给定我们的参数值，我们可以计算唯一平衡{σ*i（G，Z，θ）}ni=1，通过计算以下系统的固定点：σ*i（G，Z，θ）=Φθ+θZi+θ| Ni | Xj∈Niσ*j（G，Z，θ）, 我∈ Nnπ*然后用π计算iis*i（G，Z，θ）=Pj∈Niσ*j（G，Z，θ）/|Ni |。科夫。偏色冠状病毒。问题。FSθ0.007 0.276 0.948θ-0.034 0.181 0.937θ0.026 0.231 0.942SSα0.004 0.277 0.964β-0.005 0.530 0.979α-0.004 0.333 0.959β0.004 0.783 0.972表1:n=538，有3000个模拟。目标覆盖概率为0.95。结果是根据以下规则实现的：Yi=α1i+β1iπ*iif Di=1α0i+β0iπ*iif Di=0。我们根据α1i | vi生成随机系数~iidN（2+0.3vi，1），β1i | vi~iidN（1+0.4vi，1），α0i | vi~iidN（4+0.2vi，1），β0i | vi~iidN（3+0.2vi，1），因此（E[α1i]，E[β1i]，E[α0i]，E[β0i]）或（α，β，α，β）被给出为（2，1，4，3）。（α1i，β1i，α0i，β0i）和VIA之间的相关性由（ρα，ρβ，ρα，ρβ）=（0.3,0.4,0.2,0.2）给出，因此相对于所有系数，DII是内源性的。标准偏差覆盖率和3000次偏差的概率报告表。目标覆盖概率为0.95。正如我们从FirstColumn观察到的，我们的估计是无偏的。我们的估计器在覆盖概率方面也表现良好。5.申请。1背景和数据疟疾是一种威胁生命的传染病，每年约造成1-3百万人死亡。这些死亡大多发生在撒哈拉以南非洲农村地区五岁以下的儿童身上。使用经杀虫剂处理的蚊帐（ITN）已被证明是控制疟疾的最有效方法。然而，采用率仍然很低，许多家庭对ITN的支付意愿（WTP）很低。

此外正健康变量定义平均邻居的最小最大学位数16.41 1.00 38.00Z 1（高补贴）0.27 0.00 1.00D 1（在第一阶段采用）0.47 0.00 1.00Y 1（在第二阶段采用）0.16 0.00 1.00女性受教育年限女性户主5.37 0.00 22.00财富水平20367.00 0.00 112273.00表2：使用ITN产生的汇总统计（n=583）呈现出私人领养水平低于社会最优水平。基于这些原因，公共补贴计划被提出以实现社会最优覆盖率。虽然已经表明，免费或以高补贴价格分发ITN在短期内有效地提高了采用率，但也有人担心，从短期来看，一次性补贴会降低家庭以后对该产品的WTP，从而降低长期采用率。例如，当存在参考依赖效应时，这种情况可能会发生，在这种效应中，家庭将其WTP固定在先前支付的补贴价格上。因此，一旦补贴结束，家庭可能不愿意为产品支付更高的价格。另一方面，一些人认为，短期补贴将有利于长期采用，因为家庭可以通过之前的经验更好地了解产品的好处。这种学习效果将增加消费者未来的WTP。此外，通过社会学习效应，家庭成员可以从邻居之前的经验中学习产品的益处，从而促进收养过程。因此，一次性补贴也将有利于长期采用率和家庭的WTP。由于ITN需要定期更换和重新购买，了解决定短期和长期采用决定的因素是可持续公共补贴计划的一项重要任务。

根据是否存在参考依赖或学习效应，补贴计划将导致对ITN短期和长期需求的不同预测。因此，在本应用程序中，我们研究了影响ITN短期和长期采用（购买）决策的因素。在这样做的过程中，我们允许在短期和长期采用决策中产生可能的溢出效应。正如Dupas（2014）所示，社交互动似乎在家庭购买床上用品的决策中起着重要作用。根据短期和长期内是否存在积极或消极的同伴效应，补贴效应可能会有很大差异。变量估计边际效应p值溢出（π）2.308 0.661 0.000补贴0.694 0.199 0.000女性教育0.223 0.064 0.026财富0.005 0.001 0.001表3:FS模型的估计结果（n=583）实验设计我们使用Dupas（2014）在肯尼亚进行的两阶段随机定价实验的数据。在第一阶段，六个村庄内的家庭获得了随机分配的补贴水平从100%到40%不等的蚊帐券，相应的价格从0到250 Ksh不等。一年后的第二阶段，四个村庄的所有研究家庭都获得了第二张蚊帐券。然而，这一次，所有家庭都面临着相同的36%的补贴水平。数据可以是一个二元指标，代表我在第一阶段获得高补贴的家庭（定义为低于50肯尼亚先令的指定价格）。治疗变量Diequalsto 1，如果我在第一阶段购买了蚊帐。如果我在第二阶段购买了abednet，那么它也是二进制的，取值为1。继Dupas（2014）之后，我们可能会将Yi解释为未来蚊帐的WTP代理。网络利用GPS数据，我们构建了二值化的空间网络。

