对于每个ω，使得intK*t（ω）6= 和int∧*t（ω）6=, 但是intK*t（ω）∩ int∧*t（ω）=, 我们可以使用Hahn-Banach分离理论，给定Rd中的两个集合A和B，A+B:={x+y:x∈ A、 y∈ B} 表示其Minkowski su m。请注意，有限交点的内部等于内部交点。Bayraktar和Zhang：交易成本和模型不确定性下的FTAP 16运筹学数学00（0），第000–000页，c0000个信息以获取x∈ Rd\\{0}使得hx，yi<0 Y∈ intK*t（ω）和hx，zi≥ 0 Z∈ int∧*t（ω）。第一个不等式和intK*t（ω）6= 意味着-十、∈ （intK）*t（ω））*= （里克*t（ω））*= （K）*t（ω））*= Kt（ω），其中我们还使用了引理16。类似地，第二个不等式意味着x∈ （int∧）*t（ω））*= ∧t（ω）。我们已经证明了(-Kt（ω）∩ Λ(ω))\\{0} 6= .自从K*通过解析图，我们从引理12和13知道Kt=（K*（t）*和∧t=Γ*皮重是普遍可测量的。因此-Kt∩ λHimmelberg[9，Co rollary 4.2]也普遍可测量，并具有Ft B（Rd）－引理13的可测图。很容易看出(-Kt∩ λt）\\{0}也是Ft B（Rd）-可测量。然后我们可以使用引理15得到一个可测量的选择器x（·）(-Kt∩ 集上的∧t）\\{0}{(-Kt∩ ∧t）\\{0}6=}  {intK*T∩int∧*t=} ∩ {intK*t6=} ∩ {int∧*t6=}. 在这个集合之外，我们定义x:=0。那么这样的x属于L(-Kt∩ ∧t；（英国《金融时报》）。现在，x∈ L(-Kt；Ft）意味着x∈ AMt+1t+1，其中AMR记录了给定市场M和x中从零初始捐赠到定时可实现的索赔集合∈ λtimplies x∈eKt+1P-q.s.傅比尼的理论。根据归纳次命题中的严格无套利性质，我们得到了x∈eKt+1P-q.s。。根据归纳假设中的有效摩擦性质，我们得到EKT+1={0}P-q.s。。所以x=0P-q.s。。

因为{intK上的x6=0*T∩ int∧*t=} ∩ {intK*t6=} ∩ {int∧*t6=} 根据我们的构造*t6=, int∧*t6= P-q.s.{intK*T∩ int∧*t=} 一定是P极的。第三步。在这一步中，我们将演示NAs（P）适用于Mt.Let r∈ {t，…t}和f∈ AMtr∩ LP（eKr；Fr）。我们想展示f∈ LP（eKr；Fr）。例如：当∈ {0，…，t- 1} 是微不足道的，因为e时间t之前的偿付能力锥尚未在市场Mt）中修改。为此，在ξs处写入f=ξ+·ξ+ξr∈ L(-Ks；Fs）对于s=0，T- 1和ξs∈ L(-eKs；Fs）对于s=t，r、 通过步骤2和命题3，我们得到ekt=Kt+tP-q.s。。案例1。R≥ t+1。在这种情况下，对于某些ζt，引理8表示ζt=ζt+ηtP-q.s∈ L(-Kt；Ft）和ηt∈ L(-eKt+1；（英国《金融时报》）。我们有f=ξ+··+ξt-1+ζt+（ηt+ξt+1）+··+ξr∈ AMt+1r。自从f∈eKrP-q.s.，我们可以对Mt+1使用NAs（P）来获得f∈eKrP-q.s。。案例2。r=t。在这种情况下，首先注意ξ+·ξ+t-1=f- ξt∈eKtP-q.s。。引理8表示ξ+··+ξt-1=g+h P-q.s.对于某些g∈ L（Kt；Ft）和h∈ L（eKt+1；英尺）。因此h=ξ+·ξ+t-1.- G∈ 金额+1t+1。通过诱导催眠，h∈eKt+1={0}P-q.s。。所以ξ+··+ξt-1=g∈ KtP-q.s。。因为ξ+··+ξt-1.∈ 金额+1吨。诱导催眠再次产生ξ+···+ξt-1.∈ Kt={0}P-q.s。。因此，我们有f=ξt∈(-（eKt）∩eKt=eKtP-q.s。。5.2. 向前延伸我们首先陈述一个单期结果。引理9。支持T=1且NA（P）保持不变。让P∈ 我们有Z∈ 英特克*, Q∈ P(Ohm) 安兹∈ 有限合伙人（英特*; F） 这样P<< Q<< P和EQ[Z]=Z.证明。该证明是对努茨的布沙尔[3，命题3.1]的证明的轻微修改。放松∈ P.第一步是显示集合ΘP:={ER[Y]：P<< R<< P、 Y∈ 有限合伙人（英特*; F） }是凸面的，内部非空。第二步是利用分离超平面定理和NA（P）表示inteK* ΘP。

