基于均值CVaR准则的最优动态投资组合

2022-4-29 16:44:21

基于均值CVaR准则的最优动态投资组合*, 纽约联邦储备银行，纽约，纽约10045，美国。电子邮件：京。li@ny.frb.orgMingxinXu，北卡罗来纳大学夏洛特分校，数学与统计系，夏洛特，北卡罗来纳州28223，美国。电子邮件：mxu2@uncc.eduAbstractValue-从学术、行业和监管角度来看，风险价值（VaR）和条件风险价值（CVaR）是流行的风险度量。从理论上讲，最小化CVaR的问题是内曼-皮尔逊型二元解。我们在预期回报上增加了一个约束条件，以在动态环境中研究平均CVaR投资组合选择问题：投资者在最终期限内面临马科维茨[23]类型的风险回报问题，其中方差作为风险度量被CVaR取代。基于完全市场假设，我们给出了一般的解析解。我们的解决方案的新颖之处在于，它不再是内曼-皮尔逊类型，最终的最优投资组合只需要两个值。相反，在要求投资组合的价值从上面有界的情况下，最优解取三个值；在没有上限的情况下，最优投资组合不存在，尽管三级投资组合仍然提供次优解。关键词：条件风险价值，平均CVaR投资组合优化，风险最小化，内曼佩尔森问题杰尔分类：G11，G32，C61数学学科分类（2010）：91G10，91B30，90C461简介Markowitz[23]在1952年发表的投资组合选择问题被描述为一个单期静态环境中的优化问题，目标是最大化预期收益，服从方差从上方有界的约束。2005年，Bielecki等人[8]在动态完整市场环境中发布了该问题的解决方案。

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2022-4-29 16:44:24

在这两种情况下，投资组合的风险度量被选择为方差，风险报酬问题被理解为“均值-方差”问题。*所表达的发现和结论仅为作者的发现和结论，并不代表纽约联邦储备银行或联邦储备系统的立场。在开发风险度量方面，已经进行了大量研究，这些风险度量关注组合损失发生时尾部分布中的极端事件（方差不区分损失或收益），基于分位数的模型迄今为止已成为最流行的选择。其中，由Rockafellar和Uryasev[26]和[27]开发的条件风险价值（CVaR），也称为Acerbi和Tasche[1]的预期短缺，已成为替代投资组合选择问题方差的一个突出候选。在理论方面，CVaR是一种“一致性风险度量”，这是Artzner等人[6]和[7]提出的一个术语，旨在通过公理化方法定义“良好”风险度量应具备的属性。在实践方面，Rockafellar和Uryasev[26]提出的CVaR的凸表示为均值CVaR问题的凸优化打开了大门，并使其在实现上具有巨大优势。在单周期静态环境中，Rockafellar和Uryasev[26]演示了如何使用线性规划来解决均值CVaR问题，使其成为Markowitz[23]均值-方差概念的令人信服的替代方案。Rockafellar和Uryasev[26]的工作引起了人们对扩展这种方法的极大兴趣。Acerbian和Simonetti[2]以及Adam等人[4]将CVaR推广到静态环境下的光谱风险度量。Cherny[10]将Spectralrisk测度也称为风险加权值（WVaR），他反过来研究了它的优化问题。

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2022-4-29 16:44:27

Ruszczynsk和Shapiro[29]将CVaR修正为多步动态风险度量，即“CVaR的条件风险映射”，并使用Rockafellar和Uryasev[26]技术对每个时间步解决了相应的平均CVaR问题。当预期收益被预期效用所取代时，效用CVaR投资组合优化问题通常是在连续时间动态环境下研究的，参见Gandy【15】和Zheng【33】。最近，Quaranta和Za off aroni[25]、Gotoh等人[16]、Huang等人[18]和El Karoui等人[12]讨论了稳健实施的问题。Acharya等人[3]、Chen等人[9]以及Adrian和Brunnermeier[5]对涉及CVaR的系统性风险进行了研究。据我们所知，在连续时间动态环境下，平均CVA问题的解还没有完全的特征化。与Bielecki等人[8]类似，我们将问题简化为静态优化问题和带有完全市场假设的套期保值问题的组合。我们的主要贡献是，在解决静态优化问题时，我们发现了一个完整的特征，其性质与文献中已知的不同。作为一个没有预期回报约束的纯CVaR最小化问题，Sekine[31]、Li和Xu[22]、Melnikov和Smirnov[24]找到了bebinary的最优解。Schied[30]和He及Zhou[17]证明，对于更一般的不变风险（偏好）度量最小化，这是正确的。找到二进制解的关键是将平均CVaR问题与内曼-皮尔逊问题联系起来。我们在第2.1节中观察到，CVaR最小化的随机部分可以通过Rockafellar和Uryasev[26]给出的表示（CVaRis是预期短缺的Fenchel-Legendre对偶）转化为短缺风险最小化。

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2022-4-29 16:44:30

F¨ollmer and Leucert[14]将一般半鞅完全市场模型中后一个问题的解描述为二元，他们已经证明了它与风险中性概率测度P和物理概率测度P之间的假设检验的内曼-皮尔逊问题的密切关系。Cherny[10]将预期收益约束添加到WVaR最小化（CVaR是WVaR的一个特例）中，发现了平均WVaR问题的解仍然存在的条件。在本文中，我们讨论了解决平均CVaR问题的所有情况，这取决于两个标准的组合：Radon Nikod’ym导数的水平，相对于风险度量的置信水平；以及退货要求的水平。更具体地说，当投资组合上下一致有界时，我们发现最优解在某些情况下是不存在的或二元的，更有趣的是，在最重要的情况下取三个值（见定理3.15的情况4）。在大多数情况下（见定理3.17中的案例2和案例4），当投资组合从上面无界时，解不存在，而三个级别的投资组合仍然给出次优解。由于我们找到的新解不仅可以取上界或下界，还可以取中间的一个水平，因此可以将其部分视为内曼-皮尔逊问题二元解的推广，并对期望值进行了额外的约束。本文的组织结构如下。第二节阐述了动态投资组合选择问题，并比较了二元解和三层解的结构，以及exactcalculation在Black-Scholes模型中的应用。

