A函数f:A→ (-∞, 0）属于F，且仅当它与函数g共轭时∈在（2.12）和（2.13）的意义上。此外，如果c>0，那么f∈eF（c）当且仅当g∈例如（c）.3聚合效用函数n调用聚合效用函数r=r（v，x）由（3.1）r（v，x）给出，supx+···+xM=xmxmxm=1vmum（xM），v∈ (0, ∞)M、 x∈ R.理论3。1和3.2分别在假设1.1和1.2下，将r=r（v，x）确定为FANDEF（c）的一个元素。请注意，在本节中，我们解释了第2节中定义的这些函数族。7，在评论2.1的意义上。定理3.1。在假设下。1函数r=r（v，x）等于toeF。此外，对于每个（v，x）∈ (0, ∞)M×R，（3.1）中的上确界位于向量bx处∈ rm由以下（3.2）或（3.3）等效确定：vmu′m（bxm）=Rx（v，x），（3.2）um（bxm）=Rvm（v，x），m=1，M.（3.3）用tm=tm（x）表示效用函数的耐受系数的风险um=um（x）：（3.4）tm（x），-u′m（x）u′m（x）=am（x），x∈ R、 m=1，M.此后，符号bx=bx（v，x）用于定义最大向量bx=（bxm）M=1，。。。，从理论上讲。1.关于v和x.定理3.2。在假设下。1和1.2函数r=r（v，x）属于f（c），与（1.3）中的常数c>0一样，函数bx=bx（v，x）是连续可微分的，对于l，m=1，Mbxmx（v，x）=tm（bxm）PMk=1tk（bxk），（3.5）vlbxmvl（v，x）=vmbxlvm（v，x）=tm（bxm）δlm-tl（bxl）PMk=1tk（bxk）！，（3.6）其中δlm，1{l=m}是克罗内克三角洲，Rx（v，x）=-Rx（v，x）PMk=1tk（bxk），（3.7）vmR虚拟机x（v，x）=Rx（v，x）tm（bxm）PMk=1tk（bxk），（3.8）vlvmRvlvm（v，x）=Rx（v，x）tl（bxl）δlm-tm（bxm）PMk=1tk（bxk）！，对于（F5）中的矩阵A（r），Alm（r）（v，x），vlvmR十、Rvl虚拟机-R十、Rvl十、R虚拟机十、（v，x）=tl（bxl）δlm。（3.10）3.1理论证明3。1和3.2定理3的证明。1.

定义函数g=g（v，x，z）：（0，∞)M×R×RM-1.→ R byg（v，x，z），M-1Xm=1vmum（zm）+vMuM（x-M-1Xm=1zm），观察（3.11）r（v，x）=supz∈RM-1g（v，x，z），v∈ (0, ∞)M、 x∈ R.每v∈ (0, ∞)M、 函数g（v，·，·）是严格凹的，连续可微的，并且对于每一个x，由（1.1）和（1.2）决定∈ R、 林| z|→∞g（v，x，z）=-∞.因此（3.11）中的上界是在唯一的bz=bz（v，x）下得到的，对于m=1，M- 1,(3.12) 0 =Gzm（v，x，bz）=vmu′m（bzm）- vMu′M（x-M-1Xk=1bzk）。因此，（3.1）中的上界是在唯一的bx=（bxm）m=1，。。。，Mgiven bybxm=bzm，m=1，M- 1，bxM=x-M-1Xm=1bzm。莱玛著。3在附录A中，函数r（v，·）是凹的、可微分的（因此，连续可微分），且Rx（v，x）=Gx（v，x，bz）=vMu\'M（x-M-1Xm=1bzk=vMu′M（bxM），与（3.12）一起证明（3.2）。当u\'M>0时，我们有Rx> 因此，r（v，·）严格地增加。从（1.1）我们得到了limx→∞r（v，x）=0。最后，r（v，·）的严格凹性直接从（um）m=1，。。。，以及（3.1）中上限的可达到性，从而完成（F4）的验证。对于（x，z）∈ 函数g（·，x，z）是（0，∞)Mand，在特定的、凸的和连续可区分的。因此，由莱玛。4在附录A中，函数r（·x）是凸的、可微分的（因此，连续可微分），并且Rvm（v，x）=Gvm（v，x，bz）=um（bxm），m=1，M、 证明（3.3）。当um<0时，函数r（·，x）严格递减。显然，这是完全一致的。此外，如果M>1，则由（1.1）（3.13）limn→∞r（wn，x）=0，对于每个序列（wn）n≥1英寸接近w∈  SM

