具有乘性瞬时价格影响的最优资产清算

2022-5-7 07:49:05

具有乘性瞬时价格影响的最优资产清算*, Todor Bilarev+，Peter Frentrup洪堡大学数学研究所zu BerlinMay 1，2017年金融市场，交易对价格的影响与当前价格成倍增加，随时间的推移具有一定的弹性、最优控制和奇异最优控制问题的价值函数。对于可容许控制为单调或有界变分的两个变量，求解了描述最优控制的自由边界问题。关键词：奇异控制、有限燃料问题、自由边界、变量不平等性、流动性不足、乘性价格影响、限价订单书MSC2010主题分类：35R35、49J40、49L20、60H30、93E20、91G801。介绍市场，目标是出售（或购买，参见备注4.4）给定数量的风险资产，并提前完成交易。最优交易执行问题已经被许多学者研究过*我们感谢Peter Bank就控制问题的早期版本进行了富有成效的讨论。+感谢培训团队RTG1845 StoA电子邮件地址：Becher，bilarev，frentrup@math.hu-柏林。dearXiv:1501.01892v3[math.OC]2017BL98OW13AFS10KP10ASS12FKTW12LS13to[PSS11，GS13]以获取进一步的参考和应用背景。提出问题（3.3）（3.4）[Tak97，DZ98，DM04]，明确取决于状态过程（S，Y），控制策略Θ中每个跳跃的积分总和。

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2022-5-7 07:49:08

关于最优奇异控制存在性的更多结果，请参阅这些文章；在几个方面，对这些问题的明确描述可能与本文所考虑的有所不同。在本文中，我们研究了与[PSS11，AFS10，OW13，LS13]的加法极限指令簿模型密切相关的乘法极限指令簿模型，关键区别在于指令的价格影响是乘法的，而不是加法的。在没有大型交易者活动的情况下，风险资产价格遵循一些未受影响的非负价格演化=（St），例如几何布朗运动。交易策略交易助理=Stf（Yt），t≥0，对于描述市场影响水平的流程。Yt-Hytt是由持有的风险资产的数量驱动的，可以被解释为一个数量。在函数SF，h（见假设3.2）中，资产出售（购买）降低（增加）了弹性的极限率。由于是正的，乘性价格影响确保了[BL98]中GS13模型的风险，而负价格可能发生在加性影响模型中。我们接受扰动，订单的深度可以是有限的，也可以是有限的，参见第节。2.1.hYt/YtYtS，YYPSS11AFS10LS13PSS11GZ15[AFS10，KP10]考虑在离散时间进行交易。AFS10PSS11PSS11为了识别具有isLok12PSS11影响的自由边界的有限时域问题中的最优控制，[LS13]研究有限时域的一般漂移问题，而WEKP10FKTW12GZ15和结果在关键方面有所不同。文章[GZ15]考虑了永久性价格影响、影响、一般影响函数和零差价（见第5节）。

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kedemingshi

2022-5-7 07:49:13

[FKTW12]研究了由启发式参数导出的Hamilton-Jacobi-Bellman方程的数值解，研究了Black-ScholesKP10解有限期上的不同最优执行问题，其非线性瞬态价格影响是当前订单的函数，通过Y依赖于所有过去订单的时间和大小，如[PSS11]所示。对于最优控制，我们通过验证变分不等式证明了最优性（对于最优清算问题的两个变量，我们得到了显式解）。在Firstsell中，但不购买，而对于第5节中的第二个变量（II），中间购买是允许的，即使交易者最终想要清算她的头寸。变体Iregulation只执行销售订单。第二个变量可能适用于投资者交易12，并且由于对合适的参数化越来越不耐烦而趋于零，参见示例4.3和图4a。在例5.5中，我们比较了加性和乘性限额指令簿如何在标准影响下产生不同的最优控制定性特性，这比具有资产价格乘性演化的模型更好。2.瞬时和倍增价格影响，F，Ftt≥0，PFtt≥0假设满足右连续性和完全性的一般条件，全部为半JS03FF0-σ考虑除无风险计分资产外，还有风险资产的市场，风险资产的受影响（基本）价格过程的形式为st=eutMt，S∈ (0, ∞), (2.1)u ∈ RMsupt≤TEMt<∞T∈, ∞JS03Mτ：Mτ- Mτ-τSQQPQ~ PFTT∈, ∞对于小投资者来说，在任何有限的范围内，风险都会消失[DS98]。

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kedemingshi

2022-5-7 07:49:16

素数示例mmeσWWσ>更一般地说，M=E（L）可以是局部鞅的随机指数，这是一个具有L>-1安第斯[M]<∞这不是单调的（参见[Kal00，引理4.2]和[CT04，定理9.9]），或者对于可预测的随机波动过程（σt）t，可以有m=E（RσtdWt）≥0当c>1时，在[1/c，c]中有界。tt≥00-≥表示初始位置，Θ0--Θ是指在kP10GZ15控制问题出现之前出售的风险资产的累计数量，具有有限的范围和负漂移，以确保优化器的存在。首先，我们假设Θ在减少，但这将在第5节中推广到有界变差的非单调策略。关于执行订单的价格，如下所示。一个过程，即市场影响过程，捕获了策略Θ对价格的影响，并定义为解决方案todYt=-h（Yt）dt+dΘt（2.2）Y0-∈ 右：右→ R与H（0）=0连续。更多条件将在假设3.2的后面部分施加。在这种市场影响下，市场具有弹性回归到中性水平0h（Yt），这可能是非线性的，由弹性函数h规定。例如，当n（y）=βy为线性时，市场以指数速率β>0（如[OW13]）复苏。显然，Y依赖于Θ，偶尔我们会通过写Y=YΘ来强调这一点。实际（报价的）风险资产价格受大型交易策略的影响，通过市场影响过程Y以乘法的方式进行，并通过t:=f（Yt）St（2.3）对公式f（Y）=exp的递增函数f进行建模Zyλ（x）dx, Y∈ R、（2.4）λ：R→, ∞Stt≥0大型交易员根据连续策略Θc出售风险资产，然后分别出售（负成本）-RTSudΘcuover any period[0，T]。

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2022-5-7 07:49:19

为了允许涉及大宗交易的非连续性交易，也允许从一定规模的市场抛售订单中获得收益Θt∈ Rattime t，由术语给出-StZΘtf（Yt）-+ x） dx，（2.5），这是在（影子）限价指令簿内执行大宗交易时解释的，（3.3）定义的收益的良好稳定性属性，作为策略的函数，参见[BBF17]。特别是，用一系列在越来越短的时间间隔内进行的连续交易来近似大宗交易，可以得到极限中的项（2.5）。2.1. 多重市场影响的限额指令簿视角多重价格影响和大宗交易的收益可以通过影子限额指令簿（LOB）中的交易来解释。现在，我们将展示乘法价格影响函数F如何与LOB形状相关，LOB形状是根据相对价格ρt:St/stspecified相对于绝对价格pertubationsSt确定的- [PSS11]中的Stas。请注意，LOB形状是静态的（第5节考虑了一个双边LOB，其买卖价差为零）。根据LOB形状，这种模型可以被视为价格影响的低频模型，该形状在较长的期限内具有代表性，但不适用于短期内的高频交易。Lets=ρStbe一些接近未受影响价格的价格。letq（ρ）dρ表示（出价或要价）在价格水平，即相对价格扰动ρ下的价格。这导致了累积分布函数q（ρ）的测量：=Rρq（x）dx，ρ∈(0, ∞).价格对应于某个游骑兵扰动ρ的订单总量(0, ∞) 然后是isRRq（x）dx。销售-Θt分时将价格从ρt调高-SttoρtSt，而体积变化为q（ρt-)- Q（ρt）=-Θt.此次销售的收益rρt-ρtρQρYt:Qρtf:Q-1可用方程式（2.5）表示。从这个意义上讲，Yfrom（2.2）可以理解为[PSS11，第2节]中的体积效应过程。

