比例交易成本对系统生成成本的影响

2022-6-14 13:05:31

比例交易成本对系统生成投资组合的影响Johannes RUF和KANGJIANAN XIEAbstract。实证研究了比例交易成本对系统生成的投资组合的影响。在涉及交易频率、成分列表大小和更新频率的不同配置下，考察了几个投资组合（指数跟踪投资组合、等权投资组合、熵权投资组合和多样性加权投资组合）在存在股息和交易成本的情况下的表现。此外，还提出了平滑交易成本的方法。1、简介尽管为了简单起见，在投资组合分析中经常被忽视，但交易成本对投资组合绩效影响很大。即使是小比例的交易成本也可能产生巨大的负面影响，尤其是当进行交易以相对较高的频率重新平衡投资组合时。因此，即使在构建投资组合时没有明确考虑交易成本，也至少应该在施加交易成本时测试给定投资组合的性能。在本文中，我们研究了对系统生成的投资组合施加交易成本的影响，例如，功能生成的投资组合。此类投资组合在随机投资组合理论中发挥着重要作用；见Fernholz（2002）。Ruf和Xie（2019）以及Karatzas和Kim（2019）从经验上证明，在没有交易成本的情况下，功能生成的投资组合优于市场投资组合。为了探索当施加交易成本时，这一结果是否或在多大程度上仍然成立，我们实证检验了不同配置下的投资组合绩效，包括交易频率、交易成本率、成分列表大小和更新频率。

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2022-6-14 13:05:34

对于多样性加权投资组合，我们还提出了一种平滑交易成本的方法。Wong（2019）指出了另一种方法，即根据某些信息论量调整交易频率。Magill和Constantinides（1976）是最早研究比例交易成本对投资组合选择影响的研究者之一。我们参考Guasoni和Muhle Karbe（2013）以及MuhleKarbe等人（2017），以了解随后演变的交易成本文献概述。大多数文献只关注一种风险资产的情况。关于存在多个风险资产时交易成本的讨论，我们参考Muthuraman和Zha（2008）、Bichuchand Shreve（2013）和Possamai等人（2015）。Stoll和Whaley（1983）、Bajgrowicz和Scaillet（2012）以及Olivares Nadaland DeMiguel（2018）对交易成本的影响进行了实证分析。我们通过系统分析交易成本对功能生成的投资组合的影响来跟进这项研究。以下是本文的概要。第2节提出了在存在交易成本的情况下对投资组合绩效进行回溯测试的框架。特别是，第2.1小节在重新平衡投资组合时纳入了比例交易成本，第2.2小节规定了日期：2019年4月22日。关键词和短语。多元化加权投资组合；等权重投资组合；功能生成的投资组合；投资组合分析；随机投资组合理论；交易成本。我们感谢Camilo Garcia、Johannes Muhle Karbe、Soumik Pal、Vassilios Papathanakos和Leonard Wong就本文主题进行了许多有益的讨论。2 JOHANNES RUF和KANGJIANAN XIE在回测投资组合绩效时的实际注意事项和细节。

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2022-6-14 13:05:37

第3节实证研究了几种不同投资组合在不同配置下的表现。第3节还提供了平滑交易成本的方法。第4节结束。2、存在交易成本的回溯测试2.1。将交易成本纳入财富动态。我们将研究离散重新平衡的纯多头股票组合的表现。市场并不是没有摩擦的；当我们在市场上交易以重新平衡投资组合时，会产生交易成本。投资组合的构建方式是，在支付交易成本后，其权重与给定的目标权重相匹配。例如，这种结构比inG^arleanu和Pedersen（2013）的结构更为严格，其中投资组合权重可能会偏离目标权重。更具体地说，考虑d≥ 2只股票。用ψ（·）=（ψ（·），··，ψd（·））表示投资于每只股票的货币金额，投资于投资组合的总金额yv（·）=dXi=1ψi（·）≥ 此外，用π（·）=（π（·），··，πd（·））表示投资组合权重。注意ψi（·）=πi（·）V（·），对于所有i∈ {1，···，d}。假设股票交易涉及时间不变的交易成本tcb（tcs），0≤ tcb，tcs<1，用于购买（出售）股票。这意味着出售一单位货币的股票只会净值（1- tcs）货币单位为现金，而购买一单位货币的股票成本为1+tcb"a货币单位。现在让我们考虑一下，在施加交易成本时，如何交易股票，以匹配目标权重。首先，让我们关注特定时间t的交易。当在时间t平衡投资组合时，我们知道财富ψ（t-) 投资于每只股票，进而投资组合的总财富V（t-) =Pdi=1ψi（t-) （不包括股息）。

