投资组合收益率分布：非平稳样本统计

2022-4-29 17:31:24

投资组合收益分布：具有随机相关性的样本统计Desislava Chetalova，a）Thilo a.Schmitt，Rudi Sch¨afer和Thomas GuhrFakult¨at f¨ur Physik，Universit¨at Duisburg–Essen，Duisburg，Germany（日期：2014年6月17日）。我们考虑从多元正态分布中提取的随机向量，并在存在随机相关性的情况下计算样本统计。为此，我们构造了一个随机相关矩阵集合，并在此集合上平均正态分布。由此产生的分布包含第二类阿莫迪贝塞尔函数，其行为在中部和尾部与多元正态分布显著不同。然后将该结果应用于资产回报。我们使用纳斯达克综合指数1992年至2012年期间的每日数据与经验收益率分布进行了比较。比较显示出良好的一致性，平均投资组合收益率分布很好地描述了数据，尤其是在分布的中心部分。这反过来又证实了我们的ansatz通过集合平均来模拟非平稳性。关键词：相关建模；非平稳性；市场动态；投资组合分析；随机模型；非高斯分布。金融市场是非平稳的。非平稳性尤其表现在相关性随时间变化的事实上（参见Bekaert&Harvey 1995、Longin&Solnik 1995、Fenn等人2011、M¨unnix等人2012）。这会影响包含相关金融工具的投资组合的回报分布。我们通过一种基于随机矩阵的新方法来考虑非平稳性。我们强调，我们的随机矩阵方法在概念上不同于之前观察到的相关矩阵的随机矩阵行为。它被发现（Laloux等人，1999年，Plerou等人。

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2022-4-29 17:31:28

1999年），大部分特征值密度符合马琴科-帕斯图尔定律（Marchenko&Pastur 1967）。后者是由于“噪声修饰”，也就是说，它是时间序列不确定性的结果。相反，正如我们详细讨论的那样，我们的方法处理非平稳性问题。在相关收益的情况下，人们感兴趣的是它们的联合分布，其中包含关于个体分布及其依赖结构的全部信息。在这里，我们推导了一个多元分布模型，该模型考虑了相关性的影响，共同模拟了相关市场的股票收益。更准确地说，我们解决了这样一个问题：如果我们假设样本的每一个阈值都是多元正态分布，但使用随机抽取的协方差或相关矩阵，那么样本统计数据会是什么样的。在协方差矩阵可以被视为固定的短时间尺度上，联合正态性假设是合理的（Schmitt等人，2013）。我们通过在Wishart随机相关矩阵集合上求平均来解析地导出样本统计。由此产生的多元概率密度函数（pdf）可以表示为麦克唐纳函数，即第二类阿莫迪贝塞尔函数。它依赖于平均协方差矩阵和控制随机矩阵集合方差的单个参数。新的多元分布属于椭圆分布的大家族（Cambanis et al.1981），它概括了多元正态分布，同时记录了它的许多有用性质。此外，它还包括几个重尾分布，这使得它对金融数据建模非常有吸引力。特别是，在对多元财务回报进行建模的背景下，多元学生的t分布受到了很大关注（见Breymann等人。

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2022-4-29 17:31:32

2003年，马沙尔等人，2003年）。我们的方法与单变量分布的复合或混合方法有关，但不同（seeDubey 1970、Clark 1973、Barndor ff-Nielsen等人，1982）。这些方法的动机是对波动性波动的经验观察（参见Black 1976、Christie 1982、Tauchen&Pitts 1983），以及GARCH（Engle 1982、Bollerslev 1986）和EGARCH（Nelson 1991）等自回归模型，旨在捕捉这些波动性。我们指出，我们提出了一个无条件收益分布模型，考虑了随机矩阵集合的相关性的非平稳性。这与多元GARCHMODEL（参见Engle 2002、Tse&Tsui 2002、Golosnoy等人2012）不同，后者通过随机过程对相关性进行建模。论文的结构如下。以秒计。II.我们给出了随机矩阵方法和样本统计的分析计算，一般情况下，随机样本具有多元正态分布实现。Ina）电子邮件：desislava。chetalova@uni-到期。德塞克。III我们将我们的发现转化为财务数据，并将我们的结果应用于资产回报的样本统计。在这里，我们假设正态分布的股票收益率具有随机相关性。我们推导出一个单变量pdf，用于portfolioreturn，并将其与观察期1992年纳斯达克综合指数的经验数据进行比较-2012年，安科。四、我们在Sec中总结我们的发现。五、二。相关平均正态分布考虑一个K维随机向量样本，每个样本来自多元正态分布和pdfg（x∑s）=√2πK√det∑sexp-x+∑-1sx, （1）其中，∑sis表示实现x的协方差矩阵，+表示转置。