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能者818

2022-4-29 16:44:36

第3节详细介绍了一般情况下的解析解，其中证明延迟到附录5；第4节列出了未来可能的工作。2.最佳投资组合的结构2。1.主要问题(Ohm, F、（F）0≤T≤T、 P）是一个过滤概率空间，满足Fis和FT=F的通常条件。市场模型由d+1可交易资产组成：一个无风险资产（货币市场账户）和d风险资产（股票）。假设无风险利率r为常数，股票为d维实值局部有界半鞅过程。将投资于风险资产的股份数ξt设为一个d维可预测过程，这样就可以很好地定义关于STI的随机积分。根据CSD的自我融资价值- ξtSt）dt，X=X。这里，如果风险资产是多维d>1，则ξtdStandξtstar被解释为内积。投资组合选择问题是找到最佳策略（ξt）0≤T≤为了将最终投资组合价值X的条件风险价值（CVaR）降至最低，且置信水平为0<λ<1，同时要求预期值保持在常数z以上。+此外，我们要求投资组合价值随时间变化的统一下限xD和上限xU，以便-∞ < xd<x<xu≤ ∞. 因此，我们的主要动力学问题是受E[XT]约束的infξtCV aRλ（XT）（1）≥ z、 xd≤ Xt≤ 徐亚。sT∈ [0，T]。请注意，可以通过将下限设置为xd=0来施加无破产条件，并且可以通过将上限设置为xu=0来从上面对Portfolio值进行无界限制∞.

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能者818

2022-4-29 16:44:39

我们的解决方案将基于以下完整的市场假设。假设2.1不存在风险为零的免费午餐（如Delbaen和Schachermayer[11]中所定义），市场模型具有唯一的等价局部鞅测度P，因此theRadon Nikod\"ym衍生的\"PdPhas为连续分布。在上述假设下，任何F-可测随机变量都可以被动态投资组合复制。因此，动态优化问题（1）可以简化为：首先找到最优解X**对于主要的静态问题，infX∈FCV aRλ（X）（2）服从于E[X]≥ z、 ~E[X]=xr，xd≤ 十、≤ 徐亚。s、如果存在，然后找到复制F-可测量随机变量X的动态策略**. 在这里，期望值E和E分别在物理概率测度P和风险中性概率测度P下取值。xr=假定满足xerTis常数-∞ < xd<x≤ xr<xu≤ ∞ 而额外资本约束E[X]=xris是确保最优解决方案可以通过初始资本X的动态自我融资策略来复制的关键。Krokhmal等人[21]展示了条件，在此条件下，CVaR约束下的预期收益最大化问题等同于预期收益约束下的CVaR最小化问题。

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2022-4-29 16:44:42

在本文中，我们对这两种情况都使用了均值问题。利用Rockafellar和Uryasev[26]中导出的条件风险值和预期短缺的Fenchel-Legendre对偶之间的等价性，（3）CV aRλ（X）=λinfx∈RE[（x）- 十） +]- λx, λ ∈ （0，1），CVaR优化问题（2）可以简化为一个预期短缺优化问题，该问题被称为两个约束问题：步骤1：预期短缺最小化v（x）=infX∈FE[（x- 十） +]（4）受E[X]约束≥ z、（回报约束）~E[X]=xr（资本约束）xd≤ 十、≤ 徐亚。s、第2步：最小化条件风险值（5）infX∈FCV aRλ（X）=λinfx∈R（v（x）- λx）。为了将我们的解决方案与现有文献中的解决方案进行比较，我们还将一个辅助问题命名为一个约束问题，该问题在没有回报约束的情况下简化条件风险值：将（4）中的步骤1替换为步骤1：预期空头v（x）=infX的最小化∈FE[（x- 十） +]（6）受制于<<E[X]=xr，（资本约束）xd≤ 十、≤ 徐亚。s、（5）中的第2步保持不变。2.2主要结果本小节致力于一个约束问题和两个约束问题的解决方案之间的概念性比较。Foollmer和Leucert[14]在假设2.1下发现，一个约束问题的第1步中的预期短缺最小化问题的解决方案本质上是二元的：（7）X（X）=xdIA+xIAc，对于xd<X<xu，其中I·（ω）是指示函数，集A被定义为RadonNikod\'ym导数高于阈值nω的状态集合∈ Ohm :d~PdP（ω）>ao。

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2022-4-29 16:44:45

这种特殊的结构，其中最优解X（X）只取两个值，即下界XD和X，一旦在F¨ollmer和Leucert[14]中连接了最小化预期短缺和P与¨P之间的假设检验的问题，直觉上就很清楚了。众所周知，后者拥有Neyman-Pearson引理的二元解。有多种方法可以证明最优性。除了Neyman-Pearson方法之外，它还可以从凸对偶的角度来看，参见Xu[32]中的定理1.19。此外，命题3.14证明的简化版本给出了使用拉格朗日乘子进行凸优化的直接方法。Schied[30]、Sekine[31]和Liand Xu[22]给出了一个约束问题的步骤2的解决方案，以及（1）和（2）中的主要问题，即无回报约束的纯风险最小化问题的解决方案。由于第2步只涉及实数x上的极小化，因此本步骤保留了二进制结构。在某些技术条件下，一个约束问题的步骤2的解由Li和Xu[22]（定理2.10和备注2.11）展示给beX*= xdIA*+ 十、*IA*c、（双线配置）（8）CV aRλ（X*) = -xr+λ（x）*- xd）P（A）*) - λ∧P（A）*),（9）在哪里*, 十、*) 是第1步中资本约束（~E[X（X）]=xr）和第2步中一阶欧拉条件（v（X）=0）的解：xdP（A）+XP（Ac）=xr，（资本约束）（10）P（A）+P（Ac）A- λ = 0. （一阶欧拉条件）（11）仅持有无风险资产的静态投资组合将产生固定的投资组合价值X≡ XR带CV aR（X）=-xr。通过动态管理风险资产的风险敞口，分散投资，将整体投资组合的风险降低了（9）中所示的金额。一个有趣的观察结果是，无论投资组合的上界是否确定，最优投资组合都存在∞ 或者不是徐=∞.

