因此，具有相同先验超参数的单纯形+熵正则化（8）与单纯形+岭正则化（5）具有相同的功能：施加单纯形并向等权方向收缩。A.1关于ω=（ω，ω，…，ωK）的先验Dirichlet超参数α=（α，α，…，αK）isfD（ω；α）=B（α）KYk=1ωαK-1k，其中B（·）是β函数，αk>0K∈ 1.K、 ω的支点是ωK∈（0,1）pkk=1ωk=1。众所周知，狄里克莱均值和方差为：E（ωi）=αiPKk=1αkandvar（ωi）=αiPKk=1αk1.-αiPKk=1αk1+PKk=1αk。因此，当α=α=…=αK=α，我们有[ωK]=1/KandV ar（ωK）=K- 1αK+K，对于所有K=1。。。，也就是说，先验知识以相等的权重1/K和var（ωK）为中心→0作为α→∞, 因此，α决定了先前的精度，较大的α会产生更大的向后收缩1/K.A.2。后验分布是fd（ω| y；α）=TYt=1KXk=1ωkfk，t（yt）|{z}伪似然×B（α）KYk=1ωα-1k |{z}先验，所以对数后验islog fD（ω；α）=TXt=1logKXk=1ωkfk，t（yt）！+(α - 1） KXk=1log（ωk）- 对数B（α）。因为B（α）不依赖于ω，我们可以去掉最后一项，所以后验模态是ω=arg minω-TXt=1logKXk=1ωkfk，t（yt）！|{z}对数分数+（α- 1)-KXk=1log（ωk）！|{z}惩罚（A.2）s.t.ωk∈ （0,1），KXk=1ωk=1。A.3理解惩罚项理解惩罚项的一种方法是回顾Owen（2001）的经验似然最大化问题的解决方案，arg minω-KXk=1log（ωk）！s、 t.ωk∈ （0，1），KXk=1ωk=1，这是相等的权重，ωk=1/k，k、 因此，我们看到（A.2）的惩罚部分在ωk=1/k时最小化，这对惩罚项产生了清晰的解释。较大的α意味着ω上的一个更紧的优先级，向等重方向收缩更大。有几个有趣的限制性案例。首先，对于α→∞, 惩罚项占主导地位，最优解为等权。

第二，对于α→1，惩罚项消失，且在施加单纯形约束的情况下，最优解与最优线性池的解相匹配。第三，var（ωk）有一个上界：asα→0，var（ωk）→（K）- 1） /K.A.4备注1。熵正则化优化问题是凸的，因为logscore和惩罚都是凸的。正则化ω可能不存在封闭形式，但凸性使数值计算变得简单。2.熵正则化与脊正则化具有明显的平行性。众所周知，岭正则化在Gaussianprior的贝叶斯分析中作为后验模式出现，正如我们所展示的，熵正则化在Dirichlet prior的aBayesian分析中作为后验模式出现。此外，这两种正则化都由一个与先验精度相关的参数控制。3.如果岭惩罚和熵惩罚的效果在某些方面非常相似（施加单纯形和向1/K收缩），那么它们的完整贝叶斯解释仍然不同。特别是，岭（高斯）和熵（狄里克莱）的先验值不同，即使它们的平均值相同（1/K），因此后验值也不同。对于α<1，狄里克莱先验分布甚至可能没有单模。参考AASTVEIT，K.A.，J.Mitchell，F.Ravazzolo和H.K.van Dijk（2020），“经济学中预测密度组合的演变”，牛津研究经济和金融百科全书，出版。Amisano，G.和J.Geweke（2017），“使用几种宏观经济模型进行预测”，《经济学和统计评论》，99912-925。Askanazi，R.，F.X.Diebold，F.Schorfeide和M.Shin（2018），“关于跨期预测的比较”，《时间序列分析杂志》，39953-965。Bates，J.M.和C.W.J Granger（1969），“预测的组合”，运营研究季刊，20451-468。比利奥，M.，R.卡萨林，F。

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