买卖价差市场中的套利

2022-5-6 11:04:24

买卖市场中的套利推广了资产定价的基本定理无限离散时间市场中的买卖和货币帐户普泽米斯定律。本文考虑具有任意状态空间和买卖价差的有限离散时间市场。引入了等价投标askmartingale测度（EBAMM）的概念，并用EBAMM作为无轨道的等价条件证明了资产定价的基本理论。作为我们结果的一个应用，提出了具有买卖价差的Cox-Ross-Rubinstein模型。1.引言资产定价的基本定理，通常称为Dalang MortonWillinger定理，指出对于标准的离散时间有限期证券市场模型，当且仅当价格过程是关于等价概率测度的鞅时，才不存在套利。然而，在没有摩擦的市场中没有套利的等价条件已经被提出并充分证明，直到90年代，即使在有比例交易成本的市场中，没有套利的等价条件的一般问题仍然是开放的。另一方面，在这个话题上做了许多伟大而有意义的工作。我们很快就会回忆起一些关于多资产离散时间摩擦模型的论文。在Kabanov，R\'asonyi的论文[7]中，Stricker在充分摩擦假设下给出了不存在所谓弱套利机会（即严格无套利）的等价条件。Kabanov和Stricker在[10]中证明了该定理的一般版本，但在具有有限状态空间的模型中Ohm.不久之后，Schachermayer在他的著名论文[13]中给出了不存在所谓稳健无套利的同等条件。

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2022-5-6 11:04:27

一般定理表明，鲁棒无套利等价于严格一致价格系统的存在性。此外，由于Schachermayer在[13]中给出的反例，稳健无套利不能被严格无套利所取代。在这个方向上，Grigoriev在[4]中证明了一个非常有趣的定理。将[10]的一般结果推广到任意情况Ohm 在2个资产的特殊情况下。该定理的一个推论是，在有标量过程Sb、Sa和货币账户的市场中，无套利等价于过程S的存在，这是2010数学主题分类下的一个等价鞅。91G80、60G42、60G40、91B25。关键词和短语。套利，买卖价差，一致价格体系，买卖鞅测度。2普泽米斯定律概率测度和满足不等式Sb≤~S≤ 萨。在我们的术语中（我们以与[6]类似的方式介绍），它只是意味着，在一项风险资产和一个货币账户的情况下，没有套利等同于存在阿比德-阿斯克一致价格体系。对于任意风险资产，这个问题仍然存在。然而，文献[4]的作者提出，它的解决方案似乎是消极的。本文的目的之一是分析有报价和货币账户的市场的一般模型，以研究格里戈里耶夫的问题。具有买卖价格过程的市场模型主要是在Jouini和Kallal[6]的著名论文中发展起来的，其中的主要结果表明，没有所谓的免费午餐相当于存在一个买卖一致的价格系统。值得注意的是，格里戈里耶夫[4]的结果也加强了Jouini和Kallal在一项风险资产中的作用。

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2022-5-6 11:04:30

在本文中，我们引入了等价的买卖鞅测度的概念，并证明了在具有买卖价差和任意状态空间的模型中Ohm 这种计量的存在相当于没有套利。另一方面，我们证明了在相同的等价概率测度下，（EBAMM）的存在性等价于上鞅和下鞅一致价格系统的存在性。我们希望本文的主要定理有助于解决格里戈里耶夫假说。在某种意义上，它发展了[6]和[4]的结果。此外，（EBAMM）的概念可以被视为等价鞅测度的推广，该测度已成功应用于无摩擦市场。它也可以绕过一个过程的存在条件，这个过程在买入价和卖出价过程之间演化，并且是一个在某些等价概率测度下的鞅。很明显，这样的过程不可能真正存在，而只是定价的有用工具。我们相信，本文对摩擦市场中的风险理论做出了贡献，并可能以一种可理解的方式回答其中的一些问题。论文的结构如下。第2节介绍了金融市场的模型和一些基本定义。第三节给出并证明了主要定理。最后一章包括实例以及所得结果的应用。主要介绍了具有买卖价差的Cox-Ross-Rubinstein模型。2.金融市场的数学模型(Ohm, F、 P）是一个具有离散时间过滤F=（Ft）Tt=0的完整概率空间，使得Ft=F和T是一个有限的时间范围。假设市场上有两个过程S=（St）Tt=0=（St，…，Sdt）Tt=0和=（St）Tt=0=（St，…，Sdt）Tt=0，这两个过程是d维的，适用于F，并且具有严格的正分量，即。

