交易成本下资产定价的基本定理及模型

2022-4-29 18:46:17

运筹学数学研究卷。00，No.0，Xxxxx 0000，pp.000–000issn 0364-765X | EISN 1526-5471 | 00 | 0000 | 0001信息MSDOI 10.1287/xxxx。0000.0000c鼓励0000名信息作者通过一个样式模板（包括期刊标题）向期刊提交新论文。然而，使用模板并不证明论文已被接受在指定期刊上发表。通知期刊模板仅用于提交给表单期刊，不得用于以印刷或在线形式分发论文，也不得将论文提交给其他出版物。交易成本和模型不确定性下资产定价的基本定理密歇根大学数学系，密歇根州安娜堡教堂街530号，48104，erhan@umich.eduYuchong纽约州阿姆斯特丹大道1255号哥伦比亚大学统计系邮编：10027，yz2915@columbia.eduWe资产交易的基本价格可能由非金融交易的基本价格构成，而非金融交易的基本价格可能由非金融交易的基本价格构成。利用一个向后-向前方案，我们证明了当市场由一个货币市场账户和一只股票组成时，准确定意义上的无套利等价于一个合适的一致价格系统族的存在。

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2022-4-29 18:46:21

我们还发现，当市场由多重动态交易资产和充分的摩擦组成时，准确定意义上的严格无套利相当于存在一系列严格一致的价格体系。关键词：交易成本、概率测度的非支配集合、资产定价基本定理、鞅选择问题MSC2000主题分类：主要：60G42、91B28；次要：03E15OR/MS科目分类：主要：财务：资产定价；二级：概率史：2014年5月13日收到；第二版于2015年5月8日收到；于2015年8月29日接受。1。引言资产定价的基本理论（FTAP）是数学金融中最重要的理论之一，它的名字是这样提出的，并在许多不同的环境中建立起来的：离散的和连续的，有交易的和没有交易的。它将无误的概念与一定的公平定价机制的存在联系起来，这为对偶理论中假设du al域为非空提供了合理性。我们考虑由股票和零利率货币市场账户组成的离散时间有限期金融市场。当市场无摩擦且由单一概率测度建模时，Dalang Morton-Willinger[5]的经典结果断言，当且仅当等价鞅测度集不为空时，re才是非随机的。对于比例交易成本，鞅测度集被一致价格系统集（CPS）或严格一致价格系统集（SCP）所取代。Kabanov和Stricker[12]为有限的概率空间建立了无套利和ACP存在之间的等价关系Ohm, 当维度为2时，由Grigoriev[8]提出。

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2022-4-29 18:46:25

这种等价性通常不适用于有限空间和更高维度（反例见Schachermayer[18]第3节和Kabanov and Sa farian[11]第128-129页）。对于这种等价性，需要注意Schachermayer在[18]中提出的鲁棒无任意性，其中他证明了这个概念与SCPS的存在是等价的。或者，稳健的无ar比特率可以被严格的无套利加有效摩擦所取代（见Kabanov等人[10]）。在Trans sactionBayraktar和Zhang下，FTAP存在一些不同的证明：交易成本和模型不确定性下的FTAP 2运筹学数学00（0），第000–000页，c0000个信息站。除了Schachermayer[18]和Kabanov等人[10]的证明依赖于可对冲索赔集的c损失和分离论证，还有Smaga[19]基于效用的证明和Rokhlin[16]基于随机集的证明。近年来，模型不确定性在金融数学中引起了很大的兴趣，因为它对应于金融市场的更现实的建模。我们所说的模型不确定性，是指一系列亲婴儿性指标，通常是非主导的。P的每个成员代表股票的一个可能模型。人们会认为P是从市场数据中获得的。我们有一系列的度量，而不是单一的度量，因为我们没有点估计，但有置信区间。非支配情形通常要困难得多，因为经典分离论不起作用。在一个没有交易成本的市场模型中，Bouchard a和Nutz[4]最近的工作使用局部分析来建立准确定意义下无障碍与鞅测度的“等价”族之间的等价关系。Acciaio等人。

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2022-4-29 18:46:29

[1] 通过使用不同的无套利条件获得了FTAP的不同版本，该条件排除了模型独立的套利，即仅在确定意义上的套利。在本文中，我们证明了当比例交易成本和模型不确定性同时存在时的FTAP。我们从一个由货币市场账户和单一股票组成的金融市场开始，引入无套利概念NA（P）。我们证明了其等价于一系列CPS的存在性，并随后将我们的结果推广到一个多资产市场，其中NA（P）被NAs（P）取代，加上有效摩擦，而CPS由SCP代表。与经典理论类似（在其结构中，其他因素是主要衡量标准），二维情况与多维情况不同，因为仅套利不足以暗示ACP的存在。也就是说，市场模型不需要满足有效摩擦假设。因此，二维案例值得单独研究，并将成为本文的重点。另一方面，当存在一只股票时，Dolinsky和S oner[7]证明了超级套期保值定理（首先离散状态空间，然后取一个极限），并将FTAP作为推论。我们遵循不同的方法，统计任意概率测度集合的结果，而不是所有概率测度的集合。与我们的方法相比，我们能够使用更一般的比例交易成本结构，而不是将其视为常数，这很有用，因为实际市场中的这个比例可能会随着时间的推移而变化。

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kedemingshi

2022-4-29 18:46:32

我们的贡献可以被看作是Bouchardand Nutz[4]对交易成本情况的扩展，以及Rokhlin[16]关于马丁格尔选择问题的结果对非支配情况的推广。与Bouchard和Nutz[4]类似，我们以本地方式进行：首先为每个单周期模型获得一个CPS，然后使用合适的可测量选择定理进行粘贴。尽管我们的证明遵循了[4]中的观点，但当交易成本增加时，多期案例的结果是相当不同的。无摩擦市场的一个显著特征是，多期市场没有ar比特率相当于所有单期市场没有套利。所以只需单独查看每个周期，并将鞅测度粘贴在一起就足够了。然而，这种等价性在存在交易成本的情况下就失效了。一个简单的例子是以下两个时段的市场：S=1、S=3、S=2、S=4、S=3.5、S=5，其中下划线表示买入价，上划线表示卖出价。每个时期都是无套利的，但是在时间0买入，在时间2卖出，对于两个时期的市场来说是套利。所以我们不能一般地粘贴两个单周期鞅测度来得到一个双周期鞅测度；特别是，为每个周期构造的基本鞅的端点可能不匹配。我们需要解决一个非支配鞅选择问题。Rokhlin在一系列文献[15,17,16]中利用集值映射的正则条件上分布的支持度定理研究了P为单态时的鞅选择问题。在我们的例子中，由于缺乏支配性措施，很难谈论有条件的分配。

