因此，对于每个t>0的系数（1+（1- ε） ηt）和（1+ηt）几乎可以肯定是可逆的。定义不断增长的过程（^^）↑, ^φ↓) 比亚迪↑t^^t=（1+ηt）-1dLt，d^~n↓t^^t=（1+（1- ε） ηt）-1但是。相关措施↑, d^~n↓在ηt=η上受支撑-ηt=η+。因此，^^是一种交易策略，通过引理a.2，它产生一个风险安全，精确满足随机微分方程（a.4）。交易策略的可接受性是明确的，因为^^是一种连续的、有限变化的交易策略，其满足π+<1/ε，这意味着存在ε>ε，使得πt<1/ε，对于所有t>0，a.s。。写出（ηt）t的最小生成元≥0一般形式为σηf（η）+μηf（η）=:a（η）f（η）+b（η）f（η）。速度测量值为m（dη）=a（η）eRη-2b（y）a（y）dydη和m（[η-, η+)] < ∞, （ηt）t≥0是正循环的，它的不变密度是ν（η）dη=m（dη）m（[η-, η+]），（B.36）（见（博罗丁和萨尔米宁，2002年，第二章第9节、第二章第12节和第二章第36节）。区分η+<0或η的情况-> 0，概率密度（B.34）和（B.35）如下。以下内容验证了Lemma B.5交易策略的最优性，以及B.1提案中的交易边界：B.6提案。设ζ±为命题B.1中导出的自由边界，并设π±：=ζ±/（1+ζ±）。表示引理B.5与这些自由边界相关的交易策略。然后，对于所有t>0，财富πt的分数在区间[π]内归属于风险资产-, π+]几乎可以肯定，只要π∈ (π-, π+（如果η+<0，则交换术语“减少”和“增加”。24 LEVERAGEno贸易区的限制）并仅在π±边界进行交易。对于足够小的ε，^~n是最优的，值函数为f∞（^k）=r+最大а∈ΦlimT→∞特赫特πt-γσπtdt-εRTπtd~n↓t k ti=r+uπ--γσπ-. （B.37）命题B.6的证明。

回想一下命题B.4，λ=h（ζ-) （V，λ）由自由边界问题的唯一解定义，是HJBequation（B.26）的解。为了验证，使用了风险资产中的财富比例πtof，而不是风险安全比率ζt。变量ζ的变化=-1 +1-π相当于实线的压缩，因此两个间隔[-∞, -1/(1-ε） ）和（0，∞]映射到连通区间[0，1/ε）。用L表示微分算子（Lf）（π）：=σf（π）π（1-π） +f（π）（u）-σπ)π(1 -π).集合^h（π）=h（ζ（π））=μπ-γσπ. 函数^V（π）：=V（ζ（π））满足HJBequationmin（L^V（π）-^h（π）+λ，^V（π），ε/（1）-επ) -^V（π））=0,0≤ π < 1/ε. （B.38）首先，请注意∞(φ) ≤ λ+r对于任何可接受的交易策略，通过引理A.3和备注A.4，在不丧失一般性的情况下，假设πt≥ 几乎可以肯定的是≥ 将It^o公式应用于随机过程^V（πt），其中^V是HJB方程（B.38）的解，得到^V（πt）-^V（π）=RT^V（πt）dπt+^V（πt）dhπit（B.39）=RTL^V（π）-^h（πt）+λdt+RT（^h（πt）-λ） dt（B.40）+RT^V（πt）πt（1）-πt）σdBt（B.41）-RT^V（πt）（1）-επt）πtd~n↓tˋt（B.42）+RT^V（πt）πtdˋ↑鉴于（B.38），第（B.40）行中的第一项为非负项。此外，（A.2）意味着ε>ε的存在，使得πt<1/ε<1/ε，对于所有t，A.s.使用（B.38）onethus获得^V（πt）≤εεε- ε、 a.s.全t≥ 因此（B.41）是一个期望为零的鞅。同样，（B.38）意味着^V（πt）πt（1-επt）≤ επt，从何处（B.42）满足-RT^V（πt）（1）-επt）πtd~n↓t~nt≥ -εRTπtd~n↓最后，（B.43）是非负的，因为≥ 0由于（B.38）。取（B.39）的期望值得到估计值[^V（πT）-^V（π）]≥ -λ+TE[RT^h（πt）dt]-εTRTπtd~n↓由式（B.44）|^V（πt）得出的tt（B.45）-^V（π）|≤ |πT- π| sup0<u≤1/ε|^V（u）|≤εε-ε、 因此，杠杆的限制是有限的→∞TE[^V（πT）-^V（π）]=0。

