在这个更简单的模型中，我们记得，我们不跟踪投资者进入市场时想要购买的特定资产。让l和h分别表示低流动性和高流动性类型，让o和n分别表示投资者是否拥有资产。然后，投资者的状态集被完整地描述如下：E={（l，n），（h，n），（hi，o），（li，o）}i∈I.如前所述，我们不认为投资者拥有资产和不拥有资产时的热情是相同的。对于不拥有资产的投资者，让我们用γu表示从低类型到高类型的转换强度，反之，用γd表示从高类型到低类型的转换强度。对于拥有资产I的投资者，我们将用γUi表示从低型到高型的开关强度，反之，用γdi表示从高型到低型的开关强度。

此外，投资者以λi的利率相遇，当类型（li，o）（拥有资产集i但流动性较低）的投资者遇到类型（h，n）（不拥有资产但对收购资产有较高兴趣）的投资者时，就会发生资产交换。因此，描述给定状态下投资者比例演变的动力系统是以下2K+2方程组，其中OTC市场模型具有若干资产5K+1约束，每个z的ut（z）∈ E:˙ut（h，n）=-ut（h，n）Xi∈IλIut（li，o）+γuut（l，n）- γdut（h，n）（1）˙ut（l，n）=ut（h，n）Xi∈IλIut（li，o）- γuut（l，n）+γdut（h，n）（2）˙ut（hi，o）=λiut（h，n）ut（li，o）+γuiut（li，o）- γdiut（hi，o），我∈ I（3）˙ut（li，o）=-λiut（h，n）ut（li，o）- γuiut（li，o）+γdiut（hi，o），i∈ I（4）在ut（hi，o）+ut（li，o）=mi的约束下，我∈ 伊克西∈Imi+ut（h，n）+ut（l，n）=1这是Duffee、G^Arleanuan和Pedersen[6]中描述的系统的第一个通用版本。图1显示了这类有两种资产的市场的投资者之间的动态示意图。由于方程（2）和方程组（3）可以分别通过将（2）加到（1）和将（4）中的每个方程加到（3）来消除，由一组2+2K方程描述的初始系统被简化为以下1+K方程组：˙ut（h，n）=-ut（h，n）Xi∈IλIut（li，o）+γuut（l，n）- γdut（h，n）˙ut（li，o）=-λiut（h，n）ut（li，o）- γuiut（li，o）+γdiut（hi，o），我∈ I（5）具有1+K约束ut（hi，o）+ut（li，o）=mi，我∈ I（6）Xi∈Imi+ut（h，n）+ut（l，n）=1（7）注意，在第一组约束条件中，MII是持有第i项资产的投资者人数的分数，与PI相同∈Imi<1。第二个制约因素是投资者比例的正常化。

此外，由于所有参数都是正数，系统中的负号表示退出状态，正号表示进入状态。系统（5）是主方程。它是非线性的，但对于纯jump6 B'elage ET AL.Owners（h1，o）Owners（h2，o）Sellers（l1，o）Pool（l，n）Buyer（h，n）λλλuγdγuγdγ图1trajectories Z（t）on E，具有马尔可夫性质。然而，我们不知道这个定律Pu是凸组合pz∈Eu（z）Pδz，其中δzare狄拉克质量。在纯跳跃轨迹上，Pu的存在性可以通过求解一个鞅问题来获得，该问题由强度测度m构成，定义如下我∈ I:m（s，（h，n）；（hi，o））=λius（li，o）；m（s，（li，o）；（l，n））=λius（h，n）；m（s，（li，o）；（hi，o））=γui；m（s，（嗨，o）；（li，o））=γdi；m（s，（l，n）；（h，n））=γu；m（s，（h，n）；（l，n））=γd；对于s∈ [t，∞), 其他条件为0。这种强度度量满足Stroock[9]第216页定理2.1的条件。所以，一旦我们解出ODE系统，对于每个初始条件u，我们看到存在一个概率测度Pu。Sznitman[10]第588页引理1证明了这一定律得到了纯跳跃轨迹集的支持。正是这样一种描述，我们在下面使用它来获得与投资者每次状态相关的内在价值的表达式。利用这个表达式的性质，我们可以在我们相对不透明的市场中，评估投资者之间具有多个资产价格的直接谈判DOTC市场模型。

