因此，limx%xz2（v（x）- λx）=P（Axz2）-~P（Acxz2）axz2- λ.该导数与区间x上的双线配置的值函数的导数一致∈ [xz2，xu]在定理3.10中提供（参见李和xu[22]中推论2.8的证明）。再次当x∈ [xz2，xu]和ess supdPdP>λ，定理3.10和定理3.11意味着V（x）的最小值- λx由¨x或x实现*. 既然我们限制z∈ （z）*, \'z]在哪里*= z根据定义3.12，在第一种情况下，我们不需要在当前提议中考虑这种情况。在第二种情况下，引理3.4暗示x*< xz2（因为z>z*). 这又意味着P（Axz2）-~P（Acxz2）axz2- λ < 0.我们刚刚证明存在一些x**∈ （xz1，xz2）使得（v（x）-λx）|x=x**= 0.v（x）的凸性- λx，这是它获得最小值的点。NowCV aR（X**) =λ（v（x）**) - λx**)=λ（（x）**- xd）P（A）**) - λx**) .定理3.15的证明。情况3和4已经在定理3.11和命题3.14中得到证明。在情况1中，ess supdPdP≤根据定理3.11，λ和z=xr，X=xri都是可行的和最优的。在案例2中，Fixarbirtrary > 0.我们将寻找两行解决方案X= 十、IA+ αIB使用正确的参数a, 十、, α同时满足资本约束和回报约束：E[X] = 十、P（A）) + αP（B）) = z、 （20）~E[X] = 十、P（A）) + αP（B）) = xr，（21）在哪里=nω∈ Ohm :d~PdP（ω）>ao、 B=nω∈ Ohm :d~PdP（ω）≤ A.o、 并产生接近下限的CVaR水平：CV aR（X) ≤ CV aR（xr）+ = -xr+.首先，我们选择x= xr- . 找到剩下的两个参数a和α因此方程（20）和（21）是满足的，我们注意到XRP（A) + xrP（B）) = xr，xrP（A) + xrP（B）) = xr，并得出结论，这相当于找到一对a和α从而满足以下两个等式：-P（A）) + (α- xr）P（B）) = γ,-P（A）) + (α- xr）~P（B) = 0，其中我们表示γ=z- xr。

如果我们能找到解决方案a对于等式（22）~P（B）)P（B）)=γ + ,那么α= xr+~P（A）)P（B）),我们有方程（20）和（21）的解。当a从0增加到λ时，不难证明分数P（B）P（B）从0持续增加到1。因此，我们可以找到解决方案a∈ （0，λ），其中（22）由定义（3）满足，CV aRλ（X) =λinfx∈RE[（x）- 十、)+] - λx≤λE[（x）- 十、)+] - λx= -十、.差值rλ（X) - CV aR（xr）≤ -十、+ xr=.在假设2.1下，情形2中的解几乎肯定是唯一的，结果得到了证明。定理3.17的证明。根据定理3.16，情况1和3显然是正确的。例2的证明与定理3.15的证明相似，所以我们这里不再重复。自E[X]*] = Z*< 案例4中的z，CV aR（X*) 在这种情况下，这只是一个下限。我们首先表明，这是在案例4中获得的真实信息。任意修正 > 0.我们将寻找三行解决方案X= xdIA+ 十、IB+ α身份证件用正确的参数, B, 十、, α满足一般约束条件：E[X] = xdP（A）) + 十、P（B）) + αP（D）) = z、 （23）~E[X] = xdP（A）) + 十、P（B）) + αP（D）) = xr，（24）在哪里=nω∈ Ohm :d~PdP（ω）>ao、 B=nω∈ Ohm : B≤d~PdP（ω）≤ A.o、 D=nω∈ Ohm :d~PdP（ω）<bo、 并产生接近下限的CVaR水平：CV aR（X) ≤ CV aR（X*) + .首先，我们选择一个= A.*, A.= A.*, 十、= 十、*- δ、 我们定义δ=λ-P（A）*). 找到剩下的两个参数b和α所以方程（23）和（24）是满足的，我们注意到[X]*] = xdP（A）*) + 十、*P（B）*) = Z*,~E[X*] = xdP（A）*) + 十、*P（B）*) = xr，并得出结论，这相当于找到一对b和α以满足以下两个等式：-δ（P（B）*) - P（D）)) + (α- 十、*)P（D）) = γ,-δ（~P（B）*) -P（D）)) + (α- 十、*)P（D）) = 0，其中我们表示γ=z- Z*.

