杠杆的极限 - 外文文献专区

2022-5-8 08:16:10

杠杆的限制保罗·瓜索尼+波士顿大学和都柏林城市大学伯哈德·梅尔霍夫利默里克沃大学当交易产生成比例的成本时，杠杆只能将资产的回报扩大到最大倍数，这对其波动性和流动性很敏感。在一个只有一项安全且无风险资产的模型中，考虑到恒定的投资机会和比例成本，我们找到了在平均波动率下实现长期回报最大化的策略。随着杠杆率的增加，再平衡成本的上升意味着夏普比率的下降。超过临界水平，甚至回报率也会下降。保持夏普比率不变，资产波动性越高，成本越低，回报越高。关键词：杠杆、交易成本、投资组合选择。数学学科分类（2010）：91G10、91G80JEL分类：G11、G121。简介如果交易是无成本的，杠杆可以无限制地扩大回报。用Sharpe（2011）的话来说：“如果一个投资者可以按照自己的意愿借贷，那么任何投资组合都可以向上或向下杠杆化- 无风险资产中的k将具有k的预期超额收益[风险投资组合的超额收益的倍]，且标准差等于风险投资组合的标准差的k倍。重要的是，组合的夏普比率将与风险投资组合的夏普比率相同。”理论上，这一观点意味着有效前沿是线性的，有效投资组合由其共同的最大夏普比率确定，并且其中任何一个都跨越了所有其他投资组合。此外，如果杠杆可以带来任何预期回报，那么风险中性投资组合选择是没有意义的，因为它会导致有限的杠杆。实际上，对冲基金和高频交易公司利用杠杆从较小的资产相对错误定价中获得高回报。

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2022-5-8 08:16:14

一个著名的例子是长期资本管理公司，该公司使用高达40倍的杠杆率来提高投资回报。我们感谢雅克萨·维塔尼、古尔·休伯曼、约翰内斯·穆勒·卡贝、沃尔特斯·夏切迈耶、罗尼·瑟卡尔、马特·斯皮格尔、勒内·斯图尔茨、彼得·坦科夫以及来自埃斯居里、巴黎塞米奈尔·巴切利尔、维也纳金融研究生院、Quant Europe、Quant USA、，USI金融研究所（卢加诺）班夫套利和投资组合优化研讨会+波士顿大学数学与统计系，美国波士顿卡明顿购物中心111号，MA02215，以及都柏林城市大学数学科学学院，爱尔兰都柏林9号格拉斯文，保罗。guasoni@dcu.ie.部分由ERC（278295）、NSF（DMS-1412529）、SFI（16/IA/4443,16/SPP/3347）支持利默里克大学，数学与统计系，卡斯特罗伊公司，利默里克，爱尔兰，埃伯哈德。mayerhofer@ul.ie.部分由ERC（278295）和SFI（08/SRC/FMC1389）支持。2杠杆买卖价差（ε）波动率限制（σ）0.01%0.10%1.00%10%71.85（71.22）23.15（22.58）7.72（7.12）20%50.88（50.36）16.45（15.92）5.56（5.04）50%32.30（31.85）10.54（10.07）3.66（3.18）表1。对于不同的资产波动率和买卖价差，杠杆乘数（风险资产回报率可以调整的最大系数），夏普比率保持在0.5的恒定水平。乘法器由（3.1）的数值解获得，而（1.1）的近似值在括号内。短期和非长期国债之间的汇合交易（例如，seeEdwards（1999））。本文表明，交易成本破坏了杠杆的这些经典性质，并对其应用设置了严格的理论限制。

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2022-5-8 08:16:17

我们首先对给定平均波动率下的长期预期收益最大化的投资组合进行描述，将熟悉的有效边界扩展到一个拥有一种安全资产和一种风险资产的市场，其中投资机会和相对买卖价差都是恒定的。图1描绘了这一前沿：预期交易成本会降低回报，但完全安全投资（轴原点）或完全风险投资（单位坐标的附着点）除外，这会导致没有交易的静态投资组合，从而获得无价格回报。但交易成本不仅会使预期收益低于无摩擦基准。出人意料的是，在杠杆机制下（在整个投资点的右边），再平衡成本会随着波动而迅速上升，以至于回报率的增加不能超过杠杆乘数这一关键因素。该乘数取决于相对买卖价差ε、预期超额收益u和波动率σ，近似等于0。3815uσ1/2ε-1/2. （1.1）表1显示，对于波动率为10%、预期收益率为5%（类似于长期债券）的资产，即使是0.10%的适度买卖价差，也意味着乘数为23，而对于夏普比率相同、但波动率为50%（类似于单个股票）的资产，乘数降至10。对于价差为1%的非流动性资产，杠杆机会要有限得多：对于10%的波动率，乘数从小于8降至小于4（对于50%的波动率）。重要的是，这些杠杆限制允许持续交易、有限的市场深度（以买入或卖出价格进行任何数量的交易）和零资本要求。我们的结果有两个广泛的含义。

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2022-5-8 08:16:20

首先，在积极的买卖价差下，即使是寻求最大化预期长期回报的阿里斯克中立投资者也会采取有限的杠杆率，事实上，在流动性不强的市场中，杠杆率相当低——风险中立的投资组合选择是有意义的。由此产生的乘数设定了一个内生风险水平，即当我们专注于长期投资时，我们忽略了设立和清算的一次性成本，而这些成本在长期持有期内可以忽略不计。杠杆极限3γ=0γ<0γ>0γ=∞γ=u/σ^2图1。与交易成本、预期超额收益（纵轴，以资产收益的倍数表示）和标准差（横轴，以资产波动的倍数表示）之间的有效边界。该资产的预期超额回报率u=8%，波动率σ=16%，买卖价差为1%。曲线上的每一点都代表了具有风险规避γ的最优投资组合的表现。上一行表示经典的效率边界，没有交易成本。曲线的最大高度（γ=0）对应杠杆乘数。随着γ的增加，杠杆率、回报率和波动率都会下降，在γ=u/σ时达到资产自身的绩效（1，1）。随着γ进一步增加，资产的风险敞口下降到1以下，最终在原点消失（γ=∞). 虚线前沿（γ<0）并不“有效”，因为对于给定的波动性而言，这种回报是最大的，但可以在稳定前沿（γ>0）实现较低的波动性。无论风险厌恶程度如何，投资者选择不超过，只是为了避免交易成本降低回报。在这种情况下，基于波动性（如风险价值及其变化）的保证金要求只有在将杠杆率降低到倍数以下时才具有约束力，否则是多余的。