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2022-6-14 13:05:41

我们也知道t时支付的股息-, 它们的总数用D（t）表示-) ≥ 0.给定目标权重π，我们要求在时间t时重新平衡投资组合后，π（t）=π。在时间t后，投资组合中每只股票的财富ψ（t）满足ψj（t）=πj（t）dXi=1ψi（t），j∈ {1，···，d}。（2.1）我们在本小节后面提供了有关如何计算ψ（t）的详细信息。由于投资组合需要自我融资，用于购买额外股票的货币金额应该正好是出售多余股票获得的货币金额加上股息（如果有）。这将产生"A1+tcb"adXi=1（ψi（t）- ψi（t-))+= (1 - tcs）dXi=1（ψi（t-) - ψi（t））++D（t-). （2.2）时间t时交易股票产生的总交易成本由tc（t）=tcbdXi=1（ψi（t）计算得出- ψi（t-))++ tcsdXi=1（ψi（t-) - ψi（t））+。（2.3）因此，时间t时投资组合的总财富，由V（t）=Pdi=1ψi（t），满意度V（t）=V（t）得出-) + D（t）-) - TC（t）。比例交易成本的影响3计算ψ（t）的方法。下面，我们提出了一种计算ψ（t）的方法，给定ψ（t-),D（t-), 目标权重π。在本节中，我们假设-) > 0，D（t-) ≥ 0，dXi=1πi=1，πj≥ 0和ψj（t-) ≥ 0，对于所有j∈ {1，···，d}。首先，（2.1）意味着ψ（t）的形式为ψj（t）=cV（t-)πj（t），j∈ {1，···，d}，（2.4）对于某些c>0。请注意，如果市场无摩擦，即如果tcb=tcs=0，并且如果在时间t时无需支付任何股息-, i、 e.，如果D（t-) = 0，则V（t）=V（t-) c=1。当施加交易成本时，我们将使用约束条件（2.2）来确定c。为了取得进展，定义“D=D（t-) + (1 - tcs）Pdi=1ψi（t-)1πi（t）=0V（t-)（2.5）和cj=πj（t-)πj（t）πj（t）>0，j∈ {1，···，d}。然后将（2.2）的两侧除以V（t-) 收益率"A1+tcb"adXi=1（c- ci）+πi（t）=（1- tcs）dXi=1（ci- c） +πi（t）+”D。

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2022-6-14 13:05:44

（2.6）注意，（2.6）中的LHS是c的连续函数，严格从0增加到∞,c从mini更改为∈{1，···，d}西托∞. 此外，（2.6）的RHS是C的连续函数，从∞ 至“D”≥ 0，因为c从-∞ 至maxi∈{1，···，d}ci，等于“daftherwards，因为c从maxi变为∈{1，···，d}西托∞. 因此，（2.6）的两侧作为cmust的函数必须在某个唯一点相交，即（2.6）存在唯一解。继续，定义“Dj="A1+tcb"adXi=1（cj- ci）+πi（t）- (1 - tcs）dXi=1（ci- cj）+πi（t），j∈ {1，···，d}。（2.7）我们现在准备为未知常数c提供一个表达式。命题1。回想一下，（2.5）和（2.7）表示“D≥ 0和mini∈{1，···，d}“Di≤ 因此，j=arg maxi∈{1，···，d}P“Di；”Di≤“D(c)（2.8）定义良好。然后c="A1+tcb"aPdi=1ciπi（t）1ci≤cj+（1- tcs）Pdi=1πi（t-)1ci>cj+“D1+tcbPdi=1πi（t）1ci≤cj+（1- tcs）Pdi=1πi（t）1ci>cj（2.9）唯一求解（2.6）。证据根据（2.7）中“dj”的定义和一些基本计算，（2.9）相当于c=cj+”D-“Dj1+tcbPdi=1πi（t）1ci≤cj+（1- tcs）Pdi=1πi（t）1ci>cj，这意味着1ci≤c≥ 1ci≤cj，为了所有我∈ {1，···，d}。4 JOHANNES RUF和KANGJIANAN XIEIn案件maxi∈{1，···，d}“Di≤“D，我们有1ci≤cj=1，因此1ci≤c≤ 1ci≤cj，为了所有我∈{1，···，d}。在maxi的情况下∈{1，···，d}“Di>”d，definej=arg mini∈{1，···，d}P“Di；”Di>“d(c)。那么（2.9）等于toc="A1+tcb"aPdi=1ciπi（t）1ci<cj+（1- tcs）Pdi=1πi（t-)1ci≥cj+“D1+tcbPdi=1πi（t）1ci<cj+（1- tcs）Pdi=1πi（t）1ci≥cj=cj+“D-“Dj1+tcbPdi=1πi（t）1ci<cj+（1- tcs）Pdi=1πi（t）1ci≥cj，表示1ci>c≥ 1ci>cj，对于所有i∈ {1，···，d}。

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2022-6-14 13:05:52

总之，我们展示了1ci≤c=1ci≤cj，forall i公司∈ {1，···，d}。确定下一个∏b="A1+tcb"adXi=1πi（t）1ci≤cj，∏s=（1- tcs）dXi=1πi（t）1ci>cj，∏b="A1+tcb"adXi=1ciπi（t）1ci≤cj，∏s=（1- tcs）dXi=1πi（t-)1ci>cj。因此，通过（2.9）将c插入（2.6）后，（2.6）的LHS变为LHS=c∏b- πb=πb∏s- πs∏b+πb“D∏b+πs，且（2.6）的RHS变为RHS=πs- c∏s+“D=∏b∏s- ∏s∏b- πs“D∏b+πs+”D=LHS。因此，由（2.9）定义的c确实解决了（2.6）。备注2。在实践中，我们可以应用数值和分析方法来确定常数。如（2.6）所示，要以数字形式找到c，我们只需搜索函数c 7的最小值→"A1+tcb"adXi=1（c- ci）+πi（t）- (1 - tcs）dXi=1（ci- c） +πi（t）-“D.或者，通过确定（2.8）中给出的指数j，我们可以将命题1应用于计算分析。如果实现了分析方法，我们可以通过进行以下观察来加速算法。我们预计c的值不会远离1，这正是在没有交易成本和股息的情况下的值。根据命题1的证明，家族（“Di”）i∈{1，···，d}与（ci）i具有相同的排名∈{1，···，d}。因此，我们继续按升序排列所有ci，并将“dk”与“D”进行比较，其中k=arg maxi∈{1，···，d}{ci；ci≤ 1} .如果“Dk=”D，那么j=k，我们就完成了。如果“Dk>”D，那么我们每次重复计算与较小ci相对应的“D”，直到我们找到准确的指数j。如果“Dk<”D，那么我们意味着反过来。比例交易成本的影响5比例1用于确定（2.4）中使用的常数c，以计算ψ（t）。注意，在这一小节中，我们取ψ（t-) 和D（t-) 如给定。在下一小节中，我们将讨论如何计算ψ（t-) 和D（t-) 从数据中。2.2. 实际考虑。