也可以参考Duffee[4]的Tappendix I，了解基于强度的模型的基本理论。值得注意的是，Pu定律可以通过Ferland和Giroux[7]中的大数泛函定律获得，或者通过在单个内核的帮助下重写系统，然后使用B’elanger和Giroux[1]的定理1获得。Weill[12]提出了一个类似的系统，假设所有资产的渴望都是一样的。2.2. 部分细分市场。在这类模型中，没有持有资产的买家带着他们想要购买的特定资产进入市场。因此，投资者类型的集合由E={（l，n），（hi，o），（hi，n），（li，o）}i给出∈I.与之前一样，第一个字母表示投资者的内在流动性状态，第二个字母表示投资者是否拥有资产。在这种情况下，急切性的参数化如下：如果一个投资者最初不拥有任何资产，并且是低类型的，那么变为高类型的转换强度为e，现在取决于资产类型。如果Hein最初不拥有任何资产，但属于高类型，他将寻求购买aspeci fic asset i，而他成为低类型的转换强度现在也取决于资产类型。然而，如果投资者最初购买特定资产i，并且是高类型（即，他希望保留自己的资产），则变为低类型的转换强度为γdi。如果他最初拥有特定资产，但属于低类型，则becominga high type的转换强度为γui。

此外，投资者之间以λi的速率相遇，但只有当（li，o）类型的投资者遇到（hi，n）类型的投资者时，才会发生资产交换。因此，我们有以下投资者类型比例的动力系统，每个z测量ut（z）∈ E、 由具有k+1约束的3K+1方程组成：˙ut（hi，n）=-λiut（hi，n）ut（li，o）+eγuiut（l，n）- eγdiut（hi，n），我∈ I（8）˙ut（l，n）=Xi∈IλIut（hi，n）ut（li，o）-十一∈Ieγuiut（l，n）+Xi∈Ieγdiut（hi，n）（9）˙ut（hi，o）=λiut（hi，n）ut（li，o）+γuiut（li，o）- γdiut（hi，o），我∈ I（10）˙ut（li，o）=-λiut（hi，n）ut（li，o）- γuiut（li，o）+γdiut（hi，o），我∈ I（11）8 B′elage等人，在ut（hi，o）+ut（li，o）=mi的约束下，我∈ 伊克西∈Imi+Xi∈Iut（hi，n）+ut（l，n）=1双资产市场（K=2）中这类模型的投资者之间的动态示意图如图2所示。所有者（h1，o）所有者（h2，o）卖方（l1，o）卖方（l2，o）集合（l，n）买方（h1，n）买方（h2，n）λuγdγuγdγuγdγuγdγ图2注意，可以通过将（8）的每个方程添加到（9）中来消除之前系统的方程（9）。类似地，将（10）中的每一个等式与（11）中的相应等式相加，即可将其消去。

然后将系统简化为以下2K方程组：˙ut（hi，n）=-λiut（hi，n）ut（li，o）+eγuiut（l，n）- eγdiut（hi，n），我∈ I˙ut（li，o）=-λiut（hi，n）ut（li，o）- γuiut（li，o）+γdiut（hi，o），我∈ I（12）具有多个资产的OTC市场模型，9具有1+K约束ut（hi，o）+ut（li，o）=mi，我∈ I（13）Xi∈Imi+Xi∈Iut（hi，n）+ut（l，n）=1（14）系统（12）是我们的主方程，我们定义强度度量m，如下所示我∈ I:m（s，（hi，n）；（hi，o））=λius（li，o）；m（s，（li，o）；（l，n））=λius（hi，n）；m（s，（li，o）；（hi，o））=γui；m（s，（嗨，o）；（li，o））=γdi；m（s，（l，n）；（hi，n））=eγui；m（s，（hi，n）；（l，n））=eγdi；对于s∈ [t，∞), 其他条件为0。Vayanos和Wang[11]提出了一个类似的双资产市场。3.ODE系统的稳态。当系统（5）和（12）的左侧等于零时，我们有一个稳态。也就是说，不再依赖时间。3.1. 非细分市场。这里，我们需要求解以下方程组：0=-u（h，n）Xi∈IλIu（li，o）+γuu（l，n）- γdu（h，n）（15）0=-λiu（h，n）u（li，o）- γuiu（li，o）+γdiu（hi，o）， ∈ I（16）首先，请注意，我们可以通过使用约束方程（7）来消除（15）中的u（l，n）。因此，（15）变成0=-u（h，n）Xi∈IλIu（li，o）+γu1-十一∈伊米- u（h，n）！- γdu（h，n）=-u（h，n）Xi∈IλIu（li，o）+γu1-十一∈伊米！- γu（h，n）（17）10 B′elage等，其中γ，γd+γu。

