令人反感的比较：作为复合决策的排名和选择

2022-4-26 16:11:27

令人反感的比较：作为复合决策的排名和选择顾家英和罗杰·科恩克尔摘要。人们有一种天生的倾向，可以称之为“联盟心态”，即构建排名。学校、医院、运动队、电影和无数其他物品都会被排名，尽管它们固有的多维性最多只能说明部分排序是可能的。我们考虑了一大类的基本排序问题，在这些问题中，我们观察了n个具有潜在异质精度的对象的噪声、规模度量，并被要求选择一组“最优秀”的对象这个问题是在罗宾斯（1956）的经验贝叶斯理论的复合决策框架中自然形成的，但它也与最近关于多重测试的文献密切相关。利用混合模型的非参数极大似然估计（Kiefer and Wolfowitz（1956））构造最优排序和选择规则。这些规则的性能将在模拟中进行评估，并应用于排名靠前的美国肾透析中心。1.导言在沃尔德关于统计决策理论的开创性专著发表后，人们越来越意识到，内曼-皮尔逊测试仪器不足以胜任许多重要的统计任务。排名和选择问题在这种看法中占突出地位。出于哈罗德·霍特林的建议，巴哈杜尔（1950）研究了几种高斯种群中最佳种群的选择。假设K个群体的样本均值都是均值θ和方差，那么选择最佳群体θ的问题*= maxi{θ，…，θK}表示为选择权z，···，zk最小化，L（θ，z）=θ*-KXk=1zkθk/KXk=1zk。Bahadur指出，在“公正的决策规则”中。

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能者818

2022-4-26 16:11:33

置换等变中心，只选择样本均值最大的群体，即选择z，是一致最优的*如果\'Xi=max{X，···，\'XK}和z，i=1*否则，i=0，从而清楚地表明，进行平均数均等初步测试，然后在测试未能拒绝时，为几个甚至所有人群选择zi>0的程序是不可接受的。Bahadur和Robbins（1950）加强了这一发现，他们专注于两个样本设置，但放宽了共同方差版本：2021 9月16日。这篇论文作为沃尔拉斯·鲍利在2020年世界计量经济学会大会上的演讲发表，并致力于纪念拉里·布朗，他向我们介绍了经验贝叶斯方法。我们感谢迈克尔·吉拉因、平野敬介、罗伯特麦克米兰、斯坦尼斯拉夫·沃尔古舍夫和赵思海的有益讨论。顾家英感谢加拿大社会科学和人文研究委员会的财政支持。2.令人反感的比较假设。在相关研究中，贝切霍夫（1954年）和古普塔（1956年）试图优化选定种群的数量及其身份，参见古普塔和潘查皮克桑（1979年）和贝切霍夫、基弗和索贝尔（1968年）对后续发展的广泛回顾。Goel和Rubin（1977）开创了分层贝叶斯选择方法，在随后的几十年中，许多作者采用了这种方法，早在Bergerand Deely（1988）和Laird and Louis（1989）就采用了这种方法。Portnoy（1982）表明，在高斯多元方差分量模型中，基于最佳线性预测的Rankingsb是最优的，但警告说，偏离正态性很容易破坏这种最优性。

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可人4

2022-4-26 16:11:39

层次模型范式的一个显著特征是认识到样本观测可能表现出不同的精度；这通常通过假设观察样本均值的已知方差来解释。随着分级和选择方法在基因组应用中变得越来越重要，人们对损失函数以及与新兴的多重测试文献的联系重新产生了兴趣。混合模型的非参数估计及其对各种复合决策问题的相关性的最新发展为我们的观点提供了依据。这种方法旨在减少对早期文献中普遍存在的高斯分布假设的依赖。正如我们在其他地方指出的那样，Gu和Koenker（2016a）以及Koenker和Gu（2019）的非参数经验贝叶斯方法为多个测试和复合决策问题的更传统的参数层次贝叶斯提供了强大的补充方法。我们在这篇文章中的主要目标是详细阐述这个断言，用于排名和选择应用程序。在整个过程中，我们试图与有关多重测试的文献进行对比。我们将把注意力限制在观察未观察到的潜在质量测量的尺度估计及其精度的一些测量的设置上，从而避免更复杂的多变量设置，如Boyd、Cortes、Mohri和Radovanovic（2012）采用分位数回归方法。Chetty及其合作者在美国的教学评估和地理流动性方面开展了大量工作，这激发了Mogstad、Romano、Shaikh、，Wilhelm（2020）提出了新的重新抽样方法，用于构建有限人口排名和选择的信任集。

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2022-4-26 16:11:45

Armstrong、Koles\'ar和Plagborg-Moller（2020）提出了一种创新方法，用于为Chetty使用的经典、线性收缩、经验Bayes估计量构建置信区间。Andrews、Kitagawa和McCloskey（2020年）以及Guo和He（2020年）最近的工作提出了针对高排名个体或治疗的新的置信区间结构，这些都受到最近对“模型选择后的推理”文献的贡献的影响。与这些推理方法相反，我们将重点放在复合决策的互补视角上，构建决策规则，以选择最佳或最差的群体，并控制所选元素的预期数量以及所选元素中错误发现的预期比例。复合决策框架不是孤立地处理每个选择决策，而是试图利用它们的共同结构来提高集体绩效。因此，我们的方法与Kline和Walters（2021年）的方法更为一致，他们研究了Gu和Koenker 3决策规则，用二项混合模型中密切相关的GMM方法从涉及实际工作申请的实验中评估雇主歧视。Gillaine、Gu和McMillan（2020）研究了教师增值估计，采用非参数最大似然方法估计高斯混合模型，我们在下文中倡导了这一点。他们对来自北卡罗来纳州和洛杉矶的数据进行的分析表明，对于潜在增加值，更灵活的混合模型具有优势。