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2022-5-6 11:04:34

坐姿>0和坐姿>0，P-a.e.此外，我们假设坐姿≤ 对于任何t=0，1，T和i=1，d、这些过程分别是用于出售和购买的股票的模型价格，即投资者可以在每一时刻分别以Sit和Sit的价格购买或出售无限量的第i股股票。我们将称之为“出价”过程和“要价”过程。类似地，这一对将被称为买卖价格过程。假设市场上存在一个货币账户或债券，这是一个严格正的可预测过程B=（Bt）Tt=0，所有交易都是在这个过程中计算的。为简单起见，我们假设Bt≡ 1表示所有t=0，在买卖价差为3的市场中，为了避免技术上的模糊性，我们将-1:= {, Ohm}. 值得注意的是，由于折扣过程，这个假设并没有限制我们模型的通用性。[3]的第2.1章详细描述了无交易成本市场的情况。市场中的交易策略是一个d维过程H=（Ht）Tt=1=（Ht，…，Hdt）Tt=1，这对于F是可预测的。我们用PT表示所有此类策略的集合。我们也来定义它的子集P+T:={H∈ PT|H≥ 0}，P-T:={H∈ PT|H≤ 0}其中随机向量H≥ 你好≥ 0表示anyi=1，d、我们使用符号（H·S）t:=Ptj=1Hj·Sjwhere·是Rd中的内部产品。设x=（xt）Tt=1b是市场中的一个价值过程，从银行和股票账户中的0个单位开始对策略H进行报价，即xt定义如下xt=xt（H）：=-tXj=1(Hj）+·Sj-1+tXj=1(Hj）-· Sj-1+（Ht）+St- （Ht）-·Stwhere嗨- 你好-1对于任何i=1，d和j=1，t、尤其是weputHi=Hi我们通常会跳过内部产品的符号。随机变量XT对t之前发生的收益或损失进行建模。

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2022-5-6 11:04:37

第一笔金额是截至时间t的资产购买总额，尽管第二笔金额与总销售额相对应。请注意，在时间t时，我们清算了风险资产中的所有头寸，以下等式满足ptj=1Hj=Ht。它可以解释如下。如果我们想知道我们的投资组合在当时的真实价值，我们应该用货币账户的单位来计算。要做到这一点，我们应该清算风险资产的所有头寸。实际上，这个程序不能在实际中执行。我们只能用它来计算投资组合的价值。在文献中，它被称为投资组合的即时清算价值（另一方面，参见[1]，其中考虑了按市值计价）。备注2.1。请注意，资产单位的所有变动必须通过借款或投资货币账户获得。因此，我们在货币账户中的地位是由战略决定的，这实际上是自我融资。我们将使用符号L（Rd，Ft）来表示RDF中Ft可测量的随机向量值集，按照L（Rd）代表L（Rd，Ft）的约定。在随机变量（即d=1）的情况下，我们将简单地使用缩写L（Ft）：=L（R，Ft）和L:=L（R）。此外，设L+（Rd，Ft）表示仅由非负随机向量组成的L（Rd，Ft）子空间。为了简化符号，我们将使用与之前相同的约定，即在适当的情况下书写L+（Rd）、L+（Ft）、L+。此外，标准空间是L∞他们也受到同样的对待。为了使我们的推理更加清晰，我们引入了≤ T≤ t+k≤ 坦德H∈ L（路，英尺）-1）以下随机变量：xt-1，t+k（H）：=-（H） +·圣-1+（H）-· 圣-1+（H）+·St+k- （H）-· St+k.现在让我们定义：={xT（H）|H∈ PT}和一组可对冲索赔，其格式为：=RT- L+。通过ATwe，我们表示ATin概率的闭合。

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nandehutu2022

2022-5-6 11:04:41

以下定义至关重要。4普泽米斯法律角色定义2.2。我们说，当且仅当（NA）RT时，市场上没有套利∩ L+={0}。请注意，条件（NA）相当于AT∩L+={0}。现在我们介绍另一个集合，它简化并使证明主要定理成为可能。让usde确定任何0≤ j<t≤ T：（2.1）R+j，T:={H·（St）- Sj）|H∈ L+（Rd，Fj）}，（2.2）R-j、 t:={H·（St）- Sj）|- H∈ L+（Rd，Fj）}。此外，对于任何1≤ T≤ t+k≤ 我们不能把（2.3）英尺-1，t+k:=R+t-1，t+k+R-T-1，t+k，英尺-1，t+k:=Ft-1，t+k- L+（英尺+k）。作为集合RTA和Atwe定义的任何t=1，T以下组（2.4）Ft:=Xj<tR+j，T+Xj<tR-j、 tand Ft:=Ft- L+（英尺）。因此，我们还引入了（2.5）∧T:=TXt=1Ft- L+。备注2.3。请注意，设置为Ft-1，t+k，英尺-1，t+k，Ft，fta和∧皮重凸锥和∧t=PTt=1Ft。引理2.4。让我们看看∩ L+={0}，则在任何时间范围1的市场中都没有套利≤ T≤ T，即在∩ L+（Ft）={0}。证据请注意，如果在时间范围为t的模型中，H是一种套利策略（因此在时间t时，我们清算所有股票头寸），那么在时间范围较大的模型中，H也是一种套利策略，尤其是在时间范围为t的模型中。在时间t之前和之后的0之前，必须采用相同的策略H。我们现在介绍一致价格体系的定义，类似于[6]中的定义。定义2.5。我们说，一对（~S，~P）是市场中具有买卖价差的一致价格系统（CPS），当~P是一个概率测度，相当于PandS=（~St）Tt=0是一个d维过程，适用于过滤F，它是一个~P-鞅，以下不等式是满足的≤坐下≤ 坐下，P-a.e.对于所有i=1，d和t=0。