因此让T→ ∞ 在（B.45）中，意味着对于任何可接受的策略，都有F∞(φ) ≤ λ+r。最后，这个界限是由引理（B.5）根据自由边界（ζ）定义的容许交易策略^~n实现的-, ζ+：设ζ为相应的风险-安全比。使用它的公式，一个hasdV（ζt）=V（ζt）ζtσdBt+0- επtd~n↓t~nt+（h（ζt）- λ） dt。根据（A.8），按T划分的收益率πt-γσπtdt-εRTπtd~n↓t~nti=λ+TE[^V（πt）-^V（π）]。让T→ ∞, 一个得到F∞（^~n）=λ+r。B.1。定理3.1（i）-（iii）的证明。定理3.1（i）在命题B.1中得到证明，定理3.1（ii）和（iii）在命题B.6中得到证明。附录C.性能和渐近在本节中，遍历性参数用于推导最优交易策略的平均交易成本（ATC）和长期均值和长期方差的封闭式表达式。这些公式进而得到定理3.1（iv）的渐近展开式。C.1。无摩擦的贡献。让ζ-, ζ+是命题B.1中获得的自由边界。鉴于备注A.4，假设ζ-< ζ+< -1（杠杆情况）或ζ-> ζ+>0（非杠杆情况），并定义积分i:=cZζ+ζ-h（ζ）|ζ| 2γπ*-2dζ，（C.1），其中归一化常数isc:=Zζ+ζ-|ζ|2γπ*-2dζ=sgn（ζ-)|ζ+|2γπ*-1.- |ζ-|2γπ*-12γπ*- 1.（C.2）引理C.1。I=h（ζ）-) +σ(2γπ*- 1)G（ζ+）ζ+1-ζ-ζ+2γπ*-1.. （C.3）证据。从方程（B.8）和（B.10）可以得出zζ+ζ-h（ζ）|ζ| 2γπ*-2dζ=h（ζ-) sgn（ζ）-)|ζ+|2γπ*-1.- |ζ-|2γπ*-12γπ*- 1+σζ+2γπ*G（ζ+）。通过规范化，（C.3）如下。C.2。交易成本。对于最优交易策略，风险安全比ζ是一个几何布朗运动，参数（u，σ）反映在ζ-, ζ+分别见引理B.5。因此，以下遍历结果（Gerhold等人，2014年，引理C.1）适用：引理C.2。

设ηt为区间[l，u]上的扩散，0<l<u，反映在边界上，即dηt=b（ηt）dt+a（ηt）1/2dBt+dLt- dUt，26杠杆的极限，其中映射a（η）>0和b（η）都是连续的，连续的非减量过程Lt和Ut分别满足L=U=0和只在{Lt=L}和{Ut=U}上增加。用ν（η）表示ηt的不变密度，以下几乎确定的极限成立：limT→∞LTT=a（l）ν（l），limT→∞UTT=a（u）ν（u）。下一个公式评估交易成本。引理C.3。最优交易策略区域的平均交易成本c:=εlimT→∞TZTπtd~n↓t~nt=σ（2γπ）*- 1)G（ζ+）ζ+1-ζ-ζ+2γπ*-1.. （C.4）证据。注意，εRTπtd~n↓t~nt=G（ζ+）UTT。将引理C.2应用于η：=ζ（设置l:=ζ-, u=ζ+，并使用ζt的固定密度（引理B.5）（C.4）如下。备注C.4。引理C.3的另一种证明来自引理A.2，将目标泛函改写为F∞（ν）=r+limT→∞TRTh（ζt）dt- 空中交通管制。根据《麦角虫学》（Borodin和Salminen，2002年，II.35和II.36），limT→∞TRTh（ζt）dt=I hence使用引理C.1和命题B.6，得出atc=-F∞（ν）+r+I=σ（2γπ）*- 1)G（ζ+）ζ+1-ζ-ζ+2γπ*-1..这与命题B.6中的公式一致。C.3。长期均值和方差。SetIu：=Zζ+ζ-ζ1 + ζ|ζ|2γπ*-2dζ，Is:=Zζ+ζ-ζ1 + ζ|ζ|2γπ*-2dζ。根据遍历定理（Borodin和Salminen，2002，II.35和II.36），长期平均值和长期方差满足^m=r+ulimT→∞TE[ZTπtdt]-ATC=r+cIu- ATC，^s=σlimT→∞TE[ZTπtdt]=σcIs，由此可进行以下分解：I=cuIu-这是=π*π*（^m）- r+ATC）-γ^σ=h（ζ）-) + 空中交通管制。（C.5）按部件进行的积分yieldsIu=Zζ+ζ-ζ1 + ζ|ζ|2γπ*-2dζ=|ζ+|2γπ*2γπ*(1 + ζ+)-|ζ-|2γπ*2γπ*(1 + ζ-)+Is2γπ*. （C.6）将（C.6）插入（C.5）产生I=σ2cπ*π*|ζ+|2γπ*1+ζ+-|ζ-|2γπ*1+ζ-+ (1 -γπ*π*)是.

