随机市场中具有比例交易成本的近似套期保值

2022-5-8 05:08:59

因此，在更现实的情况下（著名的BlackScholes框架的扩展），应该放松股票价格的连续性假设，以考虑由于市场好消息或坏消息而导致的突然市场冲击。这些突发事件可以按照泊松过程发生。在市场收到好/坏消息后，资产价格的变化可以用跳跃大小和连续两次跳跃时间来描述，*乌尔姆大学和胡志明市经济大学；电子邮件：thaibopy@ueh.edu.vn;泰国人nguyen@uni-乌尔姆。德+法国鲁昂大学UMR 6085 CNRS Rapha-el Salem数学实验室和俄罗斯托木斯克州立大学SSP&QF国际实验室，电子邮件：serge。pergamenchtchikov@univ-鲁昂。资产价格遵循经典Black-Scholes模型中的几何布朗运动。这种组合被称为跳跃扩散模型。如[24]所示，跳跃差分模型不仅比经典几何布朗运动更好地拟合数据，而且还能重现收益分布的轻量级特征。此外，[9]认为，资产价格出现跳跃可以被认为是期权市场参与者的存在。详细讨论见[9,38,24]及其参考文献。请注意，在完全差异模型中，可以使用不断调整的德尔塔策略完全复制选项。然而，具有跳跃的模型并非如此。事实上，即使在连续的时间策略下，跳跃风险也无法完全释放，而要完美对冲跳跃风险的看涨期权，唯一的方法就是购买并持有标的资产。

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2022-5-8 05:09:02

换言之，在存在跳跃的情况下，复制的概念并没有表明一个基于布莱克-斯科尔斯理论的完整市场模型的风险管理和套期保值的正确框架。如果将交易成本考虑在内，情况会变得更具挑战性。这种考虑是现实的，在过去20年里一直吸引着研究人员。直观地说，在存在交易成本和/或资产价格上涨的情况下，期权的风险更大，应该以比没有这些风险时更高的价格进行评估。然而，更昂贵的期权价格将意味着其波动性价值的增加。这是利兰算法背后的基本直觉。特别是，为了在没有跳跃的情况下补偿交易成本，Leland[25]提出了著名的Black-Scholes偏微分方程的修改版本，其中波动性在bσ=σ+σκn1/2时特别增加-αp8/π，（1.1），其中n是修订数，κn-α, 0 ≤ α ≤ 1/2是成本率。他声称，随着α=0（恒定利率）或α=1/2的套期保值时间距离变小，期权支付（到期日T=1）可以通过Vn（离散增量策略的最终投资组合值）渐进复制。Kabanov和Safarian[22]后来证明，Leland关于恒定交易成本的陈述在数学上是不正确的，套期保值误差实际上收敛到非零极限min（S，K）-J（S），因为投资组合经常被修改。这里J（S）是累积成本的极限。然后在[37]中研究了收敛速度和校正复制误差的渐近分布。特别是，后一篇论文显示序列1/4（Vn- h（S）- min（S，K）+κJ（S））（1.2）弱收敛于混合高斯变量n→ ∞.

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2022-5-8 05:09:05

这一结果在不同方向上引发了许多进一步的研究：非均匀调整的一般收益[27,28,11]，局部波动[26]，基于资产交易数量的交易成本[12]。最近，[33]表明，增加波动率原理仍然有助于控制交易成本造成的损失，在随机波动率框架中，交易成本与交易量成正比，调整后的波动率形式更简单。此外，本文还指出了高频市场中的资产套期保值，在高频市场中，买卖价格的形式可能是决定交易成本规律的一个重要因素。我们参考上面提到的论文和其中的参考文献进行更详细的讨论。交易成本下的套期保值问题已经向各个方向发展。在小比例交易成本的情况下，[19,1,17,18]将一系列止损时间作为再平衡日期来研究套期保值误差。正如[8]中所讨论的，这些策略中没有一种优于其他策略。后一篇论文[8]提出了一类导致有限交易成本的连续控制策略，并提供了一个条件，在该条件下，期权报酬是渐进复制的。然而，如上所述，连续交易策略不能用于实践。一般来说，交易活动只能在一天中的特定时段进行。因此，具有周期性再平衡日期的离散时间策略具有非常重要的相关性。在本文中，我们利用Leland的算法，通过考虑跳跃，对交易成本下的近似套期保值领域做出了贡献。

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2022-5-8 05:09:09

据我们所知，我们是第一个使用Black-Schole定价偏微分方程（PDE）中的离散时间策略，研究具有跳跃的模型在交易成本下的近似套期保值问题。本说明的目的是将[22、37、27、28、11、33、34]等研究的连续差异模型的现有结果与资产价格和/或波动率允许跳跃的不连续模型联系起来。事实上，我们不仅试图捕捉依赖结构（由随机波动率建模），还试图捕捉由于市场突然变化而导致的股价短期行为。由于随机波动率模型很好地补充了跳跃模型[24]，这种组合导致了金融市场的现实和一般模型。如上所述，套期保值问题中的跳跃风险很难处理，即使在简单的框架中也无法完全释放，例如，可以进行持续调整的跳跃扩散模型。本文的贡献是双重的。首先，我们证明了在一些温和的条件下，跳跃对跳跃大小的影响可以部分忽略。事实上，我们证明了套期保值误差的渐近分布与跳跃无关，并且与[33]中建立的纯扩散模型的结果一致。当资产价格及其波动率都允许跳跃时，情况也是如此。这样的一般框架提供了一些可能性来解释通常在危机期间观察到的大幅波动[14,13]。作为第二个贡献，我们证明了Kabanov SafarianPergamenshchikov的结果[22,37]也适用于跳跃扩散设置。最后，我们注意到，将这些结果推广到满足某种衰减假设[27,28,11]的一般凸支付情况是可行的。本文的其余部分组织如下。

