Credit Risk Modelling
Contents
1 Structural Approach 9
1.1 Basic Assumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1 Defaultable Claims . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.2 Risk-Neutral Valuation Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.3 Defaultable Zero-Coupon Bond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Merton's Model of a Corporate Debt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Properties of First Passage Times . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.1 Probability Law of the First Passage Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.2 Joint Probability Law of Y and ¿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 Black and Cox Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4.1 Black and Cox Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4.2 Corporate Coupon Bond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4.3 Optimal Capital Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.5 Extensions of the Black and Cox Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.5.1 Stochastic Interest Rates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.6 Random Barrier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.6.1 Independent Barrier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2 Hazard Function Approach 33
2.1 The Toy Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.1 Hazard Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.2 Defaultable Zero-Coupon Bond with Recovery at Maturity . . . . . . . . . . 34
2.1.3 Defaultable Zero-Coupon with Recovery at Default . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2 Martingale Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2.1 Conditional Expectations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.2 Martingales Associated with Default Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.3 Predictable Representation Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2.4 Girsanov's Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2.5 Range of Arbitrage Prices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2.6 Implied Risk-Neutral Default Intensity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.2.7 Dynamics of Prices of Defaultable Claims . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3 Generic Defaultable Claims . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3
4 CONTENTS
2.3.1 Buy-and-Hold Strategy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3.2 Spot Martingale Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.3.3 Self-Financing Trading Strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.3.4 Martingale Properties of Prices of Defaultable Claims . . . . . . . . . . . . . 56
2.4 Hedging of Single Name Credit Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.4.1 Stylized Credit Default Swap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.4.2 Pricing of a CDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.4.3 Market CDS Rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.4.4 Price Dynamics of a CDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.4.5 Dynamic Replication of a Defaultable Claim . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.5 Dynamic Hedging of Basket Credit Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.5.1 First-to-Default Intensities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.5.2 First-to-Default Martingale Representation Theorem . . . . . . . . . . . . . . 64
2.5.3 Price Dynamics of the ith CDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.5.4 Risk-Neutral Valuation of a First-to-Default Claim . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.5.5 Dynamic Replication of a First-to-Default Claim . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.5.6 Conditional Default Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.5.7 Recursive Valuation of a Basket Claim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.5.8 Recursive Replication of a Basket Claim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.6 Applications to Copula-Based Credit Risk Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.6.1 Independent Default Times . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.6.2 Archimedean Copulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3 Hazard Process Approach 81
3.1 Hazard Process and its Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.1.1 Conditional Expectations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.1.2 Martingales Associated with Default Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.1.3 Reduction of the Reference Filtration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.1.4 Enlargement of Filtration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.2 Hypothesis (H) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.2.1 Equivalent Formulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.2.2 Canonical Construction of a Default Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.2.3 Stochastic Barrier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.3 Predictable Representation Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.4 Girsanov's Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.5 Invariance of Hypothesis (H) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.5.1 Case of the Brownian Filtration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.5.2 Extension to Orthogonal Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.6 Alternative Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.7 Single-Name Credit Default Swap Market . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.7.1 Price Dynamics in a Single-Name Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
CONTENTS 5
3.7.2 Replication of a Defaultable Claim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.8 Multi-Name Credit Default Swap Market . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.8.1 Price Dynamics in a Multi-Name Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.8.2 Replication of a First-to-Default Claim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4 Hedging of Defaultable Claims 121
4.1 Semimartingale Model with a Common Default . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.1.1 Dynamics of Asset Prices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.2 Trading Strategies in a Semimartingale Set-up . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.2.1 Unconstrained Strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.2.2 Constrained Strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.3 Martingale Approach to Valuation and Hedging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.3.1 Defaultable Asset with Total Default . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.3.2 Defaultable Asset with Non-Zero Recovery . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.3.3 Two Defaultable Assets with Total Default . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.4 PDE Approach to Valuation and Hedging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.4.1 Defaultable Asset with Total Default . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.4.2 Defaultable Asset with Non-Zero Recovery . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4.4.3 Two Defaultable Assets with Total Default . . . . . . .153
5 Dependent Defaults and Credit Migrations 155
5.1 Basket Credit Derivatives . . . . . . . . .156
5.1.1 The ith-to-Default Contingent Claims . . . . . . . . . 156
5.1.2 Case of Two Entities . . . . . . . . . . . .156
5.1.3 Role of the Hypothesis (H) . . . . . . . . . . . . .157
5.2 Conditionally Independent Defaults . . . . . . . . . . . 157
5.2.1 Canonical Construction . . . . . . . . . .  158
5.2.2 Independent Default Times . . . . . . . . . . . 158
5.2.3 Signed Intensities . . . . . . . . . . . . . . . . . .159
5.2.4 Valuation of FDC and LDC . . . . . . . .160
5.3 Copula-Based Approaches . . . . . . . . .  161
5.3.1 Direct Approach . . . . . . . . . . . .  161
5.3.2 Indirect Approach . . . . . . . 161
5.4 Jarrow and Yu Model . . . . . . 163
5.4.1 Construction and Properties of the Model . . . .. . . 163
5.5 Extension of the Jarrow and Yu Model . . . . . . . .. 167
5.5.1 Kusuoka's Construction . . . . . . . . 167
5.5.2 Bond Valuation . . . . . . . . . . .168
5.6 Markovian Models of Credit Migrations . . . . . . . . . 169
5.6.1 Inˉnitesimal Generator . . . . . . . . . .169
5.6.2 Speciˉcation of Credit Ratings Transition Intensities . . . .. 171
6 CONTENTS
5.6.3 Conditionally Independent Migrations . . . . . . 172
5.6.4 Examples of Markov Market Models . . . . . . . . . .172
5.6.5 Forward CDS . . . . . . . . . . . . . . . .174
5.6.6 Credit Default Swaptions . . . . . . . . 174
5.7 Basket Credit Derivatives . . . . . . . 175
5.7.1 kth-to-Default CDS . . . . . . . . . . . . .176
5.7.2 Forward kth-to-Default CDS . . . . . . . 177
5.7.3 Model Implementation . . . . . . . . . . 178
5.7.4 Standard Credit Basket Products . . . . . . 181
5.7.5 Valuation of Standard Basket Credit Derivatives . . . . 184

谢谢分享 不错