对第2条和第3条证据的仔细研究揭示了配对函数让富人和穷人代理人之间的距离（世代数）|n- α（n）|是一个轨道；事实上，|n- α（n）|偏离到单位。即使在| n |的情况下，探索这些不可能的结果是否仍然存在将是一件很有趣的事- α（n）|不允许超过某个大但有限的整数（如定理1），或者更一般地说，当我们需要p a iring函数的更多结构特征时。这种限制具有直观的吸引力，因为它使再分配与每一代人相关。同样值得探讨比IE弱的一般公平变量，它们仍然比我们强（例如渐进公平），以及它们在有限效用流评估中的作用。我们打算在不久的将来报告这项研究的结果。第二条研究线涉及社会福利秩序，当它们存在但不具有实际价值时。存在着完全的偏好关系（即偏好顺序），没有社会福利功能，但具有明确的描述。词典p参考是此类优先顺序中最常见的例子。鉴于该命令的明确表述，人们仍然认为它在决策中有用。因此，探索引理2中已证明存在但不承认SWF（在定理1、定理2和定理3中考虑）的平等社会福利秩序是否具有明确的描述，是一项卓有成效的工作。这项调查的结果将有助于丰富关于公平社会福利秩序建设性性质的结果。6.引理1的证明。我们治疗两种情况：（i）f正在下降，（ii）f正在下降。（i） 设f为增函数。

定义4Jashx，x，·iJhy，y，·i<=>hf（x），f（x），·ihf（y），f（y），·i，（9）和V:J→ R by:V（z，z，··）＝W（f（z），f（z），··）（10）那么，4Jand V被很好地定义，因为f m a ps I变成Y。为了验证AN，让z，z′∈ J、 z′r=zs，z′s=zr，z′i=zi对于所有的i6=r，s。在不丧失一般性的情况下，假设r<s。然后，z′，z′···=f（z′）、f（z′）、·f（z′）r、·f（z′）s、···~f（z′）、f（z′）、f（z′）、f（z′）、f（z′r）···（11） =（f（z），f（z），··，f（zr），··，f（zs），··）=（z，z，··）=（11）的第二行，根据4满足X的事实。因此，z′，z′···J（z，z，··）。请注意，在本演示中没有使用f增加的事实。相同的参数适用于WF。为了检查SWF V是否满足要求，让z，z′来∈ 带α的J∈ 因此，对于每一个我∈ e上的dom（α）要么zi<z′i<z′α（i）<zα（i），要么zα（i）<z′α（i）<z′i<zi。我们考虑了zi<z′i<z′α（i）<zα（i）的情况（在类似线路上的剩余情况下的证明）。我们有f（zi）<f（z′i）<f（z′α（i））<f（zα（i））表示每个h i∈ α、 （12）因为f在增加。因此，V（z′，z′，··）＝W（f（z′），f（z′，·）＞W（f（z），f（z），·）＝V（z，z，·）·渐近等式定义如下：给定x，y∈ 如果有α∈ π使得d（dom（α））>0，并且对于每个i∈ dom（α）one要么是yi<xi<xα（i）<yα（i），要么是yα（i）<xα（i）<xi<yi/∈ dom（α）有xk=yk，然后是y x、 这里d（A）是A的交感密度 N.当W满足X，f（zi）的事实时，不平等性∈ Y、 f（z′i）∈ 尽管我∈ N和（12）代表所有i∈ α.（ii）设f是一个分解函数。我们考虑4Jand V:J→ R分别在（9）和（10）R中定义。可以通过遵循上述（i）中的步骤来检查是否满足要求。