如果两个家庭i和j居住在500米半径范围内，则认为它们是连通的（即Gij=1）。我们还考虑了250米和750米半径。由于结果差别不大，我们只报告半径为500米的结果。其他协变量对于家庭治疗前协变量，我们考虑财富和女性户主的教育水平。变量的汇总统计数据见表2。在删除25个孤立节点后，我们从四个村庄获得了n=538个观测值。5.2估计结果短期采用的结果我们首先使用博弈论模型估计短期采用决策的方程式。表3显示了系数、边际效应以及相关标准误差和p值的估计值。正如预期的那样，高补贴水平与更高的蚊帐使用率有关。教育边际效应计算为条件效应的样本平均值。例如，Zi的边缘效应计算为npni=1φ（Xi^θ+^θZi+^θπ）*i（S，^θ））^θ。图1：估算（σ）的曲线图*i、 π*i） 4.vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv0.1）女教育（女教育）女教育（女教育）女教育（女教育）女教育（女教育）女教育0.0.0.0.0.0.0 0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0 0.0.0.0 0.0.0.0.0 0 0.0.0 0.0.0.0.0.0.0.0.0 0.0.0.0.0.0教育（女教育（女教育0.0 0.0.0 0.0.0.0.0.0 0.0 0.0.0 0 0 0 0.0.0 0.0.0.0 0.0.0.0 0 0 0 0 0.0.0.0.0 0 0 0 0 0 0 0.0 0.0 0 0 0 0 0表4：估算SS模型（n=583）和财富的结果也与短期内的采纳决策呈正相关。这些变量在1%的水平上都是显著的。图1显示了（^σ）的估计图*i、 ^π*i） 根据子的价值。该图清楚地表明，个体差异与治疗选择有关。我们的结果有力地证明了在短期采用决策中存在积极的溢出效应。

当邻居的平均采用概率（π*i） 增加10个百分点，i的短期采用概率（σ）*i） 增加6。6个百分点。由此产生的一致性效应意味着，如果我们忽视规范中的溢出效应，我们将低估项目的全部影响。长期采用表4中的结果显示了对自身短期采用经验（Di）和邻居平均采用概率（π）的估计*i） 关于长期收养决定。不幸的是，由于样本量小，我们的统计能力非常有限，除了少数统计数据。然而，就数量而言，估计系数对长期采用决策的溢出效应有影响。利用公式16和18，我们得到了以下估计的平均响应函数：bE[Yi（1，π）]=0.497- 0.347π，bE[Yi（0，π）]=0.128- 0.02π（31）首先，让我们考虑[Yi（1，π）]。虽然π的系数并不显著，但我们观察到了相当大的负面溢出效应：如果π增加10个百分点，第二阶段采用概率降低3.4个百分点。这与第一阶段采用决定中观察到的积极溢出相反。对于治疗反应中的这种负面溢出，一种可能的解释是，它们是随着时间的推移发生的积极健康溢出的结果。例如，π值较高的家庭预计其所在地区的覆盖率较高，这将导致长期疟疾流行率较低。这可能会降低家庭以后再投资该产品的可能性。

