SIR模型中繁殖率的不确定性

nandehutu2022

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收藏 2022-04-26

英文标题：
《Uncertainty on the Reproduction Ratio in the SIR Model》
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作者：
Sean Elliott and Christian Gourieroux
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
The aim of this paper is to understand the extreme variability on the estimated reproduction ratio $R_0$ observed in practice. For expository purpose we consider a discrete time stochastic version of the Susceptible-Infected-Recovered (SIR) model, and introduce different approximate maximum likelihood (AML) estimators of $R_0$. We carefully discuss the properties of these estimators and illustrate by a Monte-Carlo study the width of confidence intervals on $R_0$.
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中文摘要：
本文的目的是了解在实践中观察到的估计繁殖率$R_0$的极端变异性。出于解释目的，我们考虑了易感感染恢复（SIR）模型的离散时间随机版本，并引入了不同的近似最大似然（AML）估计值$R_0$。我们仔细讨论了这些估计量的性质，并用蒙特卡罗方法研究了$R_0$上的置信区间宽度。
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分类信息：

一级分类：Statistics 统计学
二级分类：Methodology 方法论
分类描述：Design, Surveys, Model Selection, Multiple Testing, Multivariate Methods, Signal and Image Processing, Time Series, Smoothing, Spatial Statistics, Survival Analysis, Nonparametric and Semiparametric Methods
设计，调查，模型选择，多重检验，多元方法，信号和图像处理，时间序列，平滑，空间统计，生存分析，非参数和半参数方法
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一级分类：Economics 经济学
二级分类：Econometrics 计量经济学
分类描述：Econometric Theory, Micro-Econometrics, Macro-Econometrics, Empirical Content of Economic Relations discovered via New Methods, Methodological Aspects of the Application of Statistical Inference to Economic Data.
计量经济学理论，微观计量经济学，宏观计量经济学，通过新方法发现的经济关系的实证内容，统计推论应用于经济数据的方法论方面。
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一级分类：Statistics 统计学
二级分类：Applications 应用程序
分类描述：Biology, Education, Epidemiology, Engineering, Environmental Sciences, Medical, Physical Sciences, Quality Control, Social Sciences
生物学，教育学，流行病学，工程学，环境科学，医学，物理科学，质量控制，社会科学
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Uncertainty_on_the_Reproduction_Ratio_in_the_SIR_Model.pdf
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可人4

2022-4-26 15:26:32

SIR模型中繁殖率的不确定性。，ELLIOTT，（1）和C.GOURIEROUX（2）2020年12月15日（初步版本）。作者感谢“监管和系统性风险”委员会主席和国家研究机构（ANR-COVID）给予ANR-17-EUR-0010的财政支持。多伦多大学。多伦多大学、图卢兹经济学院和克雷斯特。SIR模型中繁殖率的不确定性摘要本文的目的是了解实际中估计繁殖率的极端变异性。出于解释目的，我们考虑了易感感染恢复（SIR）模型的离散时间随机版本，并引入了R的不同近似最大似然（AML）估计量。我们仔细讨论了这些估计量的性质，并通过蒙特卡罗研究说明了R上的密集区间宽度。关键词：SIR模型、繁殖率、2019冠状病毒疾病、，近似最大可能性，表观，最终尺寸。1导言在标准流行病学模型中，繁殖率起着关键作用，繁殖率衡量的是新感染个体可能感染的预期人数。它的价值影响流行病早期的爆炸性事件、感染高峰的规模以及最终的流行规模[见Hethcote（2000），Ma，Earn（2006）]。它是紧随其后的，或每周一次的，作为接近或远离流行病峰值的简单指标[参见例如PHO（2020）]，并经常用于卫生政策。例如，它可能用于确定部分封锁的条件，或对来自其他国家的外国人关闭边境。“警戒级别通常基于这个新的图腾图”[Adam（2020）]。生育率是一个前瞻性的概念，其定义涉及有条件的预期。