为了检查SWF V是否满足要求，让z，z′来∈ 带α的J∈ 因此，对于每一个我∈ dom（α）一个有zi<z′i<z′α（i）<zα（i）或zα（i）<z′α（i）<z′i<zi。我们考虑了zi<z′i<z′α（i）<zα（i）的情况（在类似线路上的剩余情况下的证明）。我们有f（zα（i））<f（z′α（i））<f（z′i）<f（zi）表示每个i∈ α、 （13）因为f在减少。因此，V（z′，z′，··）＝W（f（z′，f（z′，·）＞W（f（z），f（z），·）＝V（z，z，·）＝V（z，z，·）＝其中不等式来自于W满足X，f（zi）的事实∈ Y、 f（z′i）∈ 尽管我∈ N和（13）代表所有i∈ α. 在上述论证之后，我们也可以得出类似的结论。引理2的证明。让我来 [0，1]是良序的，让x[n]是x[n]的非递减重排序，更准确地说，这意味着x[n]：=hx[n]，x[n]，···，x[n]ni递归地定义在k6n上，如下所示：x[n]：=min{xi:i6n}x[n]k:=min{xi i6n∧ j<k（xi>x[n]j）。然后考虑字典顺序6nlexon Yn。设F为N上的任意过滤器，包含N的所有有限子集。定义6f的关系如下：对于每个x，y∈ YNx 6Fy<=> {n∈ N:x[N]6nlexy[N]}∈ F.我们需要检查GE、AN和M的6F满意度。AN和M是微不足道的。为了表明SWR满足GE选择x，y∈ 因此存在α∈ 因此，对于所有n∈ dom（α），xn<yn<yα（n）<xα（n）或xα（n）<yα（n）<yn<xn。（14） 我们证明了k的存在∈ N使得对于所有的m>k，一个有x[m]6mlexy[m]。设hx:=min{xn:n∈ dom（α）}（和类似的定义hy）；然后把k:=min{n∈ N:xn=hx}。我们证明了对于所有的m>k，我们通过两步得到x[m]<mlexy[m]。（a） 首先，选择l6k，这样x[k]l=hx<y[k]l。因为对于每个i<l，都有x[k]i=y[k]i，x[k]<kley[k]。（b） 接下来我们通过归纳法展示所有m>k，x[m]<mlexy[m]。步骤m=k+1的细节说明了一般情况m>k。我们可以区分两种情况：om∈ d om（α）：xm>hx和ym>hx，由hx的定义确定。

对于所有i<l，x[m]i=x[k]i=y[k]i=y[m]i，和x[m]l=hx<y[m]l。当m/∈ dom（α）：需要考虑两种可能性。（i） xm>hx：然后x[m]l=x[k]l<y[k]l=y[m]为所有i<l，x[m]i=y[m]i.因此，x[m]<mlexy[m]。（ii）xm<hx：由于xm=ym，我们有f或所有i 6l，x[m]i=y[m]和x[m]l+1=x[k]l=hx<y[k]l=y[m]l+1。因此，x[m]<mlexy[m]。因此，我们已经证明k满足所需的性质，因此x<Fy，因为F包含N的所有单位子集。最后，请注意 F是一个超过滤器，然后是6Uis偶数总数，因此我们获得了SWO。命题1的证明。（a） 选择x，y∈ 因此存在α∈ 因此，对于所有n∈ dom（α），或xα（n）<yα（n）<xα（n）或xα（n）<yα（n）<yn<xn。考虑情况xn<yn<yα（n）<xα（n）。注意xn=a或xn=b，即n∈ N（x）或N∈ M（x）。为了n∈ N（x）∩ α、 设N（xb）：={N:yn=b}和N（xc）：={N:yn=c}。然后（y）- W（x）=Xn∈N（xb）N-N+Xn∈N（xc）N+Xn∈M（x）∩αn>0。（b） M：让y>x，然后N（y） N（x）和M（y） N（x）或M（x）为非空时的M（x）。然后（y）- W（x）=Xn∈N（x）\\N（y）N+Xn∈M（x）\\M（y）n>0。如果N（x）和M（x）是非空的，那么w（y）=∞Xn=1ynn>∞Xn=1xnn=W（x）。此外，可以证明（1）定义的W也满足弱帕累托；i、 如果x，y∈ 十、 还有X>> y、 然后W（x）>W（y）。命题2的证明。选择x，y∈ 因此存在α∈ 因此，对于所有n∈ dom（α），xn<yn<yα（n）<xα（n）或xα（n）<yα（n）<yn<xn。考虑情况xn<yn<yα（n）<xα（n）。我们必须展示W（y）>W（x）。注意yα（n）∈ {c，d，e，f}。因此，yα（n）对W（y）（称之为U（y））的贡献是-α（n）或0。如果是的话-α（n），那么xα（n）=g，xα（n）对W（x）（即U（x））的贡献为-α（n）<-α（n）；如果U（y）=0，那么U（x）60=U（y）。因此，在这两种情况下，U（x）6u（y）。（15） 此外，如果yα（n），则不等式在（15）中是严格的∈ {e，f}。请注意∈ {b，c，d，e}。

