随机时间博弈中的对称均衡

2022-5-8 14:04:24

随机时间博弈中的对称均衡jan-Henrik-Steg*摘要针对具有ar位策略激励的对称随机定时博弈，我们构造了具有混合策略的子博弈完美均衡。这些策略在质量上不同于本地的先发优势或后发优势，我们依次分析这些优势。当存在局部后动优势时，玩家可能会进行一场消耗战，其停止率是我们根据最佳停止理论中的斯奈尔包络所描述的。这是一个非常普遍的结果，但它提供了一个明确的解释。当存在一定的先发优势时，停止通常是由抢占造成的，而且是突然的。平衡可能在预防的程度上有所不同，确切地说是在触发与否的时候。我们开发了一个算法来描述抢占何时不可避免，并构造相应的支付-最大s对称均衡。关键词：随机时间博弈，混合策略，子博弈完美均衡，最优停止，斯奈尔包络。JEL主题分类：C61，C73，D21，L121简介本文的目的是构造和理解对称随机时间博弈的子博弈完美均衡，它在战略实物期权模型中有重要的应用。众所周知，在许多连续时间的计时博弈中，纯策略不存在均衡。然而，如果它们确实存在，它们通常涉及不对称的支付，这只取决于玩家各自的角色，这必须在游戏开始前确定。还有一个尚未解决的战略冲突。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 14:04:27

在这里，我们努力获得另一个普遍存在的结果，可能是对称的结果，所以我们考虑混合策略。特别是，没有对本地激励做出任何假设，因为本地激励可能会在先发优势和后发优势之间随机移动。众所周知，将注意力限制在具有后动优势的游戏上有助于平衡的存在。我们也从分析这个案例开始，展示了一般的回报*德国比勒费尔德大学数学经济学系。电子邮件：jsteg@uni-比勒菲尔德。本版本：2018年5月20日。感谢德国研究基金会（DFG）通过CRC 1283提供的财政支持。纯策略均衡中的不对称。我们在这种情况下的主要贡献是在一个可能的一般模型中构造了具有对称支付的混合策略均衡，并没有对基础不确定性做出具体的假设。然而，利用最优停止理论中的斯内伦斜率概念，平衡策略有一个清晰的表征和解释。具体来说，我们可以描述停止率，当玩家放弃可盈利的本地支付时，停止率会使玩家不同于留在游戏中。由于可能存在的不确定性，交易结果可能完全符合预期。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 14:04:30

由于我们没有假设潜在支付过程的光滑性或单调性，我们也推广了纯确定性模型的现有结果。凭借先发优势，往往存在先发制人激励，导致均衡存在问题，即使是在混合策略和非常简单且行为良好的确定性模型中。策略空间和结果分布需要在连续时间内适当地扩展到模型抢占，这需要一些协调装置（不要与熟悉的相关策略混淆）。我们将在Riedel和Steg（2017）中提出的Fudenberg和Tirole（1985）的概念推广到随机模型中，这让我们想起了离散时间内的对称混合平衡。这种连续均衡可以与之前的连续混合均衡相结合，以获得局部后动优势，从而建立具有对称支付过程的子博弈完美均衡的一般存在性和特征，而不受潜在支付过程顺序的任何限制。这些结果有助于分析更丰富的模型，例如战略实物期权。到目前为止，人们关注的焦点要么是消耗，要么是掠夺，但在一场比赛的不同阶段，与战略相关的竞争优势和后进优势之间的反馈效应还没有得到太多研究。根据未来持续均衡的可行性，不必仅仅因为存在当前先发优势就发生先占。正如这个词所说，先发制人消除了未来的继续支付；因此，优先购买发生的频率越低，潜在的均衡收益就越高。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 14:04:34

为了确定在什么时候抢占确实是不可避免的，我们提供了一种算法，该算法在同时停止的附加假设下工作，如Fudenberg和Tirole（1985）以及Hendricks和Wilson（1992）。具体地说，由于没有相应的“下一阶段”来应对如果没有人在当前阶段停止的威胁，玩家必须能够防止每个人都等待一段积极的时间，不管对手的策略（或偏差）如何，但不意味着所有人都以概率1同时停止。参见Steg和Thijssen（2015）的模型，其中每个企业的均衡期权行使都可能发生，同时存在先动优势或后动优势（每个都有正概率），以及对战略交易效应的明确分析。许多具有先占权效应的实物期权模型也有具有后动优势的阶段，但有人认为等待是最优的（见Riedel and Steg（2017）和Steg（2018）在这种情况下的一般条件）。Kwon等人（2016年）观察到先占或损耗取决于他们最初选择的参数。Décamps和Mariotti（2004）讨论了在消耗战中引入先发制人激励，这从本质上为他们的平衡微分方程带来了一个新的边界条件。通常是最不理想的结果。然后我们发现，在每个子博弈中，在任何具有对称性的均衡中，均衡支付永远不会超过最优停止局部领导者和追随者支付的最小值的期望值。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 14:04:37

这意味着，无论参与者如何组合，甚至可能是在任意公共关联和独立剩余时间有限的情况下，如果领导者和追随者不能同时获得高价值的潜在支付过程，他们永远无法从中受益。然后我们知道，当领导者的支付超过均衡支付界限时，博弈必须以先发制人的方式结束。在无法避免抢占的情况下，重复此过程会累积时间。在这种情况下，我们能够用最少的可持续优先购买权和最高的可能收益构建一个均衡。1.1主要理论本论文发展了三个主要定理5.3、7.3和8.2，它们相互建立。定理5.3用混合策略构造了子博弈完美均衡，例如，具有系统（弱）后动优势的博弈。玩家必须协调一个合适的支付过程，该过程由领导者支付，直到某个可行的时间，要么允许同时停止平衡，要么足够晚，这样两个玩家届时都将确定停止。均衡通过最佳方式停止这个固定过程来实现。只要有预期的收益，就没有玩家停止。然而，当达到一个严格最优的停止点时，也就是说，如果任何进一步的延迟都意味着损失，那么就需要根据某种概率进行补偿，以获得更高的跟随者报酬。我们描述了相应的对手必须使用的准确停止率，以使每个球员在这些点上保持独立。由于其普遍性，这一结果在技术上不如其解释那么清楚。例如，对于典型的布朗模型，人们不能应用局部参数，因为根本不存在单调性。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