因此，为了完成（F2）的验证，我们只需要证明该函数在SM上的严格凸性。让wand wbe区分SM的元素，wbe它们的中间点，bxibe（3.1）中的上界达到f或r（x，wi），i=1，2，3的点。从（3.2）我们推断出点（bxi）i=1,2,3是不同的，因此，r（w，x）=MXm=1wmum（bxm）=MXm=1wmum（bxm）+MXm=1wmum（bxm）<MXm=1wmum（bxm）+MXm=1wmum（bxm）=（r（x，w）+r（x，w））。这就完成了（F2）的验证。正如我们已经展示的，r=r（v，x）是一个鞍函数，在每个点上都有明确的偏导数。在这种情况下，r是连续可微分的，参见[10]中的定理35.8和推论35.7.1，因此满足（F1）。（F3）跟在（f4）后面，为了完成证明，我们必须验证（F6）。假设M>1，设（wn）n≥1是一个接近w的序列∈  SM为了n≥ 1用bxn表示∈ rmx对应于wn的最大分配。鉴于（3.13），limn→∞bxkn=∞ 对于wk>0的每个索引k。AsPMm=1bxmn=x，有一个索引msuch thatlimn→∞bxmn=-∞ 因此，考虑到（3.3）和（1.2），limn→∞MXm=1R虚拟机（wmn，x）≤ 画→∞Rvm（wmn，x）=limn→∞嗯（bxmn）=-∞.定理3的证明。2.证明依赖于隐函数定理。定义函数h=h（v，x，y，z）：（0，∞)M×R×RM×R→ RM+1byhm（v，x，y，z）=z- vmu′m（ym），m=1，M、 hM+1（v，x，y，z）=MXm=1ym- x、 并通过理论3观察到这一点。1，hv、 x，bx（v，x），Rx（v，x）= 0，（v，x）∈ (0, ∞)M×R.固定（v，x），集合y，bx（v，x），z，Rx（v，x），用B=（Bkl）k，l=1。。，M+1在（y，z）处求出的h（v，x，·，·，·）的雅可比矩阵。考虑到vmu′m（ym）=z，m=1，M、 我们推断BKL=Blk=-vku′k（yk）δkl=ztk（yk）δkl，k，l=1，M、 B（M+1）M=Bm（M+1）=1，M=1。

，M，B（M+1）（M+1）=0。直接计算表明逆矩阵C，B-1由ckl=Clk=tk（yk）zδkl给出-tl（yl）PMi=1ti（yi）！，k、 l=1，M、 ym=1，ym=1，M、 C（M+1）（M+1）=-zPMi=1ti（yi）。因为，对于m=1，M+1和l=1，M陛下x（v，x，y，z）=-δm（m+1），vl陛下vl（v，x，y，z）=-vmu′m（ym）δlm=-zδlm，隐函数定理意味着函数bx=bx（v，x）和Rx=R（v，x）的邻域中的x（v，x）及其恒等式：bxmx（v，x）=-M+1Xk=1Cmk香港x（v，x，y，z）=Cm（M+1），vlbxmvl（v，x）=-M+1Xk=1Cmkvl香港vl（v，x，y，z）=zCml，Rx（v，x）=-M+1Xk=1C（M+1）k香港x（v，x，y，z）=C（M+1）（M+1），vlR十、vl（v，x）=-M+1Xk=1C（M+1）kvl香港vl（v，x，y，z）=zC（M+1）l，证明（3.5）-（3.6）和（3.7）-（3.8）。连续的差异性R五=Rv（v，x）关于v和恒等式（3.9）遵循fr om（3.3）和（3.6）。依赖于（3.7）、（3.8）、a和（3.9）的直接计算得出了a（r）的表达式（3.10），它与（3.7）结合意味着（F5）对于r=r（v，x）的有效性。最后，考虑（1.4）并观察到（1.3）可以等效为asc≤ tm（x）≤ c、 x∈ R、 m=1，M、 我们推断，对于函数r=r（v，x），从（3.2）和（3.3）中得出的性质（F7），（F8）由（3.10）隐含，从（3.7）和（3.8）中得出的性质（F9）由（3.7）和（3.8）隐含。一套一套 Rda映射ξ：A→L（Rn）被称为随机场；ξ是连续的、凸的等，如果其采样路径ξ（ω）：A→ r对于所有ω都是连续的、凸的等∈ Ohm. 如果ξ和η是A上的随机场，那么η是ξ的一个修正，如果ξ（x）=η（x）代表每个yx∈ A.