此外，为了简化最后一个方程，我们将（16）到（17）的K方程减去0=-u（h，n）Xi∈IλIu（li，o）+Xi∈I[λIu（h，n）u（li，o）+γuiu（li，o）- γ二u（hi，o）]+γu1-KXi=1mi！- γu（h，n）=Xi∈Iγuiu（li，o）-十一∈Iγdiu（hi，o）+γu1-十一∈伊米！- γu（h，n）通过使用约束方程（6）替换上一个方程中的每个u（hi，o），我们得到0=Xi∈Iγuiu（li，o）-十一∈Iγdi（mi- u（li，o））+γu1-十一∈伊米！- γu（h，n）=Xi∈IγIu（li，o）-十一∈Iγdimi+γu1-十一∈伊米！- γu（h，n）（18），其中γi，γdi+γui。此外，（16）中的每一个K方程都给出了等式u（li，o）=γdimiλiu（h，n）+γi（19），可以替换为（18）到haveF（u（h，n）），Xi∈IγIγdimiλIu（h，n）+γI-十一∈Iγdimi+γu1-十一∈伊米！- γu（h，n）。（20） 然后，我们需要求解F（x）=0的x，u（h，n）。因此我们得到u（h，n），从中我们得到（6）u（l，n）=1- u（h，n）-圆周率∈Imi，每个u（li，o）的标识（19），最后，每个u（hi，o）=mi- u（li，o），乘以（7）。这里的挑战是求解F（x）=0。首先，请注意我们有1。F（0）=γu1.-圆周率∈伊米> 0，因为γu>0和π∈Imi<1；2.F1.-圆周率∈伊米< -γd1.-圆周率∈伊米< 0;3.F（x）是x的递减函数≥ 所以在0和1之间有一个正根-圆周率∈它总是可以用数字来计算的。因此，对于任何具有多个资产的K.OTC市场模型，始终存在一个固定解u（h，n）。部分细分市场。

根据我们的主方程（12），我们需要求解以下方程组：0=-λiu（hi，n）u（li，o）+eγuiu（l，n）- eγdiu（hi，n），我∈ I（21）0=-λiu（hi，n）u（li，o）- γuiu（li，o）+γdiu（hi，o），我∈ I（22）具有u（hi，o）+u（li，o）=mi的约束条件，我∈ I（23）Xi∈Imi+Xi∈Iu（hi，n）+u（l，n）=1（24）使用每个约束条件（23），并在（22）的每个等式中用它们替换u（hi，o），我们得到0=-λiu（hi，n）u（li，o）- γuiu（li，o）- γdiu（li，o）+γdimi，我∈ 因此i（li，o）=γdimiλiu（hi，n）+γi，我∈ I（25）式中，γI，γui+γdi。现在，将每个（22）减去每个（21），并使用约束（24）代替u（l，n），我们得到：0=eγui“1”-十一∈伊米-十一∈你好，Iun#- eγdiu（hi，n）+γuiu（li，o）- γdiu（hi，o），我∈ 我=> eγiu（hi，n）=eγui1-十一∈伊米！- eγuiXj6=iu（hj，n）+γuiu（li，o）- γdiu（hi，o），我∈ i使用约束（23）代替u（hi，o）并用（25）代替u（li，o），我们最终得到：u（hi，n）=-eγuieγiXj6=iu（hj，n）+γiγdimieγi（λiu（hi，n）+γi）-γdieγimi+eγuieγi1-十一∈伊米！，我∈ I（26）因此，我们必须求解K个未知量u（hi，n）中的非线性K方程组。一旦我们解出了u（hi，n），我们就可以通过（25）和（12）得到u（li，o）。B’ELANGE等人推导出u（hi，o）=mi-u（li，o），乘以（23），且u（l，n）=1-圆周率∈伊米-圆周率∈Iu（hi，n），by（24）。由于无论市场是非细分市场还是部分细分市场，K=1的情况都是相同的，因此我们得到了上一小节的结果。我们将在下一小节中证明K=2的情况。3.2.1. 两种资产的特例。