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2022-4-29 16:44:48

当我们在优化问题中加入收益约束时，这个结论将发生巨大的变化。本文的主要结果是证明两个约束问题的最优解，以及主要问题（1）和（2），不存在Neyman-Pearson型二元解，我们在（8）中称之为两线配置；相反，它有一个三线配置。命题3.14和定理3。15证明，当上限为有限时∞ 在某些技术条件下，两个约束问题中第二步的解变成了beX**= xdIA**+ 十、**IB**+ 徐德**, （三线配置）（12）CV aRλ（X**T） =λ（（x）**- xd）P（A）**) - λx**) ,（13）在哪里**, B**, 十、**) 是资本约束和一阶欧拉条件的解，加上额外的回报约束（E[X（X）]=z）：xdP（A）+xP（B）+xuP（D）=z，（回报约束）（14）xd)P（A）+X)P（B）+xu)P（D）=xr（资本约束）（15）P（A）+P（B）- bP（B）a- B- λ = 0. （一阶欧拉条件）（16）方程式（14）-（16）中的集合由不同水平的Radon-Nikod’ym导数定义：A=nω∈ Ohm :ωd=dω∈ Ohm : B≤d~PdP（ω）≤ ao，D=nω∈ Ohm :d~PdP（ω）<bo。当上限为最终值时，xu=∞, 定理3.17表明，最优组合的解不再是三线结构。它可以是纯粹的货币市场账户投资（单线）、二进制（双线），或者很可能不存在。在最后一种情况下，仍然可以计算CVaR的上限，并且可以找到一系列三线配置投资组合，其CVaR收敛到上限。2.3示例：Black-Scholes模型中的精确计算我们展示了三线配置（12）-（16）的封闭形式计算，以及基准Black-Scholes模型中相应的最优动态策略。

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mingdashike22

2022-4-29 16:44:52

假设一名代理人在利率为r的amoney市场账户和一只股票之间进行交易——该股票遵循几何布朗运动dSt=uStdt+σstdwt，瞬时回报率u、波动率σ和初始股价S。捐赠从X开始，在最后期限T之前的任何时间，xd=0，都禁止破产。expectedterminal值E[XT]必须高于固定级别“z”，以满足返回约束。当“z”较低时，即z≤ Z*= E[X*], X在哪里*是单约束问题的最优投资组合（8），收益约束是无约束的，显然是双线配置X*这是最优的。让z成为从初始资本x（seeDe Fition 3.2和Lemma 3.3）开始的任何自我融资投资组合可实现的最高预期值。当退货要求变得有意义时，即z∈ （z）*, \'z]，三线配置X**在（12）中，这一点变得最佳。由于Radon-Nikod'ym导数'Pdpi是最终股票价格的标度幂函数，具有近似正态分布，因此方程（15）-（16）中的概率可以以闭合形式计算：P（a）=N(-θ√T-lnaθ√T），P（D）=1- N(-θ√T-lnbθ√T），P（B）=1- P（A）- P（D），~P（A）=N（θ）√T-lnaθ√T），P（D）=1- N（θ）√T-lnbθ√T），P（B）=1-P（A）-~P（D），其中θ=u-rσ和N（·）是标准正态随机变量的累积分布函数。根据这些，解决方案（a）**, B**, 十、**) 方程（15）-（16）可通过数值计算得出。

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能者818

2022-4-29 16:44:55

最优投资组合X的动态值公式**t、相应的动态套期保值策略ξ**t、以及相关的最终最小风险CV aRλ（X**T）是：X**t=e-r（T）-t） [x]**N（d+（a）**, St，t））+xdN（d-（a）**, St，t）]+e-r（T）-t） [x]**N（d）-（b）**, St，t）+xuN（d+（b**, [St，t]]- 呃(T)-t） x**,ξ**t=x**- xdσStp2π（T- t） e-r（T-（t）-D-（a）**,St，t）+x**- xuσStp2π（T- t） e-r（T）-（t）-d+（b）**,St，t），CV aRλ（X**T） =λ（（x）**- xd）P（A）**) - λx**) ,我们定义的地方-（a，s，t）=θ√T-t[- lna+θσ（u+r）-σt- lnsS）+θ（T）- t） ]d+（a，s，t）=-D-（a，s，t）。—直接将计算推广到多维Black-Scholes模型。由于本文提供了静态CVaR最小化问题的解析解，只要动态套期保值可以用简单的方式表示，就可以在其他完整的市场模型中进行计算。表1总结了比较各种上限和回报约束下最小风险的数值结果。正如预期的那样，投资组合价值的上限对一个约束问题没有影响，如（x）*, A.*) 和CV aRλ（X*T）在任何时候都是最优的≥ 十、*. 相反，在两个约束问题中，退货要求z越严格，三线配置X越多**偏离双线配置X*. 更严格的退货要求（更高的z）意味着更高的最低风险CV aRλ（X**T） )；而不那么严格的上限（更高的xu）会降低最小风险CV aRλ（X**T）。

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2022-4-29 16:44:58

值得注意的是，在定理3.17中的某些条件下，对于所有的收益水平z∈ （z）*, “z”，当徐→ ∞, CV aRλ（X）**T）接近CV aRλ（X）*T），因为在极限情况下最优解不再存在。一个约束问题两个约束问题xu30 50 xu30 50z 20 25 25x*19.0670 19.0670 x**19.1258 19.5734 19.1434a*14.5304 14.5304 a**14.3765 12.5785 14.1677b**0.0068 0.1326 0.0172CV aR5%（X*T） -15.2118-15.2118变异系数aR5%（X**T） -15.2067-14.8405-15.1483表1：参数为r=5%，u=0.2，σ=0.1，S=10，T=2，x=10，xd=0，λ=5%的一个约束（纯CVaR最小化）和两个约束（平均CVaR优化）问题的Black-Scholes示例。因此，z*= 18.8742和¨z=28.8866。图1绘制了上述平均CVaR投资组合选择问题的有效边界，上界固定为xu=30。返回水平z之间的曲线*“z”是各种三线配置的平均CVaR效率组合，而当回报约束不具有约束力时，直线是相同的平均CVaR效率两线配置。定位于(-xr，xr）=(-11.0517，11.0517），其中xr=xerT对应于纯粹投资于货币市场账户的投资组合。与它在传统资本市场线上的地位（均值-方差投资组合选择问题的有效前沿）不同，纯货币市场账户投资组合在均值-CVaR投资组合选择问题中不再有效。3投资组合选择问题的解析解在假设2.1下，主要的平均CVaR优化问题（2）的解决方案，即两个约束问题（4）和（5），将在投资组合值的上限为有限或不确定的两种情况下讨论。主要结果分别在定理3.15和定理3.17中说明。