A随机m场X:A×[0，T]→ L（Rn）被称为随机场，如果∈ [0，T]，Xt，X（·，T）：A→ L（Ft，Rn），也就是说，随机变量x是Ft可测量的。回想一下，总效用的随机场由Ft（a），E[r（v，∑（x，q））|Ft]，a=（v，x，q）给出∈ A、 t∈ [0，T]，其关于（v，x）的鞍形共轭定义为（4.1）Gt（b），supv∈(0,∞)明克斯∈R[hv，ui+xy- Ft（v，x，q）]，b=（u，y，q）∈ B.理论4中描述了这些随机场的样本路径。1和4.2构成本文的主要结果。通过D（[0，T]，X），我们将[0，T]的RCLL（rig ht continuous with leftlimits）映射空间表示为度量空间X。此后，对于i=1，2，我们将查看第2节开头定义的Fr’echet空间Ci（a）的Fias拓扑子空间。5.在eGandeF（c）和eG（c）之前也使用了类似的约定。定理4.1。补充假设1。1和条件（1.5）保持。结果表明，F=Ft（a）和G=Gt（b）的储层分别在D（[0，T]，eF）和D（[0，T]，eG）中的采样路径及其左极限处进行了修改-（·）和Gt-（·）与ea c h共轭，如（4.1）所示。此外，对于每个compac t集C A（4.2）E[kFT（·）k1，C]<∞,对于a=（v，x，q）∈ A、 t∈ [0，T]，i=1，M+1+J，（4.3）英尺ai（a）=E[英尺艾未未（a）|英尺]。定理4.2。假设假设s1。1和1.2以及条件（1.5）保持不变。然后，随机场F=Ft（a）和G=Gt（b）分别在D（[0，T]，eF（c））和D（[0，T]，eG（c））中用假设1中的常数c>0对样本路径进行了修改。2.此外，对于每一个紧凑的setC A（4.4）E[kFT（·）k2，C]<∞,对于a=（v，x，q）∈ A、 t∈ [0，T]和i，j=1，M+1+J（4.5）英尺人工智能aj（a）=E[英尺人工智能aj（a）|英尺]。第2节中的定理2.2、2.10和2.18允许我们在Ft（·）和Gt（·）的一阶导数和二阶导数之间建立各种恒等式。

Westet第1节中提到的一个这样的推论。证明了连续函数空间在紧集上具有一致或m收敛拓扑；见第2.5节。推论4.3。假设假设1。1，条件（1.5）保持不变。然后是随机费用（a），英尺vm（a），a=（v，x，q）∈ A、 m=1，M、 在D（[0，T]，C（A））、随机域x（u，q）、Gt（b），b=（u，1，q）中有样本路径∈ B、 Vmt（u，q），燃气轮机umPMl=1燃气轮机ul（b），b=（u，1，q）∈ B、 m=1，M、 在D（[0，T]，C]中有采样路径((-∞, 以下可逆性关系成立：um=Umt（Vt（u，q），Xt（u，q），q），M=1，M、 x=Xt（Ut（v，x，q），1，q），vm=Vmt（Ut（v，x，q），1，q），M=1，M、 你在哪里∈ (-∞, 0）M，x∈ R、 五∈ SM，q∈ RJ和t∈ [0, 1].此外，如果假设1。2则这些随机场在D（[0，T]，C）中有样本路径。证据结果直接来自理论4。1和4.2以及定理2.2第3项和第4项中的共轭关系，只要我们解释了G.Rema rk 4.4元素的正齐性性质（2.10）。考虑第1节中的价格影响模型。回想一下（1.8）中帕累托分配π（a）=（πm（a））的定义，并用理论3观察它。1和4.1Umt（a）=英尺vm（a）=E[um（πm（a））|Ft]。因此，Umt（a）代表给定帕累托分配π（a）的mth做市商在t时的预期效用。根据滚动4.3中的可逆关系，随机变量Xt（u，q）和Vt（u，q）确定了做市商在t时的集合现金金额和帕累托权重，此时他们的当前预期效用由u给出，并且他们共同持有q股。4.1定理4.1和4.2的证明对于定理4.1的证明，我们需要以下结果，将定义of的条件（F6）与引理C.3 fr omAppendix C.引理4.5中的条件（C9）联系起来。让M>1。

