期权对冲，系统交易用于描述资产动态的因素数量。因此（1）是通用的，但有一个条件，即符号可能需要根据具体情况重新解释：例如，在股票交易中，决定θ是指股票的名义价值，还是指股票的数量。这只是一个确保一致性的问题。为了将这些放在上下文中，并强调普遍性，这里简要概述了所有已发表和未发表的结果：长期期权套期保值：[11,12]（类型I）通常，目标函数是终端财富的效用，而水平是期权经验。由于期末损益可能为负，因此使用了CARA，即负指数效用。如果我们将ε=ε′S、σ^θ/σX=σSΓ/σS（因此，用σΓ=Γ来解释我们对符号的选择）替换为股票价格、σBlackScholes波动率、σ期权伽马和ε′交易成本作为股票价格的影响，他们的公式[12，等式12]如（1）所述。我们还通过G=e将G写成风险规避系数γ-r（T）-t） /γ，折扣来自于g与时间t（今天）和1/γ与时间t（到期）相关的事实。结果公式Δθ是以delta单位表示的NT区域宽度，而不是美元的名义库存。“零因子”模型的系统转换：[8]（II型）（另见[9]）我们通过将交易资产的动态表示为“因素”的函数来建立系统的交易模型，~Z:dXt=uX（~Zt）dt+σX（~Zt）dWX，t；这些因素可能是外生的（例如来自分析师的观点，或其他工具的市场价格），也可能是内生的（例如动量）。所谓零因子，我们指的是一个单因子模型，其中因子Z1实际上是正在交易的资产：Z≡ 十、

（因此，一般的单因素模型有两个活动部分：因素和交易资产。）目标函数不是终端财富的效用，而是财富变化的效用——所谓的局部效用函数，其中目标是U（θtdXt）和，U是光滑凹函数。在不丧失普遍性的情况下，我们可以将U（0）=0，U′（0）=1，U′（0）=-1/G，对于不同的动力学，它归结为一个二次目标。目标（价值函数）是VT=EtZ∞s=te-r（s）-t） U（θsdXs）= Et“Z∞s=te-r（s）-（t）θsuXs-θsσXs2Gds#，（2）所以目标位置是^θt=uXtG/σXt。有限视界导致估值函数在X中服从普通微分方程，而不是（t，X）中的偏微分方程。虽然这个特殊的模型应用有限，但它有一个显著的结果，即[8]中获得的NT边界的合理显式解，尽管方程很难处理；此外，它还构成了讨论多因素模型的基础，这些模型非常普遍。注意，[8]给出了立方根定律的非启发式推导，因为它从解的泰勒级数展开式中退出：thusone不需要“提前知道”ε1/3的幂展开式是必要的。最简单的情况是X跟随Ornstein Uhlenbeckdynamics dXt=-bXtdt+σdWt：^θ=-bXG/σ，Δθ~ （3εb/2σ）1/3G。Bouchaud及其同事通过不同的技术证实了这一点[4]。多因素模型的系统转换：[6]（类型II）当许多因素导致目标位置变化时，位置仍然是^θt=uX（~Zt）G/σX（~Zt），这是~Z的函数∈ Rm，但尽管有更高的维度，等式（1）仍然成立。这又是因为“地方性”。

在（m）- 1） -垂直于梯度向量的维空间^θ（~Z），目标位置不会因~Z的微小变化而改变，因此没有交易它平衡了两个前导顺序t项，结果是O（Δθ）和O（ε）。成本发生：只需研究^θ的最大变化方向，即θ（~Z），将所有问题简化为一维问题。CRRA效用（I类）恒定相对风险规避适用于可能被描述为现金策略的情况，例如reb alancinga Stock和bond投资组合的学术性“默顿问题”[1,10]。只有当portfoliovalue总是≥ 0（因为效用函数在0处是单数的）。正如Kallsen&Muhle Karbe[3]所指出的那样，我们用W/γ来代替杠杆G，其中eW>0是当前财富，γ是恒定相对风险规避系数。G不再是常数并不重要：这种变化不是局部效应。它只是说，在未来，无论我赚了多少钱，我都会想要更高或更低的杠杆率，但这与如何降低与当前交易相关的交易成本无关。终端财富的效用与本地效用（I/II型）终端财富的效用（带或不带消费术语）在投资问题上有意义，但在系统交易中没有意义，原因有二。首先，没有明确的h orizon时间，投资者通常对损益的短期变化感到担忧，尤其是因为这会导致提款。第二，尽管可以通过运行许多模拟来用模拟数据测试此类策略（期权对冲问题也是如此），但它们不能在真实数据上进行合理的回溯测试，因为只有一条轨迹可以形成预期效用。