从（26）到我∈ {1，2}，我们得到了以下要求解的系统：u（h1，n）=-eγu1eγu（h2，n）+γγd1meγ（λu（h1，n）+γ）+eγu1eγ（1- M- m）-γd1eγmu（h2，n）=-eγu2eγu（h1，n）+γγd2meγ（λu（h2，n）+γ）+eγu2eγ（1- M- m）-γd2eγmor通过重新调整参数：u（h2，n）=-eγeγu1u（h1，n）+γγd1meγu1（λu（h1，n）+γ）+1- M- M-γd1eγu1m（27）u（h1，n）=-eγeγu2u（h2，n）+γγd2meγu2（λu（h2，n）+γ）+1- M- M-γd2eγu2m（28）注意，第一条曲线（27）通过集合{（x，y）}中的以下两点，其中x，u（h1，n）和y，u（h2，n）：（0，0）≤ (0 , 1 - M- m）≤ （0,1）和1.- M- M- (1 - M- m）eγeγu1- 1.+γλ(1 - M- m） +γ- 1.γd1eγu1m≤ （1,0）因为eγeγu1=eγu1+eγd1eγu1>1。通过对称，我们得到第二条曲线（28）通过点（0，0）≤ (1 - M- m、 0）≤ （1,0）和- (1 - M- m）eγeγu2- 1.+γλ(1 - M- m） +γ- 1.γd2eγu2m，1- M- M≤ （0,1）因为γeγu2>1。因此，这两条曲线必须在正单位平方内相交，我们有一个稳定定律。有多种资产的场外交易市场模型134。资产定价。让C（t）表示消费过程。假设U为自性函数，r为货币市场利率（假定为常数）。与之前一样，我们还有Z（t），这是描述投资者类型的非齐次马尔科夫链（类似于杜菲、G^arleanu和佩德森[6]）。我们有以下有限期期望效用最大化问题：sup{C（v），θ（v），…，θK（v）}EZ∞te-r（v）-t） U（C（v））dv | Z（t）=Z，W（t）=W（29）当财富过程{W（t），t≥ 满足以下等式：dW（t）=rW（t）dt- C（t）dt+Xi∈我θi（t）δhi- δdi{Z（t）=（li，o）}dt- Pi（t）dθi（t）（30）W（0）=W初始财富，Pi（t）是代理人之间的交易价格。θi（t）是θi（t）定义的第i项资产的所有权过程=1.如果投资者拥有资产i，即。

如果Z（t）∈ {（hi，o），（li，o）}0，否则（31）注意，这里的dθi（t）只是θi（t+）的简写形式- θi（t）-).继Du^arleanu和Pedersen[6]之后，我们将简单地假设投资者是风险中性的，也就是说我们可以让U（C（t））=C（t）。因此，从（29）中，我们定义了以下优化问题：I（t，W（t），Z（t））=sup{C（v），θ（v），…，θK（v）}EZ∞te-r（v）-t） C（v）dv | Z（t）=Z，W（t）=W（32）根据预算等式C（t）dt=rW（t）dt- dW（t）+dA（t）（33）其中dA（t），Xi∈我θi（t）δhi- δdi{Z（t）=（li，o）}dt- Pi（t）dθi（t）通过（32）和（33），我们可以写∞te-r（v）-t） C（v）dv=Z∞特雷-r（v）-t） W（v）dv-Z∞te-r（v）-t） dW（v）+Z∞te-r（v）-t） dA（v）=W（t）+Z∞te-r（v）-t） dA（v），由It^o的引理14 B’ELANGE等人和thusI（t，W（t），Z（t））=sup{C（v），θ（v），…，θK（v）}EW（t）+Z∞te-r（v）-t） dA（v）|Z（t）=Z，W（t）=W= sup{C（v），θ（v），…，θK（v）}w+EZ∞te-r（v）-t） dA（v）|Z（t）=Z4.1. 本征值V（t，z）。我们现在要计算每个州在时间tV（t，z），E时的内在价格Z∞te-r（v）-t） dA（v）|Z（t）=Z.（35）设τ为时间t后链Z（t）中第一次跳跃的时间，因此我们可以重写（35）asV（t，Z）=EZτte-r（v）-t） dA（v）|Z（t）=Z+ EZ∞τe-r（v）-t） dA（v）|Z（t）=Z.通过条件迭代，第二项可以写成Z∞τe-r（v）-t） dA（v）|Z（t）=Z= EEZ∞τe-r（v）-t） dA（v）|Z（τ）| Z（t）=Z= EEZ∞τe-r（（v）-τ )+(τ -t） dA（v）| Z（τ）| Z（t）=Z= EE-r（τ）-t） EZ∞τe-r（v）-τ）dA（v）|Z（τ）| Z（t）=Z= Ehe-r（τ）-t） V（τ，Z（τ））|Z（t）=zi，by（35）和thusV（t，Z）=EZτte-r（v）-t） dA（v）|Z（t）=Z+ Ehe-r（τ）-t） V（τ，Z（τ））|Z（t）=zi。在接下来的小节中，我们将介绍每个状态z的内在值∈ 对于非分段和部分分段模型。计算细节见附录A.1。几种资产的场外交易市场模型154.1.1。非细分市场的内在价值。此类模型的计算详情见附录A.1.1。

