在任何弱平衡的网络中，以下持有：（i）对于任何确保系统偿付能力的bai l out政策，存在一组担保付款，也确保系统偿付能力，并导致相同的总成本。（ii）对于确保系统偿付能力的任何一组担保付款，都有一项救助政策，该政策也确保系统偿付能力，并导致相同的总成本。（iii）如果网络是完全平衡的，那么为了找到最便宜的保险单来保证完全的偿付能力，只考虑支付的全部担保（即αij）是不失普遍性的∈ {0，1}代表所有ij）。我们分析了最有效的方法是什么。考虑到偿付能力独立于支付顺序，我们没有明确模拟救助的时间安排。有效地说，救助政策必须使一些银行具备偿付能力，然后它们才能偿还所有债务。与其他救助支付一起，其他银行变得有偿付能力，并进行支付，等等。为了说明引理1，考虑图3.1 20.50.50.5所示的网络图3：左边的网络有两个周期：{1,2,3,1}和{2,3,4,2}。右边的网络有三个循环：c={1,2,1}，c={3,1,3}，和c={3,2,1,3}。箭头指向债务的方向。首先，假设网络完全平衡，每个银行的pi=0。根据推论1，在监管机构没有任何干预的情况下，所有银行都会在失衡中违约，因为没有一家银行是单方面有偿付能力的。左边的网络有两个简单循环。付款{D，D}确保所有银行都有偿付能力，并达到最低可能的2美元成本。另一种以最低成本确保完全偿付能力的方法是监管机构支付{D}。请注意，第一次干预相当于向银行4、然后向银行2提供援助。

第二次干预相当于救助第三银行。例如，该网络中的其他最低救助只有银行2，或银行1和银行4，它们分别对应于担保付款{D，D}和{D，D}。右边的网络有三个简单的循环。确保系统偿付能力的最低成本有三种：{D，D，D}，{D，D}和{D，D}。它们都会导致总注资额达到1.5美元。它们分别相当于：救助银行2，然后救助银行1；救助银行3，然后救助银行2；救助银行1。注意，在这里，我们只需要考虑支付的完全保证，因为网络是精确平衡的（Lemma1（iii））。接下来，假设每个银行都有pi=0.5。在这两个网络中，如果监管机构或不干预，所有银行仍处于最糟糕的平衡状态。在左边的网络中，一些在pis为0时是最低成本的救助政策不再适用。例如，救助第二银行或第三银行仍能确保系统性偿付能力，但成本为1.5%。相比之下，拯救Bank 1和Bank 4总共需要花费1美元。这可以通过支付债务来实现，但最低成本只能通过支付这些债务的一小部分α=α=1/2来实现。偿还全部债务将使成本加倍。因此，由于银行现在有了一些资本缓冲，仅仅考虑债务支付的全额担保也不再是没有损失的。在右边的网络中，现在有两个最低成本救助序列，而不是三个，分别是救助银行2或银行3。要求总注射量为0.5。

它们分别相当于保证支付{D}infull和保证支付{D}，权重α=0.5。尽管救助和担保付款之间存在这种等价性，但监管机构可能更愿意支付银行的部分款项，而不是拖欠款项，仍然有一些重要原因。一是银行可以将注入的资本用于偿还债务以外的目的。对于Instance，在2008年金融危机中，救助资金被用来支付交易员和银行家的奖金（Story and Dash（2009））。鉴于这些问题超出了本文的范围，而且在我们的模型中，救助和担保债务支付可以相互转化，我们在这两种形式的政策之间来回移动，这取决于对于给定的问题，哪种政策在概念上更容易处理。4.2第一个特征现在让我们检查确保偿付能力所需的最低总资本注入。Westart指出，命题2直接给出了最佳和最差均衡的此类最小失效的第一个特征。最佳平衡相对容易理解。如果网络不平衡，那么一些银行肯定会违约，而每个不平衡的银行都需要恢复偿付能力。因此，每个ito接收ti=[DLi]都是必要且有效的- 戴- pi]+（通过命题2）；因此，需要注入系统以确保其偿付能力的最低资本额为xi[DLi]- 戴- pi]+。最糟糕的平衡要复杂得多，因为弱平衡不再足以解决问题。除了上述最低支付额之外，还需要向一些银行注入足够的资本金，以确保存在一个迭代的强偿付能力集合，该集合与每个有向循环相交。

这一点总结在下面的推论中，以支持立场2。推论3。（i） 确保系统偿付能力处于最佳均衡状态的最廉价救助政策是注入ti=[DLi]- 戴- pi]+进入每个银行i，经济中净投资的总成本为：pi[DLi- 戴- pi]+（如果网络弱平衡，则为0）。（ii）在最差的均衡状态下，确保系统性解决方案的最便宜的保释政策是注入ti=[DLi]- 戴- pi]+注入每个银行i，再加上最小的资本注入，生成一个迭代强溶剂集，与网络中的每个周期相交。（iii）如果网络被完全压缩（因此网络中的所有债务周期都被压缩），那么最佳和最差的均衡以及最佳救助政策只需要注入经济中的净不平衡。因此，为了确保整个网络的偿付能力，监管机构首先必须确保所有银行的弱平衡。这足以让所有银行在最佳平衡状态下都有偿付能力。

