关于最优线性收缩估计的强收敛性

2022-4-29 17:08:00

关于大维协方差矩阵最优线性收缩估计的强收敛性*塔拉斯·博德纳拉，阿尔琼·K·古普塔布，*, Nestor Parolyacade数学系，柏林洪堡大学，D-10099柏林，德国B伯林格林州立大学，伯林格林，俄亥俄州伯林格林，43403，美国实证金融研究所（计量经济学），汉诺威莱布尼茨大学，30167，在这项工作中，我们构造了高维协方差矩阵的最优线性收缩估计。随机矩阵理论的最新结果使我们能够找到最佳收缩强度的渐近确定性等价物，并对其进行一致性估计。在协方差矩阵的所有线性收缩估计中，所发展的无分布估计几乎肯定服从最小的Frobenius lossov。我们考虑的情况包括变量p的数量→ ∞ 样本量为n→ ∞所以p/n→ C∈ (0, +∞). 此外，我们还证明了样本协方差矩阵的Frobenius范数几乎肯定趋向于一个可以一致估计的确定量。关键词：大维渐近性，随机矩阵理论，协方差矩阵估计。2010年理学硕士：60B20、62H12、62G20、62G301。引言如今，协方差矩阵的估计不仅是统计学中最重要的问题之一，也是金融、无线通信领域中最重要的问题之一*通讯作者：阿尔琼·K·古普塔。电子邮件地址：gupta@bgsu.edu.电话：（419）372-2820。传真：（419）372-6092。预印本提交给《多元分析杂志》2018年7月5日通信、生物学等。只有当维度p远小于样本量n时，协方差矩阵的传统估计值，即其样本对应值，似乎才是一个好的决定。这种情况被称为“标准渐近”（见Le Cam和Yang（2000））。

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2022-4-29 17:08:03

本文证明了样本协方差矩阵是协方差矩阵的无偏一致估计。当p与n可比时，会出现更多问题，即维数p和样本量n都趋于一致，而它们的p/n趋于正常数c。这被称为“大维数符号”或“科尔莫戈罗夫渐近”（参见B–uhlmann和vande Geer（2011）、蔡和沈（2011））。Girko（1990年、1995年）对这类渐近性进行了深入研究，并将其称为“一般统计分析”。关于样本协方差矩阵的泛函在大维渐近下的渐近行为，人们做了大量的研究（参见Girko和Gupta（1994，1996a，1996b），Bai和Silverstein（2010））。在协方差矩阵具有特殊结构的情况下，有一些显著的改进，例如稀疏、低秩等（参见Cai等人（2011）、Rohde and Tsybakov（2011）、Cai and Yuan（2012）、Cai and Zhou（2012）等）。Fan等人（2008）研究了基本随机过程服从因子结构的情况。在这些情况下，即使在高维情况下，也可以一致地估计协方差矩阵。

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kedemingshi

2022-4-29 17:08:08

在没有关于协方差矩阵结构的附加信息的情况下，这个问题到目前为止还没有被详细研究过。例外情况是Ledoit和Wolf（2004）的论文，其中提出了一个线性收缩估计量，它在二次平均中具有最小的Frobenius损失。Macenko and Pastur（1967）、Yin（1986）、Silverstein（1995）、Bai等人（2007）、Bai and Silverstein（2010）使用大维渐近性研究了一般随机矩阵特征值的渐近行为。他们发现适当变换的随机矩阵本质上是一种非随机行为，并展示了如何找到其特征值的极限密度。特别是Silverstein（1995）在非常一般的条件下证明了样本协方差矩阵的Stieltjes变换必然趋向于满足某个方程的非随机函数。该方程首先由马岑科和帕斯托（1967）推导而来，他们展示了真实协方差矩阵及其样本估计在本质上的联系。在我们的工作中，我们使用这个结果一致地估计协方差矩阵的泛函。在这项工作中，我们专注于某些类型的估计量，即收缩估计量。Stein（1956年）引入了收缩率估计器。它们被构造为样本估计量和一些已知目标的线性组合。这些估计器具有显著的特性：它们是有偏差的，但可以显著降低估计器的均方误差。在大尺寸和小尺寸情况下，很难找到所谓收缩强度的一致估计值。在这种情况下，Ledoit和Wolf（2004）在目标矩阵为恒等式时取得了进展，并为协方差矩阵找到了一个可行的线性收缩估计量，该估计量在平方均值意义上是最优的。

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2022-4-29 17:08:11

对于协方差矩阵，该估计比样本估计和其他已知估计具有显著优势。Ledoit and Wolf（2004）提出的线性收缩在方差矩阵的特征值不分散和/或浓度比c较大的情况下表现出最好的性能。在本文中，我们扩展了Ledoit和Wolf（2004）的工作，为一个大维方差矩阵构造了一个更一般的线性收缩估计。这里的目标矩阵被认为是具有一致有界迹范数的任意对称正定义矩阵。利用随机矩阵理论，我们证明了最佳收缩强度在本质上是非随机的，找到它们的渐近确定性等价物，并一致地估计它们。此外，我们还证明了协方差矩阵的Frobeniunsorm趋向于一个确定性量，因此可以一致地进行估计。当维数p和样本量p和p/n同时增加时，所得估计几乎肯定服从最小的Frobenius损失→ C∈ (0, ∞) 作为n→ ∞.论文的其余部分组织如下。在第二节中，我们给出了随机矩阵理论的初步结果，这些结果用于定理的证明。第3节包含oracle线性收缩估计和样本协方差矩阵的收缩强度和弗罗比纽斯范数的主要渐近结果。在第4节中，我们给出了协方差矩阵的bona fide线性收缩估计量，并与著名的Ledoit和Wolf（2004）估计量进行了简短的比较。第5节提供了实证研究的结果，而第6节总结了本文的所有主要结果。定理的证明被移到附录中。2.