函数f∈ fsaties（F6）（即，belongstoeF）当且仅当对于每个递增序列（Cn）n≥1个紧凑的SMS设置∪N≥1Cn=SMand对于每一个紧凑的集合D R1+J（4.6）limn→∞苏普∈SM/Cnsup（x，q）∈DMXm=1Fvm（w，x，q）=-∞.证据“如果”的说法很简单。此后，我们将集中讨论相反的含义。为了验证（4.6），我们必须证明∈eFand every an=（wn，xn，qn）∈SM×R×RJ，n≥ 1，收敛到（w，x，q）∈ 我们有（4.7）个limn→∞MXm=1Fvm（an）=limn→∞Fv（an），1= -∞,其中1，（1，…，1）。设ε>0。考虑函数f（·，xn，qn），n的凸性和正齐性≥ 1，在（0，∞)Mwe Limn→∞Fv（an），1≤ 画→∞Fv（wn+ε1，xn，qn），1=Fv（w+ε1，x，q），1=Fv（w（ε），x，q），1,其中w（ε），w+ε11+εm等于SM。通过（F6），当ε→ 0收益率（4.7）。定理4的证明。1.AsFT（a）=r（v，∑（x，q）），a=（v，x，q）∈ A、 关于FT=FT（A）的样本路径的断言是在定理3中建立的r=r（v，x）的相应属性的直接滚动。1.到（1.5）时，我们得到了FT（a）∈ 五十、 a∈ A、 然后，根据附录B中的定理B.1，得到（4.2）。引理C.1则意味着F在D（[0，T]，C（A））中有采样路径，等式（4.3）成立。为了验证F的样本路径属于D（[0，T]，F），可以将F描述中的性质（F1）-（F4）与引理C.2和C.3中的性质（C1）-（C8）进行匹配。在大多数情况下，这些对应关系是直接的，（F2）中的（2.2）或（F4）中的（2.3）与它们各自版本的（C8）之间的联系，这是因为t七点方向的等价性和紧集上的一致性m对于序列o fconvex或鞍函数的收敛性。注意，为了在引理C.3中使用（C8），我们仍然需要验证该引理中的可集成性条件（C.6）。

它对（F2）中（2.2）的适应形式为：E[infw∈SMinf（x，q）∈干膜厚度（w，x，q）]>-∞,对于每个紧集D R1+J和fo允许，因为（4.2）和由于FT（·）的采样路径相对于v减小（因此，FT（w，x，q）>FT（1，x，q），w∈ SM，其中1，（1，…，1））。为了对（F4）中的收敛性（2.3）进行类似验证，我们将x的域限制为[0，∞). （C.6）的分析则有如下形式：E[infx≥0inf（v，q）∈干膜厚度（v，x，q）]>-∞,对于每个紧集D (0, ∞)M×RJ，并从（4.2）和F相对于x的单调性得出。因此，我们已经证明了F的采样路径属于D（[0，T]，F）。引理4.5建立了（C9）和（F6）之间的联系。（C.6）对这种情况的适应化处理，可以说是微不足道的Fv<0。因此，F的样本路径属于D（[0，T]，eF）。这就完成了与F有关的断言的证明。关于G的其余部分直接来自定理2。23和2.14。我们把定理4.2的证明分成几个引理。引理4.6。在定理4.2的条件下，随机场FT=FT（·）的样本路径属于空间f（c），在假设1中具有相同的常数>0 a s。2.此外，（4.4）适用于setC的每一项公约 A.证据。样本路径ofFT（a）=r（v，∑（x，q）），a=（v，x，q）的断言∈ A、 直接遵循定理3中r=r（v，x）的性质。2.验证（4.4）x紧凑集C A.根据定理3.2中r=r（v，x）的二阶导数公式和假设1.2，我们推导出常数b>0的存在性，从而（4.8）英尺人工智能aj（a）≤ B英尺x（a）（1+|ψ|），a∈ 从（3.7）我们推断Rx（v，x）≤ -MRx（v，x）≤ CRx（v，x），x∈ R、 其中c>0是假设1中的常数。2.