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2022-4-29 18:46:35

尽管如此，我们还是从Rokhlin[17,16]和Smaga[19]中得到了一些启发，并在运筹学00（0）的交易成本和模型不确定性数学下，开发了一个反向转发方案：Bayraktar和Zhang:FTAP，第000–000页，c0000通知3反向递归：通过可能更有利的价格，及时修改原始的反向买入卖出价格，以考虑未来失去的投资机会；远期扩展：在修改后的市场中及时向前扩展CPS。当没有主导措施时，后向d-forward方案会带来一些可测量性问题。一方面，在后向递归下，Borel和普适可测性都不存在。这可以通过使用较低的半解析买入价和较高的半解析卖出价来避免。另一方面，Bouchard and Nutz[4]中引理s 4.6和4.8的证明在很大程度上依赖于Borel me可测的股票价格。然而，我们修改后的市场只有半分析的买卖价格，这使得在许多地方进行可测量的选择具有挑战性（见备注6和d 7）。为了克服这一困难，我们将CP的选择分为两个步骤：首先分别使用出价和要价的半解析性选择一对度量（Q，Q），然后找到凸权函数λ，它在边界扩展中起着重要作用，这是另一个需要采取的步骤，因为缺乏有效的摩擦假设，c是二维的。可测量的单周期CPS可以由可测量的三元组（Q，Q，λ）和修改后市场的买卖价格构成。在多维情况下也存在类似的可测性问题。幸运的是，在偿付能力锥的对偶上进行反向递归可以保持图的分析性，这足以使正向扩展中的可测量选择成为可能。

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2022-4-29 18:46:38

在向前扩展的每一步中，我们不直接选择具有规定初始值Z=ZD的单周期SCP（Q，Z），而是通过Zi=ZDui/dQ选择与（Q，Z）相关的等效度量向量（Q，u，…，ud）。这使我们能够利用存在一个联合Borel可测函数（Q，ui，ω′）7的事实→duidQ（ω′），这是可测量选择的关键。我们指出，在审查过程中，Bouchard和Nutz[3]发表了一篇与我们密切相关的论文。作者提出了一个不同的无套利概念（第二类无套利的定性版本），用NA（P）表示，他们在充分和有界摩擦的额外假设下，用它证明了FTAP的多维版本。我们发现他们的无套利观念有点太强了。这意味着市场已经处于鞅扩张的良好状态，从而避免了向后递归。单一股票市场S=1、S=3、S=2、S=4这一简单的一个周期，我们认为这是合理的，不符合NA（P）。尽管NA（P）不适用于原始市场，但适用于相应的修改市场。本文的多维部分是[3]的一个推广，允许形成更一般的市场结构。除了所使用的非套利概念外，我们的论文还以其他两种方式进行了区分。首先，我们不假设有界摩擦和K*T∩ Rd+={0}；在二维情况下，也可以消除有效的摩擦。第二，我们的可测量性假设较弱；我们能够处理具有普遍可测量偿付能力锥的市场，只要它们的双锥具有分析图。论文的其余部分组织如下。第2、3和4节专门讨论二维情况。在第二节中，我们介绍了概率框架，建立了金融市场模型，并陈述了主要结果。

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2022-4-29 18:46:43

在第三节中，我们证明了一些单周期的结果，这些结果作为构造块。在第四节中，我们给出了多周期市场的向后-向前方案，并证明了主要定理。第五节将我们的方法和结果扩展到多维情况。附录中收集了一些技术引理。2.金融市场模型和主要结果我们遵循Bouchardand Nutz[4]中的注释。让我们∈ N成为时间的地平线。允许Ohm成为一个波兰空间和Ohmt:=Ohmt型折叠式自流式产品Ohm这是一种罪恶。用B表示(Ohmt）波雷尔西格玛代数Ohmt、到FTB的普遍完成(Ohmt）。我们写作(Ohm, F）因为(OhmT、（英国《金融时报》）。当我们说一个随机过程是可预测或适应的，我们的意思是关于过滤（Ft）。让P(Ohm) 表示上所有概率度量的集合(Ohm, B(Ohm)). 每个t∈ {0，…，T- 1} Bayraktar和Zhang：交易成本和模型不确定性下的FTAP 4运筹学数学00（0），第000–000页，c0000信息与ω∈ Ohmt、给出了一个非空凸集Pt（ω） P(Ohm), 表示第（t+1）个周期的可能模型集。我们从一个s-值映射出发Ohm托普(Ohm))有一个解析图。这个假设确保了pta接受一个普遍可测量的选择器。确定不确定性se t P P(Ohm) 多期市场的byP:={P · · · PT-1：每个PTI都是一个不可测量的选择器，其中 · · · PT-1（A）=ZOhm· · ·ZOhmA（ω，…，ωT）PT-1（ω，…，ωT）-1.dωT）··P（dω），A∈ F.考虑一个金融市场，包括一个零利率的货币市场账户，以及一个买入价格非常正的股票。圣，圣：OhmT→ 对于所有t，R分别被假定为低于半解析（l.s.a.）和高于半解析（u.s.a.）。

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2022-4-29 18:46:46

自融资投资组合过程是一个R值可预测过程φ=（φ，φ）满足φ=0且△φt+1≤-(△φt+1）+St+(△φt+1）-对于所有t=0，T、在哪里△φt+1:=φt+1- φt.用H表示一组自融资portf olio过程。设AT:={φT+1:φ∈ H} 。ATis将d解释为z ero初始捐赠的一组可放弃的主张（以物理单位为单位）。定义1。我们说NA（P）对所有f都成立if∈ 在，f≥ 0P-准肯定（q.s.）意味着f=0P-q.s。。备注1。NA（P）P∈ P意味着NA（P）。的确，让我们来看看f∈ 应该是这样的≥ 0 P-q.s.亨塞普-所有P∈ P.对于每一个P，NA（P）意味着f=0 P-a.s。。因为这适用于所有P∈ P、 f=0P-q.s.，NA（P）保持不变。相反的方向是不正确的。考虑一个单周期市场，S=2，S（ω）=1，S（ω′）=3。设P=Δω，P=Δω′分别是集中在ω和ω′上的狄拉克测度。然后很容易看出，在bo th和P下存在套利，但在P:=conv{P，P}下不存在套利。定义2。如果一对（Q，S）是过滤（Ft）中的Q-鞅，则称为一致价格系统（CPS）∈ [St，St]Q-a.s。。本文的主要理论如下。定理1。以下是等价的：（i）NA（P）持有。（二）P∈ P（Q，~S）∈ Z使得P<< Q<< P.备注2。设Q是Z的第一个分量的集合，它们由P中的某个度量控制。定理1（ii）等价于说P，Q在极集合方面是等价的。当P是单态时，我们恢复了等价测度存在的经典结果。3.在本节中的单期案例中，我们证明了单期市场的FTAP更困难（即无套利意味着存在CPS）。