这些结果突显了区分静态溢出和动态溢出机制的重要性。正如BE[Yi（0，π）]所示，这种影响似乎不适用于未经治疗的家庭。然而，统计能力非常有限。平均直接影响从31开始，自身短期采用对长期采用的平均直接影响（ADE）计算如下：bE[Yi（1，π）- Yi（0，π）]=0.369- 0.326π（32）结果表明，ADE的值随π的值变化很大：当π=0时，接受治疗的家庭投资第二个蚊帐的可能性高出36.9个百分点。然而，这种影响随着社区暴露率π的增加而降低。当π=1时，影响几乎为零。ADE对π的所有可能值都是正的，这一事实表明，存在从先前经验中学习的影响，而不是Dupas（2014）也报告了从简化形式回归模型中得出的类似结果。他们的研究结果表明，第二阶段的收养率受到第一阶段获得高额补贴的邻居比例的负面影响。参考依赖效应。忽视溢出效应的偏见假设我们错误地忽略了反应中的溢出效应。使用传统的Heckit模型，我们得到了以下估计的平均治疗效果（ATE）：^e[Yi（1）- Yi（0）]=0.038。上述结果表明，D对Y的影响非常有限。然而，如等式32所示，D对Y的影响存在很大的异质性，取决于π的值：D的影响从几乎0%到37%不等。因此，忽略溢出效应，我们会得出一个误导性的结论，即不存在治疗效应。观察到的效应异质性让我们转向可观察到的协变量、教育和财富导致的效应异质性。

对于接受治疗的人来说，教育和财富对收养率的影响似乎微不足道：系数接近于零，他们的相关p值很大。我们还计算了无协变量的估计。估计值的大小类似于协变量。因此，我们不在此报告结果。这也表明，在教育和财富方面，似乎几乎没有观察到[Yi（1，π）]的异质性。另一方面，对于Di=0的情况，协变量的估计值远高于Di=1的情况。首先考虑教育。π与教育之间的相互作用表明，高等教育与更高的溢出效应有关——再接受一年教育，π的影响就会从-0.02至-0.02+0.17 =0.15. 同样，如果财富水平增加1000个单位，对π的影响将增加1.2个百分点，这一点在10%时非常显著。这些结果表明，受教育程度较高、财富较高的家庭受到更高的正溢出效应。5.3反事实政策的影响我们结构化方法的一个优点是，它允许研究人员模拟反事实政策。假设一个政策制定者有兴趣实施经济状况测试的次级方案，其中Z根据以下规则确定：Zi=1{wealthi≤ τ }, 我∈ Nnl（33），即一户家庭只有在其财富水平低于某一特定阈值τ时才能获得高补贴。问题是：在这种新的反事实补贴规则下，预期的结果会是什么？这个问题与政策相关治疗效果的文献有关（PRTE:Heckman和Vytlacil（2001））。在这个框架中，每项干预或政策都是通过操纵外生变量S=（G，X，Z）来定义的。

在我们的设置中，我们假设决策者无法改变基础网络结构G或预处理协变量X。因此，改变S的唯一方法是通过改变Z。让我们将新的反事实策略表示为Snew=（G，X，Znew），其中我们将Z的值设置为Z=Znew，这不在数据中。根据新政策，i的预期结果为E[Yi | s=Snew]。请注意，在我们的控制函数规范下，对于任何S，E[Yi | S]=E[Yi | Di=1，S]Pr（Di=1 | S）+E[Yi | Di=0，S]Pr（Di=0 | S）（34），E[Yi | S]可以写成如下：：E[Yi | S]=σ*i（S）hXiα+λ（σ）*i（S））+nXiβ+λ（σ）*i（S））oπ*i（S）i+（1）- σ*i（S））hXiα+λ（σ*i（S））+nXiβ+λ（σ）*i（S））oπ*i（S）i=E[Yi | Xi，σ*i（S），π*i（S）]注意E[Yi | S]仅通过（Xi，σ）是S的函数*i（S），π*i（S）），因此我们写[Yi | Xi，σ*i（S），π*i（S）]。新政策下i的预期结果由E[Yi | Xi，σ给出*i（Snew），π*我（Snew）]。为了估计这一点，我们首先需要计算新的均衡选择概率：{σ*i（G，X，Znew）}i∈NN其中Znewis根据33确定。在确定的第一阶段参数下，通过在新数据集Snew=（G，X，Znew）下求解最佳响应函数的新定点来实现。然后我们估计^Yi≡^E[Yi | Xi，σ*i（Snew），π*i（Snew）]对于每个i∈ n使用上述公式。政策SNEWI的总体影响由PNI=1^Yi/n计算得出。结果见2。红线显示了当我们忽略干扰影响时，τ对整体长期采用水平的影响。在这种情况下，随着τ的增加，长期采用水平单调增加。这是因为随着τ的增加，更多的家庭获得补贴，并且在没有干扰的情况下，从长远来看，经过治疗的代理更可能采用。在存在溢出效应的情况下，τ的影响不再单调增加。图2：如蓝线所示，入息审查补贴对LR采用的反事实影响。