除了单数情况γ=1外，我们可以提取Is，因此（C.6）和（C.4）可以得出一个关于^s的公式。因此，等式（C.5）的右侧给出了一个关于^m的公式：杠杆的极限引理C.5。当γ6=1时，下列恒等式成立：^s=1-γ（h（ζ）-) + 空中交通管制）-σc（1）-γ)|ζ+|2γπ*1 + ζ+-|ζ-|2γπ*1 + ζ-, （C.7）^m=r+γ^s+h（ζ）-). （C.8）C.4。定理3.1（iv）的证明。证据交易边界π±的渐近展开式（3.7）是通过将ζ±1+ζ±展开成幂级数，从而使用ζ±的渐近展开式（B.7）推导出来的。长期平均值^m，方差^s，夏普比率（（^m- r） /^s）、平均交易成本satc和价值函数λ具有自由边界ζ的闭式表达式-, ζ+（见方程式（C.8）、（C.7）和方程式（C.4）和（B.37））。将这些公式与自由边界的渐近展开式（B.7）结合使用，断言如下。附录D.从风险规避到风险中性在本节中，γ=0的自由边界问题（3.1）-（3.5）对于足够小的ε进行了求解，结果表明（W，ζ-, ζ+）允许构造相应HJB方程的解，类似于γ>0的情况，验证论证产生策略的最优性。使用γ>0的数值实验表明，交易边界π±（即杠杆乘数）满足limε↓对于两个常数A，0ε1/2π±=1/A±-> A+>0。这意味着自由边界具有近似ζ±≈ -1.-A±ε1/2，由此表明ζ±是解析的，δ：=ε1/2。通过使用新参数δ：=ε1/2并将第二个方程乘以δ：W（ζ），重写系统（B.10）–（B.11）-, ζ+) -δ(1+ζ+)(1+(1-δ） ζ+=0，（D.1）δ2（h（ζ+）-h（ζ）-))σζ+-2u/σζ+W（ζ-, ζ+) -(1-δ)(1+(1-δ)ζ+))+(1+ζ+)= 0

（D.2）使用转换u=-1.-ζδ并注意到|ζ|=1+δu，由此得出Ξ（u-, u） ：=W(-1.-U-δ, -1.-uδ）=2μσ（1+uδ）Ruu-U--ξ1+ξδ1+uδ2uσ-2dξ。因此，系统（D.1）–（D.2）转化为Ξ（u）-, u+）-u+（（1）-δ） u+-δ） =0，（D.3）2μσu+-U-+δ1+u+δΞ（u）-, u+）-(1-δ） u+-δu+（δ+（δ-1） u+=0。（D.4）出租→ 在（D.3）–（D.4）中，我们可以得到（a）的方程组-, A+，2uσ日志（A）-/A+）-A.-- A+A--A+=0，σA+-A.--A+=0。（D.5）引理D.1。独特的解决方案（A）-, 系统的A+（D.5）isA-=κ-1/21 -κsσu，A+=κ-1/2sσu，（D.6）其中κ≈ 0.5828是（3.16）的唯一解决方案。（D.5）中的第二个等式-=uA+uA+-σ. （D.7）因此，将（D.7）代入（D.5）的第一个方程中，给出了适定问题-A++2u日志uA+uA+-σσ=0，A+>0。（D.8）因此，建立（D.8）的唯一解就足够了，如第（D.6）行中的第二个方程所示；A的公式-然后从（D.7）开始。为此，将ξ：=σ/（uA+）代入（D.8）中，得到方程（3.16）。注意f（0）=0，f>0（0，1/3）和f<0（1/3，1），而f（ξ）↓ -∞ asξ→ 1.这意味着f在（1/3，1）上有一个单独的零κ，因此证明了关于A+的主张。提案D.2。对于足够小的δ，存在唯一的解（u+，u-) 在（D.3）-（D.4）附近-, A+。该解在δ中是解析的，满足渐近展开式u±=A±+O（δ），其中A±在（D.6）中。证据用Fi（（u）表示（D.3）-（D.4）的左侧-, u+，δ），i=1，2和F=（F，F）。引理D.1，F（（A）-, A+，0）=0。像ΞU-（（A）-, A+，0）=2σA.--A+A-,Ξu+（（A）-, A+，0）=2σA+-A.-A.-A+,在（A±）处获得，FU-=2uσA.--A+A-,Fu+=A+-2.A+和Fu+=A++2A+-A.-A.-A+= 0，其中最后一个等式来自（D.5）中的第二个等式。因此，作为κ∈ （1/3,1），雅可比满足度（DF）（（A）-, A+，0）=-4(u/σ)7/2(κ -1)κ5/2(3κ - 1) 6= 0.