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可人4

2022-5-7 07:49:22

如需说明，请参见图1。例2.1。让（单面或双面）阴影限制订单簿密度beq（x）：=c/xrx∈, ∞c、 r>crq-Θt-Ytf（Yt）f（Yt）-) 1图1:QFY销售一块尺寸-Θt>0。注意-Yt=-Yt-- Θt.r<r>（2.2）注意[PSS11，第185页]假设目标交易方向的市场深度有限。当x>0和（r）时，求逆f- 1） y 6=c asQ（x）=（c log x，对于r=1，c1-r（x1-R- 1），否则，f（y）=（ey/c，对于r=1，1 +1-rcy1/(1-r）否则。对于参数函数λ，这产生λ（y）=f（y）/f（y）=（c+（1）- r） y）-1.注意R 6fλcr-1.∞r<-∞,铬-1r>f>还有一些有趣的案例，比如∈(0, ∞)\\ 如果{y:<fy<∞}D关于策略Θ（在（3.1）、（5.2）中）可接受性的附加要求，该策略Θ必须参与If。例4.3将进一步调查该案例。3.具有单调策略的最优清算0-根据一些性能标准，分为更小的订单进行改进。在第5节之前，我们将把自己局限于单调控制策略，不允许中间调节有限的变化，也允许中间购买订单。对于初始位置Θ0-股票，一套可接受的交易策略isAmon（Θ0-):=ΘΘ正在减少，c\'adl\'ag，可预测，为Θ0-≥ Θt≥ 0.（3.1）TTP策略Θ∈ 阿蒙（9200）-) 分解为连续和不连续部分Θt=Θct+X0≤s≤TΘs，（3.2）cts:s-s-≤, ∞打折。从策略Θ到时间T的γ贴现收益∞ 阿雷特（y；Θ）：=-中兴通讯-γtf（Yt）标准Θct-X0≤T≤TΘt6=0e-γtStZΘtf（Yt）-+ x） dx，（3.3），其中y=Y0-是进程的初始状态。很明显，Y0-和ΘdetermineYby（2.2）。备注3.1。（3.3）中的（可能）最终金额具有最终预期。的确，对任何人来说∈ 阿蒙（9200）-) 一个哈苏普≤T|Yt|<∞.

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可人4

2022-5-7 07:49:27

因此，中值定理和f的性质暗示了t∈ [0，T]0≤ -ZΘtf（Yt）-+ x） dx≤ -Θtsupx∈(Θt，0）f（Yt）-+ 十）≤ -Θt·supt≤Tf（Yt）。(3.3)∈ 阿蒙-Ysupt≤t有界，我们有E[supt]∈[0，T]St]<∞ 和0≤Pt∈[0，T](-Θs）≤ Θ0-.注意，单调极限∞（y；Θ）：=limT%∞LT（y；Θ）始终存在。我们考虑控制问题，以找到在开放（有限）时间范围内最大化预期（贴现）清算收益的最优策略∈阿蒙（9200）-)J（y；Θ）代表J（y；Θ）：=E[L∞（y；Θ）]，（3.4）与值函数v（y，θ）：=supΘ∈阿蒙（θ）J（y；Θ）。（3.5）（见下文备注3.9）。自预期起[exp(-γt）St]=Sexp(-t（γ）- u），t≥0，取决于u，γ仅通过δ：=γ- 对于正的优化问题，哪个更重要∞对于θ>0。因此，关于大投资者选择的γδ参数（当选择γ时），指定她的偏好todS/S组合。对于第3节至第5节，假设δ、f、h满足以下条件。假设3.2。地图t 7→ E[E]-γtSt]，t≥ 0是递减的，即δ：=γ- u > 0.f:R→, ∞ff∈ c增加使得λ（y）：=f（y）/f（y）>0。弹性函数h:R→ （2.2）中的R是h（0）=0且h>0的cw。弹性和市场影响满足（hλ）>0和（hλ+h）>0。存在h（y）λ（y）+δ=0的解∞toh（y）∞)λ（y）∞) +h（y）∞) +δ= 0.（yand y的独特性∞由其他条件决定。）备注3.3。（hλ）>0和（hλ+h）>0是我们验证最优性的技术要求。已经从影子限额订单簿（LOB）的角度（参见第2.1节）来看，一些SORTHFA看起来很自然。满足假设3.2和f（y）的示例：=eλy对于常数λ>hyβyβ>δ>实例有界弹性，h（y）=αarctan（βy），对于α，β>0，β<λ且不太<δ<αλπδ，最初在时间0的一切都是最优的）。双面限制订单簿。

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2022-5-7 07:49:30

定理3.4的证明见第4节。定理3.4。让模型参数sh，λ，δ满足假设3.2和Θ0-≥0开始。定义y∞< y<0作为h（y）的唯一解∞)λ（y）∞) + h（y）∞) + δ=0和h（y）λ（y）+δ=0，且设τ（y）：=-δlogf（y）f（y）h（y）λ（y）+h（y）+δh（y）, （3.6）y∈ （y）∞, y] τ7→ y（τ）：[0，∞) → （y）∞, y] θyy∈ （y）∞, y] ，是普通微分方程θ（y）=1+h（y）λ（y）δ的严格递减解-h（y）h（y）δh（y）+h（y）hλ+h+δ（y） δhλ+h+δ（y），y∈ （y）∞, y] ，（3.7）θyθ7→ yθ≥Θ0-和Y0-, 确定以下清算策略Θ=Θ选项。1.如果Y0-≥ y+0-, 一次性出售所有资产：Θ=0.2。y0-< Y0-< y0--≡0--Θ>0和Y≡ Y0-+ Θ=y（Θ）。Y0-< y0-sinf{t>|ywty0-} < ∞ywywt-HYWTYY0-也就是说，设置Θt=Θ0-对于t<s，这导致t<s.4的Yt=yw（t）。YSS≥连续：Θt=θ（y（t- t））s≤ T≤ T，直到时间T=s+τ（y（Θs））.5。当所有资产在某个时间出售时停止∞: Θt=0，t∈ [T，∞).然后，策略Θoptis是最优变现maxΘ问题（3.4）的唯一最大化子∈阿蒙（9200）-)E[L∞（y；Θ）]-初始市场影响为Y0的资产-= y、相关文献）。西塞特∞如果是有限的，那么定理3.4中的开放地平线控制显然对任何有限地平线上的问题都是最优的≥ T参见备注3.10。备注3.5。[PSS11]考虑一个类似的最优执行问题，具有可加性价格影响ψ，使得St=St+ψ（Yt），具有（2.2）中的体积效应过程。他们研究了有限时间范围内鞅的情况[0，T]。执行成本等于负清算收益，而执行成本在预期中寻求最小化-在我们的模型中（对于γ，u=0），使用固定的Y0-:= 0.另见下文备注3.10。（3.4）Y0-Y∈ RPSS11在无漂移（δ=0）的有限时间范围内的购买策略，以及在零开始的冲击过程，使用优雅的凸性参数进行表征；查阅