何人来此

2022-5-8 14:04:41

因此，也不可能区分发生混合的适当时间间隔——想象一个布朗运动围绕着确实发生混合的区域边界发生。然而，使用鞅参数，我们从最优停止理论中获得了涉及斯奈尔包络概念的策略的清晰表示，这使我们能够有意义地谈论（局部）预期损失。这些策略通常是连续的u p到一些终端跳跃。另一个重要的问题是时间的一致性。如果我们为所有子游戏定义混合策略，即停止时间作为开始日期，我们必须确保它们在整个游戏中暗示一致的条件停止概率，这通常不是微不足道的。定理7.3随后引入了进一步的策略扩展，为具有先发优势的政权提供对称的先占均衡。该定理证明，当让制度具有后动优势时，它们形成可行的连续均衡。总的来说，我们得到了博弈的支付对称均衡，而不受局部激励的任何限制。游戏中可能会有任意的、随机的第一步或第二步优势的交替。定理8.2确定了最优对称平衡。尽管之前的研究涉及极端先占——只要存在严格的先发优势——但我们现在用最少的可持续先占来确定均衡，从而获得最高的可行收益。为此，我们关注收益——对称均衡，每个子博弈中都有对称的收益，因为这一性质对均衡策略具有重要影响。大致上，只有当p层在becomingleader和follower之间存在差异时，条件浇头概率才会有所不同。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 14:04:44

在同时停止并不严格优于引导或跟随的附加假设下，参与者最多可以在任何均衡中协调最优停止引导和跟随支付过程的最小值。无论何时，只要领导者的薪酬超过该值，就必须发生优先购买权。知道这一点会限制前一个问题中的相关停止时间，从而进一步降低可达到的值。以算法的形式迭代该过程可以识别不可避免的抢占点。定理8.2证明，我们甚至最终得到了一个定义良好的子博弈完美均衡，而不仅仅是一个极限值。它基于之前的均衡，但尽可能抑制抢占，并验证将所提出的算法应用于所有子博弈时，确实会产生可测量、时间一致的策略。1.2相关文献战略时机问题出现在大量的背景中，尤其是在经济学中，但也出现在生物学中，因此相关文献非常丰富。一方面，关于连续时间中的确定性定时问题有一个分支，涉及广泛的应用，其中通常区分抢占模型和消耗战。相应地，Hendricks和Wilson（1992年）以及Hendricks等人（1988年）分别研究了具有系统第一和第二移动优势的程式化模型。Ghemawat和Nalebu Off（1985）认为退出一个衰落的行业，这场消耗战开始了。Fudenberg和Tir ole（1985）在一项开创性的贡献中强调了s对称抢占博弈中的子博弈完美性。Hoppe和Lehmann Grube（2005）模拟了一个类似的技术采用游戏，允许领导者的支付功能达到多峰值，但限制追随者的支付为非递增。在没有不确定性的情况下，由于完美的预见性，这些游戏以线性方式进行。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 14:04:47

当激励因素可能更自由地变化时，会出现更多的复杂情况。Laraki等人（2005年）考虑一般决定论Fudenberg和Tirole（1986年）分析了信息不完整的市场退出问题。Bulow和Klemperer（1999）考虑了两个以上公司的类似问题。在第4节中，我们讨论了F不增加期望值的一些含义，即成为一个超级鞅。Dutta等人（1995年）从产品差异离子模型中再次获得了与Fudenberg和Tirole（1985年）类似的结构（包括单峰特性）。N人游戏，其支付只是时间的连续函数（对于给定的第一个移动者的身份）。他们证明了ε平衡总是存在的，但不一定存在精确平衡。另一方面，关于连续时间内不确定性的计时博弈的文献也有很多。例如，Dutta和Rustichini（1993）提出了对称马尔科夫环境。然而，由于局限于纯粹的策略，他们的马尔可夫均衡收益通常是不对称的，需要假设先占权问题。具有不确定性的许多重要应用是战略实物期权。例如，早期的贡献是Smets（1991年）。优先投资的一个典型对称模型是Mason and Weeds（2010）。格林纳迪亚（1996年）考虑了具有建设延迟和杂草的战略性房地产开发（2002年）ir可逆研发投资。一场消耗战源于Murto（2004）的双寡头退出模型，以及Décamps和Mariotti（2004）中学习外部性的投资。最后，当我们强调不确定性时，需要提及有关Dynkin游戏及其大型传统的文献。由于这是两人零和时间博弈，经典问题是在不同条件下平衡点或值的存在性。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 14:04:51