为了确保在其他均衡中的偿付能力，所需的额外资本是生成一个迭代强偿付集合的最小值，该集合与银行破产的任何定向周期相交；我们将在下面进一步探讨。4.2.1资本注入的回收为实现弱平衡而支付的款项，Pi[DLi]- 戴- pi]+，ZF或其他参与救助的实体将不会收回。因此，与平衡的金融网络相比，确保一个不平衡的金融网络的偿付能力可能要付出更大的代价，因为监管机构必须注入所有净借款人的净不平衡。事实上，这种不平衡可能很大，因为许多银行与不参与该网络的合作伙伴有债务契约：例如，他们的存款可以被视为债务，用于我们的目的（例如活期存款、存款证明、隔夜贷款、货币市场账户等）。相反，为确保在任何其他均衡中的偿付能力而支付的任何额外款项都可以收回。事实上，一旦支付了必要的款项以恢复疲软的余额，每家银行的资产负债表都满足pi+DAi≥ DLi。因此，额外的资不抵债是由于自我填补违约的循环。这些额外的付款最终可以收回，因为最终这些银行将获得债务偿付≥ DLi-完整的。因此，一旦调节器在整个网络中循环，它就可以恢复为生成迭代强溶解集而必须注入的额外资本l。例如，这些贷款可以作为短期贷款提供。尽管这些额外的救助在理论上是可以收回的，但出于各种原因，这样做在实践中可能是不可行的。此外，即使监管机构确实设法从救助资金中收回了一大笔资金，注入资金也需要大量的事前资本，这本身可能代价高昂。

因此，找到能确保系统在最差均衡状态下解决问题的最低限度救助是与政策相关的，尽管救助中使用的一些资金最终可以收回。4.3确保在除最佳均衡之外的任何均衡中的偿付能力，因为确保在最佳均衡中的偿付能力的最低资本注入量由推论3充分描述，并且易于计算，因此本文的其余部分将重点放在确保在其他均衡中的偿付能力所需的额外资本上。这是在我们的静态环境中。这可能是因为，一旦重新转向偿付能力，银行的未来盈利将使它们能够偿还当前的短缺，但这超出了我们的分析范围，我们的分析区分了短期内可以收回和无法收回的付款。请参阅Lucas（2019），详细了解2008年危机中注入的救助资金总额以及未收回的金额。为了确保系统性偿付能力处于任何均衡状态，包括最佳状态，ZF必须注入Ti=[DLi]- 戴- pi]+进入每家银行i。由于这样做可能会触发一些还款级联，因此通过提供这些付款开始还款是弱最优的。如果经济最终达到最佳平衡，那么就有充分的偿付能力。如果出现一些冻结，经济最终达到任何其他平衡，那么还有一些剩余的周期，在这些周期中没有支付，所有的银行都资不抵债。

为了分析任何此类均衡的最低救助，在不损失一般性的情况下，一旦出现上述情况，就必须限制对处于该均衡状态的破产银行的关注，重新定义其投资组合价值，以考虑这些转移以及它们从有偿付能力的银行收到的任何债务。考虑除最佳外的任何均衡，让我们表示在该均衡中有偿付能力的银行集合，给定这些初始转移（tis）。对于Worstequirium的情况，当银行的投资组合被重新定义为pi+ti时，S是迭代最有力的偿债能力集，但对于其他均衡，一些额外的周期可能会消失，因此S可能会更大。由于S中的所有银行在利率均衡时都有偿付能力，它们全额偿还债务，因此新的有效投资组合价值为：epi≡ pi+[DLi- 戴- pi]++Xj∈SDij，由于资不抵债而未清偿的新未偿债务由Edij={j给出∈ N\\S}Dij。在计算总救助成本时，应记住向已经有偿付能力的银行进行的所有转账，现在是par tof node 0，因此我们只需检查清除剩余网络所需的额外成本。为了说明这第一步，考虑图4所示的网络。最初，只有银行1不是弱平衡的，因此ZF开始注入t=DL- p=1，确保银行1在任何均衡状态下的偿付能力。考虑到这种转移，有三种可能的平衡：最好的一种是所有银行都有偿付能力，最坏的一种是所有银行都有债务，中间的一种是只有银行4和5违约。

如果利益均衡是后者，那么已经有偿付能力的银行的集合是S={1,2,3}，在不失去一般性的情况下，我们关注图4右边显示的剩余网络。银行支付的款项需要考虑在内，因此ep=p+D=1.75，ep=0。相反，如果利率均衡是最差的，那么唯一通过这一初始注资得到解决的银行就是银行1:S={1}。然后监管者可以把注意力集中在银行的一些债务上，这些债务是在S中的，所以我们将这些债务视为对外部人的债务，以便节点0。节点0不涉及任何剩余的破产周期，因为这些都包含在剩余网络中。4 51 321初始网络重新定义网络0 4 5图4：设p=p=p=0和p=p=1。其他银行，同时调整银行2的投资组合价值，以考虑其从1收到的付款：ep=1。请注意，通过构建，重新定义的网络中的所有银行都会在没有额外注资的情况下，在利益均衡中违约。因此，在不损失任何通用性的情况下，我们将在下面的分析中集中讨论剩余的网络（N\\S，eD，ep）。为了保持符号的整洁，我们使用符号（N，D，p）来表示剩余的网络。4.3.1最低救助问题为了描述在这个破产银行的剩余网络中确保充分偿付能力所需的最低救助，我们需要跟踪为银行纾困的流动性释放到网络中的数量。特别地，让我们（X） N\\X是当X中的所有银行进行支付时，有偿付能力的银行的集合：S（X）={i | pi+Xj∈XDij≥ DLi}。迭代构造Sl（X）作为溶剂，只要X中的所有ba NK都是溶剂∪ S（X）∪. . . Sl-1（X）付款。