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2022-5-8 05:09:12

我们将在第2节简要介绍Leland算法背后的关键思想。第三部分是模型的建立和主要结果的展示。第4节讨论了带跳跃的一般随机波动率模型。我们在第5节中考虑了波动率具有确定性的特殊情况，并在第6节中给出了一个数值样本。第7节报告了主要结果的证明。附录中有一些有用的引理。2 Leland算法和修正的波动率为了解释Leland算法中的关键思想，我们假设股票价格由套期保值区间[0,1]中的dSt=σstdw给出，利率为零，因此s是风险中性度量下的平均值。在存在比例交易成本的情况下，由[25]提出，然后由[22,23]推广，波动率应按照方程式（1.1）进行调整，以使期权价格C（t，St）出现艺术性的增长。这一事实部分解释了为什么跳跃式差异模型通常被认为是一个好的选择，尤其是在短期情况下。补偿可能的交易费用。这种形式的灵感来自于观察到的交易成本κnSti | Cx（ti，Sti）-Cx（ti）-1、Sti-1） |在时间间隔内[ti-1，ti]可以用κnSti近似表示-1Cxx（ti）-1、Sti-1)|斯蒂|≈ κnσSti-1Cxx（ti-1、Sti-1） E|Wti |。（2.1）为简单起见，我们假设投资组合在统一网格ti=i/n，i=1，nof选项生命周期[0,1]。考虑到|Wti/(ti）1/2 |=p2/πone通过κnσp2/π来近似（2.1）中的最后一项(ti）1/2Sti-1Cxx（ti）-1、Sti-1），这是在[ti]中为投资组合调整支付的成本-1.ti]。

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2022-5-8 05:09:15

因此，根据Black-Scholes理论的标准论点，包含交易成本的期权价格应该满足YCT（ti）-1、Sti-1)ti+σSti-1Cxx（ti）-1、Sti-1)ti+κnσp2/π(ti）1/2Sti-1Cxx（ti）-1、Sti-1) = 0.自从ti=1/n，可以推断出-1、Sti-1) +σ+κnσpn8/π性病-1Cxx（ti）-1、Sti-1） =0，这意味着期权价格包含的交易成本应通过Black-Scholes PDEbCt（t，x）+bσxbCxx（t，x）=0，bC（1，x）=max（x）的以下修改波动率版本进行评估- K、 0），（2.2），其中调整后的波动率bσ由（1.1）定义。（a）均值-方差（b）经验密度图1：利兰策略的均值-方差及其归一化修正对冲误差利润/损失Vn的模拟结果- 图1a中的h（S）表明，在交易成本存在的情况下，Leland策略优于Black-Scholes离散deltaA策略，如果它在给定的回报水平下提供最低的风险。在文献中，预期复制误差，也称为预期利润和损失，似乎是一个很好的回报衡量指标，而复制误差的方差是最常用的风险衡量指标。高度宽容的套期保值者更喜欢平均复制误差高、风险高的头寸，而高度规避风险的套期保值者更喜欢平均复制误差低、风险低的头寸。策略，即使它们以相同的初始成本开始。Pergamenschikov定理[37]（见等式（1.2））中归一化修正套期保值误差的经验分布和密度如图1b所示。

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2022-5-8 05:09:19

事实证明，修正后的套期保值在经验上收敛于一个中心变量，该变量可能表现为正态分布，但具有不对称尾。如上所述，Leland方法在实际应用中非常重要，因为它只需要对在实践中广泛使用的著名Black-Scholes框架的参数进行微小的更改。然而，当波动率是随机的，比如说σ=σ（yt），其中yt是另一个随机过程，该策略不再适用于柯西问题（2.2）。事实上，这种随机波动率（SV）环境下的定价和套期保值本质上不同于Leland模型，即使在没有交易成本的情况下，期权价格也强烈依赖于波动率水平和波动过程y的未来信息。为了了解这个问题，我们假设y是一个马尔可夫过程。根据预期的迭代性质，不含交易成本的期权价格由c（t，x，y）=E[CBS（t，x；K，σ）| yt=y]，（2.3）给出，其中K是履约价格，CBS是Black-Scholes期权价格函数，σ是由σ=1定义的平均波动率- tZtσ（ys）ds。这意味着期权价格是在波动过程y的所有可能未来轨迹上Black-Scholes价格的平均值，这在现实中是无法直接观察到的。因此，SV模型中的期权价格和套期保值策略非常复杂，通常通过渐近分析进行研究。现在让我们把注意力转向交易成本的存在。上述讨论强调，从实际角度来看，利兰萨尔戈里希姆的调整后波动率的著名形式（1.1）不再有用。此外，即使对于σ仅取决于时间和现货价格的局部波动性模型，从技术上讲，也很难证明（2.2）的解的存在，因为微分算子不是统一的协同学。

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2022-5-8 05:09:22

此外，期权价格衍生工具的估值对近似分析至关重要，但不容易实现，参见示例[27]。幸运的是，对套期保值误差近似值的深入研究表明，复制误差的极限并不强烈依赖于调整后的波动率的形式，而仅取决于最后一项κn√n当后一种产品出现差异时。这个重要的观察意味着一个更简单的形式%k n√n具有一定的常数%，可用于获得套期保值误差的相同渐近性质。[33,32]对SV模型的这种修改进行了全面研究。注意，如果将新形式应用于柯西问题（2.2），期权价格和套期保值策略很容易获得，而经典问题（1.1）在实践中是不可能的。在本文中，我们表明，即使考虑到资产价格和/或随机波动性的波动，这个建议仍然有用。最后，我们将介绍跳跃模型中套期保值的一些重要特征。首先，即使采用连续时间调整政策，也不能简单地使用经典的增量策略来覆盖跳跃风险。第二，如果股票价格允许跳跃，那么应该区分两种类型的套期保值错误：一种是由于与跳跃有关的市场不完全性，另一种是由于套期保值组合的离散性。这两种类型的套期保值错误有不同的行为。关于跳跃离散享乐的文献非常丰富，我们只提到[40,39]最近的成就。然而，这些论文都没有讨论交易成本。3带跳跃和主要结果的模型3。1市场模型Ohm, F、（英尺）0≤T≤1，P是两个标准独立（Ft）0的标准过滤概率空间≤T≤1自适应维纳过程（W（1）t）和（W（2）t）取R中的值。