主要的变化是：当显示intΘP6=, 由于缺乏可测量性*, 我们不能直接选择Borel测量值∈ 有限合伙人（英特*; F） 但只有利用图的解析性（inteK）才能普遍测量*). 然而，由于我们是eBayraktar和Zhang：运筹学交易成本和模型不确定性数学下的FTAP 00（0），第000–000页，c有兴趣展示ER[Y]∈ 对于满足P<< R<< P、 我们可以在R-null集上首先修改Y，使其可测，然后选择εi∈ L（（0,1）；F） ，i=1，d使得Y±εiei∈ 英特克*R-a.s。。在该R-a.s.集合之外，定义εi:=0。然后ER[εi]>0，Y±εiei∈ 有限合伙人（英特*; F） 和ER[Y±εiei]=ER[Y]±ER[εi]ei∈ ΘP.我们得出结论，呃[Y]∈int（conv{ER[Y±εiei]：i=1，…d}） intΘP。设Z为满足Z=Z的单周期Q-marting∈ 英特克*还有Z∈ 英特克*Q-a.s.，我们可以将概率测度的向量μ=（μ，…，μd）与Ohm 由dui/dQ定义：=Zi/Zi。相反，给定z∈ 英特克*和u=（u，…，ud）∈ P(Ohm)使满意~ Q（即ui~ 对于所有i）和zdu/dQ∈ 英特克*Q-a.s.，我们可以通过Z:=Z和Z:=zdu/dQ定义Q-鞅Z。在向前扩展的每个步骤中，我们将选择（Q，u），而不是选择（Q，Z）。引理10。让我们∈ {0，…，T- 1} 和P（·）：OhmT→ P(Ohm), Zt（·）：OhmT→ 贝贝·博雷尔。设Ξt（ω）：=（Q，u，^P）∈ P(Ohm)1+d×Pt（ω）：P（ω）<< Q~ u <<^P，Zt（ω）dudQ（·）∈ 英特克*t+1（ω，·）Q-a.s。.（11） 然后Ξthas是解析图，并在普遍可测集{Ξ6=}.证据图（Ξt）=（ω，Q，u，^P）∈ Ohmt×P(Ohm)1+d×Pt（ω）：P（ω）<< Q~ u <<^P，EQh{Zt（ω）（du/dQ）（·）∈英特克*t+1（ω，·）}i≥ 1.对于每一个i，选择一个fduidQ（ω′）的版本，该版本由Dellacherieand Meyer[6，Thero em V.58]在（ω′，Q，ui）中共同测量。

然后映射（ω，ω′，Q，u）7→ Zt（ω）dudQ（ω′）是Borel。自从英特克*t+1有一个用引理12表示的解析图，它可以表示集合A:={（ω，ω′，Q，u）∈ Ohmt×Ohm×P(Ohm)1+d:Zt（ω）dudQ（ω′）∈ 英特克*t+1（ω，ω′）是解析的。这意味着1a和（ω，Q，u）7→ 式[1A]为美国。。因此，{（ω，Q，u）∈ Ohmt×P(Ohm)1+d:EQ[Zt（ω）dudQ（·）∈ 英特克*t+1（ω，·）]≥ 1} 是分析型的。其余的证明类似于引理4或Bouchard和Nutz[4，引理4.8]。5.3. 定理的证明（一）=> （ii）：首先通过反向递归（10）构造模型marketeK。每个人，英特*t6= 命题4的P-q.s。自塞克*T K*总的来说，必须在改造后的市场中建造SCP。让P∈ P将被给予。选择Z∈ 英特克*6= . 假设P=P|OhmT-1. Pt · · ·  PT-1，我们已经构造了Q′，^P′，直到时间t- 1和Z直到时间t，这样P|OhmT-1.<<Q′<<^P′和Zr∈ intK*rQ′-a.s.f或全部r≤ t、 现在我们以可测量的方式将m扩展到下一个时间段。如果必要的话，通过修改^P′-空集上的Pt（·）、Zt（·），我们可以假设它们是可测的。设A:={ω∈ Ohmt:Zt∈ 英特克*t}∈ 我们有Q′（A）=1的构造。通过推论1和引理9，我们知道（11）中定义的集值映射Ξtde在A上是非空的。使用引理10，我们可以找到普遍可测映射Qt（·）、ut（·）、^Pt（·），从而（Qt，ut，^Pt）∈ Ξt A.修改，ut A^P′-将N磨碎，以制作钻孔。定义Zt+1:=Ztdut/dqt，其中我们使用qt和u的borelmodification得到联合Borel可测氡Nikodym衍生物的向量。我们有Zt+1（ω，·）∈ 英特克*t+1（ω，·）Qt（ω）-a.s.和EQt（ω）[Zt+1（ω，·）]=Zt（ω）ω ∈ A.∩ 北卡罗来纳州。在这里和续集中，为x，y∈ Rd，xy∈ RDR表示它们的组件级产品。如果我们想参考他们的内部产品，我们将使用hx，yi。Bayraktar和Zhang：交易成本和模型不确定性下的FTAP 18运筹学数学00（0），pp。