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mingdashike22

2022-4-26 15:26:39

这是一个基于模型的概念，依赖于用于评估预期的信息和动态模型。这种事前的概念必须与事后追溯性地计算某一特定个人感染人数的模拟计数相区别。这种没有模型的事后概念，如果没有精确的跟踪过程，就无法计算出来，而且在预测角度上也不会立即有用。在实践中，这个比率是近似的，由此产生了一个很大的不确定性，涉及到它的价值[见桑切斯，布劳尔（1997），Obadia等人（2012）的讨论和表2，Cori等人（2013）的网络图10]。例如，中国武汉市2019冠状病毒疾病的首次估计值介于1.9和6.4之间[见Li等人（2020）、Riou、Althaus（2020）、Sanche等人（2020）、Wu等人（2020）]。重要的是，“为了计算英国的官方比率，大约有十个团体向专门的ZF委员会提交了他们模型的结果，该委员会就可能的范围达成了共识。个人模型没有公布”[Adam（2020）]。这种不确定性是由于估算方法所依据的模型对该比率的不同解释和定义，以及估算方法本身[See Obadia et al.（2012），Cori et al.（2013）对于标准估算包]，以及调整它们以滚动方式应用的方式[Wallinga，McDonald（1952年）在流行病学文献中引入了这个术语。这种差异类似于预期寿命和寿命之间的差异，或者波动性和实际波动性之间的差异。见White，Pagano（2008年）1918年秋末，两艘军舰上有记录在案的飞行记录。Teunis（2004），Cori等人（2013）]。

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nandehutu2022

2022-4-26 15:26:45

此外，提供的估计值通常没有置信区间，而这些区间可能很大，尤其是在流行病的早期阶段，而且，在极限情况下，即使适用于较大的人口，这些估计值也可能与感兴趣的生育率不一致。本文的目的是精确分析估计的繁殖率的不确定性和缺乏鲁棒性。为了便于解释，我们将重点放在最初由Kermack，McKendrick（1927年）提出并在文献中大量使用的标准易感感染恢复（SIR）上。该模型用于定义生育率，且不存在歧义。在第2节中，我们介绍了SIR模型的离散时间随机版本，讨论了在不丢失信息的情况下聚合个人病史的可能性。我们还严格定义了繁殖率的概念及其在疫情期间的演变。SIR模型的统计推断是第3节的主题。由于构成SIR模型基础的二项式分布可以用泊松分布或高斯分布来近似，这取决于总体结构和转移概率，因此考虑了比率的不同近似最大似然估计。当我们在阿加西渐近框架下进行估计时，它们不提供相同的估计值，也不具有相同的分布。在一个交感框架中，它们甚至可能是不一致的。这就引出了第4节，其中包含了一项蒙特卡洛研究，以确定对不同估计量和设计有效的置信区间。对于具有异质性的SIR模型，第5节介绍了再生数的矩阵变量定义。这导致了车厢内和车厢之间的繁殖率的引入。

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2022-4-26 15:26:51

第6节讨论了生殖数的另一种定义，即弗雷泽（2007）提出的瞬时生殖数，该定义基于感染个体进化的阿伦瓦尔方程。这一概念是EpiEstim R-package[Cori等人（2013）]使用的生殖比率贝叶斯估计方法的基础。EpiEstim估计器通常以滚动方式计算，但必须在标准SIR模型中提供合理的结果。我们精确地讨论了为什么这种方法会考虑与生产率的初始定义不一致的感兴趣参数，并通过蒙特卡罗研究说明了这一特征。我们还将讨论一种基于新感染个体计数自回归的同类替代方法。第7节结束。附录1回顾了连续时间确定性模型及其欧拉时间离散化的主要特性。附录中给出了一些估计结果和其他蒙特卡罗结果的证明。2模型和观察我们考虑SIR模型的离散时间随机版本，有三种状态：S=1易感、I=2、感染、传染性、R=3恢复、免疫（或移除）。我们还讨论了观察值的集合，以及繁殖率的概念。2.1个人病史模型该模型规定了个人病史的联合分布。对于每个个体i，（i=1，…，n）和日期t，（t=0，1，…，t），变量yit提供个体i在日期t的状态j=1，2，3。假设A.1：个体历史[Yi，t，t=0，1，…，t]，i=1，n是这样的：i）变量Yi，t，i=1，n是独立的，取决于过去的历史：Yt-1=（[Yi，t-1，易，t-2.Yi，0），i=1。

