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因此，Vi=vii∈ X.接下来，让Xbe表示一组银行，它们的债务资产只涉及X中的银行。因此，它们的价值独立于X之外的银行的价值，因此通过（6）和（7）我们可以写出vi=pi+Xj∈Xdij（Vj）- DLi- βi（Vj）j∈十、∪{i} ，p{pi+Pj∈Xdij（Vj）<DLi}我∈ X.SinceVi=Vifor all i∈ x和βi（·，p）是作为Vi函数的收缩，因此，x中银行的最佳和最差平衡值也是相同的：对于所有i∈ X.反复定义XKT，使其成为一组对银行拥有债权的银行∪同样的论点也适用于归纳法。对于一些整数K≤ N∪Kk=0Xk=N，对于所有银行，thusit遵循thatVi=Vi。（ii）接下来，我们证明，如果网络中存在依赖循环，那么存在和破产成本，使得v6=V。特别是，我们首先表明，在（3）的破产成本和全部破产成本（即，当一家银行因违约损失其所有资产时，a=1，b=0）下，存在回报p，因此这是真的。然后，我们证明了这也适用于低于1（以及高于某个阈值）的情况。设c是属于依赖循环的所有银行的集合。所有其他银行要么（i）所欠债务的价值（直接或间接）流入依赖循环；（ii）从依赖周期产生的债务中获取价值；或（iii）上述任何一项。c类银行的均衡价值独立于（ii）和（iii）类银行的均衡价值，因为c类银行的债务最终没有直接的路径。

（i）中银行的价值可以影响c中银行的价值，但我们将它们的投资组合价值（pis）设置为零，因此c中的银行没有价值。因此，c中银行的均衡价值仅取决于c中银行的资产组合和价值，其中每一家银行都至少对另一家银行负有债务，并至少对另一家银行拥有债务资产。因此，我们重新定义了DAi≡Pj∈尽管如此∈ c、 我们设定投资组合价值（pi）i∈cto尽可能低，同时确保c区的所有银行在最佳平衡状态下保持偿付能力。特别是，当c中的所有银行都有偿付能力时，它们的平衡值为vi=pi+DAi- DLi，因此最小的（pi）i∈C确保它们在PI=[DLi]给出的最佳平衡中保持溶剂状态- 戴]+。因此，通过使用这些投资组合价值，c中的所有银行都在最佳均衡状态下具有偿付能力：Vi≥ 尽管我∈ c、 接下来，考虑在这些投资组合价值的最差均衡情况下会发生什么，未全额破产成本——即a=1，b=0时低于（3）。回想一下，c中的所有银行都必须有一些债务责任和一些债务主张，即DAi>0，而DLi>0代表所有i∈ c、 让我们注意到，这些银行都不是周期的一部分，因此，通过上述价值观的论证，它们被唯一地捆绑起来，并且它们没有来自（ii）或（iii）中任何银行的债务，这是直接的，它们没有用来支付任何债务的资产。假设它们都默认，因此dAi（V-i） 对于所有i=0，那么给定pi=DLi-DAi]+Vi=pi- DLi=[DLi]- [戴]+- DLi=- min{DAi，DLi}<0我∈ c、 假设所有c级违约的银行都在自我填补。考虑到这些破产成本，sbi（V，p）=pi，因此dAi（V-i） =0是自我填充，是最佳和最差的平衡值。为了完成证明，我们注意到，对于一些a<1且有效环为1的情况，也是如此。

