具有小交易成本的预期损失约束下的套期保值

2022-5-4 22:25:47

具有小交易成本的预期损失约束下的套期保值*Bruno Bouchard+Ludovic MoreauH.Mete Soner§2018年5月9日摘要我们考虑在具有比例交易成本的市场中进行期权套期保值的问题。由于超级复制在这样的市场上非常昂贵，我们用预期损失约束代替完美对冲。通过对小交易成本的渐近分析，得到了一个可处理的模型。用动态规划方法发展了一种广义展开理论。在指数和幂效用函数的特殊情况下，得到了显式公式。作为一个协整函数，我们得到了指数效用差异价格的渐近解。关键词：预期损失约束，套期保值，交易成本，渐近展开。AMS 2000实体分类60G42；91 B28；93E20；49L201简介众所周知，在一个没有摩擦的完整市场中，每一项未定权益都可以通过标的资产的连续交易来实现。然而，这些复制策略通常会产生无限变化的投资组合过程。因此，任何规模的交易成本都会使该投资组合产生有限的交易成本。事实上，已经证明，一般来说，最便宜的超级复制portolio是简单的购买和持有策略，这会导致高昂的成本[50、42、15、19、23、37、40、41]。从理论上讲，几乎可以肯定复制是一个吸引人的概念，这一概念在现代社会得到了广泛的研究。首先，它通过提供进入最大化的财富过程的精确描述，为效用最大化问题提供了初始构建块。此外，它提供了与所有其他方法一致的完全风险规避，并在不完全市场中产生了定价区间。当这个间隔很紧时，它也有实际用途。

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2022-5-4 22:25:50

然而，由于这不是具有交易成本的酪蛋白市场，因此必须考虑与投资者风险态度相关的预期损失标准。在无摩擦的Black-Scholes市场中，Follmer和Leucert[27,28]利用Neyman-Pearson引理（适用于一般完全市场）的深层联系，研究了分位数和预期短缺。更一般的方法*第一作者的研究部分得到了ANR Liquirisk和Labex ECODEC的支持。最后两位作者的研究部分得到了grant228053公司下属的欧洲研究理事会、ETH基金会和Swi ss金融研究所的支持。+Ceremake，巴黎多芬大学和CREST-ENSAE，bouchard@ceremade.dauphine.fr.苏黎世高等教育学院数学系，卢多维奇。moreau@math.ethz.ch.§苏黎世和瑞士金融学院数学系，hmsoner@ethz.chfor然后，在[12,9,44,13]中为不同的市场开发了马尔-科维安环境，包括跳跃和几个损失标准。这种方法的一个特殊应用是Hodges和Neuberger[34]引入的效用差异，其中通过一个人在不承担责任的情况下可能实现的最大效用给出了享乐约束。然而，在具有预期损失的套期保值的一般公式中，可以设置不止一个约束[16]，并考虑具有一般动态和摩擦的市场。在本文中，我们遵循[12]的问题公式，在交易成本很小的情况下，发展了一个用于套期保值问题的相干交感理论。渐近分析允许使用更易于处理的公式。我们的方法足够稳健，可以处理具有一般动力学和许多丢失信息的模型。为了对金融市场进行建模，我们遵循了开创性的论文[43,17]和[22,24,49]的严格数学方法。

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2022-5-4 22:25:54

有关交易成本下效用最大化的更多信息，请读者参阅本书[38]及其参考文献。在技术方面，我们基于在经典效用最大化的情况下开发的类似理论。对于这个问题，从[49]的附录开始，现在有了一个广泛的理论。现在有许多严格的结果[1,3,6,7,32,35,45,48,53]以及有趣的形式推导[2,33,54]。我们使用的偏微分方程（PDE）技术起源于最近的一篇论文[53]。它是基于粘度均匀化的理论[26]。这种方法考虑了一种灵活的渐进理论，适用于具有多种资产[48]、固定交易成本[1]和因子模型中的市场影响[45]的市场。对具有不同时间尺度的随机波动率模型[30,31]和效用最大化渐近性[29]进行了相关的符号分析。他们也使用粘度解决方案工具，但他们的方法不同。利用基于价格的预期损失的偏微分方程特征，直接导出了渐近展开式。该方程源自[12]中的随机目标公式和受控预期损失。在无摩擦的情况下，第2.2小节中描述的问题是π（t，s，p）：=infnz∈ R:EhψZt，s，z，θT- g（圣，圣）我≥ p代表一些人∈ U（t，s，z）o，其中ψ是给定的预期损失函数，p是给定的期望阈值，g是期权支付函数，U（t，s，z）是可接受的控制集，过程Zt，s，z，θ是具有初始股票价值s，初始财富价值z和控制过程θ的投资组合的价值。下文第2节给出了Zt、s、z、θ的不同类型动力学，以及可受理类别U（t、s、z）的确切描述。

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2022-5-4 22:25:57

然后，借助鞅表示，[12]将这个问题转化为[51,52]中介绍的标准随机目标问题。第2.1节介绍了具有交易成本的模型，相应的动态规划方程是一个拟变分不等式（2.7）。本文的主要结果（见第3节）是渐近展开式（3.1）。这一点在第3.7条定理的假设下得到了证明，并指出摩擦造成的损失与比例交易成本的2/3次方成正比，并且描述了扩张中第一项的系数。虽然我们的结果被证明适用于单一风险标准，但完全按照[16]中的步骤可以将其基因化为多标准。这种扩展自然会增加相应PDE的尺寸，但不会带来任何额外的技术困难。在指数效用函数和幂效用函数的计算中，ψ的显式公式是可用的。我们在第4节中收集了它们。在第7节中，我们还将解释如何构建最佳策略。特别是，如果选择阈值p作为具有交易成本但不承担任何责任的同一性最大化问题的值函数，则可以恢复效用与不同价格及其渐近性。在这种情况下，该价格首先由[21]研究。在指数效用的情况下，他们得到的价格是两个函数的差值。这些函数与两个类似问题的最大效用有关，这两个问题的解是通过一个具有梯度约束的非线性方程来描述的。相关的渐近公式适用于mally-derivedin[54]，直到最近才被Bichuch[5]严格证明。后来[46]使用了类似于我们的方法来解决这个问题。

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2022-5-4 22:26:00

如上所述，我们研究的问题m相当于对期权进行套期保值，而不是完全套期保值，而是以规定的预期损失进行套期保值。因此，我们在第4节中描述的结果得出了[5]的渐近公式。这篇文章是有组织的。下一节描述了该模型及其无摩擦对应物。在第三节中，我们陈述了主要定理和我们的推论。在第4节中，我们用指数和电力公用事业的例子来说明这个结果。第5节致力于证明主要定理，第7节验证示例中的假设。在第6节中，我们证明了几个技术估计。注释：给定O Rk与光滑函数φ：（t，x，…，xk）∈ [0，T]×o7→ R、我们写出关于t和xi的偏导数的φ和φxi。二阶导数用φxixj表示，以此类推。。。我们使用符号Dа和Dа来表示梯度和关于空间分量（x，…，xk）的海森矩阵。如果我们想根据一个亚家族来定义它们，比如（x，···，xi），我们写D（x，··，xi）和D（x，··，xi）~n。当φ仅取决于一个变量时，我们简单地写出一阶和二阶导数的φ′和φ′。Rkis的任何元素都被视为列向量，并且表示换位。对于元素ζ∈ 当r>0时，以ζ为中心半径r>0的开球用Br（ζ）表示。我们让\'B和Int（B）表示B的闭包和内部。涉及随机变量的断言必须在a.s.中理解。