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mingdashike22

2022-4-29 17:08:14

初步结果和大维渐近根据“大维渐近”或“Kolmogorov渐近”可以理解为→ C∈ (0, +∞) 其中变量的数量p≡ p（n）和样本量n都趋于一致。在这种情况下，传统的样本估计器的性能很差或非常差，并且倾向于过度/低估人口协方差矩阵。在本文中，我们使用以下符号：o∑nstands表示协方差矩阵，SN表示相应的样本协方差矩阵i=1的对（τi，νi，p是特征值的集合，协方差矩阵∑n的相应正交特征向量。oHn（t）是∑n的特征值的经验分布函数（e.d.f.），即Hn（t）=ppXi=1{τi<t}（2.1），其中{·}是指示函数。o设Xnbe是一个p×n矩阵，由独立同分布（i.i.d.）实随机变量组成，其均值和单位方差为零，使得yn=∑nXn。（2.2）在推导主要结果时，使用了以下五个假设。（A1）总体协方差矩阵∑是一个非随机p维正定义矩阵。（A2）只有矩阵是可见的。我们既不知道xnn也不知道∑nitself。（A3）我们假设Hn（t）在H的所有连续点上收敛到某个极限H（t）。（A4）矩阵的元素Xn具有顺序为4+ε，ε>0的一致有界矩。（A5）协方差矩阵的最大特征值∑nis在O阶的最大值(√p）。此外，我们假设只有有限个特征值的阶数可以依赖于p。这些假设（A1）-（A3）对于证明Marchenko Pasturequation（参见，例如Silverstein（1995））很重要，并且它们在大维渐近中是标准的（参见，例如，Bai和Silverstein（2010））。

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2022-4-29 17:08:19

特别地，关于极限总体谱函数H（t）存在的假设（A3）也是非常普遍的，因为H（t）的支撑可能是无界的和非紧的。证明需要假设（A4）。这一假设比Ledoitand Wolf（2004）为类似目的使用的相应假设要弱得多，即第八矩的存在。假设（A5）确保协方差矩阵可能有一对非常大的特征值。事实上，这是实际相关的，具有协方差矩阵无界特征值的模型的一个很好的例子是因子模型（见Bai（2003），Bai和Ng（2002），Fan等人（2013））。此外，即使数据的结构更复杂，且不存在factormodel，我们仍在拟议的理论假设（A1）-（A5）范围内。最后，我们不对基础数据生成过程施加任何特定分布的假设，如果样本协方差矩阵是奇异的，即如果样本大小n大于维度p，则所提出的框架也适用。因此，假设（A1）-（A5）足够普遍，足以涵盖许多实际情况。设（λi，ui）为i=1，p表示样本协方差矩阵的特征值集和相应的正交特征向量xsn=nynynn=n∑nXnXn∑n.（2.3），类似于样本协方差矩阵sni定义的（e.d.f.）的（2.1）（λ）=ppXi=1{λi<λ}，λ∈R.（2.4）研究（e.d.f）Fn（λ）的渐近性的最有力工具是斯蒂尔杰斯变换。

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何人来此

2022-4-29 17:08:23

对于具有boundedIt的非减量函数G，必须注意的是，由于1秩矩阵“x”x不影响样本协方差矩阵谱的渐近行为，因此忽略了样本平均向量（见Bai和Silverstein（2010），定理a.44）。Stieltjes变换的变化定义如下：Z∈C+mG（z）=+∞Z-∞λ -zd（λ）。（2.5）在我们的符号中sc+={z∈C:Im（z）>0}是具有严格正虚部的复数的半平面，任何复数都由z=Re（z）+iIm（z）给出，其中Re（z）和Im（z）分别是实部和虚部。Stieltjes变换及其对大维随机矩阵谱行为的重要性在Alverstein（2009）中进行了详细讨论。尽管如此，z∈C+样本（e.d.f.）Fn（λ）的斯蒂尔杰斯变换给定为nbymfn（z）=ppXi=1+∞Z-∞λ -zδ（λ）- λi）dλ=ptr{（Sn）- (子)-1} ，（2.6）其中I是一个合适的单位矩阵，tr（·）是矩阵的迹，δ（·）是狄拉克δ函数。Marcenko and Pastur（1967）证明了（e.d.f.）Fn（λ）最确定地（a.s.）收敛到非随机极限f（λ）。此外，他们还导出了一个方程，即所谓的Marcenko Pastur（MP）方程，该方程显示了F（λ）和H（τ）在本质上的联系。在更一般的条件下，几位作者考虑了MP方程（参见，Yin（1986）、Silverstein和Choi（1995）以及Silverstein和Bai（1995））。Silverstein（1995）提出了最一般的情况，其中在非常一般的条件下建立了强收敛性。为了便于说明，我们在定理2.1中总结了这个结果。定理2.1。[Silverstein（1995）]假设假设（A1）-（A3）满足公共概率空间和Pn→ C∈ (0, +∞) 作为n→∞. 然后Fn（t）a.s。=> F（t）as n→ ∞.

