kbft- f0tk=OP日志（NT）N∧ T, （A.9）假设3中的不等式成立，引理2.3中的等式成立。对于（A.7）右边的第三项，根据假设3和引理2.3，TTXt=1g（1）ε（˙zit）gε（zit）2[1]- Gε（zit）]Gε（zit）uit（（bγi- γ0i′（bft）- f0t）≤ OP（log（NT））·kbγi- γ0ik·TTXt=1kbft- f0tk=oP日志∧ T. （A.10）由（A.8）、（A.9）及（A.10）取代，TTXt=1a-1ita（1）*22，它=-TTXt=1g（1）ε（˙zit）gε（zit）2[1]- Gε（zit）]Gε（zit）uit（bzit- 青春痘）=OP日志（NT）N∧ T.

（A.11）通过（A.6）和（A.11），我们得到了text=1a-1ita（1）*2，它=-∑u，i（bθi）- θ0i）-TTXt=1gε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uitγ′0i（bft- f0t）+OP日志∧ T. （A.12）在获得A（1）中的前导项后*2，它，我们继续（2）*2.它。a（2）*通过泰勒展开，我们得到了一个（2）*2.it=[yit]- Gε（zit）]G（1）ε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uit（bzit- 青春痘）+[yit- Gε（zit）]G（2）ε（¨zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uit（bzit- 青春痘）：=a（2）*21，it+a（2）*22.它，其中–zit位于BZIT和zit之间，以及a（2）的定义*21，itare a（2）*22.这是显而易见的。a（2）*21，it，writetText=1a-1 TA（2）*21，it=TTXt=1[是- Gε（zit）]G（1）ε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uit（bzit- zit）=TTXt=1[yit- Gε（zit）]G（1）ε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uitu0′it（bθi- θ0i）+TTXt=1[yit- Gε（zit）]G（1）ε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uitγ′0i（bft- f0t）+TTXt=1[yit- Gε（zit）]G（1）ε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uit（bγi- γ0i′（bft）- f0t）。（A.13）回想一下eit=yit-Gε（zit）[1-Gε（zit）]Gε（zit）。对于（A.13）中的第一个术语，请注意e“TTXt=1[yit- Gε（zit）]G（1）ε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uitu0′it#=0。此外，我们还有TTXt=1[yit-Gε（zit）]G（1）ε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uitu0′it≤ O（1）TTXt=1TXs=1E[kuitk·kuisk·E[eiteis | wit，wis]]≤cδTTXt=1TXs=1E库伊特·库伊斯·αⅡ（|t- s |）δ/（4+δ）Eh | eit | 2+δ/2 | Wi2/（4+δ）Eh | eis | 2+δ/2 | Wi2/（4+δ）= OT, （A.14）式中，cδ=（4+δ）/δ·2（4+2δ）/（4+δ），第二个不等式由α混合过程的达维多夫不等式（见Bosq，2012年第19-20页）和W={wit，i，t≥ 1} ，EIS是α-混合，因为ε是α-混合，在假设3下依赖于W，我们首先调用εi上的α-混合条件。最后一个等式由假设3中α-混合系数的矩条件和条件成立。

通过（A.14），TTXt=1[yit- Gε（zit）]G（1）ε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uitu0′it=OP√T,与（A.3）相关的结果是，ttxt=1[yit- Gε（zit）]G（1）ε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uitu0′it（bθi- θ0i）=OPp（N∧ T）T！。因此，我们知道（A.13）中的第一项是oP(√T） 。对于（A.13）中的第三项，由Lemm A 2.3，（A.3）和Cauchy-Schwarz不等式得出TTXt=1[yit- Gε（zit）]G（1）ε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uit（bγi- γ0i′（bft）- f0t）≤TTXt=1[耶- Gε（zit）]G（1）ε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uit· kbγi- γ0ik·（TTXt=1kbft- f0tk）=OPN∧ T.因此，我们有TTxt=1a-1 TA（2）*21，it=TTXt=1[是- Gε（zit）]G（1）ε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uitγ′0i（bft- f0t）+OPN∧ T. （A.15）对于A（2）*22，it，TTXt=1a-1 TA（2）*22，it=2TTXt=1[yit- Gε（zit）]G（2）ε（¨zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uit（bzit- zit）=2TTXt=1[yit- Gε（zit）]G（2）ε（¨zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uit（u0′it（bθi- θ0i））+2TTXt=1[yit- Gε（zit）]G（2）ε（¨zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uit（γ′0i（bft- f0t））+2TTXt=1[yit- Gε（zit）]G（2）ε（¨zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uit（（bγi- γ0i′（bft）- f0t））+相互作用项。（A.16）使用Cauchy-Schwarz不等式，我们可以证明相互作用项在概率上受（A.16）右侧前三项的限制。因此，我们只考虑前三项。回想一下，eit=-[耶-Gε（zit）][1-Gε（zit）]Gε（zit）。第一学期，2TTXt=1[yit- Gε（zit）]G（2）ε（¨zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uit（u0′it（bθi- θ0i）≤2TTXt=1keitk·kg（2）ε（¨zit）k·kuitk·kbθi- θ0ik≤2TXT=1ETT！TXt=1g（2）ε（¨zit）·库伊特！·kbθi- θ0ik=OP（kbθi- θ0ik）。（A.17）第二个不等式由假设3和柯西-施瓦兹不等式成立。与（A.17）类似，我们可以计算（A.16）右边第二项和第三项的概率阶，它们是OP日志（NT）N∧T和oP日志（NT）N∧T, 分别地因此，我们可以得到a（2）的以下结果*22.它。TTXt=1a-1 TA（2）*22，it=OP（kbθi- θ0ik）+OP日志（NT）N∧ T.