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2022-6-14 13:05:55

为了准备下一节的实证研究，我们现在介绍用于对投资组合绩效进行回溯测试的方法。首先，假设我们得到了所有股票的总市值和每日回报；分别用S（·）=（S（·），··，Sd（·））和r（·）=（r（·），··，rd（·））表示这些过程。假设总共有N天。对于所有l∈ {1，···，N}，让tl表示第l天的结束，在这一天结束时，可以获得第l天的总市值和每日回报。此外，如果我们在l日进行交易，那么我们将l日称为交易日，交易在tl时进行。现在将重点放在特定的交易日l和l∈ {1，···，N}和fix i∈ {1，···，d}表示当前。在第2.1小节中，给出ψ（tl-) 和D（tl-), 除了tl时相应投资组合规定的目标权重外，我们还展示了如何计算ψ（tl）。下面，我们将展示如何获得ψ（tl-) 和D（tl-).日回报率ri（tl）包括股票i的股息（如果有）。我们将每日收益率ri（tl）分解为两部分：股息率rDi（tl）和实际利率rRi（tl）。分割率rDi（tl）计算为rDi（tl）=max(R)1+ri（tl）-Si（tl）Si（tl-1），0'（2.10），并产生在tl时投资于股票i的每种货币单位在tl时收到的股息金额-实现利率rRi（tl）计算为rRi（tl）=ri（tl）- rDi（tl）并产生tl时库存i中持有的货币单位，对于tl时库存i中投资的每种货币单位-（2.10）中使用了最大值，以确保股息率为非负。事实上，偶尔数据可能表明Si（tl-1）（1+ri（tl））<Si（tl）。例如，当i公司在tl时间发行额外股票时，可能会发生这种情况。在这种情况下，我们只是假设在tl时间没有支付任何股息。特殊情况需要我们格外注意。

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2022-6-14 13:05:58

有几次，一些股票在tl时从市场上退市，例如，由于破产或合并。在这种情况下，我们仍然有ri（tl）的数据，但没有Si（tl）的数据。为了处理这种情况，我们假设在时间tl时，股票i中支付了nodividends。因此，对于此类股票i，我们有rDi（tl）=0和rRi（tl）=ri（tl）。为了结束股票i中的头寸，我们假设需要支付交易成本。在不丧失一般性的情况下，假设≥ 自最后一个交易日起1天（包括交易日l），即l之前的最后一个交易日为l- n、对于所有k∈{l- n+1，···，l}，我们计算rD（tk）和rR（tk），如上所述。特别是，如果投资组合中的一些股票i在时间tu时从市场上退市，对于一些u∈ {l- n+1，···，l- 1} ，然后我们设置rRI（tv）=rDi（tv）=0，对于所有v∈ {u+1，···，l}。然后给出ψ（tl-n），我们计算ψi（tl-) = ψi（tl-n） lYk=l-n+1"A1+rRi（tk）"a，i∈ {1，···，d}。根据股息率Rd计算的股息不仅包含实际的股票股息，还包含其他公司行为。例如，在20世纪的大部分时间里占据电话市场主导地位的美国电话电报公司（AT&T），在1984年被拆分为八家较小的公司。这导致股价大幅下跌。在我们下面的分析中，我们假设投资者获得了现金交换（而不是新成立公司的股票）。6 JOHANNES RUF和KANGJIANAN Xience连续两个交易日之间支付的所有股息仅在tl时再投资，可再投资的总股息由比亚迪（tl）计算-) =dXi=1ψi（tl-n） lXk=l-n+1rDi（tk）k-1Yu=l-n+1"A1+rRi（tu）"a。3、实例和实证结果在本节中，我们对几个投资组合的绩效进行了实证分析。

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2022-6-14 13:06:01

目标权重以市场权重u（·）=u（·），··，ud（·）"a表示，其中成分uj（·）=Sj（·）Pdi=1Si（·），j∈ {1，···，d}。在第3.4小节中，我们还提出了一种平滑交易成本的方法。我们将考虑最大的d股。我们将在100、300和500之间改变数字d。成分列表（排名前d的股票列表）每周、每月或每季度更新一次。每当我们更新成分列表时，我们都会保留当时总市值最大的d股。之后我们只交易这些d股，直到我们再次更新宪法清单。如果这些股票中的任何一支由于任何原因停止在市场上存在，我们建议在下次更新之前，在不向名单中添加新股票的情况下投资剩余的股票。请注意，更新成分列表意味着用新的前d股替换旧的前d股。我们以特定的频率进行交易，可以是每天、每周或每月。关于最佳交易频率的研究，我们参考Ekren et al.（2018）。在时间t，我们将由于初始化投资组合而产生的交易成本作为沉没成本，即weset TC（t）=0。此外，我们以初始财富V（t）=1000开始投资组合。请注意，除非另有说明，否则在绘制V（·）和TC（·）时使用对数刻度，以便更好地解释。为了简化分析，我们对股票的买卖都施加了统一的交易成本率tc，即我们设置tcb=tcs=tc。对于每个示例，我们提供了年回报率、超额回报率（相对于相应的指数跟踪投资组合）、年回报率的标准差、夏普比率以及投资组合投资期结束时的财富和累计交易成本的表格。数据源。