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2022-5-7 07:49:33

备注3.10。提议3.6。V:R×，∞→, ∞Gt（y；Θ）：=Lt（y；Θ）+e-γtSt·V（Yt，Θt），Y=YΘandy=Y0-, 这是一部超级电影∈ 阿蒙-Gy≤ G0-y:S·VY0-,0-ThenS·V（y，θ）≥ v（y，θ），θ=0-. 此外，如果存在Θ*∈ 阿蒙（9200）-) 这样的*) 是一个鞅，它保持g（y；Θ）*) =G0-（y；Θ）*), 然后s·V（y，θ）=V（y，θ）和V（y，θ）=J（y；Θ）*).备注3.7。GG0-时间区间[0，T]到时间“0”的（超）鞅性质-”.证据注意，EG0-（y；Θ）= G0-（y；Θ）=S·V（y，θ）和Gt（y；Θ）= ELt（y；Θ）+ EE-γtSt·V（Yt，Θt）每个人≥而且，V（Yt，Θt）是一致有界的≥0和Θ∈ 阿蒙（9200）-) 通过有限常数c>0，因为假设是连续的（因此在紧集上有界），状态过程（Y，Θ）取矩形中的值-|y|-θ、 |y |+θ×, θ.因此，EE-γtSt·V（Yt，Θt）≤ 总工程师-γ-碲圣=总工程师-δts0趋于0→ ∞, 因为δ>0。自那时起[Lt（y；Θ）]→ J（y；Θ）ast→ ∞利用单调收敛定理，weS·Vy，θ≥ Gy≥ E[Gty]→ Jy。索赔的一部分。第二部分与此类似。GVS·，e-γ·VY·Squasi左连续和e-γ·V（Y·，Θ·）是可预测的，且有界变化，以获得dgt=e-δtV（Yt-, Θt-) dMt+e-δtMt--δV- hVy（Yt）-, Θt-) dt+Vy+Vθ- F（Yt）-, Θt-) dΘct+ZΘtVy+Vθ- F（Yt）-+ x、 Θt-+ x） dx(3.8)-δV- hVy（a，b）：=-δV（a，b）- h（a）Vy（a，b）Vy+Vθ- F（a，b）：=Vy（a，b）+Vθ（a，b）- f（a）。现在，鞅最优性原理提出了最优策略应该出售或等待的区域的方程式，即只有时间经过（等待）的区域。我们将构造一个变量不等式max的经典解{-δV- hVy，f- Vy- Vθ}=0，这是一个函数vinc1,1（R×[0，∞), R）严格递减的自由边界函数y（·）∈ C（[0，∞), R），以致-δV- h（y）Vy=0英寸宽（3.9）-δV- h（y）Vy<0 in S（3.10）Vy+Vθ=f（y）in S（3.11）Vy+Vθ>f（y）in W（3.12）V（y，0）=0Y∈ R（3.13）表示等待区W和卖出区S（参见。

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2022-5-7 07:49:36

图2）定义的asW:={（y，θ）∈ R×[0，∞) | y<y（θ）}，S:={（y，θ）∈ R×[0，∞) | y>y（θ）}。（3.14）本文研究的最优清算属于有限燃料控制问题，这通常会导致自由边界问题，类似于上面推导的问题。参见[KS86]JJZ08（候选）边界Y（θ），然后是值函数V，并证明它们解出了所需的方程，并且导出的控制策略是最优的。备注3.8。蒂梅特和她所持有的股票。为了帮助直觉，我们将沿着时间的θy或W之间的边界，而不是一眼就引入各种函数θy，但必须记住，这些函数是不同的函数，例如，在区分时。备注3.9（关于确定性最优控制）。通过证明定理3.4，我们将在接下来的章节中得到最优策略。在这里，我们直接说明为什么非确定性策略对于（3.5）和优化超确定性策略是次优的，构造候选解并证明最优性，如后文所示。T<∞, 然后，值函数将与我们在确定性策略的子集上进行优化时一样。实际上，通过可选投影（见[DM82，VI.57]），我们得到了[LT（y；Θ）]=-EhMTZTe-δtf（Yt）-) dΘcti- EhMTX0≤T≤TΘt6=0e-δtZΘtf（Yt）-+ x） dxi。T∈, ∞ePMT/MPFTELTyEeP[\'T（Θ）]代表\'T（Θ）：=-MRTe-δtf（Yt）-) dΘct- MP0≤T≤TΘt6=0e-δtRΘtf（Yt）-+x） `ePTω同值函数。请注意，这与[Lok12，第7.2号提案]类似。利用单调性，我们得到∞（y；Θ）]=supT∈[0,∞)E[LT（y；Θ）]，因此上述测量值的变化产生v（y，θ）=supT∈[0,∞)supΘ∈Amon（θ）E[LT（y；Θ）]等于up∈[0,∞)supΘ∈Amon（θ）确定性\'T（Θ）=supΘ∈阿蒙（θ）确定性`∞(Θ).

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mingdashike22

2022-5-7 07:49:39

（3.15）此外，我们可以检查任何确定性最大化子Θ*∈ Amon（θ）到（3.15）也是原始问题（3.4）的最佳值，其中v（y，θ）<∞ 由于δ<0。备注3.10。对于给定的有限地平线∞, GeneralPS11（δ=0）的执行问题。当漂移δ为零时，具有乘法影响的问题可以转化为乘法设置中的additiveLok12PSS11horizon情况，但对于δ6=0，则不能。∈ 阿蒙-F（y）=Ryf（x）dx。对于确定性Θ和g（x）：=f（h）-1（x））x+δF（h-1（x））我们有[LT（Θ）]=F（Y0-) - eδTF（YT）-中兴通讯-δtg（h（Yt））dt。（3.16）gxfhλhδ/hH-1xghy∞^g（x）={`（x）|`≤ g是一个}存在。对于cδ，T:=RTe-δtdtJensen不等式yieldsE[LT（Θ）]≤ F（Y0-) - eδTF（YT）- Cδ，T·^gZTh（Yt）e-δtCδ，Tdt（3.17）（3.17）几乎所有∈（0，T）。这种影响策略类似于[PSS11]的A类策略。（3.17）中的积分一般只能在δ=0时求解。在这种情况下，cδ，T=TandRTh（Yt）dt=Y0-- Θ0-- 对于在时间T之前清算的任何策略，soE[LT（Θ）]≤ F（Y0-) - F（YT）- T^gY0-- Θ0-- YTT=:^G（YT）。（3.18）删除（y）：=（Y0）--Θ0-- y） /T.直接计算表明凹函数-1（h（y）∞)) 和（如果0-≤Θ0-) 非递减ate-1（h（y））。所以^Gobtainsy*∈E-1hy，e-1hy∞证明^g=g在[h（y）上∞), h（y）]。以A型战略为例Θ*它执行一个初始大宗交易Θ*=Y-Y0-玩具：h-1.嗯**t/thYey*直到时间和规模的大宗交易结束Θ*T=y*- Y冲击水平Y*英语教学*^Gy**Y0-≤0-4.解决自由边界问题∩ S{yθ，θ|θ≥}{y，θy |……}在假设3.2下，最优策略由θ（y）=1+h（y）λ（y）δ的自由边界描述-h（y）h（y）δh（y）+h（y）hλ+h+δ（y） δhλ+h+δ（y）（4.1）yy∞, yθy（4.1）垂直渐近线，在第4.4节中，我们构造了自由边界问题（3.9）-（3.13），完成了最优清算问题的验证。4.1.