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2022-4-29 18:46:50

为了准备多周期情形，我们还讨论了如何用规定的初值构造鞅。让(Ohm, F）通过过滤（F，F）和F={, Ohm}. 让P P(Ohm) 是另一个凸集。股票的买入和卖出价格过程分别由常数S、F-可测随机变量S和S给出。请注意，本期市场的NA（P）可用等效形式表示：Y∈ R、 y+（S）-（S）- Y-（S）- （S）≥ 0 P-q.s.暗示+（s-（S）- Y-（S）- S） =0 P-q.S。。我们允许代理人丢弃非负数量的资产。如果一个集合对所有P都是P-null，那么它就是P极的∈ P.如果一个属性在P-极集合外成立，则称其为P-q.s。“conv”代表凸面外壳。符号Q<< P取自[4]。意思是Q<< P换一些P∈ P.Bayraktar和Zhang：交易成本和模型不确定性下的FTAP运筹学数学00（0），第000-000页，c0000每P通知5∈ P、定义P:={R∈ P(Ohm) : P<< R<< P、呃| S- S |+| S-S|]<∞}.ΘPis nonempty by Le mma 11。引理1。补充P、 P∈ 满足- S> 0）>0和P（S->0。然后P∈ PQ、 Q∈ ΘPsuch Q~ 坎德克[S]- S] >0，等式[S]-S] <0。证据让P∈ P.我们首先表明，按照[4]第13页第一段的相同思路，存在P′，P′∈ ΘP（不一定相等）使ep′[S- S] >0，EP′[S]-S] <0。设A:={S>S}。我们有P（A）>0。定义R:=（P+P）/2，使用引理11替换Rby R~ 如图所示∈ ΘP，并进一步用P′取代Rby~ 由dP′/dR定义的Rde:=（1A+ε）/ER[1A+ε]。可以检查P′∈ ΘPand EP′[S]- S] ε小enou gh大于0。类似地，我们得到了P′的存在性。仍需将P′，P′替换为Q，Q，Q，并要求Q~ 为此，设Qλ：=λP′+（1）- λ） P′。很容易看出{Qλ：λ∈ （0，1）}是包含在ΘP中的一组等价度量。

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2022-4-29 18:46:53

此外，等式λ[S- S] >0表示λ足够接近1，等式λ[S]-S] λ小于0时，充分的c损失为零。提议1。假设NA（P）成立。然后P∈ P（Q，~S）∈ Z使得P<< Q<< P.证明。让P∈ P并考虑三种情况：情况1。s- s≤ 0个P-q.s。。在这种情况下，NA（P）意味着- S=0 P-q.S。。我们选择Q:=P，~S:=SandS:=S。s-s≥ 0个P-q.s。。在这种情况下，NA（P）意味着S-S=0 P-q.S。。我们选择Q:=P，~S:=SandS:=S。情况3。 P、 P∈ 使得- S> 0）>0和P（S->0。在这种情况下，letQ，Q∈ ΘPbe由引理1给出。我们可以找到λ∈ （0，1）使得λEQ[S- S] +（1）- λ） EQ[S-S] =0。定义：=λQ+（1）- λ） Q（1）和<<S:=（1）- λ） S+λS，~S:=λdQdQS+（1）- λ） DQDQ。（2）我们有Q∈ ΘP，~S∈ [S，S]Q-a.S.和EQ[~S-~S]=λEQ[S-S] +（1）-λ） EQ[S-S] =0。备注3。我们可以直接使用P′，P′（在引理1的证明中定义）而不是Q，qt来构造案例3中的CPS。Qan和Qo的等价性只在多周期中起作用，因此，我们必须在可能的情况下构造远离买卖双方边界的鞅（以便它们可以扩展到下一个周期）。如果Q~ Q、由（2）定义的Sde将满足∈ ri[S，S]Q-a.S。。“ri”代表相对内部。Bayraktar和Zhang：交易成本和模型不确定性下的FTAP 6运筹学数学00（0），第000–000页，c0000 Informs记得，当我们转到多周期情况时，我们不能直接粘贴两个单周期CP，但首先要确保当前周期鞅的起点与其父周期鞅的终点匹配。换句话说，我们感兴趣的是在规定的初始值下构造带有Certa的鞅。

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2022-4-29 18:46:58

命题2给出了一组允许鞅扩张的起点。对于随机变量S：Ohm → R上的非空概率测度族ROhm, R下S分布的支撑，用支撑表示，是最小的闭集A 例如∈ A） =1P∈ R.等价地，点y属于suppers当且仅当y周围的每个开球在{P的某个成员下有正测度eo s-1:P∈ R} 。提议2。假设inf suppPS<s<sup suppPS。然后P∈ PQ、 Q∈ ΘPsuchthat Q~ QandEQ[S]<S<EQ[S]。证据我们可以找到x∈ 谢谢∈ 通过提供支持，P、 P∈ P满足P（S>S）>0和P（S<S）>0。应用于市场{s，[s，s]}的引理1产生期望的Qand Q。备注4。这是可能的s∈ （inf SUPPS，sup SUPPS）和P∈ PQ∈ ΘPandλ∈ （0，1）使得等式[（1- λ） S+λS]=S。为了证明，只需考虑三种情况：1）R∈ Θp与ER[S]>S，2）R∈ Θp与ER[S]<S和3）R∈ ΘP，ER[S]≤ s≤ 呃[S]。以一对度量（Q，Q）来衡量e周期的结果，因为当移动到多周期情况时，它是更容易调整的公式化选择（见备注7）。一旦我们有了一个pairof度量，就可以用（1）和（2）的方法很容易地构造一个CPS。在多周期情况下，我们通过一个向后-向前方案证明了多周期市场的FTAP。回到导言中的设置，集合P被定义为具有解析图的非空凸集s Pt（·）的乘积。在本节中，我们还假设St（·）是l.s.a.。dSt（·）是u.s.a。。使用半解析价格过程的原因是，我们需要一个可以在向后递归（3）下保留的性质。BothBorel和universal Measureability均未保留（见备注5）。

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大多数88

2022-4-29 18:47:03

这个问题不存在于没有交易成本的市场中，因为不需要重新定义股票价格，也不重要什么时候有一个支配性度量P，因为我们总是可以修改P-null集上的一个普遍可测映射，使其Borel可测。最后，为f绘制一张地图Ohmt+1，我们通常会将其视为地图Ohmt×Ohm并写出f=f（ω，ω′）。通过XT=ST，YT=STandXt（ω）递归定义过程X，Y：=inf-suppt（ω）Xt+1（ω，·）∨ St（ω），Yt（ω）：=sup suppt（ω）Yt+1（ω，·）∧对于t=t，St（ω），（3）- 1.0, ω ∈ Ohmt、引理2。对于每个t，Xtis l.s.a.和YIS u.s.a。。证据我们只展示了Xt的下半解析性。对称变元给出了Yt的uppe rsemi分析性。假设XT是l.s.a。假设Xt+1是l.s.a.，我们导出Xt的lowersemi分析性。勒塔∈ R、我们有{ω∈ Ohmt:inf-suppt（ω）Xt+1（ω，·）<a}={ω∈ Ohm对于某些P，t:P（Xt+1（ω，·）<a）>0∈ Pt（ω）}=projOhmT（ω，P）∈ Ohmt×P(Ohm) : EP[1{Xt+1（ω，·）<a}]>0∩ 图表（Pt）可以检查，如果A是一个分析集，那么1A是一个u.s.A.函数。因此（ω，ω′）7→{Xt+1（ω，ω′）<a}是美国的归纳假说。根据[2，命题7.48]，我们还有（ω，P）7→Bayraktar和Zhang：交易成本和模型不确定性下的FTAP运筹学数学00（0），第000-000页，c第7EP[1{Xt+1（ω，·）<a}]是美国。。因此{ω∈ Ohmt:inf-suppt（ω）Xt+1（ω，·）<a}是两个解析集的求交，也是解析集。这表明inf SUPPT（ω）Xt+1（ω，·）是l.s.a。。Xt是两个l.s.a.函数的最大值，也是l.s.a。。备注5。在向后递归下，Borel和普适可测性都不被保留。为了看到这一点，类似于Bouchard和Nutz[4]的评论4.4，考虑Ohm= [0,1]，Pt≡ P(Ohm)对于某些A，Xt+1=1AC Ohmt×Ohm. 然后inf-suppt（ω）Xt+1（ω，·）=1（projOhmtA）c（ω）。如果A是Borel，那么Xt+1是Borel可测量的。

