关于概率评估的集合：正则混合

2022-4-26 15:31:20

关于概率评估的聚合：尿酮通胀和实际利率预测密度的正则化混合Francis X.Diebold宾夕法尼亚大学新竹联邦储备银行费城张元宾夕法尼亚大学2021年1月6日摘要：我们提出了构建密度预测正则化混合的方法。我们探讨了各种目标和正规化惩罚，并将其用于欧元区通货膨胀和实际利率密度预测的实质性探索。所有独立的通货膨胀预测者（即使是事后最好的预测者）的表现都优于我们的常规输入。从大衰退开始，最优正则化倾向于将密度预测的概率质量从中心移动到尾部，从而纠正过度自信。致谢：对于乌穆特·阿科瓦利、布伦丹·比雷、格雷厄姆·埃利奥特、罗布·恩格尔、多梅尼科·吉安诺、克里斯蒂安·汉森、努尔·梅德达希、迈克·麦克拉肯、马塞洛·梅德罗斯、詹姆斯·米切尔、琼·帕克、哈森佩萨兰、扬基·申、迈克·韦斯特和肯·沃尔平，我们非常感谢。我们也感谢欧共体的会议参与者，以及KAEA和AMLEDS的研讨会参与者。本文中表达的观点仅为作者的观点，不一定反映费城联邦储备银行或联邦储备系统的观点。关键词：密度预测、预测组合、调查预测、收缩、模型选择、正则化、部分平均主义套索、模型平均、子集平均Jel代码：C2、C5、C8联系人：fdiebold@sas.upenn.edu，明丘。shin@phil.frb.org1简介y系列的预测组合包括将一组y，f=（f，…，fK）预测转换为“组合”预测c（f），希望更优。

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2022-4-26 15:31:26

大多数hugeliterature侧重于单变量点预测的线性组合，在这种情况下，我们可以将组合预测写成c（f；ω）=ωf，用于组合权重向量ω=（ω，…，ωK）。我们通常在二次损失下进行，选择权重以最小化四次组合预测误差（SSE）、SSE（c（f；ω），y）=TXt=1（yt）之和- ωft），其中预测和实现的样本包括t=1。。。，T也就是说，我们只是简单地运行最小的平方回归→ FfK，所以ω=arg minωSSE（c（f；ω），y）.这是经典的Bates and Granger（1969）和Granger and Ramanathan（1984）解决方案。然而，最近的点预测组合文献，如Diebold和Shin（2019年），则侧重于解决惩罚估计问题的权重，即ω=arg minω目标（c（f；ω），y）+λ·P能（ω）, （1）其中，拉格朗日乘数λ控制惩罚的强度。维持二次损失，我们有^ω=arg minωSSE（c（f；ω），y）+λ·P enalty（ω）.如果λ=0，我们显然得到了Bates-Granger-Ramanathan解，但最近的文献主要关注λ>0。这就产生了正则化，这在通常具有实际意义的有限样本中非常有价值，尤其是对于经济调查预测，其中样本量T通常相对于预测者K的数量非常小。惩罚的精确性决定了正则化的精确形式，但总的来说，它涉及选择和/或在惩罚引导下的收缩。例如，Tibshirani（1996）著名的套索惩罚，P enalty（ω）=PKk=1 |ωk |，导致选择广泛而有见地的调查，包括Timmermann（2006）、Elliott和Timmermann（2016）以及Aastveitet al。

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2022-4-26 15:31:33

(2020).我们假设预测是无偏的，所以不需要截取。收缩到0。本文将正则化预测组合的思想推广到密度预测中。密度预测很重要，因为预测密度是完全的概率陈述，这总是可取的，有时是无价的，而且越来越有用。例如，密度预测提供的信息比区间预测多得多，区间预测又比点预测提供更多的信息。我们使用“线性意见库”（混合），如Halland Mitchel（2007）、Geweke和Amisano（2011）以及Amisano和Geweke（2017）的主要贡献，但我们考虑了各种评估目标，最重要的是，我们引入了正则化约束。我们的正则化密度预测组合是正则化的混合物，在为混合物正则化构造适当的惩罚时出现了重要的微妙之处。本文针对这种情况，提出了几种解决方案。我们的方法与计量经济学和统计学文献中早期和当前的工作相关。我们的工作和许多近期文献的一个基本观点是，传统上采用的贝叶斯模型平均（BMA）对于从误判模型中组合密度预测不具有吸引力，因为它无法确认误判（Diebold，1991）。也就是说，它隐式或显式地假设其中一个模型为“真”，在这种情况下，后验预测密度渐近地将所有概率置于该模型上，因此BMA实际上无法平均。

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2022-4-26 15:31:39

相反，一旦我们认识到所有模型都是错误的，我们就需要一种能够提供防御和多样化的模型组合（加权平均）的方法，即使是渐进的。在一组计量经济学文献中，这导致霍尔和米切尔（2007）、布罗迪等人（2009）、格韦克和阿米萨诺（2011）以及阿米萨诺和格韦克（2017）离开了BMA，转而与优化对数分数的线性意见库合作。在与BMA不同的计量经济学文献中，Billioet al.（2013）将密度预测组合视为非线性过滤问题，可能具有时变混合权重。统计文献中的平行发展现在承认了误判，区分了“M-开放”和“M-完整”的情况，并通过“叠加”预测密度（Yao等人，2018年）或通过“动态贝叶斯预测合成”（McAlinn和West，2019年）实现了密度预测混合的多样化。我们从那里接起，并按如下方式进行。在第2节中，我们讨论了混合正则化的目标，即与目标（c（f；ω），y）相关的各种选择和问题。此外，正如Askanazi等人（2018年）和Brehmer and Gneiting（2020年）最近的工作所述，区间预测的评估从根本上是有问题的。然后在第3节中，我们讨论了与P enalty（ω）相关的选择和问题，从关键单元单纯形惩罚开始，我们始终保持这种惩罚，然后介绍混合单纯形惩罚与其他惩罚的混合惩罚。在第4节中，我们介绍了蒙特卡洛证据，说明我们的程序的有效性。在第5节中，我们展示了欧洲中央银行（ECB）对欧元区通货膨胀和实际利率的调查密度预测的实证结果。