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2022-6-14 13:06:04

总市值S（·）和每日收益率r（·）的数据从CRSP美国股票数据库下载。该数据库包含美国主要交易所的交易股票。更准确地说，我们专注于普通股。数据开始于1962年1月2日，结束于2016年12月30日。总市值是通过将流通股数量乘以股价来计算的，对于确定目标权重至关重要。每日回报包括股息，但也包括股票退市时的退市回报（例如，交易公司破产时的回收率）。3.1. 指数跟踪投资组合。在本小节中，我们将介绍指数跟踪投资组合。该投资组合用于衡量以下小节中研究的其他投资组合的绩效。指数跟踪投资组合的目标权重为πj（·）=uj（·），j∈ {1，···，d}。请注意，只有当组成部分列表发生变化或分割部分重新投资时，该投资组合才会重新平衡。为了计算投资组合和指数的夏普比率，使用了一年期美国国债收益率。这些产量的数据可从以下网站下载https://www.federalreserve.gov.See http://www.crsp.com/products/research-products/crsp-us-stock-databases有关详细信息。CRSP中“股票代码”为10、11或12的股票。比例交易成本的影响7指数跟踪投资组合包括支付交易成本和再投资股息的影响。

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2022-6-14 13:06:08

相比之下，财富过程dxi=1Si（·）×Pdi=1Si（t）的资本化指数没有考虑交易成本和股息。在下文中，我们考察了在不存在交易成本的情况下，即当tc=0时，以及当tc=0.5%和tc=1%时，指数跟踪组合在不同交易频率、更新频率以及成分列表大小d下的表现。这些数字与Stoll和Whaley（1983）、Keimand Madhavan（1997）和Fong等人（2017）的交易成本估计值一致。改变交易频率。我们确定成分列表大小d=100，并使用每月更新频率。表3.1分别显示了指数跟踪组合和相应资本化指数在每日、每周和每月交易频率下的表现。请注意，资本化指数并不取决于交易频率。正如预期的那样，在相同的交易频率下，在交易成本率tc较大的情况下，投资组合表现较差。此外，投资组合的表现优于相应的指数，这意味着即使tc=1%，dividendspaid也超过了施加的交易成本。在图3.1中，绘制了每日交易指数跟踪投资组合和相应资本化指数的财富过程。CI ITdITd0.5ITdITwITw0.5ITWITWITM0.5ITmYearly return 8.84 10.30 10.09 9.89 10.30 10.10 9.90 10.27 10.08 9.89Std 16.59 16.87 16.84 16.81 16.88 16.85 16.82 16.88 16.86 16.83夏普比率0.22 0.30 0.29 0.28 0.30 0.29 0.28财富54.5 111.7 100.7 90.7 111.3 100.7 91.7 99.7 90.6TC 2.7 5.0 2.5 4.7 2.3 4.3表3.1。

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2022-6-14 13:06:16

在不同交易频率和交易成本率TC（d=100）以及每月更新频率下，指数跟踪投资组合（IT）和相应资本化指数（CI）在投资期结束时的年回报率（百分比）、年回报标准差（Std）、夏普比率、财富和累计交易成本（TC）（以千为单位）。下标x对应于tc=x%，上标d、w和m分别表示每日、每周和每月的交易频率。改变更新频率。尽管成分列表大小d=100，我们现在使用每日交易频率，并分别在每周、每月和季度频率之间改变更新频率。如图3.2和表3.2所示，在相同的交易成本率tc下，成分列表更新的频率越低，投资组合的表现越好。由于我们在更新成分列表时进行交易，因此更新频率越高，交易成本越高，从而对投资组合的绩效产生更大的影响。此外，成分列表更新的频率越高，投资组合对更大的交易成本率tc越敏感。改变成分列表大小d。通过每日交易和每月更新频率，我们现在回溯测试不同成分列表大小d下指数跟踪组合的性能。如图3.3和表3.3所示，该组合优于相应的8 JOHANNES RUF和KANGJIANAN XIEFigure 3.1。指数跟踪投资组合（IT）和相应资本化指数（CI）在不同交易成本率tc（d=100）、日交易频率和月收益频率下的财富过程。

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2022-6-14 13:06:20

在相同的交易成本率tc下，每周和每月交易的投资组合的表现与每日交易的投资组合相似。CIWITWITW0.5ITWCIQITQITQ0.5ITQ年回报率8.85 10.14 9.73 9.33 8.82 10.34 10.20 10.06Std 16.66 16.89 16.84 16.79 16.44 16.83 16.81 16.79夏普比率0.22 0.29 0.27 0.25 0.22 0.31 0.30 0.29财富54.5 102.2 83.5 68.1 54.4 114.2 106.5 99.2TC 4.2 7.2 2 2 3.8表3.2。在不同的更新频率和交易成本率TC（d=100）以及日交易频率下，指数跟踪投资组合（IT）和相应的资本化指数（CI）在投资期结束时的年回报率（百分比）、年回报标准差（Std）、夏普比率、财富和累计交易成本（TC）（单位：千）。下标x对应于tc=x%，上标W和Q分别表示每周和每季度的更新频率。交易成本率tc=1%时的指数。成分列表中包含的股票越多，投资组合的表现越好。3.2. 等权重投资组合。本小节研究了同等权重的投资组合（参见Benartzi和Thaler（2001）和Windcliff和Boyle（2004）在确定缴款计划背景下对该投资组合的讨论，以及DeMiguel等人（2007）对其比例交易成本影响的深入研究9图3.2）。指数跟踪投资组合（IT）和相应资本化指数（CI）在对数尺度上的财富过程，在不同的更新频率和交易成本率tc（d=100）和每日交易频率下。当tc=0时，每周更新投资组合的表现与当tc=1%时，季度更新投资组合的表现相似。