（A.18）由（A.15）及（A.18）取代，TTXt=1a-1 TA（2）*2，it=TTXt=1[yit- Gε（zit）]G（1）ε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uitγ′0i（bft- f0t）+OP（kbθi- θ0ik）+OP日志（NT）N∧ T.（A.19）在现阶段，我们获得了A（1）中的领先条件*2、itand a（2）*2.它。按照与这两个项类似的论证，我们可以导出a（3）的前导项*2、itand a（4）*2.它。因此，我们省略了证明，直接提供结果：TTXt=1a-1 TA（3）*2，it=TTXt=1[yit- Gε（zit）][Gε（zit）][1- Gε（zit）]Gε（zit）uitγ′0i（bft-f0t）+OP（kbθi- θ0ik）+OP日志（NT）N∧ T,TTXt=1a-1 TA（4）*2，它=-TTXt=1[yit- Gε（zit）][Gε（zit）][1- Gε（zit）[Gε（zit）]uitγ′0i（bft- f0t）+OP（kbθi- θ0ik）+OP日志∧ T.（A.20）对于A（5）*2，它，回想一下，我们有uit=（x′it，f′0t′）和buit=（x′it，bf′t′，我们得到了ttxt=1a-1 TA（5）*2，it=TTXt=1[yit- Gε（zit）]Gε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）（buit- uit）=TTXt=1[yit- Gε（zit）]Gε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）（0′dβ，（bft- f0t）′）。（A.21）对于A（6）*2，它由泰勒展开式写成（6）*2，它=-[Gε（bzit）- Gε（zit）[Gε（bzit）- gε（zit）][1- Gε（zit）]Gε（zit）uit=-gε（z+it）g（1）ε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uit（bzit- zit），其中z+Itan和z位于BZit和zit之间。然后通过L emma 2.3和（A.3），我们得到了ttxt=1a-1 TA（6）*2，它=-TTXt=1gε（z+it）g（1）ε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uit（bzit- zit）=OP（kbθi- θ0ik）+OPTkbF- Fk= 操作日志（NT）N∧ T. （A.22）带有A（7）的术语的推导*2，it，a（8）*2，it，a（9）*2、itand a（10）*它是类似的，我们可以通过泰勒展开式，艾玛2.3和（A.3）很容易地表示出来。因此，这些术语的详细证明被省略，我们在这里直接列出结果d：TTXt=1a-1ita（j）*2，it=OP（kbθi）-θ0ik）+OP日志（NT）N∧ T, （A.23）对于j=7,8,9,10。我们已经完成了这十个术语的所有推导*2.它和我们已经准备好将它们中的主要术语结合起来。

通过（A.12），（A.19），（A.20），（A.21），（A.22）和（A.23），我们得到了a3ti=TTXt=1a-1ita*2，它=-∑u，i（bθi）- θ0i）-TTXt=1gε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uitγ′0i（bft- f0t）+TTXt=1[yit- Gε（zit）]G（1）ε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uitγ′0i（bft- f0t）+TTXt=1[yit- Gε（zit）][Gε（zit）][1- Gε（zit）]Gε（zit）uitγ′0i（bft- f0t）-TTXt=1[yit- Gε（zit）][Gε（zit）][1- Gε（zit）[Gε（zit）]uitγ′0i（bft- f0t）+TTXt=1[yit- Gε（zit）]Gε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）（0′dβ，（bft- f0t）′）+OP日志（NT）N∧ T.然后我们用一个4T i.注意A+它- 美国在台协会=[1]- Gε（zit）]Gε（zit）[1 - Gε（bzit）]Gε（bzit）- [1 - Gε（zit）[Gε（zit）]= -[1 - Gε（zit）【Gε（zit）】【G（bzit）- G（青春痘）+[1- Gε（zit）]Gε（zit）[G（bzit）- G（青春痘）]-[1 - Gε（zit）]Gε（zit）[G（bzit）- G（青春痘）]。然后通过泰勒展开和引理2.3，TTXt=1（a+-1它- A.-1）a（1）*2，它=-TTXt=1a+-1ita-1它（a+它- 美国在台协会a（1）*2，它=-TTXt=1a+-1it[Gε（bzit）- Gε（zit）]Gε（zit）Gε（zit）uit+TTXt=1a+-1it[Gε（bzit）- Gε（zit）][1- Gε（zit）]Gε（zit）uit-TTXt=1a+-1it[Gε（bzit）- Gε（zit）]Gε（zit）uit+OPN∧ T= -TTXt=1a+-1itGε（zit）[gε（z+it）]gε（zit）uit（bzit- zit）+TTXt=1a+-1它[1- Gε（zit）[Gε（z+it）]Gε（zit）uit（bzit- 青春痘）-TTXt=1a+-1it[gε（z+it）]gε（zit）uit（bzit- 青春痘N∧ T= 操作N∧ T.根据类似的论证，我们可以用T表示静止项-1PTt=1（a+-1它-A.-1）a*2、订单OP的可执行性反弹N∧T. 因此，A4T i=OPN∧ T. （A.24）在完成关于A3T和A4T i的讨论后，我们导出了A2T i中的主导项，所有这些都依赖于BFT的收敛性- f0t。由于A1T只包含有助于CLT的实际值，我们将其留作进一步讨论。