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2022-4-29 16:45:02

为了清晰地展示最佳解决方案与两行和三行配置之间的关系，所有证明将推迟到附录5。-16-15-14-13-12-11-1005 1015202530C V aR（XT）zz*图1：平均CVaR投资组合选择的有效边界3。1例xu<∞: 有限上界我们首先定义了一般的三线结构及其退化的两线结构。根据第2.2节重新计算，集合A、B、D的定义为（17）A=nω∈ Ohm :ωd=dω∈ Ohm : B≤d~PdP（ω）≤ ao，D=nω∈ Ohm :d~PdP（ω）<bo。定义3.1假设x∈ [xd，xu].1。任何三线配置的结构都是X=xdIA+xIB+xuID。2.与上述定义相关的两行结构X=xIB+xuIDis在案例a=∞, B=nω∈ Ohm :d~PdP（ω）≥ b和D=nω∈ Ohm :d~PdP（ω）<bo。在b=0，A=nω的情况下，双线结构X=xdIA+xib与上述定义相关∈ Ohm :d~PdP（ω）>ao，B=nω∈ Ohm :d~PdP（ω）≤ 敖。在A=b，A=nω的情况下，与上述定义相关的双线结构X=xdIA+xuidi∈ Ohm :d~PdP（ω）>ao，且d=nω∈ Ohm :d~PdP（ω）<ao。此外，1。一般约束是资本约束和预期回报约束的相等部分，对于三线结构X=xdIA+xIB+xuID:E[X]=xdP（a）+xP（B）+xuP（D）=z，~E[X]=xdP（a）+X~P（B）+xuP（D）=xr。2.

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2022-4-29 16:45:06

退化约束1是两线结构X=xIB+xuID:E[X]=xP（B）+xuP（D）=z，~E[X]=XP（B）+xuP（D）=xr的资本约束和预期收益约束的相等部分。退化约束2是两行结构X=xdIA+xIB:E[X]=xdP（a）+xP（B）=z，~E[X]=xdP（a）+XP（B）=xr的资本约束和预期收益约束的相等部分。退化约束3是两行结构X=xdIA+xuID:E[X]=xdP（a）+xuP（D）=z，~E[X]=xdP（a）+xuP（D）=xr的资本约束和预期收益约束的相等部分。请注意，退化约束1对应于a=∞; 退化约束2对应于b=0时的一般约束；退化约束3对应于a=b时的一般约束。我们使用两行配置X=xdIA+xuID，其中随机变量X的值取其上限或下限，以及其资本约束，以确定计算最高可实现回报的“条形系统”。定义3.2（“酒吧系统”）用于固定-∞ < xd<xr<xu<∞, 设a为两线配置X=xdIA+xuID的资本约束＠E[X]=xd＠P（a）+xu＠P（D）=xrin退化约束3的解。在“杆系”中，“A”、“D”和“X”与常数“A”相关联，即“X=xdI”、“A+xuI”Dwhere“A=nω”∈ Ohm :d~PdP（ω）>ao，且d=nω∈ Ohm :d~PdP（ω）<\'ao。

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2022-4-29 16:45:09

将“酒吧系统”的预期回报定义为“z=E[\'X]=xdP（\'A）+xuP（\'D）。引理3.3“z”是指初始资本为X的自融资投资组合所能获得的最高预期回报，其值在XD和xu之间：\'z=maxX∈FE[X]s.t.~E[X]=xr=xerT，xd≤ 十、≤ 徐亚。s、在下面的引理中，我们改变了两行配置中的“x”值x=xIB+xuIDandX=xdIA+xIB，同时分别保持资本约束。我们观察到它们的预期回报在X和z之间以单调和连续的方式变化。引理3.4用于固定-∞ < xd<xr<xu<∞.1.给定任何x∈ [xd，xr]，设“b”为两线结构X=xIB+xuID的资本约束＠E[X]=X＠P（b）+xu＠P（D）=xrin退化约束1的解。将结果双线配置的预期回报定义为z（x）=E[x]=xP（B）+xuP（D）。§z（x）是x的连续函数，从¨z到xras减小，从xd到xr增大。2.给定任何x∈ [xr，xu]，让\'a\'作为资本约束的解决方案，对于双线配置X=xdIA+xIB，E[X]=xd＠P（a）+X＠P（B）=xrin退化约束2。将结果双线配置的预期回报定义为z（x）=E[x]=xdP（A）+xP（B）。z（x）是x的一个连续函数，随着x从x增加，从x增加到x。从现在起，我们将关注区间z的预期收益要求∈ [xr，\'z]因为在一方面，引理3.3确保了如果我们要求的预期回报率高于\'z，则主要问题（2）没有可行的解决方案。

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2022-4-29 16:45:13

另一方面，引理3.3、引理3.4和定理3.11得出结论，返回约束∈ (-∞, xr）太弱，无法区分两个约束问题和一个约束问题，因为它们的最优解是一致的。固定资产的定义3.5-∞ < xd<xr<xu<∞, 和固定的z级∈ [xr，\'\'z]，定义xz1和xz2，分别为满足生成约束1和退化约束2的两种线条配置x=xIB+xuid和x=xdIA+xIB的对应x值。§通过资本约束，阈值“b”和相应的集合“b”和“D”都依赖于“x”，因此z（x）不是x的线性函数。定义3.5意味着当我们确定预期回报水平z时，我们可以找到两个特定的可行解决方案：x=XZ1b+XuidSatifizingE[x]=xz1P（b）+xuP（D）=xrand E[x]=xz1P（b）+xuP（D）=；X=xdIA+xz2i满足＠E[X]=xd＠P（A）+xz2＠P（B）=xrand E[X]=xdP（A）+xz2P（B）=z。由于引理3.4保证z（X）在这两种情况下都是可逆函数，因此xz1和xz2的值得到了很好的定义。在以下引理中，我们总结了满足资本约束的两条线配置是否满足回报约束，因为定义3.1中的两条线和三条线配置的x范围在其域[xd，xu]内。引理3.6用于固定-∞ < xd<xr<xu<∞, 和固定的z级∈ [xr，\'z].1。如果我们∈ [xd，xz1]，满足资本约束的两行结构X=xIB+xuidE[X]=XP（B）+xuP（D）=xrin退化约束1满足预期回报约束：E[X]=xP（B）+xuP（D）≥ Z2.如果我们∈ （xz1，xr），满足资本约束的两行配置X=xIB+xuidE[X]=XP（B）+xuP（D）=xrin退化约束1未满足预期回报约束：E[X]=xP（B）+xuP（D）<z；3.