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2022-5-8 08:16:23

此外，乘数表明，交易成本的外生增加，例如金融交易的比例托宾税，隐含地降低了任何寻求回报的投资者愿意获得的最大杠杆，无论风险态度如何。第二，具有相同夏普比率的两种资产不会产生相同的交易成本有效边界，更大的波动性会产生更高的边界。例如（表4杠杆的限制1）在利差为1%的情况下，波动率为10%、回报率为5%的资产的最大杠杆回报率为7.72×5%≈ 39%. 相比之下，波动率为50%且回报率为25%的资产（从经典观点来看，与之前的资产相当，因为它具有相同的夏普比率0.5），最大杠杆回报率为3.66×25%≈ 92%. 原因是，更具波动性的资产需要较低的杠杆率（因此较低的再平衡成本）才能获得一定的回报。因此，波动性更高的资产跨越了一个有效的边界，通过更低的成本获得更高的回报。本文是关于有摩擦的投资组合选择的已有文献。Magill和Constantinides（1976年）、Constantinides（1986年）以及Davis和Norman（1990年）首次研究了交易成本对投资组合选择的影响，他们确定了一个广泛的交易区域，并通过数值程序得出了最佳交易边界。虽然这些论文侧重于有限期内跨期消费的预期效用最大化，但塔克萨、克拉斯和阿萨夫（1988年）以及杜马斯和卢西亚诺（1991年）表明，在一个具有终端财富和长期期的模型中也获得了类似的策略——时间偏好对贸易政策的影响微乎其微。

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2022-5-8 08:16:26

本文采用了相同的长期方法，既出于可操作性的考虑，也因为它关注回报、风险和成本之间的权衡，而不是消费。我们关于积极风险规避的渐近结果在精神上与什里夫和索纳（1994）、罗杰斯（2004）、格霍尔德（Gerhold）、瓜索尼（Guasoni）、穆勒·卡尔贝（Muhle Karbe）和沙切迈耶（Schachermayer）（2014）以及卡尔森（Kallsen）和穆勒·卡尔贝（Muhle Karbe）（2015）得出的结果相似，其中交易成本只是一个无交易区域，其宽度为O阶（ε1/3），福利成本为O阶（ε2/3）。我们还发现，从局部均值-方差标准获得的交易边界在一阶时与从电力公司获得的交易边界相等。风险中性扩张与O（ε）阶杠杆的极限-1/2）是新的，并且在质量上与风险规避案例不同。这些结果不是无摩擦模拟的正则扰动，它是不适定的。它们是相当奇异的扰动，显示了当临界摩擦参数消失时，无摩擦问题病态的速度。最后，本文结合了Frazzini和Pedersen（2012）最近的一项嵌入杠杆的工作。如果不同的投资者面临不同的杠杆约束，他们会发现，在要素敞口较高的均衡资产中，溢价交易，从而获得较低的回报。Frazzini和Pedersen（2014）在一系列市场和资产类别中证实了这一预测，Asness等人（2012）用它来解释业绩风险平价策略。对于外生资产价格，我们发现，波动性较高的资产通过要求相同回报的较低再平衡成本，产生了更高的效率边界。

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2022-5-8 08:16:30

这一观察结果表明，除了杠杆约束之外，再平衡成本也可能会导致隐含杠杆溢价，对于流动性较差的资产，这种溢价应该更高。本文的结构如下：第二节介绍了模型和优化问题。第3节包含主要结果，描述了风险规避（定理3.1）和风险中性（定理3.2）情况下的有效前沿。第4节讨论了这些结果对效率边界、最优政策的交易边界和嵌入杠杆效应的影响。该部分包括两个支持结果，表明风险中性解决方案作为低风险规避对应的风险规避解决方案的极限而出现（定理4.1），并且风险中性解决方案不受偿付能力条件的约束（第4.2节）。第5节从启发式控制参数推导了主要的自由边界问题，第6节给出了结论。所有证据都在附录中。杠杆的极限52。模型市场包括一项固定利率为r的安全资产≥ 0和一个风险集，其买入价stSt为（u+r）dt+σdBt，S，σ，u>0，其中B是标准布朗运动。风险资产的买入（卖出）价格为（1-ε） St，这意味着ε>0的恒定相对买卖价差，或者相当于恒定的比例交易成本。我们研究了投资组合的平均收益与其实现的方差之间的权衡。

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2022-5-8 08:16:33

通过WT表示时间t的投资组合价值，适用于观察频率反转的投资者t=t/n在时间间隔[0，t]内，平均收益率及其连续时间近似值为tnXk=1工作tw（k）-1)T- 1.≈TZTdwtwt。在熟悉的无交易成本设置中，TRTdwtwt=r+TRTμπtdt+TRTσπtdBt，其中π是风险资产的投资组合权重，因此平均收益等于平均风险敞口乘以其超额收益加上安全利率。同样地，[0，T]上的平均平方波动率由通常应用于收益的方差估计量获得，并具有连续时间近似值ntnXk=1工作tw（k）-1)T- 1.≈在没有交易成本的情况下，tztdhwitwt降低到σTRTπtdt。利用这些定义，通过最大化ZTDWT-γZ·dwtwtT, （2.1）其中参数γ>0被解释为风险规避的代理。这个目标包含了几个常见的问题。在没有交易成本的情况下，它降低了交易成本ZTπt-γσπtdt（2.2）通过马科维茨（Markowitz）和默顿（Merton）的最优常数比例投资组合π=μγσ最大化，并证实在无成本交易的几何布朗运动市场中，此处考虑的目标相当于具有恒定相对风险规避的效用最大化。无论有无交易成本，风险中性目标γ=0归结为长期内的平均年化收益，而γ=1则归结为对数效用。交易成本使（2.1）低于（2.2），因为它们阻碍了投资组合的持续再平衡，使固定比例策略不可行。原因是，将风险资产的风险敞口保持在足够高的水平，以实现预期的回报，并将其降低以限制风险水平是成本高昂的——交易成本会降低回报，增加风险。这一部分的所有离散统计量都以概率收敛于它们的连续时间对应统计量。