这里我们只提到Touzi和Vieille（2002）最近的工作，因为他们的支付过程非常普遍，更重要的是，他们也使用混合策略。他们证明了更多的Dynkin游戏都有价值。他们的混合策略概念不同，不考虑子博弈，但时间零点的预期收益可能与我们的策略相关。最近，也进行了一些更抽象的工作，考虑了非零和支付的随机定时博弈。例如，Hamadène和Zhang（2010）证明了具有后动优势的两人博弈存在纳什均衡。1.3大纲本论文的结构如下。在第2节中，我们定义了我们的时间博弈，只做了极小的规律性假设，并总结了Riedel和Steg（2017）提出的混合策略中的su bgame完美均衡的概念。虽然我们通常使用混合策略，但平衡验证与通过线性解决最优停止问题有关。我们在第3节中对这种联系建立了一个方便的表述，并根据最优的一般理论提出了所需的事实。Pawlina和Kort（2006）考虑了一个具有不对称投资成本的类似模型，Thijssen（2010）考虑了一个具有明确特定不确定性的模型。Lambrecht和Perraudin（2003）建立了不完全信息下的抢占模型。后者以泊松不确定性为特征，与其他模型中的布朗不确定性形成对比，后者允许基于单调演化的信念和由此产生的微分方程进行分析。另请参见Hamadène和Hassani（2014），了解使用类似方法对N名球员的扩展。拉拉基和索兰（2013）对两人博弈中的激励做出了较少的假设。因此，即使考虑混合策略，它们也只能证明ε-平衡的存在。停止。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 14:04:54

一方面，战略将以斯奈尔信封的形式呈现，这是我们所激励的。另一方面，在我们的游戏中，我们必须非常小心最优停止时间的存在，这在很大程度上取决于相关过程的路径属性，所以我们将讨论一些重要的细节。通过在第4节中首次应用该理论，我们在纯策略中建立了均衡，并认为它们通常会产生协调问题。第5节通过在混合策略中构建子博弈完美均衡来解决这些问题，这是具有系统后动优势的博弈的第一步。虽然我们对均衡策略的表述可以很好地解释，但我们在第6节中为一个市场退出的例子推导出了一个完全明确的均衡。在第7节中，我们使用上述策略扩展来处理其t-mover优势，这使我们能够构造和描述任意对称计时博弈的子博弈性能均衡。最后，我们在第8节中确定了具有最大收益和最小可能优先购买权的均衡。第9节结束。附录包含一些技术结果和所有证据。2时机博弈我们使用子博弈完美均衡的框架，以及在Riedel和Steg（2017）中开发的混合策略，其中对本节中总结的概念进行了更详细的解释。在这里，我们只考虑对称博弈，它允许将一些简化合并到以下内容中。计时游戏由两个玩家i=1，2组成，每个玩家在连续时间t内决定何时停止∈ [0, ∞] （在t处停止=∞ 解释为“永不停止”）。关于世界状态的潜在不确定性由固定概率空间建模(Ohm, F，P），一个关于真实状态的部分信息，可以通过过滤（Ft）t随时间向外演化≥0

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-5-8 14:04:57

当然，玩家的停止决定可能会使用这些信息，因此玩家何时停止可能取决于状态（有关策略的正式定义，请参见第2.1节）。和往常一样，在计时游戏中，我们关注的是还没有玩家突破的情况（分别是历史）。因此，一旦有玩家停止，游戏就结束了。一个最先停止的球员被称为领导者；在这种情况下，另一个玩家成为跟随者。它们各自的收益由两个给定的随机过程L=（Lt）t确定≥0andF=（英尺）t≥0.这两个过程都包含了追随者在更原始的模型中可能具有的（最优的、偶然的）停止决策的可能影响，假设支持者已经停止，如例2.3所示。如果游戏结束时两个玩家同时停止，那么他们的支付由第三个给定过程M=（Mt）t决定≥0，分别为随机变量M∞如果没有球员在最后时间停下来。所有的支付都是用同一个数字来衡量的，比如说，贴现到时间零点，参与者是风险中性的。均衡显然是基于解决涉及三个潜在支付过程的最优停止问题。我们需要做出一些弱正则性假设，以便在以下方面有明确的问题。假设2.1。（一）(Ohm, F，P）是一个固定概率空间，带有过滤（Ft）t≥0满足通常条件（即正确的连续性和完整性）。（ii）过程L、F和M经过调整，是右连续的（a.s.），属于（D）类，andE[|M∞|] < ∞.（iii）min（L，F）从左上半连续，实际上在[0，∞] 如果我们把我∞:= F∞:= M∞.备注2.2。（i）支付过程L、F和M不必是随机的；确定论只是一个特例。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 14:05:01

即使如此，概率空间和过滤也可能是不平凡的，并且可能存在公共随机化设备。公共信息Ft应知道任何时候的当前支付。动态信息（Ft）识别的状态相关日期为停止时间τ：Ohm → [0, ∞], i、例如，将{τ≤ t}∈ 每一次FTT∈ R+。它们对战略和结果至关重要。让T表示所有停止时间的集合。（ii）这取决于模型，如果两个参与者“永不停止”，是否存在自然回报，这可能是M或L的某个限制。在后一种情况下，我们只需设置M∞≡ L∞和我一起工作∞对于统一的支付符号。为方便起见，我们还正式定义∞:= M∞.（iii）两个重要的一般技术问题是可测量性，尤其是与策略有关的可测量性和可集成性。我们需要确保期望值总是被很好地定义，并且逐点收敛的随机变量也会在期望值中收敛。类（D）是我们能处理的最弱的可积性条件。对于许多应用（例如涉及布朗运动）来说，有界性太强了。或者，我们可以将支付过程解释为以折扣“UTIL”衡量。可测量过程（Xt）t≥如果族{Xτ|τ∈ T，τ<∞ a、 s}是一致可积的。然后，在停止时间τ<∞也意味着在L（P）中收敛。这是一个温和的规律性条件，例如，e[supt|Xt|]∞或supτE[|Xτ| p]<∞ 对于一些p>1的人来说。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 14:05:04