所以，yntoW（y）（称之为V（y））的贡献是-也不是0。如果是的话-n、 那么xn=a，V（x）是-n<-N如果V（y）=0，那么V（x）60=V（y）。在这两种情况下，V（x）6v（y）（16）此外，等式在（16）中是严格的∈ {b，c}。如果严格不等式（15）和（16）都不成立，则nwe必须有yα（n）∈ {c，d}和yn∈ {d，e}。但随后yn>d>yα（n），这是一个矛盾。因此（15）和（16）中的至少一个特性对每个n都是严格的∈ α、 所以W（x）<W（y）。定理2的证明。我们将介绍以下N的划分，这将有助于定理2和定理3的证明。设q，q，··是（0,1）中所有有理数的枚举。考虑到任何∈ （0，1），L（r）：={L，L，··，lk，···}和U（r）：={U（r），U（r），··，uk（r），···································。Thennetl（r）：={2（l！）+1,2（l！）+2，2（l！）+1,2（l！）+2, . . .} := {2（lk！）+1,2（lk！）+2:k∈ N} U（r）：={2（U！）+1，2（u！）+2，2（u！）+1，2（u！）+2, . . . } := {2（英国！）+1,2（英国！）+2:k∈ N} 把LU（r）：=L（r）∪ U（r）。给定s，r∈ （0，1）对于s6=r，注意L（r）6=L（s）和U（r）6=U（s），但是LU（r）=LU（s）。设I:=N\\LU（r）；请注意，我并不依赖于r的选择。此外，我清楚地知道，我永远都在这里∈ （0,1）它保持着∪ L（r）∪ U（r）=N.（17）（i）=> （ii）微不足道，因为通用电气比IE更强大（iii）=> （i） 根据命题1。剩下来展示（二）=> （三）。我们用矛盾来争论。让W:YN→ R是满足IE和M的SWF，其中y:={a，b，c，d，e，f}，a<b<c<d<e<f。给定（17）中的划分，公用事业流hx（R）i，hy（R）i定义如下。xt（r）=c代表t∈ 我∩ t的ODDf∈ 我∩ 伊万娜为t∈ U（r）b代表t∈ L（r）（18）yt（r）=d代表t∈ 我∩ 奥德代表t∈ 我∩ 反之亦然。（19） 我们首先声明x（r） y（r）。每个t的注释∈ LU（r），xt（r）=yt（r）。

I中的每对项分别在奇数和偶数位置包含c和fin x（r）。相应的一对项分别在奇数和偶数位置的y（r）中被赋值d和e。因此，在IxODD（r）=c<d=yODD（r）<e=yEVEN（r）<f=xEVEN（r）中的每一对项。因为I:=N\\LU（r）是有限的，x（r） 因此，W（x（r））<W（y（r））。（20） 现在选一个∈ （r，1）和权利要求书y（r） x（s）。为了证明这一说法，请遵守以下条款：o对于所有t∈ 我∩ 偶数，yt（r）=e<f=xt（s）。o尽管如此，t∈ U（s），yt（r）=a=xt（s）；尽管如此，t∈ L（r），yt（r）=b=xt（s）；o自从我∩ 奇数和d L（s）∩ U（r）都是N的有限子集，我们可以选择一个配对函数α∈ 带| dom（α）|=∞ 这样每一个t∈ 我∩ 奇数我们选择α（t）∈ L（s）∩ U（r）使得对于坐标对（t，α（t）），我们有yα（t）（r）=a<b=xα（t）（s）<c=xt（s）<d=yt（r）。因此，由IE和dm得出，y（r） x（s），表示sw（y（r））<W（x（s））。（21）设{（W（x（r）），W（y（r））：r∈ (0, 1)}. 我们已经证明了（W（x（r）），W（y（r））和（W（x（s）），W（y（s））对于每个r<s对是成对的，这与（0，1）中的有理数是稠密的这一事实相矛盾。定理3的证明。（一）=> （ii）微不足道，因为通用电气比IE更强大（iii）=> （i） 根据命题2。这是lef t展示（二）=> （iii）证明的思想类似于定理2中的思想。我们用矛盾来争论。让W:YN→ R是满足g IE的SWF，其中Y:={a，b，c，d，e，f，g，h}，a<b<c<d<e<f<g<h。考虑到（17）中的划分，效用流hx（R）i和hy（R）i定义如下。xt（r）=c代表t∈ 我∩ t的ODDf∈ 我∩ 伊万娜为t∈ U（r）∩ ODDh代表t∈ U（r）∩ 伊万布换t∈ L（r）∩ 古怪的∈ L（r）∩ 偶数（22）yt（r）=d代表t∈ 我∩ 奥德代表t∈ 我∩ 反之亦然。（23）我们首先声明x（r） y（r）。每个t的注释∈ LU（r），xt（r）=yt（r）。