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2022-5-6 11:04:44

T如果过程S是一个P-上鞅（~P-下鞅），那么我们说apair（~S，~P）是一个上鞅一致价格系统（supCPS）（分别是一个子鞅一致价格系统（subCPS））。我们引入了所谓的等价买卖鞅测度的概念，它将在没有摩擦的市场中发挥与等价鞅测度类似的作用。具有买卖价差的市场套利5定义2.6。我们应该说，概率测度Q是等价的投标-询价过程的投标-询价测度（EBAMM），如果Q~ P、满足（2.6）所有Stare可积和以下不等式-1.≤ 均衡器（坐姿|英尺-1）和EQ（坐|英尺-1) ≤ 坐-1，P-a.e.对于任何t=1，T和i=1，d、对这一措施的解释是显而易见的。让我们在股票市场的背景下考虑（EBAMM）。如果我们在任何时候购买股票- 1.价格优惠-1平均而言，我们不应该期望，当时我们出售股票的价格（即atprice Sit）比之前购买股票的价格更好。另一方面，类似的情况是，如果我们卖空股票。下面的引理表示（CPS）和（EBAMM）之间的直接关系。引理2.7。假设模型中存在（CPS）。然后存在一个等价的买卖鞅测度（EBAMM）。证据让（~S，Q）成为一个一致的价格体系。那么对于任何t=1，T andi=1，我们有以下不等式：EQ（Sit | Ft-1) ≤ 均衡器（~Sit | Ft）-1）坐下-1.≤ 坐-1.坐下-1.≤坐下-1=EQ（坐下|英尺）-1) ≤ 均衡器（坐姿|英尺-1).备注2.8。EBAMM的概念可以看作是无摩擦市场中等价鞅测度（EMM）的推广。

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2022-5-6 11:04:47

事实上，当我们假设S=S时，我们的模型可以归结为一个没有交易成本的有限离散时间市场模型（EBAMM）实际上与（EMM）相同。因此，从直觉上看，这个概念表明，如果我们可以将过程（S，S）视为一个整体，那么这样一个过程的行为应该类似于一个鞅，在一个等价的概率测度下，精确到买卖价差。3.主要结果在本章开始时，我们给出了不存在套利的充分条件，即一致价格系统的存在。这个结果是标准且众所周知的，但我们将在我们的模型中使用稍微弱一点的假设来证明它。定理3.1。假设存在（supcp）（^S，Q）和（subcp）（^S，Q）。让我们定义集合（3.1）~RT:={（^H·S）T+（71h·S）T|H∈ P+T，ˇH∈ P-T} 。然后RT∩ L+={0}我们的模型中没有套利，即∩ L+={0}。引理3.2。让我们定义（3.2）~RbT:={（H·S）T+（H·S）T |H∈ P+T，ˇH∈ P-这里有界。然后是条件RT∩ L+={0}相当于RbT∩ L+={0}.6普泽米斯定律。请注意，条件-RT∩ L+={0}等价于任何一步模型的无轨道，即在我们的符号（3.3）{^η中^St+ηˇSt:^η，-ˇη ∈ L+（英尺-1)} ∩ L+（Ft）={0}对于任何t=1，T我们将使用[8]中的类似推理，见第2.1.1章。假设在任何一步模型中都没有套利。我们证明了不存在套利。拿最小的t≤ 不是这样的∩ L+（Ft）6={0}，注意1<t<t。

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2022-5-6 11:04:50

因此存在两种策略^H∈ P+t，ˇH∈ P-tsuchthat（3.4）（^H·S）t+（71h·S）t≥ 0和P（（^H·^S）t+（ˇH·S）t>0）。由于t的选择，集合Γ：={（^H·^S）t-1+（ˇH·S）t-1<0}是严格正概率（我们把η：=11Γ^Ht，ˋη：=11ΓHt）或集合Γ：={（^H·^S）t-1+（ˇH·S）t-1=0}是完全测量的（我们取^η：=11Γ^Ht，ˋη：=11ΓHt）。无论如何，我们都有矛盾。因此我们可以假设存在∈ L（路，英尺）-1）满足以下条件（3.5）Ht~St≥ 0，P-a.e.和P（Ht~St>0）>0。必须证明存在Ht∈ L（路，英尺）-1），它是有界的，满足条件（3.5）。一个人可以采取以下措施：=HtkHtkHt6=0,0 Ht=0。也可以使用[8]中的参数（第2.1.1章）。让我们定义序列Hnt:=Ht{kHtk≤n} 。然后存在足够大的n∈ N因此HNTSATIS FIES（3.5）。定理3.1的证明。根据引理3.2，必须证明RbT∩ L+={0}。LetX=（^H·^S）T+（ˇH·S）T∈~RbT∩ L+。因此（^H·^S）T+（71h·S）T≥ 0，特别是H是一个有界策略。我们证明了EQ[（^H·^S）T+（ˇH·S）T]≤ 0.假设^S是Q-上鞅，^S是Q-下鞅，我们得到EQ（^Ht）^St|Ft-1） =^HtEQ(^St|Ft-1) ≤ 0.类似地EQ（ˇHt|St|Ft-1) ≤ 0.总结（3.6）EQ[（^H·S）T+（ˇH·S）T]≤ 因此X=0，Q-a.e.根据测度X=0的等价性，P-a.e.我们展示了∩ L+={0}。随便吃点什么∈ 在∩ L+。然后满足以下不等式：0≤ ξ ≤ -TXt=1(Ht）+St-1+TXt=1(（Ht）-圣-1+（HT）+ST- （HT）-让我们注意到，对于任何策略∈ p存在策略^H∈ P+TandˇH∈ P-查克点击=^Hit+击中。