我们可以等效地定义任何X∞∈ L（P）并考虑前一组中的所有（也不确定）停止时间τ；例如，参见Riedel and Steg（2017）中的引理B.1。（iv）为了得到任何关于平衡的普遍存在性结果，Payo-ff过程的一些路径规律是必要的，即使在确定性的单因素情况下也可以清楚地看到这一点。然而，只有在预期的情况下，我们才有可能从左到上半连续。这也是最优停止问题的一个已知必要条件。当存在（本地）次动优势时，我们将其用于混合策略中的均衡。当然，只有在L不超过F的情况下才需要。实际上，人们可以将注意力限制在区间[τ，inf{t]上≥ τ| Lt>Ft}]，其中τ是停止时间；面积{L>F} Ohm ×R+仅在过渡时相关。例如，如果L和F的路径从左侧开始是a.s.（上半）连续的，则该假设成立。例2.3。让我们考虑一个市场退出问题，作为一个具有后动优势的随机计时博弈的简单例子，即F≥ 五十、就像经典的消耗战。假设两个企业在同一个市场上运营，根据不确定的外部条件，双寡头的回报率在长期内是不可持续的。通常情况下，公司希望对手离开市场，以获得单极优势πM≥ πD，等待可能的随机事件可能代价太高。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 14:05:07

每个MTHU决定等待不再有希望的时间，以及如果另一个MTHU仍然存在，在什么时候离开市场。然后通过t=Mt:=ZtπDsds，Ft:=Lt+ess supτF给出支付过程∈T：τF≥tEZτFtπMsds英尺（2.1）每t∈ [0, ∞], 考虑到垄断者也可能在停止时间τF退出∈ T（参见备注2.2（i））时，即使是在opoly上的m回报也不可预测，因此立即退出是主要的，而后动优势并不严格。然而，我们不会对单个剩余公司的战略进行明确建模，而是将相应的最佳决策纳入支付流程；子博弈的完美性要求对后者进行最佳选择。假设2.1通过本例得到满足，前提是π和πMare进行了调整，且Pdt是可积的，因为所有过程都有一个可积随机变量的界。公约F∞=M∞= L∞这是自然的。根据我们在第3.1节中的讨论，存在一个右连续过程F，即使用一般停止时间τ代替t，关系式（2.1）仍然成立，这是从左边开始的连续时间eUpper半连续的最重要结果之一，期望值为E[Lτ∧ Fτ]≥ lim supnE[Lτn∧ Fτn]对于任何停止时间序列（τn）n∈n等于a.s.增加到停止时间τ。然后是lim supst（Ls∧ （财政司司长）≤ （lim supstLs）∧ （lim supstFs）≤ 书信电报∧ 全速飞行∈ [0, ∞] a、我们注意到L和F属于（D）类。有关抢占类型的相关示例，请参见Steg（2018）。停止理论。此外，Fτ确实与最优跟随者停止决策τF一致*∈ T，τF*≥ τ ; 另请参见第6.2.1节“混合策略和均衡”中对更具体情况的讨论。我们在Riedel和Steg（2017）中开发的随机计时博弈中使用了以下亚博弈完美均衡的概念。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

可人4

2022-5-8 14:05:10

和往常一样，计时游戏的基本目标是为每个玩家制定移动计划，分别是。停止，只要没有其他玩家在此之前停止，就会跟随停止。因此，首先停止的玩家是那些计划时间最短的玩家，然后根据给定流程的规定产生报酬，这取决于哪些玩家的计划最短。可行的状态或有计划是一个停止时间τ，其集合由T表示（见备注2.2（i））。这些时间可通过动态信息（Ft）识别，因此也构成了修改计划时可行的连续时间决策节点。为了描述路径的行为，每一个停止时间都被认为是子游戏的开始，意味着没有玩家已经停止。在这个角色中，它们通常用θ表示∈ T在任何su B游戏中，玩家都可以通过指定分配函数Gθion[θ，∞] 这可能仍然会影响到州政府（英尺）。“纯”计划τ≥ θ则对应于Gθi（t）=1{t≥τ}. 不同子游戏的计划必须是时间一致的；特别是，不同起始日期的随机计划必须尽可能诱导相同的条件超越概率。对于具有先发优势的子游戏，需要添加传统策略扩展，以便在连续时间内适当地进行tomodel抢占。正如在Fudenberg和Tirole（1985）中，玩家还可以在每个点t上放置一个“原子”αθi（t）——一种条件停止概率∈ [0, ∞], 其目的是从离散时间中获取有限的结果。这些扩展包含在以下形式定义中，尽管我们在讨论具有后发优势的游戏时会忽略它们，只在以后的一般游戏中使用它们。定义2.4。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 14:05:13

玩家i的扩展混合策略∈ 在从θ开始的子游戏中{1,2}∈ T是一对过程（Gθi，αθi），既取[0,1]中的值，又满足以下条件。如果领导者的报酬也取决于追随者最终选择的停止时间，则这个问题对L来说更为微妙，就像在进入模型中一样；见Steg（2018）。跟随者决策的最佳性意味着（预期）结果支付过程的正确连续性，但对领导者而言并非如此，因为跟随者的决策通常与领导者的支付流无关（最佳停止）。然而，这种问题通常不会出现在扩散模型中。参见Laraki等人（2005年）或Fudenberg和Tirole（1985年），他们称这些计划为“简单策略”只考虑确定性时间t∈ R+及其子游戏开始时的信息结构通常是不完整的，因为停止时间θ∈ T及其信息结构Fθ={A∈F|T∈ R+：A∩ {θ ≤ t}∈ Ft可以（动态地）被（Ft）识别，但在不连续的时间内形成一个更丰富的系统。参见Hendricks和Wilson（1992）关于确定性抢占博弈的均衡存在问题。关于确定性情况下的实际极限分析，请参见Steg（2017）。财产。（i） Gθiis改编。它是a.s.不减损的，右连续的，满足Gθi（t）=0的所有t<。（ii）αθi逐渐可测量。它在所有t中都是a.s.连续的∈ 其中αθi（t）<1，且满足αθi（t）=0的所有t<。（iii）αθi（t）>0=> Gθi（t）=1代表所有t≥ 0，a.s.对于每个扩展的混合策略，也定义Gθi（0-) ≡ 0，Gθi(∞) ≡ 1和αθi(∞) ≡ 1.如果αθi（t）=0表示所有t，我们称之为“标准”混合策略∈ R+，即αθi≡ α∞i、以下限制此类策略相当于仅定义具有给定属性且完全没有扩展的混合策略。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 14:05:17