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2022-5-7 07:49:42

平滑粘贴法根据有关有限燃料随机控制问题的文献，参考[KS86，第6节]，我们应用平滑法原理推导（4.1）除以（V，y（·））得到的候选边界已经构建，并且沿着自由边界非常平滑。这将是自由边界问题的经典解。W{y，θ：y<c}一些c<0。在这种情况下，等待区域中（3.9）的解的形式为v（y，θ）=C（θ）expZyc-δh（x）dx, （y，θ）∈ W、（4.2）其中C:[0，∞) → [0, ∞). 为了进一步缩短项，让φ（y）：=exp（Ryc）-δh（x）dx），y≤ c、 CVy+Vθ和表达式Vθy+vyy在等待区域，我们得到（y，θ）∈ W thatVy（y，θ）+Vθ（y，θ）=-δC（θ）φ（y）/h（y）+C（θ）φ（y），（4.3）Vθy（y，θ）+Vyy（y，θ）=-δC（θ）φ（y）/h（y）+δC（θ）φ（y）h-2（y）（δ+h（y））。（4.4）另一方面，在销售区域收益率中计算的相同表达式（对于（y，θ）∈ S） Vy（y，θ）+Vθ（y，θ）=f（y）和Vθy（y，θ）+Vyy（y，θ）=f（y）。现在，假设V是一个C2，1-函数。特别是，对于y=y（θ）：（f（y）=-δC（θ）φ（y）/h（y）+C（θ）φ（y），f（y）=-δC（θ）φ（y）/h（y）+δC（θ）φ（y）h-2（y）（δ+h（y））。（4.5）将（4.5）作为C（θ）和C（θ）的线性系统求解，我们得到y=y（θ）：C（θ）=f（y）·φ（y）·h（y）δ+h（y）λ（y）δh（y）=:M（y），C（θ）=f（y）·φ（y）·δ+h（y）λ（y）+h（y）h（y）=:M（y）。（4.6）（4.6）Cθym和CθyMy，θ·y·稍后指定）。根据链式法则，我们得到M（y）=C（θ（y））·θ（y），因此θ（y）=M（y）M（y）=（δ+2hλ）（h）+（δ+2δhλ+hλ+hλ）h-h（δ+hλ）hδh（δ+hλ+h）（y）（4.7）定义θ（·）时。请注意，（4.1）和（4.7）的右侧是相等的。为了推导θ（·）的定义域，我们将边界条件（3.13）与（4.2）（4.6）y:yθ一起使用-（4.7）中的1δhyλydenominator表示∞求δ+h（y）∞)λ（y）∞) +h（y）∞) = 0是边界的垂直符号。请注意，假设3.2暗示了这一点∞< y<0，特别是，我们可以选择∈（y，0）在本节开头。

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2022-5-7 07:49:45

目前的讨论建议将候选边界定义如下：∈ （y）∞, y] 设置θ（y）：=-败走恶犬（δ+2hλ）（h）+（δ+2δhλ+hλ+hλ）h-h（δ+hλ）hδh（δ+hλ+h）（x） dx。（4.8）我们在引理4.1中验证了（4.8）定义了Limy和y的递减边界∞θ（y）=+∞θyVW（4.2）（4.6）S（3.11）。在第4.4节中，我们证明了这种构造给出了自由边界问题（3.9）-（3.13）的解，从而给出了最优控制问题的解。4.2. 变分法在本节中，我们提出了另一种通过变分法确定候选最佳边界的方法。此外，这给出了时间的明确描述，作为变分法中的一个等周问题，我们假设最优策略是确定性的（因此可以假设w.l.o.g.Mt/M=1，参见备注3.9），并且-T:inf{T≥|t} <∞τT- ttθτyτ，θτ∈ W∩ SC边界的平滑度。由（2.2）我们得到θ（τ）=y（τ）- 函数y（τ）=y（t）=Yt的h（y（τ））（4.9）。因此，优化问题（3.4）转化为发现：[0，∞) → R最大化j（y）：=ZTf（y（τ））e-δ（T）-τ)y（τ）- h（y（τ））dτ=：ZTF（τ，y（τ），y（τ））dτ（4.10），附带条件θ=K（y）：=ZTy（τ）- h（y（τ））dτ=：ZTG（τ，y（τ），y（τ））dτ（4.11），对于固定位置θ：=0-. 这个等周问题的欧拉方程是fy-ddτFy+λGy-ddtGy= 0（4.12）λλTTTθ和初始状态（T）仍然未知。先验地，最终状态（0）是自由的，这导致自然边界条件fy+λGyτ=0= 0. （4.13）当y:=y（0）和y:=y（τ）时，方程（4.13）简化为λ=-f（y）e-δT，and 0=f（y）h（y）- f（y）eΔτh（y）λ（y）+h（y）+δ（4.14）由等式（4.12）得出。请注意，涉及出现的术语影响dddτFyyyT<Tτ∈, Tθ=θ（T）y。因此，对于τ=0，我们得到h（y）λ（y）+δ=0，证明了假设3.2中的符号是正确的。