假设所有银行都违约：Vi=（pi+dAi）-i） ）（1- （a）- 戴女士（V-i） V中的连续-i、 因为只有在出现新的违约时，才会出现任何不连续性。当a=1/Vi=-DLi，并且假设上面的右手边在V中是连续的-然后固定点收敛到极限固定点a→ 1.因此，在假设所有银行违约的情况下，有一个非常接近1且所有Vi<0的解决方案，证明所有银行都在最差均衡中违约，且其值低于0，与最佳均衡不同。命题2的证明：首先，请注意，弱平衡是银行在任何平衡中都具有偿付能力的必要条件。也就是说，pi+DAi<D对于某些i，它必须在非常均衡的情况下违约，因为即使它偿还了所有的新增债务，它也会违约，因此不考虑其他银行的偿付能力。接下来，请注意如果pi+DAi- DLi≥ 0表示所有i–即网络是弱平衡的–那么所有银行都是有偿付能力的均衡，因此最佳均衡是所有银行都有偿付能力。因此，对于处于最佳平衡状态的所有银行来说，弱平衡是必要的，也是足够的。在最差均衡中描述偿付能力需要更多的工作。首先，正如上文所述，网络的弱平衡也是在最差平衡下充分偿付能力的必要条件。然而，弱平衡已经不再有效。因此，对于下面的例子，我们假设网络是弱平衡的，并证明所有银行在最坏平衡下都是有偿付能力的当且仅当存在一个迭代强偿付能力集与每个定向循环相交时。我们首先表明，如果有一个迭代强偿付能力集与每个定向循环相交（除了弱均衡），则意味着所有银行都有偿付能力。假设有一个迭代强溶剂集与每个有向循环相交，称之为B。

通过定义一个迭代强溶剂集，B中的所有银行都必须在最差平衡中有溶剂，这意味着每个周期至少有一个溶剂银行。我们证明，这意味着网络中的所有银行都是有偿付能力的，通过归纳网络K中的循环数。如果没有循环，那么最好和最坏的平衡点是一致的（见Proposition 1的证明），然后通过弱平衡以上的论证，保证所有银行的偿付能力（事实上，在上面讨论的迭代过程中，很容易检查B=N）。如果只有一个周期，那么考虑B中某个周期上的i组。这个i组在最坏的情况下是有偿付能力的，因此在有史以来的y平衡中，假设B都是有偿付能力的。因此，请考虑以下修改后的网络。对于每个j重置PJT到bepj+Dji，因此假设i的所有债务都已偿还。然后将Djito重置为0。注意，我们并没有改变任何平衡的结构，因为在任何平衡中，我都是溶剂，而且弱平衡仍然成立。新的网络没有周期，因此所有银行在所有均衡中都有偿付能力。更一般地，考虑一个具有n个循环和一些bank i的网络∈ B这取决于某个周期。通过同样的论证，我们最终得到了一个具有相同平衡和更少循环的改进网络，因此通过归纳，所有银行在所有平衡中都是有溶剂的。最后，我们认为，如果不存在一个与每个周期相交的迭代强解集，那么一些银行就会在最差均衡中违约。首先要注意的是，it时代强可解集的并集也是一个迭代强可解集：因此存在一个最大值，根据假设，它不会与每个循环相交，因此不包括所有银行。

然后，我们可以检查最大迭代强溶剂集实际上是处于最差平衡的有溶剂银行的集合：假设这些银行都是有溶剂的，而其他银行中没有一家是有溶剂的，这是自满的，因此N\\B不是处于最差平衡的有溶剂银行。引理1的证明：（i）采取任何救助政策，具体规定哪些银行应该得到救助，以及救助的顺序。让我成为被保释的kthbank。拯救银行icosts DLi- 圆周率。需要指出的是，i银行的投资组合是弱平衡的：DAi+pi- DLi≥ 因此存在权重αij∈ [0,1]使得pjαijDij=DLi- 圆周率。使用这些权重来保证支付（Dij）也可以确保i的偿付能力，并且成本相同。更一般地说，以k步被救助的任何银行为例，它可能已经收到了因救助银行而产生的偿付能力而欠下的部分债务-1.重要的是，如果它收到了对部分债务人的债务主张，它将全额偿付这些债务。特别是，在步骤k的开头，让我们把所有有偿付能力的银行列为一组- 派克-Pj∈斯科迪基。同样，由于ik银行的投资组合是弱平衡的，因此存在权重αikj∈ [0,1]这样的Pj/∈SkαikjDikj=DLik- 派克-Pj∈斯科迪基。担保付款（Dikj）j/∈使用这些权重还可以确保ik的偿付能力，而且成本也同样高。由于这一点适用于所有k，也适用于所有作为救助政策一部分的银行，因此我们确实可以找到一套优势和权重，从而保证这些支付也能确保系统解决，而且成本同样高。（ii）采用任何一组边E和相关权重α，这样，如果监管机构保证所有这些付款，所有银行都是有偿付能力的。必须（至少）有一家银行i，如果它以E:pi+Pj | ji的形式偿还所有债务，那么它就有偿付能力∈EαijDij≥ DLi。如果没有，那么找到最差均衡的算法就会停止，因为所有银行仍处于资不抵债状态。打电话给任何这样的银行。