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2022-6-14 13:06:23

每周和季度更新的资本化指数与每月更新的资本化指数差别不大。CIITT0.5ITCIITT0.5ITYearly return 8.94 10.61 10.46 10.31 9.01 10.83 10.71 10.59Std 16.14 16.57 16.55 16.53 16.15 16.61 16.60 16.58夏普比率0.23 0.33 0.32 0.31 0.24 0.34 0.33 0.33财富58.7 132.5 123.1 114.3 60.6 147.2 139.0 131.1TC 2.4 4 4.3表3。年度回报率（百分比）、年度回报标准差（Std）、夏普比率、，以及指数跟踪投资组合（IT）和相应的资本化指数（CI）在投资期结束时的财富和累计交易成本（TC），以千为单位，在不同的成分列表大小d和交易成本率（TC）以及每日交易和每月更新频率下。下标x对应于tc=x%，上标300和500分别表示d=300和d=500。属性）。这里，目标权重由πj（·）=d，j给出∈ {1，···，d}。对于每个具有特定交易频率、特定更新频率和特定成分列表大小d的投资组合，我们在没有交易成本的情况下，即当tc=0时，以及当tc=0.5%和tc=1%时，检查其绩效。如下图所示，10 JOHANNES RUF和KANGJIANAN XIEFigure 3.3。指数跟踪投资组合（IT）和相应的资本化指数（CI）在对数尺度上的财富过程，在不同的成分列表大小d和交易成本率tc以及每日交易和每月收益频率下。对于投资组合和指数，都省略了d=300的财富过程。如果其他条件相同，则它们将位于d=100和d=500的有标记的值之间。在没有交易成本的情况下，平均加权投资组合的表现优于相应的指数跟踪投资组合。

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2022-6-14 13:06:26

在无摩擦市场中，等权重组合的这种良好表现在学术文献中很受欢迎。然而，同等权重的投资组合对交易成本非常敏感。即使交易成本率tc=0.5%，其性能也会受到严重影响。改变交易频率。让我们确定d=100并应用每月更新频率。图3.4和表3.4总结了在不同交易频率和交易成本率tc下，等权重和相应指数跟踪投资组合的财富过程。当没有交易成本时，即当tc=0时，在所有三种不同的交易频率下，同等权重的投资组合优于相应的指数跟踪投资组合。Banner等人（2018年）也提供了类似的观察结果。此外，投资组合的交易频率越高，其表现越好。更频繁的交易还可以更快地对股息进行再投资，这有助于提高投资组合的绩效。当施加交易成本时，图3.4和表3.4表明，在相同的交易成本率tc下，投资组合的交易频率越高，投资组合绩效的下降幅度越大。等权投资组合的绩效受到交易成本的强烈影响。即使在tc=0.5%的情况下，相应的指数跟踪投资组合也会超出同等权重的投资组合。然而，交易放缓有助于减少交易成本的影响。事实上，当tc=1%时，每月交易的等权重投资组合的表现与tc=0.5%时每日交易的投资组合的表现相似。

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2022-6-14 13:06:29

如图3.5所示，当tc=1%时，每月交易的等权重投资组合支付的累计交易成本小于tc=0.5%时每日交易的交易成本。我们现在研究夏普比率对交易成本率tc的敏感性。具体而言，我们计算了每月交易的夏普比率，这些比率具有同等的权重，并反映了比例交易成本的影响11图3.4。在不同的交易频率和交易成本率tc（d=100）和月收益率下，等权投资组合（EW）和相应的指数跟踪投资组合（IT）在对数尺度上的财富过程。在相同的交易成本率tc下，每周和每月交易指数跟踪投资组合的表现与交易日指数跟踪投资组合相似。EWEWD0.5EWEWW0.5EWEWEWM0.5EWEWM0.5EWmYearly return 11.10 9.19 7.31 10.94 9.82 8.72 10.53 9.81 9.10超额收益0.80-0.9-2.58 0.64-0.28-1.18 0.26-0.27-0.79Std 16.83 16.65 16.48 16.93 16.81 16.69 17.00 16.91 16.83夏普比率0.35 0.24 0.13 0.34 0.28 0.21 0.27 0.23财富168.2 64.0 24.3 153.8 87.7 50.0 123.7 86.1 59.9TC 15.5 15.0 11.4 14.8 7.2 10.9表3.4。年回报率和超额回报率（关于表3.1中所示的指数跟踪投资组合），以百分比、年回报率标准差（Std）、夏普比率、，以及在不同交易频率和交易成本率TC（d=100）以及每月更新频率下，等权投资组合（EW）投资期结束时的财富和累计交易成本（TC）（以千为单位）。下标x对应于tc=x%，上标d、w和m分别表示每日、每周和每月的交易频率。跟踪tc的投资组合∈ {0, 0.01%, 0.02%, · · · , 0.5%}.