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2022-4-29 18:47:06

但是1（项目OhmtA）cis n Bo rel通常是可测量的，因为Borel集的投影可能不是Borel。同样，如果A是普遍可测的，那么Xt+1也是普遍可测的。但是1（项目OhmtA）一般来说，cis不是普遍可测的，因为普遍可测集的投影可能不是普遍可测的。除了保留半解析性外，反复定义的[X，Y]市场还有两个很好的性质。首先，它的传播范围并不太广：至少[Xt，Yt]内部的所有点都允许amartingale延伸到下一个周期P-q.s，尽管当点位于spre广告的边界上时，会有一些微妙的问题。其次，它的传播范围也不太窄，在这个意义上说，当原始市场满足NA（P）时，它仍然满足NA（P）。总之，这个新市场非常满足我们的需求。证明多期FTAP的相反含义的一般想法是用修正市场[X，Y]替换原始市场，并在修正市场中进行鞅扩展。鉴于命题2，内部扩展并不太难；挑战部分是边界扩展。事实证明，如果我们从一开始就避免触及边界，那么边界扩展是可能的。在证明主要定理之前，我们需要两个关键的引理。引理3。让NA（P）保持原始市场[S，S]。然后NA（P）也适用于修改后的市场[X，Y]。尤其是Xt≤ YtP-q.s.适用于所有t.证明。我们通过反向诱导证明了修正市场的NA（P）。LetMt:={[Sr，Sr]r=0，…，t-1，[Xr，Yr]r=t，。。。，T} ，T=T，0表示（T- t） -通过反向回收程序获得的中间市场。Weshow NA（P）表示Mt+1，表示f表示Mt。

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2022-4-29 18:47:11

有必要证明，对于Mt中的任何自融资投资组合流程，Mt+1中存在一个具有相同或更好终端位置的自融资投资组合流程。设φ为MTM中的自融资投资组合过程，φ=0，φT+1≥ 0个P-q.s。。考虑由ηr定义的另一个portf olio过程：=φrr=0，T△ηt+1:=1{Yt=St}(△φt+1）+- 1{Xt=St}(△φt+1）-,△ηt+2:=△φt+2+1{Yt6=St}(△φt+1）+- 1{Xt6=St}(△φt+1）-,△ηr+1:=△φr+1，r=t+2，T△ηr+1:=-(△ηr+1）+Xr+(△ηr+1）-Yr，r=t，也就是说，我们允许φ达到时间T- 1.无论何时交易可以在Mt+1中进行，都要坚持其股票头寸，如果Mt+1中不允许，则将交易推迟到t+1，然后再次遵循φ的股票头寸。显然，η在Mt+1中是自融资的，ηT+1=φT+1。我们想展示ηT+1≥ φT+1P-q.s。。这需要表现出来△ηt+1+△ηt+2≥ △φt+1+△φt+2。在（t+1）和（t+2）期间，η和φ交易的股票总数相同，只是时间不同。因此，我们只需要检查η的交易价格是否与φ的交易价格一样优惠，如果不是更优惠的话。通过构造Xt，当Xt（ω）6=St（ω）时，我们必须有Xt（ω）≤ Xt+1（ω，·）Pt（ω）-q.s。。富比尼的提奥·雷姆暗示Xt+1≥ 关于{Xt6=St}的XtP-q.s。同样，Yt+1≤ 关于{Yt6=St}的YtP-q.s。因此，η仅在P-极化集上具有价格劣势。[X，Y]指交易成本和模型不确定性下，所有t.Bayraktar和Zhang:FTAP的买价为X，卖价为Y的多期市场8运筹学数学00（0），第000–000页，c注释6。与Bouchard和Nutz[4]不同的是，我们没有试图显示setNt:={ω∈ Ohmt:NA（Pt（ω））失败，因为修改后的标记t}是普遍可测的P极性。实际上，Nt的可测性取决于集值映射ω7的可测性→suppt（ω）Xt+1（ω，·），suppt（ω）Yt+1（ω，·）。

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2022-4-29 18:47:14

由于Xt+1，Yt+1仅被认为是半解析的，支撑图的可测性是值得怀疑的。如果它们是普遍可测量的，为了通过类似于[4]的矛盾论证来显示Ntis P极性，需要构建一个任意策略和一个方法，在该策略和方法下，可以以正概率实现一个优势。这种测度的构造涉及从集值映射Φ（ω）：={P中进行可测选择∈ Pt（ω）：EP[Xt+1（ω，·）- Yt（ω）]>0}。然而，当Xt+1是l.s.a.和Ytis u.s.a.时，我们有ψ：（ω，P）7→ EP[Xt+1（ω，·）- Yt（ω）]是l.s.a.{ψ>0}是co-解析的。So图（Φ）=图（Pt）∩ 在一般l中，{ψ>0}不能作为分析。通过假设P有一个Borel图，我们可以使图（Φ）协分析。但我们不知道一个适用于共解析集的选择定理，除非人们愿意假设∑-确定性（见Kechris[13，推论36.21]）。引理4。让我们∈ {0，…，T- 1} 和P（·）：OhmT→ P(Ohm),■St（·）：OhmT→ 我是博雷尔。设Ξt（ω）：={（Q，Q，^P）∈ P(Ohm) ×P(Ohm) ×Pt（ω）：P（ω）<< Q~ Q<<^P，EQ[Yt+1（ω，·）-~St（ω）>0和等式[Xt+1（ω，·）-~St（ω）<0}，ω∈ Ohmt、（4）则Ξthas是一个分析图，对于Ξton，普遍可测集{Ξt6=}. 此外，还存在一个普遍可测函数λ（·）：OhmT→ （0，1）使得λ（ω）EQ（ω）[Yt+1（ω，·）]+（1- 如果Ξt（ω）6=. （5）证据。我们首先展示了一个解析图。这个证明与Bouchardand Nutz[4，引理4.8]的证明非常相似。因此，我们的发言将很简短。设ψ（ω）：={（Q，Q）∈ P(Ohm): 等式[Yt+1（ω，·）-~St（ω）>0和等式[Xt+1（ω，·）-~St（ω）<0}。Bertsekas和Shreve[2，命题7.48]，（ω，Q，Q）7→ 等式[Yt+1（ω，·）-~St（ω）]是美国和（ω，Q，Q）7→ 等式[Xt+1（ω，·）-~St（ω）]是l.s.a。。soψ有一个n解析图。