请注意，确保i偿付能力的另一种方法是注入PJ | ji∈Eα直接进入，成本相同。然后我们可以迭代地识别y banks i，我会用下面的方式。考虑到我。ik-1.必须（至少）有一家银行有偿付能力，如果它得到了所有的债务，再加上它期望从i获得的任何款项。ik-1:pi+Pj | ji∈EαijDij+Pk-1l=1Dil≥ DLi。如果不是，那么保证用E支付只会让我，ik- 1.有偿付能力，但不是所有银行。给任何这样的银行打电话。没有人认为，另一种同样昂贵的方法来确保ik的溶解性，是注射一种阿莫茨基（amountPj | ji）∈EαijDijof Capital l直接进入。由于这一点适用于所有k，我们确实可以找到一个救助政策，该政策还可以确保系统的偿付能力和成本，就像用权重α保证E支付一样。（iii）这直接来自以下观察。以任何一家（资不抵债的）银行和任何一组已经有偿付能力的银行为例，救助成本为DLi- 圆周率-Pj∈斯迪吉。如果网络完全平衡，这相当于利息支付（Dij）/∈罪有应得。事实上，这也确保了我的偿付能力和成本相同。这适用于任何i和S，并且不需要部分付款。推论3的证明：命题2给出了系统解处于最佳和最差均衡的必要条件。因此，在每种情况下，确保解决方案所需的最低必要救助是这样的，由此产生的网络安全满足这些必要条件。为了达到最佳平衡，这只需要使网络弱平衡，这意味着通过注入[DLi]来重新平衡每家银行的投资组合- 戴- pi]+进入每个银行i，这意味着（i）。

对于最坏的平衡，它还需要足够的资本来生成一个与每个有向循环相交的迭代强溶剂集，这意味着（ii）。如（iii）所示，网络一旦清除了所有周期，就只由字符串组成。然后通过命题1，我们知道最佳平衡点和最差平衡点重合。确保系统性偿付能力处于最差均衡相当于确保系统性偿付能力处于最佳均衡：这足以注入经济中的总净失衡，如（i）所述。命题3的证明：我们证明，对于某些特定的网络结构，划分问题可以归结为与（OPT）相关的决策问题，这是已知的难以解决的问题。划分问题如下所述：一个给定的n个正整数{a，a，…an}的多子集能被划分成两个等和的子集S和T吗∈Sai=Pj∈泰姬陵？我们证明，如果我们能解决星型网络救助问题的决策版本，那么我们就可以解决分区问题的任何实例。考虑一个“双边星形网络”，其中，中央银行n+1银行对所有其他银行都有债务索赔和债务负债Di，n+1>0∈ {1，…，n}，以及每个外围设备库i∈ {1，…，n}是暴露的，并且只暴露于中央银行，所以DLi=Dn+1，i>0。所有银行都无力偿债，但收支平衡较弱，因此DLI>pi≥ DLi- 尽管如此∈ {1，…，n+1}。以分区问题{a，a，…an}为例。设DLi=aiand Ci=DLi-pi=i的ai/M∈ {1，…，n}。假设中央银行n+1需要Cn+1=DLn+1- pn+1=Pi≤nai/2为溶剂。我们首先表明，对于规模足够大的银行来说，最佳救助政策只会（直接）救助外围银行。请注意，通过向许多外围银行提供足够的援助（最糟糕的情况是，通过向所有外围银行提供援助），总是有可能恢复中心银行的偿付能力。