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2022-4-29 16:45:16

如果我们∈ [xr，xz2），满足资本约束的两行配置X=xdIA+xib，即E[X]=xd~P（A）+X~P（B）=xrin退化约束2未能满足预期回报约束：E[X]=xP（B）+xuP（D）<z；4.如果我们∈ [xz2，xu]，满足资本约束的两行结构X=xdIA+xib，E[X]=xdp（A）+XP（B）=xrin退化约束2满足预期回报约束：E[X]=xP（B）+xuP（D）≥ z、我们将注意力转向解决两个约束问题（4）中的第1步：第1步：期望短路v（x）=infX的最小化∈FE[（x- 十） +]受制于E[X]≥ z、（回报约束）~E[X]=xr（资本约束）xd≤ 十、≤ 徐亚。s、请注意，任何给定的实数x都会调用一个解决方案，与返回级别z或capitallevel xr无关。从引理3.6和两条直线的配置是一个约束问题（见定理3.11）第一步的最优解这一事实，我们可以立即得出以下结论。提案3.7：固定资产-∞ < xd<xr<xu<∞, 和固定的z级∈ [xr，\'z].1。如果我们∈ [xd，xz1]，则存在一个双线配置X=xIB+xuid，这是两个约束问题中步骤1的最佳解决方案；2.如果我们∈ [xz2，xu]，然后存在一个双线配置X=xdIA+xib，这是两个约束问题中步骤1的最佳解决方案。当x∈ （xz1，xz2），引理3.6表明，满足资本约束（~E[X]=xr）的双线配置不会产生足够高的预期回报（E[X]<z），不再可行。结果表明，三线配置的新解决方案就是答案：它可以被证明是可行的和最优的。引理3.8用于固定-∞ < xd<xr<xu<∞, 和固定的z级∈ [xr，\'z]。

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2022-4-29 16:45:20

给定任何x∈ （xz1，xz2），让我们看看这对数字（a，b）∈ R（b）≤ a）是资本约束的一种解决方案，即三线结构的一般约束X=xdIA+xIB+xuID。将最终三线配置的预期回报定义为z（a，b）=E[X]=xdP（a）+xP（b）+xuP（D）。那么z（a，b）是一个连续函数，它从z减少到z:1以下的一个数字。当a=b=a来自“Bar System”的定义3.2时，三线结构退化为toX=\'X和z（\'a，\'a）=E[\'X]=\'z.2。当b<a和a>a时，z（a，b）随着b的减小和a的增大而不断减小。3.在极端情况下，当a=∞, 三线配置变为两线配置X=xIB+xuID；在极端情况下，当b=0时，三线配置变为两线配置X=xdIA+xIB。在这两种情况下，期望值都低于引理3.6的z。提案3.9针对固定资产-∞ < xd<xr<xu<∞, 和固定的z级∈ [xr，\'z]。如果我们∈ （xz1，xz2），则存在一个满足一般约束的三线配置X=xdIA+xIB+xuid，这是两个约束问题中步骤1的最佳解决方案。结合命题3.7和命题3.9，我们得出以下关于三线配置最优性的结果。定理3.10（步骤1的解决方案：预期短缺的最小化）用于固定-∞ < xd<xr<xu<∞, 和固定的z级∈ [xr，\'z]。下面描述的X（X）和相应的值函数v（X）是步骤1：最小化两个约束问题的预期短缺的最佳解决方案：oX∈ (-∞, xd]：X（X）=[xd，xu]中的值同时满足资本约束E[X（X）]=X和回报约束E[X（X）]≥ Z

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mingdashike22

2022-4-29 16:45:25

v（x）=0.o十、∈ [xd，xz1]：X（X）=[X，xu]中的值同时满足资本约束E[X（X）]=X和回报约束E[X（X）]≥ z、 v（x）=0.o十、∈ （xz1，xz2）：X（X）=xdIAx+xIBx+xuidx，其中Ax，Bx，dx由满足一般约束条件的（17）中的Ax和bxa确定：~E[X（X）]=X和E[X（X）]=z.v（X）=（X- xd）P（Ax）。o十、∈ [xz2，xu]：X（X）=xdIAx+xibx，其中axas在定义3.1中确定Ax，bx，满足资本约束E[X（X）]=X和回报约束E[X（X）]≥ z、 v（x）=（x- xd）P（Ax）。o十、∈ [徐，∞): X（X）=xdI\'A+xuI\'B=\'X，其中A和B与A相关，如定义3.2中所述，满足资本约束E[X（X）]=X和回报约束E[X（X）]=z≥ z、 v（x）=（x- xd）P（`A）+（x）- 徐）P（\'B）。为了解决两个约束问题（5）的第2步，以及主要问题（2），我们需要最小化λinfx∈R（v（x）- λx），其中v（x）已在定理3.10中计算。根据返回约束中的z水平是单约束还是严格约束，有时通过双线配置获得解决方案，这对一个约束问题是最优的，有时通过真正的三线配置获得解决方案。为了朝着这个方向前进，我们回顾了Li和Xu[22]提出的单约束问题的解决方案。定理3.11（李和徐[22]中的定理2.10和备注2.11，当徐<∞)1.假设ess supdPdP≤λ. X=xris第2步的最佳解决方案：一个约束问题的风险条件价值最小化和相关的最小风险isCV aR（X）=-xr。2.