如果进一步Gθi（t）=1{t≥τ} 一段时间τ∈ T，则相应的策略称为“纯”对于一对纯策略，对应于停止时间τi，τj≥ θ，玩家i在θ的预期报酬将是{τi<τj}Lτi+1{τi>τj}Fτj+1{τi=τj}MτiFθi.这是线性扩展到混合策略。定义2.5。给定两个扩展的混合策略（Gθi，αθi），（Gθj，αθj），i，j∈ {1,2}，i6=j，从θ开始的子游戏中玩家i的支付∈ T isVθiGθi，αθi，Gθj，αθj:= EZ[0，^τθ）1.- θj（s）LsdGθi（s）+Z[0，^τθ）1.- θi（s）FsdGθj（s）+Xs∈[0,^τθ)θi（s）Gθj（s）Ms+λθL，iL^τθ+λθL，jF^τθ+λθMM^τθFθ,式中^τθ：=inf{t≥ θ|αθ（t）+αθ（t）>0}和λθL，i，λθL，jandλθMare是最终结果概率（球员i或j分别成为领先者或同时停止）由αθi、αθjat^τθ诱导，并在附录C中定义。扩展的结果概率和u p到（1- Gθi（^τθ）-))(1 - Gθj（^τθ）-)),使用前无人停车的概率。附录C中的定义简化了Riedel和Steg（2017）中的定义，因为其规律性稍强。如果两者都正常，则受限映射αθi：Ohm ×[0，T]→ R必须是FT B（[0，T]）-可测量任何T∈ R+。这是一个比适应性更强的条件，但比可选性弱，我们自动放弃了右连续性。渐进可测性意味着αθi（τ）对于任何τ都是Fτ-可测的∈ T由于我们这里只对对称博弈感兴趣，我们可能会要求αi（·）是右连续的，因为它的值为零，这简化了结果的定义。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 14:05:19

参见Riedel和Steg（2017），了解不对称博弈和相应较弱规则性限制的问题。玩家使用标准的混合策略，尤其是当他们为t=∞ , 那么^τθ=∞, λθL，i=λθL，j=0，相关的支付部分为（1- θi(∞-))(1 - Gθj(∞-))M∞.路径积分包括右连续积分器在零处的可能跳跃，因为玩家i确实可以从Gθi（Gθj）的初始跳跃变成领导者（跟随者）。假设2。1.确保薪酬在预期范围内得到明确界定；参见引理A.1。对于整个游戏的一致动态视图，不同子游戏策略在任何固定时间的条件停止概率必须尽可能相同。定义2.6。一种时间一致的扩展混合策略∈ 在计时游戏中，{1,2}是一个家庭（（Gθi，αθi）；θ ∈ T）所有子对策的扩展混合策略，例如对于所有θ，θ′，τ∈ T与θ≤ θ′≤ τ它认为（a.s.）Gθi（t）=Gθi（θ′）-) +1.- Gθi（θ′）-)Gθi（t）代表所有t≥ θ′和αθi（τ）=αθ′i（τ）。时间一致性意味着，对于任何两个子游戏。从θ，θ′开始∈ T indeedGθi≡ Gθi（a.s.）在事件{θ=θ′}上，正如预期的那样。定义2.7。子博弈完美均衡是一对时间一致的扩展混合策略（Gθ，αθ）；θ ∈ （Gθ，αθ）；θ ∈ T）使所有人θ∈ T，i，j∈ {1,2}，i6=j，以及子对策在θ的扩展混合策略（Gθa，αθa），它认为vθiGθi，αθi，Gθj，αθj≥ VθiGθa，αθa，Gθj，αθja、也就是说，每一对（Gθ，αθ），（Gθ，αθ）都是子博弈中的平衡点∈ T.3定义2.5中的最佳回报和最佳停止在策略上是线性的。在这一节中，我们推导出了更明确的线性表示，这将非常有助于严格的平衡验证和必要性论证。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 14:05:23