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2022-5-6 11:04:54

我们可以如下构造它们：如果命中≥ 片场0{Hit-1.≥ 0}那么^Hit:=打ˇHit:=0，如果在集合中Hit<0{Hit-1<0}那么^Hit:=0，ˇHit:=击中，如果击中≥ 片场0{Hit-1<0}那么^Hit:=命中，ˇHit:=-打-1，如果在集合中命中<0{Hit-1.≥ 0}那么^Hit:=-打-1.击中。在买卖价差为7的市场中进行套利，这意味着我们将该策略分为另外两种策略，只包括多头和空头头寸。此外，当Ht≥ 0那么^Hit，ˇ击中≥ 0另一方面，如果那么Ht<0^Hit，ˇHit<0。因此我们一直都有(击中）+=(^Hit）+(ˇHit）+以及(击中）-= (^Hit）-+ (ˇHit）-. 总之，我们得到ξ≤ -TXt=1(Ht）+St-1+TXt=1(（Ht）-圣-1+（HT）+ST- （HT）-ST==-TXt=1(^Ht）+St-1+TXt=1(^Ht）-圣-1+（^HT）+ST- （^HT）-圣+-TXt=1(ˇHt）+St-1+TXt=1(ˇHt）-圣-1+（ˇHT）+ST- （ˇHT）-ST=：（？）请注意，以下不等式是令人满意的≤^坐下≤ 坐坐≤ˇ坐下≤ Sit，P-a.e.对于任何t=0，T和i=1，d、因此我们可以写出下一个不等式，即（？）≤ -TXt=1(^Ht）+^St-1+TXt=1(^Ht）-^St-1+（^HT）+^ST- （^HT）-^ST+-TXt=1(ˇHt）+ˇSt-1+TXt=1(ˇHt）-ˇSt-1+（ˇHT）+ˇST- （ˇHT）-ˇST==-TXt=1^Ht^St-1+HT街-TXt=1ˇHtˇSt-1+HTˇST=（H·S）T+（H·S）T，然后（3.7）0≤ ξ ≤ （^H·^S）T+（71h·S）T.由于条件RT∩ L+={0}我们得到（^H·^S）T+（71h·S）T=0，P-a.e.，因此ξ=0，P-a.e。备注3.3。注意，如果市场中存在（CPS），那么定理3.1的假设也满足，我们的模型中没有套利，即∩ L+={0}。在我们阐述基本定理之前，我们先提出并证明一些技术引理，它们将在我们的理论中发挥作用。引理3.4。对于任何t=1，T持有这项权利在证据请注意，必须显示Ft 其中FTI定义如（2.4）所示。取任何∏∈ 英尺。

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mingdashike22

2022-5-6 11:04:58

根据定义，我们可以假设其形式为∏=-tXj=1θjSj-1+tXj=1|θjSj-1+tXj=1θjSt-tXj=1θjSt，其中Θ=（θj）tj=1，ΘΘ=（~θj）tj=1是可预测的非负过程。注意，可能存在另一个可预测的非负过程，即对于任何j=1，t我们有{θj>0，θj>0}=, a、 e.以下不等式满足∏≤ Ξ := -tXj=1θjSj-1+tXj=1θjSj-1+tXj=1θjSt-tXj=1θjSt，P-a.e.让我们定义策略H=（Hj）tj=1∈ 家长教师会紧随其后Hj:=(Hj）+- (Hj）-在哪里(Hj）+：=θjand(Hj）-:=θj.此外，我们把H:=手Hj:=Hj+Hj-1对于j>1。请注意，H是一个定义良好的策略。此外，txj=1(Hj）-圣-tXj=1(Hj）+St+H+tSt- H-tSt==（H+t）-tXj=1(Hj）+）St- （H）-T-tXj=1(Hj）-)以下等式满足xj=1(Hj）+-tXj=1(Hj）-=tXj=1Hj=Ht=H+t- H-t、因此我们有H+t-tPj=1(Hj）+=H-T-tPj=1(Hj）-和H+t≤tPj=1(Hj）+。让我们定义随机变量r:=（H+t-tPj=1(Hj）+）St- （H）-T-tPj=1(Hj）-)根据之前的观察，St=（H+t-tPj=1(Hj）+（St- （圣）≥ 0什么是SimpleMeans∈ L+（英尺）。因此∏+r≤ Ξ+r=-tXj=1(Hj）+Sj-1+tXj=1(Hj）-Sj-1+（Ht）+St- （Ht）-St.Ξ+r=xt（H）∈ Rtand∏≤ xt（H）- r、此外，还存在arandom变量r∈ L+（Ft）使得∏=xt（H）- R- ~r.必须定义~r:=Ξ- Π. 因此我们得到∏∈ 在备注3.5。目前尚不清楚∧T 不是。我们只知道∧TTPt=1At。备注3.6。注意，对于任何∏∈ 存在一种策略∈ p和一个随机变量r∈ L+使得∏=xT（H）- r、引理3.7。任何一个≤ T≤ t+k≤ T下列夹杂物不起作用-1，t+kFt+k 任意x的At+K∈ 英尺-1，t+k存在Ht∈ L（路，英尺）-1）和r∈L+（Ft+k）使得x=xt-1，t+k（Ht）- r、买卖差价市场中的套利。修正t，k，使1≤ T≤ t+k≤ T和任何x∈ 英尺-1，t+k。