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nandehutu2022

2022-5-8 05:09:25

考虑由一项非风险资产和一项风险资产（例如股票）组成的金融市场，前者被设定为数量，后者被定义为（dSt=St-btdt+σ（yt）dW（1）t+dζt,dyt=α（t，yt）dt+α（t，yt）dW（2）t，（3.1），其中St-= 林斯↑t跳跃L’evy过程定义为ζt=x* （J）- ν） t，（3.2）独立于维纳过程（W（1）t）和（W（2）t）。这里，J（dt，dx）是ζ的随机测度，具有确定性补偿器ν（dt，dx）=dt∏（dx），其中∏（·）是为任何Borel集合A定义的L’evy测度 R*= R\\{0}as∏（A）=EX0≤s≤1{ζs∈A} 及ζs=ζs- ζs-. （3.3）为了使St为正值，我们假设∏（]- ∞, -1]) = 0. 此外，我们假设∏（x）=ZR*z∏（dz）<∞. （3.4）在续集中，我们使用符号∏（f）=RR*f（z）π（dz）。我们记得这个符号* 表示随机积分，即对于任意t>0和任意函数h:[0，t]×R→ R、 h* （J）- ν） t=ZtZR*h（u，x）deJ（du，dx），eJ（dt，dx）=（J- ν）（dt，dx）。我们假设系数αi，i=1，2是局部Lipschitz和线性增长函数，这为第二个方程[16]提供了唯一强解y的存在性。此外，我们假设过程（W（1）t）为0≤T≤1，（W（2）t）0≤T≤1和（ζt）0≤T≤你是独立的。请注意，如果波动率函数σ（·）是常数，我们得到了一个在金融界非常流行的L’evy金融市场，参见例[21]和其中的参考文献。我们进一步假设ζt>-1，即∏(-∞, -1]) = 0. 因此，在这种情况下，使用Dol’s Dade指数，我们可以表示价格过程asSt=SexpZtˇbudu+Ztσ（ys）dW（1）s+ˇζt, （3.5）式中，ζt=ln（1+x）* （J）- ν） tandˇbt=bt- σ（yt）/2+π（ln（1+x）- x）。请注意，（3.3）中定义的L’evy度量可能是有限的，即∏（R*) = +∞. 如果θ=∏（R*) < ∞, 我们可以将（3.1）中的跳跃过程表示为ζt=NtXj=1ξj- θEξt，（3.6）式中（Nt）t≥0是具有强度参数θ和（ξj）j的泊松过程≥1是身份证吗。

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2022-5-8 05:09:28

随机变量取值(-1, +∞). 我们进一步假设泊松过程n和跳跃大小（ξj）j≥你是独立的。在这种情况下，股价可以用asSt=Sexp表示Ztˇbudu+Ztσ（ys）dW（1）s+NtXj=1ln（1+ξj）, （3.7）式中Gbt=bt- σ（yt）/2- θEξ。备注1。漂移在近似中不起作用。事实上，我们的渐近结果对任何BT0都是有效的≤T≤1E|bt|∞.备注2。本文不讨论测度变化和跳跃风险问题，而是以资产动力学的自由风险假设为出发点。很明显，跳差设置会导致不完全市场，这也是随机波动设置的一个重要特征。因此，有很多方法可以通过Girsanov的技术来选择价格测量。这样的程序不仅对资产动态的差异，而且对资产动态的跳跃部分产生了根本性的改变[9,31]。在[24]中，使用了一个期望均衡参数，以获得从原始物理概率到风险中性概率的简单转换，其中许多资产（债券、股票、股票衍生品）可以在同一框架中同时定价。3.2假设和示例在我们的考虑中，我们接受以下关于跳跃大小的条件：（C）跳跃大小的L’evy度量满足∏（R*) < ∞ 安兹(-1,0]（1+z）-1∏（dz）<∞.第一个可积条件就是尺寸分布的有限方差条件。第二个等价于E（1+ξ）-1< ∞. 这些条件不太强，在默顿跳跃扩散模型[31]中自动填充，其中跳跃大小分布假定为对数正态分布。在[24]中，在基于平衡的设置中，建议采用对数指数分布，以便在分析计算中实现方便的特征。

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2022-5-8 05:09:31

请注意，这一系列跳跃大小分布也满足条件（C）。让我们把注意力转向波动性假设。[33]之后，我们假设波动过程满足可积条件。（C） σ是一个满足0<σmin的两次连续可微函数≤ 英菲∈Rσ（y）和sup0≤T≤1E最大值{σ（yt），|σ（yt）|}∞.事实上，对于几乎广泛使用的随机波动率模型，条件（C）已经满足，更多讨论请参见【33】。备注3。注意，在目前的情况下，随机波动和跳跃的组合意味着资产价格不是一个L’evy过程，而是一个半鞅过程。如[33]所述，SV模型中的资产过程的有限时刻一般不保证，见[2,29]。这一关键特性使我们无法像确定性波动率模型[22,27,28]中那样进行基于L的近似。因此，对于下面的近似过程，我们遵循[33,34]中基于截断技术的方法。下面得到的收敛结果只在概率上实现。我们用一些著名的带跳跃的随机波动率模型来结束这一小节，更多例子见[9]和第4节。贝茨模型：贝茨模型是一种跳跃扩散随机波动率模型，通过将比例对数正态跳跃添加到赫斯顿随机波动率模型中获得：dSt=St（adt+√ytdWSt+dZt）；dyt=a（m）- yt）dt+b√ytdWyt，（3.8），其中，具有相关系数ρ和Z的WS、Wyare布朗运动是强度θ和对数正态分布的复合泊松过程。由于跳跃符合对数正态定律，因此条件（C）得到了明确验证。从实用的角度来看，贝茨模型表现出一些很好的性质。首先，原木价格的特征函数是封闭的，这对于定价非常重要。