设S（X）=X∪∪lSl（X）是银行在X的直接和间接付款所产生的全部偿付能力。鉴于X地区的银行已经恢复偿付能力，救助银行的成本为Ci | X=DLi- 圆周率-Pj∈S（X）Dij+. 请注意，对银行进行部分纾困永远不会是最优的，因为这不会防止它招致破产成本，因此也不允许它偿还债务。类似地，向银行注入比确保其偿付能力的最低金额更多的资本也不具有成本效益。因此出现了一种不理想的救助政策（（i）l, Tl))l我一定没有l= 词l|{我，我l-1} 总之l, 我们可以通过（i）来描述一项政策l)l. 救助政策的总成本（i，…，iL）为：救助成本（i，…，iL）=Ci|+九、l=我，我，我l-1}.最优救助政策解{（i，…，iL）}Ci|+九、l=2Cil|{我，我l-1} （OPT）s.t.s（{i，…，iL}）=N.4.4最优救助问题的计算复杂性在任何超过最优的均衡中，找到确保完全解决所需的最低资本注入的问题（OPT）可能是复杂的。我们证明了它实际上是NP难的。这种复杂性源于这样一个事实，即一家银行需要具备偿付能力的部分资本可能来自其他人支付的债务，因此，它可以是银行债务人的第一次纾困，而不是直接纾困。我们通过一系列例子说明了这种复杂性的影响，然后给出了一个更积极的结果，给出了确定最佳救助政策所需的计算数量上限。

最后，我们考虑了网络结构，在这种结构下，最优策略可以被充分刻画。我们从一些标准定义开始，这里为可能不太熟悉它们的读者提供了一些标准定义。如果存在一种算法（确定性图灵机），可以验证任何给定策略是否是多项式时间内决策问题的解决方案，也就是说，存在一个正常数，使得验证算法在O（nr）时间内运行，则将具有n个银行的网络作为输入的问题属于NP复杂性类别。如果一个问题至少和NP中的任何问题一样难，那么它就是NP难问题。如果一个问题是NP难的，那么就没有已知的多项式时间算法来解决它。许多人认为不存在这样的算法。从我们的角度来看，重要的是，每一个NP难问题都有这样的例子：已知的唯一解决方法就是对问题的规模进行不切实际的多次（多于多项式多次）计算，这里是网络中银行的数量。提议3。确定是否存在确保系统性偿付且成本不超过某个预算金额的基础支出政策是NP困难的。因此，制定最低成本救助政策（OPT）也是NP难的。检查是否存在确保系统偿付能力和成本不超过某个预算金额的救助政策比确定最低成本“更容易”的问题为了使事情保持合理的长度，我们不包括如何定义算法、如何计算其步骤等的所有背景定义。，但这种背景在任何关于计算复杂性的文本中都很容易找到（例如Arora和Barak（2009）；帕帕迪米特里欧（1994年）。一个问题至少和另一个问题一样难，如果第二个问题的任何一个实例可以在最多多项式的多个步骤中转化为第一个问题的实例。

或者，如果一个甲骨文可以一步解决第一个问题的任何实例，那么就有一个算法可以在多项式时间内解决拉特问题。在知道最低成本问题的解决方案的意义上，政策使人能够回答这样一个问题：对于任何预算，它是否可以在某个预算内完成。因此，这个命题清楚地表明（OPT）也是NP难的。此外，从Lemma1可以看出，找到确保系统解决方案的最低成本担保付款集也是NP-hard。最佳救助政策不仅考虑了一些银行的解决方案所导致的直接付款，还考虑了随后产生的间接级联的价值。我们通过证明，对于某些网络结构，确定一个人能否以不超过一定成本救助所有银行，可以解决众所周知的“分割问题”，这是一个NP难问题（因此，有效地说，每个分割问题都对应于某个救助问题），从而证明了假设3。尽管我们使用划分问题来提供最直接的证明，但通过与著名的“背包问题”的比较，直觉可以最容易理解，背包问题也是NP难问题。背包问题由n个物品组成，每个物品都有一个重量和价值，以及一个背包，它能承受的总重量有一定的限制。这样做的目的是选择要包装的物品，以便在不超过重量限制的情况下最大限度地提高总价值。我们的问题与此类似，从直觉上看，每家银行都有一个价值——由其偿付能力引起的流动性流量，以及一个成本（比如权重）——监管机构需要注入多少资本才能使其具有偿付能力。这样一来，我们的目标就是将破产银行的总成本降至最低，同时引入充足的流动性流，以确保系统性偿付能力。