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2022-4-29 16:45:29

假设ess supdPdP>λ如果“a”≤λ-P（\'A）1-~P（\'A）（参见定义3.2中的“Bar系统”），然后，\'X=xdI\'A+xuI\'是第2步的最佳解决方案：最小化一个约束问题的风险条件值和相关的最小风险isCV aR（\'X）=-xr+λ（xu）- xd）（P（\'A）- λ∧P（\'A））.o否则，让我们*是方程A=λ的解-P（A）1-P（A）。助理设定了一个*=nω∈ Ohm :d~PdP（ω）>a*奥恩德B*=nω∈ Ohm :d~PdP（ω）≤ A.*甲级耳蜗*. 定义x*=xr-xdP（A）*)1.-P（A）*)那么这个配置*= xdIA*+ 十、*IB*满足资本约束E[X*] = xdP（A）*) + 十、*P（B）*) = xr。然后是X*（我们称之为“StarSystem”）是第2步的最佳解决方案：一个约束问题的风险条件值最小化，以及相关的最小风险isCV aR（X*) = -xr+λ（x）*- xd）（P（A）*) - λ∧P（A）*)).定理3.11第2部分定义3.12，定义z*= 在第一种情况下，当≤λ-P（\'A）1-~P（\'A）；德涅兹*= E[X*] 在第二种情况下，当a>λ-P（\'A）1-~P（`A）。我们看到，当z小于z时*, 二元解X*定理3.11中提供的X实际上是两个约束问题中第2步的最优解。但是，当z大于z时*,在双约束问题中，这两种直线配置不再可行。我们现在表明，三线配置不仅可行，而且是最优的。首先，我们建立了目标函数的凸性及其在引理中的连续性。引理3.13v（x）是x的凸函数∈ R、因此是连续的。提案3.14：固定资产-∞ < xd<xr<xu<∞, 和固定的z级∈ （z）*, \'\'z]。等价地，（a）*, 十、*) 可以看作是方程（10）和（11）中资本约束和一阶欧拉条件的解。假设ess supdPdP>λ。

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2022-4-29 16:45:33

解决方案（a）**, B**, 十、**) （因此**, B**和D**) 根据方程式xdp（A）+xP（B）+xuP（D）=z，（回报约束）xdP（A）+xP（B）+xuP（D）=xr，（资本约束）P（A）+P（B）- bP（B）a- B- λ=0，（一阶欧拉条件）存在。十、**= xdIA**+十、**IB**+徐德**（我们称之为“双星系统”）是第2步的最佳解决方案：两个约束问题的风险条件值最小化，以及相关的最小风险isCV aR（X**) =λ（（x）**- xd）P（A）**) - λx**) .把命题3.14和定理3.11放在一起，我们得到了本文的主要定理。定理3.15（当xu<∞)固定的-∞ < xd<xr<xu<∞.1.假设ess supdPdP≤λ和z=xr。纯货币市场账户投资X=xris步骤2的最佳解决方案：两个约束问题的条件风险价值最小化，以及相关的最小风险isCV aR（X）=-xr。2.假设ess supdPdP≤λ和z∈ （xr，\'\'z]。第2步的最佳解决方案：两个约束问题的风险条件值最小化不存在，且最小风险isCV aR（X）=-xr。3.假设ess supdPdP>λ和z∈ [xr，z*] （参见定义3.12了解z*).o 如果“a”≤λ-P（\'A）1-~P（\'A）（见定义3.2），然后“杆系”X=xdI\'A+xuI\'是第2步的最佳解决方案：两个约束问题的条件风险值最小化，以及相关的最小风险isCV aR（\'X）=-xr+λ（xu）- xd）（P（\'A）- λ∧P（\'A））.o否则，“星系”X*= xdIA*+十、*IB*定理3.11定义了第2步的最佳解决方案：两个约束问题的风险条件值最小化，以及相关的最小风险isCV aR（X*) = -xr+λ（x）*- xd）（P（A）*) - λ∧P（A）*)).4.假设ess supdPdP>λ和z∈ （z）*, \'\'z]。

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大多数88

2022-4-29 16:45:36

“双星系统”X**= xdIA**+ 十、**IB**+ 徐德**命题3.14中定义了第2步的最佳解决方案：两个约束问题的风险条件值最小化，以及相关的最小风险isCV aR（X**) =λ（（x）**- xd）P（A）**) - λx**) .我们观察到，纯粹的货币市场账户投资很少是最优的。当Radon-Nikod导数以风险度量（ess supdPdP）的置信水平的倒数为界时≤λ），a在Black-Scholes模型中不满足的条件下，除非回报要求与无风险利率一致，否则解不存在。当Radon-Nikod′ym导数以正概率超过λ，且返回约束为低z时∈ [xr，z*], 对于无返回约束的CV aRminimization问题，双线配置是最优的，对于平均CVaR问题也是最优的。然而，在更有趣的情况下，回报约束实际上是高z∈ （z）*, 最优的三线配置有时会采用上限Xu的值，以提高预期回报，但成本最低，风险最高。该分析符合第2.3.3.2节所示的数值示例，情况xu=∞: 无上限我们首先重申Li和Xu[22]在当前背景下对一个约束问题的解决方案：当Xu=∞, 我们在其中解释“A”Ohm 和‘z=∞.定理3.16（当Xu=∞)1.假设ess supdPdP≤λ. 纯货币市场账户投资X=X是第2步的最佳解决方案：一个约束问题的条件风险价值最小化和相关的最小风险isCV aR（X）=-xr。2.假设ess supdPdP>λ。

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2022-4-29 16:45:44

“恒星系统”X*= xdIA*+ 十、*IB*定理3.11定义了第2步的最佳解决方案：一个约束问题的风险条件值最小化，以及相关的最小风险isCV aR（X*) = -xr+λ（x）*- xd）（P（A）*) - λ∧P（A）*)).我们观察到，虽然投资组合的价值没有上界，但最优解从上面是有界的，最小CV aR从下面是有界的。在风险不会接近的意义上，将自融资投资组合（以XD为界，以排除套利）的CV aR风险从初始资本xis中完全最小化的问题是可行的-∞ 而最小风险是通过最优投资组合实现的。当我们给CV aR最小化问题增加实质性回报约束时，尽管最小风险仍然可以在最重要的情况下计算（定理3.17中的情况4），但它确实是一个最小值，而不是一个最小值，因此它可以通过次优投资组合近似，但不能通过最优投资组合实现。定理3.17（当xu=∞)固定的-∞ < xd<xr<xu=∞.1.假设ess supdPdP≤λ和z=xr。纯货币市场账户投资X=xris步骤2的最佳解决方案：两个约束问题的条件风险价值最小化，以及相关的最小风险isCV aR（X）=-xr。2.假设ess supdPdP≤λ和z∈ （xr，∞). 第2步的最优解：两个约束问题的条件风险值最小化不存在，且最小风险isCV aR（X）=-xr。3.假设ess supdPdP>λ和z∈ [xr，z*]. “恒星系统”X*= xdIA*+ 十、*IB*在理论3中定义。11是第2步的最佳解决方案：两个约束问题和相关最小风险isCV aR（X）的条件风险值最小化*) = -xr+λ（x）*- xd）（P（A）*) - λ∧P（A）*)).4.假设ess supdPdP>λ和z∈ （z）*, ∞).