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2022-5-7 07:49:48

假设3.2保证了该模型的存在唯一性。它必须保持y<0，因为λ>0和h（y）<<=> y<0。重新排列（4.14）明确描述了边界沿线的清算时间：e-Δτ=f（y）f（y）h（y）λ（y）+h（y）+δh（y）。(4.15)τ 7→ yτθτRτyτ- hyττ函数将自由边界描述为参数曲线。微分方程（4.14）关于τ，我们得到0=f（y）h（y（τ））y（τ）- f（y（τ））y（τ）eΔτhλ+h+δ（y（τ））- δf（y（τ））eδτhλ+h+δ（y（τ））- f（y（τ））eΔτhλ+hλ+h（y（τ））y（τ）。因此，对于y=y（τ），我们得到y（τ）=δf（y）hλ+h+δ（y） f（y）h（y）e-δτ- f（y）hλ+h+δ（y）- f（y）hλ+hλ+h（y），（4.16）如果分母为非零。还要注意thaty（0）=-δh（y）h（y）λ（y）+hλ（y） <0（4.17）h>hλ>λ>T∞∈(0, ∞] 对于τ，y（τ）<0∈[0，T∞), 这里是双射的。调用τ（y）：=y-1（y）是它的倒数，让y∞:= limτ%T∞y（τ）<y。通过（4.15），等式（4.16）简化了toy（τ）=δhλ+h+δ（y） h（y）H- hλ（y）hλ+h+δ（y）-hλ+hλ+h（y） h（y）（4.18）fory=y（τ）。根据定义∞安迪∞, 我们看到y（τ）在[0，T]上是负的∞) 和0yy∞hy∞λy∞hy∞δy∞Y∞< yθ（y）在y上∈ （y）∞, y] 通过θ（y）=ddyθ（τ（y））=θ（τ（y））τ（y））从（4.9）中获得=y（τ（y））- h（y）y（τ（y））=1-h（y）y（τ（y））=1-h（y）δh（y）H- λh（y） +h（y）hλ+h+δ（y） δhλ+h+δ（y）（4.19）θ（y）=0。我们还注意到（4.19）等于（4.1）。自由边界候选者的性质候选者边界的性质，特别是θ：（y）的双射性∞, y]→ [0, ∞).图2：状态空间的划分，对于δ=0.5，h（y）=y和λ（y）≡ 引理4.1。θ：y∞, Y→ R（4.8）Cy∞, Y∞θylimy&y∞θy∞证据h> y 7→δhλhy增加，使得（4.7）中的分母在y>y时严格为正∞. 因此，为了验证θ是否在减小，必须检查（4.7）中的分子是否为负。为此，我们将分子写成（δ+hλ）（h）+（δ+hλ）h+hh（hλ）- h（δ+hλ）h.注意，（δ+hλ）（h）+（δ+hλ）h=（δ+hλ）（δ+h+hλ）h<0，对于ally∈（y）∞, y），因为y<0。

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2022-5-7 07:49:52

因此，θ（y）<0表示y∈ （y）∞, y）跟随byhh（hλ）- h（δ+hλ）h<hh（hλ）- h（δ+hλ）h- h（δ+h+hλ）（hλ）=-h（δ+hλ）（hλ+h）<0。很明显，θ在（4.8）isC中定义。因此，它仍有待于验证∞θ（y）=+∞. 注c<x∈Y∞, y指定符在[y]上有界∞, y] ，我们得到了平均值定理≤ δh（δ+hλh）（十）≤ C（x）- Y∞), 十、∈ （y）∞, y] ，对于有限常数C>0。因此，我们可以估计θ（y）≥败走恶犬-cC（x）- Y∞)dx=-复写的副本对数（y）- Y∞) - 对数（y）- Y∞)Y∈ （y）∞, y] ，收敛到+∞ 作为y&y∞. 这就完成了证明。4.4. 构造值函数和最优策略平滑粘贴方法直接给出边界上的值函数asV（y（θ），θ）=Vbdry（θ）：=f（y）h（y）δ+h（y）λ（y）δh（y）通过方程（4.2）和（4.6），y=y（θ）（4.20）。在变分法中，插入方程（4.15），用（4.9）改变变量，应用引理a.2，我们得到（4.20）作为（4.10）的解。通过等式（3.9），我们可以将V扩展到等待区域：V（y，θ）=VW（y，θ）：=Vbdry（θ）expZyy（θ）-δh（x）dx=fh（δ+hλ）δh（y（θ））expZy（θ）yδh（x）dx（4.21）y，θ∈ WVS:=S∩ {（y，θ）|y<y+θ}（y，θ）∈ S:y，θk·k∞y、方向θ(-1.-1），即θ=θ*+ , y=y（θ）*) + , ≥ 0.（4.22）然后我们得到y（θ）≤ Y≤ y+θ，thatV（y，θ）=VS（y，θ）：=Vbdry（θ）*) +Zf（y+x）dx（4.23）=fh（δ+hλ）δh（y）- ) +败走恶犬-f（x）dx。（4.24）类似地，通过等式（3.13），我们得到S中的V:=S\\S，即y≥ y+θ：V（y，θ）=VS（y，θ）：=Zyy-θf（x）dx。（4.25）由于Vbdry（0）=0，我们可以通过扩展来组合EV和VS（y，θ）：=θ在内部。所以:= （y，θ）是k·k吗∞-方向距离(-, -1）点（y，θ）的方向∈ 斯托SandV（y，θ）=VS（y，θ）：=Vbdry（θ）- ) +败走恶犬-f（x）dx（4.26）y，θ∈ Syθ-Y-在下一个引理中（在附录A中证明），我们可以证明定理3.4的主要结果。引理4.2。

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2022-5-7 07:49:56

函数V:R×[0，∞) → R与v（y，θ）=（Vbdry（θ- ) +雷伊-f（x）dx代表y≥ y（θ），Vbdry（θ）·expRyy（θ）-δh（x）dx, 为了你≤ 由方程（4.20）、（4.21）和（4.26）定义的y（θ）是inC（R×[0，∞)) 并解决了自由边界问题（3.9）-（3.13）。定理3.4的证明。y（θ）的光学连续性。事实上，Θoptis是确定性的，因为确实如此。如Lemma A.5的证明所述，函数Y 7→f·（hλ+h+δ）/h（y）（y）在增加∞, y] ，所以τ（y）yτθd减小了Θopt。右连续性来自定理中所述的5个步骤的描述。所以Θopt∈ 阿蒙（9200）-).hλhδ>y∞, yτYs<∞YSS>Y0-< y0-h（y）<0，我们有s<∞.关于最优性：注意（Yt，Θt）∈min{y-Θ0-,}, max{，y}×,Θ0-fory=Y0-hh>VYt，tVGMVGG- G0-SRΘVyVθ- FY0-x、 0-xx≤带G0的真鞅-= GforΘopt。因此，3.6号提案适用。（a）固定β=1，δ=0.1，变化r.（b）固定r=1，变化β和δ。图3:Ex.4.3中的清算率（初始大宗交易后）。直线在θ（τ）=100处结束。例4.3。回想例2.1，让h（y）=βy表示β>0。然后（hλ）>0=-cδβ+（1）- r） δ和y∞=-c（β+δ）β+（1）- r）（β+δ）。从证明中可以看出，λ和hare只在可能的yt值下需要。HenceAsumption 3.2有效地限制了状态空间W∪ Stoc+（1）- r） y>0。我们只有10个-yy∞Y0-Y∞yy∞< y<r∈,β/βδ对于r6=1和y∈ （y）∞, y] 我们得到θ（y）=βy+δA（y）δ（1）- r）-βcBδC（1- r）日志A（y）Bβc+βc（β+δ）δ堵塞βA（y）βy+（β+δ）A（y）,（a）固定β=1，r=1，变化δ。