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2022-4-26 15:31:45

我们在第6.2节目标中得出结论，考虑标量变量y的离散密度（直方图）预测，其取值为m=1。。。，垃圾箱或分类。用p=（p，…，pM）表示预测。在第2.1-2.3节中，我们从单个预测者在单个时段的密度预测“分数”开始，在第2.4节中，我们将讨论扩展到多个预测者和时段，并在第2.5.2.1节中提供额外的讨论日志分数日志分数（Good，1952；Winkler和Murphy，1968）isL（p，y）=- logMXm=1pm1（y∈ bm）！，（2）式中，pmi是分配给bin bm的概率，1（y∈ bm）=1如果y∈ 否则为0。按L排序的密度预测，越小越好，反映了对“小惊喜”的偏好。在频率解释中，L只是实现时评估的测井预测密度的（负值）；也就是说，它是预测对数可能性的（负值）。在阿巴耶斯的解释中，L是一个严格正确的评分规则。2.2 Brier评分Brier评分（Brier，1950）是：我们主要关注离散案例，因为它对我们最终分析的调查预测具有实际意义。当然，对于连续的案例，也存在类似的发展。关于评分规则，请参见Gneiting和Raftery（2007）及其参考文献。B（p，y）=MMXm=1（pm- 1（y）∈ bm）。Brier评分将二次损失的概念推广到密度预测。实际上，与所谓的“二次得分”Q（p，y）实际上是一样的-2MXm=1pm1（y∈ bm）+MXm=1pm！，（3）如Czado等人（2009年）所述。Q的排名必须与B的排名相匹配，因为一个是另一个的正单调变换。

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2022-4-26 15:31:51

在弱条件下，B和Q都是严格适当的轻蔑规则。2.3排名分数排名分数（Epstein，1969）为，R（p，y）=MXm=1（Pm- 1（y）≤ bm+），其中Pm=Pmh=1p（bh）是密度预测p的cdf，定义在桶bm=[bm]上-, bm+]，m=1。。。，M.R通过将实现情况与cdf预测进行比较，而不是与密度预测进行比较，从而有效地进行分析。R在弱条件下是严格适当的。2.4多个预报员和时间周期请允许我们修改符号，以识别特定预报员k。到目前为止，还没有必要，因为我们只考虑了一个预报员，但很快我们将考虑一组预报员k=1。。。，这只是一个符号上的变化，在相关位置插入“K”下标。另外，让我们写出一组时间段的分数，t=1。。。，T，而不是仅仅一个时期。这只是一段时间的总结。我们有：Lk（pk，y）=TXt=1- logMXm=1pmkt1（yt∈ bm）！！，k=1。。。，KBk（pk，y）=TXt=1MMXm=1pmkt- 1（yt）∈ bm）!, k=1。。。，KRk（pk，y）=TXt=1MXm=1Pmkt- 1（yt）≤ bm+）!, k=1。。。，K、其中pk=（pk1，…，pkT）是预报员K随时间变化的密度预测序列，andy=（y，…，yT）是随时间变化的实现序列。2.5讨论到目前为止，我们已经含蓄地强调了L、B和R分数之间的差异，但也有许多相似之处。B、例如，它可能与高斯环境有关，因为它是一种均方误差模拟，不像L，L直接基于可能性，因此具有极大的通用性。但事实并非如此；实际上，它的“Q版本”（3），Q=-2L+MXm=1pm！，揭示了它与L的密切联系。此外，无论分布环境如何，B仍然是严格正确的评分规则。现在考虑R。

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2022-4-26 15:31:58

首先，值得注意的是，R是绝对误差损失对密度预测的推广，正如B是平方误差损失对密度预测的推广。特别是，Gneiting和Raftery（2007）表明R由Ep | Y驱动- y |：R（p，y）=Ep | y- y|-Ep|Y- Y |，其中Y和Y是分布为p的随机变量的独立副本。其次，R对密度预测的绝对误差损失（MAE）的推广也使Diebold和Shin（2017）的随机误差距离（SED）得到推广，因为SED和SED排名必须一致，有趣的是，SED是基于cdf差异的，就像R一样。最后，尽管R可能与特定（拉普拉斯）分布环境有关，因为它是一个绝对误差模拟，但事实并非如此。无论分布环境如何，R都是严格正确的评分规则。3.惩罚我们的目标是生成密度预测的混合，c（ω）=KXk=1ωkpk，具有正则化的混合权重ω=（ω，…，ωK）。我们对混合物进行评分的方式与对单个密度预测进行评分的方式相同。唯一不同的是，我们现在对混合物c（ω）进行评分，而不是单独的预测值pk。到目前为止，我们主要关注正则化混合权重估计的适当目标，即目标（c（ω），y），并强调使用严格适当的密度预测规则。现在我们考虑正则化混合权重估计的适当约束，惩罚（ω）。正如我们将看到的，施加单位单纯形约束（即，施加混合权重为非负且和为一：ωi≥0i和pki=1ωi=1）提供了基本的正则化。然而，除此之外，同时施加其他规范化约束也可能有帮助。3.1单纯形单位单纯形约束有两部分：非负性和求和为一。