虽然我们从命题2中了解到，每个周期救助一家银行足以保证系统偿付能力，但这并不直接意味着每个周期救助一家以上的银行不具有成本效益，因为它可以降低后续救助的成本。接受任何救助政策（i）l)l这确保了系统的偿付能力，让Kl是我骑的那套自行车吗l谎言。一个救助政策可以在每个周期救助一家以上的银行，前提是假设∈耶<Pi≤nai/2≤圆周率∈所以下面的两个方面都是积极的。存在l 以至于l\\ (∪l-1j=1Kj）=. 也就是说，在某个阶段，该政策会救助一家只依赖于另一家银行已经获得救助的周期的银行。我们表明，对于任何这样的政策，都存在另一种也能确保系统偿付能力的政策，即每个周期在莫斯通银行（mostone bank）进行纾困，而且这种政策的成本很低。有两种情况：要么我l’s ba Ilut costCil|（我l-1） 要么是零，要么不是。在第一种情况下，然后是我的“救助”l考虑到之前的救助，这家银行已经有偿付能力。所以我-l) 是一种成本相当的救助政策，每个周期最多救助一家银行。更有趣的是当我l’对监管者来说，sbailout实际上代价高昂。这意味着我至少有一个l’债务人破产了。让Xbe成为我所有的l’尽管已经破产但仍在违约的债务人l-1). 必须指出的是，萨尔索的每家银行都有一名债务人正在违约。迭代地构造Xk，即Xk中欠银行的银行集合-1这是默认值，设X=∪kXk。有三件事是值得避免的：（i）根据建设，X中的所有银行都已资不抵债，（ii）子网络（X，（Dij）i，j∈十） 必须至少有一个周期，以及（iii）银行ilX中没有t。

如果我l∈ 十、 它必须属于违约银行的循环，因此必须属于尚未清除的循环，这与最初的假设相矛盾。由于救助政策确保了系统性的偿付能力，它必须在一年后救助X的一些银行l’这是救援。构建一个替代性的救助政策，在i之前将所有银行的救助都转移到Xl’这是救援。这不会增加这些投资的成本，因为银行X不希望i获得额外资本l自从我l/∈ 这让我l’美国不需要救助——即不必要的救助——因此严格降低了整体救助政策的成本。因此，只考虑在每个周期最多救助一家银行的救助政策是没有损失的。我们现在认为，计算所有这些政策的成本只需要K！nK+1步。每个周期救助一家银行的救助政策的特点是：（i）清算周期的顺序，以及（ii）每个被救助周期的银行身份。有K！可以清除周期的不同顺序。如果我。mk表示每个周期的银行数量，有K！QMK制定了需要考虑的政策。最糟糕的情况是，周期尽可能大。自mk以来≤ n代表所有的k，这意味着有最多的k！检查不同的救助政策。其中成本最低的政策必须是最优政策。由于计算每个保单的成本最多需要n个步骤，因此该蛮力算法在不超过K的时间内找到最佳救助策略！nK+1步。命题证明5：考虑任何临界平衡网络。我们证明了当且仅当监管者保证一个支付周期时，所有银行都处于最坏平衡状态。[=>] 相反，假设至少存在一个周期，监管机构不支持支付。考虑位于该循环上的任何银行i，并用pk（i）表示其在循环k上的前身。

