聚合效用的随机场及其鞍共轭

2022-5-5 03:40:18

282.5.1定理2.14和2.15的证明。282.6额外的婚姻关系。322.6.1定理2.18的证明。342.7太空船，埃甘道夫（c），eG（c）。363聚合效用函数373.1定理3.1和3.2的证明。384聚合效用的随机场及其共轭424.1定理4.1和4.2的证明。45A鞍函数的包络定理50B鞍随机场的可积性52C鞅的随机场561设置和动机集um=um（x），m=1，M、满足假设1.1的r实线上的函数。每个函数都是严格凹的、严格增加的、连续可微分的，并且（1.1）limx→∞嗯（x）=0。（1.1）中的标准化归零仅为方便起见而添加。根据假设1。我们清楚地推断出（1.2）limx→-∞嗯（x）=-∞.我们的许多结果都是在附加条件下得到的，特别是从上面暗示了UMP的有界性。假设1.2。每个函数都是两次连续可微的，对于某些常数c>0，（1.3）c≤ am（x），-u′m（x）u′m（x）≤ c、 x∈ R.在下面讨论的价格影响模型中，函数（um）和（am）描述了公司的效用和绝对风险规避。根据假设1。1和1.2我们推断（1.4）c≤ -u\'m（x）um（x）≤ c、 x∈ R.用R=R（v，x）表示v加权的sup卷积：R（v，x），maxx+···+xM=xMXm=1vmum（xM），（v，x）∈ (0, ∞)M×R。此函数的属性在第3节中收集。在某种程度上，为了∈ (0, ∞)M、 r上的函数r（v，·）满足与每个um相同的假设1.1和1.2。

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2022-5-5 03:40:20

通常，在金融经济学中，我们称r=r（v，x）为聚集效用函数。设∑和ψ=（ψj）j=1，。。。，完全过滤概率空间上的Jbe随机变量(Ohm, 英尺（英尺）0≤T≤T、 P）具有一定的成熟度。表示∑（x，q），∑+x+hq，ψi=∑+x+JXj=1qjψj，（x，q）∈ R×RJ，并假设（1.5）E[R（v，∑（x，q））]>-∞, （v，x，q）∈ A、式中（1.6）A，（0，∞ )M×R×RJ。论文的主要结果，理论4。1和4.2，描述给定随机场F=Ft（a）和G=Gt（b）的采样路径，对于t∈ [0，T]，byFt（a），E[r（v，∑（x，q））|Ft]，a=（v，x，q）∈ A、 Gt（b），supv∈(0,∞)明克斯∈R[hv，ui+xy- Ft（v，x，q）]，b=（u，y，q）∈ B、其中（1.7）B(-∞, 0）M×（0，∞) ×RJ。尤其是理论4。1表明，这些领域的空间参数和RCLL随时间的变化是不同的，而定理4.2仅根据假设1的风险规避界限，为其空间二阶导数提供了统一的估计。2.鉴于其建设，我们将其称为综合公用事业领域。当然，r=r（v，x）的基本正则性性质是众所周知的，尽管主要是针对正半直线上的效用函数。我们参考了Dana[4]、Dana和Le Van[5]以及Karatzas等人[7]以及其中的参考文献，以获得相关结果，例如，关于x的差异性和关于v的敏感性。然而，据我们所知，之前尚未深入研究现场FHA描述的诱导预期效用的过滤版本。特别是，它在鞍函数空间中作为anRCLL过程的结构似乎是新的。我们也无法找到分析或制作鞍形共轭G的参考。我们的工作是基于对具有价格影响的金融模型的研究；参见随附的文件[1]、[2]和[3]。

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2022-5-5 03:40:23

在该模型中，M市场庄家向大型投资者提供J股票的效用差异价格。市场庄家的偏好由效用函数（um）m=1，。。。，最终的财富。他们最初的捐赠总额由∑给出。最终股息ψ=（ψj）j=1，。。。，J.如果由于在时间t之前与大型投资者进行交易，做市商获得了现金金额x和股票数量q=（qj），那么他们的总捐赠变成∑（x，q）。该模型假设∑（x，q）以帕累托最优配置π（a）=（πm（a））的形式分布在做市商之间，对于a=（v，x，q）∈ A、由（1.8）vmu′m（πm（A））给出=Rx（v，∑（x，q）），m=1，这里是帕累托权重∈ (0, ∞)正常数乘法的唯一性。时间t in时的贸易q股票导致新的帕累托最优配置π（a+a） =π（x+x、 q+q、 v+v）由效用差异的条件决定：E[um（πm（a））|Ft]=E[um（πm（a+a））|Ft]，m=1，M.更一般地说，给定股票的RJ值需求过程Q=（Qjt），模型的演化由现金量的过程X=（Xt）和帕累托权重的过程V=（Vmt）来描述，求解方程：（1.9）Umt（At）=Um（A）+ZtUm（As，ds），t∈ [0，T]，m=1，M.这里A，（V，X，Q）是一个可预测的过程，其值为A，随机域（A）=Um（A，t），E[Um（πM（A））|Ft]，A∈ A、代表mth做市商的预期公用事业，该领域的非线性Tochastic积分定义见Kunita[8]第3.2节。

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nandehutu2022

2022-5-5 03:40:26

特别是，如果uma对d维布朗运动B进行积分表示umt（a）=Um（a）+ZtKms（a）dBs，使得d维tochastic field Km=Kms（a）具有关于a的连续样本，则ztum（As，ds），ZtKms（As）dBs。如果我们限制V取单纯形内部的值：（1.10）SM，（w∈ （0,1）M:MXm=1wm=1），那么，对于给定的Q，如果（1.9）有唯一解（X，V），则模型的演化是明确的。然后，数学问题是指定条件，如果这是真的。（1.9）研究中的一个自然想法是用U代替（X，V），因为这个方程采用了一种熟悉的“显式”形式。随机场X=（Xt（u，q））和V=（Vmt（u，q））的相关构造与u=（Umt（X，u，q））相反，即Umt（Xt（u，q），Vt（u，q），q）=um，m=1，M、通过观察U是F:Umt（a）的v梯度，可以大大简化=英尺vm（a），a=（v，x，q），m=1，M.共轭鞍函数理论，见Rockafellar[10]的第七部分，然后允许我们用G:Xt（u，q）的偏导数来表示X和V=燃气轮机y（u，1，q）=Gt（u，1，q），Vmt（u，q）=燃气轮机umPMl=1燃气轮机ul（u，1，q）。因此，随机场U、X和V的性质源自F和G，从而推动了对后者的研究。我们请读者参考[1]和[2]了解价格影响模型的更多细节，并参考[3]了解确保（1.9）唯一性的便利条件。这些论文广泛使用了当前研究的结果，并解释了经济背景以及相关工作。本文的组织结构如下。第2节定义并研究了可加函数的适当共轭空间。在第4节中，这些空间包含随机场Ft=Ft（a）和Gt=Gt（b）的样本路径。