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2022-5-8 08:16:36

预算等式和可接受策略的定义见下文附录A。6杠杆的限制为了忽略投资组合设立和清算的虚假、非经常性影响，我们将重点放在同等的安全利率上。ESR:=lim supT→∞TEZTDWT-γZ·dwtwtT（2.3）与杜马和卢西亚诺（1991）在效用最大化的背景下使用的类似。3.主要结果3。1.风险规避和有效前沿。第一个结果描述了（2.3）中主要目标的最优解，通常情况下，风险厌恶为正（γ>0）。在这种情况下，下一个定理表明，交易成本在无摩擦投资组合π周围产生了一个非交易区域*=并说明了结果平均收益率和标准差的渐近展开式，从而扩展了熟悉的有效前沿，以说明交易成本。定理3.1。设σ6=1。（i）对于任何γ>0，存在ε>0，因此对于所有ε<ε，存在唯一解（W，ζ）-, ζ+，带ζ-< ζ+，对于自由边界问题σζW（ζ）+（σ+u）ζW（ζ）+uW（ζ）-(1+ζ)u -γσζ1+ζ= 0，（3.1）W（ζ）-) = 0（3.2）W（ζ-) = 0，（3.3）W（ζ+）=ε（1+ζ+）（1+（1-ε） ζ+（3.4）W（ζ+）=ε（ε-2(1-ε)ζ+-2)(1+ζ+)(1+(1-ε） ζ+（3.5）（ii）以π买入的交易策略-:= ζ-/(1 + ζ-) 并以π+：=ζ+/（1+ζ+）的价格出售，以使风险权重π在区间[π]内保持两倍-, π+]是最优的。（iii）最高性能为ismax~n∈ΦlimT→∞特赫特πt-γσπtdt-εRTπtd~n↓tхti=uπ--γσπ-, （3.6）其中Φ是以下定义A.1中的一组可接受的策略，φt=πtwt/sti是在t时持有的股份数量，以及↓这是截至时间t的累计股数。（iv）交易边界π-π+具有π±=π的渐近展开式*±4γπ*(π*- 1)1/3ε1/3-(1-γ)π*γγπ*(π*-1)1/3ε2/3+O（ε）。（3.7）在该等式中，lim sup仅用于保证先验的良好定义。

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2022-5-8 08:16:40

存在一个后验最优策略，其中极限优势是一个极限，因此根据lim定义的类似问题会影响到相同的解决方案。平均回报、标准差和平均交易成本的精确公式见附录C。杠杆的极限包括长期平均值（^m）、标准差（^s）、夏普比率（^m- r） ^s）、平均交易成本（ATC）和等效安全率（ESR）有扩展^m:=limT→∞TRTdwtwt=r+rσ-σπ*(5π*-3)γπ*(π*-1)1/3ε2/3+O（ε），（3.8）^s:=limT→∞rTDR·dwtwtET=μγσ-σ(7π*-3)4γγπ*(π*-1)1/3ε2/3+O（ε），（3.9）SR:=^m- r^s=μσ+4·61/3（π）*- 1)(γπ*(1 -π*))1/3ε2/3+O（ε）（3.10）ATC:=limT→∞TRTπtd~n↓t~nt=3σγγπ*(π*-1)4/3ε2/3+O（ε），（3.11）ESR=r+γσπ*-γσ4γπ*(π*- 1)2/3ε2/3+O（ε）。（3.12）证据。该定理主要部分的证明在附录B中分为命题B.1、B.4和B.6。渐近结果的证明在C.4节中。3.2. 风险中性和杠杆限制。与上面考虑的风险规避目标不同，风险中性目标导致的解决方案不具有无摩擦的相似性：对于较小的交易成本，随着最优杠杆的任意增加，最优策略及其绩效都是无界的。下一个结果描述了风险中性问题的解决方案，确定了杠杆乘数及其性能对资产风险、回报和流动性的近似依赖性。定理3.2。设γ=0。（i）存在ε>0，因此对于所有ε<ε，自由边界问题（3.1）-（3.5）有唯一的解（W，ζ）-, ζ+、ζ-< ζ+.（ii）以π买入的交易策略-:= ζ-/(1 + ζ-) 并以π+：=ζ+/（1+ζ+）的价格出售，以使风险权重π在区间[π]内保持两倍-, π+]等时。（iii）最大预期回报率为∈ΦlimT→∞TRTdwtwt=r+μπ-.

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2022-5-8 08:16:43

（3.13）（iv）交易边界具有系列扩展π-=(1 -κ)κ1/2uσ1/2ε-1/2+1+O（ε1/2），（3.14）π+=κ1/2uσ1/2ε-1/2+1+O（ε1/2），（3.15），其中κ≈ 0.5828是唯一解tof（ξ）：=ξ+log（1）- ξ) = 0, ξ ∈ (0, 1). （3.16）证据。见下文附录D。下一节将讨论这些结果如何在交易成本的背景下改变人们熟悉的关于风险、回报和绩效评估的直觉。我们使用约定a1/n=符号（a）| a | 1/n表示任何a∈ R和奇整数n，a2/n=（a）1/n.8杠杆的极限4。含义和应用4。1.有效前沿。定理3.1将熟悉的有效边界扩展到交易成本。与线性无摩擦前沿相比，由于再平衡损失，平均回报率下降。平均波动率增加，因为获得给定的净交易成本回报需要更多的风险。为了更好地理解交易成本对回报和波动性的影响，考虑在没有交易的情况下投资组合权重的动态，即πt=πt（1-πt）（u-σπt）dt+σπt（1）-πt）dBt。（4.1）这里的中心量是投资组合权重波动率σπt（1）- 对于单资产组合πt=0或πt=1，πt）消失，在仅长的情况下πt保持在σ/4以上∈ [0,1]，并随着杠杆作用的增加而迅速上升（πt>1）。这个数量很重要，因为它衡量的是一个投资组合在应对市场冲击时偏离其初始构成的程度，以及反映出将其保持在某个区域内所需的交易数量。仅在长期情况下，随着非交易区域扩大到[0,1]范围，投资组合权重波动性降低，这意味着投资组合倾向于在边界附近花费更多时间。

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nandehutu2022

2022-5-8 08:16:46

相比之下，随着杠杆投资组合权重的增加，波动性增加，这意味着更宽的边界不一定会降低交易成本。与这一直觉相一致，方程式（3.8）表明，交易成本对纯多头投资组合的影响很小，但随着杠杆作用的增加，交易成本迅速上升，在π的ε2/3的理论值下降低了回报*> 1.当然，在保持γ值不变的情况下，这种展开式对小ε有效。随着γ下降到零，预期收益率和波动率都会出现分歧，但交易成本的影响也会出现分歧，这使得风险中性极限γ=0时，γ>0的渐近性不具信息性。性能（3.12）在一阶上与效用最大化的等效安全率和恒定相对风险规避γ（Gerhold et al.，2014，等式（2.4））一致，支持将γ解释为风险规避参数，并确认，对于渐近较小的成本，有效前沿捕捉效用最大化者面临的风险回报权衡。图2显示了交易成本对效率边界的影响。随着出价askspread的下降，前沿增加到线性无摩擦前沿，定理中的渐近结果变得更加准确。然而，如果随着杠杆率（因此波动性）的增加，利差保持不变，渐进式扩张就会变得不准确，事实上，在达到杠杆乘数后，有效边界将完全停止增加。4.2. 贸易边界。有效前沿的每个点对应于一个再平衡策略，该策略对于风险规避参数γ的某个值是最优的。对于小额交易成本，等式（3.7）意味着与效率边界相对应的交易边界与效用最大化产生的边界不同，即（Gerhold等人，2014年）π±=π*±4γπ*(1 -π*)1/3ε1/3+O（ε）。