另一方面，通过几十年的数据，如果风险被视为损益的变化，或者再次被称为局部效用函数（q.v.），人们可以对夏普比率形成看法：这些在交易世界中是很自然的，因为它们很容易与“日VaR限额”相关联。尽管如此，布弗定律是一样的，这也是一个关于“局部性”的论点：无论目标函数是什么，重要的是目标位置的可变性。夏普比率与当地公用事业；不同的风险度量（第二类）很容易确定（见[6]）最大化风险上限下的预期收益的经典马科维茨优化问题（被解释为损益的二次变化）等同于上述（2）；证明是拉格朗日乘子的一个简单练习，其中G in（2）是拉格朗日乘子的倒数。因此，夏普比率优化，即最大化四次变化的平均值÷平方根，相当于（2）的局部二次效用公式。如果市场存在差异，且我们对波动率的估计^σx是正确的，则使用每日收益的标准偏差（计算当地公用事业）或其他风险度量（如VaR或差额）之间没有区别。在实践中，这些假设是可疑的，但在没有任何关于n个独立市场的理论结果的情况下，我们不妨尝试使用（1）。我们目前展示的数值结果表明，这是合理的。这并不奇怪，因为交易成本造成的损失很大程度上来自市场回报的不同组成部分，而不是偶尔的跳跃。2.数值演示我们演示等式。

（1） ，选择夏普比率作为绩效衡量标准。原则上，我们必须对照所有其他的缓冲方案进行测试；另一个困难是，缓冲区宽度通常是时变的，因此我们不能简单地将批次S harpe比率与缓冲区宽度进行比较（没有唯一的缓冲区宽度可以绘制在水平轴上）。然而，我们能做的是乘以Δθineq。（1） 通过一定量λ，在水平轴上绘制缓冲宽度的时间平均值，在垂直轴上绘制夏普比。重复不同的λ值会导致描述一条曲线，我们突出显示对应于λ=1的点。最后，我们重复不同的tr和sactioncost参数，给出一系列曲线。考虑这条曲线应该是什么样子，作为λ的函数。如果缓冲宽度太小（λ→ 0）那么就会失去太多的价值，不连续的时间就会下降到-∞: 如果ε较高，则下降将非常严重。如果缓冲区太宽，位移损失将接管，性能将下降。实际上，在极限λ内→ ∞ NT区域将变得如此之大，以至于根本不进行交易，夏普比率将被确定。在某个中间点，应该有一个最大值，并且我们在图中标记的λ=1的结果将准确地出现在那里，这表明通过（1）按固定的量放大或缩小，无法取得任何改善；不过，它并不排除这种可能性，即由于某些时候过于宽大，而另一些时候又过于狭窄，所以缓冲区不太理想。

然而，如果成本足够高，价值函数将始终为负值，不会出现波峰：那么，无论buff的“优化”程度如何，策略都是毫无价值的。对于这些模型，杠杆率p没有起到任何有用的作用，因为它只是按比例缩放位置、缓冲宽度、预期损益和风险，因此对夏普比率没有影响。因此，我们将G设定为100万美元。我们将在夏普比率计算中使用VaR和短缺（ESF）以及s标准偏差。我们确定尾部概率asp=0.01，为了方便起见，我们将VaR除以Φ-1(1 - p） 和th eESF乘以φ（Φ-1（p））/p，所以对于零均值的正态分布，所有这些测度都是相同的。如图所示，厚尾收益分布因此产生较低的夏普和ESF夏普，尽管影响很小。顺便指出，确定最佳缓冲宽度的替代方法是动态规划。除非因子的数量很小，否则这是不切实际的：在实际的交易算法中，一个很可能有十个或多个因子，需要在十个维度上进行优化。使用综合数据合成模型的示例允许生成任意多的数据，所有参数都已知。我们考虑单因素线性模型，dXt=βσXZ1，tdt+σXdW0，t（3）dZ1，t=-κZ1，tdt+√2κdW1，2次II型优化。因子Z遵循一个标准化的OU过程，被理解为一种牛市或熊市指标：当为正时，X向上漂移，当为负时，X向下漂移。^θt=βZ1，tGσX，^Γ=2βκGσX，并且t期交易回报的夏普比率是|β| T1/2，模拟应该与之一致（并且确实如此）。