τ越高，π也越高*我对长期收养有负面影响。因此，从先验角度来看，我们不能期望较高的τ会带来较高的总体长期采用率。事实上，正如蓝线所示，最高的长期采用率是在针对极低比例家庭的补贴计划下实现的。这一结果还突显了使用补贴来提高长期采用率的复杂性。结果显示，最高预期覆盖率仅为17%。6.结论性意见在本文中，我们提出了一个新的方法框架来分析在一般网络环境下具有溢出和不遵从性的随机实验。利用博弈论框架，我们将溢出效应分为两个阶段：选择阶段和结果阶段。潜在结果被建模为随机系数模型，以解释一般未观察到的异质性。我们扩展了Heckman（1979）的传统控制函数估计，以考虑溢出效应。最后，我们用Dupas（2014）的数据说明了我们的方法，并表明我们的模型可以用来评估实际的政策。在我们的治疗选择博弈中，我们假设私人信息是独立地分布在各个代理之间的。放松这一假设，考虑到私人信息中的网络依赖性，将是一项有益的任务。另一个重要问题是多重均衡——在多重均衡存在的情况下，将政策评估和反事实预测问题形式化对于现实的政策设计很重要。最后，我们的结论是，我们的模型可以用来推导干扰下的事前最佳治疗分配规则，特别是在社会规划者应该考虑可能的不遵从和溢出的情况下。附录Xu（2018）之后定理1的证明，我们用矛盾的方式证明了这一点。

定义σi=Pj∈Niσj/|Ni |。设Γ（Xi，Zi，\'σi，θ）=Φ（Xiθ+θZi+θ\'σi）为i对输入（Xi，Zi，\'σi）和参数值θ的最佳响应函数。假设存在两个不相同的平衡σ*= (σ*i） 我∈n和σ+=（σ+i）i∈Nn。根据定义，他们应该满足σ*i=Γ（Xi，Zi，\'）σ*i、 θ），我∈ n和σ+i=Γ（Xi，Zi，\'σ+i，θ），我∈ Nn。利用微分并应用中值定理，我们得到了σ*我- σ+i=Γ（Xi，Zi，\'σ*i、 θ）- Γ（Xi，Zi，’σ+i，θ）=Γ（Xi，Zi，’σmi，θ）\'\'σi（\'\'σ*我- 其中∑Mi是∑之间的平均值*iand¨σ+i.取LHS的绝对值，|σ*我- σ+i|≤Γ（Xi，Zi，’σmi，θ）“∑i· |σ*我- “∑+i|”（35）≤Γ（Xi，Zi，’σmi，θ）“∑i· 马克斯∈Ni |σ*J- σ+j |。（36）从Γ（·）的定义来看Γ（Xi，Zi，’σi，θ）\'\'σi=Φ（Xiθ+θZi+θ\'\'σi）\'\'σi=φXiθ+θZi+θ′σiθ.因此Γ（Xi，Zi，’σmi，θ）“∑i≤ |θ| supuφ（u）≡ λ. （37）因此我们可以把36写成|σ*我- σ+i|≤ λmaxj∈Ni |σ*J- σ+j |。拿maxi∈对双方都有好处，马克西∈Nn |σ*我- σ+i|≤ λmaxi∈Nnmaxj∈Ni |σ*J- σ+j|≤ λmaxk∈Nn |σ*K- σ+k |当λ<1时会导致矛盾。渐近结果的证明。1第一阶段估计量Slet li（θ）的一致性证明≡ Dilnσ*i（S，θ）+（1）-Di）ln（1）-σ*i（S，θ））是i的单个对数似然函数。然后bln（θ）=nPni=1li（θ）。定义Ln（θ）=E[bLn（θ）| S]，其中人口目标函数Ln（θ）通过公共状态S=（G，X，Z）依赖于n。回想一下，真参数由θ表示。