通过（A.4），（A.5），（A.12）和（A.24），我们得到了bθi- θ0i=∑-1u，iA1T i-T∑-1u，iTXt=1gε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uitγ′0i（bft- f0t）+T∑-1u，iTXt=1[yit- Gε（zit）]G（1）ε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uitγ′0i（bft- f0t）+T∑-1u，iTXt=1[yit- Gε（zit）][Gε（zit）][1- Gε（zit）]Gε（zit）uitγ′0i（bft- f0t）-T∑-1u，iTXt=1[yit- Gε（zit）][Gε（zit）][1- Gε（zit）[Gε（zit）]uitγ′0i（bft- f0t）+T∑-1u，iTXt=1[yit- Gε（zit）]Gε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）（0′dβ，（bft- f0t）′）+OP日志（NT）N∧ T:= A5T i+···+A10T i+OP日志∧ T.我们可以用引理2.3的证明来证明这些项的收敛性。由于这些证明与Lemm a 2.3的证明类似，我们省略了一些重复的细节，以保留主要上下文的页面。我们继续推导A5T i。回想一下，我们有以下符号：Ohmu=diag（Δu，1，···，Δu，N），Ohmuγ，it=Ehgε（zit）[1-Gε（zit）]Gε（zit）uitγ′0ii，以及Ohmuγ是矩阵，其（i，t）-th块为Ohm是的。进一步设ζit=gε（zit）[1-Gε（zit）]Gε（zit）uitγ′0i- Ohmuγ和C4NTbe是矩阵，其（i，t）-th块为ζit。设Ii=（0dβ+df，··，I′dβ+df，··，0dβ+df）为N×1块矩阵，其第I块为（dβ+df）×（dβ+df）单位矩阵，其他块为（dβ+df）×（dβ+df）零矩阵。用这个符号，我们有一个i=-提伊Ohm-1uOhmuγ（bFv- F0v）-提伊Ohm-1uC4NT（bFv- F0v）=A11T i+A12T i。对于A11T i，由在线补充附录B，TI′i中的（B.64）决定Ohm-1uOhmuγ（bFv- F0v）=TI′iOhm-1uOhmuγ（PNT，1+··+PNT，6），（A.25），其中PNT，1。，PNT，6在（B.64）中定义。对于（A.25）右侧产品中的第一个术语，TI\'iOhm-1uOhmuγPNT，1=NTI′iOhm-1uOhmuγOhm-1γ· 对数L（Θ，F）Fv=NT∑-1u，iNXj=1TXt=1[yjt- Gε（zjt）]Gε（zjt）[1- Gε（zjt）]Gε（zjt）Ohmuγ，它Ohm-1γ0j=-NT∑-1u，iNXj=1TXt=1gε（zjt）Ohmuγ，它∑-1γ，tγ0jejt。首先，我们可以很容易地证明提伊Ohm-1uOhmuγPNT，1= 0

第二个时刻，E提伊Ohm-1uOhmuγPNT，1= O新界ENXj=1TXt=1gε（zjt）Ohmuγ，它∑-1γ，tγ0jejt= O新界NXj=1NXj=1TXt=1TXs=1E[kγ0jk·kγ0jk·| E[ejtejs | W]|]≤ OcδNTNXj=1NXj=1TXt=1TXs=1αjj（| t- s |）δ/（4+δ）Ekγ0jk·kγ0jk·Eh | eit | 2+δ/2 | Wi2/（4+δ）·Eh | eis | 2+δ/2 | Wi2/（4+δ）= O新界,式中cδ=（4+δ）/δ·2（4+2δ）/（4+δ）；第二个不等式由Davyd-ov关于α-混合过程的不等式成立，最后一个等式由假设3中的α-混合和矩条件成立。它立刻就产生了这种效果提伊Ohm-1uOhmuγPNT，1= 操作√新界. （A.26）类似地，我们可以这么说提伊Ohm-1uOhmuγPNT，2= 操作√新界,提伊Ohm-1uOhmuγPNT，3= 操作√新界. （A.27）我们可以在在线补充附录B的（B.60）、（B.62）和（B.72）证明中使用类似论点，以获得以下结果：提伊Ohm-1uOhmuγPNT，4= 操作√NTkbΘv- 920vk+ 操作TkbF- F0vk+ 操作NkbΘv- 920vk= 操作N∧ T, （A.28）提伊Ohm-1uOhmuγPNT，5= 操作TkbFv-F0vk+ 操作TkbF- F0vk+ 操作NkbΘv- 920vk+操作√NkbΘv- 920vk·√TkbFv- F0vk= 操作N∧ T, （A.29）和提伊Ohm-1uOhmuγPNT，6= 操作√新界+ 操作NkbΘv- 920vk+ 操作TkbFv-F0vk+操作√NkbΘv- 920vk·√TkbFv- F0vk= 操作N∧ T. （A.30）藉（A.25）、（A.26）、（A.27）、（A.28）、（A.29）及（A.30），A11T i=OPN∧ T. （A.31）对于A12T i，因为我们已经讨论了Ohm-1uC4NT（bFv- F0v）在Lemma 2.3的证明中，我们可以遵循在线补充附录B中（B.71）的证明中的类似论证，以表明A12T i=OP√新界+ 操作NkbΘv- 920vk+ 操作TkbFv- F0vk+操作√NkbΘv- 920vk·√TkbFv- F0vk= 操作N∧ T. （A.32）由（A.31）及（A.32）取代，A6T i=OPN∧ T. （A.33）对于A7T i。，A10T i，我们观察到它们与ti′i具有相同的概率顺序Ohm-1uC5NT（bFv-F0v）和ti′iOhm-1uC6NT（bFv-F0v）。与在线补充附录B中引理2.3的证明中的（B.71）类似，我们可以证明它们在概率上也是有界的N∧T.