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2022-6-14 13:06:33

如图3.6所示，随着tc变大，平均加权和指数跟踪投资组合的夏普拉蒂奥数均下降。在交叉口左侧，当tc<0.22%时，等权重的Portfolio具有较高的Sharpe比率。在十字路口右侧，当tc>0.22%时，12 JOHANNES RUF和KANGJIANAN XIEFigure 3.5。在不同交易频率和交易成本率tc（d=100）以及每月更新频率下，等权投资组合（EW）对数标度上的累积交易成本。图3.6：。在d=100的不同交易成本率tc、每月交易频率和每月更新频率下，等权投资组合（EW）和指数跟踪投资组合（IT）的夏普比率。相反的情况成立。这表明，平均加权投资组合比指数跟踪投资组合更依赖于交易成本。改变更新频率。现在，我们分别在d=100、每日交易频率和每周、每月和季度更新频率下检查等权重投资组合的绩效。如图3.7和表3.5所示，在相同的交易成本率tc下，成分列表更新的频率越低，投资组合的表现越好。当tc=0.5%时，等权投资组合的表现已经不如相应的指数跟踪投资组合。尤其是更新频率更高的投资组合对交易成本更为敏感。如第3.4小节中更详细的研究，这些观察结果背后的原因是，在续约日进行交易会产生非常大的交易比例交易成本13的影响图3.7。

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2022-6-14 13:06:36

在d=100和每日交易频率的不同更新频率和交易成本率tc下，对数标度上的等权投资组合（EW）和相应的指数跟踪投资组合（IT）的财富过程。对于指数跟踪投资组合，绘制了tc=0的季度更新投资组合和tc=1%的每周更新投资组合的财富过程。指数跟踪投资组合的遗漏财富过程位于绘制的财富过程之间。EWEWW0.5EWEWQEWQ0.5EWQ年回报率10.62 8.20 5.83 11.21 9.47 7.76超额回报率0.48-1.53-3.50 0.87-0.73-2.30Std 16.95 16.71 16.50 16.82 16.65 16.50夏普比率0.32 0.18 0.04 0.36 0.26 0.16财富129.8 37.8 11.0 177.6 73.9 30.8TC 12.9 10.5 16.0 16.5表3.5。年回报率和超额回报率（关于表3.2所示的指数跟踪投资组合），以百分比、年回报率标准差（Std）、夏普比率、，以及在不同的更新频率和交易成本率TC（d=100）和日交易频率下，等权投资组合（EW）投资期结束时的财富和累计交易成本（TC）（单位：千）。下标x对应于tc=x%，上标W和Q分别表示每周和季度更新频率。与未更新成分列表的其他交易日相比的成本。这些在续约日支付的大额交易成本对投资组合绩效产生了强烈的影响。14 JOHANNES RUF和KANGJIANAN XIE图3.8。在d=100和每日交易频率的不同更新频率和交易成本率tc下，等权投资组合（EW）对数标度上的累积交易成本。表3.5中同等加权投资组合的累积交易成本如图3.8所示。

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2022-6-14 13:06:41

早些时候，由于与续约天数相关的交易成本较大，每周续约的累计交易成本高于每月或季度续约的累计交易成本。然而，之后，每周更新的投资组合的累积交易成本较小。原因是，每周更新的投资组合表现比每月或季度更新的投资组合差，因此作为投资组合财富比例施加的交易成本也较小。改变市场规模d。根据每日交易和每月更新频率，图3.9和表3.6总结了不同成分列表规模d下同等权重和相应指数跟踪投资组合的财富过程。成分列表包含的股票越多，投资组合在相同交易成本率T下的表现越好。同样，它的性能因交易成本而降低。即使在d=500且tc=0.5%的情况下，等权投资组合的表现也不如相应的指数跟踪投资组合。此外，成分清单规模较大的投资组合不一定对交易成本更敏感。图3.10绘制了portfolioof表3.6.3.3产生的累计交易成本。熵权投资组合。在本小节中，我们考虑熵加权投资组合（见Fernholz（2002）第2.3节和Karatzas和Ruf（2017）的示例5.3），其取决于目标权重πj（·）=uj（·）loguj（·）Pdi=1ui（·）logui（·），j∈ {1，···，d}。在下文中，我们考察了在没有交易成本的情况下，即当tc=0和tc=0.5%时，特定配置下熵权投资组合的绩效。

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2022-6-14 13:06:45

熵权投资组合的绩效对交易成本的敏感性较低，当tc=0.5%时，其绩效优于等权投资组合。改变交易频率。与之前一样，在不同交易频率下对投资组合进行回溯测试时，我们将成分列表大小设置为d=100，并应用每月更新频率。图3.11显示了不同交易频率下熵权重和相应指数跟踪投资组合的财富过程，表3.7总结了这些财富过程。与表3.4中总结的等权重投资组合相比，当存在比例交易成本15的影响时，熵加权投资组合的表现更差（但仍优于相应的指数跟踪投资组合）。图3.9。在对数尺度上，在不同成分列表大小d和交易成本率tc以及日交易和月更新频率下，等权投资组合（EW）和相应的指数跟踪投资组合（IT）的财富过程。对于指数跟踪投资组合，绘制了当tc=0时d=500的投资组合和当tc=1%时d=100的投资组合的财富过程。指数跟踪投资组合的遗漏财富过程位于绘制的财富过程之间。EWEW0.5EWEW0.5EWYearly回报率11.92 9.92 7.96 12.52 10.46 8.43超额回报率1.31-0.54-2.35 1.69-0.25-2.16Std 16.59 16.43 16.29 17.07 16.90 16.74夏普比率0.41 0.29 0.17 0.43 0.31 0.19财富255.3 93.6 34.3 332.8 118.4 42.1TC 21.8 20.5 27.3 24.8表3.6。

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2022-6-14 13:06:48

年回报率和超额回报率（关于表3.3中所示的指数跟踪投资组合），年回报率标准差（Std），夏普比率，以及在不同成分列表大小d和交易成本率TC（每日交易和每月更新频率）下的等权投资组合（EW）投资期结束时的财富和累计交易成本（TC）（以千为单位）。下标x对应于tc=x%，上标300和500分别表示d=300和d=500。16 JOHANNES RUF和KANGJIANAN XIE图3.10。在不同成分列表规模d和交易成本率tc以及每日交易频率和每月更新频率下，等权投资组合（EW）对数规模上的累积交易成本。图3.11。在不同的交易频率和交易成本率tc（d=100）和月收益率下，熵加权投资组合（ET）和相应的指数跟踪投资组合（IT）在对数尺度上的财富过程。对于熵加权和指数跟踪投资组合，表3.7中省略的财富过程位于绘制的财富过程之间。还绘制了tc=0.5%时每日交易熵加权投资组合的财富过程和累积交易成本的总和。请注意，当tc=0时，SUM低于每日交易熵加权投资组合的财富过程。无交易成本，即当tc=0时。