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2022-5-4 22:26:03

从某种意义上说，如果没有其他规定。2在通常的预期损失约束和定价等式下的部分对冲，我们让(Ohm, F、 P）是支持一维布朗运动W，F:=（Ft）t的完全概率空间≤T由W和T>0生成的连续八次过滤是固定的时间范围。2.1按比例交易成本的控制损失定价我们考虑一个金融市场，该市场包含单一风险资产，称为股票。为了便于注释，我们假设无风险利率为0。给定初始数据（t，s）∈ [0，T]×（0，∞), 我们让St，Sd描述该资产的演变，我们假设它遵循动态St，s=s+Z·tSt，sτu（τ，St，sτ）dτ+Z·tSt，sτσ（τ，St，sτ）dWτ，（2.1），其中（t，s）∈ [0，T]×（0，∞) 7.→ （su（t，s），sσ（t，s））∈ （0×），∞) （2.2）在s中是Lipschitz连续的，在t中是连续的。后一个条件意味着强解的存在唯一性。该市场上的交易受到参数>0所描述的比例成本的影响。我们使用符号是因为我们会对渐近感兴趣→ 0.缩放只是为了便于标注，稍后会很清楚。通常，在存在交易成本的情况下，投资组合过程必须用二维过程（Y，X）来描述，其中Y表示现金账户，X表示投资股票的金额。因此我们称之为（y，x）∈ 如果y是现金头寸，x是在t时投资于股票的金额，则财务策略是一个有界变化的适应过程L。量Lτ- 书信电报-必须解释为在时间间隔[t，τ]上从ca sh账户转移到投资于股票的ac账户的累计金额。它允许正则分解为两个非减量自适应过程L=L+- L-.

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2022-5-4 22:26:06

我们用L表示交易策略的集合。假设在时间t时初始捐赠（y，x），则与策略y相关的投资组合过程（y，y，，L，Xt，x，s，L）∈ 根据y，y，，L=y-Z·t（1+）dL+τ+Z·t（1）- ）dL-τ、 Xt，x，s，L=x+Z·tXt，x，s，LτdSt，sτSt，sτ+Z·tdL+τ-Z·tdL-τ.为了排除任何可能的套利行为，我们将可接受的策略集限制为L的元素，这样投资组合的清算价值从下方有界，即L∈ 如果存在cL，则L是可容许的≥ 0例如，y，，L+l（Xt、x、s、L）≥ -克隆[t，t]，（2.3）其中l：r∈ R7→ R- | r |。我们用L（t，s，y，x）表示与时间t的初始数据（s，y，x）相关的一组可接受策略。我们现在考虑一个交易员，其目标是用支付函数g:r对冲普通欧式期权∈ (0, ∞) 7.→ g（r）∈ R.此后，假设g是连续线性增长的。一般来说，存在比例交易成本的超级套期保值成本太高，在实践中没有意义，请参见[20,42,50]和[15]了解多变量设置。因此，我们引入了一个风险标准，在该标准下，期权的定价和对冲将被执行。它是通过一个映射ψ：r指定的∈R7→ ψ（r）∈ (-∞, 0]，我们称之为损失函数。我们假设ψ在其域上是凹的、非减量的、连续的，即Im（ψ）：={ψ（r），r∈ R s。t、 ψ（r）>-∞} 伊索彭和那Ψ(-g（St，St））> -∞ 为所有人（t，s）∈ [0，T]×（0，∞).套期保值价格与损失函数ψ和阈值p有关∈ Im（ψ）由v（t，s，p，x）定义：=infny∈ R: L∈ L（t，s，y，x）s.t.Ehψ，Lt，s，y，x我≥ po，（2.4）在哪里，Lt，s，y，x:=Yt，y，，Lt+l（Xt，x，s，LT）- g（圣，圣）。关于按比例交易成本模型的一般介绍，请参见[38]。我们做出这一假设是为了获得提案2.2中的表述。

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2022-5-4 22:26:10

然后，该表示法用于验证假设。因此，如果假设得到验证，主要结果适用于一般损失函数。价值v（t，s，p，x）是最低初始价格，在该价格下，带支付（St，St）的期权应按顺序出售，以确保通过ψ评估的预期损失，不低于阈值p。请注意，假设ψ从上方有界是很自然的，因为我们在这里考虑了一个风险标准，即不应该有通过无限收益补偿损失es的可能性。从数学的角度来看，它可以放宽到额外的可积条件，以确保相应的优化问题最大E[ψ(，Lt，s，y，x）]∈ L（t，s，y，x）是适定的，参见例。[8] 以及其中的参考文献。还要注意的是，即使在退化的情况下，这个表m也是有意义的≡ 0.那么，v代表现金账户不应达到的阈值，以便终端财富满足（2.4）中的要求。该阈值是分析风险约束下最优投资问题的基础，见[10,14]。问题（2.4）是一个s-tochastic目标问题，用[12]的术语来说是可控损失。为了获得pde特征，其分析的第一步包括增加状态空间和控制集的维数，或将（2.4）中受控损失下的目标问题m转化为具有P-a.s.终端约束的目标问题，形式为[51,52]。也就是说，v承认等价公式v（t，s，p，x）=infny∈ R: （L，α）∈ L（t，s，y，x）×A s.t.ψ，Lt，s，y，x≥ Pt，p，α到（2.5），其中A表示A.s.平方可积可预测过程的集合，使得Pt，p，α：=p+Z·tατdWτ是[t，t]上的鞅。

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2022-5-4 22:26:13

（2.6）一个方向遵循期望，另一个方向只是应用于ψ的马丁格尔表示定理的结果(，Lt，s，y，x）。由于Im（ψ）是凸的，通过其域上ψ的连续性，不难看出我们甚至可以限制马氏体Pt，p，α取Im（ψ）中的值，参见[12,44]。请注意，这种重新表述是自然的。事实上，（2.4）中的预期必须被理解为一个条件预期，给定起始点t处的（琐碎）信息。条件预期随着时间的推移而发展，没有理由超过初始阈值p。鞅过程Pt，p，α在这里考虑了这种演变，并将问题转化为一个时间相关的问题：它描述了ψ的条件期望的演变(，Lt，s，y，x）。[51,52]首次获得了形式（2.5）问题的几何动态规划原理。在目前的框架中，控制是有界变化的，因此[9]对其进行了进一步研究。从[9]中的分析可以看出，v是D×Rofmaxn的（不连续）粘度溶液-LSX~n-^LP|SX k，-+1+x，-- D<T×R，ψ（ψ+x）上的（1+ψx）o=0- | x |- g） =p在DT×R上，（2.7），其中我们使用符号sd<T:=[0，T）×（0，∞) ×Im（ψ），DT:={T}×（0，∞) ×Im（ψ），D:=D<T∪ DT和lap | SX k：=a（‘σa+’σ）D|p，^LP|SX|：=inf{LaP|SX|：a∈ R s.t.“σ”aD~n=0}，LSX~n：=int+\'uD~n+TrσσD~n,式中，给定点（t，s，x，a）的偏导数的导数的向量∈ [0，T]×（0，∞) ×R×R，\'u（t，s，x）：=su（t，s）xu（t，s）和σa（t，s，x）：=sσ（t，s）xσ（t，s）a. （2.8）定理2.1。假设v是局部有界的。然后，它是（2.7）的不连续粘性解。可以利用上述特征来计算定价函数v。