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大多数88

2022-5-6 11:05:02

设x=∏-lwhere∏=-θSt-1+/θSt-1+θSt+k-~θSt+kandθ，~θ∈ L+（路，英尺）-1），l∈ L+（英尺+k）。请注意，可能还存在另一个随机向量∈ L+（路，英尺）-1）使得{θi>0，θi>0}=, a、 e.对于任何i=1，d、因为我们同时在这些集合上购买和卖空股票，因此我们只需支付因买卖价差而产生的交易成本，并且满足以下不平等∏≤ Ξ := -θSt-1+θSt-1+St+k-θSt+k∈ Rt+k，P-a.e.现在让我们定义随机向量Ht:=θ-~θ. 注意，Ht∈ L（路，英尺）-1）和（Hit）+=i（Hit）-=θi.此外，随机变量l:=Ξ-Π ∈ L+（Ft+k）我们得到等式x=∏- l=Ξ- L-~l.设r:=l+~l∈ L+（英尺+k）。那么wehavex=-（Ht）+St-1+（Ht）-· 圣-1+（Ht）+·St+k- （Ht）-· St+k- R∈ 英尺-1，t+k，也正如我们看到的x∈ Ft+kand引理3.4 Ft+k 在+k。下面的定理给出了在有买卖差价和货币账户的市场中不存在套利的等价条件。定理3.8（基本定理）。以下条件是等效的：（a）在∩ L+={0}（NA）；（b）英尺∩ L+（Ft）={0}对于任何t=1，T（c）英尺-1，t+k∩ L+（Ft+k）={0}对于任何1≤ T≤ t+k≤ T（d）英尺-1，t+k∩ L+（Ft+k）={0}和Ft-1，t+k=Ft-1，t+k对于任何1≤ T≤ t+k≤ T（e）英尺-1，t+k∩ L+（Ft+k）={0}对于任何1≤ T≤ t+k≤ T（f）存在一个等价的bid ask过程的bid ask鞅测度Q，比如DQDP∈ L∞（EBAMM）；（g）存在supcp（^S，Q）和subcp（'S，Q），因此dqdp∈ L∞.在定理3.8的证明中，将使用以下结果。他们的证据可以在[9]中找到。引理3.9。设Xnbe是一个随机向量序列，取几乎所有ω的Rdsuchthat值∈ Ohm 我们有lim-inf-kXn（ω）k<∞.

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2022-5-6 11:05:06

然后在Rd中有一系列随机向量Yntaking值满足以下条件：（1）Yn几乎肯定地点式收敛到Y，其中Y是Rd中的随机向量taking值，（2）Yn（ω）是几乎所有ω的Xn（ω）的收敛子序列∈ Ohm.证据参见[9]中的引理2或[7]中的引理1。备注3.10。上述主张可表述如下：存在一个整值随机变量σk的递增序列，如Xσkconvergesa。s、引理3.11（Kreps Yan）。让K -L+是一个封闭的凸锥∩L+={0}。还有一个可能性~ P与DEPDP∈ L∞使得E ~Pξ≤ 0为所有ξ∈ K.10普泽米律师事务所。参见[9]中的引理3或[8]中的定理2.1.4。定理3.8的证明。（a）=> （b）引理2.4∩ L+（Ft）={0}对于任何t=1，使用引理3.4也可以是Ft∩ L+（Ft）={0}对于任何t=1，T（b）=> （c）。不重要的（请注意，这也意味着（a）=> （c）很明显，所以我们可以跳过条件（b），实际上我们把它放在这里是为了进行更全面的分析。）（c）=> （d）为了证明这一含义，我们将使用与[9]特别是[12]中类似的技术（见定理2.33）。拿任何t，k这样的1≤ T≤ t+k≤ T首先请注意，通过引理3.7，我们得到了Ft-1，t+k∩ L+（Ft+k）={0}。我们将展示布景-1，t+kis由测度P的概率收敛生成的拓扑闭。取序列ξn∈ 英尺-1，t+k等于ξn→ 概率ζ。必须证明ζ∈ 英尺-1，t+k。序列ξ包含一个子序列收敛到ζa.s。因此，我们最多可以假设ξn→ ζ、 P-a.s.引理3.7对于存在Hnt的任何n∈ L（路，英尺）-1）安德恩∈ L+（Ft+k）使得ξn=-（Hnt）+St-1+（Hnt）-· 圣-1+（Hnt）+·St+k- （Hnt）-· St+k- 注册护士∈ 英尺-1，t+k，这是什么意思-1，t+k（Hnt）→ ζ、 P-a.s.首先考虑现场的情况Ohm:= {lim inf kHntk<∞} ∈ 英尺-1.