为了构造或验证任何最佳回复，通常需要针对此类对象最大化过度（扩展）混合策略。在这里，我们做出了相关的声明，比如“支持混合策略的任何停止时间都需要是最优的”。我们进一步介绍了最优停止理论中的核心概念，尤其是斯内尔-恩韦洛普，它将在均衡m中混合策略的以下表示和解释中发挥关键作用。以下论点涉及分布Gθi，因此，我们专注于“标准”混合策略，忽略符号简单性的扩展αθiF，直到第7节（这并没有削弱我们的平衡概念，如引理3.1所示）。对于从977;开始的ubgame中玩家i的支付的替代表示∈ T，我们引入过程Sθigiven bySθi（T）：=Z[0，T）FsdGθj（S）+Gθj（t）Mt+1.- Gθj（t）Lt（3.1）适用于所有t∈ [0, ∞), 其中，Gθjis来自于给定的对手混合策略。引理A.2表明Sθ表现良好：与L、F和M一样，它是可选的（因此特别适用），属于类（D），但不一定是右连续的。考虑到我∞∈ L（P），我们可以将Sθiin（3.1）的定义扩展到t=∞, 也意味着Sθi(∞) ∈ L（P）。Sθimay现在可以被dGθithanks整合到引理A.1中，这样一来，玩家i的预期收益为θ∈ 一对标准混合策略的T可以写成VθiGθi，Gθj= EZ[0，∞]Sθi（t）dGθi（t）Fθ. （3.2）（3.2）中的线性表明，当且仅当存在纯回复时，存在最佳回复。引理3.1。对任何人来说θ∈ T和标准混合策略Gθi，Gθjinθi，Vθi的子博弈Gθi，Gθj≤ ess supτ∈T：τ≥θESθi（τ）Fθa、 s.，（3.3）具有等式if且仅当a.e.x∈ [0，1），右侧由停止时间τG，θi（x）：=inf{t获得≥ θGθi（t）>x}。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 14:05:27

此外，如果Gθi被任何可行（非平凡）的αθi证明所扩展，则不等式仍然成立：见附录B.1。引理3.1意味着我们可以在定义2.7的意义上谈论纯混合策略或标准混合策略中的均衡，即允许偏离任意扩展的混合策略，但只考虑其他目的或标准混合策略。具体而言，引理3.1表明Gθi将是对Gθjif的最佳回复，且仅当对于任何停止时间τ*dGθi（τ）*) > 它保存着一个星期Sθi（τ）*)Fθ≥ ESθi（τ）Fθ总之τ∈ 带τ的T≥ θ这意味着Sθ是可测量的w.r.t.产品空间上的可选σ字段Ohm 由所有正确的连续适应过程或等效的随机区间[0，τ），τ生成∈ TFubini定理的一个应用，由于引理A.1给出了可积性，特别是在z[0，∞)1.- θi（s）FsdGθj（s）=Z[0，∞)Z[0，∞]{t>s}dGθi（t）FsdGθj（s）=Z[0，∞]Z[0，∞){s<t}FsdGθj（s）dGθi（t）=Z[0，∞]Z[0，t）FsdGθj（s）dGθi（t）∈ L（P）。这意味着Gθi（t）>Gθi（τ）-) 对于所有t>τa.s.（详见附录B.1中定理5.1的证明）。因此，我们通常需要解决引理3.1中右侧的停止pr问题。时间连续博弈的一个核心方面是其固有的不连续性，即使基础数据（这里的L、F和M）是连续的。例如，从Sθiin（3.1）的定义可以清楚地看出，当F>M时，最佳回复不能有任何联合质量点，因为Sθi（t+）- Sθi（t）=Gθj（t）英尺- Mt通过L和Gθj的右连续性；这将是一场经常发生的争论。根据Gθj，不需要存在任何实际确定问题值的停止时间，因为Sθi可能有各种各样的不连续性。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 14:05:30

处理这种不连续性将是主要问题之一。在下一小节中，我们介绍了连续时间最优停止的一般理论中的一些关键事实，特别是提供了最优停止时间存在的充分（基本必要）条件及其在斯奈尔包络中的表征。后者实际上是我们推导和表示混合均衡策略的主要工具。3.1连续时间内的最优停止作为一个激励停止问题，为了提出该理论，考虑何时以最佳方式成为领导者的单边问题，即，支持对手永远不会移动。这个问题将在以下方面发挥重要作用。如何刻画最优停止问题vl（0）：=ess supτ的解，这一点已经得到了很好的证明∈TELτ假设2.1。事实上，我们的支付过程L是右连续的（因此是可选的，参见fn.21）且属于（D）类，因此我们可以应用最佳停止的一般理论，如Mertens（1972）和Bisit and Skalli（1977）：存在一个最小的超鞅来控制支付过程L，称为L的斯奈尔包络，它满足（θess supτ）∈T：τ≥θELτFθa、 s.（3.4）适用于所有停车时间θ∈ T特别地，UL（0）=VL（0）。我们注意到，对于任何θ，都可以很好地定义（3.4）的右侧∈ 但关键是存在一个行为良好的进程UL=（UL（T））T≥0可以在任何停止时间θ进行计算，从而知道连续值。根据动态规划原理，我们还需要考虑停止时刻的连续性问题；后者是可行的量，但比确定性的时间要多得多。留在游戏框架内，找到1{t给出的（纯）最佳回复≥∞}, 我们必须使用报酬∞感谢你没有在限定时间内停下来。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 14:05:34

还记得我们的约定吗∞≡ M∞, 然而现在ULI也是类（d）的可选和d，这样的超鞅具有非常方便的正则性：存在Doob Meyer分解ul=ML- 我们广泛使用的，一致可积的，右连续的鞅和一个非减量的，可预测的，可积的过程。后者可以被解释为衡量因停得太晚而造成的预期损失：如果我们忽略在任何τ之前停下来∈ T，那么我们不能得到超过E[UL（τ）]=UL（0）- E[DL（τ）]，即使我们从τ开始以最佳方式停止。根据动力学程序设计原理，只要存在未来时间τ，值过程就是一个鞅∈ T给出至少与立即停止相同的期望值。是否存在最优停止时间取决于DL的连续性。如果L在预期中是上半连续的（如假设2.1（iii）如果L≤ 那么DLA有左连续的路径a.s。通过L的右连续性，DLA将是偶数连续的。对于左连续DL，存在最佳停止时间τ*L（θ）：=infT≥ θUL（t）=Lt和τ**L（θ）：=infT≥ θDL（t）>DL（θ-). （3.5）它们分别是θ之后最小和最大的停车时间∈ T达到（θ）=EhLτ*L（θ）Fθi=EhLτ**L（θ）Fθia。s、（3.6）因此，通过最优性，它必须保持UL=L a.s.在DL的任何增加点，w hichSee Mertens（1972），Théorème T4的存在性和Théorème T5，以及类（D）存在的证明。见梅尔滕（1972），泰奥雷梅T3。因此，关键的可选抽样是：对于所有σ，ML（σ）=E[ML（τ）|Fσ]≤ τ ∈ T此外，mls还有最后一个元素ML(∞) 它在L（P）中收敛。见Bibiut and Skalli（1977），泰奥雷梅二世。2.证据。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-5-8 14:05:38