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2022-5-5 03:40:30

第4节中主要定理的证明还包括第3节中给出的函数r=r（v，x）的性质，以及附录A中所述鞍函数的“包络”定理，在附录b和C.2鞍函数共轭s空间中给出的随机场和随机场的样本路径标准上，我们研究了鞍函数的共轭空间，这些空间后来被证明支持随机场F=Ft（a）和G=Gt（b）的样本路径。回想一下一些标准符号。对于函数f=f（x，y），其中x∈Rnand y∈ Rm，我们用F十、F十、Fxn关于tox和by的部分导数向量f(F十、Fy）这是梯度。为了一个刚毛第三，符号 A和cl分别代表边界和闭包。对于x，y∈ Rd表示hx，yi，Pdi=1xiyi和|x |，phx，xi，欧氏标量积和范数。2.1对于RM中的单纯形内部，空格Fand FRE称为参数集A from（1.6）和符号SMfrom（1.10）的构造。我们经常会写一篇文章∈ A作为A=（v，x，q），其中v∈ (0, ∞)M、 x∈ R、 q∈ RJ。对于函数f:a→ (-∞, 0）确定以下条件：（F1）函数f在A（F2）上对每个（x，q）连续可微∈ R×RJ，函数f（·，x，q）是正齐次的：（2.1）f（zv，x，q）=zf（v，x，q），对于所有z>0和v∈ (0, ∞)M、在（0，∞)M

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2022-5-5 03:40:33

此外，如果M>1，则f（·，x，q）在SMand（2.2）limn上是严格凸的→∞f（wn，x，q）=0，对于每个序列（wn）n≥1在接近M的边界点时。（F3）每v∈ (0, ∞)M、函数f（v，·，·）在R×RJ上是凹的。（F4）对于每（v，q）∈ (0, ∞)M×RJ，函数f（v，·，q）在R和（2.3）limx上严格凹增→∞f（v，x，q）=0。（F5）函数f在A上是两次连续可微分的，对于everya=（v，x，q）∈ A.Fx（a）<0，矩阵a（f）（a）=（Alm（f）（a））l，m=1，。。。，由（2.4）Alm（f）（a）和vlvm管理F十、Fvl虚拟机-F十、Fvl十、F虚拟机十、（a），具有完整的等级。我们现在定义函数族：F，{F:A→ (-∞, 0）：（F1）-（F4）保持}，F，F∈ F:（F5）保持.Rema rk 2.1。稍微滥用符号我们将使用相同的符号Fi，i=1，2，表示函数族f=f（v，x）（0，∞)对A上的函数的M×R自然扩展ef（v，x，q），f（v，x）属于Fi。注意，在本例中，（F3）跟在（F4）后面。下面介绍的其他功能空间也将使用类似的约定。2.2空格和GRE调用（1.7）中参数集B的构造。我们将经常写作b∈ B为B=（u，y，q），其中u∈ (-∞, 0）M，y∈ (0, ∞), 安迪克∈ RJ。对于a函数g:B→ 定义以下条件：（G1）函数g在B（G2）上对每个（y，q）连续可微∈ (0, ∞ ) x RJ，函数g（·，y，q）严格递增且严格凸(-∞, 此外，（a）如果（un）n≥这是一个序列(-∞, 0）M接近0，然后（2.5）limn→∞g（un，y，q）=∞.（b）如果（联合国）≥这是一个序列(-∞, 0）M接近边界点(-∞, 0）M，然后（2.6）limn→∞Gu（un，y，q）= ∞.（c）如果M>1和（un）n≥这是一个序列(-∞, 0）如（2.7）lim supn→∞对于所有m=1，…，umn<0，曼德（2.8）林→∞umn=-∞ 对我来说∈ {1, . . .

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2022-5-5 03:40:37

，M}，然后（2.9）limn→∞g（un，y，q）=-∞.（G3）对于每个y∈ (0, ∞), 函数g（·，y，·）是凸的(-∞, 0）M×RJ。（G4）对于每（u，q）∈ (-∞, 0）M×RJ，函数g（u，·，q）是正齐次的，即（2.10）g（u，y，q）=yg（u，1，q），y>0。（G5）函数g在B上是两次连续可微的，对于每个B=（u，y，q）∈ B、矩阵B（g）（B）=（Blm（g）（B））l，m=1，。。。，由（2.11）土地管理局（g）（b）管理，yGulG嗯Gul嗯（b）有完整的等级。我们定义了函数g，{g:B的族→ R:（G1）–（G4）保持}，G，G∈ G:（G5）保持.2.3 f与G之间的共轭关系下列定理建立了本文的关键共轭关系。定理2.2。A函数f:A→ (-∞, 0）属于Fif且仅当存在g时∈ Gwhich与f共轭，对于每一个（u，y，q）∈B、 g（u，y，q）=supv∈(0,∞)明克斯∈R[hv，ui+xy- f（v，x，q）]=infx∈Rsupv∈(0,∞)M[hv，ui+xy- f（v，x，q）]，（2.12）和，对于每一个（v，x，q）∈ A、 f（v，x，q）=supu∈(-∞,0）碎肉∈(0,∞)[hv，ui+xy- g（u，y，q）]，=infy∈(0,∞)苏普∈(-∞,0）M[hv，ui+xy- g（u，y，q）]。（2.13）（2.12）和（2.13）中的最小最大值是在唯一鞍点处获得的，对于每个固定的q∈ RJ，以下是（v，x）之间的共轭关系∈ (0, ∞)M×R和（u，y）∈ (-∞, 0）M×（0，∞) 相当于：1。给定（u，y），在（v，x）处获得（2.12）中的最小i最大值。给定（v，x），在（u，y）处获得（2.13）中的极小极大值。我们有x=Gy（u，y，q）=g（u，1，q）和v=Gu（u，y，q）。我们有一个=Fx（v，x，q）和u=Fv（v，x，q）。此外，在这种情况下，f（v，x，q）=hu，vi，g（u，y，q）=xy和（2.14）Gq（u，y，q）=-F2.3.1定理的证明2。2证明基于罗卡费拉经典著作[10]第七部分中提出的鞍函数理论。