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2022-4-29 16:45:47

第2步的最优解：两个约束问题的条件风险值最小化不存在，且最小风险isCV aR（X*) = -xr+λ（x）*- xd）（P（A）*) - λ∧P（A）*)).备注3.18从附录5中对上述定理的证明中，我们注意到，在案例4中，我们始终可以找到一个三线配置作为次优解，即每个 > 0，对应的投资组合X= xdIA+ 十、IB+ α身份证件满足一般约束条件，并产生接近下限的CV-aR水平：CV-aR（X) ≤ CV aR（X*) + .4未来工作假设2.1的第二部分，即连续分布的Radon-Nikod\"ym导数Pdpha，用于简化主要定理中的表述。当这个假设被削弱时，可以做进一步的工作。我们预计，主要结果应该仍然有效，尽管形式更加复杂。kIt还将感兴趣地扩展平均CVaRminimization的闭式解，用一般的法律不变凸风险度量替换CVaR。另一个方向是在当前环境中采用动态风险措施。虽然在本文中我们关注的是完全市场解，但为了在不完全市场环境下解决问题，通过鞅表示定理将动态问题（1）转化为静态问题（2）的精确套期保值参数必须被Kramkov[20]和F¨ollmer和Kabanov[13]开发的通过期权分解的超级套期保值参数所取代。该细节类似于F？ollmer和Leucert[14]中的短缺风险最小化、Rudloff[28]中的凸风险最小化以及He和Zhou[17]中的定律不变风险偏好。

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2022-4-29 16:45:52

奇怪的问题是：第三条线路的配置会保持最佳状态吗？K其格式的结果类似于F¨ollmer和Leucert[14]以及Li和Xu[22]中所采用的技术，其中必须仔细处理（17）中氡-尼科德¨ym导数阈值上的点质量。5.引理的证明3.3。“z=maxX”的问题∈FE[X]s.t.~E[X]=xr，xd≤ 十、≤ 徐亚。s、相当于预期短缺问题\'z=- 貂皮∈FE[（徐）- 十） +]s.t.~E[X]=xr，X≥ xda。s、因此，答案是立竿见影的。引理3.4的证明。选择xd≤ x<x≤ xr。设X=xIB+xuid，其中B=nω∈ Ohm :d~PdP（ω）≥ b和D=nω∈ Ohm :d~PdP（ω）<bo。选择b，使E[X]=xr。这个capitalconstraint的意思是x~P（B）+xu~P（D）=xr。因为~~P（B）+~P（D）=1，~P（B）=xu-xrxu-x和P（D）=xr-xxu-x、定义z=E[x]。类似地，z，X，B，D，B对应于X，其中B>带P（B）=xu-xrxu-x和P（D）=xr-xxu-x、注意，D D、 B 乐队D\\D=B\\B.我们有- z=xP（B）+xuP（D）- xP（B）- xuP（D）=（xu- x） P（B\\B）- （十）- x） P（B）=（许）- x） Pb<d~PdP（ω）<b- （十）- x） Pd~PdP（ω）≥ B= （徐- x） Zb<d~PdP（ω）<bdPd~P（ω）d~P（ω）- （十）- x） Zd~PdP（ω）≥BdPd~P（ω）d~P（ω）>（xu）- x） b~P（b\\b）- （十）- x） bP（b）=（xu- x） b徐- xrxu- 十、-徐- xrxu- 十、- （十）- x） bxu- xrxu- x=0。无论如何 > 0，选择x- 十、≤ , 然后- z=（徐）- x） P（B\\B）- （十）- x） P（B）≤ （徐- x） P（B\\B）≤ （徐- 十）徐- xrxu- 十、-徐- xrxu- 十、≤（十）- x）（徐- xr）徐- 十、≤ 十、- 十、≤ .因此，当x增大时，z会持续减小∈ [xd，xr]。当x=xd时，z=定义3中的z。2.当x=xr时，x≡ X兰德z=E[X]=xr。类似地，我们可以证明，随着x从xrto-xu增加，z从xrto-z持续增加。3.3是引理的逻辑结果；命题3.7来自引理3。6.所以他们的证据将被跳过。引理3.8的证明。选择-∞ < b<b≤\'b=\'a≤ a<a<∞.

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2022-4-29 16:45:56

配对（IdxdIa=ωxIB）对应于ωxIa+xIB∈ Ohm :d~PdP（ω）>ao，B=nω∈ Ohm : B≤d~PdP（ω）≤ ao，D=nω∈ Ohm :d~PdP（ω）<bo。同样，让配置X=xdIA+xIB+xUID对应于该对（a，b）。定义z=E[X]和z=E[X]。因为x和x都满足了资本约束，所以我们有xdP（A）+xP（B）+xuP（D）=xr=xdP（A）+xP（B）+xuP（D）。这简化了等式（18）（x- xd）~P（A\\A）=（xu）- x） ~P（D\\D）。然后- z=xdP（A）+xP（B）+xuP（D）- xdP（A）- xP（B）- xuP（D）=（xu- x） P（D\\D）- (十)- xd）P（A\\A）=（xu）- x） P（D\\D）- （徐- x） ~P（D\\D）~P（A\\A）P（A\\A）=（xu）- x） D\\PP（D\\D）~P（D\\D）-P（A\\A）~P（A\\A）= （徐- x） ~P（D\\D）RB≤d~PdP（ω）<bdPd~P（ω）d~P（ω）~P（d\\d）-Ra<d~PdP（ω）≤A.dPd~P（ω）d~P（ω）~P（A\\A）≥ （徐- x） ~P（D\\D）B-A.> 0.假设选择了一对（a，b），以便X满足预算约束E[X]=xr。无论如何 > 0，选择b- b足够小以至于P（D\\D）≤徐-x、现在选择a<a满足的等式（18）。然后x也满足预算约束E[x]=xr，和Z- z=（徐）- x） P（D\\D）- (十)- xd）P（A\\A）≤ （徐- x） P（D\\D）≤ .我们得出结论，随着b的减少和a的增加，三线配置的预期值持续下降。在下文中，我们提供了本文的主要证明：三线配置的最优性。命题3.9的证明。表示ρ=dPdP。