根据Gallant and White（1988）定理3.3，我们通过显示可识别的唯一性和一致收敛结果来建立一致性结果。可识别的唯一性我们表明→∞（Ln（θ）- 对于任何θ，如|θ，Ln（θ））>0- θ| ≥  > 0-林恩芬→∞（Ln（θ）- Ln（θ））=lim infn→∞-nnXi=1ehdlnσ*i（S，θ）σ*i（S，θ）+（1）- Di）ln1- σ*i（S，θ）1- σ*i（S，θ）Si=lim infn→∞-nnXi=1hσ*i（S，θ）lnσ*i（S，θ）σ*i（S，θ）+（1）- σ*i（S，θ））ln1- σ*i（S，θ）1- σ*i（S，θ）硅≥ 林恩芬→∞-nnXi=1lnσ*i（S，θ）+1- σ*i（S，θ）= 第二个等式由E[Di | S]=σ得出*最后一个弱不等式是Jensen不等式。为了证明这种不平等性严格成立，我们需要排除lim infn的情况→∞（Ln（θ）- Ln（θ））=0。这种情况发生在，对于一些大的Enough，σ*i（S，θ）=σ*i（S，θ）为所有i∈ Nn={1,2，··，n}，即存在n，在观测上等价的选择概率。假设是这样。满足任意点的Φθ，包括任意点的Φθ-1(σ*i（S，θ））=Xiθ+θZi+θ| Ni | Xj∈Niσ*j（S，θ），我∈ n和Φ-1(σ*i（S，θ））=Xiθ+θZi+θ| Ni | Xj∈Niσ*j（S，θ），我∈ Nn。如果σ*i（S，θ）=σ*i（S，θ），我∈ 我们有，Xi（θ）- θ） +Zi（θ）- θ) + (θ- θ） | Ni | Xj∈Niσ*j（S，θ）=0，我∈ Nn。等价地，Ri（θ-θ) = 0, 我∈ 其中Ri的定义如定理2所示。由此得出（θ）-θ） Pni=1RiRi（θ）-θ) = 0. 假设Pni=1对于所有足够大的n都是正的，上述方程仅在θ=θ下成立，从而导致矛盾。接下来，我们验证supθ∈Θ| bLn（θ）- Ln（θ）|p-→ 0.我们首先展示了逐点收敛。一致收敛遵循Lipschitz条件。我们首先证明了，对于任何θ∈ Θ，|bLn（θ）- Ln（θ）|p-→ 0

可以证明bln（θ）- Ln（θ）=nnXi=1n（Di- σ*i（S，θ））lnσ*i（S，θ）1- σ*i（S，θ）|{z}ζio。{ζi}ni=1与给定S的平均值零是条件独立的。它也与引理1一致有界。因此，我们可以将LLN应用于独立观测（如马尔可夫），结果如下。一致收敛给定逐点收敛结果，如果我们能建立{bLn（θ）则一致收敛-Ln（θ）}在Θ上是随机等连续的（Andrews（1992）的定理1）。有效条件是证明样本目标函数{li（θ）}中的和是Lipschitz（Andrews（1992）中的假设W-LIP）。注意θli（θ）=Diθσ*i（S，θ）σ*i（S，θ）+（1）- Di）-θσ*i（S，θ）1- σ*i（S，θ），以|θli（θ）|≤θσ*i（S，θ）σ*i（S，θ）+θσ*i（S，θ）1- σ*i（S，θ）.通过引理1和引理2，σ*i（S，θ）和θσ*i（S，θ）一致有界。因此{li（θ）}是Lipschitz连续的，结果如下。B.2第一阶段估计量的渐近正态性证明^θ应满足最大化的一阶条件：θbLn（^θ）=0。假设bln（^θ）是光滑的，我们可以将中值定理应用于关于真参数θ的一阶条件：θbLn（^θ）=θbLn（θ）+θbLn（°θ）（^θ）- θ) = 0 (38)<==>√n（^θ）- θ) = -(θbLn（°θ））-1.√NθbLn（^θ）（39），其中θ是连接^θ和θ的直线的平均值。定义Hessian矩阵asHn（θ）=EhnnXi=1θli（θ）信息矩阵asIn（θ）=EhnnXi=1θli（θ）θli（θ）硅。我们首先展示了这一点θbLn（°θ）- Hn（θ）p-→ 0（Hessian矩阵的ULLN）然后√镍-1n（θ）θbLn（^θ）d-→ N（0，Idim（θ））（分数上的CLT）。Hessian矩阵的ULLN证明了θbLn（°θ）- Hn（θ）p-→ 0.注意θbLn（°θ）- Hn（θ）=nnXi=1θli（°θ）-nnXi=1θli（θ）{z}A+nnXi=1θli（θ）- EhnnXi=1θli（θ）Si |{z}BFirst，A=op（1）自^θ-θp-→ 0和由于引理3，θli（·）是连续的。