期望中的（半）连续性通常比左边相应的路径属性弱。我们的支付过程不一定是积极的。然而，如果L是可选的，并且属于（D）类，那么它的负部分L也是一样的-:= 麦克斯(-五十、 0），因此有一个斯奈尔信封-= 毫升-- DL-分解为一致可积右连续鞅ML-一个可积的递增过程-. 然后-- L-≥ 0，表示L+ML-≥ 0.添加鞅ML-既不影响L是可选的（D类）或（半）连续的预期效果，也不影响L的任何最佳停止时间。见Bibiut和Sk alli（1977），（2.15），其中支付过程的正确连续性实际上意味着Z+=X。例如：L不是上半连续的=> inf{DL>0}不是最优的。MLLDLMLLSEE Birit and Skalli（1977），泰奥雷梅二世。3.事实上意味着[0，∞]（UL（t）- Lt）dDL（t）=0 a.s.（3.7）4纯策略在具有系统s.F.优势的对称对策中的均衡≥ 五十、在纯策略中确定某些子博弈完美均衡是很简单的。比如说，玩家j必须很晚才停下来，这样我就能解决第3节中提到的临时停L的问题。1.然而，我们在本节中表明，这种纯战略均衡通常会导致不对称支付。玩家各自的角色必须在游戏开始前确定，相应地，谁获得更高的报酬。在我们随后将考虑的混合策略中，获得了具有对称支付的均衡，不会在模型之外产生其他战略冲突。为了支持纯粹的策略均衡而迟到的停止不一定是“永远”：只要停止L是最优的，玩家i就不值得等到J停止，然后才成为跟随者。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

何人来此

2022-5-8 14:05:41

这将是一种情况，例如，如果j仅在nf=L时停止，比如在τj处≡ ∞.因此，easies t的例子是Gθj由1{t驱动=∞}和Gθiby 1{t≥τ*L（θ）}表示每个θ∈ T，或与τ一致**L（θ）在（3.5）中定义。无论哪种情况，等待对[0]上的playerj来说都是最佳选择，∞), 因为严格来说，在最佳停止时间之前实现L从来都不是更好的，而且F在两个τ处都支配L*L（θ）和τ**L（θ）。基于同样的逻辑，也可能有相当复杂的模式，但玩家可以在子游戏中切换角色。这可以用例子2.3中的结构来最好地说明，其中跟随者的最佳停止时间在平衡时“非常晚”。然而，争论更为普遍：被利用的属性是≥ L≥ 而F是一个超级艺术家，也就是说，越早成为追随者越好。然后根据τ确定最佳的停止时间*L（θ）on（对于任何Gθj）都足够了。引理4.1。反F≥ L≥ M，F是一个超鞅。对任何人来说θ∈ T，标准混合策略Gθjin对应的子对策，以及停止时间τi≥ θ它认为θτi∨ τ*L（θ）+费伊≥ EhSθiτiFθiand对于L的右连续和上半连续，期望DLI是连续的，因此它从ML开始右连续。然后，通过（3.5），（3.6）和UL的右连续- 五十、 inf{t∈ R+| Rt{UL-L≥ε} dDL>0}=∞ a、 s.对于任何ε>0，即UL- L<εdDL-a.e.，概率为1，暗示索赔。（3.7）在UL没有正确连续性的情况下仍然保持- 五十、只要L在期望中是上半连续的；见附录九中的备注B.1。这些也分阶段进行，具有典型市场进入游戏的后发优势；见Steg（2018）。EhSθiτ*L（θ）+费伊≥ 弹流润滑τ*L（θ）Fθia。s、所以，如果一个停止时间τ*我≥ τ*L（θ）达到ess supτ≥ τ*L（θ）E[Sθi（τ）|Fτ*L（θ）]，那么它也达到[Sθi（τ）*i） |Fθ]=ess supτ≥ θE[Sθi（τ）|Fθ]≥ E[Lτ*L（θ）|Fθ]。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 14:05:46

所有索赔也适用于τ**而不是L（θ）。证据：见附录B.1。请注意，F的超可压缩性对结果很重要，以确保在达到L的最佳值之前成为跟随者的情况下获得相对较高的回报。值得注意的是，对于L和F来说，未来的停车时间甚至会更好≥ L：如果Gθjputs质量在θ和τ之间*L（θ），当F仍然占主导地位，但当两者都非常低时，由于在等待L的最佳状态时有成为跟随者的风险，因此可能值得确保当前的支付。另一个条件是，L是次马丁格尔[θ，τ*L（θ）]。在例2.3中，L=R·πDds是双寡头的支付过程。然后，跟随者问题中的最优停止时间足够晚，以支持一个均衡：当直接退出是最优的时候，成为跟随者（垄断者）的前景没有价值，当πd出现不可持续的损失时，它将导致放弃——在τ*L（θ）。事实上，作为m onopolist stopsR·πMds与πm≥ πD，最佳停车时间满足τF（θ）≥ τ*L（θ）。此外，它认为F=L=ma.s.在τF（θ）处，因此特别是在{τ上同时停止是可行的*L（θ）=τF（θ）}乘以F=M。这些性质产生了一系列具有不同角色的均衡，由τ处的事件C决定*L（θ）。4.2号提案。假设F≥ L≥ M，F是一个超鞅。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 14:05:50