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2022-5-7 07:50:00

（b）固定β=1，δ=0.1，变化r。图4:Y0-0-（y（Θ），τ（Θ）），其中连续交易开始。带A（y）：=c+（1）- r） y，B:=β+（1）- r） δ和C:=β+（1）- r）而θ（y）=（βy+δc）（βy+（2β+δ）c）2βδc- cβ+Δδ测井曲线βy+（β+δ）cβc如果r=1。沿边界的液化时间（TTL）是δ、β、r和y/c的函数，即τ（y）=-δlog1 + (1 - r） y/c1+（1）- r） δ/β1/(1-r）y/c1+（1）- r） y/c+β+Δβ如果r6=1，-yδc-β-δlogyc+1+Δβ如果r=1。rδ→ ∞Y→ -∞δ乘积对数W:=（x 7→ xex）-1，r=1时的影响和资产位置，τ≥ 0 arey（τ）=cWe1-δτ- cβ+Δβ和θ（τ）=βc2δWe1-δτ- 1.- cβ+Δδlogwe1-δτ沿着自由边界。速率dΘt/dt=-θ（T）- t）对于TTLτ=t，变得渐近恒定- T→ ∞τ减小→0，参见图3。相应的极限为limτ→∞θ(τ) = -h（y）∞) =βc（β+δ）β+（1- r）（β+δ）和θ（0）=Δβc2β+（1）- r） δ。备注4.4。如何以最佳方式获得资产头寸，将预期成本降至最低，这与之前的清算问题是自然对应的；参考[PSS11]。为此，（描述一段时间内购买的累计股份数量），可接受（购买）策略Θ的折扣成本（负收益）为∞eηtf（Yt）-)MtdΘct+Xt≥0Θt6=0eηtMtZΘtf（Yt）-+ x） dx，（4.27）e-γtSteηtMtη：u- γ-Δη>随着（预期）价格的上涨。{f+Vy中的变分不等式- Vθ，ηV- hVy}=0。对于最优清算问题，以前采用的一种方法再次允许通过自由边界构造区域和购买区域的经典解，即θ（y）=-1+h（y）λ（y）η-h（y）h（y）ηh（y）+h（y）（hλ+h）- η）（y）η（hλ+h- η）（y，y）≥ y、（4.28）初始条件θ（y）=0，其中是h（y）λ（y）=η的唯一根（类似于（4.1）η>f∈ Cfλy:fy/fy>h∈ Chh>h>hh（hλ）>0和（hλ+h）>0。注意，除了η>0和（h）>hh之外，这些都符合假设3.2。

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2022-5-7 07:50:03

对于α，β>0，满足（h）>hhareh（y）=βyandh（y）=αarctan（βy）的示例。（4.28）y∞分母hλ+h-η、丁∞< yandθ（y）=h（hλ）/（ηh）（y） >0。技术条件（h）>hh保证所有y的边界严格增加≥ y、五,。最优清算具有非单调策略、显著的价格影响和明确的分析结果，我们简化了其他模型方面。这是对常见的相对流动性风险资产所观察到的主要单点价差的理想化[CDL13]。但请参见备注5.4。我们证明了当0时，最优交易策略是单调的-不太小（见备注5.3）。更准确地说，非恒定界面，与第4节中构造的自由边界重合。例如，在第2.1节中，我们只指定了LOB的投标方。现在，西方战略可以用一对不断增长的c`adl`ag过程来描述（a+，a-) A±0-= 0，其中+t（分别为A-t）描述累计售出（或购买）的资产数量。她的风险资产头寸为Θt=Θ0--（A+t）- A.-t）在蒂梅特≥0.我们假设价格影响过程Y=YΘ由（2.2）和Θ=Θ0给出--（A）+- A.-), 最佳买入价和卖出价按照相同的过程S=f（YΘ）S演变，也就是说买卖价差为零。按timetof大小执行市场购买订单的收益A.-t> 0由（2.5）和Θt=A.-t、收益为负γ交易策略收益（A+，A-) 在一段时间内[0，T]areLT=-中兴通讯-γtf（Yt）标准Θct-十、Θt6=0吨≤Te-γtStZΘtf（Yt）-+ x） dx。（5.1）对于有限变异策略，Θ（5.1）中的和绝对收敛，参见。

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何人来此

2022-5-7 07:50:06

备注3.1。我们考虑了可容许交易策略集SABV（Θ0）上的优化问题-):=Θ = Θ0--（A）+-A.-) | A±在增加，c`adl`ag，可预测，有界，A±0-= 0和Θt≥ 0代表t≥ 0, （5.2）AA+- A.-Aeven（有界）变异；最后一个条件意味着卖空是不允许的。为了一个可接受的策略Θ∈ Abv（Θ0）-),LT（y；Θ）如（3.3）所定义，但扩展到（5.1）中的一般有界变异策略，描述了在时间间隔[0，T]上实施Θ的收益。这些收益是everyT的最终收益≥0，见备注3.1。极限→∞ltylyl+y- L-y、 LyLy±±0- A±L±Ty≤ LTy±T≥YΘ-≥ YΘ≥ YΘ+A+A-≤ CCL±Ty≤ L∞y±∈ 莱弗里特≥.通过控制收敛，我们得到L±T（y；Θ）→ L±∞（y；Θ）inLandT→ ∞极限→∞伊蒂尔+∞Y- L-∞y:我∞YLJY可能的中间购买，maxΘ∈Abv（Θ0）-)J（y；Θ）代表J（y；Θ）：=E[L∞（y；Θ）]，（5.3）定义明确。通过第3节（参考命题3.6和命题3.8）中的论证，我们可以看到，在这种情况下，有必要找到以下问题的经典解vy+Vθ=f，关于R×[0，∞), (5.4)-δV- h（y）Vy≤ R×[0]上的0，∞), (5.5)-, t最优清算策略可以用一个卖出区和一个买入区除以一个边界来描述。SWB:R×，∞\\ Sy，θBy，θ∈ R×，∞y、 θk·k(-, -1）点（y，θ）到边界的距离S={（y（θ），θ）|θ≥} ∪ {（y，0）|y≥ y} ，即（y）- , θ - ) ∈ 回顾一下VSin（4.26）和letVB（y，θ）的定义：=Vbdry（θ）- （y，θ）-Zy-（y，θ）yf（x）dx，表示（y，θ）∈ B.到目前为止的讨论表明，以下函数将是问题（5.4）-（5.5）的经典解决方案，描述优化问题（5.3）的值函数：VB，S（y，θ）：=（VS（y，θ），if（y，θ）∈ S、 VB（y，θ），if（y，θ）∈ B、（5.6）直到乘法常数S。