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kedemingshi

2022-5-8 08:16:49

（4.2）对于γ=1，ε2/3阶项消失，因为这种情况与对数效用的最大化一致。对于高杠杆水平（γ<1和π*> 1），这一术语意味着产生效率边界的交易边界低于效用最大化的交易边界。在图3中，γ→ ∞ 对应于原点中的安全投资组合（0,0），而γ=u/σ对应于风险投资（1,1），其具有杠杆9的限制图2。交易成本的有效边界，如预期超额回报（纵轴，以资产预期超额回报的倍数表示）与标准偏差（横轴，以资产可用性的倍数表示）。该资产预期超额回报率u=8%，波动率σ=16%，买卖价差为0.1%，0.5%，1%。上一条线是无摩擦的有效边界。每条曲线的最大值是leveragemultiplier。定义为与风险资产相同的波动率和回报率。当γ下降到零时，交易边界收敛到正确的端点，这对应于在不考虑风险的情况下最大化平均回报的策略，从而实现乘数。随着杠杆率的增加，卖出边界比买入边界上升得更快（图3）。例如，风险中性投资组合可以承受大约6到14的杠杆波动。这些边界的位置权衡了保持高风险资产敞口以实现回报最大化的需要，同时保持再平衡成本的缓慢。风险规避通过惩罚宽风险中性边界产生的高实现方差，使边界更接近彼此。重要的是，即使无摩擦默顿投资组合u/（γσ）在γ下降至零的情况下偏离到一致性，这些边界仍然是有限的。

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2022-5-8 08:16:52

因此，与效用最大化产生的边界（Gerhold et al.，2014）相反，非贸易区在无摩擦投资组合周围是不对称的，而效用最大化产生的边界总是对称的，因此当γ较低时会出现分歧。不同之处在于，风险中性的目标是使投资组合的预期收益最大化，而风险中性的效用最大化者关注的是预期财富。在无摩擦的环境中，这种区别是无关紧要的，投资者需要考虑杠杆的限制。图3。交易边界π±（垂直轴，外部曲线，作为风险权重）和默顿分数（中间曲线）与平均投资组合波动率（水平轴，作为σ的倍数）。u=8%，σ=16%，ε=1%。可以使用收益最大化政策来实现财富最大化。但交易成本在这两个表面上等价的风险中性标准之间形成了一个楔子——预期收益最大化与预期财富最大化并不相同。在风险中性的情况下（定理3.2（iv）），最优交易边界满足近似关系π-π+≈ 0.4172（4.3），这是通用的，因为它适用于任何资产，无论风险、回报和流动性如何。这种关系意味着，最佳的风险中性再平衡策略应始终容忍杠杆随时间的变化，且允许的最大杠杆应为最小杠杆的2.5倍左右。更频繁的再平衡无法实现最大回报：这可以用风险规避或模型之外的因素来解释，比如价格上涨。最后，请注意，财富始终为正的偿付能力约束意味着，对于每个可接受的交易策略，πt<ε。Asπt≤ π+对于最优交易，任何潜在的最优策略都有正风险敞口（πt>0），因为资产价格有正风险溢价（下面的备注a.4）。

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2022-5-8 08:16:55

用Xt=wt表示- §t t时间t时的安全位置≥ 0，其中wtistotal portfolio wealth，清算价值为wt- ε~ntSt≥ 0，这意味着1- ε~ntStwt>0，因此该曲线为。杠杆的限制如图4所示。有效前沿，作为夏普比率u/σ=0.5的资产相对于波动率（横轴）的平均预期超额收益（纵轴），对于不同级别的资产波动率，从10%（底部）、20%到50%（顶部），对于买卖价差ε=1%。直线是无摩擦的边界。定理3.1和定理3.2中的策略，上界πt≤ε对实际的买卖价差没有约束力。4.3. 嵌入式杠杆。在无摩擦市场中，两个夏普比率相等的完全相关资产产生相同的有效前沿，实际上是相同的回报空间。这种等价性在存在交易成本的情况下失效：由于波动性较大的资产具有较高的比例回报，因此可以通过交易以较低的平均比率产生较高的回报，从而形成一个有效的前沿，主导（高回报）波动性较小的资产产生的一个前沿。图4（三条曲线的顶部）显示了这种现象：例如，平均回报率为50%的投资组合（扣除交易成本）是从回报率为25%且波动率为50%的资产中以较小的成本获得的，因为平均杠杆系数为2需要适度的再平衡。从波动率为20%（回报率为10%）的资产中获得同样50%的回报更为繁重：交易成本要求杠杆率高于5，这反过来又增加了交易成本。

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2022-5-8 08:16:59

总的来说，最终的投资组合需要大约120%而不是100%的波动性才能达到预期的50%平均回报率（图4中的中间曲线）。从波动率为10%（回报率为5%）的资产中，不可能获得50%的净交易成本回报（图4中的底部曲线），因为杠杆乘数小于8（表1，右上角），因此回报率可以调整到40%以下。12杠杆的局限性直觉是明确的：增加杠杆也会增加交易成本，这反过来需要更多的杠杆来增加回报，但也会增加成本。在某个时刻，更多杠杆带来的边际净回报变为零，进一步的增加是有害的。由于波动率较高的资产优于另一种资产，具有相同的锐度，且完全相关，但波动率较低，因此该模型表明，在均衡状态下，它们不能共存，且波动率较低的资产应为投资者提供较高的回报。事实上，Frazzini和Pedersen（2012年、2014年）记录了嵌入杠杆（更高的波动性）的资产的显著负超额收益，并基于异质杠杆约束提供了理论解释，这导致更多受约束的投资者抬高波动性更大的资产的价格（从而降低回报）。我们的结果暗示，即使在没有约束的情况下，由于重新平衡成本，也可能出现同样的现象。与基于约束的解释相反，我们的模型表明，对于流动性较差的资产，嵌入杠杆的溢价应该更高。4.4. 从风险厌恶到风险中性。