对于一些网络来说，根据它们的重量和价值，选择要救助的银行就相当于选择要装在背包里的物品。更具体地说，考虑一个（弱平衡的）“星型网络”，其中存在一个中心银行，比如银行1，它欠所有其他银行的债务，所有其他银行只欠银行1的债务。救助第一银行将确保整个系统的偿付能力，因为这将确保所有外围银行获得其所有债务资产。然而，只要中央银行需要向其支付的债务超过一家外围银行的债务，才能具有偿付能力，那么最佳救助政策就包括救助一些外围银行的子集，正如我们在第4节中所证明的那样。6.2. 每个外围银行都以其救助成本为特征- DLi，其通过剩余偿付能力向中央银行提供的流动性金额为DLi，因此监管机构只需支付pi就可以向中央银行注入DLi- DLi。因此（OPT）归根结底就是要最大限度地降低被救助外围银行的总成本，前提是至少要将总流动性流入1号银行- DL。这正是一个标准背包问题的对偶问题，其目标是在总成本不超过一定金额的情况下，使物品的总价值最大化。因此，在星型网络上，任何背包问题都可以转化为救援问题，因此救援问题至少与背包问题一样困难。问题的第一个版本被称为“决策问题”，因为它有一个是/否的答案，而最佳问题需要更详细的解决方案。这两类问题，但主要是决策问题，都是在复杂性理论中研究的。一个复杂的情况是，在某些情况下，人们会救助一系列外围银行，然后向中央银行注入少量剩余资本。

然而，我们强调，在Star networks之外的网络中，找到最佳救助政策比标准背包问题更加复杂，因为银行被救助的顺序很重要。被救助的每家银行都会支付一些款项，这会改变救助其他银行的成本。这就像一个背包问题，给定物品的重量取决于哪个物品已经添加到背包中。这又增加了一层复杂性。为了说明这一点，请考虑图5中所示的网络，从左侧的网络开始。由于第二银行处于所有周期，对其进行纾困可确保系统偿付能力和成本-p=5。然而，这并不是最佳政策，因为如果监管机构首先救助银行3，它可以显著降低救助银行2的成本。事实上，拯救第三银行需要付出代价- p=3，并允许偿还其对银行2的债务。救助后者只需花费1美元。这个例子说明了救助问题（OPT）的两个重要方面。首先，如上所述，救助的顺序不同，因为剩余银行的救助成本取决于哪些银行已经被救助。救助3人和2人的成本比救助3人和2人的成本低，而且两者都能带来系统性偿付能力。第二，尽管它本身不会引发任何额外的偿付能力，但它可能是退出银行的最佳选择。这表明，救助那些首先触发更大规模还款级联的银行可能会导致比预期更大的总救助成本。同样，救助那些成本更低的银行并非最佳救助，因为这会导致监管机构救助银行1.1 2 32图5：（左）设p=0、p=5和p=1。（右）设p=0，p=p=5- ε、 p=6。接下来，考虑图5右侧的网络。

救助银行4确保了系统解决方案，但代价是DL- p=4。然而，这里最理想的是救助银行2和3，总成本为2ε。请注意，这两家银行本身都不能引发系统解决方案，但它们的组合可以。更一般地说，银行作为有偿付能力的机构在网络中产生的流动性流量取决于谁已经被保释。让我们在证明中显示分配问题的减少。这使得救助问题成为一类有趣的复杂问题，可供进一步研究：很容易检查任何给定的救助政策是否有效且只涉及一定的成本，而且这个问题是NP-完全问题，但在成本相互作用的划分和背包问题上提供了一个有趣的转折点。这表明，银行之间存在两种干扰，使得破产顺序至关重要：一种是成本干扰，即如果另一家银行在ehand之前得到了救助，那么救助一家银行的成本就会大大降低；另一种是流动干扰，即一家银行引起的流动性流动会因另一家银行的偿付能力而增加或减少。由于这些相互作用，（OPT）不像线性规划那么容易表达，而且已经证明对背包问题有效的标准动态规划算法不会直接扩展。此外，大多数简单的算法都可以执行与opt imal相关的任意错误。例如，按照银行的总流动性的降序或成本的升序对银行进行救助，可能会导致总救助成本任意大于最优成本。图6中的网络说明了基于最小化成本的贪婪算法的性能有多差。该示例由长度为n的循环链组成。

请注意，banksi≥ 2.有足够的资本缓冲来吸收最小债务人的违约，即i+1。因此，如果一家银行i有偿付能力，那么这就足以使它的跟随者i+1也有偿付能力，这就足以使i+2有偿付能力，直到银行n为止。然而，情况并非如此：银行i偿还债务不足以使它的前任i有偿付能力-1.溶剂。考虑到这一对称性，最优政策是救助银行1：这保证了所有银行的偿付能力，总成本为？D。现在假设监管机构使用一个简单的贪婪算法，该算法考虑按银行救助成本的递增顺序救助银行。该算法首先拯救Bankn，因为这只需要注入DLn- pn=D<`D=DLi- pifor all i 6=n。该算法然后将银行n救出- 1以DLn为代价-1.- pn-1.- Dn-1n=\'D- D、 然后银行- 2等。这会导致调节器注入全部D+（n- 1） （\'D- D） 。因此，贪心算法相对于opt ima l策略的性能可以任意延长足够长的链。1 2 3nn- 1“DD”DD。图6：假设p=pn=0，pi=D，所有i 6=1，n。假设¨D>D。注意，在这个例子中，一个贪婪算法以银行产生的流动性流量的降序来帮助银行找到最佳策略。事实上，由于1号银行的纾困清理了整个系统，1号银行产生了最大的流动性流量，并将首先被这种贪婪的算法选中。然而，在其他例子中，基于流的贪婪算法可能会表现糟糕。例如，回想一下图5右边的网络。救助4号银行可以使问题扩大到每个订单都有不同的值，但线性问题有许多输入，作为整个网络的函数，而救助2号银行或3号银行只会导致5的流动性流。