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2022-4-29 17:31:36

为了以后的目的，我们把这个PDF写成傅里叶变换G（x |∑s）=（2π）KZd[ω]e-iω+xexp-ω+∑sω, （2）其中ω是K分量实向量，测度d[ω]是各个元素微分的乘积。积分域始终是整个实轴。协方差矩阵在观测值之间变化。我们将协方差矩阵x替换为随机矩阵∑s来考虑这一点-→ σW W+σ，（3）其中K×K对角矩阵σ包含每个随机变量的标准偏差σ=diag（σ，…，σK）。K×N矩形矩阵W的元素来自于一个高斯分布，pdfw（W | C，N）=rN2πKN√德特CNexp-Ntr W+C-1W, （4）其中C是平均相关矩阵。因此，我们构造了一个随机相关矩阵W W+的集合，其遵循形式为（Wishart 1928）~W（X | C，N）的Wishart分布=√NKN√det XN-K-1.√KNΓK（N/2）√德特CNexp-Ntr C-1X（5）和X≡ W+和多元伽马函数ΓK（·）。Wishart相关矩阵集合反映了平均相关矩阵C。通过构造，模型相关矩阵的集合平均值等于C，DW W+E=Zd[W]W（W | C，N）W W+=C，（6），其中度量d[W]是矩阵元素差异的乘积。我们指出，参数与分布的逆方差成正比（5）var（Xij）=cij+ciicjjN，（7）其中cijis是平均相关矩阵C的第ij个元素。N越大，W+元素的分布越窄。在极限N→ ∞ 随机相关矩阵W W+是固定的，没有波动。我们得到了N情形下的可逆随机相关矩阵≥ 然而，对于N<K，得到的矩阵是不可逆的。

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2022-4-29 17:31:41

然而，正如A中所讨论的，pdf（1）是根据适当的δ函数定义的。我们可以将完整的协方差矩阵∑=σCσ表示为随机矩阵∑s，而不是相关矩阵-→ AA+（8），其中AA+为Wishart随机矩阵。这导致了相同的结果，正如B中所讨论的，并明确显示在施密特等人（2013年）中。从数学上讲，无论我们使用arandom协方差还是随机相关矩阵进行计算，都没有区别。因此，我们的方法与经验观测的波动性并不矛盾。我们的关键思想是在高斯分布（4）上用随机协方差矩阵（3）平均多元正态分布（1），hgi（x | C，N）=Zd[W]W（W | C，N）g（x |σW+σ）。（9）将傅里叶变换（2）插入式（9）中，得到hgi（x | C，N）=Zd[W]rN2πKNexp-Ntr W+C-1W×√德特C-N（2π）KZd[ω]e-iω+xexp-ω+σW W+σω. （10）我们将指数中的标量双线性形式改写为ω+σW W+σω=tr（W+σω+σW）。我们合并这两条记录道，得到athgi（x | C，N）=rN2πKN√德特C-N（2π）KZd[ω]e-iω+x×Zd[W]exp-trW+北卡罗来纳州-1+ σωω+σ. （11）在这里，以及以后类似的情况下，我们可以交换积分顺序，因为傅里叶表示（2）在分布意义上是模糊的，而高斯分布不影响任何收敛问题。因为W上的积分是简单的高斯分布，所以我们有hgi（x | C，N）=√NKN√德特C-N（2π）KZd[ω]e-iω+xpdet（NC-1+σωω+σ）N.（12）因为σωω+σ是秩单位的并矢矩阵，我们发现（NC-1+σω+σ）=NK（1+ω+σCσω/N）det C-这意味着hgi（x | C，N）=（2π）KZd[ω]e-iω+xp1+ω+σCσω/NN。（14）我们使用公式aη=Γ（η）∞Zzη-1e-azdz（15）用于实变量和正变量a和η。我们用平方根的半径和N/2来表示a，用N/2来表示η，用q来表示。（14）转化为形式hgi（x | C，N）=（2π）KΓ（N/2）∞Zdz锌-1e-zZd[ω]e-iω+xexp-zNω+σCσω.

