在（θi，σi）的条件下，我们有Yi |θi，σi~ N（θi，σi/Ti）和Si |σiisd以形状参数ri=（Ti）的形式分布为伽马-1） /2，标度参数σi/ri和密度函数表示为Γ（Si |ri，σi/ri）。给定损失函数（3.1），将θα定义为α=P（θi≥ θα=RR+∞θαdG（θ，σ），条件风险为，Eθ| Y，ShL（δ，θ）i=nXi=1（1- δi）vα（Yi，Si）+τnXi=1{δi（1- vα（Yi，Si））- γδi}+ τnXi=1δi- αn20与vα（yi，si）=P（θi）的令人不快的比较≥ θα| Yi=Yi，Si=Si）=RR+∞θαΓ（si | ri，σi/ri）|（yi |θ，σ/Ti）dG（θ，σ）RRΓ（si | ri，σi/ri）|（yi |θ，σ/Ti）dG（θ，σ）。根据（Y，S）的期望，贝叶斯规则求解，minδEhnXi=1（1）-δi）vα（yi，si）i+τEhnXi=1n（1-vα（yi，si））δi-γδioi+τEhnXi=1δii-αn.在进一步描述贝叶斯规则之前，我们应该注意到，当不直接观察到变量σ时，尾部概率vα（Y，S）可能不再具有我们上面描述的单调性。引理5.1。考虑变换vα（Y，S）=P（θ）≥ θα| Y，S]，那么对于fixeds=S，函数vα（Y，S）在Y中可能不是单调的；对于固定的Y=Y，函数vα（Y，S）在命题5.2中可能不是单调的。对于预先指定的（α，γ），γ<1- α、 贝叶斯选择规则的形式为δ*i=1{vα（Y，S）≥ λ*（α，γ）}式中λ*（α，γ）=max{λ*(α, γ), λ*（α） 带λ的}*（α，γ）=minnλ：Eh（1）- vα（Y，S）- γ） 1{vα（Y，S）≥ λ} 我≤ 0o和λ*（α） =minnλ：P（vα（Y，S）≥ λ) - α ≤ 0根据贝叶斯规则，所选集合定义为Ohmα、 γ={（Y，S）：vα（Y，S）≥ λ*(α, γ)}.评论请注意，对于每个预先指定的对（α，γ），Ohmα、 γ就是λ*函数vα（Y，S）的（α，γ）超能级集。对于任何α>α，所选集合的嵌套性意味着λ*函数vα的（α，γ）-超能级集必须是λ的子集*函数vα的（α，γ）-超能级集。

最优选择规则的构造和形式可能与观察到σiis的情况非常相似。然而，关键的区别在于，在本节中，我们不再要求θ和σ之间的独立性。相反，当σiI被假定为直接观测时，独立性假设对所有的推导都是至关重要的。例如，非零比例，定义为P（θi≥ θα）必须因σiI的不同值而改变，如果我们允许θ的分布取决于σ5.1。一个共轭高斯的例子。假设我们有平衡面板数据1，耶~ N（θ，σ），样本表示Yi=tptyIt，样本方差si=T-1Pt（yit）- 易）。进一步地，假设G（θ，σ）采用正规的倒数平方形式，NIX（θ，κ，ν，σ）=N（θ|θ，σ/κ）χ-2(σ|ν, σ). 积分出σ，θ的边际分布变成学生t分布，θ- θσ/√κ~ tνGu和Koenker 21，其中tν是具有自由度的t-分布。因此，1-θ的α分位数，表示为θα是简单的，θα=θ+σ√κF-1tν（1）- α） F在哪里-1tν表示tν的分位数函数。分布G的共轭性意味着（θ，σ| Y，S）的后验分布遵循NIX（θT，κT，νT，σT）=N（θ|θT，σT/κT）χ-2（σ|νT，σT），其中νT=ν+TκT=κ+TθT=κθ+T YκTσT=νTνσ+（T）- 1） S+Tκκ+T（θ）- Y）.积分出σ，θ的边缘后验值再次遵循t分布θ- θTσT/√κT~ 因此很明显，θ的后验平均值只是Y的线性函数，与S无关，E[θ| Y，S]=θt=κθ+t Yκt，后验尾概率由vα（Y，S）=P（θ）给出≥ θα| Y，S）=Pθ - θTσT/√κT≥θα- θTσT/√κT|Y，S= 1.- FtνTθα- θTσT/√κT.为了说明这种情况，假设θ=0，κ=1，σ=1，ν=6，T=9，可以验证vα（Y，S）实际上是Y的单调函数，对于每个固定的和任何α>0，因此在这个例子中，我们可以反转函数vα（Y，S）来获得水平曲线。

图5.1的左面板显示了α=5%时vα（Y，S）和（θ| Y，S）的水平曲线。很明显，后验平均值是S的一个常数函数，而后验尾概率相对于S表现出更奇特的行为，尤其是对于Y的更极端值。如果我们fix S=S，那么vα（Y，S）是Y的递增函数。另一方面，Y=Y，对于较小的Y，vα（Y，S）是S的递增函数，而对于较大的Y，vα（Y，S）成为S的递增函数。大小α的容量约束意味着阈值规则P（vα（Y，S）≥ λ*) = α、 当FDR控制在γ级时，会产生一个截止值λ*定义为γ=E[（1- vα（Y，S））1{vα（Y，S）≥ λ*}]/P（vα（Y，S）≥ λ*).两个阈值中较大的一个，表示为λ*= 最大{λ*, λ*} 根据后验尾概率排序确定选择区域Ohmα、 γ={（Y，S）：vα（Y，S）≥ λ*}.对于α=5%和γ=10%，基于尾部概率规则的选择区域为{（Y，S）：vα（Y，S）≥ 0.72}. 后验平均排名定义为{（Y，S）：22个令人反感的比较[θ| Y，S]≥ 2.2}. 在图5.1的右面板中，这些选择边界分别表示为红色虚线和黑色实线。在这种情况下，FDRconstraint绑定。如果只存在容量限制，则尾部概率的截止值为0.40，后验平均值的截止值为1.84。图5.2进一步显示了基于模型实现示例的所选集合的比较。在附录B中，我们考虑了一个更复杂的二元离散示例，该示例说明了决策边界的一些更奇特的行为，以及几种不同排序和选择规则的性能比较。5.2. 未知方差模型的变体。我们假设，在上述模型中，唯一尺度的异质性是由σiI驱动的，但通常情况下，可能存在更多的异质性，这应该是允许的信息技术

这里我们考虑一个变量，其中yit=θi+σi信息技术信息技术~ N（0，1/wit），（θi，σi）~ G.我们将假定~ H是已知量，与（θi，σi）无关。表示wi=PTit=1wit，有效统计现在采用Yi=PTit=1witYit/wi和Si=（Ti）的形式- 1)-1tit=1（Yit- 易）。在Gu和Koenker（2017）中，我们举例说明了预测棒球击球平均数的公式；在该设置中，“在蝙蝠”水平曲线为0。05 0.1 0.2 0.4 0.6 0.7 0.8 0.9 0.95 0.990 1 2 3 4 5 61.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.51.4 1.5 1.7 2 2 2.2.4 2.6 3 PMTP选择边界0。7210 1 2 3 4 5 62.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.02.205 PMTP图5.1。左面板显示了正态模型（θ，σ）的后验平均值（标记为红色虚线）和后验尾概率（标记为黑色实线）的水平曲线~ NIX（0,1,6,1）和paneltime维度T=9。