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kedemingshi

2022-4-29 17:08:27

此外，Fs的Stieltjes变换满足以下等式Mf（z）=+∞Z-∞τ(1 - C- czmF（z））- zdH（τ），（2.7），即mF（z）是（2.7）对所有z的唯一解∈C+。MP方程（2.7）在几个受限情况下具有封闭形式的解。著名的Marcenko Pastur定律仅在协方差矩阵∑为单位矩阵的倍数时出现，即∑n=σi.3。协方差矩阵的最优收缩估计本节我们构造了高维渐近下协方差矩阵的最优收缩估计。这个估计器只有一个，也就是说，它依赖于未知量。第4节给出了相应的资产估值。请注意，Ledoit和Wolf（2004）的线性收缩估计仅在二次平均值中具有最小的Frobenius损失。因此，构造一个几乎确定弗罗贝尼乌斯损失最小的估计量将是一个巨大的优势。协方差矩阵的一般线性收缩估计（GLSE）由b∑GLSE=αnSn+βn∑和|∑| | tr给出≤ M（3.1）当对称正定义矩阵∑具有有界迹范数时，即存在M>0，使得supn |∑| | tr=supntr（∑）≤ M.我们对收缩强度α和βN不做任何假设，这是我们感兴趣的对象。由于收缩强度是主要研究对象，且∑是固定的，因此出现了如何选择该目标矩阵的问题。它可能取决于基础数据以及应用协方差矩阵收缩估计的科学分支，即无线通信、金融等。另一方面，从贝叶斯统计的角度来看，∑可以解释为先验分布的超参数。关于目标矩阵∑的选择，可以找到有用的意见。G

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mingdashike22

2022-4-29 17:08:32

在《白与石》（2011年）、莱多特与沃尔夫（2004年）中。目的是找到最佳收缩强度α和βn，使给定非随机目标矩阵∑expressedasLF=| | b∑GLSE的弗罗贝尼乌斯范数最小化- ∑n | | F=|∑n | | F+| b∑GLSE | F- 2tr（b∑GLSE∑n）。（3.2）因此，使用（3.1）我们想要解决以下优化问题lf=αn | | Sn | | F+2αnβntr（Sn∑）+βn |∑| F（3.3）-2αntr（Sn∑n）- 2βntr（∑n∑）-→ Min关于α和βn。将lf关于α和βn的导数设为零，我们得到如果αn=αn | | Sn | F+βntr（Sn∑）- tr（Sn∑n）=0，（3.4）如果βn=αntr（Sn∑）+βn | |∑F- tr（n∑）=0。（3.5）LF的黑森人拥有=||Sn | | Ftr（Sn∑）tr（Sn∑）|∑| F. （3.6）从以下不等式可以看出，海森矩阵H始终是正定义的：det（H）=| | Sn | | F |∑| | F- （tr（Sn∑）≥ ||Sn | | F |∑F- ||锡||∞（tr∑）詹森≥ （| | Sn | | F）- ||锡||∞)||∑| | F>0，（3.7）式中| | Sn||∞表示谱范数（矩阵Sn最大特征值的平方根）。（3.7）中的最后一个不平等是众所周知的（例如，见Goluband Van Loan（1996））。从方程（3.4）和（3.5）中，很容易找到最佳收缩强度α*nandβ*nasα*n=tr（Sn∑n）|∑| F- tr（n∑）tr（Sn∑）| | Sn | | F | |∑| F-tr（Sn∑）, (3.8)β*n=tr（∑n∑）| | Sn | F- tr（Sn∑n）tr（Sn∑）| | Sn | | F | |∑| F-tr（Sn∑）. （3.9）接下来，我们考虑数量（3.8）和（3.9）的渐近行为，即寻找它们的渐近等价物。回想一下，随机变量序列ξ被称为渐近等价于非随机序列ξnwhenξn- ξn-→ 0 a.s.代表n→ ∞. （3.10）注意，有必要知道量| | Sn | F，tr（Sn∑n）和tr（Sn∑n）的渐近等价物。不难找到最后两个量的渐近等价物。这是在定理3.2中完成的。

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2022-4-29 17:08:36

更困难的是找到一个与第一个量（即| | Sn | | F）等价的渐近量。由于样本协方差矩阵的Frobenius范数在高维统计中非常重要，因此研究其渐近行为将是一大优势。在定理3.1中，我们给出了我们的第一个结果，其中我们证明了sn的归一化Frobenius范数几乎肯定倾向于p/n的非随机量→ C∈ (0, +∞) 作为n→ ∞.定理3.1。假设（A1）-（A5）保持和pn→ C∈ (0, +∞) 为了n→∞. 然后样本协方差矩阵φn=p | | Sn | | falst的Frobenius范数必然趋向于非随机变量φ，由φ给出=+∞Z-∞τdH（τ）+c+∞Z-∞τdH（τ）, （3.11）其中H（t）表示光谱e.d.f.Hn（t）定义的极限函数（2.1）。定理3.1的证明源自MP方程（2.7），并在附录中给出。特别是，它确保了样本协方差矩阵的Frobenius范数是固定的，并且仅取决于函数H和c。然而，由于函数H（t）未知，我们无法估计|∑n | |融合这一知识。这就是为什么我们需要找到| | Sn | | F的渐近等价量。定理3.1给出了关于这个量的一些直觉。其思想是用相应的有限和替换（3.11）中的积分，即1/ppPi=1τi=1/ptr（∑n）和1/ppPi=1τi=1/ptr（∑n）。该程序的主要优点是，这种替代不会影响几乎确定的收敛。定理3.2。根据Pn的假设（A1）-（A5）→ C∈ (0, +∞) 它保持着||Sn | | F-||∑n | | F+cp |∑n | | tr-→ 0 a.s.代表n→ ∞ （3.12）式中|∑| |tr=tr（∑n）是矩阵∑n的平方迹范数。另外，对于数量tr（SnΘ），其中Θ是有界迹范数的对称正有限矩阵，它认为tr（SnΘ）-tr（nΘ）-→ 0 a.s.forpn→ C∈ (0, +∞) 作为n→ ∞.