000–000，c0000 INFORMSQ′-null s et Ac∪ N，重新定义Qt=^Pt:=p，并将Zt+1设置为任何普遍可测量的Ek选择器*t+1。我们有P|OhmT-1.Pt<< Q′Qt<<^P′^Pt，Zt+1∈ 英特克*t+1Q′Qt-a.s.和EQ′Qt[Zt+1 | Ft]=Zt。重复这些步骤，直到时间T。我们得到测量值Q=Q′Qt· · · QT-1和^P=^P′Pt· · ·PT-1令人满意的P<< Q<<^P∈ P、 满足Zt的Q-广义马氏体Z∈ 英特克*tQ-a.s.对于所有t.由卡巴诺夫和萨法尔提出[11，命题5.3.2，5.3.3]，Z实际上是一个Q-鞅。（二）=> （i） ：首先，注意（ii）所指的intK*t6= P-q.s.适用于所有t，因此有效的摩擦保持。让f∈ 在∩ LP（Kt；Ft）。显示f∈ Kt={0}P-q.s.，我们假设相反P∈ 然后尝试推导出一个矛盾。这个证明与定理1相似。为了完整起见，我们在这里介绍它。对于某些ξr，写入f=Ptr=0ξr∈ L(-Kr；Fr）。设（Q，Z）为（ii）给出的SCP。通过引理11，我们可以选择Q′~ 对于所有r=0，…，都是可积的，t、 由Kabanov和Safarian[11，引理3.2.4]提出，存在一个bo undedQ′-鞅Z′，使得Z′t∈ 里克*t=intK*tQ′-a.s.对于所有t.一方面，EQ′[hZ′t，fi]=tXr=0EQ′[hZ′t，ξri]=tXr=0EQ′[hZ′r，ξri]≤ 利用Z′在Q′下的鞅性质∈ K*r、 ξr∈ -Kr.另一个汉德，Q\'~ Q>> P表示Q′（kfk>0）>0。Tog乙醚与h f∈ KT和Z′t∈ intK*T 我们得到了矛盾不等式EQ′[hZ′t，fi]>0。[App VII.11]定理。让P∈ P(Ohm) Fn是一系列（P-a.s.有限）随机变量。存在p概率测度R~ 密度相对于P是有界的，使得a是R-可积的。定义6。让(Ohm, ∑）是可测空间，X是拓扑空间。设置值MapΦ：(Ohm, ∑）X是∑-可测的（分别是弱∑-可测的），如果Φ-1（B）：={ω∈ Ohm : Φ(ω) ∩ B 6=} ∈ ∑对于每个闭合的（再sp。

打开）X的子集B。当X是σ-紧的、可分离的、可度量的空间（如Rd）且Φ是闭值的、可测的和弱可测的ar-e等价时（见Himmelberg[9，定理3.2（ii）]）。引理12。允许Ohm 成为一个波兰人的空间和空间：Ohm RDB可以是一个带有解析图的集值映射。以下结果是正确的。（a） 对于任何Borel集合B Rd，{ω∈ Ohm : Φ(ω) ∩ B 6=} 是分析型的。特别是，这意味着Φ是普遍可测量的。（b） conv（Φ）和cl（Φ）有解析图。（c） 如果Φ是共凸值，那么int（Φ）有一个解析图。（d） 如果ψ是另一个具有解析图的集值映射，那么Φ∩ ψ有一个n解析图。证据对于（a），观察{ω∈ Ohm : Φ(ω) ∩ B 6=} = 项目Ohm（图（Φ）∩ (Ohm ×（B））。对于（b），观察该图（conv（Φ））=[nprojOhm×Rdn（ω，y，α，…，αn，y，…，yn）∈ Ohm ×Rd×[0,1]d×Rnd:（ω，yi）∈ 图（Φ）i、 Xiαi=1，d y=Xiαiyio，Bayraktar和Zhang：交易成本和模型不确定性下的FTAP运筹学数学00（0），第000-000页，c0000与图（cl（Φ））=\\n投影OhmX路（ω，y，z）∈ Ohm ×Rd×Rd:| y- z |<1/n，（ω，z）∈ 图（Φ）.对于（c），观察如果Φ（ω）是凸的，那么y∈ int（Φ（ω））当且仅当N∈ N使得y±ei/N∈Φ(ω)  i=1，d、 因此，图（int（Φ））=[nprojOhm×Rdn（ω，y，y±，…，y±d）∈ Ohm ×Rd×R2d:y±i=y±ei/n，（ω，y±i）∈ 图（Φ），i=1，多伊是分析型的。（d） 从图（Φ）可以看出∩ ψ）=图（Φ）∩ 图（ψ）。引理13（[3，引理A.1]）。让(Ohm, ∑）是可测空间，Φ：Ohm Rdbe是一个非空的闭值∑-可测集值映射。以下结果是正确的。（a） Φ*是∑可测的。（b） 图（Φ）为∑ B（Rd）-可测量。引理14（扬科夫·冯·诺伊曼选择定理[20，定理5.5.2]）。让X，Ybe擦亮空间和A X×Y是一个解析集。然后存在一个普遍可测函数φ：projX（a）→ 这样的图（φ） A.引理15（[20，定理5.5.7]）。