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mingdashike22

2022-6-14 13:06:51

然而，与等权投资组合相反，当tc=0.5%时，每周和每月交易的熵权投资组合仍优于相应的指数跟踪投资组合。比例交易成本的影响17ITDETD0.5ETd0.5ITwETwITw0.5ETw0.5ITMETMM0.5ETm0.5YR 10.30 10.53 10.09 9 7 10.30 10.50 10.10 10 10.12 10.27 10.40 10.08 10.11ER 0.23-0.12 0.21 0.03 0.14 0.03Std 16.87 16.90 16.84 16.83 16.88 16.92 16.85 16.88 16.94 16.86 16.90SR 0.30 0.32 0.28 0.30 0.31 0.29 0.29 0.30 0.31 0.29 0.29W 111.7 125.1 100.7 94.6 111.3 123.1 100.7 101.7 109.7116.9 99.7 100.8TC 2.7 6.4 2.5 4.5 2.3 3.4表3.7。年收益率（YR）和超额收益率（ER），年收益率标准差（Std），夏普比率（SR），以及在不同交易频率和交易成本率TC（d=100）以及每月更新频率下，熵权投资组合（ET）和相应的指数跟踪投资组合（IT）在投资期结束时的财富（W）和累计交易成本（TC）（单位：千）。下标x对应于tc=x%，上标d、w和m分别表示每日、每周和每月的交易频率。在很长的时间范围内，支付交易成本导致的投资组合财富损失通常高于施加的累计交易成本。图3.11显示了这一点，它还绘制了当tc=0.5%时，财富过程和熵权投资组合的累积交易成本之和。请注意，当NTC=0时，财富过程高于此总和。事实上，支付交易成本不仅会使投资组合中的资金流失，还会剥夺潜在收益的机会。改变更新频率。

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2022-6-14 13:06:55

在d=100和每日交易频率的情况下，我们现在使用不同的更新频率（分别每周、每月和季度更新）检查熵加权投资组合的性能。图3.12显示了不同更新频率下熵加权和相应指数跟踪投资组合的财富过程，表3.8总结了这些财富过程。与等权投资组合类似，成分列表更新频率越低，熵权投资组合的表现越好。当施加交易成本时，其性能更多地取决于更新频率。然而，与表3.5中总结的等权投资组合相比，在相同的更新频率下，熵权投资组合的绩效对交易成本的敏感性较低。改变市场规模d。应用每日交易和每月更新频率，我们在不同成分列表规模d（=100、300和500）下对熵加权投资组合进行了回溯测试，如图3.13和表3.9所示。与等权重和指数跟踪投资组合类似，成分列表中包含的股票越多，熵权重投资组合的表现越好。与等权投资组合相比，相同d的熵权投资组合对交易成本的依赖性较小。特别是，当d=500，tc=0.5%时，熵加权投资组合仍优于相应的指数跟踪投资组合。3.4. 多元化加权投资组合和平滑交易成本。在随机投资组合理论中，一个备受关注的投资组合是所谓的多样性加权投资组合18 JOHANNES RUF和KANGJIANAN XIEFigure 3.12。

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2022-6-14 13:06:58

在d=100和每日交易频率的不同更新频率和交易成本率tc下，对数尺度上熵权投资组合（ET）和相应的指数跟踪投资组合（IT）的财富过程。对于熵加权和指数跟踪投资组合，表3.8中省略的财富过程位于绘制的财富过程之间。ITWETW0.5ETW0.5ITQETQ0.5ETQ0.5年回报10.14 10.31 9.73 9.50 10.34 10.58 10.20 10.11超额回报0.17-0.23 0.24-0.09Std 16.89 16.93 16.84 16.84 16.83 16.86 16.81 16.81夏普比率0.29 0.30 0.27 0.26 0.31 0.32 0.30 0.29财富102.2 111.3 83.5 73.9 114.2 129.0 106.5 101.6TC 4.2 7 4 2.0 5.8表3.8。年度回报和超额回报百分比、年度回报标准差（Std）、夏普比率、，以及在不同更新频率和交易成本率TC（d=100）和日交易频率下，投资期结束时，以千为单位的财富和累计交易成本（TC），以及相应的指数跟踪投资组合（IT）。下标x对应于tc=x%，上标W和Q分别表示每周和季度更新频率。由“多样性度量”Gp（x）=dXi=1xpi生成！1/p，x∈（（y，···，yd）∈ [0，1]d；dXi=1yi=1），比例交易成本的影响19图3.13。在对数尺度上，研究了熵权投资组合（ET）和相应的指数跟踪投资组合（IT）在不同成分列表大小d和交易成本率tc以及日交易和月更新频率下的财富过程。