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能者818

2022-5-5 03:40:40

为了简化计算，我们省略了对q的依赖，因为q并不重要，然后用Remark2来解释这些类。引理2.3。设f=f（v，x）：（0，∞)M×R→ (-∞, 存在一个连续可微分的g=g（u，y）：(-∞, 0）M×（0，∞) →R、它与f共轭，在这个意义上，对于每一个u∈ (-∞, 0）曼迪∈ (0, ∞),g（u，y）=supv∈(0,∞)明克斯∈R[hv，ui+xy- f（v，x）]=infx∈Rsupv∈(0,∞)M[hv，ui+xy- f（v，x）]，（2.15）和，对于每一个v∈ (0, ∞)曼德x∈ R、 f（v，x）=supu∈(-∞,0）碎肉∈(0,∞)[hv，ui+xy- g（u，y）]，=infy∈(0,∞)苏普∈(-∞,0）M[hv，ui+xy- g（u，y）]。（2.16）此外，（2.15）和（2.16）中的m i nimax值是在唯一鞍点处获得的。证据为了便于参考[10]中的第37节，我们通过在（0，∞)M×R为（2.17）f（v，x）=（0，v）∈ RM+∞, v6∈ RM+，x∈ R、其中RM+，[0，∞)M.通过（2.1）和（2.2），扩展f变成了封闭鞍函数（根据[10]第34节中的定义），具有有效域f，domf×domf=RM+×R，其中，五、∈ RM:f（v，x）<∞, 十、∈ R= RM+，domf，十、∈ R:f（v，x）>-∞, 五、∈ RM= R.使用f的扩展版本，我们引入了鞍函数sg（u，y），supv∈RMinfx∈R[hv，ui+xy- f（v，x）]=supv∈RM+infx∈R[hv，ui+xy- f（v，x）]，g（u，y），infx∈Rsupv∈RM[hv，ui+xy- f（v，x）]=infx∈Rsupv∈RM+[hv，ui+xy- f（v，x）]为u定义∈ 曼德·y∈ R和取值[-∞, ∞].

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2022-5-5 03:40:44

根据共轭鞍函数的对偶理论，参见[10]，定理37.1和推论37。1.1和37.1.2，函数g和g有一个共同的有效域，我们将其表示为C×D，并在（int C×D）上重合∪ （C×int D），其中int A表示集合A的内部。因此，on（int C×D）∪（C×int D）我们可以定义一个有限的鞍函数g=g（u，y），使得g（u，y）=supv∈RM+infx∈R[hv，ui+xy- f（v，x）]=infx∈Rsupv∈RM+[hv，ui+xy- f（v，x）]。（2.18）此外，从[10]中相同的定理37.1和推论37.1.1和37.1.2，由于（2.17）是f到RM+1的唯一闭扩张，我们推导出f（v，x）=supu∈轻巧的∈int D[hv，ui+xy- g（u，y）]，=infy∈Dsupu∈int C[hv，ui+xy- g（u，y）]，（v，x）∈ RM+1。（2.19）注意到g的持续差异(-∞, 0）M×（0，∞) 作为（2.15）鞍点的存在性和唯一性的直接结果，见[10]，定理35.8和推论37.5.3，我们得到的结果为if1。集合C和D的内部由int C=(-∞, 0）M，（2.20）int D=（0，∞);(2.21)2. 对于（u，y）∈ (-∞, 0）M×（0，∞), （2.18）中的极小极大值在唯一（v，x）处得到∈ (0, ∞)M×R；3.对于（v，x）∈ (0, ∞)M×R，在（2.19）中的极小极大值是唯一的（u，y）∈ (-∞, 0）M×（0，∞).对于集合C，我们有C，U∈ RM:g（u，y）<∞ f或所有y∈ R=（u）∈ 客房：supv∈RM+[hu，vi]- f（v，x）]∞ 为了一些x∈ R）=U∈ 客房：谢谢∈SM[hu，wi- f（w，x）]≤ 0代表一些x∈ R,在最后一步中，我们使用了（2.1）。作为f≤ 在RM+×R上为0，我们有C (-∞, 另一方面，由（2.2）和（2.3），以及，自，f或everyw∈ SM，函数f（w，·）在增加，limx→∞infw∈SMf（w，x）=0。接下来就是(-∞, 0）米 C、证明（2.20）。对于我们得到的D组，Y∈ R:g（u，y）>-∞ 为了所有的你∈ RM=Y∈ R:infx∈R[xy- f（v，x）]>-∞ 对一些人来说∈ RM.Fr om（2.3）我们推断D R+。作为f≤ 在RM+×R上为0，点y=0属于D。

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2022-5-5 03:40:48

如果y>0，那么（2.1）意味着v的存在∈ ( 0, ∞ )姆苏切蒂=Fx（v，1），因此，对于这样的y和v，infx∈R[xy- f（v，x）]=y-f（v，1）>-∞.因此，D=R+，意味着（2.21）。修正v∈ (0, ∞)曼德x∈ R.根据f的性质，f（v，x）∈ (-∞, 0）M×（0，∞) = int C×int D，意味着（u，y），f（v，x）是（2.19）的唯一鞍点，参见[10]中的推论37.5.3。现在修好你∈ (-∞, 0）曼迪∈ (0, ∞). 由于f（被视为RM+1上的函数）是一个闭鞍函数，（u，y）属于g的有效域的内部，所以（2.18）中的极小极大值附加在鞍点的闭凸集上，即g在（u，y）处的次微分，见[10]中的推论37.5.3。为了完成这个证明，我们需要证明这个集合是（0，∞)M×R.如果（bv，bx）是（2.18）的鞍点，那么（bv，bx）∈ domf=RM+×R，and g（u，y）=bxy+hbv，ui-f（bv，bx）=bxy+supv∈RM+[hv，用户界面- f（v，bx）]=hbv，ui+infx∈R[xy- f（bv，x）]。考虑到f（·，bx）的阳性同质性（2.1），我们推断BXY=g（u，y），（2.22）hbv，ui- f（bv，bx）=supv∈RM+[hv，用户界面- f（v，bx）]=0，（2.23）bxy- f（bv，bx）=infx∈R[xy- f（bv，x）]。（2.24）平等（2.22）定义了bx的独特性。为了展示bv的独特性，我们首先观察bv∈ (0, ∞)事实上，否则，我们会有f（bv，x）=0，x∈ R、（2.24）的右边是-∞. 因此，bv可以分解为bw的产物∈ SMand bz>0。根据（2.1）和（2.23），hbw，ui-f（bw，bx）=supw∈SM[hw，ui- f（w，bx）]=0。由于f（·，bx）在SM上是严格凸的，这个恒等式唯一地决定了bw。最后，从（2.24）和f（bv，·）在R上的连续可微性得出thaty=Fx（bv，bx）=bzFx（bw，bx），证明了bz的唯一性。引理2.4。设f和g如引理2.3所示。