I中的每对项分别在奇数和偶数位置包含c和f inx（r）。对应的一对术语分别在奇数和偶数位置的y（r）中被赋予值d和e。因此，对于I中的每一对项：=N\\LU（r）xODD（r）=c<d=yODD（r）<e=yEVEN（r）<f=xEVEN（r）。因为我在最后，x（r） 因此，W（x（r））<W（y（r））。（24）现在让我们∈ （r，1）。为了证明y（r） x（s），观察：o对于所有t∈ 美国∩ 奇数，yt（r）=a=xt（s）；尽管如此，t∈ 美国∩ 偶数，yt（r）=h=xt（s）。o尽管如此，t∈ L（r）∩ 奇数，yt（r）=b=xt（s）；尽管如此，t∈ L（r）∩ 偶数，yt（r）=g=xt（s）。o尽管如此，t∈ L（s）∩ U（r）∩ 奇数，yt（r）=a<b=xt（s），对于所有t∈ 我∩ 奇数，yt（r）=d>c=xt（s）。辛塞尔(s)∩ U（r）∩ 奇德和我∩ 奇怪的是，两者都是有限的，我们可以选择α∈ 带dom的∏（α）=∞这样对每个人来说∈ 我∩ 奇数，yα（t）（r）=a<b=xα（t）（s）<c=xt（s）<d=yt（r）。o尽管如此，t∈ L（s）∩ U（r）∩ 偶数，yt（r）=h>g=xt（s），对于所有t∈ 我∩ 偶数，yt（r）=e<f=xt（s）。辛塞尔(s)∩ U（r）∩ 甚至我∩ 即使两者都在最后，我们也可以选择β∈ 带| dom（β）|=∞以致于∈ 我∩ 偶，yβ（t）（r）=h>g=xβ（t）（s）>f=xt（s）>e=yt（r）。因此，通过IE，我们得到y（r） x（s），表示sw（y（r））<W（x（s））。（25）如上所述，这与R中Q的密度相矛盾。定理4的证明。（一）=> （ii）琐碎和（ii）=> （iii）如例2所示。（三）=> （i） ：对于任何x∈ 十、 集合S（X）={S:S∈ R、 s=xn∈ N} 是Y的非空子集。由于Y（<）是有序的，我们可以推断S（x） Y必须包含第一个元素，因此：W（x）=min{xn}n∈这是很明确的。为了验证满足性，我们让x，y∈ 十、 所有n的xn<yn<yα（n）<Xα（n）∈ dom（α）。让我∈ N等于W（x）=xi。那么xi<yi<yα（i）<xα（i）必须成立。我们声称min{yn}n∈N> xi=W（x）。如果没有，那么就存在j∈ N使yj6 xi。