结果是：V（t，（l，n））=Z∞电视（s，（h，n））γuexp{-（γu+r）（s）- t） }ds（36）V（t，（h，n））=Xi∈伊兹∞t（V（s，（hi，o））- π（s））λius（li，o）（37）×exp(-Zstr+γdi+Xi∈IλIuv（li，o）！dv）ds+Z∞tV（s，（l，n））γdi×exp(-Zstr+γdi+Xi∈IλIuv（li，o）！dv）dsV（t，（hi，o））=Z∞TZste-r（v）-t） δhidvγdiexp{-γdi（s）- t） }ds（38）+Z∞电视节目{-（γdi+r）（s）- t） }dsV（t，（li，o））=Z∞TZste-r（v）-t） （δhi- δdi）dv（γui+λius（h，n））（39）×exp-Zst（γui+λiuv（h，n））dvds+Z∞电视（s，（hi，o））γui×exp-Zst（γui+r+λiuv（h，n））dvds+Z∞t（V（s，（l，n））+Pi（s））λius（h，n）×exp-Zst（γui+r+λiuv（h，n））dvds4。1.2. 部分细分市场的内在价值。此类模型的计算详情见附录A.1.2。B’ELANGE等人的结果是：V（t，（l，n））=Xi∈伊兹∞电视（s，（hi，n））eγui（40）×exp(-r+Xi∈我就是！（s）- t） ）dsV（t，（hi，n））=Z∞t（V（s，（hi，o））- Pi（s））λius（li，o）（41）×exp-Zst（eγdi+r+λiuv（li，o））dvds+Z∞tV（s，（l，n））eγdi×exp-Zst（eγdi+r+λiuv（li，o））dvdsV（t，（hi，o））=Z∞tγdiexp{-γdi（s）- t） }Zste-r（v）-t） δhidvds（42）+Z∞tγdiexp{-（γdi+r）（s）- t） }V（s，（li，o））dsV（t，（li，o））=Z∞TZste-r（v）-t） （δhi- δdi）dv（γui+λius（hi，n））（43）×exp-Zst（γui+λiuv（hi，n））dvds+Z∞电视（s，（hi，o））γui×exp-Zst（γui+r+λiuv（hi，n））dvds+Z∞t（V（s，（l，n））+Pi（s））λius（hi，n）×exp-Zst（γui+r+λiuv（hi，n））dvds4。2.为V（t，z）而作的颂歌。当我们想要计算稳定价格时，首先需要计算每个状态z的V（t，z）的导数。我们可以从上一节中注意到，V（t，z）的形式总是V（t，z）=mXk=1Z∞tgk（z；t，s）dsOTC市场模型具有多个资产17因此，我们有˙V（t，z）=电视（t，z）=tmXk=1Z∞tgk（z；t，s）ds=mXk=1tZ∞tgk（z；t，s）ds=mXk=1-gk（z；t，t）+z∞Ttgk（z；t，s）ds这些计算的明确细节见附录A.2.4.2.1。对于非细分市场，ODE代表V（t，z）。