接下来，请注意b=nnXi=1nθli（θ）- Eθli（θ）so |{z}ξi{ξi}独立于均值为零的S上的条件。同样通过引理3，它是统一的。因此，对于独立观测，由LLN计算，B=op（1）。CLT注意到√NθbLn（θ）=√nnPni=1θli（θ）和{θli（θ）}是S上独立分布的条件变量，在（θ）上具有一致有界的条件变量。因此，我们可以将李亚普诺夫的CLT应用于独立观测，以获得√镍-1/2n（θ）θbLn（θ）d-→ N（0，I）。结合所有这些结果，我们可以看到等式39可以写成√n（^θ）- θ) = -（Hn（θ）+op（1））-1In（θ）1/2√nIn（θ）-1/2cLn（θ）由信息矩阵不等式确定，当模型正确指定时，Hn（θ）=-在（θ）中，我们有√n（^θ）- θ） =（In（θ）+op（1））-1In（θ）1/2√nIn（θ）-1/2cLn（θ）假设In（θ）是非奇异的，我们得到期望的结果：√n（I）-1n（θ））-1/2(^θ - θ） d-→ N（0，Idim（θ））。B.3第二阶段估计量一致性的证明我们的估计量基于以下矩条件SE[Yi | Di=1，S]=Wiγ，E[Yi | Di=0，S]=Wiγ让我们关注^γ情况，因为^γ情况可以用类似的方式分析。给定力矩条件E[Yi | Di=1，S]=Wiγ，我们用误差形式asYi=Wiγ+1i，E[1i | Di=1，S]=0。γ的估计器定义为^γ=arg minγnnXi=1Di易-^Wiγ（40）=arg minγnnXi=1迪伊- 迪^Wiγ（41）=nnXi=1Di^Wi^Wio-1nXi=1Di^WiYi（42）注意，DiYi=DiYi（1，π*i（S，θ））=Di（Wiγ+1i）=Di^Wiγ+1i- （^Wi）- Wi）γ.把这个插进42就得到了^γ=nXi=1Di^Wi^Wi-1nXi=1Di^Wi^Wiγ+1i- （^Wi）- Wi）γ= γ+nXi=1Di^Wi^Wi-西迪瓦1i- （^Wi）- Wi）γ所以- γ=nnXi=1Di^Wi^Wi|{z}A-1nXiDi^Wi1i- （^Wi）- Wi）γ| {z}B=A-1B。（43）A部分我们证明NPI=1Di^Wi^Wi- E[nPni=1DiWiWi | S]=op（1）。

分解pi=1Di^Wi^Wi- E[nPni=1DiWiWi|S]分为以下两部分：nXi=1Di^Wi^Wi-nnXi=1diwi |{z}（a）+nnXi=1diwi-nnXi=1E[DiWiWi|S]|{z}（b）。（a） =op（1）自^θ- θp-→ 0和Wi（θ）在θ中是连续的。对于（b），请注意summand{DiWiWi- E[DiWiWi | S]}在给定均值为零的S时是条件独立的。它也是一致有界的。因此由LLN（b）=op（1）。最后，E[nPni=1diwi | S]的可逆性由识别条件得出。B部分自^Wi- Wi=op（1），我们可以把它写成B asnnXi=1Di（Wi+op（1））(1i- op（1））=nnXi=1DiWi1与上述类似的参数显示nnxi=1迪维1i- E[DiWi1i|S]= 作品（1）。它从条件E的时刻开始[1 i | Di=1，S]=0表示E[DiWi1i | S]=0。因此我们得出结论B=nnXi=1DiWi1i+op（1）=op（1）。结合A部分的结果，我们得出如下结论：- γ=op（1）。B.4第二阶段估计量渐近正态性的证明来自43，√n（^γ）- γ) =nnXi=1Di^Wi^Wi-1.√nXiDi^Wi1i- γ（^Wi）- Wi）(44)=E[nnXi=1DiWiWi | S]+op（1）-1.√nXiDi^Wi1i- γ（^Wi）- Wi）| {z}C（45），其中上一节已经确定了最后一步。以^Wi为例-Wiin C.通过中值定理，^Wi- Wi=Wi（γ）- Wi（γ）=γWi（γ）（γ）- γ)==>√n（^Wi）- Wi）=γWi（γ）√n（^γ）- γ） 式中，γ是连接γ和γ的线的平均值。通过方程30中第一步估计量^θ的渐近正态性，我们可以证明√n（^θ）-θ） 是渐近线性的。