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2022-5-8 05:09:35

其次，长期和短期期权的隐含波动率模式可以分别调整[9]。Ornstein-Uhlenbeck随机波动模型：在价格和波动过程中引入跳跃成分是可能的。巴恩多夫·尼尔森（Barndor ff Nielsen）和谢泼德（Shephard）建议采用这样的模型来考虑杠杆效应：St=SeXt，dXt=（a+aσt）dt+σtdWt+ρdZt，dσt=-θσtdt+dZt。（3.9）如果ρ=0，波动率会跳跃移动，但价格过程有连续路径。ρ6=0代表波动性和价格之间的强相关性，这一情况更加灵活，但计算现在具有挑战性。注意，在这种情况下，σ不是“真实”的波动率，因为这些波动率也会受到L’evy过程Zt变化的影响。如果跳跃仍然遵循对数正态律，则条件（C）已满。3.3具有交易成本的近似套期保值：主要结果在本节中，我们使用Leland算法中的增加波动率原理，按照[33]中的设置，研究了比例交易成本下的离散套期保值问题。更准确地说，我们假设，对于每一笔成功的交易，交易者的成本与交易量成正比，成本系数为k。这里κ是市场调节者定义的一个积极的常数。假设投资者计划在ti=g（i/n），g（t）=1的日期（ti）修改其投资组合- (1 - t） u，1≤ u<2，（3.10），其中n是修订数。参数u用于控制复制错误的收敛速度。

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2022-5-8 05:09:39

投资组合的价值越大，修改的频率就越高。很明显，对于u=1，我们得到了众所周知的均匀重新调整。为了补偿对冲活动造成的交易成本，建议期权卖方遵循分段过程γnt=nXi=1^Cx定义的利兰策略钛-1、Sti-1.（ti）-1，ti]（t），（3.11），其中bc是以下调整波动率Black-Scholes PDECt（t，x）+bσtxCxx（t，x）=0，0的解≤ t<1，C（1，x）=h（x）：=（x- K） +。（3.12）这里调整后的波动率bσ由bσ（t）=%pnf（t）和f（t）=g给出-1（t）=1- (1 - t） 1/u。（3.13）第2节讨论了这种简单形式的动机，详见[33]。我们指出，当波动率具有确定性时，可以使用经典的修正波动率形式（1.1）。这种特殊情况将在第5节中处理。现在，使用策略γn要求以美元价值计量的累计交易量，由Γn=nXi=1Sti |γnti给出- γnti-1|.通过它^o引理，1代表了payoff ash（s）=bC（0，s）+ZbCx（t，St-)dSt+ZbCt（t，St）+σ（yt）StbCxx（t，St）dt+X0≤T≤1B（t，圣-, 圣/圣-) ,其中B（t，x，z）=^C（t，x（z+1））-^C（t，x）- zx^Cx（t，x）和St=St- 圣-是时间t时股价的跳跃大小。上述跳跃之和可以表示为3，n=ZZR*B（t，圣-, z） J（dt，dz）。（3.14）假设初始资本（期权价格）由Vn=bC（0，S）给出，并使用（3.12）表示对冲误差为Vn- h（S）=I1，n+I2，n- I3，n- κΓn，（3.15）式中I1，n=Rbσt- σ（yt）StbCxx（t，St）dt和I2，n=Rγnt--bCx（t，圣-)dSt。注意，对于Lebesgue积分和It^o积分，可以替换St-现在的目标是研究复制误差Vn的渐近性质-h（S）。为了描述交感性质，让我们引入以下函数sv（λ，x）=ln（x/K）√λ+√λ、 q（λ，x）=ln（x/K）2λ-和eа（λ，x）=а（v（λ，x）），（3.16），其中а是标准正态密度函数。

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2022-5-8 05:09:42

如下所示，我们的近似值的收敛速度将由以下公式定义的参数β控制：≤ β：=u2（u+1）<，表示1≤ u < 2. （3.17）在说明我们的主要结果之前，让我们强调一下，使用波动率增大的方法，这意味着对冲误差的渐近性质强烈依赖于接近到期日的交易时间。但请记住，跳跃是罕见的事件，因此，接近成熟期的可能跳跃可以以很小的概率忽略。因此，在这种情况下，由于套期保值修正的频率更高，跳跃不会对套期保值误差的渐近性质产生太大影响。这意味着增加波动性对具有跳跃的模型仍然有帮助。下面的定理是[33]中连续随机波动率模型成果的推广。定理3.1。在条件（C）下- （C） nβ（Vn）的序列- h（S）- 当n趋于一致时，min（S，K）+κΓ（S，y，%）收敛到一个中心混合高斯变量，其中正函数Γ是定义为Γ（x，y，%）=xZ的交易量极限+∞λ-1/2e~n（λ，x）Eσ（y）%-1Z+q（λ，x）dλ，（3.18），其中Z是独立于S，y的标准正态变量。交易成本限额中的术语q（λ，x）可以使用‘γnt=nXi=1’定义的修正Leland策略（所谓的L’epinette策略）删除^Cx（ti）-1、Sti-1) -Zti-1^Cxt（t，St）dt（ti）-1，ti]（t）。（3.19）定理3.2。假设伊皮内特的策略用于选项复制。然后，在条件（C）下- （C） nβ序列“Vn- h（S）- ηmin（S，K）当n趋于一致时，收敛到中心混合高斯变量，其中η=1- κσ（y）%-1p8/π.3.4超级套期保值和价格降低我们首先强调，即使在恒定波动性模型中，在存在交易成本的情况下，也不可能获得非平凡的完美套期保值。