此类模型的计算细节见附录A.2.1。结果是：˙V（t，（l，n））=-V（t，（h，n））γu+（γu+r）V（t，（l，n））（44）˙V（t，（h，n））=-十一∈I（V（t，（hi，o））- Pi（t））λiut（li，o）- γdV（t，（l，n））（45）+γd+r+Xi∈IλIut（li，o）！V（t，（h，n）˙V（t，（hi，o））=（γdi+r）V（t，（hi，o））- γdiV（t，（li，o））- δhi（46）˙V（t，（li，o））=（γui+r+λiut（h，n））V（t，（li，o））- γuiV（t，（hi，o））（47）-λiut（h，n）（V（t，（l，n））+Pi（t））- （δhi- δdi）4.2.2。针对部分细分市场的V（t，z）ODE。此类模型的计算详情见附录A.2.2。结果是：˙V（t，（l，n））=-十一∈IV（t，（hi，n））eγui+r+Xi∈我就是！V（t，（l，n））（48）˙V（t，（hi，n））=- （V（t，（hi，o））- Pi（t））λiut（li，o）- V（t，（l，n））eγdi（49）+（eγdi+r+λiut（li，o））V（t，（hi，n）˙V（t，（hi，o））=（γdi+r）V（t，（hi，o））- γdiV（t，（li，o））- δhi（50）˙V（t，（li，o））=（γui+r+λiut（hi，n））V（t，（li，o））- γuiV（t，（hi，o））（51）-λiut（hi，n）（V（t，（l，n））+Pi（t））- （δhi- δdi）4.3。均衡内在价值和价格。平衡内在值通过以下方式计算：电视（t，z）对于每个状态z，V（z）=0∈ E.18 B’ELANGE等人4.3.1。非细分市场的均衡价格。

从四个方程（44），（45），（46）和（47），我们得到以下系统：0=-γuV（h，n）+（γu+r）V（l，n）0=-十一∈I（V（hi，o）- Pi）λiu（li，o）- γdV（l，n）+γd+r+Xi∈IλIu（li，o）！V（h，n）0=（γdi+r）V（hi，o）- γdiV（li，o）- 嗨，我∈ I0=（γui+r+λiu（h，n））V（li，o）- γuiV（hi，o）- λiu（h，n）（V（l，n）+Pi）- （δhi- δdi），我∈ 在编写这个系统时，我们得到rv（l，n）=γu（V（h，n）- V（l，n））rV（h，n）=Xi∈IλIu（li，o）（V（hi，o）- V（h，n）- π）+γd（V（l，n）- V（h，n））rV（hi，o）=γdi（V（li，o）- V（hi，o））+δhi，我∈ IrV（li，o）=λiu（h，n）（V（l，n）- V（li，o）+Pi）+γui（V（hi，o）- V（li，o））+δhi- δdi，我∈ 我的写作方式与杜菲、G^Arleanuan和Pedersen[6]附录中的系统A5类似，但没有市场庄家（ρ=0），我们有以下广义系统：V（l，n）=γuV（h，n）γu+rV（h，n）=Pi∈IλIu（li，o）（V（hi，o）- Pi）+γdV（l，n）γd+r+Pi∈IλIu（li，o）V（hi，o）=γdiV（li，o）+δhiγdi+r，我∈ IV（li，o）=λiu（h，n）（V（l，n）+Pi）+γuiV（hi，o）+δhi- δdiγui+r+λiu（h，n），我∈ 在下一步中，为了找到价格Pi，我们首先根据买家的保留价格改写系统hi=V（hi，o）- V（h，n）和卖方li=V（li，o）- V（l，n）。我们必须这样做锂≤ 圆周率≤ 嗨，这意味着（52）π=（1- q）li+q你好∈ [0，1]代表代理人的议价能力，并假设有多个资产的toOTC市场模型对于每个资产i是相同的∈ 我

那么，rV（l，n）=γu（V（h，n）- V（l，n））rV（h，n）=Xi∈IλIu（li，o）（1）- q）(你好- li）+γd（V（l，n）- V（h，n））rV（hi，o）=γdi（V（li，o）- V（hi，o））+δhi，我∈ IrV（li，o）=λiu（h，n）q(你好- li）+γui（V（hi，o）- V（li，o））+δhi- δdi，我∈ 定义, V（l，n）和e、 n，V（h）- V（l，n）并重写系统：r= γu呃e=Xi∈IλIu（li，o）（1）- q）(你好- （李）- （γu+γd）呃hi=γdi(锂- 你好- （e）-十一∈IλIu（li，o）（1）- q）(你好- li）+γde+δhi，我∈ 红外光谱li=λiu（h，n）q(你好- （李）- γui(锂- 你好- （e）- γue+δhi- δdi，我∈ 它是由2K+2个未知数组成的2K+2方程组的线性系统。如果我们确定了矢量（53） , (, , HH香港，LLlK）Tand（54）δ，（0，0，δh1，δh2，…，δhK，δh1- δd1，δh2- δd2。。。，δhK- δdK）T，它给出了以下需要求解的系统（类似于杜菲、G^arleanu和Pedersen[6]附录中的系统A7）：（55）M = δ式中，M是附录B中定义的（2K+2）×（2K+2）系数矩阵。1.如果M是可逆的，我们可以通过计算 = M-1δ，然后使用（52）计算资产价格。4.3.2。部分细分市场的均衡价格。