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2022-5-4 22:26:17

然而，应该注意到，算子^LP |sx涉及无界集R上的优化，这使得它不连续，并且可能难以进行数值处理。此外，除非v是平滑的，否则上述pde不允许恢复相关对冲策略。在本文中，我们遵循了[53]的方法，并试图提供一个关于=0的v展开式，即对于较小的交易成本值。对于=0，财务市场已完成，问题可通过凸分析工具明确解决，如下一小节所述。因此，我们可以希望得到一个明确的展开式，或者至少是展开式中不同项的一个表征，从数值的角度来看，这将更容易处理。2.2无摩擦基准案例我们现在考虑无摩擦cas e，它将用于扩展v。关于分位数和损失对冲问题的一般阐述，请参见[27,28]，另见[11]。设U表示R值渐进可测和a.s.平方可积过程的集合。U的元素将被解释为在时间t和θ的初始现金分配金额z下投资于风险资产S的金额∈ U、 Corres-ponding（无摩擦）财富过程Zt，s，z，θ根据Zt，s，z，θ=z+z·tθτdSt，sτ/St，sτ演化，v（t，s，p，0）在（2.4）中的分析是π（t，s，p）：=infnz∈ R:EhψZt，s，z，θT- g（圣，圣）我≥ p代表一些人∈ U（t，s，z）o，其中U（t，s，z）是对控制θ的限制∈ U以至于zt，s，z，θ≥ -cθon[t，t]对于某些cθ≥ 0.由于这个无摩擦的金融市场是完整的，人们可以在温和的正则性和可积性条件下明确地描述π。我们在附录中提供了完整命题2.2的以下证明。固定（t、s、p）∈ D

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2022-5-4 22:26:21

假设函数ψ：r7→ Im（ψ）是不可变换的，它的逆Φ是C（Im（ψ））。进一步假设Φ′：Im（ψ）→(0, ∞) 允许逆I。最后假设λt，s:=（u/σ）（St，s）是s平方可积的，并且过程Qt，sde由Qt，s:=exp定义Z·t |λt，sτ| dτ+Z·tλt，sτdWτ满足感I（^qt，sT）= p表示一些^q>0，和g（St，St）+Φo I（^qt，sT）∈ L（Qt，s），其中dQt，s/dP=1/Qt，sT.Then，π（t，s，p）=EQt，sg（St，St）+Φo I（^qt，sT）. （2.9）对于有摩擦的情况，也可以通过合适的Hamilton-Jacobi-Bellmann方程得到π的特征，见[1 2]和附录。如[53]中所述，它将用于获得v在=0附近的展开式。我们用函数v来表示它：（t，s，p，x）∈ D×r7→ π（t，s，p）- x、（2.10）当投资于股票的初始金额x为非零时，它与v类似。我们注意到，通过将设为零得到的形式上的v等于v。在下面的例子中，我们仅限于v在p参数中是光滑的、递增的且严格凸的情况（单调性和凸性仅跟随ψ的单调性和凹性）。[12]中可以找到粘度溶液的相似结果。定理2.3。假设π∈ C1,2（D<T）和D<T上的min{πp，πpp}>0，那么v（T，x，p，x）=π（T，s，p）- x是- LSθv-D<T×R和ψ（v+x）上的^LP | Sθv=0- g） =p在DT×R上，（2.11），其中lap | Sθ||=2-1a（°σθ，a+°σθ，0）D|p，^LP | Sθ：inf{LaP | Sθ：a∈ R s.t.“σ”θ、 aD~n=0}，LSθ~n：=νt+\'uθD~n+Trσθ,0σθ、 0D~n,用，for（t，s，p）∈ D、 μθ（t，s）：=su（t，s）θ（t，s，p）u（t，s）和∑θ，a（t，s，p）：=sσ（t，s）θ（t，s，p）σ（t，s）a, （2.12）θ（t，s，p）=sπs+πpσμσπp- σsπspπpp！（t，s，p）。（2.13）备注2.4。为了以后使用，请注意^LP | Sθv=L^aP | Sθv和^a:=-σθ、 0Dv/vp=0σvp- σsvpsvpp，（2.14）和θ=sπs+πp^a/σ。

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2022-5-4 22:26:25

（2.15）3小交易成本扩展根据命题2.2可知，与摩擦相关的价值函数v是已知的，或者至少可以轻松计算。因为它应该标识为vfor=0，所以我们寻求vas的n展开式→ 其中v是0阶项。从[53]中，如果我们引入第二项和第四项，我们可以期望得到o（）-展开式，最后一项取决于下面的快速变量ξξ。也就是说，我们寻求两个函数u和使得v（ζ，x）=v（ζ，x）+u（ζ）+ o ζξ（ζ，x）+o（）表示（ζ，x）∈ D×R，（3.1）其中，对于ma p w：（ζ，ξ）∈ D×r7→ w（ζ，ξ），我们设定（wo ξξ（ζ，x）：=w（ζ，ξξ（ζ，x）），其中ξξ（ζ，x）：=x- θ(ζ). （3.2）注意，当w在ξ中有次二次增长时，项 o （3.1）中的ξξ（ζ，x）的阶数比低，在展开式中不起作用。我们将证明这一点。然而，至少在形式层面上，的二阶导数 o ξξ（ζ，x）正好是的阶数，这一观察结果对于推导修正方程至关重要。此外，在形式匹配渐近的上下文中，人们可以将（3.1）识别为内部扩展。备注3.1。在ψ的域从下方有界的情况下，收敛v→ v不能保持，除非g是线性的。事实上，假设ψ的域以-κ ∈ R、即ψ≡ -∞ 在(-∞, -κ). n，由[15]可知v（T，s，p，x）≥ ^g（s）- 十、- κ代表所有（t，s，p，x）∈ D<T×R，其中^g是g的凹包络。另一方面，limt→Tv（t，s，p，x）=g（s）- 十、- κ + Ψ-1（p）+κ，乘以（2.11），其中ψ-1是ψ的左连续逆。如果g不是凹的，即{^g>g}是非空的，我们因此得到v在{（t，s，p）的非n-空子上不将e s转化为v∈ D<T:^g（s）>g（s）+ψ-1（p）+κ}。因此，我们需要假设g是连通的，即^g≡ G

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2022-5-4 22:26:29

它实际上既不能在（0，∞).否则，将有（t，s）这样的EQt，sg（圣，圣）=: π（t，s）<g（s），因此（t，s，p，x）<g（s）- x+ψ-1（p）=g（s）- 十、- κ + Ψ-1（p）+κ，自加入-x+ψ-1（p）到π（t，s）允许对冲ZT:=g（St，St）+ψ-1（p）表示ψ（ZT- g（St，St））=p。通过选择p，使得ψ-1（p）+κ接近于0，我们再次得出v（t，s，p，x）即使^g=g也不会收敛到v（t，s，p，x）。我们的主要结果提供了函数u和假设v以O（）的速率收敛。我们将在下面第4节的典型应用示例中看到这一点。假设3.2。对于任何（ζo，xo）∈ D×R，存在ro，o>0这样的情况u（ζ，x）：=v（ζ，x）- v（ζ，x）（ζ，x）∈ Bro（ζo，xo）∩ （D×R），∈ （0，o）< ∞.（3.3）当下限为零时，问题自然域的边界由超级复制代价给出。我们相信在这种情况下，在这个边界附近有一个边界层。该假设表明，小参数的展开以二次项开始。换句话说，我们假设提议的扩展顺序为“正确”。在这个和其他正则性假设下，我们证明了展开式，并导出了展开式中系数的公式。事实上，这一假设在许多例子中都成立。然而，在备注3.1中讨论的情况下，我们认为存在边界层，该假设仅适用于超级复制成本。它能让我们感受到放松的半极限*（ζ，x）：=lim sup↓0，（ζ′，x′）→（ζ，x）u（ζ′，x′）和u*（ζ，x）：=lim inf↓0，（ζ′，x′）→（ζ，x）u（ζ′，x′），（3.4），这将是我们分析的主要对象。