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2022-4-26 15:26:57

，n]。ii）它们具有相同的转移矩阵：Pt=（pjk（t）），其中pjk（t）是在日期t从状态j迁移的概率- 1以日期t为条件，以过去为条件。iii）转移矩阵的结构为：Pt=1.-安（t）-1） n安（t）-1） /n 00 1-cC001,其中N（t）- 1）是在日期t时处于状态I=2的个体数量- 1和a，c是参数，使得a>0，0<c<1。转换矩阵的结构是SIR模型的特征：i）矩阵的最后一行意味着状态R=3是一种吸收状态，意味着个体不能被感染两次。ii）第二行中的零表示感染后，个体恢复，接受免疫，然后不会有风险。iii）第一行中的零表示个人在没有首先感染的情况下无法恢复。iv）参数c是常数，代表恢复的强度。v）参数a衡量传染效应，风险个体受影响的强度与感染者的比例成正比。在假设a.1下，我们推导出Yi，t，i=1，n、 t=1，T给定初始条件Yi，0，i=1，n、在易经的初始图纸上什么也没说，0，i=1，n、该条件联合分布由两个参数a和c参数化，这两个参数被假定为独立于n和T。2.2聚合计数在假设a.1下，可以在不丢失参数a和c信息的情况下聚合单个数据。

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mingdashike22

2022-4-26 15:27:03

我们表示：oNjk（t），j，k=1，2，3，从j-tok过渡到t之间的个体数量- 1和toNj（t），j=1,2,3，日期to^pjk（t）=Njk（t）/Nj（t）时j州的个体数量-1），pjk（t）o^pj（t）=Nj（t）/n的样本类似物，已知日期t时j状态中个体的比例，集合{Njk（t），j，k=1，2，3，t=1，…，t}是分析的有效统计数据（见附录2）。因此，分析只能基于这些骨料。在SIR框架中，这些聚合如表1所示。表1：总计数1 2 3总计1 N（t）N（t）0 N（t-1） 20N（t）N（t）N（t）-1） 300N（t）N（t）-1）总N（t）N（t）N（t）N（t）特别是，以下关系提供了过渡计数的横截面计数：N（t）=N（t），N（t）=N（t）+N（t），N（t）=N（t）+N（t），N（t-1） =N（t）+N（t），N（t）-1） =N（t）+N（t），N（t）-1） =N（t）。对于SIR模型，可以通过求解这些方程来获得以边际计数表示的转移计数。我们有：N（t）=N（t），N（t）=N（t）-1) - N（t）=-N（t），N（t）=N（t+N（t），N（t）=N（t-1) - N（t）-N（t）=-N（t）-N（t）=N（t），N（t）=N（t-1），在哪里 = 身份证件-L是差异运算符。我们推导出以下结果：命题1：对于假设A.1的SIR模型，序列N（t）=[N（t），N（t），N（t）]，t=0，T、这也是一个有效的统计数据。此外，过程[N（t）]是一个齐次马尔可夫过程。因此，我们在过渡计数和横截面计数中有相同的信息。这一特性在其他流行病学模型中并不令人满意。2.3生殖比率流行病学文献中介绍了疾病发展的其他概述。一个重要的概念是生殖（或生殖）比率（数字）。