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nandehutu2022

2022-4-29 17:08:40

（3.13）该定理的证明见附录。与定理3.1相比，定理3.2对渐近结果（3.12）有更好的解释。它特别表明，实协方差矩阵|∑n | | F的罗伯纽斯范数的一致估计量不等于它的样本对应量。另一方面，tr（SnΘ）型泛函由样本对应物一致估计。此外，在大维渐近条件下，SNI的罗伯纽斯范数由常数c/p |∑| | | tr移位。因此，我们知道偏差的渐近值，协方差矩阵的弗罗贝尼乌斯范数的一致估计可以通过从样本中减去它来构造。第4节给出了该估计量的精确形式。接下来，我们考虑收缩强度α*nandβ*n、定理3.2的应用允许我们找到它们的渐近性质。这是在滚动3.1中完成的。推论3.1。假设（A1）-（A5）已满。然后福普→ C∈(0, +∞) 作为n→ ∞ 最佳收缩强度α*nandβ*不满意α*N- α*-→ 0 a.s.代表n→ ∞, （3.14）其中α*= 1.-cp |∑| | tr |∑| F||∑n | | F+cp |∑n | | tr||∑| | F-tr（n∑）（3.15）和β*N- β*-→ 0 a.s.代表n→ ∞, （3.16）其中β*=tr（n∑）|∑| | F（1）- α*) . （3.17）证据。这个结果直接来自定理3.2。只需要矩阵1/p∑nis的迹范数的有界性。它显然是根据其谱范数| |∑n的有界性得出的||∞, 即| | 1/p∑n | | tr=1/ptr∑n）Jensen≤√p |∑n | | F≤p |∑n||∞< ∞. （3.18）首先，我们观察到推论3.1和定理3.2的应用确保收缩强度α*和β*可以一致地估计。我们在第4节中总结了这个结果。对推论3.1结果的第二种解释表明α*< 1当c>0时，直接从（3.7）开始。

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2022-4-29 17:08:44

只有当c=0时，我们才能得到α*= 1和β*= 在这种情况下，样本协方差矩阵是人口协方差矩阵的一个很好的估计量，它使罗伯纽斯范数最小化。相比之下，如果p增加，即c>0，一般线性收缩估计量（3.1）会提高样本估计量的性能。此外，随着p接近n.4，这种改善的影响变得更大。协方差矩阵的最佳估计本节专门讨论第3节中未知参数的最佳估计。正如我们已经提到的，收缩强度α*和β*从推论3.1可以使用定理3.2的结果一致地估计。显然，两者都是α*和β*依赖于tr（nΘ）型泛函上协方差矩阵∑nand的Frobenius范数。由于理论3。2后一项的一致估计是其样本对应项，而Bψn=p | | | Sn | | F给出的Frobenius范数ψn=p | |∑n | | Fis的一致估计-np | | Sn | tr.（4.1）得到的估计量（4.1）与Girko（1995）得到的估计量相似。与Girko（1995）相比，定理3.2在更一般的条件下得到了证明，我们使用复Stieltjes变换，而Girko（1995）使用实变换。Girko的结果适用于c∈ （0，1）而我们的∈ (0, +∞).然而，使用定理3.1和定理3.2，可以证明Girko（1995）所考虑的所谓G估计与（4.1）一致，并且它确实是在大维渐近下协方差矩阵的Frobenius范数的一致估计。协方差矩阵∑nis的最优线性收缩估计（OLSE）由b∑OLSE=^α给出*Sn+^β*带| |∑| | tr的∑≤ M，（4.2）式中*= 1.-n | | Sn | | tr |∑| | | F | | Sn | | |∑| F-tr（Sn∑）（4.3）和^β*=tr（Sn∑）|∑| | F（1）- ^α*) . （4.4）根据定理3.2，OLSE估计几乎肯定具有最小的Frobenius损失，并且具有简单的结构。

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何人来此

2022-4-29 17:08:49

此外，当p>n且样本协方差矩阵sni奇异时，最优线性收缩b∑olsestay是可逆的，在实际中是适用的。接下来，我们更详细地考虑一个有趣的特例，∑=pI。在这种情况下，b∑OLSElooks与Lediot和Wolf（2004）提出的线性收缩估计值非常相似。然而，他们并不平等。首先，Lediot和Wolf（2004）的线性收缩估计在二次均值中具有最小的Frobenius损失，而（4.2）中建议的估计几乎确保收敛到oracle。此外，Lediot and Wolf（2004）假设存在第八矩，而我们的估计是在假设4+ε，ε>0，矩存在的情况下推导的。第二，Ledoit和Wolf（2004）的估计量和建议的最优线性收缩估计量（4.2），其中∑=1/pI差在α中*. 而不是n|Sn|trLedoit和Wolf（2004）使用了dnpi=1|yiyi-Sn | | F，其中yi是矩阵∑1/2nXn的列。的确，让d=p | | Sn | F-1/ptr（序列号）andb=pnnPi=1 | | yiyi- Sn | | F.然后是α的估计*Ledoit和Wolf（2004）给出了*LW=1-min{b，d}d.（4.5）因此，从（4.5）我们观察到，Ledoit-Wolf（LW）线性收缩估计是有约束的，而∑=pI的最优收缩估计（4.2）是无约束的。此外，如果b>din（4.5），则α*LW=0独立于p相对于n的大小。在这种情况下，LW估计器等于目标矩阵tr（Sn）pI。相比之下，对于建议的嗅觉刺激（4.2），它始终认为0<α*≤ 1.此外，α*= 1 i eff c=0，这意味着只有当p远小于n时，样本协方差矩阵才具有最小的Frobenius损失。对于c>0，样本协方差矩阵不是协方差矩阵的最佳估计量。第三，对于∑=pI，LW线性收缩估计似乎比（4.2）的计算更密集。