因此Δθ~3εκσX |β|1/3G |β|σX=3^εκ|β|1/3θ1/2式中，ε=ε/σXis为可交易单位波动率的成本，（θ）1/2=Gβ/σXis为均方根位置（与位置变化相关的σθ不同）。注意，在这个简单的例子中，^Γ和hen ceΔθ是常数，但如果耦合是非线性的，则它们不是常数，即在漂移Φ中，φ通常表示标准的正常cdf和pdf。用函数ψ（Z）代替zb，而wx，和dWZ，tdo之间的相关性不起作用。还请注意，如果一个fix es^ε，则缓冲宽度和位置都与σ成反比。（如果标的资产的波动性随ε固定值的增加而增加，那么该资产的交易成本实际上已经降低，并且随着典型头寸的细分，其宽度也会下降。）因此，将缓冲区与r.m.s.目标位置联系起来的唯一f因素是^ε1/3和一个额外的量κ/|β|，它具有时间维度-1/2; 这对于维度一致性是必要的（因为ε的维度为1/2），并且可以被认为是交易速度，因为κ越高，因子改变方向的速度越快。最后，如果β→ 0则阻力宽度随着r.m.s.头寸的变化而变大（不是绝对值，因为r.m.s.头寸也会减少）：对此的解释是，资产价格的影响变得不那么可预测，或者交易信号的质量较低：正如预期的那样，NTZ区域变得相对较宽，减少了交易量。图2（a）显示了κ=0.02、β=0.04、σ=0.5、ρ=0、交易成本ε=0.02、0.05、0.1、0.2、0.5的结果。图形的出现与预期一致，假设的ru le（1）似乎是最优的。对于低成本而言，获得优势的影响很小，但对于高成本而言，影响要大得多：以2倍的优势脱颖而出会导致巨大的绩效差异。

由于回报率在这里是标准分布的，Var和ESF的结果是相同的，因此省略。[6]中给出了非线性耦合、多因素和随机波动的扩展：结果几乎相同，这表明上述模型包含所有重要成分。使用真实数据的示例上一节的模型最容易被解释为驱动可交易资产的外生因素，模型参数化可以通过观察来确定，当然也会受到估计误差的影响。这里的结构是不同的，还有一个额外的问题，即在ce上不知道潜在的模型：但事实证明，这并不重要。在动量模型中，这些因素是隐含的，并使用正在交易的资产的移动平均数进行估计。采用分段积分法，分别计算了κ、β、σ的运动维数-1.时间-1/2，$/time1/2，其中时间单位需要始终保持一致：我们将它们作为业务日。使用了10000个数据点-0.4-0.20 0.2 0.4 0.6 0.8 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25Sharpe（平均值：stdev）平均缓冲区半宽度0。020.050.10.20.5理论。选择图2：综合模式l的性能与功能尺寸。成本乘数（ε）如图所示。Buff的大小与名义上的大小相同，单位为百万美元。每种情况下，理论上的最佳值都有标记。价格的平均值可以重新表示为收益的加权和，Zt=Ztτ=-∞K（t）- τ）dXτ/σXτ。对于常用的指数加权移动平均交叉，K（τ）=p2（Ts+Tf）|Ts-Tf|E-τ/Ts- E-τ/Tf其中Tf和Ts是“周长”，因此，例如，5:10天的移动平均值为Tf=5，Ts=10。预因子normalisesZ=1。[7]使用“响应函数”ψ变换归一化信号，而不是简单地具有与Z成比例的位置，这也是有利的。

通过组合不同速度的滤波器，可以得到dXt的预测，从而得到目标位置：^θt=βψ（Z1，t）+··+βmψ（Zm，t）σXt。因子权重（βj）通过回归或优化回测性能来确定，或者可以手动设置。为了达到这些目的，我们使用2:4、4:8、8:16、16:32天交叉，并且响应函数为ψ（z）=ze-z/2。现在，从理论上很难得到^Γ，但从自然路径中观察到的^θ和X的二次变化逐项估计非常简单：（^Γ）t≈P∞n=0αn（^θt）-nδt-^θt-（n+1）δt）P∞n=0αn（Xt-nδt- Xt-（n+1）δt），其中α是“遗忘因子”（我们在模拟中使用了32天的有效“周期”，因此α=1-).在这个例子中，我们考虑了交易数据集XT的时间序列，它是通过将单个期货合约的时间序列拼接在一起得到的。时间序列在一定程度上呈现出趋势，这将导致从动量策略生成损益。使用了两种合约：TY1（美国国债期货）和RR1（糙米）。头寸和规模以名义价值百万美元表示；第四十，成本是帕兰和RR的一小部分，它们是当前期货价格的一部分。同样，我们的收益为100万美元。头寸和份额以百万美元的名义金额表示：要将其表示为多个合同，只需除以百万美元的合同规模即可。结果如图3所示。理论上的最佳值在实践中也是合理的最佳值，同样，除了非常低的成本外，将缓冲宽度错误地增加2倍的效果是显著的。在不同的风险度量中也可以看到同样的情况。对于较低的交易成本，Sharperatio在没有缓冲的限制下不会出现负值。这是因为模拟是在离散时间内进行的，这是一个需要进一步研究的问题。