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2022-5-5 03:40:51

然后g满足正同质性性质（2.10）和（v，x）∈ (0, ∞)M×R和（u，y）∈(-∞, 0）M×（0，∞) 下面的关系是等价的：1。给定（u，y）时，（2.15）中的最小最大值在（v，x）处达到。给定（v，x）（2.16）中的极小极大值是在（u，y）处得到的。我们有x=Gy（u，y）=g（u，1）和v=Gu（u，y）。我们有一个=Fx（v，x）和u=Fv（v，x）。此外，在这种情况下，f（v，x）=hu，vi和g（u，y）=xy。证据首先，我们观察到g的（2.10）遵循f的相应特征（2.1）和（2.15）中g的构造。项1–4的等价性来自于根据共轭函数的次微分对鞍点的表征，参见[10]中的定理37.5和推论37.5.3。最后一个环节很简单。引理2.5。设f和dg如引理2.3所示。然后g∈ G.证据。在引理2.3和2.4中已经建立了g=g（u，y）的连续可微性和正齐性条件（G4），而（g3）（对于不依赖于q的g）则从（G2）开始。因此，（G2）是唯一有待证明的剩余属性。鉴于（G4），仅对y=1进行验证是有效的。函数g（·，1）严格递增，因为根据表2.4第3项对鞍点（2.15）的描述，其梯度严格为正。要显示g（·，1）的严格凸性，请选择u和u，distinctelements of(-∞, 0）M，用utheir中点表示，对于i=1，2，3，setvi，Gu（ui，1），xi，g（ui，1）。自从每个vi∈ (0, ∞)M、我们可以把它表示为产品vi=ziwiof zi∈ (0 , ∞) 还有wi∈ SM

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2022-5-5 03:40:56

来自外稃2。4和正同质性（2.1）我们推导出thathui，wii- f（wi，xi）=supw∈SM[hui，wi-f（w，xi）]=0，（2.25）（y=）1=ziFx（wi，xi）。（2.26）由于（ui）i=1,2,3是不同的，（vi，xi）i=1,2,3（作为ui）也是不同的=Fv（vi，xi）由引理2.4）中的第3项和第4项的等价性得到，因此由（2.26）得到，（wi，xi）i=1,2,3。由于f（v，·）在R上是严格凹的，我们从（2.25）推出f（w，x）=hu，wi=（（hu，wi）- f（w，x））+（hu，wi）- f（w，x））+（f（w，x）+f（w，x））<f（w，（x+x））。由于f（w，·）在R上严格增加，我们推导出x<（x+x）/2，这意味着g（·，1）的严格凸性。（G2）（a）的断言（2.5）源于g（·，1）的单调性，以及通过引理2.3和2.4，每x∈ R一个人可以找到∈ (-∞, 0）这样x=g（u，1）。对于（G2）（b）和（G2）（c）的证明，我们将用矛盾来论证。让我们≥1是一个序列吗(-∞, 0）正在接近一个极限点(-∞, 0）M.表示xn，g（un，1），vn，Gu（联合国，1），n≥ 与（2.6）相反，假设序列（vn）n≥这是有界的。然后，通过g（·，1）的凸性和（un）n的有界性≥1，序列（xn）n≥1也是有界的。因此，通过传递到子序列，我们可以假设序列（vn）n≥1和（xn）n≥1接近最终限值bv∈ RM+和bx∈ R、分别。来自Lemma2。我们推断（2.27）un=Fv（vn，xn），1=Fx（vn，xn），n≥ 1.如果bv∈ (0, ∞)M、德林→∞n=limn→∞Fv（vn，xn）=Fv（bv，bx）∈ (-∞, 0）M，与我们选择的（un）n相矛盾≥1.另一方面，如果∈ RM+，然后由（2.1）和（2.2）limn→∞f（vn，x）=0，x∈ R.由于函数f（vn，·）是凹的，它们的逐点收敛到0意味着其导数在紧致集inR上一致收敛到0，见[10]中的定理25.7。这就跟那个利姆一样→∞Fx（vn，xn）=0，与（2.27）中的第二个等式相矛盾。

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2022-5-5 03:40:59

这就完成了（G2）（b）的证明。让我们现在（联合国）≥1是一个序列吗(-∞, 0）满足（G2）（c）中的条件（2.7）和（2.8）。与（2.9）相反，假设→∞g（un，1）=lim supn→∞xn>-∞.因为g（·，1）是(-∞, 0）M，（2.7）表示序列（xn）n的有界性≥1从上面看。因此，如果有必要，通过将y传递给子序列，我们可以假设它收敛到bx∈ R.确定序列（wn）n≥1在SMbywn=Gu（un，yn）=ynGu（un，1），适用于适当的归一化常数yn，n≥ 1.通过传递给子序列，我们可以假设（wn）n≥1在单纯形cl SM中接近bw。从外星2号开始。我们推断=Fv（wn，xn），n≥ 1.如果∈ SM，thenlimn→∞n=limn→∞Fv（wn，xn）=Fv（bw，bx）∈ (-∞, 0）M，矛盾（2.8）。如果bw∈ SM，然后，通过（2.2），凹函数的序列f（wn，·），n≥ 1在R上逐点收敛到0，因此在紧集上也是一致的。解释外稃2。4.我们推断Limn→∞hun，wni=limn→∞f（wn，xn）=0，与（2.7）相矛盾。这就完成了（G2）（c）的证明，以及引理的证明。引理2.6。设g=g（u，y）：(-∞, 0）M×（0，∞) → 在G中有一个连续可微函数f=f（v，x）：（0，∞)M×R→(-∞, 0）使得mi-nimax关系（2.15）和（2.16）保持并具有唯一的鞍点。证据我们遵循与引理2.3的证明类似的论点。为了使用[10]中第37节的结果，我们需要通过适当的闭合操作确定原始域边界处的g=g（u，y）值。为了你∈ (-∞, 0）Mwe集，通过连续性，g（u，0），0。

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2022-5-5 03:41:03

那么对y来说≥ 0 wede fine，通过下半连续性，（2.28）g（u，y），limε→0infz∈B（u，ε）g（z，y），u∈ (-∞, 0]M，其中b（u，ε），Z∈ (-∞, 0）M:| u- z|≤ ε.请注意，（2.28）中的限值可能是有限的。在引理2.3的证明中，我们推导出（C×int D）上定义的鞍函数f=f（v，x）的存在性∪ （D×int C），其中C，五、∈ RM:f（v，x）<∞ 为了所有的x∈ R=（五）∈ RM:supu∈(-∞,0]M[hv，ui- g（u，y）]∞ 有一段时间∈ R+，D，十、∈ R:f（v，x）>-∞ 总之∈ RM=十、∈ R：infy∈R+[xy- g（u，y）]>-∞ f或一些u∈ (-∞, 0]M,使得，f或每（v，x）∈ （C×int D）∪ （D×int C），f（v，x）=supu∈(-∞,0]Minfy∈R+[hv，ui+xy- g（u，y）]，=infy∈R+supu∈(-∞,0]M[hv，ui+xy- g（u，y）]，（2.29）和，对于每一个（u，y）∈ ( -∞, 0）M×（0，∞),g（u，y）=supv∈Cinfx∈int D[hv，ui+xy- f（v，x）]=infx∈Dsupv∈int C[hv，ui+xy- f（v，x）]。（2.30）作为g（u，y）=yg（u，1），由（G2）（c）表示每x∈ 有你∈(-∞, 0）如x所示≥ g（u，1），我们有d=R。在上面C的第二个描述中选择y=0，我们得到SUPU∈(-∞,0]米[胡，六]- g（u，0）]=supu∈(-∞,0]M[hu，vi]<∞ 我∈ RM+。如果v6∈ RM+，然后是u∈ (-∞, 0）胡说，vi>0。根据（G2）（c），对于每一个y>0，limn→∞g（nu，y）=-∞,因此，苏普∈(-∞,0]米[胡，六]- g（u，y）]≥ 林尚→∞[hnu，vi]- g（nu，y）]=∞.它遵循tC=RM+。为了你∈ (-∞, 0）Mand y>0我们有g（u，y）∈ (0, ∞)M×R，意味着（v，x），g（u，y）是（2.30）的唯一鞍点。特别地，我们得出极小极大恒等式（2.15）和（2.30）具有相同的唯一鞍点。现在让我们来看看v∈ (0, ∞)曼德x∈ R由于（v，x）属于f的有效域的内部，所以（2.29）中的极小极大值是在（v，x）处计算的属于f的次微分的鞍点的闭凸集上获得的，参见[10]中的推论37.5.3。我们将向大家展示这一套是一个独立的(-∞, 0）M×（0，∞).让（bu，by）成为鞍点。