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能者818

2022-4-26 16:11:52

与目前的工作不同，他们关注后验贝叶斯规则，后验贝叶斯规则通常用于研究教师对学生未来结果的影响。这些更灵活的非参数经验贝叶斯方法改进了传统的线性收缩规则，尤其是在政策关注通常集中的分布尾部。这是对目前工作的排名和选择目标的一个有价值的补充视角。在继续之前，重要的是要承认，尽管它具有普遍的外观和应用，但正如我们的标题所暗示的，许多排名和选择问题本身是徒劳的。如果真实质量的潜在度量是高斯的，就像在选择问题的几乎所有计量经济学应用中所假设的那样，并且鉴于真实质量受高斯噪声的影响，我们希望选择前10%的个体，那么当信噪比较低时，准确的选择可能非常困难。我们将看到，经典James Stein公式中体现的传统线性收缩比最大似然（固定效应）程序能显著提高性能，通过仔细调整尾部概率损失的决策规则，可以进一步提高性能。然而，我们发现，当测量误差的大小与潜在能力的高斯变异性相当时，即使是包含问题精确分布特征的完整知识的oracle决策规则，也可能无法实现比所选个体的潜在能力高于选择阈值的几率更高的结果。

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mingdashike22

2022-4-26 16:11:59

当能力的潜在分布是重尾分布时，选择变得更容易，更明确的选择规则更有利，但正如我们将展示的那样，选择问题仍然相当具有挑战性。因此，本文的第二个目的是为那些已经对现有排名和选择方法的可靠性提出质疑的人增加另一个警告。Goldstein和Spiegelhalter（1996）对排名和选择在公共政策应用中的作用进行了批判性概述。人们普遍认为，目前使用的排行榜可能会对政策产生有害影响，这一观点在Gelman和Price（1999）中得到了强调。虽然这些批评大多归因于数据收集不足和固有的低信噪比，但我们相信，在方法上也有改进的余地。第2节简要概述了复合决策理论，并描述了估计高斯混合模型的非参数方法。第3节介绍了我们在观测测量精度均匀的环境中进行排序和选择的基本框架。在第4节中，我们介绍了已知形式的异质精度，第5节考虑了观测值的联合分布及其精度决定排名和选择规则形式的设置。在假设未观察到的潜在观测质量的混合形式和分布是已知的情况下，在这些部分中的每一部分都推导出了最佳排序和选择规则。第6节介绍了可行的排序和选择规则，以及它们达到与最优规则相同的渐近性能的条件。

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能者818

2022-4-26 16:12:05

第7节接着比较了几种可行的排序和选择方法，有些忽略了问题的复合决策结构，有些采用参数经验贝叶斯方法，有些则依赖于非参数经验贝叶斯方法。最后，第8节描述了在美国评估医用透析器性能的实证应用。附录A.2收集了所有正式结果的证明。复合决策框架Robbins（1951）对Wald（1950）新兴的极大极小决策理论提出了挑战：假设我们观察到独立的高斯实现，Yi~ N（θi，1），i=1，··，N表示θi等于+1或-1.我们被要求估计n向量θ=（θ，···，θn）的平均绝对误差损失，L（^θ，θ）=n-1nXi=1 |^θi- θi |。当n=1时，Robbins证明极小极大决策规则为δ（y）=sgn（y）；在问题的最不利变量中，恶毒的本性选择了概率相等的±1，最佳响应是当Yi为正时估计θi=+1，θi=-1否则。Robbins进一步证明，当n>1时，这个规则仍然是minimax，每个坐标都被独立处理，就像完全孤立地查看一样。这也是最大似然估计量，在计量经济学术语中可以被视为经典的固定效应估计量。但这一切合理吗？我们的样本是否传达了±1的相对频率信息，这可能与极大极小规则的悲观假设相矛盾？如果我们碰巧知道无条件概率p=p（θi=1），那么θ=1给定Yi=y的条件概率由p（θ=1 | y）=p k（y）给出- 1） p k（y）- 1) + (1 - p） ν（y+1），其中，Ф表示标准高斯密度。

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2022-4-26 16:12:11

如果这个概率超过1/2，我们应该猜测^θi=1，给出了修正的决策规则δp（y）=sgn（y）-日志（（1）- p） /p））。在计算信号之前，通过简单的逻辑扰动对每个观测值yi进行修改。我们观察到的随机样本y=（y，··，yn）是关于p的信息。我们有对数似然，`n（p | y）=nXi=1log（p|（yi- 1) + (1 - p） ν（yi+1）），如果需要，可以通过某种形式的先验来增加，以获得p的后验概率和用于估计每个θi的插件贝叶斯规则。当p6=1/2时，该过程的贝叶斯风险大大小于极大极小风险，当p=1/2时，贝叶斯风险渐近等价于极大极小风险。这就是复合决策理论的Firstgu和Koenker 5原则：在一整套相关决策问题中借用优势，可以提高集体绩效。当我们放松对θ的支撑的限制，并允许对整个实线的支撑时，会发生什么？我们现在有了一个通用的高斯混合设置，其中观察到的Yi具有卷积给出的边缘密度，f=ν* G、也就是说，f（y）=Zа（y）- θ） dG（θ），而不是仅仅需要估计一个概率，我们需要一个完整分布函数的估计，G.Kiefer和Wolfowitz（1956），由Robbins（1950）的Abstract预测，建立了非参数最大似然估计（NPMLE），^G=argminG∈G{-nXi=1log f（yi）|f（yi）=Z- θ） dG（θ）}其中G是R上概率测度的空间，是G的一致估计量。这是一个有限维凸优化问题，具有严格的凸目标，受线性约束。关于NPMLE问题的几何和计算方面的更多细节，请参见Lindsay（1995）和Koenker and Mizera（2014）。