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能者818

2022-4-26 15:32:05

对于点预测，我们可以放松这两个部分，并有可能实现更好的点预测组合性能，正如Granger和Ramanathan（1984年）所承认的那样，并从那时起一直常规进行。正如布罗迪等人（2009）的开创性工作中首次认识到的那样，密度预测是不同的：当结合密度预测时，施加（两部分）单纯形约束至关重要。首先考虑非消极性。对于点预测，允许负组合权重可以提高绩效，其方式类似于允许金融资产组合中的空头头寸。相比之下，对于密度预测，负权重无疑是有问题的，即使总和为1，也会产生疾病，因为负混合权重会导致部分混合密度为负。现在，我们来考虑一个和。要使混合物组合成为有效的概率密度，需要立即求和为1。此外，单独地，混合权重估计问题的解决方案可以是病态的，而无需将和加为一。另见Yao等人（2018年），他们简要地讨论了与凸面混合权重施加相关的问题。要了解这一点，请考虑一个简单的示例，其中包含两个连续密度预测和一个对数目标。我们有ω=arg minω，ω-TXt=1log（ωf1，t（yt）+ωf2，t（yt））！，式中，fk，t（yt）是预测者i在实现时评估的密度预测，yt。如果没有同一个约束，最优解就无法很好地定义：ω或ω→∞ 或ω→∞导致目标函数值尽可能小，因为f1和f2对于任何yt都是非负的。出于以上所有原因，我们从今往后将非负性和求和性都强加于单纯形约束的一部分。有趣的是，此外，它们的施加不仅是消除病态的必要条件，而且也是提供正规化的理想条件。

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2022-4-26 15:32:13

特别是，单纯形约束明确规定了一个特定的L“参数预算”；这实际上是套索的一个特例。综合所有因素，具有对数分数目标的基本正则化估计量（Gewekeo和Amisano，2011；Amisano和Geweke，2017）为Arg minω-TXt=1logKXk=1ωkfk，t（yt）！！（4） s.t.ωk∈ （0,1），KXk=1ωk=1。然而，方法上的问题仍然是如何提供额外的、更灵活的正规化，以及实质性情况下具体的经验问题，即额外的正规化是否有用以及在哪里有用。在本文的剩余部分，我们将努力回答这两个问题。3.2单纯形+脊形单纯形正则化是LLASSO正则化的特例，对应于套索正则化参数的特殊选择。因此，我们不能引入额外的规则化。当然，也可以使用其他目标，如第2节前面所述。请注意，对于历史图预测，我们有fk，t（yt）=PMm=1pmkt1（yt）∈ bm）。然而，一些其他类型的额外正则化对于各种原因可能是有用的。一个原因是单纯形约束促进的稀疏性可能不可设计（Giannone et al.，2017），因此我们可能希望将所有K混合权重从0缩小，从而“撤销”套索式Lpenalty中隐含的选择，允许所有预测上的非零混合权重。我们特别关注向等重混合物引入收缩（即所有K重量向1/K收缩）。比如，考虑引入法律法规化。立即，除了单纯形约束之外，结合一个Lpenalty，我们得到：^ω=arg minω-TXt=1logKXk=1ωkfk，t（yt）！|{z}对数分数+λKXk=1ωk-K!| {z}Lpenalty（5） s.t.ωk∈ [0,1]，KXk=1ωk=1。这与Diebold和Shin（2019）的平均主义岭估计相类似，并施加了额外的单纯形约束。

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2022-4-26 15:32:19

注意，由于单纯形约束，解决方案可能会放弃一些预测（如果不完全为零，则将一些权重设置为近似值），但随着λ的增加，这种情况变得越来越不可能，从而将权重拉向相等。我们可以将（5）重写为^ω=arg minω-TXt=1logKXk=1ωkfk，t（yt）！|{z}对数分数+λKXk=1 |ωk |- 1!| {z}Lsimplex/套索惩罚+λKXk=1ωk-K!| {z}Lridge惩罚,（6） s.t.ωk∈ [0,1]，它强调了单纯形+山脊正则化涉及土地利用的组合。然而，请注意，我们不能自由选择λ，因为一个约束的和必须绑定；相反，对于“足够大”λ，等式（5）和（6）重合。方程（6）反过来揭示了单纯形+岭正则化与透明度密切相关，我们使用对数分数目标进行大多数论证。等式（6）还表明，单纯形+脊形与附加惩罚版本的偏袒性套索（Diebold and Shin，2019）密切相关，但与以L（脊形）形式而非L（套索）形式进行的平等惩罚密切相关。邹和黑斯蒂的弹性网（2005）。弹性净惩罚isP enalty（ω）=αKXk=1 |ωk | |{z}LLASSO惩罚+（1）-α） KXk=1ωk |{z}Lridge惩罚，其中α∈[0，1]是一个参数，因此弹性网也涉及土地L（即套索/单纯形和山脊）惩罚的组合。众所周知，弹性网络能够很好地处理具有许多相关预测因子的正则化问题，这正是我们关注的大型经济预测集的相关情况。3.3单纯形+发散在这里，我们从单纯形+脊移动到单纯形加上基于两个离散概率测度之间发散的一般惩罚。