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2022-5-5 03:41:07

然后（bu，by）∈ 多姆g (-∞, 0]M×R+，andf（v，x）=xby+hbu，vi- g（bu，by）=xby+supu∈(-∞,0]米[胡，六]- g（u，by）]=hbu，vi+infy∈R+[xy- g（bu，y）]。当g（u，y）=yg（u，1）时，我们推导出，通过>0，bu 6=0，和f（v，x）=hbu，vi，（2.31）x=g（bu，1），（2.32）hbu，vi- xby=supu∈(-∞,0]米[胡，六]- 比格（u，1）]。（2.33）bu（2.33）中上限的可达到性意味着g（bu，1）定义明确，v∈ 通过g（bu，1）。从（G2）（b）我们得出g（·，1）在(-∞, 0]因此∈ ( -∞, 当g（·，1）在（-∞, 0）M，（2.32）定义不唯一，并且，因为g（·1）在(-∞, 0）M，由等式v=by唯一确定Gu（bu，1）。鞍点（bu，by）的唯一性意味着f在（0，∞)最后，从（2.31）我们推断出f<0on（0，∞)M×R引理2.7。设g和f如引理2.6所示。然后f满足正齐次条件（2.1）和d，对于（v，x）∈ (0, ∞ )M×R和（u，y）∈(-∞, 0）M×（0，∞), Lemm的断言是2.4 hold证明。f的正同质性（2.1）是g的相应特征（2.10）的结果。剩余的断言后面跟引理2.4的证明中相同的等式。引理2.8。让g和f与lemma2.6中的一样。然后是f满意度（F2）。证据修正x∈ R.关于v的阳性同质性已在Lemma2中建立。7.引理2.4的第4项，Fv<0，表示函数f（·，x）严格递减。设（wi）i=1,2为SM中的不同点，wb为它们的中点，对于i=1,2,3，表示ui，Fv（wi，x）和yi，Fx（wi，x）。通过引理2中鞍点的刻画。4，对于i=1，2，3，我们有f（wi，x）=hui，wii，x=g（ui，1），wi=yiGu（ui，1）。根据上一个等式，我们推断点（ui）i=1,2,3是不同的。

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2022-5-5 03:41:10

（2.16）鞍点的唯一性意味着hu，wii<hui，wii，fori=1，2，因此f（w，x）=hu，wi=（hu，wi+hu，wi）<（hu，wi+hu，wi）=（f（w，x）+f（w，x）），证明了f（·x）在SM上的严格凸性。让我们现在（wn）n≥1是一个接近w的序列∈ SMFr om（G2）（c）对于每一个ε>0，我们推导出u（ε）的存在性∈ (-∞, 0）Msuchth g（u（ε），1）≤ x和-ε ≤ hu（ε），wi=limn→∞胡（ε），wni。从（2.16）中f的构造出发，我们推导出f（v，x）≥ hu（ε），vi代表每个v∈ (0, ∞)M.下面是thatlim infn→∞f（wn，x）≥ 画→∞胡（ε），wni≥ -ε、证明（2.2）。引理2.9。让g和f与lemma2.6中的一样。然后是f满意度（F4）。证据修正v∈ (0, ∞)根据引理2.4的第4项，Fx> 函数f（v，·）严格递增。设（xi）i=1,2是R，x，（x+x）和ui的不同元素，Fv（v，xi），i=1，2，3。来自外稃2。我们推导出g（ui，1）=xi，f（v，xi）=hui，vi，i=1，2，3。由此可知，（ui）i=1,2,3是不同的，因此，通过g（·，1），g（（u+u），1）<（g（u，1）+g（u，1））=（x+x）=x的严格凸性，我们从（2.16）中鞍点的唯一性推导出，如果g（u，1）<xthen f（v，x）>hu，vi（u+u），v=（f（v，x）+f（v，x）），证明了f（v，·的严格凹性。对于每一个ε>0，我们可以清楚地找到u（ε）∈ (-∞, 0）如hu（ε），vi≥-ε. 表示x（ε），g（u（ε），1）我们推导了limx→∞f（v，x）>f（v，x（ε））≥ hu（ε），vi≥ -ε、证明（2.3）。在这些准备工作之后，我们准备完成定理2.2的证明。从现在起，函数f和g将取决于“辅助”变量q∈ RJ。理论证明2。2.如果f=f（v，x，q）∈ F、然后，通过引理2.3和2.5，得到函数g（u，y，q），supv∈(0,∞)明克斯∈R[hv，ui+xy- f（v，x，q）]满足（G2）和（G4），并且对于u和y是不同的。此外，f（v，·，·，·）的凹性意味着g（·，y，·）的凸性。

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2022-5-5 03:41:14

相反，如果g=g（u，y，q）∈ G、然后，通过引理2.6–2.9，函数f（v，x，q），supu∈(-∞,0）碎肉∈(0,∞)[hu，vi+xy]- g（u，y，q）]满足（F2）和（F4），并且相对于v和x是可区分的。此外，当g相对于（u，q）是凸的时，f相对于（x，q）是凹的。最重要的证明，即关于q和关系式（2.14）的可微性off和g的等价性，遵循附录A中给出的鞍函数包络定理，定理A.1。最后，我们记得，对于鞍函数，导数的存在意味着导数的连续性，参见[10]中的定理35.8和推论35.7.1。2.4 Fand和GFor f之间的共轭关系∈ 范德格∈ G、除了矩阵A（f）和B（G）的givenby（2.4）和（2.11）之外，还定义了以下二阶导数矩阵：形式=1，M和i，j=1，J、 Cmj（f）（v，x，q），vmF十、F虚拟机qj-F十、F虚拟机十、F十、qj！（v，x，q），（2.34）Dij（f）（v，x，q），F十、-F气qj+F十、F十、气F十、qj！（v，x，q），（2.35）和mj（g）（u，y，q），G嗯G嗯qj（u，y，q）=G嗯G嗯qj（u，1，q），（2.36）Hij（g）（u，y，q），yG气qj（u，y，q）=G气qj（u，1，q），（2.37），其中在（2.36）和（2.37）中，我们使用了g相对于y的正同调性（2.10）。我们使用线性代数的标准符号：对于全秩的平方矩阵a，a-1表示它的逆矩阵，对于矩阵B，bt表示它的转置。定理2.10。