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2022-5-6 11:05:11

ByLemma 3.9整数值Ft存在一个递增序列-1-可测量的停止时间τn确保Hτn在a.s.上收敛Ohm对于几乎所有的ω∈ Ohm序列Hτn（ω）t（ω）是序列Hnt（ω）的收敛子序列。注意Hτnt∈ L（路，英尺）-1）和rτn∈ 分别为L+（Ft+k）。设Ht:=limn→∞Hτnt。既然Hτnt收敛，那么（Hτnt）+和（Hτnt）-它们是趋同的。此外（Hτnt）+→ （Ht）+和（Hτnt）-→ （~Ht）-. 因此rτ也是收敛的a.s.onOhm.定义r:=limn→∞rτn.然后ζ=limn→∞(-（Hnt）+St-1+（Hnt）-· 圣-1+（Hnt）+·St+k- （Hnt）-· St+k- rn=limn→∞(-（Hτnt）+·St-1+（Hτnt）-· 圣-1+（Hτnt）+·St+k- （Hτnt）-· St+k- rτn），其中上述极限等于-（~Ht）+St-1+（~Ht）-· 圣-1+（~Ht）+·St+k- （~Ht）-· St+k- ~r∈ 英尺-1，t+k.现在考虑一下片场的情况Ohm:= {lim inf kHntk=∞} ∈ 英尺-1.让我们定义Gnt:=HntkHntk，hn:=RNKHNTK，注意Gnt∈ L（路，英尺）-1）嗯∈L+（英尺+k）。我们得到了收敛-（Gnt）+St-1+（Gnt）-· 圣-1+（Gnt）+·St+k- （Gnt）-· St+k- 嗯→ 0.与片场类似Ohm根据引理3.9，积分值Ft存在一个递增序列-1-可测量的停止时间σn确保Gσn收敛。s、在Ohm对于几乎所有的ω∈ Ohm序列Gσn（ω）t（ω）是序列Gnt（ω）的收敛子序列。设<<Gt:=limn→∞Gσnt。如前所述，注意序列Gσntalso（Gσnt）+和（Gσnt）的收敛性-它们是趋同的。此外（Gσnt）+→ （Gt）+和（Gσnt）-→ （~Gt）-. 因此hσnis收敛。s、在Ohm. 定义h:=limn→∞hσn.我们得到以下等式-（~Gt）+St-1+（~Gt）-· 圣-1+（~Gt）+St+k- （~Gt）-· St+k=~h.买卖价差为11的市场中的套利-1，t+k∩ L+（Ft+k）={0}我们有h=0，P-a.e。因此我们得到（~Gt）+·（St+k）- 圣-1) - （~Gt）-· （St+k）- 圣-1） =0，P-a.e.开启Ohm.因为▽Gt（ω）6=0 a.e。

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2022-5-6 11:05:16

在…上Ohm（因为对于几乎所有ω，Gσnt（ω）是序列Gnt（ω）的收敛子序列。）∈ Ohm对于几乎所有的ω∈ Ohm我们有kGnt（ω）k=1），然后存在Ohm最多分为d个不相交的子集Ohm我∈ 英尺-1使▽Git（ω）6=0 a.s.开启Ohmi、（这样的分区可以通过选择Ohm:= {ω ∈ Ohm:~Gt（ω）6=0}然后继续执行集合上已经存在的分区Ohm\\ Ohm选择Ohm:= {ω ∈ Ohm\\ Ohm:~Gt（ω）6=0}等等。）此外，anynon-empty setOhmiwe最多可分为两个不相交的子集Ohmi、 +：={Git>0}和Ohm我-:= {Git<0}。让我们定义任何非空集合Ohmi、 +和Ohm我-以下序列（3.8）（Hnt）p:=（Hnt）+- βn（~Gt）+其中βn：=最小值：（~Git）+>0（Hnit）+（~Git）+开Ohmi、 +，（3.9）（Hnt）m:=（Hnt）-- βn（~Gt）-式中，βn:=mini:（~Git）->0（Hnit）-（~Git）-在…上Ohm我-.最后我们把Hnt:=（Hnt）p- （Hnt）m（等价于任何i=1，…，d）我们可以定义非空集上的Hnit=（Hnit）Ohmi、 +和Hnit=-（Hnit）mon是一个非空瓶Ohm我-). 首先注意，β依赖于ω∈ Ohm但它是一个定义良好的随机变量，满足不等式βn≥ 0.此外（Hnt）p≥ 0和（Hnt）m≥ 0.事实上，让我们考虑一下任何非空集上的情况Ohmi、 +。对于任何j=1，我们有（Hnjt）+-（Hnjt）+（~Gjt）+（~Gjt）+=0和0≤ βn≤（Hnjt）+（Gjt）+。因此（Hnt）p≥ 存在至少一个现在等于零的（Hnt）p坐标。注意，这个坐标依赖于ω。现场的情况Ohm我-这是类似的。事实上（Hnt）+=（Hnt）和（Hnt）-= （Hnt）m.因此我们得到了-1，t+k（Hnt）=-（Hnt）+St-1+（Hnt）-· 圣-1+（Hnt）+·St+k- （Hnt）-· St+k=-[（Hnt）+- βn（~Gt）+]·St-1+[（Hnt）-- βn（~Gt）-] · 圣-1++[（Hnt）+- βn（~Gt）+]·St+k- [（Hnt）-- βn（~Gt）-] · St+k=xt-1，t+k（Hnt）- βn(-~G+t·St-1+G-t·St-1+~G+t·St+k-~G-t·St+k）=xt-1，t+k（Hnt）。总结-1，t+k（Hnt）=xt-1，t+k（Hnt），P-a.e.onOhm至少有一个HNTI的坐标等于零。