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2022-4-26 15:32:25

正如我们将看到的，散度惩罚将simplex+ridge作为特例，但它也引入了丰富的新可能性。将估计器写成^ω=arg minω-TXt=1logKXk=1ωkfk，t（yt）！|{z}对数分数+λD（ω，ω）*)| {z}惩罚（7） s.t.ωk∈ [0,1]，KXk=1ωk=1，其中D（ω，ω*) 是w和w之间差异的度量*. 关键的见解是，一旦施加了单纯形限制，ω就可以解释为{1，2，…，K}上的离散概率测度。如果我们让ω*如果是每个时间点上权重为1/K的均匀概率质量函数，则惩罚优化（7）将解决方案缩小为等权重。保持一致ω*贯穿始终，但使用不同的散度度量D（ω，ω*),我们得到了新的正则化估计。例如：1。Lnorm，D（ω，ω）*) =KXk=1ωk-K,产生（5）和（6）中给出的单纯形加平均主义岭惩罚。Lnorm（总变化），D（ω，ω）*) =KXk=1ωk-K,产生单一加平等套索惩罚（迪博尔德和申，2019年）。从ω到ω的Kullback-Leibler散度（熵）*,D（ω，ω）*) = - 日志K-KXk=1logωk，产生“单纯形+熵”惩罚，-PKk=1logωk。在附录A中，我们正式展示了单纯形+熵正则化估计，^ω=arg minω-TXt=1logKXk=1ωkfk，t（yt）！|{z}对数分数+λ-KXk=1log（ωk）！|{z}熵惩罚（8） s.t.ωk∈ （0，1），KXk=1ωk=1，作为贝叶斯分析中的后验模式出现，具有对数分数（伪）似然性和狄里克莱先验，它仅对单位单纯形赋予正概率，并且对于特定的超参数配置，也使权重趋于相等。4.

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2022-4-26 15:32:31

α阶从ω到ω的R′enyi散度*,Dα（ω）*||ω) =α - 1logKXk=11/Kαωα-1k！，包含各种统计发散，包括Kullback-Leibler发散（α=1）和Hellinger距离（α=2），可用于产生更有趣的正则化估计量。所有上述散度函数都将密度混合权重缩小到相等，此外，R’enyi散度相当于Cressie Read Difference，直至a ffine变换。从而促进将更多的预报员纳入规则化的混合物中。重要的是，定义正则化估计（7）的优化是凸的，只要D（ω，ω*) 是ω的凸函数，因为对数分数和单纯形约束是ω的凸函数。这使得估计器的数值计算变得简单。3.4部分平均主义套索和子集AveragingOne可能需要部分平均主义惩罚的密度预测版本，正如Diebold和Shin（2019）针对点预测案例所开发的那样。部分伽利略岭或套索的加法形式是可能的，因为其解在原理上是可计算的。要了解这一点，请考虑单纯形约束的部分平均主义岭问题：^ω=minw-TXt=1logKXk=1wkfk，t（yt）！+λKXk=1工作-δ（w）!（9）科技工作∈ [0,1]，KXk=1wk=1，其中δ（ω）是ω中非零元素的数量。解的计算过程如下：1。我们将κ定义为要包括的预测者的数量。2.对于κ的特定值（在κ=1,2,3，…，K之间），存在CKκ预测因子的可能组合。3.对于第j个这样的组合（j=1，2，…，CKκ），我们求解*（κ，j）=minwj-TXt=1logKXk=1wjkfk，t（yt）！+λKXk=1wjk-δ（w）!s、 t.wjk∈ [0,1]，KXk=1wjk=1，其中，如果在第j个组合中未选择第k个预报员，则wjk为零。

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2022-4-26 15:32:37

在这种情况下，一些权重被强制为零，因此惩罚项减少到λKXk=1wjk-δ（w）= λXk∈Nwjk-κ,其中N={k:wjk6=0}。对于一组特定的预言者来说，这只是部分的平等主义山脊。4.原始部分平均主义岭问题的解是arg minκ，jL*（κ，j）。然而，不幸的是，计算成本是巨大的，因为我们需要求解惩罚优化nK=PKκ=1CKκ次。例如，当K=20时，nK=1048575。因此，密度混合料施工的部分平均主义程序通常是不可行的。然而，有一个非常重要的例外。Asλ→∞ 在方程（9）中，部分广义估计收敛到一个直接子集平均过程，符合Elliott（2011）的精神，该过程易于计算，并自动施加单纯形约束。子集平均法的思想很简单：每次向前滚动，我们都会简单地找到历史上表现最好的平均值，并使用它。第一个变量是“最佳N-平均值”。每次我们都要确定历史上表现最好的N预测平均值，并使用它。第二种变体是“最佳”≤Nmax平均值”。每次我们都会确定历史上表现最好的≤Nmax预测平均值并使用它。原则上，子集平均计算时间可能很长，具体取决于K和n（或Nmax）。对于K个预测者，要找到最佳的N-平均值，需要计算KCNSIMPLE平均值，然后对它们进行排序，以确定每个时段的最小值。best的PerPerPeriod计算负担≤Nmax预测平均值仍然更大，因为我们现在考虑的是所有子集，而不仅仅是大小为N的子集。幸运的是，在典型的经济预测组合中，相关的K和Nmax非常小。例如，在我们随后的经验工作中，Nmax≤4似乎足够了，我们有K=19。