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kedemingshi

2022-5-8 08:17:02

定理3.1和3.2在性质上是不同的：具有正风险规避的定理3.1导致了马科维茨-默顿解的正则摄动，而具有风险中性的定理3.2导致了一个新结果，在无摩擦环境中没有任何有意义的类比——奇异摄动。此外，仔细阅读定理3.1的陈述表明，自由边界问题解的存在性和渐近展开式适用于ε小于某个阈值ε（γ），这取决于风险规避γ。特别是，如果γ接近零，而ε保持不变，定理3.1没有给出任何关于风险规避收敛于风险中性解的结论。尽管如此，如果风险中性结果被认为是一种真实的现象而非伪品，那么就应该明确，随着风险规避情绪的消失，风险规避交易政策及其绩效是否会收敛到风险中性的结果。下一个结果在一些参数限制下解决了这一点。用g（ζ）表示：=ε（1+ζ）（1+（1-ε） ζ），h（ζ）=uζ1+ζ-γσζ1+ζ并与任何溶液（W（·；γ）结合，ζ-（γ），ζ+（γ））的自由边界问题（3.1）函数^W（ζ；γ）：=0, ζ < ζ-（γ） W（ζ；γ），ζ∈ [ζ-（γ），ζ+（γ）]G（ζ），ζ≥ ζ+（γ），它自然地将W延伸到自由边界的左侧和右侧。定理4.1。设u>σ，\'ε>0，\'γ>0，并假设对于任何γ∈ [0，\'-γ]自由边界问题（3.1）有唯一的解（W，ζ）-, ζ++满足ζ+<-1/(1 - ε）对于每个γ，函数^W满足∈ （0，\'-γ]，HJB方程min∑ζ^W+uζ^W- h（ζ）+h（ζ）-), G（ζ）-^W，^W= 0.（4.4）则（4.4）对于γ=0和每个γ也满足∈ [0，\'γ]，以π买入的交易策略-(γ) =ζ-(γ)1+ζ-（γ）并以π+（γ）=ζ+（γ）1+ζ+（γ）的价格出售，以保持风险权重π在区间[π]的两倍-（γ），π+（γ）]是最优的。

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2022-5-8 08:17:06

此外，ζ±（γ）→ ζ±（0）和^W（ζ；γ）→^W（ζ；0）asγ↓ 0，每个ζ∈ R.杠杆限制13总之，这个结果证实，随着风险规避参数γ下降到零，定理3.1中的风险规避政策收敛到定理3中的风险中性政策。定理3.1中相应的均值-方差目标收敛于定理3.2.5中的平均收益。启发式解决方案本节提供HJB方程的启发式推导。让（）↑t） t≥0和（ν）↓t） t≥0分别表示累计买入和卖出的股票数量。有限水平目标（2.1）简化为表达式（比较下面引理A.2中的等式（A.8））max~n∈ΦE“ZTπt-γσπtdt-εZTπtd~n↓tt#。（5.1）从一开始，这个目标就是规模不变的：将风险股份和安全单位的初始数量增加一倍，并在时间t时将股份数量增加一倍，从而使时间t时的安全单位数量也增加一倍（通过自融资条件），从而使d k t/k t，πt=St k t/Xt保持不变，因此目标不变。因此，我们推测残值函数V取决于日历时间t和变量ζt=πt/（1）- πt），表示每单位安全资产持有的股份数量。就这个变量而言，上述目标在时间t的条件值为：F k（t）=Rtuζs1+ζs-γσζs（1+ζs）ds-εRtζs1+ζsd~n↓s~ns+V（t，ζt）。（5.2）根据It^o的公式，Fа的动力学为（此后，为了简洁起见，V的参数被省略）dFа（t）=uζt1+ζt-γσζt（1+ζt）dt-εζt1+ζtd~n↓t~nt+Vtdt+Vζdζt+Vζdhζit，其中V的下标表示偏导数。

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2022-5-8 08:17:10

现在回想一下安全头寸XT和风险头寸Yt:dXt=rXtdt的自我融资条件-标准а↑t+（1）- ε）标准а↓t、 dYt=Std~n↑T- 标准а↓t+ζtdSt，这意味着风险安全比ζtdζtζt=udt+σdWt+（1+ζt）dаtаt+εζtdа的动力学↓t k t，F k的动力学从何而来=uζt1+ζt-γσζt（1+ζt）+Vt+σζtVζζ+μζtVζdt（5.3）-ζtVζ（1+）（1-ε） ζt）+ε1+ζtd~n↓tаt+ζt（1+ζt）Vζdа↑t~nt+σζtVζdWt。（5.4）现在，根据最优控制的鞅原理（Davis和Varaiya，1973），上面的过程f~n（t）需要是任何交易策略的上乘鞅，以及最优策略的鞅。作为↑以及↓在不断增长的过程中，超马尔可夫条件和杠杆的极限使不平等现象更加严重-ε(1+ζ)(1+(1-ε)ζ)≤ Vζ≤ 0，（5.5）和鞅条件规定，左（分别为右）不等式在φ的增加点变成等式↓（分别）↑). 同样，也可以得出μζ1+ζ-γσζ（1+ζ）+Vt+σζVζζ+μζVζ≤ 0当（5.5）中的两个不等式都是严格的时，不等式作为等式成立。为了实现平稳（即时间齐次）系统，假设残值函数的形式为V（t，ζ）=λ（t- （t）-RζW（z）dz，表示长时间内的平均最佳性能。替换这个解的参数形式，上述不等式变成0≤ W（ζ）≤ε(1+ζ)(1+(1-ε)ζ), (5.6)uζ1+ζ-γσζ(1+ζ)- λ -σζW（ζ）- μζW（ζ）≤ 0.（5.7）进一步假设第一个不等式在某个区间[ζ]内成立-, ζ+]，当每个质量在各自的端点处降低到相等时，最优性条件为σζW（ζ）+μζW（ζ）- ζ的μζ1+ζ+γσζ（1+ζ）+λ=0∈ [ζ-, ζ+]，（5.8）W（ζ-) = 0，W（ζ+）=ε（ζ++1）（1+（1-ε） ζ+（5.9），这导致了一系列候选值函数，每个函数对应于一个或多个边界（ζ-, ζ+).

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2022-5-8 08:17:13

最佳边界由平滑粘贴条件确定，通过微分方程形式化导出。（5.9）关于其边界W（ζ-) = 0，W（ζ+）=ε（ε-2(1-ε)ζ+-2)(1+ζ+)(1+(1-ε)ζ+). （5.10）这些条件确定了价值函数。这四个未知数是常微分方程（5.8）通解中的自由参数，自由边界ζ-ζ+，以及最佳速率λ。这些数量由边界和平滑粘贴条件（5.9）-（5.10）确定。结论重新平衡杠杆投资组合的成本是巨大的，并且会降低其表面上的无摩擦回报。随着杠杆率的增加，这类成本的上升速度超过了回报率，使得投资者不可能将资产的回报率控制在某个倍数（扣除交易成本）之外。与无摩擦理论相反，交易成本使风险收益权衡变得非线性。寻求高回报的投资者更喜欢高波动率的资产，而不是夏普比率相同但波动率较低的资产，因为高波动率使杠杆的实现成本更低。风险中性、回报最大化的投资者不承担有限的杠杆，而是将其保持在一个平衡高风险和低再平衡成本的范围内。特别是，D~n的系数↑tа和а↓tt需要为负值。由于空头头寸从来都不是最优的（参见备注A.3和脚注6），因此0<πt<1/ε，因此只有两种情况出现：（A）ζt<-1/(1 - ε），或（b）ζt>0。在这两种情况下ζ（1+ζ）>0和-ζ(1 + (1 - ε） ζ）<0，由此得出（5.5）。杠杆的限制15附录A.可接受的策略从交易成本来看，只有有限变化的交易策略与解决方案一致。