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mingdashike22

2022-5-7 07:50:09

注意，（5.6）中的两种情况都可以组合为vb，S（y，θ）=Vbdry（θ）- （y，θ））+Zyy-（y，θ）f（x）dx，对于所有（y，θ）。可能存在中间购买的最优清算问题。定理5.1。让模型参数sh，λ，δ满足假设3.2。函数VB，Sis公司（R×[0，∞)) 求出（5.4）和（5.5）。优化问题（5.3）的值函数由S·VB，S给出。此外，对于给定的股份数9200-≥Y0-Y战略Θopt由Θopt0给出-= 0和：1。如果（y，Θ0）-)∈ S、 9200的清算策略是什么-如定理3.4.2所述，从y开始的份额和影响过程。如果（y，Θ0）-)∈ B、 Θoptconsists初始购买订单|（y，9200）-)|股票（因此，b然后根据9200的清算策略进行交易）-+|（y，9200）-)|从y+开始的共享和影响过程|（y，9200）-)| 如定理3.4所述。在c`adl`ag空间的某些拓扑中，请参见[BBF17，第5.2节]）。备注5.2。GZ15h≡在没有交易成本的情况下，在时间0完成初始清算。这也可以≡YΘtY0--0-t（3.3）可以写成lt（Θ）=ZTF（YΘt）dE-δtMtT-E-δΘtmy- MF（Y0-)(5.7)= -δ中兴通讯-δtMtF（YΘt）dt+ZTe-δtF（YΘt）dMt-E-δTMTF（YΘT）- MF（Y0-)Fy:Ry-∞fxx≥fF<∞^Θt≥^Θtt≥英语教学≤ ELT^Θ^Θt：≤tt≥Θ∈ Abv（Θ0）-). 此外，方程式（5.7）表明，在无漂移（δ=0）的情况下，【GZ15，第3.5条之前的评论】中观察到的Talready，并显示出与永久和瞬态冲击的显著差异；参见备注3.10。备注5.3。结果表明，当市场影响的初始水平为su fficiency y0时-< yupwards趋势为（2.2），则最优清算策略可能包括初始大宗买入，然后继续出售风险资产头寸。从这个意义上说，我们的模型是12Y0-< YLS13操作策略，购买价格趋于0的资产似乎很自然-<timet=0，然后最佳策略就是销售。

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mingdashike22

2022-5-7 07:50:13

尽管如此，对于未受干扰价格过程的典型选择（例如指数布朗运动），我们可以证明我们的模型不提供（通常意义上的）正概率管理负收益（即损失）的套利机会，见[BBF17，第4节]。Y0-≥ 因此，最优的清算策略永远不会涉及中间购买。这尤其包括中性初始冲击的情况-= 0（如在[PSS11]中），或仅为yy0-∈Y∞将扩展到非零买卖价差的情况，如下所述。备注5.4。对于非零买卖价差的模型。事实上，如果最初的市场影响不是太小（Y0-≥ y）在我们的模型中，LOB-bid-side被描述为，在一个具有非零买卖价差的模型中，最优清算策略仍然是单调的（仅与LOB-bid-side相关），并且将由定理5.1 sincesupΘ描述∈阿蒙（9200）-)J（Y0-; Θ）=supΘ∈Abv（Θ0）-)J（Y0-; Θ) ≥ supΘ∈Abv（Θ0）-)Jspr（Y0-; Θ），有JSPR（Y0-; Θ）表示非零利差模型的成本函数，asJ（Y0-, ·)和Jspr（Y0）-, ·) 在阿蒙（Θ0）上重合-) 这种不平等是由传播造成的。示例5.5（比较乘法和加法影响）。我们想重点介绍Lorenz和Schied[LS13]的加性瞬态冲击模型，该模型通过允许未受影响的价格过程出现非零漂移，推广了[OW13]中的连续时间模型。我们将在下面给出两种模型的简单说明，我们将给出：EσW布朗运动和σ>0，我们采用标准Black-Scholes模型中两种模型的未受影响价格，即t=St:=SE（ut+σW）t=S+Nt+kts∈ (0, ∞), （5.8）鞅部分Nt:=Rtσssdw和有限变化部分Kt:=Rtussd。十、 TX0-xXtt≥ TLS13SXt:StηEXt-,分机：e-ρtR[0，t]eρsXs/η∈, ∞提取-弹性函数h（y）的ρEXttXtYΘandΘby（2.2）：=ρy。

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2022-5-7 07:50:16

我们让Y0-:= 0表示Y=卖出和买入订单的市场深度（LOB交易量）；价格应该是≈ Sfyfyey/cc:S/ηηby[LS13，引理2.5]asC（X）：=Z[0，T]St-dXt+[S，X]T+Z[0，T]EXt-根据[LS13，定理2.6]，最优半鞅策略XwithX0-=x、使E[C（x）]最小化，其形式为xt=x（1+ρ（T- t） )-（1+ρt）Z2+ρt-Z（0，t]~n（s）dZs+2ρKt- ρZtZ（0，s]~n（r）dZr+Ksds，t∈ [0，T），ΘT，XT图5：最佳风险资产头寸x，分别为Θ，随时间变化，s=1，初始头寸0-X0-u-.σ.ρ.X·ωt线前[Xt]。黄色是我们的mLOB模型的最佳策略Θ，没有γγ>Tγ<减小的向下漂移δ=γ- u）使得ΘT=E[XT-].其中φ（t）=（2+ρ（t）- t） )-1，导数Ekt:=dKt/dt=uStand，其中Zt等于hkt+ρRTKsdsFti。对于Black-Scholes类型的未受影响的价格动态，此yieldsZ=(1- euT）（1+ρu）+ρT沙dZt=- eu（T）-（t）1 +ρu+ρ（T）- （t）σStdWt。特别是，卖空可能会发生，清算在最终大宗出售的时间结束。对于选择的价格动态（5.8），最优清算策略在LS-ModelLs13参数中，我们的最优策略在更大类别的边界半鞅策略中也可以被证明是最优的。然而，请注意，mLOB模型中的优化是在没有卖空的情况下，通过一组较小的策略实现的。μρS0-T、 TTuTρS0-δγ - ut选择参数以突出其质量差异。在mLOB模型中，不耐烦γ调整清算时间（蓝线）或更特别的方式调整X0-=待清算股份被视为大额股份，即以积木型附加订单（att=0）投标方正价格提供的股份总额。因此，p:p[T∈, T:SXTt<]SXtXXTT，σ，X0-获得例如p≈ 0.7.dS/S为LS车型购买和销售。

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2022-5-7 07:50:19

从这个意义上讲，LS模型中的最优策略表现出交易触发的价格操纵，其精神是[ASS12，定义1]（不连续时间）负漂移u<0，而mLOB模型中的情况并非如此，根据定理5.1，参见备注5.3。让我们注意到，在Lorenz-Schiedmodel中，如果（加性）Bachelier型dSt=udt+σdWt，则可以获得（有界变化的）确定性最优策略。价格动态。让我们注意到，当然，随机最优策略也可以达到BBF16公平地注意到，资产价格和价格影响的加性模型有更容易分析的好处，特别是对于没有漂移的鞅情况。我们认为，机构投资者（如机构投资者）显然需要更长的视野；CL95LMS12LVMP07BLZ16由于负（模型）价格的概率可能很小，因此对于实际实施而言，很好的可处理近似值，参见[ST08，FKTW12]或[ASS12，第514页]。A.附录为了证明对验证至关重要的变分不等式，它将有助于haveLemma A.1。对于所有θ≥ 我们有vbdry（θ）=Zθf（y（x））expZθxδh（y（Z））dz经验Zy（x）y（θ）δh（y）dydx。证据使用等式（4.1），一个得到szθδh（y（z））dz=Zy（θ）yδh（y）θ（y）dy=Zy（θ）yδh（y）1+h（y）λ（y）δ-h（y）h（y）δh（y）+h（y）hλ+h+δ（y） δhλ+h+δ（y）dy=Zy（θ）yδh（y）dy+日志f（y）y（θ）y-对数h（y）y（θ）y+hloghλ+h+δ（y）因此它遵循expZθδh（y（Z））dz=f（y）经验Zy（θ）yδh（y）dyf（hλ+h+δ）h（y（θ）），这意味着expZθxδh（y（Z））dz+Zy（x）y（θ）δh（y）dy=f（hλ+h+δ）h（y（θ））hf（hλ+h+δ）（y（x））。在与f（y（x））相乘后，使用引理A.2进行积分，得到了这个结论。引理A.2。让θ≥ 0