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2022-4-29 17:08:52

原因是，由循环计算的量bislen | | Sn | | tr只需要计算轨迹。●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●0 20 40 60 80 1000 10 20 30 40 50 60矩阵尺寸pPRIAL，%●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●0 10 20 30 40 50 60●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●0 10 20 30 40 50 60真正的OLSEBona真正的LWOracleFigure 1：甲骨文、真正的OLSE和p=3k，k的真正LW估计器的PRIALs∈ {1，…，33}，c=1/3，∑=pI，重复1000次。Ledoit和Wolf（2004）证明了他们的线性收缩估计倾向于平均的甲骨文估计，而我们的估计几乎肯定倾向于甲骨文估计，因此，预期他们是渐近相同的。此外，选择∑=pI可能过于保守，对于∑的其他值可以获得更好的结果。在图1中，我们给出了当∑=pI时正态分布数据的模拟结果。在不损失一般性的情况下，我们取∑nasa对角矩阵，将其谱分成三等分，特征值分别为0.1、5和10。根据∑n（ct.第2节）特征值的相应累积分布函数，它认为h∑nn（t）=1/3δ[0.1，∞)（t） +1/3δ[5，∞)（t） +1/3δ[10，∞)（t），（4.6），其中δ是狄拉克δ函数。这样做，我们保持所有维度p的总体协方差矩阵结构不变。然后，我们将LW线性收缩估计与建议的OLSE估计进行比较。对于协方差矩阵的任意估计，cM，PRIAL（平均损失的相对改善百分比）定义为PRIAL（cM）=1-E | |厘米- ∑n | | FE | Sn- ∑n | | F！·100% . （4.7）根据定义（4.7），PRIAL（Sn）等于零，PRIAL（n）等于100%。图1清楚地显示了LW估计器和suggestedOLSE估计器的平均收敛速度都很快。

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2022-4-29 17:08:57

此外，我们得出结论，这两个估计值之间没有显著差异。在图2中，我们展示了当∑=1/pI时，总体协方差矩阵结构的先验知识如何改进OLSE估计。我们假设先验矩阵∑符合协方差矩阵∑n的谱分离。因此，假设我们知道人口协方差矩阵的谱在三个相等的块中分离（见等式（4.6）），我们不考虑任何其他信息。先验矩阵∑的对角元素选择为1、2和3。根据∑的累积分布函数，它认为h∑（t）=1/3δ[1，∞)（t） +1/3δ[2，∞)（t） +1/3δ[3，∞)（t）。(4.8)●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●0 20 40 60 80 1000 20 40 60 80 100矩阵尺寸pPRIAL，%●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●0 20 40 60 80 100●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●0 20 40 60 80 100●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●0 20 40 60 80 100真正的OLSE，∑0真正的OLSE，i pOracle OLSE，∑0 oracle OLSE，i p图2：oracle的PRIALs和真正的OLSE估值器，∑=1/pI，∑如（4.8）中给出的p=3k，k∈ {1，…，33}和c=1/3，1000次重复。●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●50 100 150 200 60 70 80 90 100矩阵尺寸pPRIAL，%●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●60 70 80 90 100●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●60 70 80 90 100甲骨文OLSEBona Fidel OLSE，i pLedoit and Wolf（2004）图3：甲骨文PRIALs，Fidel OLSE和Fidel LW估值器p=10k，k∈ {1，…，20}，c=2，∑=pI，重复1000次。在这种情况下，图2显示，OLSE估计器的性能比∑=1/pI构造的OLSE估计器提高了约40%。

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2022-4-29 17:09:01

值得注意的是，oracle和Bonafide OLSE估值器都主导了相应的oracle和Bonafide估值器，其计算值为∑=1/pI。请注意，由于先验∑，这两个估计器现在拥有不同的预言。●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●50 100 150 200 60 70 80 90 100矩阵尺寸pPRIAL，%●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●60 70 80 90 100●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●60 70 80 90 100●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●60 70 80 90 100真正的OLSE，∑0真正的OLSE，i pOracle OLSE，∑0 oracle OLSE，i p图4：oracle的PRIALs和真正的OLSE估值器，∑=1/pI，∑如（4.8）中给出的p=10k，k∈ {1，…，20}和c=2，1000次重复。在c=2的情况下也可以观察到类似的情况。这里，特征值的比例1渐近等于-C-1=0.5，即50%（见Bai和Silverstein（2010））。在图3和图4中，我们展示了蒙特卡罗模拟的相应结果。图3显示，先验∑=1/pI的总体协方差矩阵的衍生估计量渐近地与Ledoit和Wolf（2004）的线性收缩相同。值得注意的是，OLSE估计器的整体性能明显优于c=1/3的情况。图4显示了当从（4.8）中考虑光谱分离的附加信息时的情况。这里，∑的频谱由h∑（t）=1/3δ[1]确定，∞)（t） +1/3δ[2，∞)（t） +1/3δ[60，∞)（t）。检测到约20%的优势。

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mingdashike22

2022-4-29 17:09:05

这意味着关于总体协方差矩阵的谱分离信息对于选择OLSE估计的先验目标矩阵起着重要作用。因此，当目标矩阵∑偏离识别矩阵时，它对OLSE估计量有积极影响，并能显著改善。最后，我们注意到最优线性收缩估计量（4.2）似乎是Ledoit和Wolf（2004）提出的线性收缩估计量的一个很好的推广和修正，也是样本协方差矩阵的一个很好的替代品。即使尺寸P大于样本量n.5，这仍然是正确的。在本节的实证研究中，我们将协方差矩阵的衍生估值器应用于真实数据，这些数据包括标普500指数（Standard&Poor’S 500）所列431项资产的每日资产回报，这些资产在2004年1月13日至2014年1月10日的整个期间内交易。标准普尔500指数是根据500家在纽约证券交易所或纳斯达克上市的大公司的市值计算得出的。被考虑资产的数量反映了高维投资组合问题的共同点。接下来，我们分析投资组合大小和样本大小对基于导出的OLSE和样本协方差矩阵的总体协方差矩阵的Frobenius范数和最大最小特征值的估计量行为的影响。在图5中，我们给出了p=156和n情况下的结果∈ {104130195312}这导致了c∈ 分别为{0.5,0.8,1.2,1.5}。由于资产的选择不是唯一的，我们在这里随机抽取431项资产中的156项，并生成10种不同的投资组合。在图6和图7中，显示了几个p值的结果∈ {50, 100, 200, 300}. 样本量n是这样的∈ (0, 3).