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nandehutu2022

2022-5-8 08:17:16

分别用Xt和Yt表示处于安全和风险位置的财富，并用（）表示↑t） t≥0和（ν）↓t） t≥0分别为累计买入和卖出的股份数。自融资条件规定（X，Y）满足dynamicsdXt=rXtdt-标准а↑t+（1）- ε）标准а↓t、 dYt=Std~n↑T- 标准а↓t+~ntdSt。（A.1）如果策略是非对抗性的和有溶剂的，且价差小幅度增加，则该策略是可接受的：定义A.1。设x>0（初始资本），设↑t） t≥0和（ν）↓t） t≥0连续不断地增加过程，适应B的自然过滤增强。然后↑T- φ↓t）如果（i）其清算价值始终严格为正：存在ε>ε，贴现资产测试：=e，则为可接受的交易策略-rtStsatis fix-ZteSsdаs+eStаt- εZteSsd~n↓s- ε~n+所有t的测试均>0 a.s≥ 0.（A.2）（ii）以下可积性条件成立Zt |πu | du< ∞, EZtπudkаukаu< ∞ 尽管如此，t≥ 0，（A.3），其中kаtk表示[0，t]上а的总变化。容许交易策略族用Φ表示。下面的引理描述了财富过程wt、风险权重πt和风险安全比ζt的动力学。引理A.2。对于任何可接受的交易策略，dζtζt=udt+σdBt+（1+ζt）d~n↑t~nt- (1 + (1 - ε） ζt）d~n↓t~nt，（A.4）dwtwt=rdt+πt（udt+σdBt）- εd~n↓（A.5）dπtπt=（1）-πt）（udt+σdBt）-πt（1）-πt）σdt+d~n↑t~nt- (1 - επt）d~n↓t~nt.（A.6）对于任何此类策略，函数lft（~n）：=TEZTDWT-γZTDWTT（A.7）等于toFT（）=r+TE“ZTπt-γσπtdt-εZTπtd~n↓tt#。（A.8）注意，πtаt=Stwt，因此在集合{（ω，t）：аt=0}上，πtа的数量定义得很好。符号DXTXT=dytmeans xt=x+RTXSDY，因此即使对于空xt，SDE也有很好的定义。16防杠杆的限制。

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kedemingshi

2022-5-8 08:17:21

自我融资条件（A.1）意味着DXTXT=rdt- ζtd~n↑t~nt+（1）- ε） ζtd~n↓tаt，（A.9）dYtYt=dа↑t~nt-d~n↓t~nt+dStSt，（A.10）d（Yt/Xt）Yt/Xt=dYtYt-dXtXt+dhXitXt-dhX，Y itXtYt=dYtYt-dXtXt。（A.11）等式（A.4）源自上一个等式，（A.5）适用于等式（A.9）和（A.10）。等式（A.6）由等式πt=1得出-1+ζtand（A.4）。目标函数在（A.8）中的表达式遵循等式（A.5）。下面的引理表明，在不丧失普遍性的情况下，考虑不做空风险资产的交易策略就足够了。引理A.3。如果∈ Φ是（2.3）的最佳值，那么策略^аt:=аt{аt≥0}等时。证据由于引理A.2，目标泛函具有等价形式（A.8），（lettingT→ ∞). 很明显，如果^是，^是一种可接受的交易策略。此外≥ 0，πt≥ ^πtat所有时间t，当^t<0时^πt=0，从何处FT（^^）≥ 每一个都大于0英尺（а）。备注A.4。鉴于这个引理和可采性，有必要考虑满足0≤ πt≤ 1/ε，或就风险安全比而言，ζt<-1/(1-ε）或ζt≥ 0.附录B.风险规避和有效前沿本节包含一系列命题，这些命题导致定理3.1（i）-（iii）的证明。定理的第（iv）部分推迟到附录C。SetG（ζ）：=ε（1+ζ）（1+（1-ε） ζ）和h（ζ）：=uζ1 + ζ-γσζ1 + ζ.（B.1）定义H:=H，自由边界问题（3.1）-（3.5）简化为σζW（ζ）+（σ+u）ζW（ζ）+uW（ζ）-H（ζ）=0，（B.2）W（ζ）-) = 0，（B.3）W（ζ）-) = 0，（B.4）W（ζ+）=G（ζ+）（B.5）W（ζ+）=G（ζ+）。（B.6）提案B.1。设γ>0和π*6= 1. 对于足够小的ε，自由边界问题（B.2）-（B.6）有唯一的解（W，ζ）-, ζ+，带ζ-< ζ+. 自由边界具有渐近展开式ζ±=π*1.-π*±4γ1/3π*(π*-1)2/3ε1/3-(5-2γ)π*2γ(π*-1)γπ*(π*-1)1/3ε2/3+O（ε）。

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2022-5-8 08:17:24

（B.7）杠杆的极限17命题B.1的证明。请注意，（B.2）相当于ODEσζW（ζ）+μζW（ζ）- h（ζ）= 因此，初始条件（B.3）、（B.4）意味着W满足σζW（ζ）+μζW（ζ）=h（ζ）-h（ζ）-), W（ζ）-) = 0.通过常数变化法，以及asζ-/∈ {-因此，初值问题（B.2）-（B.4）的任何解的形式为fw（ζ）-, ζ）：=（σζ）Zζ-（h（y）-h（ζ）-))yζ2γπ*-2dy。（B.8）假设（W，ζ）-, ζ+是（B.2）-（B.6）的溶液。鉴于（B.8），W（·）≡fW（ζ）-, ·). LetJ（ζ）-, ζ) :=σζ2γπ*fW（ζ）-, ζ). （B.9）通过ζ+处的终端条件（B.5）-（B.6），并设置δ=ε1/3，（ζ-, ζ+）满足以下代数方程组，ψ（ζ-, ζ+：=fW（ζ）-, ζ+) -δ(1 + ζ+)(1 + (1 -δ） ζ+=0，（B.10）ψ（ζ）-, ζ+：=2（h（ζ+）-h（ζ）-))σζ+-2γπ*ζ+fW（ζ-, ζ+) -(1-δ)(1+(1-δ)ζ+))+(1+ζ+)= 0. （B.11）相反，如果（ζ-, ζ+解（B.10）-（B.11），然后解三重态（ζ7）→fW（ζ）-, ζ), ζ-, ζ+）提供了自由边界问题（B.2）–（B.6）的解决方案。因此，为了提供自由边界问题的唯一解，有必要提供（B.10）-（B.11）的唯一解。为了获得预期解ζ±的渐近展开式的猜测，将ψ1,2展开至ζ-= ζ*+ Bδ+O（δ），ζ+=ζ*+ Bδ+O（δ），其中ζ*=π*1.-π*, （B.12）产生ψ（ζ±（δ））=-γ(1 -π*)3π*2B- 3BB+B+3π*γ(1 -π*)δ+O（δ），（B.13）ψ（ζ±（δ））=（B- B）（B+B）γ（π）*- 1)π*δ+O（δ）。（B.14）将前序项的系数等同于零产量2b- 3BB+B+3π*γ(1 -π*)= 0，（B.15）B+B=0，（B.16）从哪里B=-B带=-4γπ*(1-π*)= 0，而thusB=-4γ1/3π*(1 -π*)2/3.