找到最差均衡的算法首先假设有一家银行付款，然后从那里迭代。这里更乐观地假设，除了周期k上的银行之外，所有银行都有偿付能力。然后是任何一家银行的资产在ckispi+DAi上的价值- Dipk（i）<DLi，因为我是临界平衡的。因此，周期k上的任何银行都确实资不抵债，这是自食其果。一旦出现一个没有保证支付的周期，处于该周期的银行就会在最不利的均衡状态下破产。[<=] 同样，反过来说，假设某家银行i=idefaults，即使监管机构已确保每个简单周期支付一笔款项。通过临界平衡，我们知道π+岱≥ DLi。因此，如果idefaults出现故障，那就是它至少没有从一个债务人那里获得付款。由i表示债务人（或其中任何一个债务人，如果有多个债务人）。必须是（i）iis资不抵债，以及（ii）监管机构没有介入支付Dii。将同样的理由应用到i银行：由于该银行已资不抵债，它必须是其债务人之一也已资不抵债，监管机构不会介入支付Dii。我们可以重复这个推理，在某一点上，对于某些M，M′，每个r必须在同一个库中重复两次soiM=iM′。这是因为该网络有一定数量的银行，其每个组件都是强连接的。在简单循环{M′M′下- 1，M′-1M′- 2.M+1M}。它所属的所有银行都因建筑业而资不抵债，而且监管机构没有支持任何相关付款，这与我们最初的假设相反。

因此，如果监管机构确保每个简单周期支付一笔款项，那么所有银行都必须在最差均衡状态下有偿付能力。命题6的证据：我们通过归纳银行数量n证明，确保系统偿付能力所需的资本l总注入量不大于0.5Pi（DLi）- pi）+。为了做到这一点，我们提出了一项救助政策，以保证系统的偿付能力和成本达到这一水平，这意味着最优政策必须是低成本的。很容易证明索赔适用于n=2，因为需要考虑一个网络配置，其中每家银行对另一家银行都有索赔。纾困这两家银行的危机就足以消除这种循环。这要花最少的钱- p） +，（DL）-p） +}≤ 0.5[（分升）- p） ++（DL）- p） +]。现在假设归纳假设对一个由n个银行组成的网络成立f，并考虑一个由n+1个银行组成的网络。让我*= arg mini（DLi）- pi）+，这样我*是最接近Solvency的银行。如果监管机构从救助开始，我们对总救助成本有一个限制*.有两种情况：情况1：（DLi）*- 圆周率*)+= 0和我*已经有溶剂了。在不丧失一般性的情况下，我们可以添加银行i*节点0，并重新定义所有其他银行的外部资产，以说明i支付的任何债务*. 因此，有效地说，这相当于研究一个银行网络，归纳假说认为：存在一个确保系统解决能力和成本最高为0.5Pi6=i的委托付款政策*（DLi）- pi）+=pi（DLi- pi）+。案例2：DLi*- 圆周率*> 0，这意味着DLi- 根据i的定义，所有i的pi>0*. 假设监管机构首先出手*以DLi为代价*- P*i、 与案例1一样，我们可以将注意力限制在剩下的n家银行的网络上，但我们需要考虑他们从i获得的付款*. 总的来说，剩下的银行至少可以获得DLi的付款*-圆周率*来自我*.

这是因为我每个人*’s债务人j得到min{DLj- pj，Dji*} ≥ min{DLi*- 圆周率*, Dji*}.（这种不平等来自DLj- pj≥ DLi*- 圆周率*根据我的定义*.) 因此，在剩下的n家银行的子网络中，归纳假设告诉我们，最优救助政策成本最多为0.5Pi6=i*（DLi）- （圆周率）- （DLi）*- 圆周率*). 总的来说，考虑到*’美国的救助计划，确保偿付能力的成本最高为0.5%*Pi6=i*DLi- 圆周率≤ 0.5Pi（DLi）- pi）。命题7的证明：假设银行最多处于一个周期，周期可以是对等的，那么网络中就没有周期，所有银行都已经有偿付能力，因为在没有损失的情况下，假设利益网络是弱平衡的。分为几层。首先，有一些循环没有从任何其他循环进入的有向路径——称之为C。接下来，这里有一些循环只有从C进入的有向路径，称之为C。然后有一些循环只有从f到C的有向路径，依此类推。剩余的银行要么位于周期之间的有向路径上，要么位于某些周期中的无向终止路径上。鉴于每个定向周期必须至少有一家银行获得偿付，因此，在Cis中找到偿付能力所需的每个周期最便宜的银行，并且不能通过任何进一步的救助来降低成本。根据理论顺序，这些周期将全部列在第一位，并且不会影响该层中任何其他周期的纾困。