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2022-5-8 05:09:45

为了完全覆盖期权收益，卖方可以采取买入并持有策略，但这会使期权价格过于昂贵。Cvitani\'c和Karatzas[10]表明，如果一个人希望成功复制期权，并且在存在交易成本的情况下获得超级复制价格，那么买入并持有策略是唯一的选择。正如[33]中所证明的，适当选择%可以在一定程度上实现超级复制。提议3.1。Let条件（C）-（C） hold和σ是一个两次连续微分且有界的函数。然后就有了%*> 0以至于limn→∞越南≥ h（S）表示任何%≥ %*.这一性质适用于利兰的策略和伊皮内特的策略。从买方的角度来看，超边际成本太高了，尽管它确实让卖方在概率为1的情况下进行了成功的对冲。更实际地说，我们可以问，通过接受复制目标中的短缺概率，可以减少多少初始资本。从布莱克-斯科尔斯一级方程式中可以看出，两种策略γn和γn都接近于买入并持有一个作为n→ ∞. 在[37,33]中，建议采用一种简单的方法，按照分位数套期保值精神降低期权价格。让我们将这些作品中的主要思想改编为当前的背景。自从-= 毫无疑问，我们定义了Δε=inf{a>0:Υ（a）≥ 1.- ε} 式中Υ（a）=P（（1- κ）最小（S，K）>（1）- a） S）。数量Δε被称为ε级期权的分位数价格和差异（1-Δε）是期权价格的减少量（分位数套期保值的初始成本），更多讨论请参见[15,36,37,4,7,5]。显然，Δε的值越小，选择的成本就越低。我们表明，与参数ε的幂函数相比，期权价格显著降低。提议3.2。设Δε为（3.20）定义的利兰价格，并假设跳跃大小几乎肯定是非负的，即ξj≥ 0，a.s。

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2022-5-8 05:09:48

J∈ N、（3.21）和σmax=supy∈Rσ（y）<∞. 然后，对于任何r>0，limε→0(1 - δε)ε-r=+∞. （3.22）证据。观察0<Δε≤ 1和Δε趋向于1作为ε→ 0.设置b=1- κ. 然后对于足够小的ε，使得Δε>a>1- bK/Sone有1个- ε>P（min（S，K）>1- a） S）=1- P（S/S）≤ (1 - a））。因此，ε<PS/S≤ (1 - a）（1）- κ)-1.= P（P（ξ）E（y）≤ za），（3.23），其中za=（1）- a）（1）- κ)-1eλEξandEt（σ）=expZtσ（ys）dW（1）s-Ztσ（ys）dsPt（ξ）=NtYj=1（1+ξj）。（3.24）乘以（3.21），Pt（ξ）≥ 1为所有t∈ [0,1]，这意味着（3.23）右侧的概率以P（E（y）为界≤ za）。因此，ε<P（E（y）≤ za）。此时，结论完全符合[33]中的命题4.2，证明已经完成。4.带跳跃的一般随机波动率模型4。1简介价格跳跃随机波动（SVJP）模型在期权定价文献中非常流行，因为它们提供了捕捉收益分布重要特征的灵活性。然而，实证研究[14,13]表明，在1987年、1997年和2008年等市场压力期间，它们不能很好地反映波动性资产的大幅变动。换言之，SVJP模型在这种情况下是错误的。这些研究还表明，在波动性动力学中加入一个额外的成分，使这个新的因素允许波动性迅速增加，这将是更合理的。请注意，仅使用收益跳跃（如跳跃-差异模型）或离散随机波动率无法产生这种预期效果。事实上，收益率的跃升只会造成大幅波动，但不会对未来的收益波动产生影响。

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2022-5-8 05:09:51

另一方面，布朗运动驱动的离散随机波动率仅通过小的正常增量序列产生小的增加。许多实证研究[14,13]表明，结合随机波动率的跳跃可以成功捕捉波动率的快速变化。值得注意的是，引入波动率的跳跃并不意味着消除回报率的跳跃。虽然回报率和波动率的跳跃都很罕见，但它们在产生类似崩盘的波动中都扮演着重要角色。在危机时期，收益率和波动率的跃升在产生大幅增长方面比分散的随机波动率更为重要。我们请读者参考[14,13]，了解更多关于波动率跳跃使用的财务证据的讨论。在本节中，我们研究了ageneral SV模型中交易成本下的期权复制问题，该模型考虑了资产价格和波动率的跳跃。这显然是对第3节设置的概括。我们表明，波动率的跳跃也可以被视为资产价格的跳跃，也就是说，第3节中获得的结果可以被恢复。4.2具有跳跃的SV模型的规格假设在客观概率测度下，股票价格的动态S假设为DST=St-bt（yt）dt+σ（yt）dW（1）t+dζSt, dyt=α（t，yt）dt+α（t，yt）dW（2）t+dζyt。（4.1）这里，ζSt=PNStj=1ξsj和ζyt=PNytj=1ξyjare是两个复合泊松过程。对于一般设置，两个泊松过程nr和两个跳跃大小序列（ξrj），r∈ {S，y}可以相互关联。让我们给出一些跳跃组件的可能规格。（i）随机波动率模型（SV）：这对应于资产价格和波动率都没有跳跃的情况，即ζSt=ζyt=0，t、这一基本SV模型已在文献中得到广泛研究。