根据解析函数的隐函数定理（Gunningand Rossi，2009，定理I.B.4），断言如下。引理D.3。设κ为（3.16）和θ的解∈ [0, 1]. 然后记录（1）- κ(1 - θ)) + (1 - θ)κ +κ(1-κ)(1-κ(1-θ） ）=0（D.9）表示θ=0。证据显然f（0）=0，并且f（1）=1/2κ（1- κ)> 0. f有一个局部极值，在（0，1）中，即θ=0.5（3.κ）+√4.κ-3.κ-2.κ)κ≈ 0.7669 . 因为f（0）=0和f（0）=κ（κ（3κ-7κ+5)-1)(1-κ） >0，θ必须是全局最大值。（0，1）上的Hencef>0，θ=0，如前所述。引理D.4。让我们-如（D.6）所示。2的唯一解决方案是日志（A）-/ξ) -A.-- ξA--ξ=0（D.10）在[A+，A]上-] 是ξ=A+。证据设ξ为（D.10）的解。存在θ∈ [0,1]使得ξ=θA-+ (1 - θ） A+=A+1+κ(1-θ)1-κ.因此*+/A.-= 1 + κ(θ -1） ，因此（D.10）被改写为（D.9）。引理D.3的应用得到ξ=A+。杠杆的极限29D。1.定理3.2的证明。证据与命题B.1在γ>0情况下的证明类似，自由边界问题（3.1）-（3.5）在γ=0时的可解性等价于非线性系统（D.1）-（D.2）的可解性。这反过来相当于求解系统（D.3）–（D.4）的（u+（δ），u-(δ)). 转换系统（D.3）–（D.4）在（A+，A）附近的唯一解决方案-) 由命题D.2提供，其中一个有ζ±=-1.- u±δ。特别是，可以得到ζ±=-1.-A±ε1/2+O（1）。（D.11）（3.1）-（3.5）的解为w（ζ）：=2μσ|ζ| 2μσZζ-y1+y-ζ-1 + ζ-|y | 2u/σ-2dy。（D.12）其中一个定义与（B.27）中HJB方程（B.26）的候选解（V，λ）完全相同。接下来证明（V，λ）解HJB方程（B.26）（对于区间[ζ-, ζ+],(-∞, ζ-] 最后，对于[ζ+，∞)). 事实上[-1/(1 - ε） ，0）不包括在内。关于[ζ-, ζ+]，（AV（ζ）- h（ζ）+h（ζ）-))=σζW（ζ）+（σ+u）ζW（ζ）+uW（ζ）-u（1+ζ）=0（按构造）。