因此，从˙V（t，z）的四个方程（48）、（49）、（50）和（51）中，它给出了以下20个B’ELANGE等人的系统：0=-十一∈IV（t，（hi，n））eγui+r+Xi∈我就是！V（t，（l，n））0=-λiu（li，o）（V（hi，o）- （圆周率）- eγdiV（l，n）+（eγdi+r+λiu（li，o））V（hi，n），我∈ I0=（γdi+r）V（hi，o）- γdiV（li，o）- 嗨，我∈ I0=（γui+r+λiu（hi，n））V（li，o）- γuiV（hi，o）- λiu（hi，n）（V（l，n）+Pi）- （δhi- δdi），我∈ 通过重写这个系统，我们得到了rv（l，n）=Xi∈Ieγui（V（hi，n）- V（l，n））rV（hi，n）=λiu（li，o）（V（hi，o）- V（嗨，n）- π）+eγdi（V（l，n）- V（嗨，n）），我∈ IrV（hi，o）=γdi（V（li，o）- V（hi，o））+δhi，我∈ IrV（li，o）=λiu（hi，n）（V（l，n）- V（li，o）+Pi）+γui（V（hi，o）- V（li，o））+δhi- δdi，我∈ 在下一步中，为了找到价格Pi，我们首先根据买家的保留价格改写系统hi=V（hi，o）- V（嗨，n）和卖家li=V（li，o）- V（l，n）。我们必须这样做锂≤ 圆周率≤ 嗨，这意味着（56）π=（1- q）li+q你好∈ [0,1]代表代理人的议价能力，并假设每项资产的议价能力相同∈ I.那么，我们有v（l，n）=Xi∈Ieγui（V（hi，n）- V（l，n））rV（hi，n）=λiu（li，o）（1- q）你好- 锂+ eγdi（V（l，n）- V（嗨，n）），我∈ IrV（hi，o）=γdi（V（li，o）- V（hi，o））+δhi，我∈ IrV（li，o）=λiu（hi，n）q(你好- li）+γui（V（hi，o）- V（li，o））+δhi- δdi，我∈ 定义, V（l，n）和艾未未（嗨，n）- V（l，n）并重写系统：r=十一∈Ieγuieirei=λiu（li，o）（1）- q）(你好- （李）- eγdi工程安装-十一∈Ieγui工程安装，我∈ 红外光谱hi=γdi(锂- 你好- ei）- λiu（li，o）（1）- q）(你好- li）+eγdiei+δhi，我∈ 红外光谱li=λiu（hi，n）q(你好- （李）- γui(锂- 你好- ei）-十一∈Ieγui艾未未！+δhi- δdi，我∈ 具有多个资产的IOTC市场模型，这是一个3K+1未知数中3K+1方程的线性系统。

矢量（如果有57个） , (, EE埃克，HH香港，LLlK）Tand（58）δ，（0，0，0，…，0，δh1，δh2，…，δhK，δh1- δd1，δh2- δd2。。。，δhK- δdK）T，它给出了以下要求解的系统：（59）M = δ式中，M是附录B.2中定义的（3K+1）×（3K+1）矩阵。如果M是可逆的，我们可以通过计算来求解这个系统 = M-1δ，然后使用（56）计算资产价格。具有两种资产的市场的数值示例。本节包含我们两类模型的一些数值结果。我们给出这些例子主要是为了说明。我们将使用（并修改）Du ffee[5]中使用的参数。我们还请读者参考本书，以获得这些参数的经验证明。也就是说，对于非分段类，我们假设γu1=γu2=γu=5，γd1=γd2=γd=0.5，对于分段类，γu1=eγu1=γu2=eγu2=5，γd1=eγd1=γd2=eγd2=0.5。此外，我们假设λ=λ=1250。为了进行比较，我们将m=0.8的有效值分成两部分，并使用m=m=0.4。我们可以在表1中看到，对于非分段类别，在这些参数下，u（l1，o）=u（l2，o）=u（l，o）/2和u（h1，o）=u（h2，o）=u（h，o）/2，其中u（l，o）和u（h，o）是杜菲单一资产市场的稳态。还要注意的是，价格与Du ffee[5]中获得的价格相同且相等。部分细分市场的稳态比例不同，因为状态的预期回报时间不同。例如，返回（li，o）的时间更短，因为eγu1+eγu2>γusou（li，o）等于预期返回时间的倒数，大于非细分市场。相反，我们得到一个较小的u（hi，o），因为通过（hj，o）的链中的周期较长，J6=i。