对于历史上趋势不如债券s的r ice来说，注意到交易不会产生高交易成本的价值，这使得该策略有效。这可以在彭博社自动完成（GFUT<Go>）。我们根据差异调整固定收益合同，并根据比率调整其他所有内容。e、 g.如果市场是128-03/128-03+那么ε=×/100≈ 0.0001. 美国国债以+表示。e、 g.如果市场为20.16/20.18，则ε=×0.02/20.17≈ 0.0005.e、 这是10万美元。因此θ=3200万美元意味着320份合同。（a） -0.2-0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0 5 10 15 20 25Sharpe（平均值：stdev）0.00010.00020.00050.0010.002theor。选择（d） -0.4-0.3-0.2-0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0 1 2 3 4 5 6夏普（平均值：stdev）平均缓冲区半宽度0。00050.0010.0020.0050.01Thero。选择（b） -0.2-0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0 5 10 15 20 25夏普（平均值：VaR）0.00010.00020.00050.0010.002theor。选择（e） -0.4-0.3-0.2-0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0 1 2 3 4 5 6夏普（平均值：VaR）平均缓冲区半宽度0。00050.0010.0020.0050.01Thero。选择（c） -0.2-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0 5 10 15 20 25夏普（平均值：ESF）平均缓冲区半宽度0。00010.00020.00050.0010.002EOR。选择（f） -0.4-0.3-0.2-0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0 1 2 3 4 5 6夏普（平均值：ESF）平均缓冲区半宽度0。00050.0010.0020.0050.01Thero。选择图3：动量策略的绩效与规模，目标函数和市场不同。成本乘数（ε）如图所示。在每种情况下，理论上的最优值均为百万美元。目标函数：（a，d）Stdev，（b，e）VaR，（c，f）短缺。市场：（a、b、c）美国国债注释1、（d、e、f）糙米（RR）。3结论我们已经证明了一条规则（1），即在存在比例交易成本的情况下，适用于差异因素模型的最佳缓冲区或NT宽度，并且似乎效果良好。

对于低成本，在我们展示的“真实”示例中，似乎略微高估了最佳宽度，我们认为这部分是由于模拟中的时间离散（理论是连续时间）。显然，了解一项战略是否能在成本后赚钱很重要，即使它在理论上是可行的。正如我们所看到的，在交易成本较高的情况下，知道如何正确避免误入歧途非常重要。尽管优化了模型参数并加入了缓冲规则，但如果战略的模拟预期回报仍然为负，那么我们知道应该避免它。甚至在模拟成本是否过高之前，我们也可以看到：缓冲器变得如此之大，以至于模型表现出太多的僵硬，可能会在几个月或几年的时间里停留在同一位置，并且实际上无法操作。致谢作者感谢以下所有人：托尔斯滕·肖内伯恩（德意志银行）、克里斯·罗杰斯（剑桥大学）、让-菲利普·布乔德（Jean-Philippe Bouchaud）、杰罗姆·德·拉泰莱德（J\'er^ome de Latailade）和拉法埃尔·贝尼乔（Rapha¨el B¨enichou，巴黎CFM）、梅特·索纳（Mete Soner）和约翰内斯Muhle Karbe（ETH Z¨urich）、鲍里斯·格登科（现代投资技术有限公司），以及一位匿名裁判。参考文献[1]M.H.A.戴维·伊斯和A.R.诺曼。具有交易成本的投资组合选择。数学奥普。《研究》，15（4）：676-713，1990年。[2] J.卡尔森。不完全市场中套期保值的效用最大化方法。数学冰毒。奥普。第50（2）号决议：321-3381999年。[3] J.卡尔森和J.穆勒·卡贝。交易成本小的投资和消费的一般结构。arXiv，1303.3148v1，2013年。[4] J.德拉泰莱德、C.德伦贝尔、M.波特和J.-P.布乔德。以线性成本进行交易。arXiv:1203.59572012。严格来说，这意味着单位波动率交易成本较低[5]M.J.P.Magill和G.M.Constantinides。有交易成本的投资组合选择。J.经济。《理论》，13:245–2631976。[6] R.J。

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