因此，当最优的保释政策只需要注入2ε时，这种替代性的g r eedy算法将导致监管机构救助银行4，从而注入总额等于4的资本。我们注意到，按照银行流动性流量与救助成本之比的降序对银行进行救助也可能表现不佳，如第4节所示。下文6.2。一种方法是考虑这些干扰是有限的网络，因为简单的贪婪算法可能会表现良好。一个薄弱的要求是，银行之间不得干涉最佳救助政策（i*l)l; i、 e.任何i.的流动性和救助成本*l独立于（i）中其他银行的偿付能力状态*l)l.这意味着银行在（i）中的顺序*l)l保释是无关紧要的。例如，考虑由不相交的循环组成的网络。在这个例子中，一个最优的救助政策必须是每个周期只救助一家银行，以便以最低的成本确保系统的偿付能力。由于周期是不相交的，因此清除它们的顺序无关紧要。贪婪算法按照银行救助成本的递增顺序（每次救助后重新计算这些成本，以考虑资产负债表和偿付能力的变化）对银行进行救助，从而产生了最优救助政策。然而，一旦这些周期相交，就会出现各种各样的干扰。事实上，即使在（i）中没有任何干扰*l)l, 在其他非最优银行中，总会有干扰，导致贪婪算法表现不佳。4.4.1计算时间命题的上界3表明，随着网络规模n的增长，找到最优救援策略变得复杂。直觉是，拥有更多银行的网络可能会有更多的重叠周期，而这些周期会在救助之间产生干扰。

因此，决定最优救助政策复杂性的不是银行数量n本身，而是相关的可能周期数K。我们在命题4中对此进行了形式化。提议4。找到最佳纾困政策所需的计算数量不超过K！nK+1，其中n是网络中的ban ks数，K是密集循环数。命题4建立在以下观察的基础上：每个周期拯救一家以上的银行绝对不可能比每个周期只拯救一家银行便宜，而且两者都能确保系统的偿付能力。因此，监管者可以将注意力限制在莫斯通银行每个周期的纾困政策上。考虑到循环中的潜在重叠和由此产生的级联，我们需要选择每个循环中最便宜的银行。找到最佳救助政策的蛮力算法是计算所有此类政策的成本，并选择最便宜的一种。如果中央银行的债务负债/成本比率最高，最大化流动成本可能会导致监管机构对其进行纾困，而对一些外围银行进行纾困可能会（任意）降低总体纾困成本。有K！可以清除周期的不同顺序，每个周期最多n个不同的银行，最多产生K！NK保单（每个周期的一家银行及其保单的顺序）。每个策略的成本计算最多需要n个步骤，因此这种蛮力算法最多需要这么多步骤（参见附录中的正式程序）。在具有大周期的网络中，穷举搜索接近这个数量的步骤。命题4意味着，当循环数很小时，即使银行的数目很大，问题也不可分解。

例如，如果存在一些有界的循环数，使得K很小且固定，那么上述蛮力算法在n变大时在O（nK+1）时间内运行。相比之下，当存在许多重叠的周期时，如在派系中，找到最佳救助政策最为复杂，我们将在第4节中讨论这些周期。6.3. 在有派系的情况下，K在派系的大小上呈指数变化，因此在n.4.5有效条件和救助成本的界限下，K可以呈指数变化。尽管找到最佳救助政策通常比较复杂，但在某些情况下，更精确的描述是可能的。我们将分两个阶段进行探索。首先，我们没有对网络结构施加任何限制，但考虑银行拥有小额资本支持的网络，或者没有。这使得系统性偿付能力要求很高，但当银行确实有资本缓冲时，也提供了大量最低限度的救助。其次，我们研究了一些特定的网络结构。确保每个循环存在迭代强可解集交集的一个有效条件是每个循环出一个组。在某些情况下，这也是必要的。考虑任何临界平衡的网络。让c，c。cKbe是网络中的简单循环列表。为了便于解释，我们偏离了之前的符号和定义周期，不是作为一系列银行，每个银行欠下下一个银行一笔债务，而是作为相应的有向边的列表。当然，这两种方法是等价的。提议5。假设网络处于临界平衡状态，监管机构只能全额偿还债务：αij∈ {0，1}对于所有i，j.为确保完全偿付能力，在担保付款中所需的最小注资是最小的一组付款，每个简单周期包括一个：我的N×NXji∈埃迪斯。T

E∩ ck6= k、 如果网络完全平衡，这也是部分支付αij时的最优策略∈ [0，1]是允许的。回想一下，在极度平衡的网络中，一次债务偿付不足就足以让任何一家银行破产，因为银行的资本负担低于其任何债务资产。因为所有的还款都是至关重要的，所以还款流不能从一个周期扩散到另一个周期，监管机构必须向所有周期注入一些资金。在完全平衡的网络中，她必须确保每个简单周期都有一次全额支付。在极度平衡的网络中，由于一些银行可能有一点资本缓冲，她可能只需要支付部分款项。一旦一些银行拥有非平凡的资本缓冲，这样它们就可以吸收与某些交易对手违约相关的损失，监管者或监管者可能不必将资本注入所有周期。无论如何，提案5给出了最低救助成本的下限，额外的资本缓冲只能帮助监管机构。推论4。在任何网络中，确保完全偿付能力所需的最低总资本注入量都在最低限度N×NXji∈埃迪斯。t、 E∩ ck6= kIf如果一些银行没有达到临界平衡，一个周期内的一系列还款可能会扩散到另一个周期，在一个周期内建立一家银行也可能导致其他周期的清算。