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大多数88

2022-5-6 11:05:20

然而，请注意，这个坐标当然可能与ω有关∈ Ohm. 现在我们将我们的程序应用于序列ξn:=xt-1，t+k（Hnt）- 注册护士→ ζ、 P-a.s.onOhm. 值得注意的是，我们的操作不会影响序列Hnt的零坐标。因此，通过迭代，在一系列步骤之后，我们构建了所需的序列。（d）=> （e）琐碎的。（e）=> （f）为了证明这一含义，我们使用了[11]中的一些技术，并结合[12]中类似的归纳法构造度量（见推论2.35）。注意，对于任何随机变量η，都存在一个概率测度12 PRZEMYS定律ROLAP~ P这样的DPDP∈ L∞和η∈ L（P）。性质（d）在概率的等价变化下是不变的。考虑到这一点，as可以在不丧失普遍性的情况下假设所有St，Stare都是可积的。我们将在时间范围内使用归纳法，或者在k上使用等价的归纳法。首先，让k=0，并乘以任何t∈ {1。定义该集合ψt-1，t:=Ft-1，t∩ L（Ft），它是L（Ft）中的一个封闭凸锥。既然我们有ψt-1，t∩ L+（Ft）={0}然后通过引理3.11存在一个概率测度qt~ 继续(Ohm, Ft）如此∈ L∞（Ft）和EQtξ≤ 0表示任何ξ∈ ψt-1，t.特别是（3.10）ξit-1，t=-HitSit-1+HitSit，（3.11）~ξit-1，t=HitSit-1.- HITSITHT=（0，…，11A，…，0），P-a.e.，a∈ 英尺-1第i个位置的值为11Ais。对于案例（3.10），这意味着在时间t- 1如果活动A举行，我们将以静坐价格购买i-thasset-1并在时间t清算投资组合。对于情况（3.11），情况正好相反，即我们首先在时间t卖空第i项资产- 1，然后我们在时间t购买它。因此我们得到不等式eqt[（Sit- 坐-1） [11A]≤ 0，EQt[（坐下- 坐-1） [11A]≥ 0.然后EQt（SitA）≤ EQt（坐下）-1A）和EQt（SitA）≥ EQt（坐下）-1A）对于任何i=1，d和A∈ 英尺-1.

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大多数88

2022-5-6 11:05:24

因此（3.12）EQt（Sit | Ft-1) ≤ EQt（坐下）-1 |英尺-1）坐-1，（3.13）EQt（坐|英尺-1) ≥ EQt（坐下）-1 |英尺-1）坐-1.综上所述，在S=（Sj）tj=t的情况下，存在（EBAMM）投标-询价过程（S，S）-1和S=（Sj）tj=t-1.假设在时间范围为k的模型中，该声明为真≥ 1.我们将在时间范围为k+1的模型中证明这一点。修正任何t，k，使0≤ T≤ t+k≤ T我们证明了在具有买卖过程（S，S）的市场中存在一个等价的买卖鞅测度，其中S=（Sj）t+kj=t-1和S=（Sj）t+kj=t-1.根据归纳假设，存在（EBAMM）Qt+kin市场，且存在买卖过程（（Sj）t+kj=t，（Sj）t+kj=t）。注意，条件（d）在概率的等效变化下是不变的。因此，我们可以对概率空间应用与前一部分相同的方法(Ohm, Ft，Qt+k | Ft），其中Qt+k | Ft表示对σ-代数Ft有限制的度量Qt+k。然后存在概率度量Qt~ Qt+k | Ftsuch thatdQtdQt+k | Ft∈ L∞下面的不平等是令人满意的（St | Ft-1) ≤ 圣-1和EQt（圣|英尺-1) ≥ 圣-1.让我们定义测度空间上的概率测度Q(Ohm, Ft+k）如下（3.14）dQdP:=dQtdQt+k | FtdQt+kdP。在买卖价差为13的市场中进行套利，请注意，密度dqtdqt+k | fti是有界的，因此对于任何j∈{t+1，…，t+k}我们有eq（Sj | Fj）-1） =EP（dQtdQt+k | FtdQt+kdPSj | Fj-1） EP（dQtdQt+k | Fj-1dQt+kdP | Fj-1） =EP（dQt+kdPSj | Fj-1） EP（dQt+kdP | Fj-1） ==EQt+k（Sj | Fj）-1) ≤ Sj-1另一方面Q（Sj | Fj-1） =EP（dQtdQt+k | FtdQt+kdPSj | Fj-1） EP（dQtdQt+k | Fj-1dQt+kdP | Fj-1） =EP（dQt+kdPSj | Fj-1） EP（dQt+kdP | Fj-1） ==EQt+k（Sj | Fj）-1) ≥ Sj-1.此外，值得注意的是-1） =EQt（标准英尺）-1）和类似的等式（St | Ft-1） =EQt（标准英尺）-1).

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mingdashike22

2022-5-6 11:05:27

通过归纳，我们得出结论，对于买卖过程存在一个等价的买卖鞅测度（（St）Tt=0，（St）Tt=0）。（f）=> （g）如前所述，我们在时间范围内使用归纳法，或在k上等效使用归纳法。首先，让k=0，并fix任意t∈ {1。让我们来定义过程^S=（^Sj）tj=t-1和ˇS=（ˇSj）tj=t-1如下（3.15）^St:=St，^St-1:=max{St-1，等式（^St | Ft）-1） }，（3.16）ˇSt:=St，ˇSt-1:=min{St-1，等式（ˇSt | Ft-1)}.注意，（^S，Q）是（supCPS）而（'S，Q）是（subCPS）。现在假设在一个时间范围为k的模型中，这个断言是正确的≥ 1.我们将在时间范围为k+1的模型中证明这一点。修正任何t，k，使0≤ T≤ t+k≤ T我们证明了在买卖过程（S，S）中存在（supcp）（^S，Q）和（subcp）（71s，Q），其中S=（Sj）t+kj=t-1和S=（Sj）t+kj=t-1.根据归纳假设，在有买卖过程的市场中存在（supCPS）（（Sj）t+kj=t，Qt+k）和（subCPS）（（Sj）t+kj=t，Qt+k）（Sj）t+kj=t，（Sj）t+kj=t）。注意，条件（e）在概率的等价变化下是不变的。因此，我们可以对概率空间应用与前一部分相同的方法(Ohm, Ft，Qt+k | Ft），其中Qt+k | Ft表示对σ-代数Ft有限制的度量Qt+k。然后存在概率度量Qt~ Qt+k | Ftsuch thatdQtdQt+k | Ft∈ L∞过程（^Sj）tj=t-1，（ˇSj）tj=t-1定义如（3.15），（3.16）为（SUPCP），（SubCP）。让我们定义停止时间τ：=min{j≥ T- 1 |ˇSj=ˇSt}。然后使用最优停止理论，对过程τ：=（ˋSj∧τ） tj=t-1是一个Qt鞅。现在我们定义了测度空间上的概率测度Q(Ohm, Ft+k）如下（3.17）dQdP:=dQtdQt+k | FtdQt+kdP。此外，设^S=（^Sj）t+kj=t-1对于任何j>t和^Sj=^Sj的形式（3.18）的过程∧j=t的τ- 1、t.14普泽米斯的法律法规-1=ˇSt-1.∧τ=ˇSt-1和^St=^St∧τ=ˇSτ。