重复这一逻辑，结果很容易验证，注意，一旦所有有指向路径的银行都被救出，任何不在任何周期上的银行都将被清除，这必须在任何指向银行被救出的有指向路径上的周期之前完成。命题8的证明：首先请注意，由于网络是弱平衡的，且中心银行位于所有周期上，所以所有银行在最坏平衡下都是有偿付能力的，当且仅当中心银行处于最坏平衡时。因此，最佳救助政策是以最低成本确保中央银行的偿付能力。中央银行需要一定数量的流动性（n-1） 蠢货-pn≤ （n）-1） 迪恩需要重新恢复偿付能力。从外围银行保释我要花很多钱- 计划会导致资金流入中央银行。因此，与直接向中央银行注入资金相比，这样做的成本总是很低（严格来说，如果pi>0）。只有当中央银行低于接近偿付能力的水平时，才可能不是将外围银行清算出去的最佳时机。当且仅当M*外围银行已经得到纾困。然后，监管者可以为另一家外围银行纾困，这会增加成本- PM*+1，或者直接向其注入中央银行的边际差额。命题9的证明：设x∈ {0，1，…nC}是有偿付能力的核心银行的数量。下面的推理适用于任何x。如果没有损失，假设仍有一些核心银行破产。除了外部资产的价值，核心银行是完全相同的。因此，救助一家纽约核心银行会导致同样的流动性流入网络，但这种救助的成本可能会因核心银行而异。

因此，通过降低或降低核心银行的pi来提高其偿付能力始终是最优的。让一家商业银行恢复偿付能力最便宜的方法是什么？根据前面的论点，救助其核心交易对手并不划算，因为这些交易对手的救助成本比我高。因此，最佳方式必须只涉及i银行的外围银行，或直接向i银行注入资本。这与第4节研究的问题相同。6.2和命题8适用。唯一的细微差别是，对于某些参数值，对i的所有外围银行进行救助可能不足以确保其偿付能力——即m*i（x）>nP。然而，同样的逻辑仍然成立：利用外围银行的外部资产仍然是最优的，最优的政策是救助i的所有外围银行，然后直接向i注入任何需要的额外资本。在线补充附录附录B附加讨论B。1考虑图9所示的网络，一个具有三个不同平衡点的网络示例。3 421图9：设p=p=0和p=p=1。假设全部破产成本，银行的资产在违约时完全损失：βi（V，p）=pi+dAi（V）。最好的平衡是所有银行都有偿付能力。的确，皮+戴- DLi≥ 所有银行i为0。银行的最佳平衡值为V=（0，，，0）。最差均衡是指所有银行都违约，因为没有一家银行是单方面有偿付能力的：对于所有银行i，pi<D。银行的最差均衡值为V=(-1.-, -, -1). 存在第三种中间均衡，即只有银行1和银行2违约。

事实上，如果1号银行拖欠债务，3号银行偿还的债务不足以保证2号银行的偿付能力。中间均衡中的银行价值a r e V=(-1.-,, 0).B.2结合金融机构之间类似股权的相互依赖性在本节中，我们提出了模型的扩展，包括bot h债务和股权。债务和权益之间的区别不仅仅是一个理论上的考虑，因为一些最重要的金融机构的资产负债表需要不同类型的证券。例如，银行的资产负债表涉及大量存款、贷款、CDO（债务抵押债券）以及其他债务类工具。相反，风险资本公司和许多其他类型的投资基金通常持有股权，或者私人持有，或者发行股权。此外，一些大型投资银行是混合型的，涉及两种类型的大量投资。最后，我们的模型还捕捉了金融集团内部的相互作用，同一集团内的组织通常彼此之间既有债务型的，也有股权型的（例如，关于集团内部风险的描述，参见巴塞尔银行监管委员会（1995）的报告）。因此，了解这些形式的相互依赖所提供的不同激励以及它们所产生的外部性是相关的。显然，还有更复杂的合同也可以建立在这样一个模型中。B部分。在联机资料中，我们考虑了一个允许一般合同的模型，并讨论了一致性权益合同的存在是如何起作用的。相互依赖现在也可以采取股权合同的形式。如果i银行拥有j银行的股权，则代表i银行对某个分形的主张∈ [0,1]的j值。