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2022-4-26 16:12:19

Heckman和Singer（1984年）在计量经济学中率先提出了这种方法，认为需要更灵活的异质性模型来可靠估计生存模型中的持续时间依赖性。G必须是非减量的这一看似无害的条件的一个强有力的结果是，^G必须是原子的，这是一个不含n个原子的离散分布。第二个结果是，NPMLE是“自正则化”的，即原子的数量、位置和质量都由优化共同确定，而无需任何辅助调谐参数。这都是经典Carath’eodory定理的结果，但直到最近，人们对表征溶液的原子数的精确增长率知之甚少，尽管经验表明它相当缓慢。Polyanskiy和Wu（2020）最近已经确定，对于具有次高斯尾的G，其支撑的基数，即^G的原子数，像O（对数n）一样增长。因此，在没有任何进一步处罚的情况下，最大似然法自动选择了一个高度精简的^G。这与有限维混合模型的最大似然法或采用傅里叶方法的高斯反卷积法的臭名昭著的困难形成了鲜明对比。看到NPMLE^G的复杂度上界仅为Yo（logn），人们可能会怀疑O（logn）混合物是否“足够复杂”，足以充分代表生成我们观察数据的过程。Polyanskiy和Wu（2020）也提出了这个问题：他们指出，对于任何次高斯G，都存在一个离散分布Gk，其中k=O（对数n）原子，因此对于fk=ν*Gk，总变异距离，tv（f，fk）=o（1/n），因此，考虑G的估计量，其复杂性的增长速度比o（logn）更快，这在统计学上是合理的。

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可人4

2022-4-26 16:12:26

这一观察结果与关于生成性对抗网络的最新文献有关，例如Athey、Imbens、Metzger和Munro（2019），这些网络的目标模型和估计器在模拟时成功地模拟了观测数据。6.令人不快的比较G的其他非参数极大似然估计也可能引起兴趣。Efron（2016）提出了一种优雅的对数样条筛方法，可以对G进行平滑估计；这具有优势，尤其是从推理的角度来看，代价是重新引入选择调谐参数的任务。Laird和Louis（1991）的一个早期提议将G的参数经验Bayes估计与EM步骤合并，将参数估计拉回到NPMLE。给出一个估计值^G，就可以直接计算每个样本观测的后验分布，或者对于样本外观测的后验分布。实际上，我们已经估计了先验值，就像Robbins（1951）的二进制平均值问题一样，但当我们采用使用^G的插件程序时，我们忽略了^G的可变性。这可能解释了在某些推理问题中G的平滑估计的改进性能，如Koenker（2020）所推测，Jiang和Zhang（2021）对此进行了更详细的研究。在续集中，我们将比较基于这些后验分布的各种函数的排序和选择程序。一个主要的例子是后验平均数，但排序和选择问题表明了其他可能感兴趣的函数。如果我们被要求估计受二次损失影响的θi，并假设标准高斯噪声，则贝叶斯规则由后验平均值（2.1）δ（y）=E（θ| y）=y+f（y）/f（y）给出。Efron（2011）将其称为Tweedie公式，它出现在Robbins（1956）的M.C.K.Tweedie中。Gu和Koenker（2016b）的附录A提供了一个元素推导。

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2022-4-26 16:12:32

当恰好是高斯时，非线性收缩项采用一种特别简单的形式，因为在这种情况下，f本身也是高斯的，并且公式简化为经典Stein规则的众所周知的线性收缩变体。在这篇简短的综述中，我们重点介绍了高斯位置混合和后验均值的复合决策问题，然而NPMLE适用于各种其他混合问题和其他包含其他后验函数的损失函数，我们将在下一节中看到。Efron（2019）及其讨论为相关方法提供了更广阔的视角。Koenker和Gu（2017）中描述了几种NPMLE方案的实施，Koenker和Gu（2015-2021）的R PackageBayes中提供了这些方案。同质方差提供给你的是实值测量值，yi:i=1,2，··，n，比如学生或老师的考试成绩表现，医院外科手术的存活率等。，并且被告知测量值是可交换的，近似高斯分布，具有未知的平均值θ和已知的方差σ，临时求取相同的值σ。如果你决定接受它，你的任务是选择一组大小不超过θi最大元素αn的元素。你的第一个倾向可能是将每个yi视为对应θi的最大似然估计，并选择αn最大观测值，但综合决策框架表明，将问题作为一个整体来处理会更好。第二个自然倾向可能是用一些线性或非线性收缩规则计算θ的后验平均值Gu和Koenker 7，对它们进行排序并选择α最佳值，但我们会发现这也可能是有问题的。3.1. 后尾概率。后验概率排序是后验概率排序的一种自然选择。

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2022-4-26 16:12:39

设θα=G-1(1 - α）定义为vα（y）：=P（θ）≥ θα| Y=Y），然后根据后验尾概率排序得出决策规则δ（Y）=1{vα（Y）≥ λα}其中选择阈值λα，使得P（vα（Y）≥ λα) = α. 该排名标准由Henderson和Newton（2016）提出，作为固定分位数水平α的排名工具。它可以用多种测试术语来解释：1-vα（y）是Efron、Tibshirani、Storey和Tusher（2001）和Storey（2002）的局部错误发现率，用于检验假设H:θ<θαvs.HA:θ≥ θα. 为了看到这一点，我们把一个二元随机变量hi=1{θi≥ θα}，观测i的损失函数isL（δi，θi）=λ1{hi=0，δi=1）+1{hi=1，δi=0}，对于一般的拉格朗日乘子λ。复合Bayes风险为E[nXi=1L（δi，θi）]=n[α+Zδ（y）[（1- α） λf（y）- αf（y）]dy]式中f（y）=（1- α)-1Rθα-∞ν（y |θ，σ）dG（θ）和f（y）=α-1R+∞θα|（y |θ，σ）dG（θ），|（y |θ，σ）=- θ)/σ)/σ. 固定λ的贝叶斯规则为δ（yi）=1nvα（yi）≥λ1+λowwhere vα（y）=αf（y）/f（y）=P（θ）≥ θα| Y=Y）和f（Y）=（1- α） f（y）+αf（y）。假设vα（y）在y中是单调的，可以找到唯一的λα，使得P（δ（y）=1）=P（vα（y）≥ λα/(1 + λα)) = α.引理3.1。对于固定α，假设Eθ| Y[yLG|（y|θ，σ）|y]<∞, vα（y）是单调的，集合Ohmα：={Y:vα（Y）≥ λα/（1+λα）}具有嵌套结构，即如果α>α，则Ohmα Ohmα.这种贝叶斯规则的任何实现都需要对混合分布G进行估计，或是某种本质上等价的东西，这将使我们能够计算局部错误发现率vα（y）和切分θα。NPMLE，或者可能是它的一个版本，将为这项任务提供一个自然的^G。3.2. 后尾预期和其他损失。