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2022-4-29 17:31:44

（16）通过应用傅里叶逆变换，我们得到hgi（x∑，N）=（2π）KΓ（N/2）√det∑∞Zdz锌-1e-zrπNzKexp-N4zx+∑-1x. （17）这里我们介绍了新的固定矩阵∑=σCσ（18），它代表平均协方差矩阵，即C是平均相关矩阵，σ是标准偏差的对角矩阵。我们注意到，等式（17）可以表示为高斯函数的平均值，其参数为x∑-1倍于χ分布的方差z，详见施密特等人（2013）和C。最后，我们在z上进行积分，得到pdfhgi（x∑，N）=rN4πK√K-N+2Γ（N/2）√Nx+∑-1xN-K√det∑KK-N√Nx+∑-1x, （19）其中Kν（·）是第二类ν的修正贝塞尔函数。pdf显著不同于多变量正态分布。它只取决于平均协方差矩阵∑和自由参数n，自由参数n表征∑周围的函数。此外，由于Wishart分布的不变性，向量x仅通过双线性形式x+∑输入结果-1x。尾巴呈指数衰减。N越小，尾巴越重。在极限N→ ∞ pdf收敛于多元正态分布。边缘分布也是K贝塞尔函数，其阶数为（N- 1） /2，见施密特等人（2013年）。我们注意到，我们的模型让人想起贝叶斯分析。特别是，Bekker&Roux（1995）考虑了使用Wishart协方差先验对多元正态分布进行贝叶斯分析，并提供了形式上与我们类似的计算结果。然而，解释是完全不同的，因为在我们的模型中，每个实现都来自不同的分布。此外，我们进一步将结果简化为带标量参数的aBessel函数。三、资产回报的应用我们现在将我们的模型应用于财务回报时间序列。

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2022-4-29 17:31:47

考虑一个由K资产组成的投资组合。返回时间序列由byrk（t）=Sk（t+（t）- Sk（t）Sk（t），（20），其中Sk（t）是时间t和t是返回间隔。如前所述，为了将我们的模型应用于金融数据，我们使用了正态分布资产收益的共同假设。在这个假设下，返回向量的pdf（t）=（r（t），rK（t））在每个固定时间t可以用公式（1）描述，但协方差矩阵不同，因为个人资产之间的相关性随时间变化。然而，如果我们对整个观测周期内返回向量的pdf感兴趣，我们必须对所有相关矩阵进行平均。通过应用上一节的结果，我们得到了平均收益pdfhgi（r |∑，N）=（2π）KΓ（N/2）√det∑∞Zdz锌-1e-zrπNzKexp-N4zr+∑-1r, （21）式中，∑=σCσ是在整个观察期内计算的平均经验协方差矩阵。为了简化表示法，我们在返回中去掉了参数t，但要记住，它们总是在一个给定时间t上测量，并且取决于返回间隔t、在下文中，我们将集中讨论这个结果对投资组合回报的影响。多变量分布（21）与其他地方的数据进行了比较（施密特等人，2013年），并针对物理学观众进行了讨论。比较显示模型和数据之间有很好的一致性，尤其是在分布的中心部分。然而，尾部有一些小偏差。我们现在使用结果（21）来计算投资组合回报的平均pdf。投资组合的收益率由单个资产收益率的加权和sr=KXk=1ukrk=u+r（22）给出，其中uk是第k项资产的权重。