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能者818

2022-4-26 15:27:09

通过计算新感染个体在其感染期内感染的预期风险个体数量来确定。在我们恒定恢复强度的框架中，感染/感染期的长度是随机的，具有基本概率的几何分布：P（X=X）=c（1）- c） x-1，survivorfunction:P[X≥ x] =（1）-c） x-1，x=1，2，预期值：EX=1/c。我们推断出在t日新感染的个体的预期感染人数为[Farrington，Whitaker（2003）]：R*0，t=an∞Xx=1Et[N（t+x- 1)](1 - c） x-1.=一∞Xx=0{Et[N（t+x）]（1- c） x]。（2.1）这一预期取决于传播率a、感染期的生存功能，以及风险人群的预期比例。例如，如果风险人群消失：N（t）\'0，然后r0，t=0。为了调整风险人群的规模和传播的医疗通知，通常建议也考虑：R0，t=aN（t）∞Xx=0[Et[N（t+x）]（1- c） x]。（2.2）这些数量被称为R0和R的基本繁殖和有效繁殖数量*分别为0，t。在假设A.1下，预测EtN（t+x）=g[A，c，N（t），N（t），N（t）]的齐次马尔科夫性质，其中g是独立于时间的非线性函数。因此0，t，R*0，塔尔索通过时间t的边缘计数依赖于时间。在文献中，这种时间依赖性往往被忽略，只关注于流行病的早期阶段（暴发）。[参见。

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能者818

2022-4-26 15:27:15

Hethcote（2000）]。在该日期t=0时，假设：i）N（0）=N- ε、 N（0）=ε，N（0）=0，其中ε，ε>0，非常小。该ε对应于第一个感染个体或第一个集群。如果没有这种最初的感染，这种疾病就不会在人群中出现。换言之，SIR模型假设“封闭经济”，但初始日期除外。ii）在接下来的几天内N（t）=N- ε（t），其中ε（t）也很小。生殖比率的近似公式是：R0,0=R*0,0\'a∞Xx=0（1）-c） x=ac，（2.3），也就是说，传播率乘以传染源代码的预期长度。这个共同值被称为初始生殖比。然而，在疫情期间，这些措施可能会产生重大影响。2.4模拟计数变量的条件分布很容易从假设A.1中推导出来。命题2：在假设A.1下，i）N（t）和N（t）是独立的。N（t）遵循二项分布B[N（t- 1），安（t）-1） n]。N（t）遵循二元分布B[N（t-1），c]。过程[N（t），N（t）]是一个马尔可夫过程。

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可人4

2022-4-26 15:27:22

其条件分布由[N（t），N（t）]的分布通过变量的变化得到：N（t）=N（t）-1) - N（t），N（t）=N（t-1） +N（t）-N（t）。这些结果可用于模拟给定参数值a、c和给定起始计数N（0）、N（0）、N（0）的聚合计数，沿以下方案，其中→ 是命题1（i）和d的二项分布图→ 确定性关系在Proposition 1（ii）中的应用。表2：模拟方案[N（0），N（0），N（0）]d-→ [N（1），N（1），N（1）]d→↓ s%d↓ s【N（1），N（1）】对于模拟并与2019冠状病毒疾病相似，参数值可以固定为：c=0.07，对应于大约14天的预期感染期，R0,0=介于0.5和1.5之间的a/c，意味着介于0.095和0.105之间。例如，与多伦多市相对应的人口的初始结构可以是n=3000000，其中第一组n（0）=50[其中n（0）=0]。因此，对于\'0.1，在t=0时，p（0）\'0.150=。因此，p（t）很小，p（0）很小，在疫情开始时p（t）也很小。模拟路径如图1所示。我们观察标准模式：o风险人群规模的下降模式。o免疫接种人数的增长模式在这一模拟中，传染人数的高峰出现在一年左右。图中给出了大量天数，以强调渐进行为。对于这个SIR模型，存在群体免疫[Allen（1994）]，免疫率约为55%。在SIR模型中，传染期和传染期假设相同。2019冠状病毒疾病并非如此。图1：模拟路径01000020000000000 100 200 300 400 500次（天）填充状态：N1（t）N2（t）N3（t）在每个日期t，我们可以模拟并平均几个未来路径n（t+x），x=1。