图7提供了一个例子。1 2 3DDD1 2 3D/2D/22D精确平衡的网络不平衡的网络图7：（p，p，p）=（0，0，0）在左边的网络中，这是完全平衡的。（p，p，p）=（0，0，D）在右边的网络中，这是不完全平衡的，甚至不是临界平衡的：银行2可以通过只收到银行3的付款而变得有偿付能力。在左边的完全平衡的网络中，确保整个网络的偿付能力要求每个周期至少救助一家银行，这可以通过救助银行1和3，或者仅仅救助银行2来实现。这两项政策的成本都是2D。或者，监管机构可以救助第一银行，然后在第二银行收到第一银行的债务后救助第二银行，这将是lso合作。在任何情况下，监管机构都必须向每个周期注入一些资本，以确保完全偿付能力，如提案5所述。在右边的网络中，救助3号银行就足以确保其完全偿付能力，因为3号银行偿还债务就足以使2号银行有偿付能力，然后使1号银行有偿付能力。因此，监管机构不需要向每个简单的周期注入资本：{2,3}周期中的还款级联扩散到{1,2}周期，而不额外支付D/2至1，将不足以让2成为有偿付能力的，因为它仍然没有从3获得任何付款。其中一家需要支付3/2至2美元，以确保其偿付能力。所以，3是最便宜的选择。干涉重要的是，这取决于银行2是一个资本缓冲区：p+DA=2.5D>1.5D=DL。4.5.1资本注入的上限上一节强调，为了提高每个系统的偿付能力，确保每个周期一次支付始终是有效的，并且在网络达到临界平衡时也是必要的。寻找与所有周期相交的最小付款集合仍然很复杂。

一些位于多个周期上的节点或边缘看起来成本更高，但实际上成本较低，因为它们一次清除多个周期。类似地，当许多周期重叠时，最优集合可能涉及同一周期内的几笔付款，因为这些是清除其他重叠周期最便宜的付款。简单的算法，比如在每个周期中选择最便宜的边缘，眼角仍然会导致调节器大幅超额支付。尽管找到精确的最优政策可能会很复杂，但我们仍然可以提供使网络达到解决方案所需的总资本注入上限。提议6。确保系统性偿付所需的最低总资本注入量不超过XI（DLi）- pi）+。当网络由n/2个不相交的周期组成时，就会达到这个上限，银行的救助成本都是相同的——所以（DLi）- pi）+=（DLj- pj）+。正如我们在命题6的序言中所展示的那样，遵循一种算法，即按缺口的递增顺序向银行注资，直到所有银行都有偿付能力，这会导致总的救助成本永远不会超过这个界限。然而，正如我们已经看到的，这样的政策可能（远）比需要的更昂贵，因为所需的资本注入可能远低于这个界限。4.6一些突出的网络结构为了充分体现最优救助政策的可操作性，我们现在研究一些突出的网络结构。

如前一节所述，我们假设疲弱的余额已得到满足，并限制了对资不抵债银行子网络的关注，这是他们从有偿付能力的银行收到的所有债务支付的原因。4.6.1不相交循环我们研究的第一组网络是那些网络中的循环不相交的网络，因此没有银行位于一个以上的循环上。与之前一样，我们假设净失衡已经被注入，因此这是确保剩余网络在利益均衡中的偿付能力所需的额外注入的上限。仍然可能存在不在周期上的银行，但例如，它们位于周期上某个银行的定向路径上。也可以存在从一个周期到另一个周期的有向路径，只要没有返回的有向路径（这将违反每个银行最多一个周期）。特别是，让c，Ck是网络中的简单循环，我们再一次旋转，让Ck表示第k个循环中的银行集合。对循环进行排序，以便∈ CKJ∈ ck′对于k′>k，则没有从j到i的有向路径。最优救助政策描述如下。选择救助成本最低的银行：mini∈cDLi- 圆周率。这就确保了该周期内的所有银行都有偿付能力，也可能导致进一步的偿付能力，因为该周期内的银行可能欠该周期外的银行的债务。让我们注意到，如果所有有偿付能力的银行都有偿付能力（无论cis上的哪家银行得到了救助，这都是相同的）。如果这包括任何其他循环中的BANK，那么该循环也将是完全溶解的。

考虑最小的k，使ck∩ S=.考虑到来自S的所有付款，在ck:mini上找到最便宜的银行进行救助∈ckDLi- 圆周率-Xj∈斯迪吉。这导致了CKC和其他银行的偿付能力，让SDE注意到这一救助及其级联所解决的一系列银行。反复地，在这样的步骤之后，人们会发现指数较低的破产周期，而khand会发现该周期中最便宜的银行进行救助：mini∈克赫德利- 圆周率-Xj∈s∪···ShDij。在最多K步之后，整个网络将成为溶剂。提议7。每家银行最多只能支持一个周期。然后，最优救助政策包括在每个简单的周期内救助银行，并考虑前一个周期的救助，如上所述。4.6.2星型网络星型网络由一个中心银行n银行组成，该银行向周边地区的所有银行开放∈ {1，…，n-1} . 权限中的每个银行仅向中央银行公开。请注意，不可能存在没有传入债务但有传出债务的银行，因为这些银行在余额较弱的情况下已经有偿付能力。考虑到i和j位于不同的周期上，从i到j和从j到i不可能都有一条有向路径，因为这意味着这些银行位于多个周期上。因此，必须存在这样一个秩序，事实上，可以有多个这样的秩序。选择任何一个满足此条件的订单，因为所有此类订单都将导致相同的成本。为了便于处理，让所有外围银行都对称地暴露于中央银行：它们都有一个债务索赔，即Din=Douton中央银行，以及一个债务Dni=Dinto中央银行。因此，中央银行的总债务资产和负债等于DAn=（n- 1） DinandDLn=（n- 1） 分别是杜特。和以前一样，让网络保持弱平衡，假设没有一家银行是单方面有偿付能力的。