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2022-5-8 05:09:54

[33,34]研究了近似对冲比例不足交易成本的问题。粗略地说，在经典BlackScholes设置的收益分布中添加一些由差异产生的额外成分，就可以得到SV模型。（ii）波动率跳跃的随机波动率（SVJV）：通过允许波动率过程y的跳跃，可以获得SV模型的扩展，即ζSt=0，但ζyt6=0。在这种情况下，期权定价的含义实际上继承自SV模型。（iii）价格跳跃的随机波动性（SVJP）：现在假设ζSt6=0，但ζyt=0。本案例将在第3节中研究。（iv）价格和波动率共同跳跃的随机波动率（SVCJ）：假设SV模型中的资产价格及其波动率都受到复合泊松过程建模的同一个超随机因素的影响。换句话说，资产价格和波动率的跳跃是由相同的复合泊松过程ζSt=ζyt驱动的。（v）具有状态依赖和相关跳跃的随机波动率（SVJJ）：这是当前设置（4.1）中最常见的情况。4.3在一般SVJJ模型中具有交易成本的期权复制在本小节中，我们研究了第3节中针对一般VJJ模型（4.1）提出的期权复制问题。我们表明，在与第3节定义的SVJP相同的对冲政策中，资产和波动性的跳跃效应可以忽略。首先，让我们回顾第3节，套期保值错误采用formVn- h（S）=I1，n+I2，n- I3，n- κΓn，其中Ii，n，i=1，2，3和Γn的定义如（3.15）所示。本节中需要以下挥发性动力学条件。（C）系数函数αi，i=1，2是线性有界的局部Lipschizt。条件（C）意味着sup0≤T≤1E yt<∞, 这对于近似过程是必要的。定理4.1。

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2022-5-8 05:09:58

在条件（C）下- （C）- （C）定理3.1和3给出了极限结果。2.仍然有效。5带跳跃的确定性波动率模型在本节中，我们考虑一个更简单的模型，其中资产波动率为常数，即σ（y）=σ=常数>0，y、在资产价格没有跳跃的情况下，众所周知，使用经典的调整波动率bσt=σ+%pnf（t），%=κσp8/π（5.1）会导致渐进投资组合价值和期权支付之间的非零差异。特别地，[22]证明了vn在概率上收敛于h（S）+min（S，K）- κJ（S，%），其中Γ（x，%）由（3.18）定义，σ（y）=σ。然后在[37]中证明了归一化修正套期保值误差的渐近分布是混合高斯分布。特别是福莱兰的战略和统一修订版，n1/4（Vn- h（S）- 当%>0时，min（S，K）+κJ（S，%）弱收敛于中心混合高斯变量。为了消除Pergamenschikov结果中的错误，论文[11]采用了（5.1）中定义的bσ的L’epinette策略。事实上，证明了对于具有幂衰减性质的支付函数h的一般欧式期权，nβ（Vn- h（S））收敛到一个混合高斯变量。请注意，上述结果是在资产定价的不同模型设置中获得的。当资产价格出现跳跃时，这些工作中的近似值应该被认真考虑，而且似乎这种期望的扩展在他们的方法中远远不是显而易见的。我们的方法的一个优点是，资产价格的可能跳跃可以以很小的概率忽略。事实上，正如下面所说，同样的结果适用于跳跃差异模型。定理5.1。

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2022-5-8 05:10:01

假设资产动态为bydSt=St-btdt+σdWt+dNtXj=1ξj,其中NTI是强度为θ和（ξj）j的泊松过程≥1是一个随机变量的i.i.d序列，其公共分布满足条件（C），W是一个独立于复合泊松过程的布朗运动Pntj=1ξ，b是一个有界连续确定性函数。进一步假设调整后的波动率bσ由（5.1）或简单形式（3.13）定义。然后，对于Leland的策略，标准化对冲误差nβ越南- h（S）- min（S，K）+κJ（S，%）弱收敛到中心混合高斯变量。对于%位置的任何%>0，这仍然是正确的，因此[37]中的结果被恢复。如果采用由（5.1）定义的bσ的L’epinette策略，则得到一个渐近完全复制，即nβ（Vn- h（S））弱收敛于中心混合高斯变量。备注4。定理5.1可以推广到波动率是一个有界且光滑的确定函数，其凸一般支付具有幂衰减条件的情况，如[11]。6数值示例我们在本节中使用Matlab 2012b给出了一个数值示例。特别是，我们假设资产价格遵循跳跃扩散模型，随机波动率由anOrstein-Uhlenbeck过程dyt=（a）驱动-yt）dt+bdwt和波动函数σ（y）=yey+σmin。这可以被视为资产价格允许跳跃的赫尔-怀特模型。跳跃大小分布为N（0，0.2），跳跃率为θ=3。其他参数选择为S=K=1，a=-1，b=0.2，σmin=1，y=2，%=p8/π。图2a描述了均值-方差空间中的数值对冲误差。

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2022-5-8 05:10:05

修正套期保值误差Vn的收敛性-h（S）-min（S，K）-κJ（S，y，%）有点慢，见图2b，其中校正器的平均值为0.2465。（a） Leland策略的方差和均值（b）κ=0.001的修正套期保值误差图2：Leland策略的均值方差及其归一化修正套期保值误差可以在图3中观察到，时间零点的期权价格收敛于买入和持有超边际价格S=1。这在数值上证实了第3.4节中讨论的分位数混合法可用于降低价格，更多详情参见示例[37,33]。图3:t=0时的期权价格。图4显示了归一化修正套期保值误差的经验密度。毫不奇怪，我们观察到，套期保值在经验上收敛到一个中心变量，该变量可能表现为正态分布，但尾部明显不对称。事实上，极限分布的尾部比图1所示的无跳情况下的尾部更复杂。在图5中，我们还观察到标准化套期保值（a）%=0.01，n=1000（b）%=5，n=1000图4：在（3.19）中定义的L’epinette策略的标准化修正套期保值误差的经验密度在经验上收敛到一个表现为正态分布的中心变量。与Leland策略相比，极限方差较小。此外，如图5b所示，增加%会导致更正常的极限分布。这是因为（3.19）中使用了一个校正项（积分形式）显著降低了极限方差。