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2022-5-5 03:41:17

A函数f:A→ ( -∞, 0）属于Fif，并且只有IFT与函数g共轭∈ （2.12）和（2.13）的意义。此外，如果，对于q∈ RJ，向量a=（v，x，q）∈ A和b=（u，y，q）∈B在第2.2条第1-4项的等效条件意义上是共轭的，那么第（2.4）、（2.34）和（2.35）条中定义的f、A（f）、C（f）和D（f）的二阶导数矩阵，以及第（2.11）、（2.36）和（2.37）条中定义的g、B（g）、E（g）和H（g）的二阶导数矩阵，由B（g）（B）=（A（f）（A））关联-1，（2.38）E（g）（b）=-（A（f）（A））-1C（f）（a）、（2.39）H（g）（b）=（C（f）（a））T（a（f）（a））-1C（f）（a）+D（f）（a）。（2.40）重新标记2.11。我们选择矩阵A（f）（A）、c（f）（A）、D（f）（A）和B（g）（B）、E（g）（B）和H（g）（B）的特定形式，部分是因为它们在变换（v、x、q）下是不变的→（zv，x，q）和（u，y，q）→ （u，zy，q），z>0，根据正均质性条件（2.1）和（2.10）是自然的。2.4.1理论证明2。10在定理2.2的证明中，我们从几个引理开始，我们省略了对q的依赖。引理2.12。设f=f（v，x）和dg=g（u，y）如引理2中所示。3.那么下列断言是等价的：1。f是两次连续可微的，并且对于所有v∈ (0, ∞)曼德x∈ Rits-Hessian矩阵K（v，x）=（Kkl（v，x））K，l=1。。，M+1排名满。2.g是两次连续可微的，对于所有u∈ (-∞, 0）曼迪∈ (0, ∞) 它的海森矩阵L（u，y）=（Lkl（u，y））k，L=1。。，M+1为满秩。此外，如果（v，x）∈ (0 , ∞)M×R和（u，y）∈ (-∞, 0）M×（0，∞ ) 引理2意义下的arecon j ugate鞍点。那么L（u，y）是逆toK（v，x）。证据

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2022-5-5 03:41:20

断言的等价性是鞍函数理论中的一个众所周知的事实，是引理2中给出的共轭函数f和g的梯度表征的直接结果。4和隐函数定理。在下面的陈述中，我们将通过考虑g引理2.13的正同质性（2.10），使f和g的Hessian矩阵之间的关系更加明确。设f和dg如引理2所示。3.那么下面的断言是等价的：1。f是两次连续可微的，并且对于所有v∈ (0, ∞)曼德x∈ R（2.41）Fx（v，x）<0，f h的Hessian矩阵K（v，x）为满秩。2.f是两次连续可微的，对于所有v∈ (0, ∞)曼德x∈ R不等式（2.41）成立，M×M矩阵（v，x）的条目（2.42）为eAkl（v，x），Fvkvl-F十、Fvk十、Fvl十、（v，x），具有完整的等级。3.g是两次连续可微的，对于所有u∈ (-∞, 0）曼迪∈ (0, ∞) M×M矩阵b（u，y）和条目（2.43）eBkl（u，y），G英国ul（u，y）具有完整等级。此外，如果（v，x）∈ (0 , ∞)M×R和（u，y）∈ (-∞, 0）M×（0，∞ ) arecon j ugate的addle points在引理2的意义上。4，theneB（u，y）是fea（v，x）的反比。证据1.<==> 2.从（2.41）a和（2.42）中mat r ixeA（v，x）的构造，我们推导出a∈ RMand b∈ R方程k（v，x）ab= 0等于tob=-Fx（v，x）MXm=1F虚拟机x（v，x）amandeA（v，x）a=0。因此，在（2.41）下，矩阵K（v，x）andeA（v，x）只能同时具有满秩。1.<==> 3.我们得到满足引理2.4共轭关系的等式（u，y）和（v，x）。

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能者818

2022-5-5 03:41:23

从（2.43）中对eB=eB（u，y）的定义出发，我们得出Gat（u，y）的Hessian matr ix具有代表性（u，y）=eB（u，y）Gu（u，1）(Gu（u，1））T=Ebyvt！。为了简化符号，我们还将在（v，x）asK（v，x）处表示f的海森矩阵=M ppTz,其中M是f（·，x）在v，p处的海森矩阵(F虚拟机x（v，x））m=1，。。。，混合导数的向量列，和z，Fx（v，x）。观察（2.42）中定义的矩阵a=eA（v，x）由（2.44）eA=M给出-zppT。AseB是一个对称的正半有限矩阵a ndyv 6=0，OB的满秩表示L（u，y）的满秩。因此，通过引理2。12，在第1项或第3项的条件下，Hessian矩阵K（v，x）和L（u，y）具有满秩，并且彼此相反。用I表示M×中间实体矩阵，我们推导出ebm+yvpT=I，eBp+yvz=0。（2.45）如果z<0，也就是说，（2.41）成立，那么，通过（2.44）和（2.45），eBeA=I。因此，eB是ea的倒数，尤其是，它有满秩，证明1==> 3.相反，如果EB有满秩，则z=Fx（v，x）6=0。事实上，从（2.45）中的第二个等式，我们得到了p=0，与完整的rankof K（v，x）相矛盾。由于f（v，·）是凹的，我们推导出z<0，证明了3==> 1.定理2的证明。10.如果（v，x，q）∈ A和（u，y，q）∈ B满足定理2.2第1-4项的等价关系，则（2.4）和（2.11）中定义的矩阵A和B，以及（2.42）和（2.43）中定义的矩阵A和B由AKL=vkvlyeAkl，Bkl=yvkvleBkl，k，l=1，狐猴。13则意味着（2.38）以及该理论的其他断言，除了涉及关于q的二阶导数的断言。首先假设f∈ F.我们必须证明g是连续可微的两倍，并且（2.39）和（2.40）保持不变。