具体而言，将影响函数定义为ηi=E[nPni=1θli（θ）θli（θ）|S]θli（θ），那么√n（^θ）- θ) =√nnXi=1ηi+op（1）。因此，术语C在√n（^γ）- γ） 可以写成√nXiDi^Wi(1i- γ（^Wi）- Wi）=√nnXi=1Di^Wi1i-nnXi=1Di^Wiγ√n（^Wi）- Wi）=√nnXi=1Di^Wi1i |{z}C（a）-nnnXi=1Di^WiγγWi（γ）o |{z}C（b）√nnXi=1ηi+op（1）我们首先证明C（a）可以被√nPni=1DiWiC（b）可以由E[nPni=1DiWiγ代替γWi（γ）]。C部分（a）我们展示了√nnXi=1迪瓦维1i- 迪维1iP-→ 0Note htat√nnXi=1Di（^Wi）- Wi）1i=√nnXi=1DiγWi（γ）（γ）- γ1i（46）=nnXi=1DiγWi（γ）√n（^γ）- γ)1i（47）=nnXi=1DiγWi（γ）√nnXi=1ηi1i（48）=nnXi=1DiγWi（γ）1i√nnXi=1ηi（49）可以很容易地看出npni=1DiγWi（γ）1i-E[DiγWi（γ）1i|S]P-→ 0其中e[DiγWi（γ）从力矩条件来看，1i | S]=0。因此，等式49变成sop（1）×Op（1），结果如下。C（b）部分我们证明nnxi=1Di^WiγγWi（γ）- E[nnXi=1DiWiγγWi（γ）|S]=op（1）。分解LHS asnnXi=1Di^WiγγWi（γ）-nnXi=1DiWiγγWi（γ）|{z}A+nnXi=1DiWiγγWi（γ）- E[nnXi=1DiWiγγWi（γ）|S]|{z}B.A=op（1）因为^θ-θp-→ 0.而且，由于{DiWiγ}γWi（γ）}是条件独立的，给定S且一致有界，我们可以应用Markov-LLN证明B=op（1）。综合所有结果，术语C可以写成asC=√nnXi=1DiWi1i- EhnnXi=1DiWiγγWi（γ）硅√nnXi=1ηi+op（1）=√nnXi=1nDiWi1i- EhnnXi=1DiWiγγWi（γ）Siηio |{z}ζi.由于ζi | S的平均值为零且独立分布，我们可以应用CLT进行独立观测并得到ψ-1/2n√nPni=1ζid-→ N（0，Idim（γ）），其中ψN=nPni=1E[ζiζi|S]，可以简化为nnxi=1E[diwiwiwi]1i]+EhnnXi=1DiWiγγWi（γ）SinnXi=1E[ηiηi|S]EhnnXi=1DiWiγγWi（γ）由于E，交叉项被划掉了[1iηi|S]=0，即第一阶段和第二阶段情绪不相关。最后，从45开始，通过定义Υn=E[nPni=1wiwiwi | S]，我们得到∧-1/2n√n（^γ）- γ） d-→ N（0，Idim（γ））表示∧N=Υ-1nψnΥ-需要1个NAS。