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能者818

2022-4-26 15:27:28

，30，并计算t处的基本繁殖数和有效繁殖数。图2中报告了这些路径，复制数等于S=100。我们观察到，在SIR的离散化版本中，即使是基本生产数量，即根据风险人口规模调整的数量，在流行病期间也不是恒定不变的。图2：基本生育率和有效生育率的演变0。81.01.21.40 100 200 300 400 500次（天）R0R0类型：R*0，t（基本）R0，t（有效）我们还观察到，有效繁殖数的最终水平与其起始值相等。事实上，对于大t，风险人口的规模与最终规模一致，然后是R(∞) = 空调也是。图2给出了未来路径N（t）在100天内的演化情况。实际上，总和可以被截断，这种截断可能会对R的评估产生影响。图3提供了分别在30天、60天和100天内计算的繁殖率的演变。图3：截断条件下繁殖率的演变0。751.001.250 100 200 300 400 500次（天）R0运行*0，t（30）R0，t（30）R*0，t（60）R0，t（60）R*0，t（100）R0，t（100）3估计。1挑战SIR模型的估计，以及更普遍的任何流行病学模型的估计，由于三个主要原因有点具有挑战性。i） SIR模型是一种具有混沌特性的非线性动力学模型[参见Harko，Lobo，Mack（2014）]。这意味着，从中长期来看，参数值a、c的微小变化，尤其是估计误差，可能会对过程的演变产生重大影响。众所周知[见Allen（1994）]确定的离散时间版本的SIR模型满足群体免疫力。

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大多数88

2022-4-26 15:27:34

然而，在我们的随机框架中，群体免疫水平以及达到免疫水平的时间对a、c值和初始条件非常敏感。ii）疾病的演变是非平稳的，如图1所示。如果R0,0>1，受感染个体的比例增加到一个峰值，然后下降到一个渐近平稳状态。这种非平稳性使得很难将估计量的性质分析为观测日期T的函数。此外，在疫情开始时，T通常很小，在20-60天之间。iii）与前一点相比，横截面尺寸n非常大，当n趋于一致，T固定时，我们期望一个渐近理论。然而，命题2显示了二元分布B[N（t）的关键作用- 1），p（t）]和B[N（t）]- 1），c]，t=1，T对于无症状分析，重要的不是n，而是边缘计数sn（t）-1），N（t）-1). 虽然易感人群通常非常多，至少在疾病开始时是如此，但感染者的数量却少得多。然而，对于大N（t- 1），N（t）- 1），我们可以应用二项分布的标准渐近结果。也就是说，通过泊松分布或高斯分布来逼近它的可能性。因此，B（N，p）的近似值是p（Np），如果N→ ∞, P→ 0，这样的Np→ λ>0，或N[Np，Np（1- p） ]如果N→ ∞, p固定。在我们的框架中，p（t）=c和p（t）都很小。两种方法之间的选择取决于N（t）的大小-1） p（t），N（t）-1） p（t），t=1，T也就是说，新感染者和新康复者的数量分别为。粗略地说，如果它们小于45-50，比如说，可以使用泊松近似，否则使用高斯近似。

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能者818

2022-4-26 15:27:40

但在疫情开始和结束时，N（t）和N（t）都相当小，而在疫情高峰期则更大。因此，近似值将取决于观测日期。他们还依赖于感兴趣人口的规模。例如，如果我们想考虑多伦多的一个亚群体，比如说，比75.3.2机械模型年长的男性，那么这个规模就更小。文献的主要部分是基于一个确定性动态模型，该模型隐含地假设了通过频率对应物近似理论转换概率的可能性。也就是说，使用高斯近似。更准确地说，在假设A.1下，我们有：-1^p（t）=p[^p（t）-1） ]p（t-1). （3.1）因此如果^p（t）~ p（t），我们得到p（t）s的以下确定性动力学模型：p（t）=p[p（t-1） ]p（t-1). （3.2）这通常被称为机械模型[参见Breto等人（2009）和附录1，因为它与连续时间SIR模型的联系]。3.3（近似）最大似然估计在我们的框架中，对数似然函数L（a，c）可以分解为和L（a，c）=L（a）+L（c）。这使我们能够通过分别关注（观察到的）转换矩阵的第一行和第二行，分别估计A和c（见附录2）。不同的对数似然函数也可参见Zhang et al.（2020）的分析，该分析仅限于钻石公主号游轮上的流行病分析。例如，基于二项分布的真实分布，或基于泊松或高斯近似的近似分布。3.3.1二项式对数概率我们有：L（a）=TXt=1{N（t）log[1- a^p（t）- 1） ]+N（t）log[a^p（t）- 1） ]}，（3.3）L（c）=TXt=1{N（t）log（1）- c） +N（t）log c}。