设（X，∑）是可测空间，在苏斯林运算下，∑闭合，Y是波兰空间，a∈ Σ  B（Y）。然后projX（A）∈ ∑，存在一个∑-可测函数φ：projX（a）→ 这样的图（φ） 引理16。设K，K，Kbe在Rd.（a）K中为非空*是一个封闭的凸锥。（b） （K）*)*= cl（conv（K））。（c） （里克）*= K*.（d） K 金普利斯K* K*.如果另外，K，Kare凸，那么（e）（K+K）*= K*∩ K*.（f） （时钟）∩ （时钟）*= cl（K）*+ K*), 如果riK∩ riK6=.证据（a） -（d）是标准结果。（e） （f）c可以在Rockafellar的书中找到[14，推论16.4.2]。致谢。本研究得到了美国国家科学基金会地下设施DMS-0955463的支持。参考文献[1]B.Acciaio、M.Beiglb–ock、F.Penkner和W.Schachermayer（资产定价基本原理和超级复制定理的无模型版本）将出现在数学中。资金[2] D.P.Bertsekas和S.E.Shreve，《随机最优控制》，学术出版社，纽约，1978年。[3] B.Bouchard和M.Nutz，模型不确定性下的一致价格系统，将出现在FinanceStoch中。[4] B.Bouchard和M.Nutz，《非支配离散时间模型中的套利和对偶》，人工神经网络。阿普尔。Probab。25（2015），第2823-859号。[5] R.Dalang，A.Morton和W.Willinger，《随机证券市场模型中的等价鞅测度和无套利》，《随机统计学》第29期（1990），第2期，185-201页。[6] C.Dellacherie和P.A.Meyer，《概率和势b》，北荷兰，阿姆斯特丹，1982年。Bayraktar和Zhang：交易成本和模型不确定性下的FTAP 20运筹学数学00（0），第000–000页，c0000通知[7]Y.Dolinsky和H.M.Soner，具有比例交易成本的稳健对冲，金融Stoch。18（2014），第2327-347号。[8] P。

Grigoriev，关于具有交易成本的基本资产定价定理中的低维情形，Statist。第23号决定（2005年），第1号，第33-48号。[9] C.J.Himmelberg，《可衡量的关系》，基金会。数学87 (19 75), 53–72.[10] Y.Kabanov、M.R\'asonyi和C.Stricker，《有效定价金融市场的无套利标准》，金融斯托克出版社。6（2002），第371-382号。[11] Y.Kabanov和M.Safarian，《具有交易成本的市场》，数学理论，斯普林格·维拉格，柏林海德堡，2009年。[12] Y.Kabanov和C.Stricker，交易成本下的Harrison-Pliska套利定价定理，J.Math。欧诺姆。35（2001），第2号，185-196。[13] A.S.Kechris，经典描述集理论，数学研究生教材，第156卷，斯普林格·维拉格，纽约，1995年。[14] R.T.Rocka fellar，《凸分析》，普林斯顿数学系列s，第28期，普林斯顿大学出版社，新泽西州普林斯顿，1970年。[15] D.B.Rokhlin，有限离散时间情况下的鞅选择问题，Teor。维罗亚特。普里曼。第480号（2005年），第350-500号。[16] ，在有限离散时间的情况下，一个具有交易成本的构造性无套利标准，Teor。维罗亚特。普里曼。52（207），第一，41-59。[17] ，鞅选择问题和有限离散时间内的资产定价，电子。普罗巴指挥官。12 (2 007), 1–8.[18] W.Schachermayer，有限离散时间内按比例交易成本下资产定价的基本定理，数学。《金融》第14期（2004），第1期，第19-48期。[19] M.Smaga，《在比例交易成本下存在严格一致价格过程的基于效用的证明》，博士论文，科技大学，Kaiserslauten，2012年。[20] S.M.Srivastava，关于Borel集的课程，数学研究生教材，第180卷，斯普林格·维拉格，纽约，1998年。