因此，我们准备得出结论，bθi- θ0i=∑-1u，iA1T i+OP日志（NT）N∧ T. （A.34）通过（A.34），引理B.4和这个定理主体中的条件，定理2.1的证明。（1） 完成了。（2） 定理2.1的证明。（2） 类似于定理2.1。(1). 因此，这里省略了它。补充附录B“具有交互固定效应的异质面板数据的二元响应模型”Jiti Gao, 刘飞*, 彭斌还有Yayi Yan莫纳什大学*南开大学作为补充文件，附录B.1给出了定理2.2和定理2.3的证明。引理2.1-2.3和引理A.1的证明见附录B.2。附录B.3总结了一些次要结果。附录BB。1定理2.2和定理2.3的证明定理2.2的证明：从方程（A.34）可以得出Bβi- β0i=TTXt=1[yit-Gε（zit）]Gε（zit）∑（dβ）u，i[1- Gε（zit）]Gε（zit）uit+OPN∧ T, （B.1）式中，∑（dβ）u，i对应于∑的前dβ行-因此，我们没有nxi=1bβi- β0i=NTTXt=1NXi=1[yit- Gε（zit）]Gε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）∑（dβ）u，iuit+OPN∧ T=NTTXt=1NXi=1[yit- Gε（zit）]Gε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）∑（dβ）u，iuit+OPN∧ T, （B.2）其中zit=x′itβ0i+λ′0ift。进一步注意，β0i=β+OPNα作为N→ ∞.为了建立定理2.2中每种情况的不对称分布，我们需要处理以下偏差项：√tnαN∧ T=最大值√TN1-α、 Nα√T（B.3）我们现在完成第2.2条的证明。让我们从定理2.2（1）的证明开始。(1). 观察0≤ α <√tnα（bβ）- β) =√tnα（bβ）- β+ β-β) =√TN1-αNXi=1（bβi- βi0）+rTN√NNXi=1ηi.（B.4）通过方程（B.2）-（B.4），我们得到α+（Bβ- β） =Nα+（bβ-β+ β- β） =N-αT√NTXt=1NXi=1[yit- Gε（zit）]Gε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）∑（dβ）u，iuit+√NNXi=1ηi+OPN-α∨Nα+T！，（B.5）完成了定理2.2（i）的证明，考虑到N-α→ ∞ andNα+T→ 0 as（N，T）→(∞, ∞ ).(2)-(3).

对于α=的情况，我们有√NT（bβ- β- 偏差（N，T））=√NT（bβ-β- 偏倚（N，T）+β- β)=√NT·NNXi=1bβi-βi0-偏差（N，T）+rTN√NNXi=1ηi=√NTTXt=1NXi=1[yit- Gε（zit）]Gε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）∑（dβ）u，iuit+rTN√NNXi=1ηi，（B.6），其中偏差（N，T）=OPN∧T. eq值（B.6）表明，对于qtn的每种情况，我们都有一个渐近分布→ ρ ∈ (0, ∞]. 定理2.3的证明：在不丧失一般性的情况下，我们考虑以下两种情况：情况1（过度选择），d=df+1；案例2（在选择中）的d=df- 1.从案例1开始。注意，ntnxi=1TXt=1hyit- Gε（zit）+Gε（zit）- Gε（bzdit）i=NTNXi=1TXt=1耶- Gε（zit）+NTNXi=1TXt=1hGε（zit）- Gε（bzdit）i+NTNXi=1TXt=1耶- Gε（zit）·hGε（zit）- Gε（bzdit）i.通过引理2.1，我们得到nxi=1TXt=1hGε（zit）- Gε（bzdit）i=OP√新界和（B.10）类似，我们可以在zdit的NTNXi=1TXt=1耶-Gε（zit）·hGε（zit）- Gε（zdit）i= 操作√新界.因此，简单代数表明IC（d）- IC（df）=OP√新界+ （d）- df）·ξNT√NT>0，概率接近1，给定ξNT→ ∞ 和ξNT√新界→ 0.接下来，考虑案例2。如果我们不充分指定因子的数量，那么引理2.2的概率中的NTPNi=1γ0iF′MbFFγ0i=oP（1）就不再是可实现的。在引理2.2的p屋顶上，它将产生一个不可忽略的偏差，即Ntpni=1PTt=1Gε（zit）- Gε（bzdit）.基于上述发展，结果如下。B.2引理的证明引理2.1的证明：在下面的证明中，我们提供了一个健壮的版本，其中假设F和Γ分别是T×dmax和n×dmax，其中dmax≥ DFI是用户指定的大固定常数。(1). 为了简单起见，设zit=x′itβi+γ′iftand青春痘-zit，第2.2节开头定义了zit。注意，在假设1下，我们需要研究（2.8）在zit∈ ΞNT。