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nandehutu2022

2022-4-29 17:31:51

权重遵循规范化条件pkk=1uk=1。平均投资组合回报率pdf为THNHFI（R |∑，N）=Zd[R]hgi（R |∑，N）δR- u+r(23)=2π+∞Z-∞dνe-iνRZd[r]hgi（r |∑，N）eiνu+r，（24），r上的积分是特征函数。插入pdf（21）我们发现HFI（R∑，N）=（2π）K+1Γ（N/2）√det∑∞Zdz锌-1e-zrNπzK×+∞Z-∞dνe-iνRZd[r]expiνu+r-N4zr+∑-1r. （25）r上的积分是高斯的。进行积分时，我们发现ν上的积分也是高斯的，我们有hfi（R |∑，N）=Γ（N/2）rN4πu+∑u∞Zdz锌-3e-zexp-NR4zu+∑u. （26）最后一个积分是第二类修正贝塞尔函数的表示，这一次是定理（N）- 1)/2. 因此，我们得到了hfi（R∑，N）=√1.-N√πΓ（N/2）rNu+∑uN+1 | R |N-1KN-1 | R | rNu+∑u！（27）投资组合回报的平均pdf。它仅取决于自由参数N，它描述了观察期内相关性的波动强度，以及可根据投资组合权重和固定经验协方差矩阵∑计算的标度变量α=u+∑u，（28）。我们注意到，α是权重u与协方差矩阵∑的双线性形式，因此与整个投资组合的单一有效方差参数具有非常直接的经济相关性。因此，如果我们用下面的方法规范化投资组合回报率R br=R√α、（29）我们最终得到了pdfhfi（bR | N）=√1.-N√πΓ（N/2）√NN+1 | bR |N-1KN-1.|bR|√N, （30）其中N是唯一的自由参数。我们在图1中说明了不同N值的密度函数。注意，随着N值的降低，尾部变得更重。对于较大的N值，pdf接近正态分布。四、与经验投资组合回报率的比较为了将我们的模型与经验数据进行比较，我们考虑了1992年1月至2012年3月期间的纳斯达克综合指数。

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何人来此

2022-4-29 17:31:56

我们考虑了241只股票，这些股票的时间序列是完整的，涵盖了整个观察期。为了计算经验投资组合回报，我们建立了由K个股票组成的投资组合，其中-3-2-10.00.20.40.60.8R^pdfN=2N=3N=5N=50-6-4-20.0010.010.1R^pdfN=2N=3N=5N=50图。1.N的不同值的重定标平均投资组合回报pdf hfi（bR | N）图解，线性（左）和对数（右）绘制。实线、虚线、虚线和虚线分别对应于N=2、3、5和50。从所有可用库存中随机选择。对于每只股票，我们计算给定回报区间内的股票回报，对于每个投资组合，计算相应的投资组合回报。图2显示了重新缩放的经验投资组合的柱状图，其中考虑了600个随机投资组合，每个投资组合包含20只股票。我们使用每日回报，t=1天，考虑从对称均匀分布U中得出的正负权重(-a、 a）当a=0.5时，标准化条件满足。与正态分布（u=0，σ=1）相比，直方图在0附近有更高的峰值，尾部更肥。学生的t分布（ν=12.73）比正态分布更好地描述了尾部，但它无法描述直方图的中心。用极大似然法估计正态分布和Student分布的参数。与这两种分布相比，平均投资组合回报率pdf（30）更接近直方图中心的数据。在尾部，它与学生的t分布相匹配。我们指出，虽然我们的分析结果是针对整数值N得出的，但我们可以很容易地将这个结果推广到实际值。考虑到N的实际值，我们得到了N=3.9的最佳一致性。尽管如此，尾部还是存在一些偏差。

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2022-4-29 17:32:01

我们使用加权Cramer-von Mises统计量，通过最小距离估计方法确定自由参数N，该统计量通常用于强调分布中需要更高灵敏度的部分的模型和经验分布之间的距离（Parr1981，Boos 1982，¨Ozt¨urk&Hettmansperger 1997）。在这里，我们的目标是特别确定分布中心，因为在那里可以观察到模型和数据之间的最佳匹配。为了赋予分布中心更多的权重，我们使用exp形式的高斯函数-y/2c以c=0.07作为加权函数。最大似然法得到的参数N值比最大似然法小约10%，因为它还考虑了尾部。在下文中，我们将直接考虑投资组合回报率R，因为它是与经济相关的数量，并将调查投资组合权重的影响。图3显示了经验投资组合回报率R与平均投资组合回报率pdf（27）的直方图。我们再次考虑从非对称均匀分布中得出的日收益率和权重(-a、 a）a=0.5。最小距离估计法得出N=3.5。根据相应的权重和协方差矩阵计算每个投资组合的投资组合方差α，然后对所有可用投资组合进行平均。理论曲线与中部的直方图吻合良好，尾部有一些偏差。图4显示了不同投资组合产生的α和N值的范围。为投资组合权重选择不同的分布参数会影响投资组合方差α，见图5。它随分布宽度2a单调增加。另一方面，参数N几乎保持不变。现在，我们研究所有权重均为正值的情况，即不允许卖空的情况。无花果