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2022-5-4 22:26:32

更准确地说，我们将展示*= U*=: u不依赖于x变量，是(-H~n- 在D<T时h=0，在DT时φ=0，（3.5），其中hφ=φT+σs^ss+（^a）^pp+σs^a^sp-^a^p，（3.6），其中^a在（2.14）中定义，以及(, h）是所谓的第一修正方程的解，即每个方程（ζ，ξ）∈ D<T×R:max{-[πpp（πp）σ]（ζ）ξ+h（ζ）-[σδ](ζ)ξξ(ζ, ξ); -1 + ξ(ζ, ξ); -1.- ξ（ζ，ξ）}=0，（3.7），其中δ：=sθs- θ+θpπp（θ- sπs）。（3.8）为了构建一对(, h）对于无摩擦问题的值函数π，我们需要一些光滑和非退化条件。假设3.3。函数π、θ和δ分别是C1,2（D）和（πpp）∧ πp∧ |D.引理3.4上的δ|）>0。让假设3.3成立。然后，t在D上存在一个局部有界函数h和一个非负函数在D×R上，对于所有ζ∈ D、地图ξ∈ R7→ （ζ，ξ）是C（R），在R上求（3.7）。此外，它满足（i）（·，0）=D.（ii）上的0 ∈ C1,2（D×R）和|ξ| ≤ D×R上的1（iii）存在一个连续函数 : D→ R如此|(·, ξ)|1 + |ξ|+ (|t |+| D| + |D|)(·, ξ) ≤ 在D上， ξ ∈ R.（3.9）（iv）D上存在一个连续的正函数^ξ，因此，对于所有（ζ，ξ）∈ D×R，ξ(ζ, ξ) = -1.<=> ξ ≤ -^ξ（ζ）和ξ(ζ, ξ) = 1 <=> ξ ≥^ξξ(ζ).这一结果的证明推迟到第6节。在这一节中，我们还为, h和^ξ关于π及其导数，见下文（6.5）、（6.3）和（6.4）。备注3.5。根据引理3.4，我们确实有|(·, ξ)| ≤ |ξ|对于所有ξ∈ R.这是（3.7）和（i）的直接结果。为了将u完全描述为u*= U*, 我们还需要（3.5）的比较原则。假设3.6。存在一组包含u的函数C*你呢*, 这样你≥ 当u（分别为u）为低s emi连续（分别为上半连续）粘度超溶液（分别为。

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2022-5-4 22:26:36

在上述条件下，我们将在第5节中证明DIN（3.1）的展开式成立。定理3.7。假设3.2、3.3和3.6成立。然后，（3.1）与如引理3.4和由C中（3.5）的唯一粘度解给出的u。此外，u=u*= U*.证据这是下面5.5、5.7和5.8的支持立场以及假设3.6的直接结果。如上所述，函数π是显式的，或者可以单独计算，v也是如此，而在下文（6.5）b中给出了π及其导数。至于u，它求解线性方程（3.5），只要（2.14）中定义的函数^a和^au/σ是D上的Lipschitz，就可以用数值求解。注意，在这种情况下，它允许Feynman-Kacrepresentationu（t，s，p）=E“ZTthτ、 \'St，sτ，\'Pt，s，pτdτ#，其中St，s用u溶解（2.1）≡ 0，和¨Pt，s，p:=p-Z·t（^au/σ）（τ，\'St，sτ，\'Pt，s，pτ）dτ+Z·t^a（τ，\'St，sτ，\'Pt，s，pτ）dWτ。如果概率度量Qt，sof命题2.2已明确定义，则相当于tou（t，s，p）=EQt，s“ZTthτ、 St，sτ，^Pt，s，pτdτ#，其中^Pt，s，p:=p+Z·t^a（τ，St，sτ，^Pt，s，pτ）dWτ。在第4节的例子中，所有这些数量都是已知的，只要你能计算出Black and Scholes模型中普通香草欧式花生选项的价格和希腊人。还要注意，函数π和^ξ可用于在原始问题（2.7）中构造几乎最优的策略。这将在第7节的“指数”和“功率风险”标准中解释。备注3.8。我们在此仅限于单一股票的情况，主要是为了便于注释。第5节中包含的论点可以在多维文档中复制。

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mingdashike22

2022-5-4 22:26:39

主要困难将来自建筑业在L e mma 3.4中，参见[47]，并从第7.4节示例证明中的Skorhod问题的解的存在性出发，在本节中，我们讨论了两个典型的应用示例，其中假设3。满足2、3.3和3.6，因此可以应用定理3.7的扩展结果。4.1 Black和Scholes模型中的指数风险标准我们首先专门讨论损失函数ψ为指数形式的情况：ψ（r）：=-E-ηr，r∈ R，（4.1）对于某些η>0，股价St，s服从Black和Scholes动态St，s=s+Z·tλσSt，sτdτ+Z·tσSt，sτdWτ，（4.2）对于某些（λ，σ）∈ （0×），∞).在这种情况下，定价函数π可以显式导出。这是命题2.2的一个简单推论。我们记得h和^ξ在下面的（6.3）和（6.4）中给出。提议4.1。所有人（t、s、p）∈ D:=[0，T]×（0，∞) × (-∞, 0），π（t，s，p）=π（t，s）+π（t，p），（4.3），其中π（t，p）：=-λ（T）- t） 2η-ηln(-p）和π（t，s）：=EQg（圣，圣）有dQ/dP时：=e-λT-λWT。此外，如果¨π∈ C0,2（[0，T]×（0，∞)), 然后θ（t，s）=s′πs（t，s）+λση，δ（t，s）=s′πss（t，s）-λση，^a（p）=-λp，h（t，s）=ση|δ（t，s）|，^ξ（t，s）=2η|δ（t，s）|。（4.4）它们在下面假设4.2的条件下得到了很好的定义。特别注意，θ、δ、h和^ξ仅与（t，s）有关。（4.5）此外，第二个c orrector方程（3.5）可以写成-~nt-σs~nss-λpаpp+σλspаsp+λpаp- D<T时h=0，DT时φ=0。（4.6）如果h是有界的，这将是下面假设4.2下的情况，则根据标准参数^u：（t，s）∈ [0，T]×（0，∞) 7.→ 等式“ZTth（τ，St，sτ）dτ#，（4.7）是具有多项式增长的函数类中（4.6）的唯一粘性解，参见[18]。我们现在施加条件，使定理3.7的假设3.2、3.3和3.6成立。