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何人来此

2022-4-29 17:09:09

对于图中的每个点，最大（最小）特征值是基于随机选择的组合计算的，其维度为p.0.00010 0.00014 0.00018 0.000220.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0弗罗贝尼乌斯范数的累积分布函数，c=0.5 xFn（x）真实奥尔斯，i pSample0。00010 0.00015 0.00020 0.00025 0.00030 0.000350.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0弗罗贝尼乌斯范数的累积分布函数，c=0.8 xFn（x）真实奥尔塞，i i样本1e-04 2e-04 3e-04 4e-040.0.2 0.4 0.6 0.8 1.0弗罗贝尼乌斯范数的累加分布函数，c=1.2 xFn（x）真正的OLSE，i i pSample1e-04 2e-04 3e-04 4e-04 5e-040.0.2 0.4 0.6 0.8 1.0弗罗贝尼乌斯范数的累积分布函数，c=1.5 xFn（x）真实OLSE，i示例图5：OLSE的弗罗贝尼乌斯范数和样本协方差矩阵的经验分布函数。图5提供了在10个随机选择的p=156维度投资组合的情况下，theOLSE的Frobenius范数和样本协方差矩阵的经验分布。在这里，我们观察到OLSE的Frobenius范数一致地小于样本协方差矩阵的范数。这个结果适用于所有考虑的c值∈ {0.5, 0.8, 1.2, 1.5}.这与定理3.2的结果一致，定理3.2证明了样本协方差矩阵的Frobenius范数渐近高估了相应的总体值。在图6和图7中，我们分析了OLSE最小和最大特征值的行为以及协方差矩阵的样本估计量。最小特征值情况下的结果在金融学中非常重要，因为协方差矩阵的最小特征值直接与全球最小方差投资组合的方差有关，这在投资组合理论中非常普遍（参见Frahm和Memmel（2010））。

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nandehutu2022

2022-4-29 17:09:12

我们观察到，与样本协方差矩阵相比，OLSE使最大特征值变小，而最小特征值变大。这个结果允许我们纠正投资者在使用样本协方差矩阵构造全局最小方差时对风险的过度乐观。0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.00.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05维度p=50 c=p/N最大特征值样本协方差真实OLSE，i p0。0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.00.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05维度p=100 c=p/N最大特征值样本协方差真实OLSE，i p0。0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.00.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05维度p=200 c=p/N最大特征值样本协方差真实OLSE，i p0。0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.00.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05维度p=300 c=p/N最大特征值样本协方差真实OLSE，图6：OLSE和样本协方差矩阵的最大特征值。0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.00.000000.00010 0.00020维度p=50 c=p/N最小特征值样本协方差真实OLSE，i p0。0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.00.000000.00010 0.00020维度p=100 c=p/N最小特征值样本协方差真实OLSE，i p0。0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.00.000000.00010 0.00020维度p=200 c=p/N最小特征值样本协方差真实OLSE，i p0。0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.00.000000.00010 0.00020维度p=300 c=p/N最小特征值样本协方差真实OLSE，图7：OLSE和样本协方差矩阵的最小特征值。6.总结本文考虑了大维协方差矩阵的估计问题。这种情况在文献中被称为大维度症状，它包括变量p的数量→ ∞ 而samplesize n→ ∞ 所以p/n→ C∈ (0, +∞).

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2022-4-29 17:09:16

这里，我们构造了协方差矩阵的最优线性收缩估计（OLSE），它几乎肯定具有最小的Frobenius损失。并与Ledoit和Wolf（2004）构造的线性收缩估计进行了比较。当总体协方差矩阵上有一些额外的先验信息可用时，可以获得显著的改善。7.附录这里给出了定理的证明。定理3.1的证明。证据为了证明定理3.1，我们使用MP方程（2.7）。在我们继续之前，我们重写所有z的PTR（Sn）∈C+以下列方式ptr（Sn）=-zptr（Sn）- 1/zI）-1zz=0=-Z最惠国待遇（1/z）zz=0，（7.1），其中mFn（1/z）是（2.5）中引入的斯蒂尔杰斯变换。从理论2。1我们知道，最惠国待遇（1/z）几乎肯定倾向于满足MP方程（2.7）的非随机mF（1/z）。利用这一事实，并表示Θn（z）=mFn（1/z）z，我们得到Θn（z）几乎肯定趋向于Θ（z）=mF（1/z）z，这是下列方程Θ（z）的唯一解=+∞Z-∞zτ（（1）- c）- cΘ（z））- 1dH（τ）。（7.2）在我们继续讨论Θ（z）对z的二阶导数之前，它表明，计算中出现的量Θ（z）、Θ（z）和Θ（z）有界于零。首先，我们指出（7.2）中积分符号下的极限可以通过应用支配收敛定理，结合H是概率测度和Θ（z）的有界性，安全地移动。更准确地说，让m（z）=-z（1）-c） +cmF（1/z）并按以下方式重写（7.2）Θ（z）=-+∞Z-∞τm（z）+1dH（τ），（7.3），其中函数m（z）是r+上正测度的另一个斯蒂尔杰斯变换（见Silverstein（1995））。因此，使用不等式（见Rubioand Mestre（2011，引理6））τm（z）+1≤ τ| z | Im（z）（7.4）我们得到τm（z）+1≤|z | Im（z）。