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2022-4-29 18:47:19

设Φ（ω）：={（Q，Q，^P）∈ P(Ohm): P（ω）<< Q~ Q<<^P}。定义φ（ω，Q，Q，^P）：=EQ[dP（ω）/dQ]+EQ[dQ/dQ]+EQ[dQ/dQ]+E^P[dQ/d^P]，其中我们选择了一种形式的Radon-Nikod ym导数（使用绝对连续的部分），它们是共同可测的（见Dellacherie和Meyer[6，定理V.58]及其后的r标记）。Bertsekas和Shreve[2，命题7.26，7.29]则暗示φ是Borel。所以图（Φ）={φ=4}是Bor-el。因此Ξt（ω）=（ψ（ω）×Pt（ω））∩ Φ（ω）有一个解析图。Jankov-vonNeumann选择定理（Lemma14）的一个应用为Ξton{Ξt6=}. 在这个集合之外，定义Q（·）=Q（·）=^P（·）：=P（·）。接下来，我们构造了一个普遍可测的权函数λ。由Bertsekas和Shreve[2，命题7.46]提出，映射f:ω7→ [Yt（EQ+ω，]-~St（ω）]g:ω7→ 等式（ω）[Xt+1（ω，·）-~St（ω）]是唯一可测量的。在{Ξ6=}. 定义λ：=g/（g）- f）关于{Ξ6=}λ：=1/2在{Ξ=}. 那么λ是普遍可测的，（0，1）-值和满意度（5）。∑-确定性是指每个分析博弈都是确定的原则。它无法在标准ZFC公理（泽梅洛·弗雷恩克尔选择公理）中得到证明。Bayraktar和Zhang：交易成本和模型不确定性下的FTAP运筹学数学00（0），第000-000页，c0000通知9备注7。引理4是命题2的可测版本。注4：在单周期市场中，一个人可以直接构造一个鞅分量为买卖价格的c-onvexcombination的CPS。因此，与Ξt（ω）一起工作可能是自然的：={（Q，λ，^P）∈ P(Ohm) ×（0，1）×Pt（ω）：P（ω）<< Q<<^P，EQ[Dλ（ω，·）]=0}其中Dλ（ω，·）：=（1）- λ） Xt+1（ω，·）+λYt+1（ω，·）-~St（ω）。

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2022-4-29 18:47:23

问题是，当Xt+1是l.s.a.而Yt+1是u.s.a.时，Dλ仅是通用可测的，而图（Ξt）通常不是解析的，这使得可测选择变得困难。为了克服这个问题，我们将选择CPS分为两个步骤：首先分别使用Xt+1的下半解析性和Yt+1的上半解析性选择一对度量（Q，Q），然后找到凸权重λ。利用这些选择器可以构造出一个鞅，作为买卖价格的一个自适应凸组合（见（8））。我们现在准备验证我们的主要结果。理论证明1。（一）=> （ii）：我们首先用引理2取代原来的[S，S]市场，而位于[S，S]内部的[X，Y]市场仍然由引理3半解析。它有助于证明（ii）修改后的市场，因为修改后的市场的任何CP都是原始市场的ACP。我们来证明一个辅助主张，即（i）意味着：P∈ P（Q，~S）∈ Z、 ^P∈ P和P<< Q<<^P和一个自适应过程λ，其值在[0,1]中，使得∧St=Xtifλt-1=0，~St=Ytifλt-1=1，且St∈ ri[Xt，Yt]如果λt-1.∈ （0,1），t=1，此外，设tingτ：=inf{T∈ [0，T- 1] ：λt=0}，σn:=inf{t∈ （τn，T）- 1] ：λt>0}，τn+1:=inf{t∈ （σn，T）- 1] ：λt=0}，按照inf = ∞, 我们有Xτn=Yτn=XtT∈ [τn，σn∧ T] 关于集合{τn<∞}P-q.s。。同样，让σ：=inf{t∈ [0，T- 1] ：λt=1}，τn:=inf{t∈ （σn，T）- 1] ：λt<1}，σn+1:=inf{t∈ （τn，T）- 1] ：λt=1}，我们有Xσn=Yσn=YtT∈ [σn，τn∧ T] 关于{σn<∞} P-q.s。。我们对市场上每IOD的数量进行归纳。当只有e周期时，对于任何P∈ P、当X=Y=inf-suppPX<sup-suppPY时，我们将λ：=0；当X=Y=suppPY>inf-suppPX时，我们将λ：=1；当X=Y=inf-suppPX=sup-suppPY时，我们将λ：=1/2。在这三种情况下，定义Q=^P:=P，~S:=X=YandS:=（1）- λ） X+λY。

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2022-4-29 18:47:27

不难看出，在第一种情况下，na（P）意味着X=YP-q.s.，在第二种情况下，Y=XP-q.s.，在第三种情况下，X=Y=X=YP-q.s。因此，S是Q-鞅。在所有其他情况下（根据NA（P）），我们都可以选择s∈ （inf suppPX，sup suppPY）。命题2暗示了Q，Q，^P的存在<< Q~ Q<<P和EQ[X]<s<EQ[Y]<∞. 与命题证明1中的情况3完全相同的构造产生了一个des ired CPS（Q，~s）和一个权重λ∈ (0, 1). 可以检查（ii\'）中的所有陈述是否满足。现在，假设（i）意味着（ii\'）适用于任何具有T的市场- 每IOD 1个，满足向后递归（3）。我们将对此类具有T周期的递归定义市场推导出相同的性质。设NA（P）为T-周期市场，由M表示，其子市场直到T- 1，d由M′表示，满足NA（P′），其中P′={P · · · PT-2：每个PTI都是Pt}Bayraktar和Zhang:FTAP在交易成本和模型不确定性10运筹学数学00（0），第000–000页，c0000 Informis是第一个T- 1节课。让P∈ P有分解P=P|OhmT-1. PT-1.我们可以应用诱导假设来获得（ii\'）中描述的Q′，λS，λ，^P′，直到时间T- 1和P|OhmT-1.<< Q′<<^P′∈ P′。我们的目标是将Q′、λ、λ、^P′扩展到第T周期。第一步。Exten sio n.Le mma3表示不可测集n:={XT-1> YT-1} 是Ppolar。在N上，我们只需设置QT-1=^PT-1:=PT-1，λT-1:=1/2和ST:=（XT+YT）/2。