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2022-4-26 16:12:45

与其通过简单计算错误分类来评估损失，我们可以考虑用θ的大小来加权此类错误分类，例如，L（δi，θi）=nXi=1（1- δi）1（θi）≥ θα）θi。当然，这假设我们已经以某种合理的方式将分布G居中，也许是通过强制平均值或中值为零。在P（δ（Y）=1）=α的约束下，最小化关于8个令人不快的比较δ，得到拉格朗日函数minδZ（1）-δ（y））1{θ≥ θα}θ~n（y |θ，σ）dG（θ）dy+λhZ Zδ（y）~n（y |θ，σ）dG（θ）dy-αi等价于δZ1{θ≥ θα}(θ - λ） ν（y |θ，σ）dG（θ）dy-Zδ（y）hZ1{θ≥ θα}(θ - λ） ν（y |θ，σ）dG（θ）-Zλ1{θ<θα}~n（y |θ，σ）dG（θ）idy。忽略第一项，因为它不依赖于δ，Oracle Bayes规则变成，选择δ（y）=1如果，R1{θ≥ θα}θν（y |θ，σ）dG（θ）R~n（y |θ，σ）dG（θ）≥ λ、选择λ，使P（δ（Y）=1）=α。这些标准与风险评估文献中出现的预期短缺标准密切相关。同样，NPMLE可用于构建可行的后验排序标准。Lin、Louis、Paddock和Ridgeway（2006年）还考虑了其他几种损失函数，其中一些是基于等级的全球排列。虽然看起来很直观，但这种损失函数比我们在本文剩余部分中考虑的损失函数要难处理得多。3.3. 错误发现和α水平。虽然我们的损失函数产生了不同的排名标准，但当测量精度相同时，它们的决策规则会导致相同的选择。当方差是齐次的时，有一个全局截断函数ηα和一个决策规则Δα（Y）=1（Y）≥ ηα），确定所有决策规则的共同选举。引理3.2。

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2022-4-26 16:12:52

对于固定α和齐次方差，后验平均数、后验尾概率和后验尾期望都会产生相同的排名，因此选择相同。在我们的高斯混合设置中，选择的边际错误发现率为mF DR=P（θ<θα|Δα（Y）=1）=α-1Zθα-∞Φ((θ - ηα）/σ）dG（θ），边际错误未发现率为，mF NR=P（θ）≥ θα|Δα（Y）=0）=（1）- α)-1Z∞θαΦ((ηα- θ） /σ）dG（θ），图3.1显示了当混合分布G为标准高斯分布且σ=1时，一系列容量约束α的错误发现率和错误未发现率。在这种低信噪比情况下，截止值ηα为（1-α） N（0，2）的分位数，很难区分功勋者和幸运者。对于选择顶部α分位数的个体，错误发现率高得惊人，尤其是对于较小的α，这意味着所选集合可能包含非常高比例的错误发现。当α=0.10时，θ低于阈值θα的选定观测的比例略大于50%。20%40%50%60%60%80%20%40%40%40%40%40%40%50 50 50 50 50%50 50 50 50%60%60%80%80%80%80%80%80%80%80%的80%80%的50%50%50%50%50%50%50%80%的50%50%50%50%50%50%50%80%σ=10.5 0.526 0 0.205 0.0.0 0.205 0.0.0.0.0 0 0 0 0.0.0 0 0 0 0.0 0 0 0 0.0.0 0 0 0.0.0 0 0 0 0.5 0.5 0.410.414 0.414 0.414 0.414 0.410.0.0.0.0.0.0.0 0 0 0 0.0 0.0.0.0 0 0 0.0.0.0 0 0 0 0.410 0 0 0.0 0 0 0 0 0.5400.1980.3920.4950.6090.915σ=50.2960.0930.192 0.247 0.313 0.487 0.196 0.383 0.484 0.596 0.897表3.1。随着信号变得更加分散，FDR得到了改善。在标准高斯测量误差和高斯分布G的情况下，对于θ，G的方差可以解释为信噪比。随着G方差的增加，选择变得更容易，FDR也降低。

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2022-4-26 16:12:58

错误选择的单位在选择阈值附近变得更加集中。表中的第2-6列报告了错误选择的单位的分位数，以标准偏差的形式从阈值测量。第7-11列报告了正确选择的单位的相应分位数。当θ的方差（信噪比）从1增加到5时，选择问题就变得更容易了。这不仅反映在错误发现率从一半以上下降到三分之一左右，还反映在表3.1中的结果中，表3.1显示错误选择的个体的θ真实值聚集在更接近标准偏差测量的阈值θα的地方。当σ=1时，我们有大约50%的错误选择，正确选择的个体和错误选择的个体之间的θ大致对称地分布在阈值周围。在这种情况下，当测量误差的大小与潜在能力的高斯变异性相当时，即使是包含问题精确分布特征的完整知识的oracle决策规则，也可能无法实现比偶数更高的几率，即所选个体具有高于选择阈值的潜在能力。随着α方差的增加。00 0.10 0.20 0.300.4 0.5 0.6 0.7αFDR（α）0.00 0.10 0.20 0.300.05 0.10 0.15αFNR（α）图3.1。