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2022-5-6 11:05:30

因此出现了不平等现象≤^Sj≤ 对于j=t，我们也感到满意-此外，过程^S=（^Sj）t+kj=t-1是一个Q-超级艺术家。以类似的方式，我们可以构造一个Q-子鞅。（g）=> （a）它来自定理3.1。备注3.12。定理3.8中的条件也等价于另一个条件，即对于任何1≤ T≤ t+k≤ T存在等价的买卖鞅测度Qt+kt-1对于招标过程{（St）-1号街-1），（St+k，St+k）}这样dqt+kt-1dP∈L∞.备注3.13。让我们定义任何t，k，使1≤ T≤ t+k≤ 下面的场景是什么-1，t+k:=Rt-1，t+k- L+（Ft+k），其中Rt-1，t+k:={xt-1，t+k（Ht）| Ht∈L（路，英尺）-1)}. 然后在假设-1，t+k∩ L+（Ft+k）={0}集合-1，t+kis在概率上是闭合的。有必要使用类似的推理，如隐含式（c）中的推理=> （d）定理3.8。推论3.14。如果时间范围T=1，那么我们有以下等价性（NA）<=> （EBAMM）<=> （CPS）。备注3.15。条件（g）特别指出存在supCPS（^S，Q）。让我们定义过程的斯奈尔包络，即（3.19）~ST:=ST，~ST-1:=max{^St-1，等式（~St | Ft）-1） }对于任何t=1，T注意，根据最优停止定理，随机变量τ：=min{t≥ 0 |St=^St}是一个最佳停止时间，过程|Sτ：=（^St）∧τ） Tt=0是一个Q-鞅。另一方面，我们不能说一对（~Sτ，Q）是一个一致的价格体系，因为我们不知道≤~St∧τ≤ 不是。我们只知道圣∧τ≤~St∧τ≤ 圣∧τ.在[5]中可以找到以下结果（见引理6.3）。引理3.16（Guasoni，L\'epinette，R\'asonyi）。让（Xt）t∈[0，T]和（Yt）T∈[0，T]是两个c\'adl\'ag有界过程。下列条件是等价的：（i）存在一个c`adl`ag有界鞅（Mt）t∈[0，T]这样X≤ M≤ Y a.s.（ii）对于所有停止时间σ，τ，0≤ σ ≤ τ ≤ 我们有[Xτ| Fσ]≤ Yσ和E[Yτ| Fσ]≥ Xσa.s.备注3.17。

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mingdashike22

2022-5-6 11:05:34

然而，我们不能用这个结果来强化理论。8.在我们的模型中，（EBAMM）和（CPS）的存在之间的等价性问题没有得到解决。目前尚不清楚推论3.14是否可以推广到任何时间范围T的情况。这个问题也可以归结为以下问题。假设在模型中，在相同的概率测度下存在（supcp）（^S，Q）和（subcp）（71s，Q）。这种模式中是否有一致的价格体系？备注3.18。如果我们假设存在过程S=（St）Tt=0，使得Sit=（1+λi）Sit和Sit=（1）- ui）如果0<λi，ui<1，那么我们的模型将下降到具有比例交易成本的模型。实际上，价值过程的形式是xt（H）=（H·S）t-tXj=1λ(Hj）+Sj-1.-tXj=1u(Hj）-Sj-1.- λ（Ht）-圣- u（Ht）+St.在买卖价差为154的市场中进行套利。Cox-Ross-Rubinstein模型与买卖价差[2]中介绍的Cox、Ross和Rubinstein模型在无摩擦市场的情况下非常流行，使用该模型我们可以估计著名的Black-Scholes公式。让我们在一开始引入买卖价差的市场中考虑这个模型。将投标和ASK过程的动态定义如下（4.1）St=（1+ζt）St-1和St=（1+ζt）St-其中（ζt）Tt=1，（ζt）Tt=1是独立且同分布的随机变量序列。我们假设P（ζt=u）>0，P（ζt=d）=1- P（ζt=u）>0，在第二种情况下P（ζt=u）>0，P（ζt=d）=1- P（ζt=u）>0。为了使我们的分析更加清晰，让p:=p（ζt=u）=p（ζt=u），在不损失一般性的情况下，我们把d<u，d<u。因为出价和要价过程S，S是严格正的，我们得到了不等式-1<d和-1<d.为了简化符号，我们只考虑一步模型。我们的目的是估算一个等价的投标askmartingale测度。

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