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2022-4-29 17:09:21

（7.5）现在，在不失去普遍性的情况下，我们构造了复杂序列zk=ihksuch，hk→ 0+作为k→ ∞. 请注意，对于我们的框架来说，z的实部并不重要，这就是为什么在不丧失一般性的情况下，我们将其设为零。因此τm（zk）+1≤|zk | Im（zk）=hkhk=1。（7.6）因此，利用（7.3）中积分下的函数被概率测度H下的可积函数所限定的事实，以及支配收敛定理，我们可以移动极限z→ 积分符号（7.2）下的0+。它导致Θ（0）≡ 林茨→0+Θ（z）=-1.如果limz→0+zΘ（z）<∞. （7.7）最后一个不等式是正确的，因为如果limz→0+zΘ（z）=∞ 然后从（7.2）我们得到了limz→0+Θ（z）=0。这就导致了林茨→0+zΘ（z）=0，这与limz的陈述相矛盾→0+zΘ（z）=∞.对Θ（z）=-+∞Z-∞τ((1 - c）- cΘ（z）- czΘ（z））（zτ（（1）- c）- cΘ（z））- 1） dH（τ）。（7.8）在（7.8）中我们得到Θ（z）1.- cz+∞Z-∞τ（zτ（（1- c）- cΘ（z））- 1） dH（τ）(7.9)=-(1 - c） +cΘ（z）+∞Z-∞τ（zτ（（1- c）- cΘ（z））- 1） dH（τ）。由于Θ（0）<∞, 我们观察到（7.9）的右手边被限定为零，因此左手边倾向于Θ（0）作为z→ 0+. 它导致Θ（0）≡ 林茨→0+Θ（z）=-+∞Z-∞τdH（τ）。（7.10）接下来，我们推导Θ（z）。LetM（z，τ）=-（zτ（（1）- c）- cΘ（z））- 1）（7.11）N（z，τ）=τ（（1）- c）- cΘ（z）- czΘ（z））。可以用下面的方式重写=+∞Z-∞N（z，τ）M（z，τ）dH（τ）++∞Z-∞M（z，τ）N（z，τ）dH（τ），（7.13），其中M（z，τ）=-2M（z，τ）N（z，τ）zτ（（1）- c）- cΘ（z））- 1）（7.14）N（z，τ）=τ-2cΘ（z）- czΘ（z）.

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2022-4-29 17:09:25

（7.15）从（7.13）我们得到Θ（z）1.- cz+∞Z-∞τ（zτ（（1- c）- cΘ（z））- 1） dH（τ）（7.16）=2cΘ（z）+∞Z-∞τ（zτ（（1- c）- cΘ（z））- 1） dH（τ）++∞Z-∞M（z，τ）N（z，τ）dH（τ）。以极限为z→ （7.11）、（7.12）和（7.14）中的0+以及使用（7.10）和（7.7）我们得到了limz→0+M（z，τ）=-1，（7.17）林茨→0+N（z，τ）=τ，（7.18）limz→0+M（z，τ）=-2τ . （7.19）因此，从（7.16）和（7.17），（7.18），（7.19），（7.10）和（7.7）我们得到Θ（0）<∞ 和Θ（0）≡ 林茨→0+Θ（z）=-2c+∞Z-∞τdH（τ）- 2+∞Z-∞τdH（τ）。（7.20）现在定理3.1的结果来自（7.1），（7.2）和（7.20）。定理3.2的证明。证据为了证明定理3.2的陈述，我们使用Rubio和Mestre（2011）的下列引理。引理7.1。[Lemma 4，Rubio and Mestre（2011）]设{ξ，…，ξn}是一个i.i.d.实随机向量序列，对于某些ε>0，具有零均值向量、恒等势矩阵和一致有界的4+ε矩，并且设Cn是一些非随机矩阵（可能是随机的，但独立于ξn），具有有限的迹范数。然后nnXi=1ξiCnξi- tr（中国）-→ 0 a.s.作为n→ ∞. （7.21）接下来，我们通过考虑以下两个量η=ptr（SnΘ）=nnXi=1xi的共有行为，直接开始定理3.2的证明pΘ1/2∑nΘ1/2xi（7.22）η=p | | Sn | F=ptr（Sn），（7.23），其中xi是（2.2）中定义的矩阵Xnde的第i列。首先，我们证明forpn→ C∈ (0, +∞) 作为n→ ∞ 以下断言成立η-ptr（∑nΘ）-→ 0 a.s.代表n→ ∞. （7.24）对于引理7.1的应用，我们必须证明矩阵xpΘ1/2∑nΘ1/2的迹范数是有界的。它认为（见Fang等人（1994））pΘ1/2∑nΘ1/2tr=ptr（Θ1/2∑nΘ1/2）=ptr（Θ∑n）≤tr（Θ）τmax（∑n）p，（7.25），其中τmax（∑n）表示矩阵∑n的最大特征值。最后，利用假设（A5），我们推导了矩阵xΘ1/2∑nΘ1/2的迹范数的有界性。