银行不能对自己拥有权益主张，因此，对于alli，Sii=0。股本总额必须为1，因此，任何不属于其他银行的股份都会累积给某些外部投资者：S0i=1-Pj6=0Sji。唯一的例外是，外部投资者不持有任何股份，因此通过pi对私人企业中银行持有的所有i类股份的Si0=0进行建模。最后，为了确保经济状况良好，我们假设每个银行都有一条指向某个私人投资者（因此指向节点0）的股权路径。这排除了荒谬的循环，即每个银行在循环中完全由其他人所有，但没有一家银行的任何部分由任何私人投资者所有。例如，如果A拥有B和viceversa的全部股份，那么就没有解决股权价值的办法。银行价值。银行i的价值vio等于：Vi=pi+XjSijV+j+DAj（V）- DLi- bi（V，p），（8）式中V+j≡ max[Vj，0]。SijV+jre反映了有限责任：其在j中的股权对i的价值不能为负。破产成本bi（V，p）定义为：bi（V，p）=（如果pi+PjSijV+j+DAi（V），则为0）≥ DLiβi（V，p）如果pi+PjSijV+j+DAi（V）<DLi。在矩阵表示法中，等式（8）变成了sv=（I- （五）-1.p+DA（V）- DL- b（V，p）,其中S（V）反映了当j默认时，Sij（V）=0，并且等于Sijotherwise。B.2.1我们的结果与权益要求的多重性的扩展。在我们的基准模型中，命题1指出，债务债权的任何循环都可能导致银行价值的多重均衡。反过来，如果没有任何债务循环，均衡值必须是唯一的。当银行可以通过股权合同联系起来时，情况就不再如此了。一个由股权和债务索赔构成的循环，足以产生多重均衡。然而，仅仅由股权主张组成的循环并不存在。

因此，命题1将依赖循环定义为至少涉及一些债务的索赔循环。银行价值取决于基础原始资产投资合同的单调性。债务和股权为许多其他合同提供了一个视角，因为许多掉期和衍生工具涉及的要么是现金支付，要么是取决于一方某项投资价值的实现的支付，比如债务和股权的组合。在这里，我们简单地将任何完全私有化的银行建模为拥有等于1股股权的外部投资者。这没有任何后果，但允许我们追踪所有价值最终产生的地方。最低限度的救助。以最低成本确保偿付能力的一般计划可以写成≥p:V（p′）≥0|p′- p | |，其中V被选择为最佳或最差平衡，取决于哪个是感兴趣的。同样，这要求所有银行的不平衡度最多为0，但现在这包括股权价值，因此必须作为一个固定点来解决。在最佳平衡的情况下，求出消除净不平衡所需数量的算法可以直接用FORWAR d来描述。具体如下。Letpni=pi+DAi- DLi。现在，计算与资产回收、股权持有（注意，负值企业的股权价值为0）和无债务D=0相关的最佳均衡值。与价值为负值（忽略破产成本）的银行估值总和相反的是所需的最低救助。实际上，我们知道，所有债务都将以确保完全偿付能力的方式偿还，由此产生的银行价值将成为权益价值累积的基础。