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2022-5-8 05:10:08

出于同样的原因，与Leland策略相比，图6显示了套期保值误差的数值收敛性得到了改善。（a） %=0.01，n=1000（b）%=5，n=1000图5：标准化修正套期保值误差L’epinette策略的经验密度7主要理论的证明通常，在第3、4和5节中建立的主要结果是我们正在搜索的一些特定类型的鞅极限定理的直接结果。为此，图6：修正的L’epinette策略套期保值误差我们按照[33]中的方法构造了一个特殊的近似程序。我们的主要尝试是证明近似中出现的跳跃项在期望的nβ处可以忽略。为了方便起见，我们在第一小节中回顾了初步设置，并参考[33]了解动机。7.1初步定义m=n-hn（l）*/λ） 2/（u+1）i和m=n-hn（l）*/λ） 2/（u+1）i，其中[x]代表数字x和l的整数部分*= 自然对数-3n，l*= lnn。下面我们重点讨论交易时间的子序列（tj）和相应的序列λjM≤J≤mde定义astj=1- (1 - j/n）u和λj=Ztjbσudu=λ（1- tj）4β，λ=4β√N√u. （7.1）注意tj是一个递增序列，其值在[t]中*, T*], t在哪里*= 1.- （l）*/λ） 4β和t*= 1.- （l）*/λ） 4β，而λj在[l]中减少*, L*]. 因此，在续集中我们使用了符号tj=tj-tj-1鉴于λj=λj-1.-λj，代表m≤ J≤ 避免离散和中的负设计。下面，It^o积分将在以下独立正态随机变量序列中离散化sz1，j=W（1）tj- W（1）tj-1ptj- tj-1和Z2，j=W（2）tj- W（2）tj-1ptj- tj-1.（7.2）我们设定p（λ，x，y）=%σ（y）ln（x/K）2λ-（7.3）图7：两个序列（λj）和（tj）以及短pj的写入-1=p（λj）-1、Stj-1，ytj-1). 这种简化符号也经常用于近似过程中出现的函数。

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2022-5-8 05:10:12

有了修订时间序列（tj），我们考虑了居中的序列（Z3，j=|Z1，j+pj）-1| - E|Z1，j+pj-1 | | Fj-1.,Z4，j=|Z1，j |- E|Z1，j | | Fj-1.= |Z1，j|-p2/π。（7.4）序列（Z3，j）和（Z4，j）将用于确定所考虑项的Doob分解。为了表示交易成本的极限，我们引入了函数（G（a）=E（|Z+a |）=2~n（a）+a（2Φ（a）- 1），λ（a）=E（|Z+a |- E | Z+a |）=1+a- G（a），（7.5）代表a∈ R和Z~ N（0，1）。我们也写o（n）-r）对于一般的随机变量序列（Xn）n≥1令人满意的P-画→∞nrXn=0，而符号Xn=O（n-r）意味着nrXnis的概率有界。对于近似分析，我们将使用函数φ（λ，x）=exp-x2λ-λ,bφ（λ，x）=φ（λ，η（x）），η（x）=ln（x/K）|。（7.6）7.2停止时间和技术条件我们首先强调，在有界波动设置下，可以像之前的工作[11,27,28]一样，基于Lestimates进行渐近分析。对于一般的随机波动性框架，这种方法不再有效，因为资产价格的k阶矩（通常不是鞅）可能在k>1时是有限的，见[2,29]。我们通过应用截断技术克服了这一困难。特别是，对于任何L>0，我们考虑了停止时间τ*= τ*L=infnt≥ 0:1{t≥T*}ηt-1+/σt>Lo∧ 1，（7.7）式中ηt=η（St）和‘σt=max{σ（yt），|σ（yt）|}。请注意，对于已停止的进程St，可能无法完全控制跳转∧τ*如[33]所示。因此，在存在跳跃的情况下，我们认为其版本由*t=SexpZtbsds+Ztσ*sdW（1）s+NtXj=1ln（1+ξj）, （7.8）其中*t=bt-σ*2t/2-θEξ和σ*t=σ（yt）1{σ（yt）≤五十} 。为了简单起见，这里不再依赖L。那么，很明显*t=Ston在集合{τ*= 1}. 我们很容易观察到，在条件（C）下，limL→∞林监督*→1P（τ*< 1) = 0 . （7.9）为了简单起见，在续集中我们使用了符号Su=（Su，yu）。

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nandehutu2022

2022-5-8 05:10:15

我们对一类连续可微函数a:R+×R+×R进行了逼近→ R满足以下技术条件，比[33]中提出的技术条件更一般。（H）设A为R+×R+×R→ R连续可微函数，对于第一个参数和任何x>0，y具有绝对可积导数A∈ R、林恩→∞nβZl*|A（λ，x，y）|dλ+Z+∞L*|A（λ，x，y）|dλ= 0 .此外，存在γ>0和正连续函数U，使得| a（λ，x，y）|≤ (λ-γ+1）U（x，y）bφ（λ，x），（7.10），其中bφ在（7.6）和sup0中定义≤T≤1E U（S*t） <∞. （7.11）备注5。在对冲误差的近似值中，函数U（x，y）的形式为√x[cσ（y）+cσ（y）]m（高达一个倍数常数）对于某些常数c，cand m≥ 0.因此，对于anyL>0，只要sup0，条件（7.11）就已满≤T≤1E（S）*t） <∞ 但这是由跳跃大小的有限秒矩（C）条件保证的。参见附录B。对于一些正常数L，我们介绍函数G*（x） =g*L（x）=| x | 1{| x |>L-1} +L-1{|x|≤L-1}. （7.12）放置η*t=g*（ηt），我们观察到在集合{τ*= 1},η*t=L-1和bφ（λ，St）=φ（λ，η）*t） =φ（λ，L）-1）：=φL（λ），对于所有t*≤ u<1。（7.13）7.3随机积分的近似对于表示的完备性，我们在这里回顾[33]中建立的渐近结果，它在证明主要结果中起着核心作用。提议7.1。设A（λ，x，y）为函数，使得A及其第一偏导数xA，你满意（H）。那么，对于i=1，2，ZbσtZtA（λt，Su）dW（i）udt=%-1mXj=mAj-1Zi，jλj+o（n）-β）式中，Aj=A（λj，Stj）和A（λ，x，y）=R∞λA（z，x，y）dz。证据我们遵循[33]中命题7.1中使用的论点。虽然我们是在技术条件（H）下工作的，这与[33]中的技术条件略有不同，但论点是相似的。