C辅助引理1（σ的一致有界性）*i（S，θ））。存在一个常数C∈ （0，1）这样的σ*i（S，θ）≥ C对于A中的任何i、S、θ和n（证明），让我们将代理的最佳响应函数定义为Γ（Xi，Zi，\'-σi，θ）=Φ（Xiθ+θZi+θ′σi）。还记得吗*i（S，θ）=Φ（Xiθ+θZi+θπ*i（S，θ））。结果如下：xi是有界的，zi是二进制的，π*i（S，θ）≤ 1.引理2（群的一致有界性）σi）。假设λ<1。存在一个有限常数，如supi，n，S，θ，kσ*i（S，θ）θk< C<∞.（证据）回想一下*i（S，θ）=Γ（Xi，Zi，\'）σ*i（S，θ），θ）。关于θkgives微分上述方程σ*i（S，θ）θk=Γ（Xi，Zi，\'）σ*i、 θ）θk+Γ（Xi，Zi，\'）σ*i、 θ）σ*我σ*i（S，θ）θk等价，σ*i（S，θ）θk=Γ（Xi，Zi，\'）σ*i、 θ）θk+| Ni | Xj∈镍Γ（Xi，Zi，\'）σ*i、 θ）σ*我σ*j（S，θ）θk（50），它给出了[σ*i（S，θ）/θk]i∈Nn。让我们通过定义以下内容，在矩阵中写出50：o让χnbe n×1向量具有第i个分量σ*i（S，θ）/θk.o设dn为n×n矩阵，ijth元素| Ni|Γ（Xi，Zi，\'）σ*i、 θ）σ*iif Gij=1，如果Gij=0，则为零设τnbe n×1向量与ith分量Γ（Xi，Zi，\'）σ*i、 θ）θk，那么我们可以把系统50写成χn=Dnχn+τnor，也就是- 如果| | Dn，则χn=τn是可逆的||∞< 1其中诱导矩阵范数| | Dn||∞是行和绝对值的最大值，即| | Dn||∞= 马克西∈NnΓ（Xi，Zi，\'）σ*i、 θ）σ*我.37意味着| | Dn||∞≤ λ、 因此| | Dn||∞< 1.因此dn是可逆的，并且-Dn）-1=P∞t=0Dtn。因此，χn=（P∞t=0Dtn）τn.取sup范数得到| |χn||∞≤∞Xt=0 | | Dtn||∞||τn||∞=||τn||∞1.- λ<Cτ1- λ由于RHS不依赖于（i，n，zn，θ，k），我们得到了期望的结果。引理3（群的一致有界性）σi）。假设λ<1。有一个明确的恒常性|σ*i（S，θ）θmθk |<C<∞对于任何i，n，S，θ，k，ma.S.（证明）固定m.微分方程50w.r.t。

θmgaivesσiθmθk=Γθmθk+Γ“∑iθk“∑iθm+Γ“∑i“∑iθmθk+“∑iθknΓ“∑i“∑iθm+Γθm“∑io。让我们把它写得简洁如下：mkσi=Γmk+Γ′σkm′σi+Γ′σmk′σi+Γ′σ′σk′σim′σi+Γ′σmk′σi.（51）通过定义带有第i个分量的向量，以矩阵形式写出51mkσi.o设带第i分量Γmk+Γ′σk的Γτnbe n×1向量m′σi+Γ′σ′σk′σim′σi+Γ′σmk′σi.51可以写成（In- 如我们之前所示，Dn是可逆的。无论如何，我∈ Nn，|τi |≤ Bθ，θ+2B′σθCσ+B′σ，′σCσ、 所以| |τn||∞= maxi |τi |一致有界。因此，| |xn||∞≤Cτ1- λ，结果如下。参考唐纳德·W·K·安德鲁斯。广义一致收敛。计量经济学理论，8（2）：241-2571992。Sarah Baird、J.Aislinn Bohren、Craig McIntosh和Berk–Ozler。干扰条件下的实验优化设计。《经济学与统计学评论》（5）：844-8602018。帕特里克·巴贾里、韩红、约翰·克莱纳和丹尼斯·内基佩洛夫。评估战略互动的静态模型。商业与经济统计杂志，28（4）：469-4822010。doi:10.1198/jbes。2009.07264. 统一资源定位地址https://doi.org/10.1198/jbes.2009.07264.Jorge巴拉特和苏金汉。策略性互动的多重治疗。arXiv，2019年。Christian N.Brinch、Magne Mogstad和Matthew Wiswall。再晚些时候用谨慎的仪器。《政治经济学杂志》，125（4）：985-10392017。内政部：10.1086/692712。统一资源定位地址https://doi.org/10.1086/692712.William布洛克和史蒂文·杜拉夫。识别具有社会互动的二元选择模型。计量经济学杂志，140（1）：52-752007。统一资源定位地址https://EconPapers.repec.org/RePEc:eee:econom:v:140:y:2007:i:1:p:52-75.威廉·A·布洛克和史蒂文·N·杜洛夫。社会互动的离散选择。《经济研究回顾》，68（2）：235-260，2001年4月。ISSN 0034-6527。内政部：10.1111/1467-937X。00168.网址https://doi.org/10.1111/1467-937X.00168.Pedro詹姆斯·J·卡内罗。

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