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2022-4-26 16:13:04

标准高斯混合分布的错误发现率和错误未发现率。10令人不快的比较5然后选择变得更容易，只有1/3的被选择者被错误地选择，并且这些θ值中的大多数（80%）在距离选择阈值0.5标准偏差之内。也许值得强调的是，在边缘，在决策边界附近，总是很难区分真假发现，但罗斯福衡量的是所有不正确选择的比例，而不仅仅是那些接近阈值的选择。以更连续的方式进行惩罚的其他损失函数可能会反映表3.1中的信息。例如，可以考虑通过潜在影响和阈值之间差异的大小来加权分类误差的损失。然而，这种损失使得采用常规形式的差错控制变得更加困难。到目前为止，我们已经隐含地假设所选集合的大小是由参数α预先确定的。基于一个特定的损失函数建立了一个排名，我们只需选择由排名最高的观察值组成的大小为dαne的子集。在下一小节中，我们开始考虑通过限制错误发现的概率来修改这个策略。这将允许选择集的大小适应选择任务的难度。3.4. 防止虚假发现。认识到所选人员中虚假“发现”的风险，我们将考虑扩展损失函数，（3.1）L（δ，θ）=nXi=1hi（1）- δi）+τnXi=1n（1- 嗨）δi- γδio+ τnXi=1δi- αn其中hi=1{θi≥ θα}. 如果我们将τ设置为零，则根据第3.1节中讨论的贝叶斯规则最小化预期的无损。

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2022-4-26 16:13:10

另一方面，如果我们将τ设为零，那么最小化预期损失将导致一个决策规则，该规则等价于一个具有零假设H0i：θi的多重检验问题≤ θα; 目标是在限制极限FDR率控制在γ级（即E[Pni=1（1））的情况下，最大限度地减少过度发现的预期数量-hi）δi]/E[Pni=1δi]≤ γ.当τ=0时，风险可以表示为Eθ| YhL（δ，θ）i=nXi=1（1- δi）vα（Yi）+τnXi=1δi- αn其中vα（yi）=P（θi）≥ θα| Yi=Yi）。在Y上取另一个期望，并在δ和τ上最小化，得到决策规则δ*i=（1，如果vα（yi）≥ τ*0，如果vα（yi）<τ*.选择拉格朗日乘子，使约束P（δi=1）≤ α等于：τ*= min{τ：P（vα（yi）≥ τ) ≤ α} 每次选择都会通过vα（yi）改进目标函数，但会产生τ的代价。由于所有选择都会产生相同的成本，我们可以根据vα（yi）排序，选择单元，直到达到容量约束αn。最后一个单元的选择可能需要随机化，以完全满足约束条件，如下所述。Gu和Koenker 11当τ=0时，焦点转移到边缘FDR，即预期错误发现数与预期选择数的比率。这与Benjamini和Hochberg（1995年）定义的最初FDR略有不同。然而，当nn较大时，这两个概念是渐近等价的，如Genovese和Wasserman（2002）所示。

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2022-4-26 16:13:17

我们的目标是，Eθ| YhL（δ，θ）i=nXi=1（1- δi）vα（Yi）+τnXi=1{δi（1- vα（Yi））- γδi}.再次对Y进行期望，并对δ和τ进行最小化，得到δ*i=（1，如果vα（yi）>τ*(1 - vα（yi）- γ） 0，如果vα（yi）≤ τ*(1 - vα（yi）- γ）拉格朗日乘数取一个值τ*使边缘的罗斯福受到平等的约束。当这两个约束都被纳入时，我们必须平衡更多选择带来的功率增益，以及容量约束和FDR控制带来的成本。贝叶斯规则求解，minδEhnXi=1（1-δi）vα（yi）i+τEhnXi=1n（1-vα（yi））δi-γδioi+ τEhnXi=1δii-αn.考虑到决策函数的离散性，该问题似乎采取了经典背包问题的形式，但按照Basu、Cai、Das和Sun（2018）的方法，我们将考虑问题的一个放松版本，在该版本中，单元按顺序选择，直到违反一个或另一个约束，最终选择随机化，以精确满足约束。评论鉴于损失函数的拉格朗日形式，考虑选择问题的优化视角是很自然的。最小化（3.1）中定义的损失预期相当于最小化P[δi=0，θi≥ θα]受P[δi=1，θi<θα]/P[δi=1]的约束≤ γ和P[δi=1]≤ α. 因此，我们正在寻找一个阈值规则，该规则最小化了容量约束和决策规则的边际FDR率低于γ水平的约束下的预期未发现数量。从测试的角度来看，这个最小化问题也很容易被视为等同于决策规则δP[δi=1 |θi]的最大化≥ θα]，受相同的两个约束。提议3.3。

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2022-4-26 16:13:24

对于任何一对，（α，γ），使得γ<1- α、最优Bayesrule的形式为δ*i=1{vα（yi）≥ λ*（α，γ）}式中λ*（α，γ）=vα（t*) 和t*=max{t*, T*},T*= minnt:Rθα-∞■Φ（（t）- θ） /σ）dG（θ）R+∞-∞■Φ（（t）- θ） /σ）dG（θ）- γ ≤ 0o，t*= 明特：Z+∞-∞■Φ（（t）- θ） /σ）dG（θ）- α ≤ 表示标准正态随机变量的生存函数。12.令人反感的比较。最佳切割效果*取决于数据生成过程以及α和γ的选择。当数据有噪声时，FDR控制约束可能会在达到容量约束之前被绑定，因此所选的集合可能会比预先指定的α比例小得多。另一方面，当信号较强时，在达到电容约束之前，FDR控制约束不太可能绑定。我们已经看到，当方差是齐次的时，最优选择规则在Y上，因此很明显，任何基于Y的单调变换的排序都会导致一个等价的选择集。我们还应该强调，我们关注的是依赖于α的零假设，而多重测试文献，例如Efron、Tibshirani、Storey和Tusher（2001）、Sun和Cai（2007）以及Basu、Cai、Das和Sun（2018），通常关注的是H0i：θi=0的零假设。当方差是齐次的时，无论我们使用的是α相关的零点还是传统的零零点，因为基于传统零点P（θ>0 | Y=Y）的变换也是Y的单调函数，因此产生了一个等价的决策规则。然而，当方差不均匀时，这种不变性不再成立；对（y，σ）的不同变换会导致不同的决策规则，从而导致不同的性能，使用传统的零假设不再适用于排名和选择问题，我们将在下一节中展示。4.