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2022-4-26 15:32:43

最好的≤4因此，最大平均值组合需要对每个周期的平均值C+C+C+C=5035进行评估和排序。3.5讨论需要强调的是，我们的规则化混合密度预测不仅仅是对现有组合点预测方法的直接修改。它们以重要而有趣的方式进行区分。1.目标函数发生变化。在密度情况下，“预测误差”和“平方误差之和”之类的东西是不明确的。必须使用适当的密度预测评分规则。我们强调了几个方面，包括日志分数、Brier分数和排名分数。2.惩罚函数发生变化。（a）当形成密度预测的混合时，必须引入单位单纯形约束，它的副作用是证明某种正则化。（b）通过将混合权重视为离散概率分布，密度预测的混合允许新的正则化惩罚，这些惩罚与保持的单纯形约束密切相关。我们引入了几个这样的惩罚，强调了库尔贝克-莱布尔距离（熵）。最后（我们还没有注意到这一点），一旦施加了单纯形约束，通常没有必要将正则化惩罚集中在相等的权重上。无论哪种方式，都会导致重量相等的收缩。例如，考虑等式（5）中的岭+单纯形惩罚，并考虑以相等的权重为中心，与以0为中心相比。

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2022-4-26 15:32:49

没有区别，因为ekxk=1ωk-K=KXk=1ωk-KKXk=1ωk+k=KXk=1ωk+1- 2KK，（10），其中最后一个等式是由于simplexconstraint中嵌入的一个限制的和。直觉是，当总和保持为一个限制时，向0收缩是不可能的，并且相等的权重尽可能接近0。4 Monte CarloWe现在通过一个小型的Monte Carloa分析来探索正则化混合估计的潜力。我们假设预报员已知的数据生成过程（DGP）是：yt=xt+σyet，et~ iid N（0，1）xt=φxxt-1+σxvt，vt~ iid N（0，1），（11），其中e和v在所有超前和滞后处都是正交的。y是要预测的变量，XT可以解释为yt的长期组成部分。单个预测者得到的结果是不均匀的事实上，只要所有权重集中在同一个值上（不必为1/K），并且权重的总和被限制为有界实值（不必为1），这种等价性就成立。表1:DGP 1调节组L#λ的平均对数分数*单纯形-1.31 5.27 NASimplex+脊线-1.15 20.00 2511.25单纯形+熵-1.15 20.00 5.22子集平均值L#λ*最佳N平均值：N=1-2.64 1.00 NAN=2-1.59 2.00 NAN=3-1.37 3.00 NAN=4-1.29 4.00 NAN=5-1.23 5.00 NAN=6-1.22 6.00 NAN=7-1.21 7.00 NAN=8-1.20 8.00 NAN=9-1.18 9.00 NAN=10-1.18 10.00 NAN=15-1.16 15.00 NAN=20.00 NABest≤2-平均-1.61 2.00纳贝斯特≤3-平均-1.42 2.84纳贝斯特≤5-平均-1.34 3.63纳贝斯特≤10平均-1.33 3.71纳贝斯特≤15平均-1.33 3.71纳贝斯特≤20平均-1.33 3.71 N比较L#λ*最佳-0.24 1 NA95百分位-0.53 1 NAMedian-1.40 1 NA5百分位-4.16 1 NABEST-12.19 1 NASimple K-平均-1.15 20纳米：L是平均日志分数，#是选择的预测员的平均数量，λ*是事后最优惩罚参数，K是预测者的总数。

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2022-4-26 15:32:57

我们进行了10000次蒙特卡罗复制。表2:DGP 2调节组L#λ的平均对数分数*单纯形-1.29 4.74 NASimplex+脊线-1.19 8.65 15.00单纯形+熵-1.27 20.00 0.05子集平均值L#λ*最佳N平均值：N=1-2.65 1.00 NAN=2-1.57 2.00 NAN=3-1.34 3.00 NAN=4-1.26 4.00 NAN=5-1.21 5.00 NAN=6-1.19 6.00 NAN=7-1.19 7.00 NAN=8-1.18 8.00 NAN=9-1.18 9.00 NAN=10-1.18 10.00 NAN=15-1.46 15.00 NAN=20-1.64 NABest≤2-平均-1.57 2.00纳贝斯特≤3-平均-1.39 2.83纳贝斯特≤5-平均-1.33 3.46纳贝斯特≤10平均-1.33 3.51纳贝斯特≤15平均-1.33 3.51纳贝斯特≤20平均-1.33 3.51 n比较L#λ*最佳-0.28 1 NA95百分位-0.98 1 NAMedian-3.79 1 NA5百分位-32.69 1 NABEST-182.42 1 NASimple K-平均-1.64 20纳米：L是平均日志分数，#是选择的预测员的平均数量，λ*是事后最优惩罚参数，K是预测者的总数。我们进行了10000次蒙特卡罗复制。图1：预期混合物性能与惩罚强度的蒙特卡罗估计：我们进行了10000次蒙特卡罗复制。关于xt的独立噪声信号。对于预报员k，我们有zkt=xt+σzkηkt，ηkt~ iid N（0，1），（12），其中η和ηkare在所有预测者k和k的所有超前和滞后处都是正交的。假设预测者强烈相信1步预测密度是方差σy的高斯分布，但他们不知道其平均值，因此预测者k使用szkt，从而得出预测密度kt（yt+1）=N（φzkt，σy）。（13）请注意，在这种环境下，预报员的预测密度仅因其位置（平均值）而异。我们考虑两种参数化：1。DGP 1：对于所有k2，σzk=1。DGP 2:k=1，2，…，的σzk=1。。。，k=k+1，…，kσzk=5。。。，K、其中，每个DGP都有公共参数φx=0.9，σx=1，σy=0.5。