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2022-4-29 17:09:29

因此，使用引理7.1我们得到了语句（7.24）。接下来，我们证明定理3.2的主要结果，即下面的陈述η-P||∑n | | F+cp |∑n | | tr-→ 0 a.s.forpn→ C∈ (0, +∞) 作为n→ ∞.（7.26）为了证明（7.26），我们使用定理3.1的结果。首先，我们通过以下方式通过三角形不等式改写（7.26）中的差异η-P||∑n | | F+cp |∑n | | tr≤η- φ+φ -P||∑n | | F+cp |∑n | | tr,（7.27）其中φ=+∞R-∞τdH（τ）+c+∞R-∞τdH（τ）如定理3.1所示。接下来我们将展示（7.27）的右边几乎肯定会消失为n→ ∞.利用定理3.1，我们立即得到（7.27）中的第一项成立η- φ-→ 0 a.s.代表n→ ∞ （7.28）（7.27）中的第二项是非随机项。接下来，我们证明当n时它接近于零→ ∞. 由于假设（A3），它认为在H（t）的所有连续点上，Hn（t）趋向于H（t）。因此，p |∑n | | F=ptr（∑n）=ppXi=1τi=+∞Z-∞τdHn（τ）n→∞-→+∞Z-∞τdH（τ）。（7.29）由于假设（A5）（7.29）中的积分存在。类似地，它可以表示p | |∑n | | trn→∞-→+∞Z-∞τdH（τ）. （7.30）从（7.29）和（7.30）中得出：φ -P||∑n | | F+cp |∑n | | tr-→ 0代表n→ ∞. （7.31）因此，（7.28）和（7.31）完成了定理3.2的证明。感谢作者感谢审稿人和编辑的建议，这些建议改进了论文的陈述。第一作者得到德国科学基金会（DFG）1735研究单位“统计学中的结构推理：适应性和效率”的部分支持。他还感谢德国科学基金会（DFG）通过项目BO3521/2-2和OK103/1-2“统计和计量经济学中的Wishart过程：理论和应用”提供的财政支持。参考文献[1]Bai，J.和S.Ng（2002）。在近似因子模型中确定因子的数量，计量经济学70191-221。[2] 白，J.（2003）。

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2022-4-29 17:09:33

大维度因素模型的推理理论，计量经济学71135-171。[3] 白J.和S.Shi（2011），《估计高维协方差矩阵及其应用》，经济与金融年鉴12-2199215。[4] Bai Z.D.和J.W.Silverstein（2010），大维随机矩阵的谱分析，斯普林格：纽约；多德雷赫特；海德堡；伦敦[5] 白志德，缪伯清，潘国明（2007），关于大样本协方差矩阵特征向量的渐近性，概率年鉴35（4），1532-1572。[6] B–uhlmann，P.和S.van de Geer（2011年）。高维数据统计：方法、理论和应用。斯普林格：海德堡；纽约[7] 蔡T.，吕W.，和X.罗（2011），稀疏精度矩阵估计的约束最小化方法。J.美国统计协会106594-607。[8] 蔡T.和袁明（2012），自适应协方差矩阵估计粗糙块阈值法。《统计年鉴》201402042。[9] 蔡T.和H.周（2012），lnorm下大协方差矩阵的极小极大估计。中国统计局22，1319-1378。[10] 蔡T.和沈X（2011），高维数据分析。统计前沿：第二卷，世界科学：新加坡。[11] Fan J.，Fan Y.，and J.Lv，（2008），使用因子模型的高维协方差矩阵估计，计量经济学杂志147186-197。[12] 范，J.，廖，Y.和M.明切瓦（2013）。通过对主正交互补项进行阈值化的大协方差估计。皇家统计学会杂志：系列B 75603-680。[13] 方毅、罗帕罗·K.A.和X·冯（1994），矩阵乘积轨迹的不等式。IEEE自动控制交易3924892490。[14] Frahm G.和C.Memmel（2010），最小方差投资组合的主要估计量，计量经济学杂志159289-302。[15] Girko V.L.（1990），随机行列式理论。

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2022-4-29 17:09:37

克鲁沃学院出版社：多德雷赫特。[16] Girko V.L.和A.K.Gupta（1994），经验协方差矩阵谱函数的渐近行为，随机算子和随机方程2，43-60。[17] Girko V.L.（1995），《增加维度观察的统计分析》，Kluwer学术出版社：Dordrecht；波士顿；伦敦[18] Girko V.L.和A.K.Gupta（1996a），经验协方差矩阵预解的标准方程。多维统计分析与随机矩阵理论（A.K.Gupta和V.L.Girko编辑），VSP出版社：荷兰。[19] Girko V.L.和A.K.Gupta（1996b），多元椭圆轮廓线性模型和随机矩阵理论的一些方面。多维统计分析和随机矩阵理论（A.K.Gupta和V.L.Girko编辑），VSP出版社：荷兰。[20] Golub G.和C.F.Van Loan（1996），矩阵计算-第三版。约翰·霍普金斯大学出版社：巴尔的摩。[21]Jing B.-Y.，Pan G.and Shao Q.-M.，and W.Zhou，（2010），样本协方差矩阵谱密度函数的非参数估计：第一步，统计年鉴38（6），3724-3750。[22]Le Cam，L.和G.Lo Yang（2000），统计学中的渐近性：一些基本概念。斯普林格：纽约。[23]Ledoit，O.和Wolf，M.（2004），大维协方差矩阵的条件估计。多变量分析杂志88365-411。[24]Marcenko，V.A.和Pastur，L.A.（1967），一些随机矩阵集的特征分布。斯博尼克：数学1457-483。[25]Rohde A.和A.B.Tsybakov（2011），高维秩矩阵的估计。《统计年鉴》39887-930。[26]Rubio F.，和X.Mestre，（2011），一类随机矩阵的谱收敛，统计和概率字母81（5），592-602。[27]西尔弗斯坦，J。

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