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2022-5-7 07:50:23

ThenRθhhλ+h+δ（y（x））dx=h（hλ+δ）δ（hλ+h+δ）（y（θ））。证据在θ=0时，两边都等于零，所以必须证明它们的导数相等。通过方程（4.1），我们得到了y=y（θ）：hhλ+h+Δθ=hhλ+h+δ的函数1+hλδ-hhδh+h（hλ+h+δ）δ（hλ+h+δ）=h（δ+hλ）（hλ+h+δ）- hh（hλ+h+δ）+hh（hλ+h+δ）δ（hλ+h+δ）=h（hλ+h+δ）-（h） +hh（hλ+h+δ）+hh（hλ+h+δ）δ（hλ+h+δ）=hδ-hhδ（hλ+h+δ）=h（hλ+δ）δ（hλ+h+δ）.引理A.3。我们有不等式（3.12），即VWy+VWθ>f，在W证明中成立。必须证明这一点→（VWy+VWθ）/f（y，θ）=:k（y）是严格递减的-∞, yθkyθ使用第4.1节中的符号，我们得到了y≤ y（θ）f（y）k（y）=C（θ）φ（y）- λ（y）φ（y）+ C（θ）φ（y）- λ（y）φ（y）.自φ=-Δφ/h，我们得到φ- λφ=-φ（λh+δ）/手φ- λφ=Δφ（λh+h+δ）/h.y<y∞k<-∞, Y∞Cθ，Cθ>θ>（4.6）fyky<y∞, yθ（4.6）C/C，我们检查y7→λh+h+δh（λh+δ）（y）严格地说是在增加∞, y）。实际上，h（λh+δ）ddyλh+h+δh（λh+δ）= （λh+h+δ）|{z}>0h（λh+δ）|{z}≥0- （λh+h+δ）|{z}≥0h（λh+δ）> 0y∞, yhλhδhλhδ严格递减，见假设3.2。回顾第4.4节中的区域：={（y，θ）∈ R×[0，∞)| y（θ）<y<y+θ}和：={（y，θ）∈ R×[0，∞) | y+θ<y}。引理A.4。我们有不平等（3.10），即。-δVS- h（y）VSy<0，在S-Proof中保持不变。y>ygθ：δVSy，θhyVSyy，θθ∈ （0，y）- y] 。通过等式（4.25），我们发现（θ）=ddθδZyy-θf（x）dx+h（y）f（y）- f（y）- θ)= δf（y）- θ） +h（y）f（y）- θ） =f（y）- θ)δ+h（y）λ（y）- θ)> f（y）- θ)δ+h（y）- θ） λ（y）- θ)≥ f（y）- θ)δ+h（y）λ（y）= 0，通过h和hλ的单调性。注意g（0）=0，所声称的不等式如下。引理A.5。我们有不平等（3.10），-δVS-h（y）VSy<0，保持不变。MoreoverVbdry（θ）=f（y（θ））+δh（y（θ））1.- y（θ）Vbdry（θ）（A.1）和VSy（y，θ）=f（y）- f（y）- ) -δh（y）- )Vbdry（θ）- ). （A.2）证据。设（y，θ）∈ s

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可人4

2022-5-7 07:50:28

通过（4.22），我们得到θ- = θ（y）- ), 暗示y=θ（y）- )θ（y）- ) - 1=1 - y（θ）- ).利用引理A.1，我们得到了Vbdry（θ）=f（y（θ））+δh（y（θ））1.- y（θ）Vbdry（θ）和相应的Vbdry（θ- ) = f（y）- ) +δh（y）- )1.- y（θ）- )Vbdry（θ）- ).θvsy=4，方程如下- ) · (-y） +f（y）- f（y）- )(1 - y） =f（y）- f（y）- ) -δh（y）- )Vbdry（θ）- ).现在我们fix（yb，θb）：=（y-, θ-) 在边界和边界上≥0表示g的单调性():= δVS（yb+, θb+) + h（yb+)VSy（yb+, θb+), 等于δVbdry（θb）1.-h（yb+)h（yb）+ δZyb+ybf（x）dx+h（yb+)f（yb+) - f（yb）给出g（0）=0。因此，一个() = δVbdry（θb）-h（yb+)h（yb）+δf（yb+)+ h（yb+)f（yb+) - f（yb）+ h（yb+)f（yb+)= -h（yb）+)δh（yb）Vbdry（θb）+f（yb）+f（yb）+)hλ+h+δ（yb）+)= -h（yb+)f（yb）hλ+h+δ（yb）h（yb）+f（yb+)hλ+h+δ（yb+).肯塔基州：（hλhδ）/hyky∞kyky>y>Yan并且它在（y）中增加∞, y）因为我们在区间k（y）（h）>（hλ+h+δ）h上有-（hλ+h+δ）h-（hλ+δ）（hλ）=（hλ）h-（hλ+δ）（hλ+h）>0。因此，FK在（y）中也在增加∞, y] ，这意味着()>0弗利∞< yb≤ yb+≤ y、现在让yb+ > y、这里有k（yb+) > 因此()h（yb+)=fk（yb）+)-fk（yb）≥fk（yb）+)-fk（y） >f（yb）+)-f（y）>0。总之，g() > 每小时0 > 0，这意味着g() > 0代表 > 0.引理4.2的证明。WSSVC引理A.3到A.5，而等式（3.9）、（3.11）和（3.13）通过构造是清晰的。设（y，θ）∈ W∩ S、大豆=y（θ）和 = 0.施工保证了连续性。VWyVWθyyθvwyvsy在引理A.5的证明中已经做了g（0）=0。y、 θ∈ s∩ SyyθVbdry（0）=0，sinceh（y）λ（y）+δ=0。通过构造，引理A.5中的方向导数vy+VθSVyshown，我们得到vxy（y+θ，θ）=f（y+δ）- f（y）=VS（y+θ，θ）。最后，让（y，θ）∈ R×{}。因为h（y）λ（y）+δ=0，它直接跟随v（·，0）=0。我们只需要证明Vθ（y，0）=limθ和0θV（y，θ）的存在性和连续性。莱蒂。

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