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2022-4-29 18:47:32

在Nc上，我们通过XT的定义-1，YT-1.支持-1XT≤ XT-1.≤ YT-1.≤ 吃吧吃吧-1YT。我们分别对以下通用可测集执行扩展：对A:={inf sup pPT-1XT=XT-1=~ST-1.支持-1YT}∩Nc，我们设定了QT-1=^PT-1:=PT-1，λT-1:=0和<<ST:=XT。在A:={inf sup pPT-1XT<ST-YT=1-1=支持支持-1YT}∩ Nc，我们设定了QT-1=^PT-1:=PT-1，λT-1:=1和<<ST:=YT。在A:={inf sup pPT-1XT=~ST-1=支持支持-1YT}∩Nc，我们设定了QT-1=^PT-1:=PT-1，λT-1:=1/2和ST:=（XT+YT）/2。关于：={inf SUPPT-1XT<ST-1.支持-1YT}∩ Nc，命题2保证了集值ma pΞT-由（4）定义的数据是非空的。为了获得一个普遍可测量的选择器，我们首先修改PT-1（·）和ST-1（·）在^P′-null集^N上（因此Q′-null和P|OhmT-1-null）使其可测量（见Bertsekas和Shreve[2，引理7.27]）。通过PBT记录得到的Borel核和随机变量-1和SBT-1.我们不能用引理4来获得普遍的measu-rablemaps QT-1（·），QT-1（·），^PT-1（·）和λT-1（·）使PBT-1(ω) << QT-1(ω) ~ QT-1(ω) <<^PT-1（ω），如果ω∈ A\\^N，然后^PT-1(ω) ∈ PT-1（ω）和λT-1（ω）EQT-1（ω）[YT（ω，·）]+（1- λT-1（ω））EQT-1（ω）[XT（ω，·）]=SBT-1(ω). （6）定义-1:=λT-1QT-1+ (1 - λT-1） QT-1.（7）让我们-1、Q2BT-1、QBT-1是否对QT进行了任何Bor el修改-1，QT-1，QT-1在^P′下。同时确定▄ST：=λT-1dQ1BT-1dQBT-1YT+（1）- λT-1） dQ2BT-1dQBT-1XT（8），其中我们选择了一种形式的Radon-Nikodym导数，它可以在（ω，ω′）中联合测量∈ Ohmt×Ohm. 在∩^N，重新定义QT-1=^PT-1:=PT-1，λT-1:=1/2和ST:=（XT+YT）/2。定义Q:=Q\' QT-1，^P=^P′^PT-1.我们有P<< Q<<^P∈ P（注意P=P|OhmT-1.PT-1=P|OhmT-1. PBT-1），以及∈ ri[XT，YT]Q-a.s。。第2步：验证EQ[~ST | FT-1] =~ST-1.

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2022-4-29 18:47:36

这就说明S是一个广义鞅，实际上是卡巴诺夫和萨法里安[11，命题5.3.2，5.3.3]提出的一个真正的鞅。我们现在检查[ST | FT]-1] =~ST-1分别在每个通道上。2a）声称XT=~ST-1P-q.s.（因此q-a.s.）在一个确定的停止时间τn，σnbyτ：=inf{t∈ [0，T- 2] ：λt=0}，△σn:=inf{t∈ （)τn，T- 2] ：λt>0}，△τn+1:=inf{t∈ （∑n，T）- 2] ：λt=0}。归纳假设意味着xτn=Yτn=XtT∈ [~τn，~σn∧ （T）- 1） [9）Bayraktar和Zhang:FTAP下的交易成本和模型不确定性运筹学数学00（0），第000-000页，c在集合{τn<∞} P′-q.s。。通过φ：=0定义投资组合过程φ，对于t=0，T，φT+1:=Xn{τn≤t<σn}- 1{τn<σn=∞}∩交流电∩{t=t-1}- 1{τn<σn=∞}∩A.∩{t=t}，以及△φt+1=-(△φt+1）+Xt- (△φt+1）-嗯。然后，φ在M市场上进行自我融资。M以上，φT+1≥ 0个P-q.s。。实际上，在集合{τ=∞},没有交易记录。关于集{τm<σm=∞} 对我来说≥ 1.策略是在时间τ重复购买ashare，并在时间σ出售所有n<m的ashare。之后，在时间τ购买股票并在时间T出售- 1如果未观察到Ais，在时间T如果观察到Ais。在未观察到Ais的情况下，（9）意味着每个持有期的售价为P′-q.s.（h也是P-q.s.，因为所有交易都发生在时间T或之前）- 1）与持有期的买入价相同。所以我们最终处于零位。在观察到Ais的情况下，（9）再次暗示P′-q.s.在最后一个保存期之前取消；在最后一个持有期内，我们以时间τmat the price Yτm购买一股股票，并在时间t以XT的价格出售-1-q.s.大于或等于ST-1=XT-1根据A.（9）的定义，则意味着≥ 关于{τm<σm=∞} ∩ A.这样我们就可以平仓而不亏损。

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2022-4-29 18:47:40

关于set{σm<τm+1=∞} 对我来说≥ 1.时间T或之前的所有交易- 我们有P′-q.s.（因此P-q.s.）完美相消。根据NA（P），对于修正市场（Lemma3），我们必须有φT+1=0 P-q.s。。但φT+1=1A∩{λT-2=0}（XT-~ST-1).这显示XT=~ST-A上的1P-q.s∩ {λT-2= 0}. A.服务∩ {λT-2> 0} A′：={inf sup pPT-1XT=XT-1=~ST-YT=1-1.支持-1YT}∩ 北卡罗来纳州。我们可以构建另一个自我融资的投资组合流程，在T时间购买股票- 1，并在T时间出售。终端位置为1A′（XT-~ST-1）这是P-q.s.非负的。NA（P）则意味着XT=~ST-A′上的1P-q.s。结合前面的结果，我们证明了这一说法。它沿着t hatAEQ[|ST | FT]走-1] =EQ[1AXT | FT-1] =EQ[1A~ST-1 |英尺-1] =1A~ST-1，当第一个等式通过构造成立时，我们有2b）类似地，我们可以证明YT=~ST-A上的1P-q.s.这意味着-1] =等式[1AYT | FT-1] =EQ[1A~ST-1 |英尺-1] =1A~ST-1.2c）自XT=~ST-1=YTP-q.s.和<<ST=（XT+YT）/2在A上，我们有AEQ[~ST |英尺-1] =等式[1A（XT+YT）/2 | FT-1] =EQ[1A~ST-1 |英尺-1] =1A~ST-1.2d）在A，u sing（6），（7）和（8），我们有-1[~ST]=EQBT-1[~ST]=λT-1EQ1BT-1[YT]+（1）- λT-1） EQ2BT-1[XT]=λT-1EQT-1[YT]+（1）- λT-1） EQT-1[XT]＝SBT-1=~ST-1，其中除第二个等式外的所有等式均为Q′-a.s。。这意味着-1] =1A~ST-1.Bayraktar和Zhang：交易成本和模型不确定性下的FTAP 12运筹学数学00（0），第000-000页，c第三步。验证扩展重量过程（λt）t=0，。。。，T-1和相应的停止时间满足（ii\'）中所述的特性。我们将用τn，σn，τn，σn来表示市场M的停止时间。注意，它们与市场M′的对应时间＠τn，＠σn，＠τn，＠σn不同，仅可能在最后一个交易周期。