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2022-4-26 16:13:31

异质已知方差上一节中的同质方差假设在大多数应用中是不可持续的。击球平均数伴随着一些“at bats”，平均测试分数表现伴随着学生样本量。在本节中，我们将考虑扩展模型Yi~ N（θi，σi）和θi~ G、 σi~ H、 σi⊥⊥ θiWe将假设我们观察到σi，这一假设将在下一节中放松。4.1. 后尾概率。与HA：θ的假设相同≥θα，再次考虑后尾概率是很自然的，现在作为对的函数，（yi，σi），vα（yi，σi）=P（θi）≥ θα| yi，σi）=R+∞θα|（yi |θ，σi）dG（θ）R+∞-∞ν（yi |θ，σi）dG（θ）。用（3.1）中规定的损失函数解决相同的决策问题，我们有条件风险，Eθ| Y，σhL（δ，θ）i=nXi=1（1-δi）vα（Yi，σi）+τnXi=1{δi（1-vα（Yi，σi））-γδi}+τnXi=1δi-αn.Gu和Koenker 13对（Yi，σi）的联合分布进行了另一个期望，即贝叶斯规则解算nδEhnXi=1（1）-δi）vα（yi，σi）i+τEhnXi=1n（1-vα（yi，σi））δi-γδioi+τEhnXi=1δii-αn最优选择规则可以再次描述为阈值规则onvα（yi，σi）。提议4.1。对于预先指定的对（α，γ），γ<1-α、贝叶斯规则的形式是δ*（y，σ）=1{vα（y，σ）≥ λ*（α，γ）}式中λ*（α，γ）=max{λ*(α, γ), λ*(α)},λ*（α，γ）=minnλ：RRθα-∞■Φ（（tα（λ，σ）- θ） /σ）dG（θ）dH（σ）RR+∞-∞■Φ（（tα（λ，σ）- θ） /σ）dG（θ）dH（σ）- γ ≤ 0oλ*（α） =minnλ：Z+∞-∞■Φ（（tα（λ，σ）- θ） /σ）dG（θ）dH（σ）- α ≤ 0o和tα（λ，σ）定义为vα（tα（λ，σ），σ）=所有λ的λ∈ [0, 1].评论注意，虽然阈值λ*不取决于σ的值，排名取决于σ。一种方法是，由于vα（y，σ）在y中对所有σ>0都是单调的，所以最优规则等价于1{yi>tα（λ）*, σ） }，其中tα（λ，σ）是σ的函数。

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2022-4-26 16:13:37

对于λ的固定值*, YDE的选择区域以非线性方式依赖于σ。比较个体i和j，可能是yi>yj，但yj延伸到选择区域，而yi没有。下面是一个例子。还应强调的是，当方差不均匀时，不同的损失函数不必导致等价的选择。4.2. 传统的无效假设。后验尾概率准则的动机是将排序和选择问题视为假设检验，同时允许零假设是α依赖的。结果证明，完整假设的特殊构造对排名工作至关重要。在这一小节中，我们给出了一个简单的例子来说明基于零影响的传统零假设的尾部概率并不会产生强大的排名工具。考虑由三组分正态混合模型生成的数据，（4.1）Yi |σi~ 0.85N(-1，σi）+0.1N（0.5，σi）+0.05N（5，σi），σi~ U[0.5,4]我们考虑T（yi，σi）=P（θi>0 | yi，σi）=R，而不是用vα变换数据+∞ν（yi |θ，σi）dG（θ）R+∞-∞ν（yi |θ，σi）dG（θ），并相应地对个体进行排序。这种转换对应于Sun和McLain（2012）中提出的程序，并在传统的零假设H:θ下用于多个测试问题≤ 0.判定规则δTi=1{T（yi，σi）≥ λ} 然后选择考虑电容约束和FDR控制约束的切割值λ，以选择顶部α比例。图4.1比较了α=5%和边际FDR控制水平为10%的两种排名程序的选择区域。黑色实线对应14个令人讨厌的对比。5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.00 5 10 15σ阈值零零零零尾零图4.1。基于模型（4.1）的选择边界，α=0.05，γ=0.1。

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2022-4-26 16:13:44

实心黑色曲线对应于基于变换vα的选择区域的边界。红色虚线对应于基于变换T的选择区域的边界。假设σ的密度在区间[0.5,4]上是均匀的。使用基于变换vα的排序的选择边界，红色虚线对应于使用基于变换T的排序的选择边界。黑色选择边界下方的黑色突出显示区域对应于一个区域，其中基于T的排序方法将进行选择，但基于vα的排序方法不进行选择。另一方面，蓝色突出显示的区域对应于vα选择的区域，但不是T。变换T将黑色区域中的区域排列为高于蓝色区域中的区域，因为尽管它们的影响相对较小，它们的相关方差也较小，这表明这些个体比那些位于蓝色区域的个体有更有力的证据表明其θ为正。然而，我们的任务是在上尾找到具有真正影响θi的个体。对于α=5%，我们的目标是选择θ=5的所有个体，黑色区域的个体提供了强有力的证据，表明他们的真实影响不能太大，因为他们的观察效果很小，相关方差也很小，而蓝色区域的个体，尽管观察到的平均效应与较大的方差相关，但有合理的证据表明它们相关的真实效应θ可能很大。这一证据在变换T中不明显，但在变换vα中被捕捉到。事实上，基于两种不同转换vα和T的平均排名能力显著不同。将选择规则的幂定义为β（δ）：=P（θi≥θα，δi=1）/P（θi≥ θα），根据决策规则δ，然后β（δT）=39%和β（δ*) = 69%.