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nandehutu2022

2022-4-26 15:27:47

（3.4）a的最大似然估计是一阶条件的解：-TXt=1N（t）^p（t）-1)1 - ^a^p（t）-1)+^aTXt=1N（t）=0，（3.5），没有封闭形式的表达式。c的最大似然估计量为：^c=TXt=1N（t）/TXt=1N（t）-1） =TXt=1N（t）-1） TXt=1N（t-1） ^p（t）. （3.6）这是注明日期的过渡频率的加权组合。3.3.2泊松近似对数概率：LP（a）∝TXt=1{N（t）log[aN（t- 1） ^p（t）- 1)] - 安（t）- 1） ^p（t）- 1）（3.7）LP（c）∝TXt=1{N（t）log[N（t）- 1） c]- N（t）- 1） c]}。（3.8）我们得到了泊松近似最大似然（AML）估计量，其封闭形式为：^aP=nTXt=1N（t）/TXt=1[N（t）-1） N（t）-1），（3.9）^cP=TXt=1N（t）/TXt=1N（t）-1） =^c.（3.10）第一个公式表明，^aPis是日期估计的过渡系数的加权平均值：^at=N（t）/[N（t）]-1） ^p（t）-1） ]中，权重与N（t）成比例-1） ^p（t）-1).我们推导了初始生殖数的相应估计量的解析公式：^R0，P=nTXt=1N（t）TXt=1N（t）-1） TXt=1[N（t-1） N（t）-1） ]TXt=1N（t）。（3.11）如果xt=1N（t）非零，也就是说，如果观察到回收率，则可以使用该公式。3.3.3高斯近似对数概率：LG（a）∝ -TXt=1log（a^p（t-1)[1 - a^p（t）-1)]) -TXt=1N（t-1） [p（t）-a^p（t）-1） [a^p（t）-1)[1 - a^p（t）-1） [，（3.12）LG（c）∝ -Tlog[c（1- c） ]-TXt=1N（t-1） [p（t）-c] c（1）-c）。（3.13）3.3.4不可行高斯近似对数似然通过替换方差a^p（t）获得近似对数似然-1)[1 -a^p（t）-1） ]通过估计^p（t）[1- ^p（t）]。我们得到：吊耳（a）=-TXt=1N（t）-1）（p（t）-a^p（t）-1） [p（t）（1）- ^p（t）]. （3.14）我们得到了^aUG的闭式表达式，它对应于a:^aUG=TXt=1（N（t）的不可行广义最小二乘（GLS）估计量-1） ^p（t）-1)/[1-^p（t））/TXt=1N（t）-1） ^p（t）-1） ^p（t）[1- ^p（t）].

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何人来此

2022-4-26 15:27:53

（3.15）3.3.5泊松/高斯近似对数概率当n大、p小和np大时，泊松分布p（np）可近似为高斯分布n（np，np）。因此，与3.3.3中的近似值相比，方差中的项被忽略。我们有：LP G（a）∝ -TXt=1log[a^p（t-1)] -TXt=1（N（t-1） [p（t）-a^p（t）-1） [a^p（t）-1））（3.16）LP G（c）∝ -T log c-TXt=1N（t）-1） [p（t）-c] c（3.17）当n趋于一致时，这可能不一致。然后AML估计是2次多项式方程的正解，即：TTXt=1{N（t-1） ^p（t）-1） }a+a-TTXt=1{N（t-1） ^p（t）}=0，ttxt=1N（t）-1） nc+c-TTXt=1{N（t-1） ^p（t）}=0。总之，我们得到的a，c和初始复制数R0，0=a/c的AML估计数与（近似）对数似然数一样多。这也解释了R0,0的不同近似值，即使适用于同一系列的总计数。3.4反洗钱估计器的性质反洗钱估计器的性质可通过第4节中所述的蒙特卡罗方法得出。它们的渐近性质取决于泊松或高斯渐近（取决于哪一种最合适）以及所选的估计量。例如，当高斯渐近条件满足时，我们可能选择了PoissonAML估计。在这种情况下，B（N，p）很好地由N[Np，Np（1）逼近-p），它被p（Np）取代，p（Np）与N（Np，Np）相近。