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2022-5-8 08:17:27

（B.17）（B.14）中的系数在B=B时也消失，但（B.13）不消失，排除这种情况。18随变量η±：=ζ±变化的杠杆极限- ζ*δ（B.18）和符号Φ（η-, η+) := Ψ(ζ-(η-), ζ+(η+)), Φ(η-, η+) := Ψ(ζ-(η-), ζ+（η+）（B.19）ζ±的系统（B.10）-（B.11）减少到Φ（η-, η+) = (Φ(η-, η+), Φ(η-, η+）=0（B.20），在未知数η±中。由于（B.17），猜测（B.12）采用明确的形式ζ±=ζ*±4γ1/3π*(1 -π*)2/3δ+O（δ），（B.21），这表明溶液（η-, η+（B，B=-B）。命题B.2确实保证了（B，B=-B）对于足够小的δ>0，这在δ中是解析的。因此，原始系统ψ（ζ-, ζ+=0有唯一的溶液（ζ-, ζ+，表示小δ，使用一阶代理（B.21）。这意味着自由边界问题（B.2）-（B.6）对于足够小的ε有唯一的解。为了推导（B.7）的高阶项，重写积分（B.9）asJ（ζ）是有用的-, ζ+=h（ζ）-)(ζ2γπ*-1.-- ζ2γπ*-1+)2γπ*- 1 |{z}=:I+zζ+ζ-h（y）y2γπ*-2dy |{z}=：I.（B.22）Iw对δ等式的导数δ=h（ζ+）ζ2γπ*-2+dζ+dδ- h（ζ）-)ζ2γπ*-2.-dζ-dδ。（B.23）现在，将右侧展开为δ中的幂级数，并与δ积分，得到I的渐近展开式。为了获得这些展开式，猜测方程（B.10）-（B.11）的一个形式为ζ±=π的解*1.-π*±4γ1/3π*(1 -π*)2/3δ+A±δ+O（δ），对于一些未知的A±，将其代入方程（B.10）-（B.11），从而使用（B.22）和（B.23）。比较两个方程的渐近展开系数，发现-= A+=(5 -2γ)π*2γ(1 -π*)γπ*(1 -π*)1/3，因此（B.7）成立。B.2提案。设γ>0和π*6=1，召回B=-B来自（B.17）。

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nandehutu2022

2022-5-8 08:17:31

对于非常小的δ>0，系统（B.20），其中Φ=（Φ，Φ）由（B.19）定义，具有唯一的解（η-（δ），η+（δ））满足η-（0）=B，η+（0）=B和δ7→ η±（δ）面积分析函数。对于π*= 1/（2γ），I=h（ζ-)（对数ζ）-- 对数ζ+，且I=Rζ+ζ-h（y）ydy。杠杆的极限是显而易见的。首先考虑“一般”情况u/σ6=1/2：引入重新缩放的函数SEΦ1,2和Φ：=（eΦ，eΦ）定义的aseΦ：=Φδl，eΦ：=Φδm，（B.24），其中l=3，m=2。通过缩放，函数eΦ取决于三个参数，为了清楚起见，它被表示为byeΦ=eΦ（η-, η+，δ）设DeΦ为eΦ的Frechet微分。如下图所示，雅可比满意度det（DeΦ）（η）-= B、 η+=B，δ=0）=6γ（1-π*)(2γπ*- 1)π*6=0，（B.25）因此解析函数的隐式函数定理（Gunning and Rossi，2009，定理I.B.4）确保对于足够小的δ存在唯一解（η-, η+）of eΦ（η）-, η+=0（B，B），在δ中是解析的。这有待证明（B.25）。通过构造，ψ（ζ）-, ζ+) =Ψ(ζ-, ζ+)ζ+，从哪里来eΦη+（η±）=δlΦη+（η±）=δlΨ(ζ±(η±))ζ+ζ+η+=δl-1.Ψ(ζ±(η±))ζ+=ψ（ζ±（η±））δl-1从而将η±（参见（B.18））的定义插入方程（B.11）中，并让δ→ 0，鉴于（B.15）-（B.16）及其解决方案（B.17），如下所示：eΦη+|（B，B，0）=0。因此，雅可比矩阵的行列式是simplydet（DeΦ）（B，B，0）=eΦ（η）-, η+)η-|（B，B，0）×eΦ（η）-, η+)η+|（B，B，0）。因为Ψζ-= -2h（ζ）-)σζ2u/σ+ζ2u/σ-2+2u/σ- 1.-ζ2u/σ-2.-2u/σ- 1.根据链式法则eΦ（η）-, η+)η-=δΨζ-xδ，它是这样的eΦ（η）-, η+）η-|（B，B，0）=2/3（1）-π*)(γπ*(1 -π*))1/3(1 -2γπ*)π*.同样地，eΦ（η）-, η+)η+|（B，B，0）=-1/3(1 -π*)(γ(1 -π*)π*)2/3π*,20杠杆的极限（B.25），因此命题中的断言如下。对于“单数”情况u/σ=1/2，需要在（B.24）中设置l=5，m=3，然后（B.25）的右侧等于3（1）-1/π*)π*6=0，因此与一般情况类似的参数适用。