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2022-4-29 17:32:04

6显示了使用日收益率和等权uk=1/K的经验投资组合收益率R的柱状图。柱状图不对称，右边有一条较重的尾巴。尽管尾部的偏差稍显明显，但N=3.2的平均回报pdf仍然与中部的直方图吻合良好。另一方面，投资组合方差远小于统一投资组合权重的情况，这意味着正权重投资组合的风险更低。我们可以根据Markowitz-4-20.00.10.20.30.40.5R^pdf-10-510-40.0010.010.1R^pdfFIG确定一组最佳投资组合权重，而不是随机绘制权重。2.每日收益率和权重的经重新调整的经验投资组合收益率直方图br（纯黑色）~ U(-0.5,0.5）与N=3.9的平均投资组合回报率pdf hf i（bR | N）（红色虚线）相比，线性（左）和对数（右）绘制。绿色虚线表示正态分布N（0，1），蓝色虚线表示学生的t分布（12.73）-0.2-0.10.00.10.2Rpdf-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.0010.010.1RPDFIG。3.每日收益率和权重的经验投资组合收益率R（纯黑）直方图~ U(-0.5,0.5）与α=2.09×10的平均投资组合回报率pdf hfi（R∑，N）（红色虚线）进行比较-3和N=3.5，线性（左）和对数（右）绘制。0.0000.0010.0020.0030.0040.0050.006ΑNFIG。4.英国案例中每个投资组合的投资组合方差α（左）和N值（右）直方图~ U(-0.5, 0.5).0.51.01.52.00.0000.0020.0040.0060.0082a。5.参数α（左）和N（右）与均匀分布宽度2a有关-0.04-0.020.000.020.04Rpdf-0.15-0.10-0.050.000.050.100.150.0010.010.1修订。6.

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2022-4-29 17:32:07

日收益率和等权uk=1/K的经验投资组合回报率R（黑色实线）的直方图与平均投资组合回报率pdf hfi（R∑，N）（红色虚线）的直方图进行比较，α=2.17×10-4，N=3.2，线性（左）和对数（右）绘制。（1952）uopt=∑-1gg+∑g（31），K维向量g=（1，…，1）和协方差矩阵∑，在整个观察期内为给定的股票子集计算。利用最优投资组合权重，我们得到了最小的投资组合方差。与N=3.4的平均投资组合回报率pdf相比，经验投资组合回报率R的直方图如图7所示。直方图不对称，右侧有一条较重的尾巴。我们再次注意到中间部分的一致性和尾部的偏差。事实上，我们发现最小的投资组合方差α，大约比uk=1/K的次优α小1.5倍。到目前为止，我们只考虑了每日收益，t=1天。现在让我们看一下其他返回间隔。图8显示了一天和两个月之间不同重现期的参数α和N。我们观察到9随着时间的推移而增加t、这会导致更像高斯分布。投资组合的方差也在增加。到目前为止，我们已经使用了600个大小为K=20的随机投资组合。如果我们改变投资组合或/和股票的数量呢？增加投资组合的数量会显示更多的直方图尾部。图9显示了改变库存K数量的情况。随着库存K数量的增加，N的值也增加。另一方面，方差减小。换句话说，我们仍然看到多元化的好处-0.04-0.020.000.020.04Rpdf-0.15-0.10-0.050.000.050.100.150.010.1RPFFIG。7.

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kedemingshi

2022-4-29 17:32:11

每日收益和最佳权重的经验投资组合收益率R（黑色实线）与平均投资组合收益率pdf hfi（R∑，N）（红色虚线）的直方图，α=1.38×10-4，N=3.4，线性（左）和对数（右）绘制。0.00000.00050.00100.00150.00200.00250.0030D t交易日交易日图。8.参数α（左）和N（右）与重现期的关系t使用最佳权重。0.000050.000100.000150.00020KΑììììKNFIG。9.参数α（左）和N（右）依赖于每日收益的投资组合规模K，t=1天，最佳体重。结论非平稳性是金融数据的一个共同特征。我们介绍了一种通过Wishart相关矩阵集合来建模非平稳相关的方法。对该集合上的多元正态分布求平均，得到具有指数尾的椭圆分布，可以用第二类修正贝塞尔函数表示。这种方法允许我们推导出由相关股票组成的投资组合回报的pdf。为此，我们假设每个固定时间步的资产回报率为正态分布。这一假设在短时间尺度上是正确的，在短时间尺度上，相关矩阵可以被视为固定的。平均投资组合回报率pdf仅取决于两个参数：具有平均经验协方差矩阵的投资组合权重的双线性形式（代表投资组合方差），以及表征相关性波动强度的自由参数。平均投资组合回报率pdf很好地描述了经验数据，尤其是分布的中心部分。这种行为与投资组合权重的选择无关。尽管如此，尾部还是存在一些偏差。