这就产生了指数增长型房地产-y+c/M+y-/（厘米）≤Rx（v，x+y）Rx（v，x）≤ E-y+/（厘米）+y-c/M，x，y∈ R、 其中x+，max（x，0）和x-, (-x） +。因此，（4.8）的右端主要由bkFTk1，df控制，对于某个常数b>0和包含C的a中的紧集D。因此，存在一个常数b>0，使得kftk2，C≤ bkFTk1，Dand（4.4）成立，因为根据定理4.1，kFTk1，dha是一个确定的期望值。引理4.7。在定理4.2的条件下，随机场F=Ft（a）在D（[0，T]、C（a））和（4.5）中有一个简单的路径。证据根据引理4.6，随机场FT（·）具有C（A）和（4.4）中的样本路径。结果来自引理C.1。回想一下（2.4）中定义的材料九的符号A（f）。定理4.2中的一个微妙之处是验证矩阵A（Ft），t的（f8）∈ [0，T]。暂时∈ A、 用（4.9）dR（A）dP定义概率测度R（A），英尺x（a）/F随机过程（4.10）Rt（a），-英尺x（a）/英尺x（a），t∈ [0，T]和随机变量（4.11）τm（a），tm（πm（a）），m=1，M、 其中tm=tm（x）是um=um（x）的绝对风险容忍度，πM（a）是帕累托最优配置；见（3.4）和（1.8）。观察R（a）是R（a）下的阿马丁格尔，通过（3.7），（4.12）MXm=1τm（a）=RT（a），通过假设1。2，（4.13）c≤ τm≤ c、 m=1，M.引理4.8。假设定理4的条件成立。2等一下。然后矩阵A（Ft）（A）由alm（Ft）（A）=Rt（A）ER（A）[τl（A）（δlmMXk=1τk（A）给出- τm（a）|Ft]+Rt（a）ER（a）[τl（a）|Ft]ER（a）[τm（a）|Ft]，l，m=1，M、 其中概率测度R（a）、随机过程R（a）和随机变量τ（a）分别在（4.9）、（4.10）和（4.11）中定义，δlm，1{l=M}是克罗内克增量。而且，对于每一个z∈ Rn，（4.14）c|z|≤ hz，A（Ft）（A）zi≤ c | z |，其中常数c>0在假设1中给出。2.证据。

根据定理3中r=r（v，x）的二阶导数的表达式。2.我们推断英尺虚拟机x（a）=-英尺x（a）τm（a），vlvm英尺vlvm（a）=-英尺x（a）τl（a）（δlmMXk=1τk（a）- τm（a）），a（Ft）的表达式后面是直接计算。为了简化符号，在（4.14）的证明中，我们省略了对a的依赖∈ 考虑t=0的情况。初步计算表明，hz，A（F）zi=RER“RTMXm=1τmzm- hτ，zi#+她[τ]，zi=RER“RTMXm=1τmzm- hτ-ER[τ]，zi#，我们使用（4.12）。这立即意味着（4.14）中的上限：hz，A（F）zi≤RER[RTMXm=1τmzm]≤ c | z |，其中我们使用了不等式（4.13）和R的鞅性质。为了验证下限，观察（4.13）θm，τm-C≥ 我们得到了hz，A（F）zi=RER“RTMXm=1（c+θm）zm- hθ- ER[θ]，zi#=c | z |+RER“RTMXm=1θmzm- hθ- 呃[θ]，子#。当RT=hτ，1i≥ hθ，1i，其中1，（1，…，1），我们推导出hz，A（F）zi-c|z|≥ ER“hθ，1iMXm=1θmzm- hθ- ER[θ]，zi#=ER“hθ，1iMXm=1θm（zmhθ，1i-hθ，zi）#+她[θ]，zi≥ 0.定理4的证明。2.在引理4.6中建立了不等式（4.4）和FT（·）的样本路径属于F（c）的事实，而在引理4.7中证明了它们的同一性（4.5）和F=FT（a）的样本路径属于toD（[0，T]，c（a））的事实。如果我们考虑FT（·）的样本路径的属性，并使用引理4，则F的剩余属性来自引理C.2。8.最后，样本路径forG=Gt（b）的性质直接来自于定理2.23和定理2.15。在定理2的证明中，给出了鞍函数的一个包络定理。2我们使用了民间传说中鞍函数的“包络”定理的以下版本。通常，ri C表示凸集C的相对内部。定理a.1。