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能者818

2022-4-26 15:33:03

这两个DGP不同于预报员接收到的信号质量。在DGP 1下，应首选简单平均值，因为所有信号都具有相同的质量，而在DGP 2下，应首选线性负相关规则（至少是渐进的，以便估计误差消失），为预测者k=1，2。。。，K、他们接收到更好的信号。为了与我们随后的实证工作保持一致，我们探索了K=T=20。我们生成数据，估计混合权重，生成提前一步的混合密度，并使用对数分数目标对其进行评估。我们重复这10000次，并计算几种方法的平均LPS：1。简单平均2。单纯形（方程式（4））3。单纯形+脊形（方程式（5））4。单纯形+熵（方程式（8））5。带λ的子集平均（等式（9）→∞).对于单纯形+脊和单纯形+熵，我们探索了20种惩罚强度。对于Simplex+ridge，我们在[1e-15,10]中选择10个等间距点，在[1510000]中选择10个等间距点。对于单纯形+熵，我们在[1e-15,0.2]中选择10个等距点，在[0.3,20]中选择10个等距点。数值结果见表1和表2，其中我们分别给出了DGPs 1和2下每种方法的优化平均对数分数。图形结果如图1所示，其中我们分别显示了在DGPs 1和DGPs 2下，优化分数如何随正则化惩罚强度变化。在DGP 1下，简单平均性能良好，而未经规范化的单纯形性能较差，正如预期的那样。随着收缩强度变大，单纯形+熵和单纯形+脊的性能单调提高，直到它们的性能与简单平均值（完全收缩）一样。此外，随着收缩强度的增加，simplex+熵的性能比simplex+脊的性能提高得更快，并且始终占主导地位。

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2022-4-26 15:33:09

最后，子集平均在DGP 1下的表现令人钦佩，正如预期的那样，最优“子集”包括所有预测者。在DGP 2下，单纯形预计表现良好，而简单平均预计表现不佳。单纯形确实优于简单平均法。此外，单纯形+脊和单纯形+熵的行为与预期一致。对于小收缩率（向左），其性能与单纯形相似；对于大收缩率（向右），其性能与简单平均值相似。在两者之间，对于适度的收缩，它们的表现优于simplex。在该区域，正则化单纯形改进了非正则化单纯形，因为较大的非正则化单纯形估计误差使得一些相关的预报员很可能被从池中删除，而正则化将他们带回来。重要的是，在DGP 2下，子集平均仍然表现出色，但正如预期的那样，现在最佳平均只涉及10个左右的预报员。需要注意的是，表1和表2以及图1中记录的性能在实践中几乎肯定无法实现，因为它需要事后全知（对正则化估计使用事后最优惩罚参数，对N-平均值使用暴露最优N）尽管如此，研究结果还是提供了信息，因为它们记录了原则上可以实现的目标，即使在实践中无法实现。

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2022-4-26 15:33:15

实际表现是一个经验问题，我们现在将其详细应用于欧元区通货膨胀和实际利率的密度预测。图2：2004年第四季度（左）和2018年第四季度（右）欧元区通货膨胀的个人和平均密度预测注：我们以灰色（频率多边形）显示个人调查预测，欧元区通货膨胀和实际利率预测我们使用我们的方法来构建欧元区通货膨胀和实际利率密度预测的规则化混合。预期通货膨胀通过其对名义利率的直接影响而成为债券市场的关键驱动力。正如布雷西亚尼·图罗尼（Bresciani Turroni，1937年）所经典强调的那样，预期的通货膨胀也可能会对实际增长产生负面影响，从而影响股票市场，因为它“把沙子放进了沃尔拉斯的齿轮”。此外，高流动性也可能是挥发性的（Friedman，1977），这会增加额外的沙子。预期通货膨胀也是事前实际利率的一个关键部分，而实际利率反过来又是跨期分配的关键指南，也是宏观经济基本面和金融市场之间的关键联系。因此，从各种角度来看，通货膨胀预测对金融市场、宏观经济和界面至关重要。5.1数据继Con-Fitti等人（2015）开创性的工作之后，我们研究了自1999年以来进行的欧洲央行专业预测员调查（ECB-SPF）中的通货膨胀密度预测。参与者在1月、4月、7月进行季度调查，另见Chen等人（1986年）。十月。我们的预测样本包含83个季度调查，从1999年第一季度开始，到2009年第三季度结束。作为数据的一部分，在图2中，我们展示了两个说明性调查（2004年第4季度、2018年第4季度）的所有预测，用频率多项式表示，简单平均预测用柱状图表示。

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2022-4-26 15:33:21

在两个调查日期，明显存在显著差异。例如，2004年第四季度的简单平均预测将通货膨胀率低于1%的概率定为2.3%，而在2018年第四季度，将相同事件的概率定为10.5%。继续，在图3的顶部面板中，我们展示了simpleaverage预测的完整时间序列。此外，随着时间的推移，无论是在地点还是规模上，都会出现明显的大变动。准确的欧元区通货膨胀预测目标是预测后一年统一消费物价指数（HICP）的百分比变化。例如，当调查在2017年10月（2017年第四季度）进行时，HICP通货膨胀数据可在2017年9月之前获得，因此2017年第四季度调查要求对2017年10月至2018年9月的年份进行预测。我们的实现样本与预测样本相匹配，包含83个季度观察结果，从1999年12月开始，到2020年6月结束。我们将很快使用对数分数目标和几种正则化，包括单纯形、单纯形+岭、单纯形+熵和子集平均，获得混合密度。然而，在进行实证研究之前，我们要解决几个问题。5.1.1调查进入和退出首先，预报员可以进入和退出调查池。在1999年第一季度和2019年第四季度之间，有103个独特的预报员，而且没有预报员连续出现在预报池中。继Gender等人（2013年）之后，我们首先排除了错过四次以上连续调查的预测者，剩下18名预测者。然后，我们根据历史表现对剩余间隙进行插值。看见https://www.ecb.europa.eu/stats/ecb_surveys/survey_of_professional_forecasters/html/index.en.html.Eurostat，统一消费物价指数：欧元区（19个国家）所有项目[CP0000EZ19M086NEST]，从圣路易斯联邦储备银行FRED检索。