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大多数88

2022-4-29 17:32:16

这可以追溯到这样一个事实，即虽然随机相关矩阵nsemble的Wishart分布的选择确实是一个合理的假设，但它显然不能捕捉所有的经验细节。然而，我们的结果与第三个十年的数据有着惊人的一致性。对数正态分布方差大于χ分布方差的经验证据表明，选择对数正态分布而不是（4）。这将是未来工作的主题。值得注意的是，平均投资组合收益分布可以很好地描述只有一个自由参数的重尾投资组合收益分布。与学生的t分布相比，它对经验数据的拟合效果更好，t分布是金融经济学中标准的重尾分布之一（见布拉特伯格和戈内德斯1974年、佩罗1994年）。据我们所知，所提出的集成方法在经济学文献中是新的。最近，我们还将其应用于信用风险（Schmitt et al.2014），从而计算出信用组合的平均损失分布。此外，随机矩阵方法将波动相关性的影响降低为表征其波动强度的单一参数。因此，它使我们能够直接从经验收益分布估计给定时间间隔内相关性的波动强度，而不必估计较短时间间隔内的相关性。这是投资组合优化的一个重要问题。附录AWe表明，对于N<K，pdf（1）有很好的定义。我们通过以下方式对协方差矩阵进行对角化∑=U+∧U（A1），使用正交矩阵U=U+和特征值∧的对角矩阵。在N<K的情况下，协方差矩阵有N个正非零和K- N零特征值∧=diag（λ，…，λN，0，…，0）。

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2022-4-29 17:32:20

我们将向量xin旋转到协方差矩阵的特征基上，写出v=Ux，并得到pdfg（v |∧）=√2πK√det∧exp-v+∧-1v=NYk=1√2πλkexp-vk2λkKYk=N+1δ（vk），（A2），这显然是明确定义的。傅里叶变换（2）可以使用相应的推理路线。附录B我们认为BW（A∑，N）=rN2πKN√det∑Nexp-Ntr A+∑-1A（B1）相当于w（w | C，N），其中∑=σCσ，A=σw。为此，我们必须证明Zd[A]bw（A |∑，N）f（A）=Zd[W]W（W | C，N）f（σW）（B2）具有任意测试函数f（A）。根据A=σW改变变量，我们发现Zd[A]bw（A |∑，N）f（A）=（detσ）NZd[W]bw（σW |∑，N）f（σW）（B3）=Zd[W]W（W | C，N）f（σW），（B4）证明了这一断言。附录CWe显示了公式（17）中χ表示的外观，因为它让人想起随机波动率模型。使用公式aη=ηΓ（η）∞Zzη-1exp-阿兹dz（C1）我们可以重写等式（17）ashgi（x∑，N）=∞ZχN（Z）g十、锌∑dz（C2）具有N个自由度的χ分布χN（z）=N/2Γ（N/2）zN/2-1exp-Z（C3）对于z≥ 0或0。参考资料。巴恩多夫-尼尔森，J.肯特和M.Sorensen（1982）正态方差均值混合和z分布，国际统计评论50（2），145-159。G.Bekaert&C.R.Harvey（1995）时变世界市场一体化，金融杂志L（2），403–444。A.Bekker&J.J.Roux（1995）基于wishart先验的贝叶斯多元正态分析，统计学中的通信——理论与方法24（10），2485–2497。F.Black（1976）关于股票价格波动变化的研究。1976年美国统计协会会议，商业和经济统计部分，177-181。华盛顿特区：美国统计协会。R.C.Blattberg&N.J.Gonedes（1974）《作为股价统计模型的稳定分布和学生分布的比较》，商业杂志47（2），244–280。T

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2022-4-29 17:32:24

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