如果中央银行单方面这么做，整个网络将始终保持畅通，监管干预将是不必要的。类似地，如果一些外围银行是单方面有偿付能力的，那么他们可以向中央银行f或sure偿还他们的债务，我们可以重新定义网络以说明这些付款。有关星形网络的示例，请参见图8。2 3图8：一个带有三个外围银行的星形网络，Din=2，Dout=1。救助中央银行的成本（n）- 1） 蠢货- pnand清除整个系统，因为中央银行位于所有周期。然而，除非所有外围银行的pi=0，否则这不是最优的，而且可能比最优的成本要高得多。要了解最佳的保释政策，请参阅*=（n）- 1） 蠢货- 普丁。在不丧失普遍性的情况下，让外围银行按照pi的降序进行索引，并假设它们都是正的。最佳的政策总是首先涉及到救助银行M* 投资组合价值最高的外围银行。这将利用他们的pi，并获得一定数量的流动性M*与直接支付给中心相比，Din以更低的成本进入中心银行。这就只剩下中央银行的边际差额（n- 1） 阴郁的- pn- M*迪南德支付了救助银行的费用M* + 第一外围银行- PM*+1.通过中央银行而不是中央银行进行剩余救助是最佳选择M* + 1-t外围银行当且仅当（n- 1） 蠢货- pn- M*喧嚣声≤ 喧嚣声- PM*+1.提案8。

最佳救助政策是：救助第一个M* + 1外围银行- 1） 蠢货- pn- M*喧闹- PM*+1，否则就要拯救第一个M* 外周血，然后注射（n- 1） 蠢货- pn-M*丁克进入中锋。这一提议意味着，最好从救助外围银行开始，以便利用它们的外部资产，降低救助的总体成本。然后，一旦只需要再支付一笔外围银行的款项就可以让中央银行恢复偿付能力，监管机构要么注入中央银行的边际差额，要么救助最后一家外围银行，这取决于哪家更便宜。这一命题的一个含义是，当最优政策是针对外围银行时，错误地救助中央银行，对监管者来说可能比反过来要昂贵得多。事实上，这可能会导致监管机构浪费外围银行所拥有的外部资产的价值。相比之下，对外围银行的纾困可能不是最优的唯一原因是，如果这导致监管机构由于整合约束而对它们中的“一个太多”进行纾困，这意味着浪费最多10亿欧元的资本。推论5。

与最优救助政策所需的总金额相比，对所有外围银行的清算导致监管者注入额外的资金。为中央银行纾困导致监管机构最多注入一笔额外资金M*i=1与最佳救助政策所需的总金额相比。因此，在需要的外围银行之间的投资组合价值（PM*i=1pi）远大于它们中任何一方欠中央银行（Din）的金额，就浪费的资本而言，援助外围国家是一项更安全的政策。星形网络是核心-外围网络的一个例子，其中中心银行代表核心银行集团，接下来我们将对其进行分析。4.6.3核心-外围网络和集团许多金融系统都非常接近于核心-外围结构：它们可以被分解为一组密集连接的核心银行和一组更稀疏连接的外围银行。在本节中，我们描述了这种规范网络结构的最优救助。注意，如果m*恰好是一个整数，那么中央银行已经有偿付能力了。设NC和Np分别为核心银行和外围银行的集合，N=NC∪ NPA和NC∩ NP=. 核心银行中的nC=#nC银行形成一个集团，并且彼此对称：Dij=D或所有I6=j∈ 北卡罗来纳州。每个Core bank i∈ NCis也对不同的外围银行NiP进行了操作 NP，而这些外围银行中的每一家都只向核心银行i公开。因此NP=∪我∈NCNiPand∩我∈NCNiP=.具体而言，NiPhave的外围银行拥有Douton i的债务主张和Instino i的债务责任。

还假设每个核心银行i都暴露于相同数量的外围银行nP=#nipf。核心银行的投资组合值是异质的，用piand表示。为简单起见，较小的外围银行都有价值为pP的投资组合。如果网络是一个集团，因此没有外围银行，nP=0，那么，最理想的救助政策就是直接救助银行：它只包括按投资组合价值的递减顺序救助银行，直到它们完全具备偿付能力。外围银行的另一个复杂因素是，外围银行削减了核心银行的救助成本。然而，请注意，我们可以将来自星形网络的逻辑（如命题8）与来自集团的逻辑相结合。尤其要考虑以下救助政策。首先，选择外部资产pi和letm组合最高的核心银行*i=（nC）- 1） Dcore+nPDout- 皮丁。然后，我们可以按照命题8的逻辑，让这家银行恢复偿付能力。从救助开始M*我 然后再对一家外围银行进行纾困，如果（北卡罗来纳州）- 1） Dcore+nPDout- 圆周率- M*我喧闹- pP，然后注入剩余的（nC-1） Dcore+nPDout-圆周率-M*我迪恩直接进了银行，否则我就死定了。反复地说，如果x>0家核心银行已经恢复偿付能力，而系统尚未达到完全偿付能力，那么接下来考虑拥有最高piamong Thoses直至破产的核心银行。