反过来，资产（li，o）的错误配置会略微降低稳态价格（参见图2的前一个方案）。现在我们将注意力转向价格对λ的敏感性。我们仍然假设λ=λ=λ。我们可以普遍看到，当摩擦减少时，价格将趋于完美的市场价格（1/r=20），22 B’ELANGE等人。表1：模型输出。稳态比例和均衡价格。资产iu（hi，n）u（h，n）u（li，o）u（hi，o）u（l，n）引脚非分段资产1-0.1118 0.0014 0.3986 0.0882 18.5451资产2-0.1118 0.0014 0.3986 0.0882 18.5451Pi0。0028 0.7972分段资产1 0.0772-0.0020 0.3980 0.0456 18.3930资产2 0.0772-0.0020 0.3980 0.0456 18.3930 PI0。15440.00390.7961i。e、 当λ→ ∞. 不过，部分细分市场中第二项资产的价格表现出不同的行为。其参数γd2和γu2加倍（见图3）。价格（$）资产1（非分段）资产2（非分段）资产1（分段）资产2（分段）图3：γu=γu1=eγu1=eγu2=5，γd=γd2=eγd1=eγd2=0.5，γu2=2γu1，γd2=2γd1。6.渐近稳定性。通过计算ourODE系统雅可比矩阵的特征多项式，分析了ourODE系统的渐近稳定性。如果我们能证明所有特征值都有负实部，那么我们就有渐近稳定性（见Braun[2]）。我们直接这样做，其方式类似于Weill[12]对于任何给定市场模型的非细分市场，以及多个资产和多个资产。因此，它给了我们，特别是，一个资产的部分分割市场的渐近稳定性。

为了证明具有两种资产的部分分割市场的渐近稳定性，我们采用了theRouth-Hurwitz准则，该准则给出了多项式系数的特定条件，以确保其所有根的实部为负（seeDorf和Bishop[3]）。如前所述，我们在后一种情况下的局限性来自这样一个事实：随着资产数量的增加，劳斯-赫维茨稳定性标准变得非常难以验证。因为雅可比计算涉及到系统接近稳态的线性近似，所以我们实际上证明了局部稳定性。也就是说，对于接近稳态的初始定律子集，我们有系统的渐近稳定性。杜菲、G^arleanu和Pedersen[6]更一般地证明了他们的系统对于任何初始定律的稳定性。他们的技术依赖于他们拥有单一资产这一事实，以及他们对投资者热情的假设。为了简化以下小节中的符号，我们定义了eγi，eγui+eγdi，γi，γui+γdiandγ，γu+γd。此外，让ξ∈ C表示每个系统的雅可比矩阵的下列特征多项式的特征值。6.1. 非细分市场。对于这类模型，我们将通过直接证明雅可比矩阵的所有特征都有负实部来证明系统对于任意K资产的稳定性。设x，ut（l1，o），x，ut（l2，o），xK，ut（lK，o）和v，ut（h，n）。然后，通过将约束（7）替换为ut（l，n），并将约束（6）替换为每个ut（hi，o），我们可以将系统（5）重写为：x=-λxv- γx+γd1mx=-λxv- γx+γd2m。。。xK=-λKxKv- γKxK+γdKmKv=-十一∈Iλixiv- γv+γu1-十一∈伊米！24 B’ELANGE等人。我们计算系统在稳态时的雅可比矩阵如下：=-λv- γ0 ... 0-λx0-λv- γ... 0-λx。。。。。。。。。。。。。。。0 0 ... -λKxK- γK-λKxK-λv-λv。。。-λKv-圆周率∈Iλixi- γ=-γ0 ... 0 00 -γ... 0 0...............0 0 ...