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2022-4-26 16:13:50

因此，尽管许多文献依赖于基于某种形式的后验平均数和传统假设检验工具的排序和选择规则，但我们要提醒的是，这种方法可能会产生误导，而且效率低下。顾和科恩克154.3。选择集的嵌套性。如果我们放宽容量限制，允许选择更大的比例，α>α，同时保持我们最初的错误发现控制，我们希望在更严格的容量限制下选择的成员应在放宽的限制下保持选中状态。我们现在讨论在使用后验尾概率规则时获得选择集嵌套性的充分条件。在我们分析透析中心的排名和选择时，这是一个自然条件，特别是因为我们想给中心的几个亚组分配“字母等级”。最优贝叶斯规则将每对（α，γ）的选择集定义为Ohmα、 γ：={（y，σ）：vα（y，σ）≥ λ*（α，γ）}当σ已知时，vα（y，σ）在y中是单调的，如引理3.2所示，对于每个固定的σ，选择集也可以表示为Ohmα、 γ={（y，σ）：y≥ tα（λ）*（α，γ），σ）}也便于以后的讨论来定义OhmF DRα，γ：={（y，σ）：vα（y，σ）≥ λ*（α，γ）}={（y，σ）：y≥ tα（λ）*(α, γ), σ)}OhmCα：={（y，σ）：vα（y，σ）≥ λ*（α） }={（y，σ）：y≥ tα（λ）*（α），σ）}分别是错误发现率约束或容量约束绑定时的选择集。很容易看出这一点Ohmα,γ= OhmF DRα，γ∩ OhmCα。引理4.2。设vα（yi，σi）的密度函数表示为fv（v；α），并设λ*（α，γ）=minnλ：RRθα-∞■Φ（（tα（λ，σ）- θ） /σ）dG（θ）dH（σ）RR+∞-∞■Φ（（tα（λ，σ）- θ） /σ）dG（θ）dH（σ）- γ ≤ tα（λ，σ）定义为vα（tα（λ，σ），σ）=λ和∧Φ是标准正态随机变量的生存函数。

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2022-4-26 16:13:56

如果αlogfv（v；α）在v中不递减，那么对于固定的γ，如果α>α，我们有λ*(α, γ) ≤ λ*(α, γ).评论密度函数fv（v；α）可以看作是由参数α索引的v的函数。fv（v；α）的显式形式见第4.4节（正常模型）。引理4.2中的条件等价于单调线性条件，即当α>α时，似然比fv（v；α）/fv（v；α）在v中是不减的。推论4.3。如果引理4.2中的条件成立，那么OhmF DRα，γ OhmF DRα，γ表示任何α>α。评论引理4.2中的条件是充分的，但不是嵌套的必要条件OhmF DRα，γ。即使λ*(α, γ) > λ*（α，γ），我们仍然可以有tα（λ）*（α，γ），σ）<tα（λ）*（α，γ），σ），因为函数vα（Y，σ）依赖于α，其逆函数tα也依赖于α。引理4.4。让λ*（α）定义见提案4.1。如果对于任何α>α，tα（λ*(α), σ) ≤ tα（λ）*（α），σ）对于每个σOhmCα OhmCα.16令人反感的对比标记。这里的单调性与亨德森和牛顿（2016）定理3中的条件一致，后者证明了当G为高斯时，它成立。然而，它不必如我们在C.引理4.5节中的反例所示保持不变。如果αlogfv（v；α）在v和引理4中都是不递减的。4保持不变，则对于固定的γ，选择区域具有嵌套结构：如果α>α，则Ohmα,γ Ohmα,γ.4.4. 例子。在本节中，我们考虑几个例子，从最简单的经典情况开始，其中θi代表标准高斯分布的随机样本。关于混合分布G形式的高斯假设几乎是应用经济学中所有经验贝叶斯文献的基础；这正是通常采用的线性收缩规则的正确之处。实例[Gaussian G]考虑正态模型，其中y |θ，σ~ N（θ，σ）和θ~ N（0，σθ）和σ~ 具有密度函数H（σ）。

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2022-4-26 16:14:02

给定σ的y的边际分布为N（0，σ+σθ），且（y，σ）的联合密度的形式为，f（y，σ）=p2π（σ+σθ）expn-y2（σ+σθ）oh（σ）。给定正态共轭，θ| y，σ的后验分布遵循N（ρy，ρσ），其中ρ=σθ/（σθ+σ）。因此，随机变量v是一对（Y，σ）的变换，定义为，v=ψ（Y，σ）：=P（θ）≥ θα| y，σ）=Φ（（ρy）- θα）/pρσ）。对于固定σ，ψ在y和ψ中单调递增-1（v）=θα/ρ+pσ/ρΦ-1（v）与vψ-1（v）=pσ/ρ/а（Φ-1（v））。因此，v和σ的联合密度为g（v，σ）=f（ψ）-1（v），σ）|vψ-1（v）|=p2π（σ+σθ）expn-（θα/ρ+pσ/ρΦ）-1（v））2（σ+σθ）opσ/ρφ（Φ-1（v））h（σ）。积分出σ，我们得到了v的边缘密度，fv（v；α）=Zp2π（σ+σθ）expn-（θα/ρ+pσ/ρΦ）-1（v））2（σ+σθ）opσ/ρφ（Φ-容量约束为P（v）≥ λ*) = α、带截止值λ*, 满足，α=P（v）≥ λ*) = 1.-ZΦθαpσ+σθσθ- Φ-1(1 - λ*)qσ/σθdH（σ）。找到λ*, 我们可以使用命题4.1中提供的公式。更直接的方法是认识到，见第6节，FDR控制约束定义为γ=E[（1- v） 1{v≥ λ*}]/P（v）≥ λ*), 其中，截止值λ*定义为γ=Zλ*(1 - v） fv（v；α）dv/Zλ*fv（v；α）dv。让λ*= 最大{λ*, λ*}, 选择区域为{（y，σ）：y≥ tα（λ）*, σ） }带tα（λ）*, σ) = θα/ρ - Φ-1(1 - λ*)pσ/ρ。Gu和Koenker 17假设我们使用θ的后验平均值作为排序工具，因此δPMi=1{yρ≥ ω*}对于一些适当选择的ω*这保证了产能和罗斯福的控制。对于容量约束，阈值解为1- α=ZP（yρ<ω）*)dH（σ）=ZΦω*/（σθqσθ+σ）dH（σ），而FDR控制需要求解的阈值γ=ZP（y≥ ω*/ρ、 θ<θα）dH（σ）/ZP（y≥ ω*/ρ） dH（σ）=Z[ω*/ρ,+∞)(1 - α） f（y）dydH（σ）/Z1- Φω*/（σθqσθ+σ）dH（σ），其中f（y）=1- αp2π（σθ+σ）expn-y2（σθ+σ）oΦ(θα- yρ）pρσ,表示零θ<θα下y的密度。