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2022-5-5 03:41:26

暂时∈ rm定义函数h:（0，∞)M×(-∞, 0）M×RJ→ 人民币YH（v，u，q）(Fv（v，g（u，1，q），q）- u） +a(Fx（v，g（u，1，q），q）- 1).从理论上讲。2我们推断，对于每一个（u，y，q）∈ B、 h(Gu，u=0，q，u。修正（u，y，q）∈ B、表示v，Gu（u，y，q），x，g（u，1，q），然后选择seam，-F虚拟机x/F十、（v，x，q），m=1，直接计算表明，对于M，l=1，M和j=1，J陛下vl（v，u，q）=eAml（v，x，q）=YVMVLAM（v，x，q），陛下qj（v，u，q）=yvj（v，x，q）。通过隐函数定理Gu=Gu（u，y，q）在（u，y，q）的邻域中与q是连续不同的，此时的关系（2.39）成立。为了证明g关于q的连续二阶导数和剩余恒等式（2.40）的存在性，我们表示BJ(F十、qj/Fx）（v，x，q），j=1，J.Fr om Theorem 2。2我们推断，对于每一个（u，y，q）∈ BGq（u，y，q）+by=-Fq(Gu（u，y，q），g（u，1，q），q）+bFx(Gu（u，y，q），g（u，1，q），q）。这意味着g对Q的连续两次微分。此外，直接计算表明，上述恒等式在（u，y，q）处相对于q的差异在此时产生（2.40）。现在假设∈ G.为了完成证明，我们必须证明F有连续的二阶导数，涉及q.定理2。2，对于每个（v，x，q）∈ A我们有平局Gu(Fv（v，x，q），Fx（v，x，q），q）- v=0，Gy(Fv（v，x，q），Fx（v，x，q），q）- x=g(Fv（v，x，q），1，q）- x=0，Fq（v，x，q）+Gq(Fv（v，x，q），Fx（v，x，q），q）=0。引理2。12和2.13，矩阵B（u，y，q）的满秩意味着g（·，·，q）的海森矩阵在（u，y）处的满秩。将隐函数定理应用于上面的前两个等式，就得到了方程的连续可微性F范德FX代表q。

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能者818

2022-5-5 03:41:30

通过第三实体，这意味着生命的存在和延续F气qj。2.5收敛下的稳定性设m为非负整数，U为Rd的开子集。用Cm=Cm（U，Rn）表示m-t时间的Fr’echet空间连续微分问题f:U→ 由半范数skfkm，C，X0生成的RNT拓扑≤|k|≤msupx∈CDkf（x）,其中C是U的紧子集，k=（k，…，kd）是非负整数的多指数，|k |，Pdi=1ki，和（2.46）Dk，|k|xk。xkdd。特别是，对于m=0，Dis是恒等式运算符，kfk0，C，supx∈C | f（x）|。以下结果表明，空间F和G之间的共轭关系已在定理2中建立。2和2.10在Ci收敛下保持稳定，i=1,2。这些结果将用于证明我们的主要理论。1和4.2确定随机场F和G在时间变量t中具有RCLL（左极限右连续）的版本。定理2.14。让（fn）n≥1和f属于Fand（gn）n≥1和g是g的葡萄糖酸盐对应物。然后（fn）n≥1在C（A）i中，仅当（gn）n≥C（B）中的g。定理2.15。让（fn）n≥1和f属于Fand（gn）n≥1和g是g的葡萄糖酸盐对应物。然后（fn）n≥1在C（A）i中，仅当（gn）n≥C（B）中的g。2.5.1定理的证明。14和2.15定理2的证明。14.回想一下，f或凸o或鞍函数在Cis中的收敛相当于点态收敛。我们还提醒读者，（2.12）和（2.13）中的共轭运算在这种收敛下通常是不连续的，因此，结果不会自动成立。

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2022-5-5 03:41:34

在这种情况下，标准验证方法是显示点态收敛和epi收敛（或其类似物，如epi次收敛）的等价性，在此情况下，共轭运算是连续的；参见R ockafellar和Wets[11]，定理11.3.4。我们发现直接论证更简单。首先假设（fn）n≥1在C（A）中接近f。通过正齐性条件（G4）以及由于它们是鞍函数，可以有效地验证（gn）n的逐点收敛性≥1at b=（u，y，q）∈ B，y=1。修正ε>0并找到ui∈ (-∞, 0）M，i=1，2，使得u<u<uand（2.47）|g（b）- g（b）|<ε，其中bi，（ui，1，q）。对于i=1，2，ai=（vi，xi，q）(Gu（bi），g（bi），q），和，对于n≥ 1，bi，n=（ui，n，1，q）(fnv（ai），1，q）。fn和gna之间的共轭关系，以及f和g之间的共轭关系，意味着gn（bi，n）=xind ui=Fv（ai）。从（fn）n的C-收敛≥1.去森林→∞ui，n=limn→∞fnv（ai）=Fv（ai）=ui，i=1，2，因此存在n>1，使得u1，n<u<u2，n≥ n、考虑到gw元素对u的单调性，我们得到（b）<g（b）<g（b），g（b）=gn（b1，n）<gn（b）<gn（b2，n）=g（b），n≥ n、然后（2.47）产生| gn（b）- g（b）|<ε，n≥ n、从而证明了点态的C（B），f（gn）n的收敛性≥1吨。现在假设t（gn）n≥1在C（B）中接近g。我们遵循与之前含义证明相同的方法。

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2022-5-5 03:41:37

固定ε>0，取a=（v，x，q）∈ A设ai=（vi，xi，q）∈ A、 i=1，2，使得v>v>v，x<x<x，和（2.48）|f（A）- f（a）|<ε。表示，对于i=1，2，bi=（ui，yi，q）(Fv（ai），Fx（ai），q），和，对于n≥ 1，ai，n=（vi，n，xi，n，q）(gnu（bi），gny（bi），q）。从fn和g之间的共轭关系以及f和g之间的共轭关系得出fn（ai，n）=hui，vi，ni，f（ai）=hui，vii和ai=(Gu（bi），Gy（bi），q）。作为（gn）n的C-收敛≥1到g意味着（ai，n）n的收敛≥1toai，有n>1这样，对于n≥ n、 v1，n>v>v2，n，x1，n<x<x2，n和| hui，vi，ni-hui，vii |<ε。考虑到元素对v和x的单调性，我们推导出f（a）<f（a）<f（a），f（a）- ε<fn（a1，n）<fn（a）<fn（a2，n）<f（a）+ε，n≥ n、然后，（2.48）意味着|fn（a）- f（a）|<2ε，n≥ n、证明（fn）n的整体收敛性（因此也是C（A））收敛性≥为了证明定理2.15，我们需要矩阵A（f）和C（f）的一些初等恒等式。引理2.16。为了f∈ F、（2.4）中定义的矩阵A（F）满足xM=1Alm（F）=-vlFvlx/Fx、 l=1，M、 MXl，M=1Alm（f）=-Fx/Fx、证据。从正齐性条件（2.1）中，我们推导出mxm=1vmFvlvm=0，MXm=1vmF十、虚拟机=Fx、结果如下。引理2.17。为了f∈ F、（2.34）中定义的矩阵C（F）为（2.49）MXm=1Cmj（F）=F十、Fqj-F十、Fqjx、 j=1，J.证据。正齐性性质（2.1）产生了欧拉恒等式：f=MXm=1vmFvm，这反过来意味着Fx=MXm=1vmF虚拟机十、Fqj=MXm=1vmF虚拟机qj，j=1，J、证明（2.49）。定理2的证明。15.根据定理2.14，我们只需要在紧致集上建立二阶导数收敛的一致性。