仍为负值的银行，包括其所有的股权头寸，将需要救助金。在最坏平衡的情况下，同样的逻辑适用，但基本值与最坏平衡有关。然后，一旦支付了这些款项，就要重新计算这些款项下的最差平衡值，但要使用原始D。通过这样做，就可以识别出当时具有单边偿付能力的银行（在初始救助付款之后），以及由这些单边偿付能力产生的任何迭代强偿付能力。如果这些不足以与每个有向循环相交，则需要额外的援助，并且需要运行一个算法来找到最便宜的集合。请注意，这些损失甚至可能不用于产生单边偿付能力，但考虑到单边偿付能力，它们可能只足以产生次级偿付能力，最终会产生更多的偿付能力。这是没有公平的问题的模拟，但只是通过附加值计算得到了增强，附加值计算包括所考虑的每一种可能的援助配置和相应的最差均衡的最终有偿付能力银行的公平性。在这里，推论3的第（三）部分变得尤为重要，因为这意味着，如果一个人能够压缩网络，那么最糟糕的均衡问题就可以避免，而一个人只需要处理恢复弱平衡所需的初始救助，这在任何情况下都是必要的。B.3金融机构之间的一般合同当合同不限于债务和股权时，我们现在讨论银行价值。机构i和机构j之间的冲突的一般形式用fij（V，p）表示，它可以取决于机构j的价值以及其他机构的价值。

这代表了j欠i的一些款项流，通常是为了交换i给予或承诺给j的一些货物、付款或投资。银行i的价值为vi=pi+Xjfij（V，p）-“Xjfji（V，p）- Sji（V）V+i#- bi（V，p），（9）其中fji（V，p）- Sji（V）V+IAC将债务和权益以外的合同作为负债计入账面价值计算。在金融合同的单调性假设下，根据塔斯基的不动点定理，银行存在一致的价值。也就是说，上述方程组存在一个固定点。当bi（V，p）在V中不增加且有界时（假设成本不能超过某个总水平），每个fij（V，p）在V中也不减少，Pjfji（V，p）- Sji（V）Vi在V中不增加，f有界或V的可能值有界。此外，从塔尔斯基的理论来看，也可以得出平衡值集形成了一个完整的晶格。破产成本和潜在的金融合同本身带来的不连续性，可能会导致银行价值的多种解决方案。Vjfijcall optionequitydebt（a）非递减金融合同vjfijcds卖出期权（b）非递增金融合同当金融合同不是V的递增函数时，可能不存在银行价值的均衡解。例如，一旦一些银行为自己投保，以防对方违约或押注另一方违约，简单的会计规则可能不会为金融网络中的所有组织产生一致的价值。我们在下面的例子中说明了这一点。不存在V解决方案的示例：信用违约掉期。考虑由n=3家银行组成的金融网络。为了简单起见，他们在ssetsall之外的投资组合对于i=1、2、3具有相同的pi=2值。

银行的价值通过以下金融契约相互关联：银行2持有1的债务，面值D=1；这一更普遍的模型还嵌入了Barruca等人（2016）的模型，其中银行彼此持有债务，但这些债务债权并不是在完整信息下进行估值的：它们考虑到了银行外部资产和履行银行间负债能力的不确定性，其面值可能会根据可用信息进行贴现。如果给定一些信息，如已知银行价值或原始资产价值的子集，则此处定义的财务合同可以捕捉这种不确定性。2通过与银行3的CDS全额投保1的违约，以换取付款R=0.4；最终1与3的对比值呈线性递减。假设一家银行违约，当且仅当其账面价值低于其银行间负债时，在这种情况下，其成本β=0.1。正式来说，合同是f（V）=DV≥0f（V）=DV<0f（V）=rV≥0f（V）=-0.5V。请注意，银行2和银行3从不违约：前者的值始终至少为2- r>0，后者至少为2- D> 0。然后我们检查银行1是否有偿付能力。在这种情况下，V=2+r，V=2- 0.5V- D=-0.2<0：但银行1违约，这是一个矛盾。最后假设1为默认值。那么V=2- DandV=2- 0.5V- β=1.4>0，另一个矛盾。