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2022-4-26 16:14:10

设置ω*= 最大{ω*, ω*}, 选择区域是{（y，σ）：y≥ ω*/ρ} .0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.02.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5 5.0选择边界σ阈值LFDR-CPM-CLfdr-FDRPM-FDR0。5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.02.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5 5.0能力约束σyAll agreed tail extraPM extra0。5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.02.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5 5.0 FDR约束σyAll agreed tail extraPM extraFigure 4.2。左面板绘制了σθ=1，α=0.05，γ=0.2的法线模型的选择边界。假设σ的密度在[0.5,1]范围内是均匀的。选定的单位必须在曲线上方有（yi，σi）。红色曲线对应于选择区域边界，FDR控制在0.2级；实线表示后验均值排序，虚线表示后验尾部概率排序。黑色曲线对应于选择边界，容量控制为0.05级。中间和右侧的面板显示了从10000大小的已实现样本中选择的集合。灰色圆圈对应于通过后验尾部概率规则和后验平均数规则选择的个体。绿色十字表示通过后验平均数规则选择的个体，而不是尾部概率；红色十字表示通过尾部概率规则选择的个体，而不是通过后验平均数规则选择的个体。18令人反感的比较图4.2用θ绘制了两个约束的选择边界~ N（0，1）与σ~ U[0.5,1]。当α=0.05和γ=0.2时，FDR约束是有约束力的，而不是容量约束。在本例中，如果我们仅将容量限制设置为5%，即使是完全了解G的Oracle，也将面临近52%的错误发现率。换句话说，选择在右尾的人中，有一半以上是θ<θα的个体，而不是来自预期的θ≥ θα群。

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可人4

2022-4-26 16:14:17

这一事实促使我们更明确地将罗斯福纳入选择约束。我们可能还记得，在齐次方差高斯设置中，我们在图3.1中看到，当α设置为0.05时，FDR也非常高。图4.2还描述了所选集合，其实现样本为正常模式下的10000个样本。仅在容量限制的情况下，后验平均值标准有利于方差较小的个体。当实施FDR约束时，γ=0.2，它将成为该设置中的约束，两个标准变得更严格，只选择了更小的个体集，并且选择中的冲突更少。相应的选定集绘制在图4的右面板中。2.当G中的方差参数σθ未观测到时，我们可以根据Y的边际似然通过Themmle进行估计。这就产生了Efron和Morris（1973）提出的广义James Steinestimator。实例[离散G]假设θ~ 0.85δ-1+ 0.1δ+ 0.05δ. 那么给定σ的y的边缘密度的形式为，f（y |σ）=Z|（y |θ，σ）dG（θ）=0.85|（y | 1，σ）+0.1|（y | 2，σ）+0.05|（y | 5，σ））。随机变量v是一对（y，σ）的变换，定义为，v=ψ（y，σ）：=P（θ）≥ θα| y，σ）=R+∞θα|（y |θ，σ）dG（θ）R∞-∞ν（y |θ，σ）dG（θ）。容量约束导致v上的阈值规则，使得P（v≥ λ*) = α、而FDR控制会产生一个截止值λ*定义为γ=E[（1-v） 1{v≥λ*}]/P（v）≥ λ*). 让λ*= 最大{λ*, λ*}, 然后用{（y，σ）：y来定义选择区域≥ tα（λ）*, σ） }，并且可以很容易地在数字上找到。图4.3绘制了当θ遵循该离散分布时两个约束的选择边界。我们再次设置α=0.05和γ=0.2，因此我们希望选择与最大影响大小相关的所有个体，{θ=5}，同时将FDR率控制在20%以下。

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2022-4-26 16:14:23

红色曲线再次对应于FDR控制和两级程序，而黑色曲线对应于容量控制。为了使这两个区域重叠，α固定在0.05，我们必须愿意容忍γ≈ 37%. 在这种情况下，我们看到后验概率排序程序优先选择方差较大的个体，而后验平均值排序程序优先选择方差较小的个体。基于已实现的10000个样本，图4.3再次显示了所选的观察结果，我们再次看到后验平均值标准有利于方差较小的个体，无论是在容量约束还是FDR约束下。与正常设置相比，现在FDR约束不那么严重，允许我们选择更多的个体。Gu和Koenker 190.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.02 4 6 8 10 12 14选择边界σ阈值LFDR-CPM-CLfdr-FDRPM-罗斯福●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.02 4 6 8 10 12 14容量约束σy●所有人都同意额外付费●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.02 4 6 8 10 12 14 FDR约束σy●所有人都同意，如图4.3所示。

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