此外，请注意，如果0<x，x<1，我们可以通过泰勒展开得到以下两个表达式：logx=logx+（x- x） x- （十）- x） 2（x）*), （B.7）日志（1）- x） =对数（1）- 十）- （十）- x） 一,- 十、- （十）- x） 2（1）- x+，（B.8）其中*x+位于x和x之间。我们现在准备开始调查。通过（B.7）和（B.8），写下L（β，F，Γ）- 对数L（β，F，Γ）=-NTNXi=1TXt=1（1- yit）日志[1]- Gε（zit）]- 日志1.- Gε（zit）-NTNXi=1TXt=1yit对数Gε（zit）- 对数Gε（zit）=NTNXi=1TXt=1[Gε（zit）- Gε（zit）]1- yit1- Gε（zit）+NTNXi=1TXt=1[Gε（zit）- Gε（zit）]1- yit2（1- G+it）-NTNXi=1TXt=1[Gε（zit）- Gε（zit）]·yitGε（zit）+NTNXi=1TXt=1[Gε（zit）- Gε（zit）]·yit2（G*it）=NTNXi=1TXt=1[Gε（zit）- Gε（zit）]·1.- yit1- Gε（zit）-yitGε（zit）+NTNXi=1TXt=1[Gε（zit）- Gε（zit）]·1- yit2（1- G+it）+yit2（G*it）#：：=L1NT+L2NT，（B.9）其中G*它和G+介于Gε（zit）和Gε（zit）之间，以及L1n和L2n的定义。我们分别考虑L1NT和L2n，然后从L1NT开始。回想一下，我们对上述假设2进行了定义。然后考虑“maxzit\'s”NTNXi=1TXt=1Gε（zit）eit#≤ Emaxzit\'s，zjs\'sNTNXi，j=1TXt，s=1Gε（zit）Gε（zjs）eitejs≤ Emaxzit\'s，zjs\'sNTNXi，j=1TXt，s=1Gε（zit）Gε（zjs）·E[eitejs | zit，zjs]|≤NTNXi，j=1TXt，s=1E[|E[eitejs | zit，zjs]|]=O新界,其中第三个不等式来自Gε（·）≤ 1一致，最后一个等式来自假设1。因此，很容易知道|L1NT |=OP√新界. （B.10）我们接下来研究L2NT。

WriteL=NTNXi=1TXt=1[Gε（zit）- Gε（zit）]·1- yit2（1- G+it）+yit2（G*（它）#≥NTNXi=1TXt=1[Gε（zit）- Gε（zit）·（1）- yit4[1+（G+it）]+yit2（G*是的≥NTNXi=1TXt=1[Gε（zit）- Gε（zit）]·1.- yit4·2+yit≥·NTNXi=1TXt=1[Gε（zit）- Gε（zit）]，其中等式中的第一项来自（a+b）≥2a+2b因为（a+b）≤ 2a+2b，第二个不等式源于G*它和G+介于Gε（zit）和Gε（zit）之间，第三个质量如下1-yit4·2+yit≥因为只需要输入1或0的值。事实上≥ 对数L（B，F，Γ）-logl（bB，bF，bΓ）和（b.9）和（b.10），我们现在可以得出ntnxi=1TXt=1[Gε（bzit）- Gε（zit）=OP√新界,这就完成了这个引理第一个结果的证明。引理2.2的证明：同样，在下面的证明中，我们提供了一个健壮的版本，其中假设F和Γ分别是T×dmax和N×dmax，其中dmax≥ DFI是用户指定的大固定常数。(1). 首先，请注意，使用假设2.2，我们可以编写nxi=1vec（Z′iMFZi）=NTNXi=1（Z′i）Z′i）vec（MF）=NTNXi=1E[Z′i Z′i]vec（MF）·（1+oP（1）），ntnxi=1（β0i）- βi′XiMFFγi=NTNXi=1γ′i [（β0i- βi′X′i]vec（MFF）=NTNXi=1E[γ′i （（β0i）- βi′X′i）]vec（MFF）·（1+oP（1））。然后我们再次让zit=x′itβi+γ′ift，并将writeNTNXi=1TXt=1[Gε（zit）- Gε（zit）]=NTNXi=1TXt=1[Gε（z+it）zit]=NTNXi=1[GiXi（βi-β0i）+Gi（Fγi- Fγ0i）]′[GiXi（βi- β0i）+Gi（Fγi- Fγ0i）]≥aNTNTNXi=1[Xi（βi- β0i）+（Fγi-Fγ0i）]′[Xi（βi- β0i）+（Fγi- Fγ0i）]≥aNTNTNXi=1[Xi（β0i- βi）+Fγ0i]′MF[Xi（β0i- βi）+Fγ0i]=aNTNTNXi=1（β0i）- βi′Ai（β0i）- βi）+η′Biη+（β0i-βi）′C′iη+ oP（aNT），（B.11），其中Gi=diaggε（z+i1）。