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2022-4-29 18:47:45

我们只检查与τn，σn有关的性质，因为我们在步骤2中的扩展是对称的。在这一步中，为了保持符号简单，我们将Ft可测函数定义为Ohm 对于每个t，即如果f是Ft可测的，ω|Ohm这是ω的第一个t分量∈ Ohm, 然后我们把f（ω）写成f（ω）的意思|Ohmt）。让ω∈ {τn<∞}. 还假设ω属于P′-q.s.集，其中（9）保持不变（P′-q.s.集也是op-q.s.）。共有四例。3a）τn（ω）<σn（ω）≤ T- 2.在这种情况下，τn（ω）=τn（ω），σn（ω）=σn（ω），我们有Xτn（ω）（ω）=Yτn（ω）（ω）=Xt（ω）T∈ [τn（ω），σn（ω）∧ T]=[τn（ω），σn（ω）∧ （T）- 1）【参考译文】根据诱导假说。3b）τn（ω）≤ T- 2，σn（ω）=T- 1.在这种情况下，τn（ω）=τn（ω）和∧σn（ω）=∞. 同样，归纳假设给出Xτn（ω）（ω）=Yτn（ω）（ω）=Xt（ω）T∈ [τn（ω），σn（ω）∧ T]=[τn（ω），σn（ω）∧ （T）- 1） ].3c）τn（ω）≤ T- 2，σn（ω）=∞. 在这种情况下，τn（ω）=∞ 和[τn（ω），σn（ω）∧ T]=[)τn（ω），T]。归纳假设意味着t的Xτn（ω）（ω）=Yτn（ω）（ω）=Xt（ω）∈ [°τn（ω），T- 1]. 它需要检查XT（ω）=XT-1（ω）表示P-q.s.例如ω。就过程λ而言，情况3c）对应于λT-2（ω）=λT-1(ω) = 0. λT-2（ω）=0意味着ST-1（ω）=XT-1(ω). 根据我们的构造，λT-1=0，仅在我们拥有XT=~ST的Aon上-1=XT-1P-q.s..3d）τn（ω）=T- 1，σn（ω）=∞. 在这种情况下，τn（ω）=σn（ω）=∞. 我们需要检查一下-1（ω）=YT-1（ω）=XT（ω）表示P-q.s.例如ω。就过程λ而言，情况3d）对应于λT-2（ω）>0=λT-1(ω). 通过构造，λT-1（ω）=0仅当ω∈ A.So XT（ω）=ST-1（ω）=XT-1（ω）表示p-q.s.这样的ω。如果XT-1（ω）6=YT-1（ω），然后λT-2（ω）>0意味着ST-1（ω）>XT-1(ω). 所以我们必须有一个-1（ω）=YT-1（ω）=ST-1（ω）=XT（ω）表示P-q.s.ω，即f进入情况3d）。关于tσn，τnca的陈述可以通过对称参数进行验证。

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2022-4-29 18:47:49

因此，我们证明了（i）意味着（ii\'）对于周期为T的递归定义市场[X，Y]。最后，我们注意到（ii\'）清楚地暗示（ii）。（二）=> （i）：让f∈ 应该是这样的≥ 0个P-q.s。。为了表示f=0 P-q.s，我们假设在对比中，P∈ 假设P（kfk>0）>0，并试图推导出一个矛盾。对于某些φ，写入f=φT+1∈ H.设（Q，~S）为（ii）给出的Cp。根据引理11，我们可以找到Q′~ 这么说△φt+1对于所有t=0，…，都是Q′-可积的，T.然后对Kabanov和Safarian[11，引理3.2.4]稍作修改，得到一个有界的、严格正的Q′-鞅Z=（Z，Z）满足≤ Z/Z≤ 让h·，·i表示通常的内积。一方面，EQ′[hZT，fi]=TXt=0EQ′[hZT，△φt+1i]=TXt=0EQ′[hZt，△φt+1i]=TXt=0EQ\'Zt公司△φt+1+zt△φt+1≤TXt=0EQ′Zt公司△φt+1+St(△φt+1）+- 圣(△φt+1）-≤ 0根据Q′下Z的鞅性质和φ的自融资性质。另一方面，Q′~ Q>> P表示Q′（kfk>0）>0。和f一起≥ 当dzt>0时，我们得到了矛盾的线性方程[hZT，fi]>0。5.多维扩展在本节中，我们将我们的方法和结果扩展到多维情况。概率框架和模型不确定性集与第2节相同。现在考虑的金融市场由d个动态交易资产组成，每个交易资产在t∈ {0，…，T}，我们得到一个随机锥Kt：OhmtRd，名为Bayraktar和Zhang:FTAP《运筹学的交易成本和模型不确定性数学》00（0），第000-000页，c0000通知13偿付能力锥。假设每个kT是一个封闭的凸锥，包含非负的Orthantard+。这是一个圆锥投资组合，可以被清算成零投资组合。-Kt是从零开始可用的Portfolio圆锥体，Kt:=Kt∩ (-Kt）是投资组合的线性空间，可以转换为零，反之亦然。

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2022-4-29 18:47:54

我们还定义了双锥K*t（ω）：={y∈ Rd:hx，易≥ 0 十、∈Kt（ω）}，ω∈ Ohmt、 K*这是一个封闭的凸锥，包含在Rd+中。我们假设图（K*t）是分析型的。特别是，这意味着K*tand-kT可以通过引理12、13和16进行普遍测量（关于可测量集值d映射的定义，请参见附录）。给定一个（随机）集G Rd，我们用L（G；Ft）表示G中所有Ft可测量函数值的集合。定义为：=Pts=0L(-Ks；财政司司长）。然后Atis被解释为从零开始在时间t可实现的权利主张集。也可以为所有Ft可测量函数的集合写LP（G；Ft），取gp-q.s中的值。。备注8。对于第2节所述的市场，偿付能力锥K是由单位向量e、e和向量S平移的闭合凸锥- e、 Ste- e、自我约束条件可以等效地写为△ φt+1∈ -L（Kt；Ft）。定义3。我们说NAs（P）适用于所有t∈ {0，…，T}，在∩ LP（千吨；英尺） LP（Kt；Ft）。定义4。我们说，如果intK*t6= P-q.s.适用于所有t∈ {0，…，T}。备注9。intK*t6= 等于Kt={0}。我们现在将NAs（P）与Bouchard和Nutz[3]使用的无套利概念NA（P）进行比较。它完全类似于经典的单测度情形。定义5（[3，定义2.2]）。我们说NA（P）对所有t都成立∈ {0，…，T}，LP（Kt+1；Ft） LP（Kt；Ft）。引理5。假设摩擦力足够大，NA（P）意味着NAs（P）。证据让f∈ 在∩ LP（Kt；Ft）。在ξs处写f=ξ+··+ξtw∈ L(-Ks；Fs），s=1，t、我们有ξ+··+ξt-1.∈ LP（Kt；Ft）-1）因为这是一个圆锥体。NA（P）则意味着ξ+··+ξt-1.∈LP（Kt）-1.英尺-1). 因此，ξ+··+ξt-2=ξ+··+ξt-1+ (-ξt-1) ∈ LP（Kt）-1.英尺-2) LP（Kt）-2.英尺-2). 重复这个过程，直到得到ξ+··+ξs∈ LP（Ks；Fs）对于所有s=t，0.然后ξ∈ K∩ (-K） ={0}通过有效摩擦。