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2022-5-4 22:26:42

特别是，它们与[5，假设3.1和3.2]中使用的假设类似。假设4.2。以下观点认为：这些假设可以使用无摩擦方程和g.a.“π”假设直接验证∈ C1,4（D）。b、存在K>0使得| g |+| s |πs |+| s |πss |+|δ-1 |+|θt |+| sθss |≤ 注意，这些条件特别意味着^u， ∈ C1,2（D）的精确表达式见下文（4.4）和（6.5）.提案4.3。设ψ如（4.1）所示，S如（4.2）所示。然后，假设4.2包含定理3.7的假设3.2、3.3和3.6。这一主张的证明推迟到第7节。备注4.4。【——最优策略】在命题4.3的证明过程中，我们将解释如何在额外的正则性假设下，针对具有交易成本的公共关系问题，构建O（）、oro（）阶最优的策略，该策略仅取决于v、^u、， θ。见提案7.1 a和7。下文2。请注意，作为一个副产品，我们的扩展可以恢复[5]对霍奇斯和纽伯尔-格尔差异价格的结果。更准确地说，让V定义为V（t，s，y，x）：=supL∈L（t，s，y，x）EhψYt，y，，LT+l（Xt，x，s，LT）- g（圣，圣）除g外，土地和土地的定义类似≡ 0.然后，与交易成本相关的市场差异价格由q（t，s，y，x）：=inf{q给出∈ R:V（t，s，y+q，x）≥~V（t，s，y，x）}。很容易看出，对于指数风险标准，q不依赖于它们的变量，并且q（t，s，x）=-ηln~V（t，s，y，x）V（t，s，y，x）！=v（t，s，-1，x）- ~v（t，s，-1，x），其中，v定义为v，但代表g≡ 0

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2022-5-4 22:26:46

在命题4.3的假设下，它接着遵循q（t，s，x）=π（t，s）+EQ“ZTt”h（τ，St，sτ）dτ#+o（），其中h（t，s）：=ση|δ（t，s）|-λση!.4.2 Black和Scholes模型中的功率风险标准我们现在考虑ca seψ（r）：=-（r+κ）-β{r>κ}- ∞1{r≤κ} ，r∈ R、（4.8）β，κ>0。对于这个r isk函数，命题2.2意味着π=’π+^π与‘（t，s）=EQ[g（St，St）]和^π（t，p）：=-κ + (-p）-βm（t）（4.9）表示（t，s，p）∈ D、其中m是满足m（T）=1的Cb（[0，T]）正函数。然而，鉴于备注3.1，我们不能期望出现v→ 如果g不是线性的。由于在两个模型中，任何线性支付都被相同的买入和卖出策略完美地对冲，这归结为考虑了案例g≡ 0到nκ和x的初始位移，以额外的l项为代价。因此，我们仅限于退化情况g≡ 0.回顾第2.1节，问题仍然值得关注，因为v是分析风险约束下最优投资问题的基石，参见[10,14]。提案4.5。设ψ为（4.8），S为（4.2）和g≡ 0.然后假设3。定理3.7的2、3.3和3.6成立。证据推迟到第7节。备注4.6。[-最优策略]与指数情况一样，在命题4.5的证明过程中，我们产生了一个策略，对于交易成本问题，它在o（）阶上是最优的，并且只取决于v，^u， θ。见下文备注7.3。5小交易成本扩张的推导5。1.准备工作我们从推导简单的估计开始，这些估计将在问题中起重要作用。备注5.1。

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大多数88

2022-5-4 22:26:49

注意，对于（ζ，x）∈ D×R，现金和股票（v（ζ，x）+x+|x |，0）的初始点可以通过立即转移转化为（v（ζ，x），x）L=x，而初始点（v（ζ，0）-x+| x |，x）c可以通过立即转移转化为（v（ζ，0），0）L=-x、根据v的定义，这意味着v（ζ，0）- | x |≤ v（ζ，x）+x≤ v（ζ，0）+x。（5.1）备注5.2。根据[15，命题6.1]中的相同论点，v≥ v、引理5.3。（i）函数u*你呢*与x变量无关；（ii）此外，对于所有ζ∈ D、我们有*（ζ） =lim sup↓0,ζ′→ζu*（ζ′，θ（ζ′）和u*（ζ） =lim inf↓0,ζ′→ζu*（ζ′，θ（ζ′），（5.2）其中u*你呢*表示u的上半连续包络和下半连续包络。证据我们只为你展示结果*, 同样的原因可用于relax EDU半极限*. 固定ζ∈ D和x∈ R.根据美国的定义*, 存在一个序列（ζ，x）>0，这样的序列（ζ，x）-→↓0（ζ，x）和u（ζ，x）-→↓0u*（ζ，x）。（5.3）也固定一个序列（x′）>0到x′∈ R as→ 0.根据备注5.1以及（3.3）和（2.10）中u和v的定义，我们有v（ζ，0）- | x|≤ u（ζ，x）+π（ζ）≤ v（ζ，0）+x，v（ζ，0）- |x′≤ u（ζ，x′）+π（ζ）≤ v（ζ，0）+x′|-（|x|+|x′）≤ u（ζ，x）- u（ζ，x′）≤ （|x|+|x′）。发送→ 0，然后使用（5.3）将导致tolim→0u（ζ，x′）=u*（ζ，x）。这特别表明，美国*（ζ，x′）≥ U*（ζ，x）。

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2022-5-4 22:26:52

通过x的任意性，x′的∈ R、反之亦然，表明*不依赖于其x变量。此外，应用于x=x′：=θ（ζ）和x′：=θ（ζ），上述表示lim sup↓0,ζ′→ζu*(ζ′, θ(ζ′)) ≥ U*（ζ，θ（ζ））=lim sup↓0，（ζ′，x′）→（ζ，θ（ζ））u（ζ′，x′）。为了总结（5.2）左侧的证明，仍需证明Lim sup↓0，（ζ′，x′）→（ζ，θ（ζ））u（ζ′，x′）=lim sup↓0，（ζ′，x′）→（ζ，θ（ζ））u*（ζ′，x′，（5.4）和使用不等式lim sup↓0，（ζ′，x′）→（ζ，θ（ζ））u*（ζ′，x′）≥ lim sup↓0,ζ′→ζu*(ζ′, θ(ζ′)).为了证明上述情况成立，请注意v的连续性，参见假设3.3和回忆（2.10），意味着（ζ，ξ）∈ D×R和>0我们可以找到（ζ，ξ）∈ D×R使得（v- v）（ζ，ξ）≤ （v*- v）（ζ，ξ）≤ （v- v）（ζ，ξ）+。回顾uin（3.3）的定义，这证明了（5.4）。鉴于上述结果，我们将从现在起省略函数su中的x变量*你呢*.5.2密钥扩展引理我们现在提供以下密钥引理，这是[53，备注3.4，第4.2节]的对应项。引理5.4。求π，θ∈ C1,2（D<T）。对于>0和两个C1,2（D<T×R）函数φ和w，定义ψ=v+φ+w，w：=wo ξξ. （5.5）集合Dι：=（D<T×R）∩ {ψp>0}∩ {φp+wp≥ ιπp}对于某些ι>-1.那么，-2（LSX+^LP | SX）ψ=πpp（πp）σξξ+（H+L^aX | SP）φ+σδ（wξξξ）o ξξ）+R在Dι（5.6）上，其中l^aX|SPφ=σθφxx+σsθφsx+θσ^aφpx，其中R是定义在Dι上的连续映射，其中：（i）对于每个有界集B Dι，存在B>0使得{-1R（ζ，x）：（ζ，x，ξξ（ζ，x））∈ B、 ∈ （0，B]}是有界的。（ii）设B Dι是一个有界集。假设φ∈ C∞b（b）和w满意度（3.9）。然后，存在B>0和CB>0，使得|R（ζ，x）|≤ CB（1+|ξξ|+ξξ|）（ζ，x），适用于所有∈ （0，B]和（ζ，x）∈ B.证据。