，gε（z+iT）对于每个（i，t），z+在zit和zit之间，Ai=E[X′iMFXi|F]，Bi=E[γ0iγ′0i] IT，Ci=E[γ0i （MFXi）| F]，η=vec（MFF），第一个等式遵循假设2.1，第三个等式遵循假设开始时指出的这两个等式。请注意，除了额外的术语aNT，对于每个i，（B.11）的右侧具有与inBai（2009，第1265-1266页）相同的形式。结合引理2.1和假设2，我们可以得出NPNi=1kbβi的结论- β0ik=oP（1）。(2). 建立第二个结果后，我们将（B.11）写成如下。NTNXi=1TXt=1[Gε（bzit）- Gε（zit）]≥aNTNTNXi=1hXi（bβi- β0i）+（bF bγi- Fγ0i）i′hXi（bβi- β0i）+（bF bγi- Fγ0i）i=aNTNTNXi=1（bβi- β0i′X′iXi（bβi-β0i）+aNTNTNXi=1（bF bγi- Fγ0i′（bF bγi- Fγ0i）+2antnxi=1（bβi- β0i′X′i（bF bγi）- Fγ0i），（B.12）直接产生Ntnxi=1kbF Bγi- Fγ0ik=oP（1）。接下来是第二个结果。(3). 通过（B.11）和这个引理的第二个结果，我们得到了（1）=NTNXi=1γ0iF′MbFFγ0i=traceF′MbFFT·Γ′N,这与Γ′ΓN有关→假设2的P∑γ产生thatoP（1）=迹线F′MbFFT= 轨迹（F′FT-F′bFT·bF′FT）。比夫英尺→P∑对于假设2，我们可以进一步写P（1）=trace（Idf）-F′bFT·bF′FTF’FT-1） =跟踪（Idf）-bF′PFbFT）。（B.13）注意，很容易证明这一点PbF- PF= tr（PbF）- （PF）= trPbF- PbFPF- PFPbF+PF= tr[Idmax]- 2·trPbFPF+ tr以色列国防军= （dmax- df）+2·tr[Idf-bF′PFbF/T]，（B.14）与（B.13）相结合，得到第三个结果。第三个结果是让dmax=df。证据现已完成。引理2.3的证明：（1）。回想一下，对数似然函数定义为log L（Θ，F）=NXi=1TXt=1n（1- yit）日志[1]- Gε（zit）]+yitlog Gε（zit）o，其中zit=x′itβi+γ′ift。为了研究Bθi的一致一致性，我们引入了以下目标函数，用于i=1。

，N，Li（θi，F）=TXt=1n（1- yit）日志[1]- Gε（zit）]+yitlog Gε（zit）o.为了表示法的适用性，我们表示lit（zit）=（1-yit）日志[1]- Gε（zit）]+yitlog Gε（zit）。通过定义lit（zit）和Li（θi，F），我们可以观察到log L（Θ，F）=PNi=1Li（θi，F）=PNi=1pt=1lit（zit）。在我们进行一致一致性证明之前，我们首先研究kbθi- θi0k=oP（1）对于每个i.为了建立bθi的一致性，必须证明li（θ0i，F）- Li（bθi，bF）≤ 0，（B.15），概率接近1，然后我们可以使用类似于引理2.2证明中的参数来证明kbθi-θi0k=oP（1）。我们首先重新编写BΘ和BF的一阶条件（FOC）。回想一下，我们有以下条件f orbΘ和bf： 日志L（bΘ，bF）θi=0， 日志L（bΘ，bF）ft=0，对于t=1，T它相当于haveTXt=1l（1）It（bzit）xit=0，TXt=1l（1）It（bzit）bft=0，NXi=1l（1）It（bzit）bγi=0，其中l（1）It（zit）=[yit-Gε（zit）]Gε（zit）[1-Gε（zit）]Gε（zit）是lit（zit）的第一个动词。通过泰勒展开，我们得到了（θ0i，F）- Li（bθi，bF）=TXt=1lit（zit）-TXt=1lit（bzit）=TXt=1l（1）it（bzit）（zit）- bzit）+TXt=1l（2）it（˙zit）（zit）- bzit），（B.16），其中l（2）it（zit）是lit（zit）的二阶导数，并且˙zit位于zit和bzit之间。