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2022-5-5 03:41:40

回想一下（2.4）、（2.34）和（2.35）中定义的矩阵的旋转A（f）、C（f）和D（f），以及（2.11）、（2.36）和（2.37）中定义的材料的旋转B（g）、E（g）和H（g）。首先假设（fn）n≥1在C（A）中接近f。让（bn）n≥1b收敛到B的B序列∈ B.根据理论2。14，sequencean(gn美国（bn），gny（bn），qn），n≥ 1.收敛到一个(Gu（b），Gy（b），q）。f（fn）n的收敛性≥C（A）中的to f则意味着矩阵（（A（fn），C（fn），D（fn））（A））的收敛≥1至（A（f）、C（f）、D（f））（A）。根据它们的一致性（2.38）、（2.39）和（2.40），这意味着矩阵（（B，E，H）（gn）（bn））n的收敛性≥1到（B，E，H）（g）（B），通过这些矩阵的构造，得到了gnatbn，n的所有二阶导数的收敛性≥ 这显然意味着（gn）n的二阶导数在紧集上的一致收敛性≥类似的论证表明，（gn）n的C（B）-收敛性≥1到g意味着对于每个序列（an）n≥1在一个汇聚到∈ 矩阵（（A（fn），C（fn），D（fn））（A））n≥1接近（A（f）、C（f）、D（f））（A）。这，inturn，意味着FNan，n的二阶导数收敛≥ 如果我们考虑矩阵C（f）的恒等式（2.49）和引理2中矩阵a（f）的等式，则f在a处的二阶导数。16.2.6额外的婚姻关系f∈ 范德格∈ 在（2.12）和（2.13）成立的意义上，f的任何额外条件都有其与g的共轭类似物。下面我们将给出几个这样的扩展，它们将出现在随机场f和g的样本路径描述中。

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2022-5-5 03:41:43

在本节中，我们确定了一个常数c>0。对于函数f:a→ (-∞, 0）确定以下条件：（F6）如果M>1，则每（x，q）∈ R×rj和每个序列（wn）n≥1在接近SMwe havelimn的边界点时→∞MXm=1Fvm（wn，x，q）=-∞.（F7）对于每个a=（v，x，q）∈ A和m=1，M、 cFx（a）≤ -虚拟机Fvm（a）≤ CFx（a）。（F8）对于每个a∈ A和每个z∈ RM，chz，zi≤ hz，A（f）（A）zi≤ c hz，zi，其中矩阵A（f）（A）在（2.4）中定义。（F9）对于每个a=（v，x，q）∈ A和m=1，M-CFx（a）≤ 虚拟机F虚拟机x（a）≤ -CFx（a）。对于a函数g:B→ 确定以下条件：（G6）对于每个（y，q）∈ (0, ∞)x rj和每个序列（un）n≥1英寸(-∞, 0）M接近(-∞, 0）Mwe havelimn→∞g（un，y，q）=∞.（G7）对于每（u，q）∈ (-∞, 0）M×RJ和M=1，M、 c≤ -嗯G嗯（u，1，q）≤ c、（G8）每b∈ B和每个z∈ RM，chz，zi≤ hz，B（g）（B）zi≤ c hz，zi，其中矩阵B（g）（B）在（2.11）中定义。（G9）对于每（u，q）∈ (-∞, 0）M×RJ，向量z∈ 求解线性方程：B（g）（u，1，q）z=1，其中1，（1，…，1）∈ 牢固，令人满意≤ zm≤ c、 m=1，注意，对于g∈ G条件（G6）在（G2）中暗示（a）和（b），当M=1乘以（2.5）时，条件（G6）基本成立。定理2.18。让f∈ 范德格∈ Gbe共轭在（2.12）和（2.13）的范围内。Th en（F6）相当于（G6），（F7）相当于（G7）。此外，如果f∈ 范德格∈ 当（F8）等价于（G8）且（F9）等价于（G9）。定理2.18的证明遵循以下引理，其中f∈ 范德格∈ 如（2.12）中所述。引理2.19。假设M>1。那么条件（F6）和（G6）是等价的。证据为了简化符号，我们将省略f和g对相关参数q的依赖性。回忆一下符号集合A（F6）的边界和闭包的A和cl A==> （G6）。

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2022-5-5 03:41:47

让我们≥1是一个序列吗(-∞, 0）Mconvergingto bu∈ (-∞, 0）M.表示xn，g（un，1），n≥ 1，与（G6）相反，假设→∞g（un，1）=lim infn→∞xn<∞.因为g（·，1）是(-∞, 0）命令序列（un）n≥1从下面开始，序列（xn）n≥1也从下面开始。因此，通过对一个子序列进行赋值，我们可以假设（xn）n≥1接近某个bx∈ R.表示vn，Gu（un，1）和wn，vnPMm=1vmnw是从定理2.2的第3项和第4项以及f的正齐性条件（2.1）推导出来的=Fv（vn，xn）=Fv（wn，xn），n≥ 1.作为∈ SM，传递给一个子序列，我们可以假设（wn）n≥1 Convergesto bw∈ cl SM。如果bw∈ SM，thenbu=limn→∞n=limn→∞Fv（wn，xn）=Fv（bw，bx）∈ (-∞, 0）M，与我们选择的bu相矛盾。另一方面，如果∈ SM，by（2.2）和f=f（v，x）关于x，limn的单调性→∞f（wn，xn）=0。因此，对于每一个v∈ (0, ∞)M、 0≥ f（v，bx）=limn→∞f（v，xn）≥ 画→∞f（wn，xn）+Fv（wn，xn），v- wn= 画→∞（f（wn，xn）+hun，v- wni）=hbu，v- bwi。因此，如果我们通过连续性将凸函数f（·，bx）通过设置f（v，bx）=0，v扩展到其域的边界∈ (0, ∞)M、然后是它的次差异bw处的fv（bw，bx）包含bu，因此为非空。在这种情况下，还有欧盟∈ fv（bw，bx）和a序列（evn）n≥1. (0, ∞)McConvergent to bw，使EU=limn→∞Fv（evn，bx），见[10]中的定理25.6。表示ewn，evnPMm=1evmn，n≥ 1，并考虑（2.1）我们得到eu=limn→∞Fv（ewn，bx），与（F6）相矛盾。（G6）==> （F6）。修正x∈ R、让（wn）n≥1是SMCONVERGING中的一个序列∈ SM和UN，Fv（wn，x），yn，Fx（wn，x），n≥ 1.通过（2.2），凹函数f（wn，·），n≥ 1，收敛到0。因此，他们的比值也收敛到0，这意味着（2.50）limn→∞yn=0。与（F6）相反，假设（un）n≥1包含有界子序列。

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