设C是Rn中的凸集，D是Rm中的凸集，Ebe是Rl中的凸开集，f=f（x，y，z）：C×D×E→ R对于x是函数con v ex，对于（y，z）是凹函数，设z∈ 例如：g（z），supy∈丁克斯∈Cf（x，y，z），z∈ E、 假设最大值g（z）在唯一的x处达到∈ 我可以做一些（不一定是独一无二的）∈ 函数f（x，y，·）在z处是可微的，然后函数g:E→ R∪{-∞} 在一个特定的区域，在一个特定的区域g（z）=Fz（x，y，z）。Rema rk A.2。Milgrom和Segal[9]中的定理5是我们在文献中能找到的最接近的结果。在这里，f上的凸性假设被C和D上的紧性要求s所取代。定理A.1的证明依赖于定理3.1的证明中使用的两个独立的引理。第一个引理本质上是已知的，例如参见[9]中的推论3。引理A.3。设f=f（x，y）：Rn×Rm→ R∪{-∞} 做一个凹形的f，让y∈ Rm。表示g（y），supx∈Rnf（x，y），y∈ Rm，并假设上界g（y）在某个（并非必要的）x处达到∈ r函数f（x，·）在y是可出租的，然后函数g:Rm→ R∪ {-∞} 是凹形的，在yand（A.1）可区分g（y）=Fy（x，y）。证据g的凹性源于f关于两个参数的凹性。作为g（y）=f（x，y）<∞, 这种凹性意味着g<∞. 自从g≥ f（x，·），函数g在y的邻域中是有限的。因此g（y）是g在y的次微分，它不是空的。如果*∈ g（y），曾（y）≤ g（y）+hy*, Y- 哎呀∈ Rm。作为f（x，y）≤ g（y），y∈ Rm和f（x，y）=g（y），它跟在f（x，y）后面≤ f（x，y）+hy*, Y- 哎呀∈ Rm。因此，y*属于f（x，·）在y的次微分，因此也属于y*=Fy（x，y）。

因此，y*是唯一的元素g（y），提供了g在Yan和身份上的差异（A.1）。引理A.4。设C是Rn中的凸集，D是Rm中的凸开集，f=f（x，y）：C×D→ R是一个关于x的凸函数，关于y是一个凸函数∈ D.定义功能G（y），supx∈Cf（x，y），y∈ D、 假设上界g（y）是在唯一的x上得到的∈ ri C和函数f（x，·）在y处是不同的，然后是函数g:D→ R∪ {∞} 是凸的，在y处不同，并且恒等式（A.1）成立。Rema rk A.5。莱玛的证据。4将遵循凸优化中众所周知的类似结果，其中xis中的凹度假设被C是紧的要求所取代，例如，参见推论4。45在Hiriart Urruty和Lemar\'echal[6]中。证据g的凸性很简单。设ε>0使得c（ε），{x∈ C:|x- x|≤ ε}  如果（yn）n≥1是一个在D中收敛到y的序列，然后是凹函数SF（·，yn），n≥ 1，在C的紧致子集上一致收敛于f（·，y）。因为X是f（·，y）的最大值的唯一点，所以存在n>0，使得每n≥ n凹函数f（·，yn）在某个点xn达到最大值∈ C（ε）。这个参数意味着δ>0的存在，使得g（y）=supx∈C（ε）f（x，y）<∞, Y∈ D、 |y- y |<δ。由于C（ε）是一个紧集，现在的结果来自于著名的事实，即RemarkA中提到的凸优化。5.定理A.1的证明。函数h=h（y，z）：D×E→ R∪{-∞} givenbyh（y，z），infx∈Cf（x，y，z），y∈ D、 z∈ E、 显然是凹的。莱玛著。4函数h（y，·）在zand是可微分的Hz（y，z）=Fz（x，y，z）。