对于（B.16）右侧的第一项，TXt=1l（1）it（bzit）（zit）- bzit）=TXt=1l（1）it（bzit）x′it（β0i-bβi）+TXt=1l（1）it（bzit）γ′0if0t-TXt=1l（1）it（bzit）bγ′ibft=TXt=1l（1）it（bzit）γ′0if0t=TXt=1l（1）it（bzit）γ′0i（f0t）-bft）≤TXt=1kg（1）it（bzit）γ0ik·TXt=1kf0t-bftk！=oP（T），（B.17），其中第二和第三个等式由FOC保持；这个不平等是由柯西-施瓦辛格等式决定的，最后一个等式是由事实决定的男朋友- F= 由引理2.2和假设3所暗示的oP（T）。对于（B.16）右侧的第二项，TXt=1l（2）it（˙zit）（zit）- bzit）=TXt=1l（2）it（˙zit）（x′it（β0i）-bβi）+f′0t（γ0i）- bγi）+γ′0i（f0t-bft）+（γ0i- bγi′（f0t-bft=TXt=1l（2）it（˙zit）[x′it（bβi- βi0）+f′t0（bγi- γi0）]+oP（T）=TXt=1l（2）it（˙zit）[u0′it（bθi- θ0i）]+oP（T），（B.18），其中第二个等式h由以下事实决定：男朋友- F= oP（T）。通过（B.16），（B.17），（B.18）和假设3中一致约束二阶导数的条件，我们得到（B.15）成立。有了（B.15），我们可以遵循引理2.1和引理2.2的证明来证明kbθi- θ0ik=oP（1）对于每个i。由于参数类似但繁琐，我们在这里省略它的证明。我们现在开始证明联合国的一致性：max1≤我≤Nkbθi-θ0ik=oP（1）。回想一下，我们在引理2.2中建立了建议的估计量的一致性。从（B.11）和（B.12）的导数以及条件√NT/日志（NT）→ ∞ 在假设3中，我们实际上可以bΘ- Θ= oP日志（N T）,T男朋友- F= oP日志（NT）.因此，在不损失一般性的情况下，我们只需要讨论（θi，F）的性质，其中kf- Fk≤ C√T/log（nt），c为任意小正数。定义以下参数集：Bθ，i={θi:kθi- θ0ik≤ Δθ}，BF={F:kF- Fk≤ C√T/log（nt）}。在不丧失普遍性的情况下，我们定义了Bcθ，i={θi:Δθ<kθi- θ0ik≤ Cδ}，其中Cδ是一个正的、足够大但有限的数。

我们想证明，对于任何给定的Δθ>0，以下集合变为零的概率：maxikbθi- θ0ik>Δθ，bF∈ 男朋友=Ni、 bθi∈ Bcθ，i，bF∈ BFoi和θi∈ Bcθ，i，F∈ BF，s.t.TLi（θi，F）≥TLi（θ0i，F）.通过泰勒展开，我们得到了（θi，F）-TLi（θ0i，F）=TTXt=1lit（zit）-TTXt=1lit（zit）=TTXt=1l（1）it（zit）（zit）- zit）+2TTXt=1l（2）it（¨zit）（zit）- 青春痘），（B.19）青春痘位于青春痘和青春痘之间。对于（B.19）右侧的第一项，TTXt=1l（1）it（zit）（zit- zit=TTXt=1l（1）it（zit）（x′it（βi- β0i）+γ′ift- γ′0if0t）=TTXt=1l（1）it（zit）（u0′it（θi）- θ0i）+γ′0i（ft- f0t）+（γi- γ0i′（ft- f0t））=TTXt=1l（1）it（zit）u0′it（θi- θ0i）+TTXt=1l（1）it（zit）u0′itγ′0i（ft- f0t）+TTXt=1l（1）it（zit）（英尺）- f0t）′（γi- γ0i）：=eL1i+eL2i+eL3i。（B.20）对于（B.19）右侧的第二项，2TTXt=1l（2）it（¨zit）（zit）- zit=2TTXt=1l（2）it（¨zit）（u0′it（θi- θ0i）+γ′0i（ft- f0t）+（γi- γ0i′（ft- f0t））=2TTXt=1l（2）it（¨zit）（u0′it（θi）- θ0i））+2TTXt=1l（2）it（¨zit）（γ′0i（ft）- f0t））+2TTXt=1l（2）it（¨zit）（（γi）- γ0i′（ft- f0t））+TTXt=1l（2）it（¨zit）u0′it（θi）- θ0i）γ′0i（ft-f0t）+TTXt=1l（2）it（¨zit）u0′it（θi）- θ0i）（γi- γ0i′（ft- f0t）+TTXt=1l（2）it（¨zit）γ′0i（ft- f0t）（γi- γ0i′（ft- f0t）=eL4i+·eL9i。（B.21）对于L4i，通过假设3，我们可以为i和dθi均匀地找到一个正整数M∈ Bcθ，isuchth，Pmax1≤我≤NeL4i≤ -MΔθ→ 1，作为N，T→ ∞.例如，eL9i，s因为c可以被选择为任意小，并且通过假设3，我们总是可以找到一个值c>0，这样对于F∈ 在概率接近1时，下列不等式成立：≤我≤N | eL5i |<MΔθ，max1≤我≤N | eL6i |<MΔθ，max1≤我≤N | eL7i |<MΔθ，max1≤我≤N | eL8i |<MΔθ和max1≤我≤N | eL9i |<MΔθ。