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2022-4-29 16:46:01

根据引理3.8，存在一个满足一般约束条件的三线结构：E[X]=xdP（a）+xP（B）+xuP（D）=z，~E[X]=xdP（a）+xdP（B）+xyp（D）=xr。where={ω∈ Ohm : ρ（ω）>^a}，B=nω∈ Ohm :^b≤ ρ(ω) ≤ ^ao，D=nω∈ Ohm : ρ（ω）<^bo。作为凸优化问题的标准，如果我们能找到一对拉格朗日乘子λ≥ 0和u∈ Rsuch^X是最小化问题（19）infX的解决方案∈F、 xd≤十、≤薛[（x）- 十）+- λX- μρX]=E[（X-^X）+- λ^X- ^X是约束问题infx的解∈F、 xd≤十、≤薛[（x）- 十） +]，s.t.E[X]≥ z、 ~E[X]=xr。定义λ=^b^a-^b，u=-^a-^b.然后（19）变成fx∈F、 xd≤十、≤薛（x）- 十） ++ρ-^b^a-^bXi。选择任意一个X∈ F其中xd≤ 十、≤ xu，表示G={ω∈ Ohm : X（ω）≥ x} L={ω∈ Ohm : X（ω）<X}。注意ρ-^b^a-^b>1在A组，0≤ρ-^b^a-^b≤ 集B上的1，ρ-^b^a-^b<0在集合D上。然后差异Eh（x- 十） ++ρ-^b^a-^bXi- 呃（x）-^X）+ρ-^b^a-^b^Xi=Eh（x- 十） IL+ρ-^b^a-^bX（IA+IB+ID）i- 呃（x）- xd）IA+ρ-^b^a-^b（xdIA+xIB+xuID）i=Eh（x- 十）伊尔+ρ-^b^a-^b（X）- xd）- (十)- xd）IA+ρ-^b^a-^b（X）- x） IB+ρ-^b^a-^b（X）- （徐）伊迪≥ 呃（x）- 十） IL+（X- x） IA+ρ-^b^a-^b（X）- x） IB+ρ-^b^a-^b（X）- xu）IDi=Eh（x）- 十）（二）∩IL+A∩B+IL∩D） +（X）- x）（IA）∩G+IA∩五十） +ρ-^b^a-^b（X）- x） IB+ρ-^b^a-^b（X）- xu）IDi=Eh（x）- 十）（二）∩B+IL∩D） +（X）- x） IA∩G+ρ-^b^a-^b（X）- x） IB+ρ-^b^a-^b（X）- xu）IDi=Eh（x）- 十）（二）∩B+IL∩D） +（X）- x） IA∩G+ρ-^b^a-^b（X）- x）（IB）∩G+IB∩五十） +ρ-^b^a-^b（X）- 徐（身份证）∩G+ID∩五十） i=Eh（x）- 十）1.-ρ-^b^a-^bIB∩L+十、- X+ρ-^b^a-^b（X）- （徐）身份证件∩L+（X）- x） IA∩G+ρ-^b^a-^b（X）- x） IB∩G+ρ-^b^a-^b（X）- （徐）身份证∩Gi≥ 最后一个不等式成立，因为期望中的每个项都大于或等于零。定理3.10是引理3.6、命题3.7和命题3.9的直接结果。引理3.13的证明。v（x）的凸性是其定义（4）的简单结果。

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mingdashike22

2022-4-29 16:46:04

R上的实值凸函数在域的内部是连续的，所以v（x）在R上是连续的。命题3.14的证明。为了z∈ （z）*, 两个约束问题λinfx的步骤2∈R（v（x）- λx）是应用定理3.10后下列五个子问题中的最小值：情况1λinf(-∞,xd]（v（x）- λx）=λinf(-∞,xd](-λx）=-除息的；情形2λinf[xd，xz1]（v（x）- λx）=λinf[xd，xz1](-λx）=-西杂一号≤ -除息的；情况3λinf（xz1，xz2）（v（x）- λx）=λinf（xz1，xz2）（（x- xd）P（Ax）- λx）；情形4λinf[xz2，xu]（v（x）- λx）=λinf[xz2，xu]（（x- xd）P（Ax）- λx）；案例5λinf[xu，∞)（v（x）- λx）=λinf[xu，∞)(十)- xd）P（`A）+（x）- xu）P（\'B）- λx.显然，情况2在最小值较低的意义上优于情况1。在情况3中，通过v（x）的连续性，我们得到λinf（xz1，xz2）（（x- xd）P（Ax）- λx）≤λ（（xz1）- xd）P（Axz1）- λxz1）=-xz1。最后一个等式来自事实P（Axz1）=0：如引理3.8中所述，我们知道当x=xz1时，三线结构x=xdIA+xIB+xuid退化为两线结构x=xz1b+xuid，其中Axz1=∞. 因此，案例3主导案例2。在情况5中，λinf[xu，∞)（v（x）- λx）=λinf[xu，∞)(十)- xd）P（`A）+（x）- xu）P（\'B）- λx=λinf[xu，∞)(1 - λ） x- xdP（\'A）- xuP（`B）=λ(1 - λ）徐- xdP（\'A）- xuP（`B）=λ（徐- xd）P（(R)A）- λxu≥λinf[xz2，xu]（（x- xd）P（Ax）- λx）。因此，案例4主导案例5。当x∈ [xz2，xu]和ess supd)PdP>λ，定理3.10和定理3。11意味着情况4中的最大值是通过“X”或“X”实现的*. 既然我们限制z∈ （z）*, “z]在哪里*= z根据定义3.12，在第一种情况下，我们不需要在当前提议中考虑这种情况。在第二种情况下，引理3.4意味着x*< xz2（因为z>z*). 通过v（x）的凸性，然后是v（x）的连续性，λinf[xz2，xu]（（x- xd）P（Ax）- λx）=λ（（xz2）- xd）P（Axz2）- λxz2）≥λinf（xz1，xz2）（（x- xd）P（Ax）- λx）。因此，案例3主导案例4。

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