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2022-5-8 08:17:35

定义B.3。HJB方程的解是一对（V，λ），其中V是一个两次连续可微函数，满足（AV（x）- h（x）+λ，G（x）-V（x），V（x））=0，x∈-∞, -1.-ε∪ (0, ∞),（B.26）其中A:C（R）7→ C（R）是微分算子af（x）：=σxf（x）+uxf（x）。请注意，限制x∈-∞, -1.-ε∪ (0, ∞) 其动机是备注A.4。B.4提案。设（W，ζ）-, ζ+）是具有渐近展开（B.7）的自由边界问题（B.5）-（B.6）（由命题B.1提供）的解。对于足够小的ε，pairV（·）：=Z··W（ζ）dζ，λ：=h（ζ-),式中^W（ζ）：=ζ<ζ时为0-,W（ζ）表示ζ∈ [ζ-, ζ+]，ζ的G（ζ）≥ ζ+，（B.27）是HJB方程（B.26）的解。命题B.4的证明。要检查（V，λ）是否解HJB方程（B.26），请分别考虑域[ζ-, ζ+], ζ < ζ-ζ>ζ+。从分解式来看，sg（ζ）=1+ζ-1.-ε1 + (1 -ε） ζ和G（ζ）=1.-ε1 + (1 -ε)ζ-（1+ζ），首先注意[ζ-, ζ+]，通过构造，它认为（AV（ζ）- h（ζ）+h（ζ）-))=σζW（ζ）+（σ+u）ζW（ζ）+uW（ζ）-H（ζ）=0。此外，考虑到初始条件（B.3）-（B.4），（AV（ζ）- h（ζ）+h（ζ）-)) |ζ=ζ-= AV（ζ）|ζ=ζ-= 0，whenceAV（ζ）- h（ζ）+h（ζ）-) ≡ 0, ζ ∈ [ζ-, ζ+].看到这个0≤ 五、≤ G在所有[ζ]上-, ζ+]，观察（h（ζ）- h（ζ）-))= h（ζ）=h（ζ）=π*(1 + ζ)π*-ζ1 + ζ. （B.28）注意，对于ζ-< ζ ≤ ζ*, ζ在哪里*/(1 + ζ*) = π*, V（ζ）=W（ζ）>0。这也是W（·）≥ 所有[ζ]均为0-, ζ+]. 这相当于显示w（ζ）的非负性：=2σζ2γπ*W（ζ）=Zζζ-（h（x）-h（ζ）-))x2γπ*-2dx。（B.29）杠杆的极限为w（ζ）=（h（ζ）- h（ζ）-))ζ2γπ*-2=0当且仅当h（ζ-) = h（ζ）。

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2022-5-8 08:17:39

因此，ζ=ζ-或ζ=ζ，其中π（ζ）=ζ1+ζ=2π*- π-.通过（B.7）的一阶渐近性，我们得到了ζ/∈ [ζ-, ζ+]表示足够小的ε。因此（ζ）上w>0-, ζ+]，由（B.29）得出：≥ 所有[ζ]均为0-, ζ+].总结[ζ]上HJB方程的有效性-, ζ+]，它只剩下显示其内部质量V≤ G.为此，注意ψ（ζ）=W（ζ）- G（ζ），（这是（B.10）中定义的函数，ζ固定-) 满足ψ（ζ）-) = -G（ζ）-) = -ε(1 + ζ-)(1 + (1 -ε)ζ-)= -(1 -π*)ε+O（ε4/3），因此对于足够小的ε，ψ（ζ）<0在某个区间[ζ]-,ζ），以及ψ（ζ）=0。因此，\'ζ≤ ζ+. 通过构造，当ψ（ζ+）=0时，证明ψ在[ζ]上的非负性就足够了-, ζ+]. 矛盾地假设存在一个序列δk↓ 0，每k≥ 1，ψ（°ζ（δk））=0-（δk）<ζ（δk）<ζ+（δk）。现在，将变量改为u=ζ-ζ*δ、并引入符号u±=ζ±-ζ*δ、 \'u=\'ζ-ζ*δ. 在不丧失普遍性的情况下，假设u（δk）收敛，从而满足极限→∞\'u（δk）=:B∈ [B，B]，其中（B.17）中定义了Bis，B=-B.因此，导致（B.17）的计算要求B必须满足（B.15）而不是B，即2B- 3BB+B+3π*γ(1 -π*)= 0.（B.30），其中Bfrom（B.17）和变量ξ的变化=-B/双层板2- 3ξ+ξ=0，只有解1和-2.因此，（B.30）具有唯一相关的解决方案B=-B=B。通过将u+（δ）和“u”（δk）交织在一起，可以引入“u”*（δ） =（\'u（δk），k∈ Nu+（δ），否则。因此（u-（δ），u*（δ））满足Φ（u）-, u+=0接近（B，B），对于足够小的δ。B.2提案，美国*（δ） =u+（δ），这与我们的假设相矛盾。现在考虑ζ≤ ζ-. V解HJB方程，ifAV- h（ζ）+h（ζ）-) = h（ζ）-) -h（ζ）≥ 0，G（ζ）≥ 0.As h（ζ）- h（ζ）-) = ζ=ζ时为0-, 证明他的非负性能够获得第一个不平等性是足够的。为此，使用了导数的显式公式（B.28）。

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2022-5-8 08:17:42

对于小επ-< π*, 因此ζ=ζ-（B.28）确实是严格正的，因此，积分后，可以得到任何ζ<ζ的第一个不等式-. 为了解决第二个不平等，回想一下ζ<-1/(1 - ε）或ζ>0。在这些域上，G显然是严格的正函数。因此证明V满足ζ的HJB方程≤ ζ-.最后，考虑ζ≥ ζ+. 当G=W时，有必要显示l（ζ）：=AV（ζ）-h（ζ）+h（ζ）-) ≥ 0，G（ζ）≥ 0.（B.31）22杠杆G（ζ）的极限严格为正，第二个不等式成立。对于（B.31）中的第一个不等式，请注意l（ζ）=σζG（ζ）+μζG（ζ）- h（ζ）+h（ζ）-)L（ζ+）=0，因为（B.2）、（B.5）和（B.6）。因此，有必要证明L在[ζ+]上没有零，-1/(1 -ε）），除了ζ+。首先考虑γ=1。利用变换z=ζ1+ζ，我们可以用z重写L，用F（z，ε）：=L（ζ（z））。当F（π+）=0时，多项式除以（z）- π+屈服强度sf（z，ε）=（z- π+)(1 -εz）g（z），（B.32）和g（z）=（g+gz），其中g=2u(-1 + (1 -2π-+ π+)ε -(1 -π-)π+ε+ σ(π++ 2(π-- π+)ε + π+(1 -π-)ε），g=1-(1 -π-)ε)(σ+ ε(2u - (1 + π-)σ).因此，下面的渐近展开式保持g（π+）=σuσ1.-uσ1/3ε1/3+O（ε2/3），g（1/ε）=σ2ε+O（1）。因此，对于足够小的ε，g在[π+，1/ε]上没有零。因此F（z）>0 forz∈ (π+, 1/ε).接下来，考虑γ6=1。利用z=ζ1+ζ的变换，我们可以重写函数F（z，ε）=L（ζ（z）），类似于γ=1的情况。然后证明了F在（π+，1/ε）上没有零。当F（π+）=0时，多项式除以（z）- π+产生（B.32），其中三阶多项式g具有导数EG=a+az+az，其中系数a、a和aare复杂但明确的参数函数和相对买卖价差ε。根据（B.32），证明g在[π+，1/ε]上没有零就足够了。

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