如果我们能找到解决方案b对于等式（25）~P（D）)P（D）)=P（B）*)γδ+P（B*),那么α= 十、*+P（B）*)P（D）)- 1.δ、 对于方程（23）和（24）我们有解。不难证明分数P（D）P（D）从0持续增加到P（B）*)P（B）*)当b从0增加到a时*. 因此，我们可以找到解决方案B∈ （0，a）*) 式中，定义（3）满足（25），CV aRλ（X) =λinfx∈RE[（x）- 十、)+] - λx≤λE[（x）- 十、)+] - λx=λ（x）- xd）P（A）) - 十、.差值rλ（X) - CV aR（X*) ≤λ（x）- xd）P（A）) - 十、-λ（x）*- xd）P（A）*) + 十、*=λ（x）*- xd）（P（A）) - P（A）*)) +1.-P（A）)λ（十）*- 十、) = .在假设2.1下，情形4的解几乎肯定是唯一的，结果得到了证明。参考文献[1]Acerbi，C.，D.Tasche（2002）：“关于预期短缺的一致性”，银行与金融杂志，26，1487–1503。[2] Acerbi，C.，P.Simonetti（2002）：“具有光谱风险度量的投资组合优化”，工作文件，Abaxbank。[3] Acharya，V.，L.Pedersen，T.Philippon，M.Richardson（2010）：“测量系统性风险”，工作文件。[4] Adam，A.，M.Houkari，J.P.Laurent（2008）：“光谱风险度量和投资组合选择”，银行与金融杂志，321870-1882。[5] Adrian，T.，M.K.Brunnermeier（2011）：“CoVaR”，国家经济研究局，编号w17454。[6] Artzner，P.，F.Delbaen，J.-M.Eber，D.Heath（1997）：“连贯地思考”，风险，10，68-71。[7] Artzner，P.，F.Delbaen，J.-M.Eber，D.Heath（1999）：“风险的一致性度量”，数学金融，9203-228。[8] 比列斯基，T.，金海华，S.R.普利斯卡，周小燕（2005）：“破产禁令下的连续时间均值-方差投资组合选择”，数学金融，15213-244。[9] Chen，C.，G.Iyengar，C.C.Moallemi（2013）：“系统性风险的公理化方法”，《管理科学》，第591373-1388页。[10] Cherny，A.S。

（2006）：“加权V@R《金融学与随机学》，10367-393。[11] Delbaen，F.，W.Schachermayer（1994）：“资产定价基本定理的一般版本”，Mathematische Annalen，300463–520。[12] El Karoui，N.，A.E.B.Lim，G.Y.Vahn（2012）：“基于性能的平均CVA投资组合优化正则化”，工作论文。[13] F–ollmer，H.，Y.M.Kabanov（1998）：“可选分解和拉格朗日乘数”，《金融与随机》，第2期，第69-81页。[14] F–ollmer，H.，P.Leuert（2000）：“有效的对冲：成本与短缺风险”，金融与随机，4117–146。[15] Gandy，R.（2005）：“具有风险约束的投资组合优化”，乌尔姆大学博士论文。[16] Gotoh，J.Y.，K.Shinozaki，A.Takeda（2013）：“稳健的投资组合技术，用于缓解CVaR最小化的脆弱性，并将其推广到一致的风险度量”，量化金融，toappear。[17] 他，X.D.，周X.Y（2011）：“基于分位数的投资组合选择”，欧洲运筹学杂志，203（1），185-194。[18] Huang，D.，S.Zhu，F.J.Fabozzi，M.Fukushima（2010）：“分布不确定性下的投资组合选择：相对稳健的CVaR方法”，欧洲运筹学杂志，203（1），185-194。[19] I.Kondor，S.Pafka，G.Nagy（2007）：“各种风险度量下投资组合选择的噪音敏感性”，《银行与金融杂志》，31，1545–1573。[20] Kramkov，D.（1996）：“不完全证券市场中超鞅的可选分解和对冲未定权益”，概率论及相关领域，105459–479。[21]Krokhmal，P.，J.Palmquist，S.Uryasev（2001）：“具有CVaR目标和约束的投资组合优化”，风险杂志，4（2），43-68。[22]Li，J.，M.Xu（2008）：“基于条件价值的风险最小化投资组合优化和套期保值”，期货市场评论，16471-506。[23]马科维茨，H。

（1952）：《投资组合选择》，金融杂志，7（1），77-91。[24]梅尔尼科夫，A.，I.斯米尔诺夫（2012）：“条件风险价值的动态对冲”，保险：数学与经济学，51182-190。[25]Quaranta，A.G.，A.Zaffaroni（2008）：“条件风险价值和投资组合选择的稳健优化”，银行与金融杂志，322046-2056。[26]Rockafellar，R.T.，S.Uryasev（2000）：“条件风险价值的优化”，风险日志，2,21-51。[27]Rockafellar，R.T.，S.Uryasev（2002）：“一般损失分布的条件风险价值”，《银行与金融杂志》，第26期，1443-1471页。[28]鲁德罗夫，B.（2007）：“不完全市场中的凸对冲”，应用数学金融，14437–452。[29]Ruszczy\'nski，A.，A.Shapiro（2006）：“条件风险映射”，运筹学数学，31（3），544-561。[30]Schied，A.（2004）：“关于法律不变风险度量和稳健效用函数的内曼-皮尔逊问题”，《应用概率年鉴》，14（3），1398-1423。[31]Sekine，J.（2004）：“短缺最坏条件预期的动态最小化”，数学金融，14605–618。[32]Xu，M.（2004）：“使用对偶方法最小化短缺风险——不完全市场中部分混合的应用”，卡内基梅隆大学博士论文。[33]郑H（2009）：“效用和CVaR的有效前沿”，运筹学的数学方法，70129-148。