由于初始条件（3.2）-（3.3），（AV（ζ）- h（ζ）+h（ζ）-)) |ζ=ζ-= AV（ζ）|ζ=ζ-= 0，因此AV（ζ）- h（ζ）+h（ζ）-) ≡ ζ为0∈ [ζ-, ζ+].接下来显示0≤ 五、≤ G在所有[ζ]上-, ζ+]. As（h（ζ）-h（ζ）-))= h（ζ）=u（1+ζ）严格为正，h（ζ）- h（ζ）-) > ζ为0∈ (ζ-, ζ+]. 从显式公式（D.12）可以得出V=W≥ ζ为0∈ [ζ-, ζ+]. 还有待展示≤ G.AsV（ζ+）- G（ζ+）=0和V（ζ-) - G（ζ）-) = -G（ζ）-) < 0，排除任何0ζ就足够了*+V（ζ）-G（ζ）在（ζ）上-, ζ+，对于足够小的ε。这相当于求出κ（u，δ）：=V（ζ（u））- G（ζ（u）），u∈ （u+（δ），u-（δ） ），式中ζ（u）=-1.- uδ，对于足够小的δ。回想一下，u±（δ）由ζ±=-1.- u±（δ）δ，limδ→0u±（δ）=A±。矛盾地假设存在δk↓ 0和满足u的序列u+（δk）-（δk）<u*+（δk）<u+（δk），这是κ（u）的一个解*+（δk），δk=0，每k∈ N.如果必要的话，通过取一个子序列，可以在不丧失普遍性的情况下假设u*+（δk）→ A.*+∈ [A+，A]-] 作为k→ ∞. 假设*+= A+并定义地图δ7→ U*（δ） 通过将u+和u+交织在一起*+具体如下：u*+（δ） =（u）*+（δk），k∈ Nu+（δ），δ6=δk。那么对于足够小的δ，对（u-（δ） ，u*+（δ） （D.3）–（D.4）靠近（A）-, A+，因此由命题D.2，u*+= u+，与我们之前的假设ζ相矛盾*+∈(ζ-, ζ+). 第二，考虑案例A*+∈ （A+，A-]: 通过方程式（D.3）2/∑日志（A）-/A.*+) -A.-- A.*+A.--（A）*+)= 引理D.4表示A*+= A+，这也是不可能的。因此V（ζ）- G（ζ）在（ζ）上没有零-, ζ+，因此V在[ζ]上解HJB方程-, ζ+].现在考虑ζ≤ ζ-. V解HJB方程，ifAV- h（ζ）+h（ζ）-) = h（ζ）-) -h（ζ）≥ 0，G（ζ）≥ 0.30杠杆的极限第一个不平等显然已被填补。同样，作为ζ<-1/(1 - ε） 或者ζ>0，G是一个严格的正函数[-∞, ζ-], 从而完成ζ的证明≤ ζ-.最后，考虑ζ≥ ζ+.

当G=W时，有必要表明l（ζ）：=AV（ζ）-h（ζ）+h（ζ）-) ≥ 0，G（ζ）≥ 0.（D.13）第二个不等式现在已经被证明，第一个不等式（D.13）仍有待建立。作为h（ζ）=μζ1+ζ-σζ1+ζ因此l（ζ）=σζG（ζ）+μζG（ζ）-h（ζ）+h（ζ）-) = h（ζ）-) -h（（1）-ε)ζ) -σζ1 + ζ.因此，通过ζ+处的边界条件，as W求解自由边界[ζ-, ζ+]，L（ζ+）=σζW（ζ+）+μζW（ζ+）+h（ζ-) -h（ζ+）=0。证明L（ζ）≥ 对于所有ζ，有必要证明在ζ上不存在方程L（ζ）=0的解≥ ζ+除了ζ+。变换z=ζ1+ζf（z，ε）：=L（ζ（z））。当F（π+）=0时，多项式除以（z）- π+产生（B.32），其中三阶多项式g具有导数g=a+az+az，具有某些相对复杂但明确的系数a、a、a。通过第二个公式（D.6）g（π+）=-u+3σA++O（ε1/2）（D.14）对于足够小的ε是严格正的，因为κ>1/3。加雷斯的零z-= -2A+ε1/2+O（1），z+=3ε+O（1）。对于足够小的ε，第一个解为负，第二个解大于1/ε，因此两者都不相关。此外，g（1/ε）=σ/2+O（ε1/2），因此g（z）>0，在所有的[π+，1/ε]上。与（D.14）一起，得出[π+，1/ε]上的g>0。因此F（z）>0表示所有z>π+，这证明（V，λ）解HJB方程（B.26）。利用命题B.6的证明，我们可以得到断言（ii）和（iii）。最后，在（iv）中声称的交易边界的扩张来自自由边界ζ的渐近扩张-, ζ+in（D.11）。附录E.收敛引理E.1。让u>σ。存在δ>0，因此对于所有δ≤ δ和0≤ γ ≤ γ：=μσ，交易策略的目标函数，仅在π买入-= 1+δ并以π+=（1）的价格销售-δ)/ε > π-优于买入并持有策略。更准确地说，对于所有人来说≤ γ和δ≤ δF∞(φ) ≥ r+u-γσ+u -γσδ.证据