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2022-4-26 15:33:27

路易斯；https://fred.stlouisfed.org/series/CP0000EZ19M086NEST.More准确地说，我们将第一次调查（t=11999Q1）中的差距与所有其他可用预测者的未遗漏预测的平均值结合起来。然后，我们计算每个预测者的排名分数，并根据分数将他们分成五个相互排斥的组，然后进行第二次调查。在接下来的每一轮（t=2,3，…，t）中，我们将某个预报员的缺失观测值设置为该组未缺失预测的平均值，然后使用全套预测重新计算得分，并更新组结构，以便在下一轮中使用。5.1.2时变仓位定义第二，结果仓位定义随时间而变化。虽然对于中等“标准”膨胀值而言，垃圾箱的定义一直比较稳定，但随着时间的推移，随着尾部实现率的下降，极端的尾部垃圾箱变得越来越多。例如，对于高膨胀，最初的压力大于3.5英寸，但最终被分为3.5-4和>4个料仓。我们继续有效地合并极端垃圾箱，以产生11个垃圾箱定义，为整个样本确定：(-∞, -0.5],(-0.5, 0], (0, 0.5], ..., (3.5, 4], (4, ∞].5.1.3零概率实现最终，对数分数目标可能会出现并发症。例如，考虑调查预测：y∈(-∞, 1.5]w.p.=0（1.5，2.0]w.p.=0.3（2.0，2.5]w.p.=0.5（2.5，3.0]w.p.=0.2（3.0，∞] w、 p.=0。（14）如果发生概率为零的实现，最左边和最右边箱子的概率为零，则由于使用日志，显然会对日志分数目标造成问题（最终损失）。零概率实现很少，但偶尔出现在我们的数据中。有时它们会出现在边缘垃圾箱中（例如，∞]), 因为预报员有时无法对这些垃圾箱做出肯定的预测。

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2022-4-26 15:33:33

除了边缘仓现象外，一些预报员的直方图过于尖锐，有时他们对最终包含实现的内部仓的概率为零。人们可以通过要求实现落入的调查箱被分配至少一些小概率，比如1%，来解决日志分数“零问题”。我们通过将1%的概率分配给包含实现的料仓来实现这一点，如果它最初被分配为0，那么1%将从最初分配为非零概率的料仓中获得相等的份额。在我们的样本期间，垃圾箱的数量从9个开始，在大衰退期间达到14个的峰值，最终下降到12个。当然，人们可以切换到另一个目标，但对数分数目标很简单，值得欢迎，这就是为什么我们在本文中一直使用它作为我们的理论和蒙特卡洛的主要案例。我们将继续在我们的实证工作中使用它，尽管它是零表3：欧元区通货膨胀正则化混合物的对数分数L#Simplex-1.88 3.52 Simplex+Ridge-1.86 4.99 Simplex+熵-1.87 19最佳4-平均值：-1.87 4最佳≤4-平均-1.90 2.24 ECB/SPF比较最佳-2.02 190%-2.04 170%-2.13中等-2.17最差-2.56 1简单平均-1.98 18注：我们显示了使用20个季度滚动估计窗口每季度进行的欧元区未来1年的通货膨胀密度预测的对数分数。磨合样本为1999Q1-2000Q4，预测评估样本为2001Q1-2019Q3（75个季度）。池中有18个ECB-SPF密度预报员，加上第19个预报员，其预测密度恒定且一致，总共有19个预报员。L是对数分数，#是所选预报员的平均数量。单纯形+岭和单纯形+熵的结果基于事后最优惩罚参数。

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2022-4-26 15:33:39

有关详细信息，请参阅文本。5.2经验结果池中有18名ECB-SPF密度预测员。我们还包括一个有效的第19个预测者，其预测密度是恒定且一致的，大致平行于包括一个恒定的点内预测组合回归，总共有19个预测者。按照Granger和Ramanathan（1984）的精神，先做肥皂梨。结果见表3。引人注目的是，每一种规则化的混合预测都优于每一位ECB/SPFinDivis个人预测者（甚至是事后最佳预测者）。要了解改进的规模，请注意最好的≤例如，4-平均值比中值个人预测者的预测能力强约15%，比theex post best个人预测能力强7%。每种规则化的混合物也优于simpleaverage，后者反过来又优于ECB/SPF的预测。表3还显示，正则化后选择的预报员的平均数量是个问题。此外，只要统一预测者得到非零的混合权重，它就限制混合密度在每个柱状图单元上放置正概率，在这种情况下，前面讨论的对数分数“零问题”消失。图3：随时间变化的密度预测混合物，欧元区的情况注：我们显示了以频率多边形表示的密度预测混合物。