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nandehutu2022

2022-5-4 22:26:56

在所有这些证明中，我们都致力于Dι，忽略了简单性的论证。第一步：我们首先为LSXψ提供一个扩展。第一项来自关系x=θ+ξ：LSX（v+φ）=LSθ（v+φ）- ξ+R，其中R=ξμφx+σ（（2θ+ξ）φxx+2sφxs）.然后，我们利用ξξ=ξξ/a以及∑a和∑θ的定义，得到Lsx（w）=（wξξ）o ξξ）DξξσσDξξ+R=（wξξ）o ξξ）Dξξσθ,0σθ、 0Dξ+R，其中R=（LSw）o ξ+ （wξ）o ξξ）LSXξξ+2sσsξξ（wsξ）o ξξ)andR=R+σ（wξξ）o ξξ（D（s，x）ξξ）0 sξξsξξθξξ+（ξξξ）D（s，x）ξξ=R+ξξσ（wξξξ）o ξξ（D（s，x）ξξ）0 ssθ+ξD（s，x）ξ。结合上述展开式，得出toLSXψ=LSθ（v+φ）- ξ+（wξξ）o ξξ）Dξξσθ,0σθ、 0Dξξ+（R+R）。（5.7）第2步：我们现在关注应用于ψ的算子^LP|sx。由于在Dι上ψp>0，我们有aLP | SXψ=Lap | SXψ：=-σDψπp×1+p（φ+w）/πp.（5.8）a.我们首先提供了（2.14）中定义的a的扩展。我们首先在f（5.8）的右侧执行一阶展开，以获得a=-σDψπp×1.- p（φ+w）/πp+ R，（5.9），其中R是满足|R|的连续映射≤|σDψ|πp（1+ι）p（φ+w）/πp关于Dι=|σDψ|πp（1+ι）φpπp- θp（wξ）o ξξ）πp+（wp）o ξξ）πp.那么，我们的观点是相反的-σDψ=-σDv- σD（φ+w）=-σθ、 0Dv+σξ- “∑θ+ξ”，0D（φ+w）。通过（2.14）中^a的定义，将上述除以πp=Vp-σDψπp=^a+σξπp-σθ+ξ，0D（φ+w）πp.回忆（5.9），这导致a=^a+σξπp- σθ、 ^aDφπp+R，（5.10）（a）=（a）+2aσξπp+R”σξπp- 2^a′σθ、 ^aDφ/πp#+R（5.11），其中R：=R- “ξσφp（πp）+”σξ，0Dφπp#+wpπp-^a- ξξσπp+′σθ+ξ，0Dφπp！-σθ+ξ，0Dwπp1.- p（φ+w）/πp+ φpπp′σθ+ξ，0Dφ，R=-σθ、 ^aDφπp+R！+2^aR+2σξξπp-σθ、 ^aDφπp+R！。B

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mingdashike22

2022-5-4 22:27:00

现在我们在（5.8）的左侧等式中插入展开式（5.10）和（5.11），以获得^LP | SXψ=L^aP | Sθv+πpp^aσξξπp+σsπspξξπp（5.12）+πpp“σξπp- 2^a′σθ、 ^aDφπp#- σsπsp′σθ、 ^aDφπp+L^aP|Sθφ+（wξξ）o ξξ）Dξξ（\'σθ，^a\'σ）θ、 ^a- σθ,0σθ、 0）Dξξ+R,R=Rπpp+Rσsπsp+（（a）- （^a））（φpp+wpp）+σs（a- ^a）（φsp+wsp）+[（a- ^a）（ξ+θ）+^aξ]σφpx+（a）（wpp）- 2θpwpξ- θppwξ）o ξξ+^aσ（swsp）- sθpwsξ- sθswpξ- sθspwξ+θwpξ）o ξξ.第3步：仍然需要合并步骤1和2的结果。我们首先观察到（2.11），定义^a意味着LSθv+L^aP | Sθv=LSθv+LP | Sθv=0。其次，我们使用（2.14）和恒等式v=π- x得到^a=uσπp- σsπpsπpp，导致ξξ-u+πpp^aσπp+σsπspπp= 0，andLSθφ+L^aP | Sθφ- πpp^a′σθ、 ^aDφπp！- σsπsp′σθ、 ^aDφπp=LSθφ+L^aP|Sθφ-uσσθ、 ^aDφ=（H+L^aX | SP）φ。最后，我们使用等式ξξ=θ- x和^a=（θ）- sπs）σ/πp，回忆（2.15），得到σδ=Dξσθ,0σθ、 0Dξξ+Dξξ（\'σθ，^a\'σ）θ、 ^a- σθ,0σθ、 0）Dξ，其中δ在（3.8）中定义。与上面的（as495）和（as495）相结合：。（5.13）第4步：根据直接计算得出R的估计值。5.3粘度低于粘度特性粘度5.5。让定理3.7的条件成立。然后，你*是（3.5）的粘度子溶液。证据让ζo∈ D<Tand~n∈ C1,2（D<T）使得maxd<T（严格）（u*- ν）=（u）*- ν）（ζo）。根据引理5.3，存在（ζ）>0的ζ-→↓0ζo，x：=θ（ζ）-→↓0θ（ζo）=:xo，u*（ζ，x）-→↓0u*（ζo）和：=u*（ζ，x）- φ(ζ) -→↓00.（5.14）假设3.2和3.3意味着“ro>0，0<ro”的存在≤ “roando>0，例如”m:=sup{u*（ζ，x），（ζ，x）∈ 博，∈ （0，o]}∞,θ∈Bro（ζo）上的‘B’ro（xo），（5.15），其中Bo:=Bro（ζo）×B’ro（xo）。在可能改变o之后，我们还可以假设|ζ- ζo|∨ |x- xo|≤罗恩|| ≤ 1为所有人∈ （0，o）。