但是{j，α（j）}必须是xj<yj<yα（j）<xα（j）。所以我们得到了xj<yj6 xi，它改变了min{xn}n∈N=xi。因此，W（y）=min{yn}n∈N> xi=W（x），按要求。为了验证W满足M，让x，y∈ X，y>X。然后，对于一些m，W（y）=ym∈ N、 和ym>xm>W（x），所以W（y）>W（x）。此外，我们很难看到W也满足了一个要求。定理5的证明。（一）=> （ii）琐碎和（ii）=> （iii）如例1所示。（三）=> （i） ：设Y=inf Y和Y=supY。考虑以下x=（xn）的SWF∞n=1∈ X:=YNW（X）=ρinf{xn- Y |}n∈N+（1）- ρ） infY- xnN∈Nwhereρ∈ （0,1）是一个参数。我们证明，W满足我们的需求。让x，z∈ X是这样的，尽管如此∈ N、 存在xt<zt<zα（t）<xα（t）或xα（t）<zα（t）<zt<xt的α（t）。这种主权财富基金也满足了哈蒙德公平性（见阿尔坎图德和加西亚·桑兹（2013）、杜比和米特拉（2014b））弱帕累托性、单调性和非对称性（见巴苏和米特拉（2007））。我们声称W（z）>W（x）。很明显，通过定义W，我们得到了W（z）>W（x），因此，如果这个假设是错误的，那么W（z）=W（x）（26）Sinceinf{zn- Y |}n∈N> inf{|xn- Y |}n∈Nand infY- 锌N∈N> infY- xnN∈与非ρ∈ （0，1），f从（26）可以得出：a:=inf{zn- Y |}n∈N=inf{| xn- Y |}n∈Nand b:=infY- 锌N∈N=infY- xnN∈a，b∈ [0, 1].我们现在将分析分为以下几个案例。（i） {zn- Y |}n∈NHA是最低要求。让k∈ N是这样的| zk- Y |=min | zn- Y | n∈N.那么，我们有a=inf{| zn- Y |}n∈N=min{zn- Y |}n∈N=|zk- Y |>xk- Y |>inf{xn- Y |}n∈N=a，矛盾。（二）{zn- Y |}n∈NDOE没有最低要求。本案进一步细分如下。（a） {zn- Y |}n∈NDOE没有最低要求，并且Y- xnN∈NHA是最低要求。让我们∈ N是这样的Y- xs= 闵Y- xnN∈N

那么，我们有b=infY- xnN∈N=minY- xnN∈N=Y- xs<Y- zs6 infY- 锌N∈N=ba冲突。（b） 既不是{124; zn- Y |}n∈诺尔Y- xnN∈NHA是最低要求。设x<z<zα（1）<xα（1）。然后，我们可以用xnk找到xα（1）<xn<xn<xn<···∈xα（1），Y对于k=1、2、3、·和xnk↑ （Y）- b） 作为k↑ ∞.同样，我们可以通过zmr找到z>zm>zm>zm>···∈（Y，z）对于r=1，2，3，·和zmr↓ （Y）-a） 作为r↑ ∞. 因此，我们有（Y）- a） <·zm<zm<z′m<c<xn<xn<xn<·Y- b） 。（27）考虑setY′={xn，xn，xn，···}∪ {zm，zm，xm，···}。显然，Y′是Y的子集，因为（27），我们注意到o集合Y′既没有最大值m也没有最小值，并且o对于Y′的每个割[Y′，Y′]，集合Y′有一个最大元素，集合Y′有一个最小元素。因此，Y′（<）的阶同构于Z，即一个反序。由于我们在（i）、（ii）（a）和（ii）（b）的情况下产生了矛盾，这些矛盾耗尽了所有逻辑可能性，（26）cannothold，我们的W（z）>W（x）的主张成立。参考主义。阿德勒。庇古-道尔顿原则和分配正义的结构。https://scholarship.law.duke.edu/faculty_scholarship/3065/，2013年5月。J.C.R。阿尔坎图德。效率折衷与世代平等，视野有限。MPRA工作文件（22467），2010年5月。统一资源定位地址http://mpra.ub.uni-muenchen.de/22467/.J.C.R。阿尔坎图德。评价有限效用流的不平等厌恶标准：弱帕累托的不可能性。《经济理论杂志》，147:353–363，2012年。J.C.R.阿尔坎图德。不可能对严格厌恶不平等的有限流进行社会评估。经济理论出版社，1（2）：123-1302013。J.C.R.阿尔坎图德和M.D.加西亚·桑兹。有限效用流的评估：帕累托效率和平等主义公理。《都市经济》，64（432-447），2013年。J.C.R。Alcantud和A.Giarlott A。

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