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kedemingshi

2022-4-26 15:27:59

因此，我们没有使用正确的高斯近似，忽略了inp项。为了说明，我们考虑以下两种情况：i）当泊松渐近有效时，泊松AML估计量^aP的行为。ii）当高斯渐近有效时，二项式ML估计量^a的行为。3.4.1 Poisson AML和Poisson渐近性让我们考虑T=1的情况，即对聚集的两个观察。以下主要结果适用于任何特定情况。然后我们有：^aP=nN（1）/N（0）N（0），^cP=N（1）/N（0），^R0，P=^aP/^cP=N（1）N（1）nN（0）。（3.18）在[N（0），N（0）]的条件下，估计量^apa和^cpa是独立的，因此N（0）N（0）N^aP~ P[aN（0）N（0）N]，N（0）^cP~ P[cN（0）]。我们推断：E^aP=a，E^cP=c，这表明泊松估计量对于T=1是无偏的。它们的方差为：V^aP=anN（0）N（0），V^cP=cN（0）。（3.19）在实践中，N（0）\'N和N（0）对于泊松渐近有效性来说是相当小的（<30或40）。因此，V（^aP）和V（^cP）都不是小的，即使对于大的n，我们也不能期望在泊松渐近下，对于nlarge，V（^aP）和V（^cP）的一致性。此外，在疫情刚开始时，受感染的个体尚未恢复，这意味着N（1）=0。我们推断：^R0P=^aP/^cP=^aP/0=∞. 这说明在暴发的初始阶段，基本生产比率缺乏准确性。备注1：无偏性特性适用于T=1的情况。如果t=2，我们有：^aP=n[n（1）+n（2）]n（0）n（0）+n（1）n（1）我们推断出它在日期1时的期望：E（^aP）=nN（1）+aN（1）n（1）n（0）n（0）+n（1）n（1），通过迭代期望，E（^aP）=nEN（1）+aN（1）N（1）N（0）N（0）+N（1）N（1）,这是计数N（1），N（1），N（1）的复杂非线性函数的期望。3.4.2二项式ML和高斯渐近这是适用大数定律和中心极限定理的标准渐近理论。

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kedemingshi

2022-4-26 15:28:05

样本频率倾向于它们的理论对应：^pjk（t）→ pjk（t），^pj（t）→ pj（t），j，k=1，2，3，当n趋于一致时。ML估计器倾向于真实参数值：^a→ a、 ^c→ c、 ^R=^a/^c→ a/c，速度1/√n、 ^a，^c是渐近独立的，渐近正态的，它们的方差由以下公式一致估计：^V（^a）=（TXt=1N（t）^p（t）-1)[1 - ^a^p（t）-1)]+^aTXt=1N（t））-1，（3.20）^V（^c）=^c（1）- ^c）TXt=1N（t-1). （3.21）备注2：高斯渐近也可以应用于其他AML估计，如泊松AML。在这种情况下，isstill的Poisson AML估计是一致的，渐近正态的。然而，由于近似对数似然是错误的，其渐近方差是通过一个三明治公式获得的，该公式涉及信息矩阵的两个表达式[seeHuber（1967）]。4蒙特卡罗研究即使可以使用高斯渐近，我们也不知道它们在确定不同参数a、c、R的置信区间时是否准确，我们对第3节中介绍的一些估计器进行蒙特卡罗分析。我们将设计计算如下：N（0）=3000000，N（0）=1001000，T=20，c=0.07，R=2这对应于在[0，T]期间计算的估值。注意，边际计数的过程是马尔可夫过程。因此，它也适用于在（t，t+t）上计算的RollingSimator，例如，t处的边际计数是N（0），N（0）的固定计数。这解释了为什么我们在设计中允许N（0）的大值。

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