让θ∈ T并考虑停止时间τF（θ）≥ τ*L（θ）a.s.，使得在τF（θ）处，我们有F=L，更具体地说，在{τF（θ）=τ上有F=M*L（θ）}（a.s.）——例如τF（θ）：=inf{t≥ θFt=Mt}。然后，对于任何给定的事件C∈ Fτ*L（θ），对应于τ的纯策略*= τ*L（θ）1{C}+τF（θ）1{Cc}和τ*= τ*L（θ）1{Cc}+τF（θ）1{C}在从θ开始的子对策中形成一个平衡。证据：见附录B.1。纯策略中的均衡通常涉及不对称支付，例如，如果τ处F>L*L（θ）在我们指定的游戏中。因此，在游戏开始之前会出现一个协调问题，每个玩家最终都希望成为跟随者。在命题4.2的均衡中，这个p问题甚至会加剧，在这个命题中，角色可能会在子博弈中产生摩擦。由于这个原因，这样的均衡也很难聚合为一个子博弈完美均衡：每个子博弈从某个θ开始∈ T，事件C∈ Fτ*L（θ）必须达成一致，以确定各自的角色。也许更重要的是，没有一个玩家可以通过采取或威胁采取某种行动来获得首选的低回报，但只有通过长时间不采取行动的方式，这必须促使对手停止。有效地，玩家在不采取行动的可信度上竞争。这样的问题可以通过允许混合策略来避免，使玩家在停止时对角色不感兴趣。这是我们接下来的主题。5混合策略中的均衡斯奈尔包络线的普遍原理允许我们在一般情况下构建混合策略中的均衡。但我们不仅获得了存在：平衡策略可以像斯奈尔包络本身一样清楚地解释。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-5-8 14:05:53

回想一下，补偿与因停得太晚而造成的预期损失有关。对称博弈中下列均衡的逻辑是：≥ 五十、但是如果没有引理4.1的其他条件，那么等待真正的最优时间来停止L并不一定总是最优的。尽管如此，玩家们还是有动力和可能性在等待中进行合作，这可以延长到最新的最佳时间来停止L，τ**L（θ）。然而，为了跨越这一点，任何球员都必须有机会在F>L时成为跟随者，因为否则任何延迟都将是绝对错误的。当然，对手必须愿意提供这样的机会，所以我们确定了合适的比率来精确补偿即将到来的损失dDL>0，并使两个玩家都有所不同。然而，当L>F时，这个原则不起作用，因为p赎回激励，玩家想要更强烈地停止（见第7节）。另一方面，即使我们考虑的是没有先发优势的博弈，也可能存在更高对称收益的均衡——如果在未来某个时间，同时停止是可行且有效的，正是当≥ F>L.出于这些原因，我们需要推广玩家合作的适当支付流程。定理5.1。让θ，τθ∈ 不要用τθ停止时间∈ [θ，inf{t≥ θLt>Ft}]a.s.通过Lτθt:=1{t<τθLt+1{t来定义辅助过程Lτθ≥τθ}max（Fτθ，Mτθ），让Dτθlde注意其Snell包络的compensator和τθi:=inf{t≥ θR[θ，t]{F≤五十} dDτθL>0}∧ τθ.然后在子博弈中存在一个从θ开始的支付对称均衡，标准混合策略由gθi（t）=1给出- 1{t<τθi}exp-Ztθ{Fs>Ls}dDτθL（s）Fs- Ls（5.1）和gθj（t）=1- 1{t<τθ}exp-Ztθ{Fs>Ls}dDτθL（s）Fs- Ls（5.2）对于i，j∈ {1,2}，i6=j，当且仅当ifa.s。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

何人来此

2022-5-8 14:05:57

Gθi（M）- F）≤ 0在τθ离子{τθi<τθi}和Gθi（M）- F）≥ 在τθ处为0。此外，当且仅当a.s。Gθi（M）- F）≥ 在τθi上为0，在{τθi<τθ}上等于Gθi（τθi）<1。证据：见附录B.1。关于{Lθ>Fθ}，τθ=θ，和Mθ≥ Fθ需要支持同时停止。关于{Fθ≥ Lθ}，τθ处的“终端条件”是矛盾的，但它起以下作用。首先考虑Gθi（τθ）>0，因此τθi=τθ，存在关节末端跳跃。这意味着玩家在终端支付上进行协调，这同样需要Mτθ≥ Fτθ（其中m∞= F∞按惯例）。Gθi也可以跳到τθ之前：当F=L且dDτθθL>0时，这样就不可能进行补偿。当游戏者i停止时，我们保持Gθj连续处理F=L>M的情况，因此支付是对称的。然而，这种选择只能是非平衡的，如果真的是F≥ M.否则，玩家j可以通过在τθi打顶获得更高的回报，并且之前不支持均衡，但我们可以调整τθ以确保合适的连续值。最后，如果Gθi连续获得值1，则Gθj（t）=Gθi（t）代表所有t∈ R+。这种情况是用max（Fτθ，Mτθ）定义Lτθ的一个原因：那么Gθi（M）- F）≥ 0在τθby持有Gθi=0，这允许Lτθ具有终端值Fτθ>Mτθ，并影响之前的连续值。另一个原因是，在第7节中考虑扩展混合策略时，我们将获得Payoff max（Fτθ，Mτθ）的连续均衡。除了可能的终端跳跃，定理5.1中的策略是连续的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