Asε∈ （0，1）和eπ：=μγσ>1，存在δ>0使得π*≥ π+表示所有δ≤eδ和γ≤ γ.设ρ（π）dπ=ν（π/（1）-π） ）dπ（π）-1） 式中，ν（dζ）是[ζ]上反射扩散ζ的固定密度-, ζ+]（引理B.5）。Asπ*≥ π+，也就是π-γσπ≥ uπ--γσπ-所有π的杠杆极限都成立∈ [π-, π+]. 因此，F∞（ν）=r+rπ+π-uπ -γσπρ（dπ）-空中交通管制≥ r+u（1+δ）-γσ(1 + δ)-(δ+1)(2-1)(2u-σ)4δ(-2(δ+1)+δ+1δ)2uσ+(δ+1)(2-1)!≥ r+u-γσ+ (u - γσ)δ - O（δmin（2,2）σ-1） ），（E.1），其中引理C.3被用来计算和估计平均交易成本SATC。渐近展开式适用于足够小的δ，当u>γσ时，渐近公式（E.1）中的指数满足2u/σ- 2 > 1. E.1。定理4.1的证明。证据Asζ+<-1/(1 - ε） ，曲线（0，’γ）→ γ7→ π±（γ）范围在一个相对紧的集合中，即[1，ε）。因此，考虑一个序列γk，k=1，2，…，它满足1≤ π-:= 里美→∞π-（γk）≤ 里美→∞π+（γk）=：π+≤ 1/ε. 设置ζk±：=π±（γk）1-π±（γk），fork=0,1,2，请注意-∞ ≤ ζ-≤ ζ+≤ -1.-ε. 对于每个k，k=1，2，假设HJB方程（B.26）满足λ=λk:=h（ζk-). 命题B.6证明中的验证论证得出与区间[π]相关的交易策略-（γk），π+（γk）]是最优的。接下来，证明了三个事实。第一π-> 1，相当于ζ-> -∞. 矛盾地假设π-= 1.然后π-（γk）→ 1，因此λk→ u，作为k→ ∞. 因此，目标泛函最终将引理E.1提供的一致界最小化，这是不可能达到最优的。因此π-> 1.第二，π-< π+：这是因为，通过观察（3.1）中零级初始和终端条件的极限，W（ζ-) = 0<G（ζ）-). 第三，π+<ε。

假设π+=ε。然后G（ζk+）→ ∞, 作为k→ ∞, 作为ζ-< ζ+，对应于γk满足的平均交易成本（引理C.3）ATC（k）：=σ（2）/∑-1） G（ζk+）ζk+1-ζk-ζk+2u/σ-1.→ ∞,作为k→ ∞. 表示为仅购买（或出售）athπ的交易策略-（γk）（分别为π+（γk））。根据附录C的结果，价值函数满足要求→∞F∞（^^k）=limk→∞π+（γk）Zπ-（γk）（μπ）-γkσπ）ρ（dπ）-空中交通管制（k）≤uε- 林克→∞ATC（k）=-∞作为k→ ∞. 特别是对于足够大的k≥ k、 买入并持有策略∞(φ) = u -γkσ>F∞（^^k），这与交易策略的最优性相矛盾[π-（γk），π+（γk）]。因此π+<1/ε。作为序列ζk-通过（Keller Ressel et al.，2010，引理9）与（3.1）和γk相关的初值问题的解，即W（ζ；ζk）收敛-), 收敛到初值问题的解（3.1）（对于γ=0），W（ζ）=-σζZζ-(uζ1 + ζ- uζ-1 + ζ-)(ζ/ζ-)2u/σ-2dζ.32杠杆的极限W满足终端条件，因为G是连续的(-∞, -1.-ε). 同样，对于每个k，k=1，2，假设HJB方程（B.26）满足。通过取极限来保持非负性，因此，（^W（ζ；0），λ）也满足HJB方程。命题B.6证明中的验证论点意味着与区间[π]相关的交易策略-（γ） ，π+（γ）]不仅是风险规避水平γ的最佳选择∈ [0，\'-γ]，但也有[π-, π+]是风险中性投资者的最佳选择。ζ-（γ） γ只能有一个累积点↓ 0，因为λ=h（ζ-) 是价值函数。ζ的唯一性-因此很清楚，因此ζ-= ζ-(0).根据假设，自由边界问题有唯一的解，因此可以得出π+（0）=π+。特别是曲线（0，\'-γ]→ γ7→ π±（γ）每个都有一个唯一的极限π±作为γ↓ 等于π±（0），自由边界问题的解。参考萨内斯，C.，弗拉齐尼，A。

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