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2022-6-14 13:07:02

对于熵加权投资组合和指数跟踪投资组合，表3.9中省略的财富过程介于有计划的财富过程之间。ITETIT0.5ET0.5ITETIT0.5ET0.5年回报率10.61 10.87 10.46 10.43 10.83 11.16 10.71 10.75超额回报率0.26-0.03 0.33 0.04Std 16.57 16.57 16.55 16.52 16.61 16.66 16.60 16.62夏普比率0.33 0.34 0.32 0.31 0.34 0.36 0.33 0.34财富132.5 152.1 123.1 121.2 147.2 173.2 139.0 141.0TC 2 6.4表3.9。年度回报和超额回报百分比、年度回报标准差（Std）、夏普比率、，以及在不同成分列表大小d和交易成本率TC（每日交易和每月更新频率）下，投资期结束时的财富和累计交易成本（TC），以千为单位的熵权投资组合（ET）和相应的指数跟踪投资组合（IT）。下标x对应于tc=x%，上标300和500分别表示d=300和d=500。对于某些固定p∈ (0, 1). 在不改变股票相对排名的情况下，函数Gp（·）生成的投资组合权重小于（大于）具有大（小）市场权重的股票的相应市场权重。GPI的这种多元化性质与相对套利组合的实施密切相关；详见Fernholz and Karatzas（2009）20 JOHANNES RUF and KANGJIANAN Xief第7节。Fernholz（2002）第6.3节提供了多元化加权投资组合周转率的理论近似值。Fernholz等人（1998年）和Fernholz（2002年）的第7章以及Ruf和Xie（2019年）的示例5中可以找到使用标准普尔500指数市场数据对该投资组合进行的实证研究。在下文中，我们将检查该投资组合的绩效，并说明更高频率的交易与支付交易成本之间的权衡。

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2022-6-14 13:07:06

为了实现这一点，我们应通过平滑版本替换市场权重，由u（·）=αu（·）+（1）给出- α）带α的∧（·）∈ (0, 1). 这里，移动平均过程∧（·）=（λ（·），··，λd（·））由∧j（·）给出=δR·uj（t）dt+δR·-[0，δ）δR上的δuj（0）dt··-δuj（t）dt on[δ，∞), j∈ {1，···，d}，对于固定常数δ>0。这种移动平均过程∧（·）也包含在Schied等人（2018）研究的组合生成函数中。然后，目标权重由πj（·）=uj（·）Ξj（·）给出-dXi=1ui（·）Ξi（·）+1！，j∈ {1，···，d}，其中Ξj（·）=α"Auj（·）"ap-1Pdi=1（ui（·））p，j∈ {1，···，d}。为了对投资组合进行回溯测试，我们确定d=100，更新频率为每季度一次，“多样性程度”p=0.8。此外，我们使用一年窗口计算移动平均过程∧（·）。更具体地说，对于每日交易频率，我们设置δ=250；对于周交易频率，我们设置δ=52。为了在每周交易频率下计算∧（·），我们仅在交易发生的当天使用市场权重u。改变凸性权重α和交易频率。在表3.10中，我们总结了在没有交易成本的情况下，即当tc=0时，以及当tc=0.5%和tc=1%时，多样性加权和相应的指数跟踪投资组合在每日和每周交易频率下的财富过程，以及凸度α的三种不同选择。我们首先考虑没有交易成本的情况。在其他条件相同的情况下，每日交易的多样性加权投资组合的表现与每周交易的投资组合类似。

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2022-6-14 13:07:09

在任一交易频率下，凸性权重α越小，投资组合表现越差。用较小的α生成投资组合与交易频率较低有些相似，因为在构建u（·）时，它在波动项u（·）上分配的权重较少，在稳定项∧（·）上分配的权重较多，从而降低u（·）的波动性。接下来，我们考虑交易成本的情况。在每日或每周交易频率下，当交易成本率tc变大时，较小的凸性权重α有助于提高投资组合的绩效。这可能很有用，因为降低α部分抵消了交易成本的影响。此外，当tc=1%时，α=0.2的日交易投资组合与α=0.6的周交易投资组合表现相似。这表明，与其为了避免支付交易成本而减少交易频率，不如调整契约权重α，以便在频繁交易和支付交易成本之间达到更有利的平衡。平滑交易成本的动态凸性权重α。我们可以动态调整α以加速或减缓交易，而不是在整个投资期内固定α。

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2022-6-14 13:07:12

例如，给定一个具有常数凸性权重α的基线投资组合，如果上一期支付的交易成本是按比例交易成本的影响，那么我们会选择α<α（α>α）在下一期交易较少（更多）的交易，21 ITW0.5ITwαDWdDWd0.5DWdDWwDWw0.5DWw0.2 10.36 10.20 10.03 10.36 10.20 10.05年回报10.34 10.20 10.06 0.6 10.43 10.18 9.93 10.42 10.23 10.031 10.54 10.11 9.68 10.51 10.24 9.960.2 0-0.03 0.02 0.01-0.01超额收益0.6 0.1-0.01-0.13 0.09 0.03-0.031 0.2-0.09-0.38 0.18 0.04-0.090.2 16.84 16.81 16.79 16.85 16.83 16.80Std 16.85 16.83 16.81 0.6 16.84 16.81 16.77 16.86 16.83 16.801 16.84 16.79 16.74 16.87 16.83 16.790.2 0.30 0.29 0.31 0.30 0.29夏普比率0.30 0.30 29 0.6 0.31 0.30 0.28 0.31 0.30 0.291 0.32 0.29 0.27 0.32 0.30 0.280.2 115.6 106.2 97.6 115.1 106.5 98.5财富123.4 108.3 94.2 0.6119.8 105.4 92.8 118.8 107.8 97.81 126.2 101.6 81.7 124.3 108.3 94.20.2 2 2.1 4.0 2.0 3.7TC 3.5 6.3 0.6 3.2 5.9 2.5 4.61 5.3 9.0 3 3 3 6.3表3.10。在不同的交易频率、凸度权重α、以及，交易成本率tc，d=100，季度更新频率。下标x对应于tc=x%，上标d和w分别表示每日和每周的交易频率。大于（小于）某一水平。

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