在一般情况下，我们可以找到c>0和0<M<∞ 对于θi∈ Bcθ，i和F∈ BFPmax1≤我≤N（eL4i+·eL9i）<-MΔθ→ 1，（B.22）作为N，T→ ∞.因此，通过（B.20），（B.21）和（B.22），我们可以i和θi∈ Bcθ，i，F∈ BF，s.t.TLi（θi，F）≥TLi（θi0，F）≤ Pi和θi∈ Bcθ，i，F∈ BF，s.t.eL1i+·eL9i≥ 0≤ Pi和θi∈ Bcθ，i，F∈ BF，s.t.eL1i+eL2i+eL3i≥MΔθ+Pmax1≤我≤N、 θi/∈Bθ，i，F∈BF（eL4i+·eL9i）≥ -MΔθ≤NXi=1PeL1i+eL2i+eL3i≥MΔθ|θi∈ Bcθ，i，F∈ 男朋友+ o（1）≤NXi=1P|eL1i|≥MΔθ|θi∈ Bcθ，i，F∈ 男朋友+NXi=1P|eL2i|≥MΔθ|θi∈ Bcθ，i，F∈ 男朋友+NXi=1P|eL3i|≥MΔθ|θi∈ Bcθ，i，F∈ 男朋友+ o（1）。（B.23）首先，回想一下，l（1）it（zit）=[yit-Gε（zit）]Gε（zit）[1-Gε（zit）]Gε（zit）=-gε（zit）eit，其中eit=-[耶-Gε（zit）][1-Gε（zit）]Gε（zit）。我们可以观察到E[eL1i | W]=0，对于θi∈ Bcθ，i和F∈ BF，NXi=1P|eL1i|≥MΔθ=NXi=1PTTXt=1gε（zit）eituit≥Mδθ18Cδ！≤NXi=1E[kT-1PTt=1gε（zit）eituitk2+δ*]M2+δ**= ONT1+δ*/4.,我在哪里*=Mδθ18Cδ，切比雪夫等式中的不等式和Lemm a B.1中的第二等式。在假设1+δ的情况下*/4.→ 0，我们有nxi=1P|eL1i|≥MΔθ|θi∈ Bcθ，i，F∈ 男朋友= o（1）。（B.24）根据（B.24）证明中的类似论点，我们可以证明nxi=1P|eL2i|≥MΔθ|θi∈ Bcθ，i，F∈ 男朋友= o（1），（B.25）和nxi=1P|eL3i|≥MΔθ|θi∈ Bcθ，i，F∈ 男朋友= o（1）。（B.26）由（B.23）、（B.25）及（B.26）删去，Pi和θi∈ Bcθ，i，F∈ BF，s.t.TLi（θi，F）≥TLi（θi0，F）= o（1），因此它立即产生max1≤我≤Nkbθi-θ0ik=oP（1），如本节开头所述。(2). 对于一致一致性max1≤T≤Tkbft-f0tk=oP（1），我们可以按照类似的argum ents来显示这个结果。因此，引理2.3的证明。（2） 省略了。(3)-(4).

在下面的证明中，我们找到了BΘv的表达式-Θ0bfv-来自FOCs的F0V。在推导出它们的前导项之后，我们可以计算npni=1kbθi的收敛速度-θ0ikandTPTt=1kbft- f0tk。根据附录A.2中定义的“驱动”符号，我们准备继续对BΘv进行推导- Θ0bfv- F0v。从bΘ的FOCs出发，我们在（Θ，F），0=T处取L（Θ，F）的泰勒展开式 日志L（bΘ，bF）Θv=T 对数L（Θ，F）Θv+T对数L（Θ，F）ΘvΘ′v（bΘv- Θ0v）+T对数L（Θ，F）ΘvF′v（bFv）- F0v）+QNT，（B.27），其中QNT包含泰勒展开残差：QNT=（Q′T，1，··，Q′T，N），qt i:=Tdβ+dfXl=1对数L（˙Θ，˙F）θiθ′iθil（bθi）- θ0i）（bθil- θ0il）+TTXt=1dfXr=1对数L（˙Θ，˙F）θiθ′iftr（bθi）- θ0i）（bftr- f0tr）+TTXt=1dfXr=1对数L（˙Θ，˙F）θif\'tftr（bft- f0t）（bftr- f0tr），（B.28）和（˙Θ，F）介于（BΘ，bF）和（Θ，F）之间。然后我们继续查找前导项inT对数L（Θ，F）ΘvΘ′v.回想一下对数L（Θ，F）ΘvΘ′vis ablock对角矩阵的第i对角块为对数L（Θ，F）θiθ′i=-∑u，i-TTXt=1[gε（zit）][1- Gε（zit）]Gε（zit）uitu0\'it- ∑u，i+TTXt=1[yit-Gε（zit）]G（1）ε（zit）[1- Gε（zit）[Gε（zit）]uitu0′it+TTXt=1[yit- Gε（zit）][Gε（zit）][1- 2Gε（zit）[1- Gε（zit）[Gε（zit）]uitu0′it=-∑u，i+c1ti+c2ti+c3ti.表示Ohmu、 CNT，1，CNT，2和CNT，3 to be N（dβ+df）×N（dβ+df）块对角矩阵，每个矩阵中有N个对角块，以及Ohmu、 CNT，1，CNT，2和CNT，3分别为∑u，i，c1ti，c2ti和c3ti。有了这个符号，我们就没有了对数L（Θ，F）ΘvΘ′v=-Ohmu+CNT，1+CNT，2+CNT，3。（B.29）对于对数L（Θ，F）ΘvF′v，我们表示Ohmuγ是具有N×T块结构的N（dβ+df）×T df矩阵，其（i，T）-th块是Ohmuγ，it=Eh[gε（zit）][1-Gε（zit）]Gε（zit）uitγ′0ii。