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2022-5-4 22:27:04

（5.16）我们有*≤ “我在Bofor上”∈ （0，o]，（5.17）和，假设3.3，πpp∧ πp>Bro（ζo）上的ι，对于某些ι∈ (0, 1). （5.18）步骤1：我们首先为v、for构造一个合适的测试函数∈ （0，o）。由于函数是连续的，因此2+米- φ(ζ) ; ζ ∈\'Bro（ζo）=:\'M<+∞.另一方面，（5.16）意味着γ>0，因此|ζ- ζ|≥ ζ的γ∈\'Bro（ζo）\\\'Bro（ζo）。（5.19）我们选择了一个严格的非负常数co（γ）∧ （ro）≥“M a and definefor∈ （0,1）φ：（ζ，x）∈ D×r7→ 有限公司|ζ - ζ|+|x- θ(ζ)|.现在考虑以下‘Bo:Bo，：=n（ζ，x）的子集∈“博斯。t、 ζ∈\'Bro（ζo）和x∈“B”ro（xo）o。它遵循m（5.19）、（5.15）和cothatφ的选择≥ 2+米- 在“Bo\\Bo”上，。（5.20）我们现在定义η∈ （0,1]，ψ，η：=v+(+ φ + φ) + (1 + η) o ξξ，其中函数ξξ在（3.2）中定义，并且在引理3.4中给出。第二步：给定∈ （0，o]和η∈ （0，1），我们现在证明v*- ψ，η在Bo中允许一个局部最大化子（~ζ，~x）。注意，先验地，这个局部最大化子应该依赖于η。我们不会在allevia te注释中强调这一点，但会在证明结束时回到这一点。WesetI，η：=u*- - φ - φ- (1 + η) o ξξ.结合以下事实：（·，0）=0，见引理3.4，（5.16）和x的定义，和φ，我们得到了sup\'BoI，η≥ sup\'Bo，I，η≥ I，η（ζ，x）=0。另一方面，在（5.16）、（5.17）、（5.20）中 ≥ 0，见引理3.4和‘m’的定义，我们有iη≤ u*- \'m- 1.- (1 + η) o ξξ<0对\'Bo\\\'Bo\'，在可能改变后。同样I，η是上半连续的。因此，我们可能会发现阿玛肟化剂（~ζ，~x）∈“波， Bowhich Satifiesi，η~ζ，~x≥ 0和ζξ（~ζ，~x）∨~ζ- ζo≤ r、（5.21）对于某些常数r>0。我们重新定义了ζξ（~ζ，~x）=~x- θ(~ζ).

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2022-5-4 22:27:07

（5.22）第3步：我们现在证明存在“o”≤ 为了所有人∈ 我们有-其中，引理3.4给出了ξξ。我们只能证明正确的一面。另一个不等式也得到了类似的证明。我们认为定理2.1和步骤2暗示- +1+ψ，ηx~ζ，~x≤ 0.（5.24）回顾ψ、η、v和φ的定义，直接计算得出1+ψ、ηx~ζ，~x= 4coζξ（~ζ，~x）+ (1 + η)ξo ξζ（)ζ，)x），以便我们可以将（5.24）改写为- + (1 + η)ξo ξζ（)ζ，)x）≤ -4coζξ（~ζ，~x）. （5.25）假设（5.23）的右侧不能容纳所有>0，足够小。然后，存在一个序列（k）k≥1满足k→ 0作为k→ ∞ 使得ξζk（ζζk，~xk）≥^ξξζk.回想引理3.4，这意味着ξo ξζk（~ζζk，~xk）=1，ξζk（~ζζk，~xk）>0。再加上（5.25），后者导致了一个矛盾，即η，k>0。第4步：我们现在证明有‘ξ∈ R就是这样≥-πpp（πp）σ′ξ- H~n-σδ(1 + η)ξξ(·,ξ)!（ζo）。（5.26）回想一下，^ξξ是一个连续函数。根据（5.23）和（5.21），可以得出以下结论：（ζ，~x，ξζ（~ζ，~x））0<≤ois有界。（5.27）然后我们可以找到一个序列（n）n≥1. （0，\'o]→ 0作为n→ ∞ 和（ζζn，~xn，ξζn（~ζζn，~xn））→ （\'ζ，\'x，\'ξ）∈ D×R×R为n→ ∞. （5.28）此外，经典参数显示t（\'ζ，\'x）=（ζo，xo）。（5.29）在以后使用时，请注意：-^ξ（ζo）≤ξ ≤^ξ（ζo），（5.30）乘以（5.23）和^ξξ的连续性。通过第2步和定理2.1，我们-LSXψn，η-^LP |SXψn，ηo~ζn，~xn≤ 0代表所有n≥ 1.（5.31）此外，（5.27）、（5.18）和引理3.4意味着我们可以将引理5.4应用于ψn，η。足够大的：0≥-πpp2（πp）σξξn- Hān- L^aX|SPn-σδ(1 + η)(ξξo ξξn）+Rn！~ζn，~xn,其中n:=n++φn和Rn（~ζn，~xn）→ 0作为n→ ∞.

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大多数88

2022-5-4 22:27:12

发送n→ ∞ 使用（5.22）、（5.28）和（5.29）提供（5.26）。第五步：我们现在可以总结证据了。通过建造作为第一个校正方程（3.7）和（5.30）的解，我们得到了（πpp（πp）σ）（ζo）／ξ+（σδ）（ζo）ξξζo，\'ξ= h（ζo），插入（5.26）中- Hа（ζo）≤ h（ζo）+ησδ（ζo）ξξζo，\'ξ. （5.32）最后我们注意到，尽管上述步骤4中构造的ζ取决于η，但ζ并不取决于该参数，因此|ξξ（ζo，·）|由引理3.4限定。η发送→ 上述不等式中的0导致-Hа（ζo）≤ h（ζo）。5.4粘度上解性质为了完整性，我们在此报告[47，Le mma 5.4]，将在下面的证明中使用。引理5.6。总的来说η∈ （0，1），存在cη>1和光滑函数hη：R→ [0,1]满足hη=1[-1,1]，hη=0开[-cη，cη]cand|x|h′η（x）|≤ η、和| x | h′η（x）|≤ 2C*, （5.33）对于某些常数C*> 0与η无关。提议5.7。让定理3.7的条件成立。然后，你*是（3.5）的粘度超溶液。证据让ζo∈ D<Tand~n∈ C1,2（D<T）是这样的：思想<T（严格的）（u*- ν）=（u）*- ψ）（ζo）=0。根据引理5.3和φ的连续性，存在（ζ）>0这样的ζ-→↓0ζo，x：=θ（ζ）-→↓0θ（ζo）=:xo，u*（ζ，x）-→↓0u*（ζo）和：=u*（ζ，x）- φ(ζ) -→↓00 .（5.34）设ro>0和o∈ （0，1）使|ζ- ζo|≤罗恩|| ≤ 1为所有人≤ . （5.35）第一步：我们∈ （0，o]并为u构造第一个测试函数*.由于φ是光滑的，因此存在一个常数M<∞ 真是太棒了φ(ζ) ; ζ ∈\'Bro（ζo）≤ M- 4.（5.36）在（5.35）之前，存在一个有限d>0，使得|ζ- ζ|≥ d代表所有ζ∈ Bro（ζo）。我们将xco>0，以使cod≥ M和定义φ（ζ）：=（ζ）+- 有限公司|ζ - ζ|.接下来是m（5.35），（5.36）和cothat的选择- φ≥ 3日Bro（ζo）。