定义*i（x）=（nC- 1.- x） Dcore+nPDout- 皮丁。从救助开始M*i（x） 然后再对一家外围银行进行纾困，如果（北卡罗来纳州）- 1.- x） Dcore+nPDout- 圆周率- M*i（x）喧闹- pP，否则注入剩余的（nC- 1.- x） Dcore+nPDout- 圆周率- M*i（x）迪尼夫M*我 ≥ np，然后首先对i的所有外围银行进行纾困，然后将剩余金额注入ITH，以使其具有偿付能力。继续，直到所有银行都有偿付能力。提案9。上述政策是最优的。因此，命题8的直觉延伸到了更一般的核心-外围网络：从救助核心银行的外围交易对手开始，而不是直接针对核心银行的外围交易对手，这通常是不合适的。5结论性意见：理解金融网络结构对于避免违约至关重要，尤其是循环在哪里以及它们如何相交，因为它们推动了自我融资级联的可能性，从而推动了银行价值的多重均衡。任何均衡，如果存在更好的均衡，都可以被解释为涉及市场冻结。在这种冻结期间，确保银行偿付能力并使其达到最佳平衡所需的最低资本注入利用了周期，从而引发债务偿还级联效应。更一般地说，网络中的清算周期有收益，因为这可以消除市场冻结的可能性，从而减少这种形式的系统脆弱性。实际上，这与越来越多地使用压缩服务有关，压缩服务允许银行履行债务。中央对手方清算所（CCP）的使用也有助于缓解其中一些问题，因为由此产生的星形网络消除了许多周期。

然而，我们不得不担心为中央对手方清算所提供适当的激励，并应该关注其巨大的中心地位和规模。处理大量证券的大型政府支持企业的成功历史参差不齐，特别是如果你审视一下房利美和房地美在2008年危机中的失败。一般来说，考虑改变网络的监管是进一步研究的重要课题，但需要对网络的内源性形成和收益进行建模，这超出了我们的分析范围。除了执行的精确政策，开发和维护更完整的网络，以及银行及其交易对手的投资组合，是改善危机管理的必要的第一步。参考Acemoglu，D.，A.Ozdaglar和A.Tahbaz Salehi（2015）：“金融网络中的系统性风险和稳定性”，《美国经济评论》，105564-608。Acharya，V.V.，S.T.Bharath和A.Srinivasan（2007）：“整个行业的困境是否会影响违约企业？债权人收回的证据”，《金融经济学杂志》，85787–821。再说一次，如果M*i（x） ≥ np，然后拯救i的所有私人银行，然后将剩余的资金注入我需要的银行，使其具有偿付能力。例如，见杜菲和朱（2011）。Arora，S.和B.Barak（2009）：计算复杂性：现代方法，剑桥大学出版社。Barucca，P.，M.Bardocia，F.Caccioli，M.D\'Errico，G.Visentin，S.Battiston和G.Caldarelli（2016）：“金融系统中的网络估值”，可查阅SSRN 27 95583。巴塞尔银行监管委员会（1955）：“金融集团的监管”，技术代表分行，B.（2002）：“破产成本：回顾”，国际金融分析评论，11:1，39-57。Cs\'oka，P.和P.J.-J。

赫林斯（2018）：“金融网络中的分散清算”，管理科学，64（10），4681-99。Davydenko，S.A.，I.A.Strebulaev和X.Zhao（2012）：“违约成本的市场研究”，《金融研究评论》，252959–2999。Demange，G.（2016）：“金融网络中的传染：威胁指数”，管理科学，64955-70。D\'errico，M.，S.Battiston，T.Peltonen和M.Scheicher（2018）：“信用违约掉期市场的风险是如何流动的？”金融稳定杂志，35，53-74。D\'Errico，M.和T.Roukny（2019）：“压缩柜台市场”，arXiv预印本arXiv:1705.071 55。戴蒙德，D.W.和P.H.戴维格（1983）：“银行挤兑、存款保险和流动性”，《政治经济学杂志》，91401-419。Donaldson，J.R.和G.Piace nt ino（2017）：“网络”，技术代表，工作论文，圣路易斯华盛顿大学。Duarte，F.和C.Jones（2017）：“美国金融机构的经验网络区域”，纽约联邦储备银行（Federa l Reserve Bank of New York Staff）报告。Duffie，D.和H.Zhu（2011）：“中央结算对手是否减少了交易对手风险？”资产定价研究综述，1，74–95。艾森伯格，L.和T.H.Noe（2001）：“金融系统中的系统性风险”，管理科学，47236–249。Elliott，M.，B.Golub和M.O.Jackson（2014）：“金融网络和传染”，美国经济评论，104（10），3115-3153。Gai，P.和S.Kapadia（2010）：“金融网络中的传染”，theRoyal Socity A论文集，4662401–2423。Jackson，M.O.和A.Pernoud（2019）：“金融网络模型中分散的投资激励、监管和均衡多样性”，SSRN：https://dx.doi.org/10.2139/ssrn。3311839。--（2020）：“金融网络中的系统性风险：一项调查”，mimeo:斯坦福大学。卢卡斯博士。