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可人4

2022-5-8 05:10:19

为了方便读者，让我们详细介绍一下证据，因为近似技术将在我们的分析中反复使用。首先，利用随机Fubinitheorem one getsbIn=ZbσtZtA（λt，Su）dW（i）udt=ZZubσtA（λt，Su）dt改变内积分的变量v=λt，我们得到ZubσtA（λt，Su）dt=ZλuA（v，Su）dv=A（λu，Su）- A（λ，Su）。换句话说，bIn=bI1，n-其中bi1，n=RAudW（i）u，Au=A（λu，Su）和bI2，n=RA（λ，Su）dW（i）u。此外，我们还有bi1，n=Zt**AudW（i）u+Zt*T*AudW（i）u+Zt*AudW（i）u:=R1，n+R2，n+R3，n.（7.15）让我们首先使用bi2，n=o（n-β). 对于任何ε>0，我们观察到p（nβ| bI2，n |>ε）≤ P（nβ| bI2，n |>ε，τ）*= 1） +P（τ）*< 1).鉴于（7.9），需要证明右侧的第一个概率收敛到0。事实上，通过（H）我们有| A（λ，x，y）|≤ CU（x，y）Z∞λe-λ/8dλ≤ CU（x，y）e-λ/8.把A*u=Au{τ*=1} 安德比*2，n=RA*udW（i）uan和使用符号S*= （S）*, y）一个搭扣（nβ| bI2，n |>ε，τ*L=1）=P（nβ| bI*2，n |>ε）≤ ε-2n2βE（bI）*2，n）≤ Cε-2n2βe-λ/8sup0≤T≤1E U（S*t），根据条件（H）收敛到零。因此，bI2，n=o（n-β）作为n→ ∞. 接下来，让我们展示R2，nis是BI1，n的主要部分*≤ λu≤ λ表示0≤ U≤ T*, 我们得到R1，n=o（n-β).接下来，让我们展示最后一项R3，nin（7.15）的相同性质。为此，请再次注意nβ| R3，n |>ε≤ Pnβ| R3，n |>ε，τ*= 1.+ P（τ）*< 1) . （7.16）关于{τ*= 1} 有人估计|Au |≤ U（S*u） R∞λu（1+z）-γ） bφ（z，S）*u） dz=u（S*u） f*u、其中f*u=R∞λu（1+z）-γ） φL（z）dz。再一次通过切比雪夫不等式得到nβ| R3，n |>ε，τ*= 1.= Pnβ| bR3，n |>ε≤ n2βε-2Zt*E（文学士）*u） du，以n2βε为界-2C（U）Rt*（f*u） du与C（u）=sup0≤U≤1E U（S*U-) < ∞.

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2022-5-8 05:10:23

考虑到这一点*（f*u） du=λ-4βZl*Z∞λ（1+z）-γ） φL（z）dzdλ≤ Cλ-4βl*,我们得出结论，limn→∞Pnβ| R3，n |>ε，τ*= 1.= 0，因此R3，n=o（n-β）鉴于（7.9）。仍然需要使用序列（Zi，j）离散积分项R2。实现这一目标的关键步骤如下。首先，我们表示R2，n=Rt*T*AudW（i）u=Pmj=mRtjtj-1AudW（i）u，并将最后一个和中的It^o积分替换为aj-1Zi，jptj。接下来，引理A.1允许替换tj=%-1.λjin取最后一个和，得到由mk定义的鞅mm=%-1kXj=mAj-1Zi，jλj，m≤ K≤ m、我们需要证明P-画→∞nβ| R2，n-Mm |=0或等效，Pmj=mBj，n=o（n-β），其中Bj，n=Rtjtj-1eAu，jdW（i）uandeAu，j=\'A（λu，Su）-\'A（λj-1，Stj-1). 我们在不使用It^o公式的情况下展示了这一点。为此，让b>0并引入集合Ohmb=（支持）*≤U≤1supz∈R|A（z，Su）|+x\'A（z，Su）+y\'A（z，Su）≤ b）。然后，对于任意ε>0，Pnβ| Pmj=mBj，n |>ε是以p为界的(Ohmcb）+P（τ）*< 1） +Pnβ| mXj=mBj，n |>ε，Ohmb、 τ*= 1..请注意肢体→∞画→∞P(Ohmcb=0，引理A.4。鉴于（7.9），需要证明后一种概率收敛于零。为此，putbAu，j=eAu，j{| eAu，j|≤bδu，j}和bbj，n=Rtjtj-1bAu，jdW（i）u，其中δu，j=|λu-λj-1 |+| S*U--s*T-J-1 |+|于--yt-J-1|. 那么，上述概率等于Pnβ| Pmj=mbBj，n |>ε, 比ε小-2n2βPmj=mEbBj，通过切比雪夫不等式。显然，EbBj是以2BZTJTJ为界的-1（（λu）- λj-1） +E（S）*U- s*tj-1） +E（余）- ytj-1））杜≤ C(λj）+(（tj）.因此，n2βPmj=mEbBj，n≤ Cn2βPmj=m(λj）+(tj）。考虑到伦马。1我们得出结论，后一个和收敛到0，因此，证明完成。引理7.1。设ι（t）=sup{ti:ti≤ t} A（λ，x，y）是满足条件（H）的函数。然后（我）。RRtι（t）bσuA（λu，Su）dudW（i）t=o（n）-β），i=1,2，（ii）。RRtι（t）A（λu，Su）dW（i）udW（j）t=o（n）-β），i，j∈ {1, 2}.证据

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