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nandehutu2022

2022-5-4 22:27:16

（5.37）观察（u*- φ）（ζ，x）=0，（5.38），定义为.forη∈ （0，1），我们现在设置ψ，η：=v+φ+（1）- η) (Hη）o ξξ，其中η：ξ∈ R7→ hηξξ*,有些时候*≥ 1稍后选择，参见步骤6中的（5.49），其中hη与引理5中的hη相同。6.第2步：让Qo:=\'Bro（ζo）×R和fix∈ （0，o）。我们现在证明，对于每个n≥ 1，存在（^ζ，n，^x，n）∈ Int（Qo）令人满意的i，η^ζ，n，^x，n≤ infQoI，η+2n，（5.39），其中η：=-2（v*- ψ，η）=u*- φ- (1 - η)(Hη）o ξξ. （5.40）注意ξξ（ζ，x）=0，因为x=θ（ζ）。回顾引理3.4的（·，0）=0，（5.38）意味着i，η（ζ，x）=0。（5.41）另一方面，（5.40）结合备注5.2、备注3.5和引理5.6，意味着i，η≥ -φ- (1 - η){|ξξ|1{|ξξ|≤cηξ*}} ≥ -φ- (1 - η） cηξ*.特别是，I，η≥ -φ- 1如果≤ η：=o∧ ((1 - η） cηξ*)-. （5.42）集合Bro（ζo）是紧凑的，右侧的inf-over（ζo）是有限的，这证明了我们的主张。步骤3：对于η∈ (0, 1), ∈ （0，η]和n≥ 1，我们现在构造一个c函数ψ，η，nand（ζ，n，x，n）∈Int（Qo）使minqo（v- ψ，η，n）=（v- ψ，η，n）（ζ，n，x，n）。让f∈ C∞b（R）是满足0的偶数函数≤ F≤ 1，f（0）=1和f（x）=0无论何时|x |≥ 1.我们设置ψ，η，n（·x）：=ψ，η（·x）+nf（x）- ^x，n）和i，η，n（·x）：=（v）*- ψ，η，n）（·x）=I，η（·x）-nf（x）- ^x，n）。由（5.39）和积分f（0）=1，I，η，n^ζ，n，^x，n= I，η^ζ，n，^x，n-N≤ infQoI，η-2n。（5.43）此外，通过定义f，I，η，n=I，η在Qo\\Qn上，其中Qn:={（ζ，x）∈ 服务质量。t、 |x- ^xn|≤ 1}.自（^ζ，n，^x，n）∈ Qn，后者与（5.43）结合表示infqni，η，n<infQoI，η≤ infQo\\QnI，η=infQo\\QnI，η，n，因此infqoi，η，n=infQnI，η，n。通过I，η的下半连续性和Qn的紧性，我们可以找到（ζ，n，x，n）∈ Qo最小化I，η，非Qo。它仍然需要证明它属于toInt（Qo）。

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mingdashike22

2022-5-4 22:27:20

实际上，在（5.35）的左边，属性f≥ 0和（5.41）表示i，η，n（ζ，n，x，n）≤ I，η，n（ζ，x）≤ I，η（ζ，x）=0，而由（5.37），（5.42）和-F≥ -1，我们有i，η，n≥ I，η-N≥ 2.-n> 0开Qo=Bro（ζo）×R（5.44）步骤4：给定η∈ （0,1）和∈ （0，η），我们现在证明存在N，η≥ 1 su chthat-LSXv+^LP|SXψ，η，n（ζ，n，x，n）≥ 0代表n≥ N，η。（5.45）根据步骤3和定理2.1，必须证明-+1+ψ，η，nx；-- ψ，η+1nx1）（ζ，n，x，n）<0，或相当于|1+ψ，η，nx |（ζ，n，x，n）<。回顾∈ C∞b（R）是偶数，我们计算1+ψ，η，nx（ζ，n，x，n）=（1- η)(Hη）ξo ξξ（ζ，n，x，n）+nf′（|x，n- ^x，n |）。自从f∈ C∞b（R）在外是常数[-1,1]，存在0<cf<+∞, 不依赖于或n，因此|1+ψη，nx（ζ，n，x，n）|=（1- η)|ξHη|+H′ηo ξξ（ζ，n，x，n）+cfn。鉴于引理3.4的（3.7），（ii），Remar k 3.5以及t|Hη|≤ 1.外稃5。这意味着|1+ψ，η，nx（ζ，n，x，n）|=（1）- η)1 +|ξξ|ξ*h′ηξξξ*（ζ，n，x，n）+cfn。回顾引理5.6中的| x | | h′η（x）|≤ η代表x∈ R、我们最终得到|1+ψ，η，nx（ζ，n，x，n）|≤ (1 - η） +cfn<对于所有n≥ 1+cfη=：N，η。（5.46）步骤5：我们现在展示{ζξ（ζ，n，x，n）；∈ （0，η），n≥ N，η}是一致有界的。我们首先求助于引理5.4，回想假设3.3，引理3.4，以及（ζ，n，n）≥ 1 , ∈ （0，η）是有界的，参见步骤3。由于φ不依赖于x变量，这意味着--2（LSX+LP | SX）ψ，η，n=-πpp（πp）σξ- H-1.- ησδ(H） ξξo ξξ+R，n，在（ζ，n，x，n）点，其中，通过引理5.4的（ii），R，n |≤ Cη（1+|ξ|+|ξ|ξ|）（ζ，n，x，n），（5.47）对于一些Cη>0，与n和无关。通过（5.45），我们得到πpp（πp）σξξ！（ζ，n，x，n）- |R，n|≤ -Hφ+1- ησδ(H） ξξo ξξ（ζ，n，x，n）。（5.48）我们首先考虑上一次考试的最后一学期。

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2022-5-4 22:27:24

通过引理3.4和（ζ，n，）的有界性∈ （0，η），n≥ 1），我们可以发现Cη>0，独立于n，和η，这样|ξξo ξξ|（ζ，n，x，n）≤ C.同样的引理和备注3.5也暗示|ξo ξξ|（ζ，n，x，n）≤ 1和| o ξξ|（ζ，n，x，n）≤ |ξξ（ζ，n，x，n）|。使用单mma 5.6，以及ξ*≥ 1和η≤ 因此，在（ζ，n，x，n）点|(Hη）ξ|o ξξ=ξHη+2ξH′η+H′ηo ξξ≤ Cη+ξ*h′ηξξξ*[ξ*,cηξ*](|ξξ|) +|ξξ|(ξ*)h′ηξξξ*≤ Cη+2|ξ|（ξ）*)h′ηξξξ*+|ξξ|(ξ*)h′ηξξξ*≤ Cη+ξ*（η+C）*)≤ Cη+2（1+C）*) =:\'Cη。将这个结果插入（5.48）中，得到πpp（πp）σξξ！（ζ，n，x，n）- |R，n|≤ -H-\'C1- ησδ（ζ，n，x，n）。后者与假设3.3，（2.2），（5.47）以及ζ和ζ都位于Bro（ζo）中的事实相结合，并与恒等式ξ（ζ，n，x，n）=x，n相结合- θ（ζ，n）允许我们找到常数Kη>0，与n和无关，因此h（ξ）- Kη1 + |ξξ| + |ξξ|i（ζ，n，x，n）≤ 这证明了你的课堂。第六步：我们现在可以总结证据了。在上一步中，对于一个ll∈ （0，η），在可能传递到子序列之后，我们可以假设（ζ，n，x，n，ξ（ζ，n，x，n））→ (ζ, θ(ζ),ξ) ∈ D×Ras n→ ∞.然后，经典参数表明（\'ζ，\'ξ）→ （ζo，^ξ）对于某些有界^ξ∈ R、因此θ（°ζ）→ θ（ζo）=xo，as→ 0后，可能会对子序列进行复制。此外，引理5.4的（i）现在意味着R，n→ 0作为n→ ∞ 然后呢→ 0.因此，发送n→ ∞ 然后呢→ 0 in（5.48）提供πpp（πp）σ！（ζo）^ξ≤ -Hа（ζo）-1.- η{σδ(Hη）ξ}（ζo，^ξ）。与第5步相同的参数表明^ξ≤-H~n+σδ′C（1- η） /2πpp（πp）σ！（ζo）。我们现在选择ξ*≥ 1定义人（ξ）*):= 2.∨ 2.-H~n+σδ′C/2πpp（πp）σ。！（ζo）。（5.49）请注意，右侧的所有数量都是预先给定的。然后，|ξ|<ξ*.

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