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2022-4-26 15:33:46

预测是按季度进行的，从1999年第一季度到2019年第三季度。无论采用何种正则化方法，都始终很小。同时，表3中的对数计分和图3底部两个面板中的图表都显示，单纯形和最佳平均正则化混合几乎是相同的，这表明单纯形解有效地降低了除少数预测之外的所有预测，并简单地对幸存者进行平均，产生了非常接近最佳4平均值的结果。单纯形和最佳平均值的良好性能尤其值得注意，因为它们不需要调整。也就是说，非常值得注意的是，单纯形正则化和最佳平均正则化的性能与那些需要选择调整参数（单纯形+岭和单纯形+熵）的正则化一样好，尽管我们在表3中对后者进行了评估，单纯形+熵选择了所有19个预报员，但单纯形+熵必须选择所有19个预报员，因为（ωk）→∞ 作为ωk→0.所有能够只选择少数预测者的正则化实际上只选择少数预测者。严格地说，最佳平均程序需要一些轻微的调整——选择N——尽管我们习惯于总是采用N=4。图4：正则化混合物和简单平均混合物之间的差异，欧元区差异注：我们展示了正则化混合物（单一或最佳）之间差异的热图≤4-平均）和简单平均混合物。红色阴影表示在单纯形或最佳模式中，bin概率增加≤4平均正则化混合，蓝色阴影表示bin概率降低。我们还叠加了欧元区的通货膨胀率。使用事后优化的参数，这在实时上是不可行的。图3值得进一步检查。

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2022-4-26 15:33:52

如果其中间和底部面板显示，单一和最佳平均正则化混合物几乎相同，则这些面板与顶部面板的比较还显示：（1）尽管如此，单一/最佳平均正则化与简单平均非常不同，（2）在大衰退开始之前和之后，单一/最佳平均正规化的影响显著不同。在大衰退开始之前，单纯形/最佳平均正则化将概率质量向上移动，相对于简单平均，向更高的方向移动，尤其是从1.0%-1.5%的范围移动到1.5%-2.5%的范围，主要是调整密度预测位置和对称性。然而，在此之后，单纯形/最佳平均正则化将概率从分布的中心扩散到分布的两个尾部，从1.0%-2.5%的范围向外扩散到0.5%以下和3.0%以上，主要是调整密度预测离散度和峰度。正则化效应及其在大衰退开始时的结构变化如图5所示：PIT直方图，欧元区通货膨胀注：我们展示了简单平均值和最佳值的P IT直方图≤4-平均混合物。第一个子样本于2007年第四季度开始，第二个子样本于2008年第一季度开始。我们在P IT下方显示红色的点式二项式置信带~ iid U（0，1）。在图4所示的热图中显示得更加清晰。检查和比较各种混合物的概率积分变换（P It s）是有用的。Diebold等人（1998年）考虑连续情况，其中P IT被定义为P ITt=Ryt-∞pt（u）du，并表明密度预测的正确条件校准简化了它~ iid U（0，1）。Czado等人（2009）将评估框架扩展到离散情况，并表明结果仍然适用于适当的离散IT定义。

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2022-4-26 15:34:00

为了评估均匀性，以及与均匀性的任何偏差模式，在图5中，Czado et al.（2009）的weshow直方图中，离散P表示简单平均值和最佳值≤4-平均混合物。P-IT直方图揭示了简单平均混合物的问题，这与我们在图3和图4中对两种状态的讨论相匹配，并且得到了最好的改善≤4-平均正则化。特别是，简单平均P-IT直方图显示两个子样本的一致性存在明显偏差，且偏差的形状非常不同。没有必要显示单纯形P，因为单纯形和最佳≤4-如前所述，平均混合物几乎相同。图6：随时间变化的密度预测混合物，欧元区实际利率注：我们显示了以频率多边形表示的密度预测混合物。预测是按季度进行的，从1999年第一季度到2019年第三季度。在第一个子样本中，简单平均P-IT直方图高度倾斜，如图5的左上面板所示，接近0的概率质量太小，接近1的概率太多，再次表明相对于简单平均密度预测，有太多的大的通货膨胀实现。然而，正如前面所讨论的，正则化会使密度向上移动，从而产生一种改进的（如果仍然不完善的话）密度≤4-如图5左下角的面板所示，取其平均值。在第二个子样本中，简单的平均P-IT直方图更像图5右上面板中显示的U形。在这种情况下，正则化会像前面讨论的那样分散密度，更好地适应尾部实现，并产生最佳效果≤4-如图5右下角的面板所示，取其平均值。最后，在我们之前对ECB/SPF通胀预测进行检查的同时，我们还检查了实际利率密度预测。

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2022-4-26 15:34:06

实际利率密度是一个简单的符号变化和流动密度的位置变化：f（rt，t+1）=it，t+1- f（πt，t+1），（15）其中r表示实际利率，i表示名义利率，π表示通货膨胀。实际利率密度当然是由方程（15）中的流动密度驱动的，但将其转化为借贷的实际成本仍然很有趣。在图6中，我们展示了简单的平均值和最佳值≤4-平均实际利率密度预测，在图7中，我们展示了它们之间的差异，以及实现情况。图7：最佳利率之间的差异≤4-平均混合和简单平均混合，欧元区实际利率注：我们展示了最佳利率之间差异的热图≤4-平均混合物和简单平均混合物。红色阴影表示最佳情况下的概率增加≤4-平均混合，蓝色阴影表示概率降低。我们还叠加了已实现的欧元区实际利率。是的。人们会立即被在大部分样本中分配给负实际利率的高概率所震惊。例如，自大衰退结束以来，P（rt，t+1）<0通常大于1/2，而实际利率通常为负值。尽管如此，我们早期的通货膨胀模式和教训仍然完好无损，因为真实利率密度预测是由通货膨胀密度预测驱动的。根据大衰退的开始，有两种明确的实际利率“正规化制度”。首先，实际利率密度被向下推，因为正如前面所讨论的，正规化会推动通货膨胀密度向上。

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