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2022-4-29 18:47:57

回到e步，我们有ξ+ξ=ξ∈K∩ (-K） ={0}P-q.s。。重复这个过程，直到我们g etξs=0 P-q.s.对于所有s=0，t、然后f=ξ+··+ξt=0∈ KtP-q.s。。备注10。在引理5中，有效摩擦假设不能被放弃。例如，考虑一个简单的单周期确定性市场，它由零利率货币市场和一只股票组成，股票的b id要价S=S=S=1，b id要价S=2。然后K={（x，x）∈ R:x+x≥ 0}和K={（x，x）∈ R:x+x≥ 0，x+2x≥ 0}. 很明显，K K.苏娜（P）持有。但是(-1, 1) ∈ A.∩ L（K；F）不是K={0}的元素。所以NAs（P）失败了。备注11。反之则不然。NA（P）表示，今天没有偿付能力的头寸，明天就不可能有偿付能力，而这种偿付能力相当强。再次，考虑一个由零利率货币市场和一只股票组成的单期决定论市场，其b id-ask价格S=1、S=3、S=2和=4。我们有K={（x，x）∈ R:x+x≥ 0，x+3x≥ 0}和k={（x，x）∈ R:x+2x≥ 0，x+4x≥ 0}. 通过图片可以很容易地验证，这种方法是NAs（P），但不符合NA（P）。职位(-1，2/3）今天没有偿付能力，但明天就会偿付，因此是第二种套利。我们不想考虑这种套利行为，因为(-1，2/3）甚至在今天都无法实现。考虑到更一般的市场结构，我们将使用NAs（P）而不是NA（P）。结果表明，NAs（P）加上有效的摩擦，足以暗示一个双元素家族的存在。Bayraktar和Zhang：交易成本和模型不确定性下的FTAP 14运筹学数学00（0），第000–000页，c定理2。以下是等效的。（i） NAs（P）和高效摩擦保持。（二）P∈ P Q∈ P(Ohm) 过滤（Ft）中的Q-鞅Z，使得P<< Q<< P和ZT∈ intK*tQ-a.s。 t=0。

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2022-4-29 18:48:01

我们将上述两个（Q，Z）称为严格一致的价格体系（SCPS）。更困难的指示（i）=> （ii）我们的目标是证明NAs（P）与有效摩擦的结合意味着存在一个具有偿付能力的改良市场 KTT，这也满足了效率要求，此外，还满足了NA（P）的本地版本。然后，我们可以模仿Bouchardand Nutz[3]中的证明，在一个SCP家族中，每个SCP对应一个∈ P、对于修改后的市场。辛辛泰克*T intK*t对于所有交易而言，修改市场的任何SCP也是原始市场的SCP。在正向扩展部分，我们不能直接使用[3]的结果，因为我们修改后的市场总体上不可测量。我们还发现了他们关于有界摩擦和K的假设*T∩ Rd+={0}不需要。5.1. 向后递归*T:=K*t=t的Tand- 1.0, ω ∈ Ohmt、埃克*t（ω）：=K*T∩ cl（conv（Γt（ω）），其中Γt（ω）：=suppt（ω）eK*t+1（ω，·）。（10）这里支持（ω）eK*t+1（ω，·）表示最小闭集F Rdp（eK）*t+1（ω，·） F）=1P∈ Pt（ω）。可以证明∈ suppt（ω）eK*t+1（ω，·）当且仅当ε > 0, P∈ Pt（ω）这样的P（eK*t+1（ω，·）∩ Bε（y）6=) > 0.每个人*这很明确，也就是说，由于Lemma6，支持操作是有意义的。埃克*这是一个非空的、封闭的凸锥体。一旦我们有了*t、我们可以通过ekt:=（eK）定义修改后市场的溶解锥*（t）*. 很明显，艾克*T K*坦德KteKt。引理6。对于每个t，图（eK*t）是分析型的。证据根据假设，图（eK）*T） =图（K）*T）是分析型的。上位图（eK）*t+1）是解析的，我们将显示图（eK）*t）是分析型的。观察该图（Γt）=n（ω，y）∈ Ohmt×Rd:y∈ suppt（ω）eK*t+1（ω，·）o=\\nn（ω，y）∈ Ohmt×Rd：P∈ Pt（ω）s.t。

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2022-4-29 18:48:06

P（eK）*t+1（ω，·）∩ B1/n（y）6=) > 0o=\\n项目Ohmt×Rdn（ω，y，P）∈ Ohmt×Rd×P(Ohm) :（ω，P）∈ 图（Pt），EPh{eK*t+1（ω，·）∩B1/n（y）6=}i> 0o。自图（eK）*t+1）是由归纳假设分析的，我们知道（ω，ω′，y）∈ Ohmt×Ohm×Rd:eK*t+1（ω，ω′）∩ B1/n（y）6=o=项目Ohmt×Ohm×Rdn（ω，ω′，y，z）∈ Ohmt×Ohm×Rd×Rd:| y- z |<1/n，（ω，ω′，z）∈ 图（eK）*t+1）ois分析。因此（ω，y，P）7→ EP{eK*t+1（ω，·）∩B1/n（y）6=}是美国。。因此，Γthas是一个分析图。其余部分来自Lemma12。也可以使用IngekT而不是ofeK来描述后向递归*t、这对于推导无套利性质更为方便。let∧t（ω）：={x∈ Rd:x∈eKt+1（ω，·）Pt（ω）-q.s.}。事实上，它比SCP多一点，因为SCP只需要Zt∈ 里克*所有t.Bayraktar和Zhang的tQ-a.s.：交易成本和模型不确定性下的FTAP运筹学数学00（0），第000–000页，c引理7。∧t=Γ*t、证据。“ ”: 让x∈ ∧t（ω）和y∈ Γt（ω）。我们想展示hx，易≥ 0.让我们 Ohmt（ω）-q.s.设置为x∈eKt+1（ω，ω′）ω′∈ A.y∈ Γt（ω）=suppt（ω）eK*t+1（ω，·）意味着ε > 0,Pε∈ Pt（ω）使得Pε（Aε）>0，其中Aε：={ω′∈ Ohm:埃克*t+1（ω，ω′）∩ Bε（y）6=}. 对于每个ε>0，由于Pε（A）=1和Pε（Aε）>0，我们必须有一个∩Aε6=. 设ωε∈ A.∩ Aε。我们有x∈eKt+1（ω，ωε）andeK*t+1（ω，ωε）∩ Bε（y）6=. 选择zε∈埃克*t+1（ω，ωε）∩ Bε（y）。我们构造了一个满足hx，zεi的序列（zε）≥ 0和zε→ y为ε→ 0.这是hx，易≥ 0.“ ”: 对于每个ω∈ Ohmt、考虑普适可测集Aω：={ω′∈ Ohm:埃克*t+1（ω，ω′）Γt（ω）}。通过定义集值映射的支持度，我们得到了所有P的P（Aω）=1∈ Pt（ω）。让x∈ Γ*t（ω）。向x展示∈ λt（ω），表示x∈eKt+1（ω，ω′）ω′∈ ω。这是显而易见的*t（ω）（eK）*t+1）*（ω，ω′）=eKt+1（ω，ω′）ω′∈ ω。提议3。（i）埃克*t=K*T∩ Λ*t、（ii）eKt=cl（Kt+t）。如果英特*t6=, theneKt=Kt+λt.证明。

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