艾玛的一个应用。3.t形屋顶。B鞍型随机场的可积性下列定理表明，鞍型随机场ξ的点态可积性意味着紧集C的伪范数kξk0，Cf的可积性。它还意味着kξk1，Cf的可积性，此外，ξ的采样路径是可微的。关于半形式k·km，C的定义，见第2.5节。该结果用于证明定理4.1。我们定义了一个概率空间(Ohm, F，P）并表示L=L(Ohm, F，P）可积随机变量的Banach空间。定理B.1。让你 Rnand V Rmbe开集与ξ：U×V→ Lbe是U×V上凹凸函数空间中具有样本路径的随机场。那么对于每一组C U×V（B.1）E[kξk0，C]<∞.此外，如果ξ的样本路径属于C（U），那么（B.2）E[kξk1，C]<∞.证明分为引理。引理B.2。让你成为Rd中的一个开放集，f:U→ R是conv-ex函数，C是U的紧子集，ε>0是（B.3）C（ε），十、∈ Rd：英菲∈C | x- y|≤ ε 那么每一个y∈ 我们有（B.4）貂皮∈Cf（x）≥ f（y）+supx∈C | x- y |εf（y）- 马克斯∈C（ε）f（x）.证据修好∈ C.每x∈ C有z∈  C（ε）使得y是x和z的凸组合：y=tx+（1- t） z代表一些t∈ (0, 1) . 利用| y- z|≥ ε我们得到（B.5）1- tt=|x- y | | y- z|≤好的∈C | x- y |ε。f的凸性意味着f（y）≤ tf（x）+（1）-t） f（z），或者，相当于f（x）≥ f（y）+1- tt（f（y）- f（z）），考虑到（B.5），它产生（B.4）。引理B.3。除了引理B.2的条件外，假设f∈C（U）。然后（B.6）kfk1，C≤√dε+1！kfk0，C（ε）。证据

为了你∈ C和x∈ C（ε）我们从f:f（x）的凸性得到- f（y）≥ hx- Yf（y）i.它遵循t2kfkk0，C（ε）≥ supy∈Csup{x:|x-y|≤ε} （hx）- Yf（y）i）=εsupy∈C|f（y）|。因为|f（y）|，vUtdxi=1Fxi（y）≥√ddXi=1Fxi（y）,我们得到| f（y）|+dXi=1Fxi（y）≤√dε+1！kfk0，C（ε），这显然意味着（B.6）。引理B.4。设U是Rd中的开集，ξ=ξ（x）：U→ Lbe在U上的con v ex函数空间中具有样本路径的随机场。然后，向前非常紧的集合C U、 （B.7）E[kξk0，C]<∞.此外，如果ξ的样本路径属于C（U），那么（B.8）E[kξk1，C]<∞.证据Let us首先表明，对于每一个紧集C U（B.9）E[maxx∈Cξ（x）]∞.在不限制一般性的情况下，我们可以假设C是闭凸hullof有限族（xi）i=1，。。。，由ξ的凸性，我们推导出maxx∈Cξ（x）=maxi=1，。。。，Iξ（xi）和（B.9）遵循假设ξ（x）∈ 五十、 x∈ U.由于C是U中的一个紧集，对于足够小的ε>0，（B.3）中定义的集C（ε）也是U的一个紧子集，由（B.9）和引理B.2 weobtainE[minx]定义∈Cξ（x）]>-∞,这意味着（B.7）。最后，如果f∈ C、 然后（B.8）由（B.7）和引理B.3派生而来。定理B.1的证明。有必要考虑C=C×C的情况，其中C分别考虑U和V的紧子集。证明（B.1）足以证明（B.10）supx∈Csupy∈Cξ（x，y）∈ L.事实上，对于满足引理条件的每一个随机场ξ和每一对开放集U和V，我们已经建立了（B.10）∈轻巧的∈Cξ（x，y）=- 好的∈Csupy∈C(-ξ（x，y））∈ 五十、 与（B.10）一起，意味着（B.1）。验证（B.10）观察随机场η（y），supx∈Cξ（x，y），y∈ 五、 在凸函数空间中有样本路径，由LemmaB给出。4，η（y）∈L

L emmaB的另一个应用。4产生kηk0，C∈ 五十、 这显然意味着（B.10）。为了验证（B.2），选择ε>0，以便（B.3）定义的集合C（ε）和C（ε）仍然在U和V中。然后，通过引理B.3，每x有c=c（ε）>0个这样的f∈ 坦率的∈ Ckξ（x，·）k1，C+kξ（·，y）k1，C≤ c（kξ（x，·）k0，c（ε）+kξ（·，y）k0，c（ε））≤ 2ckξk0，C（ε）×C（ε），结果如下。C鞅的随机场本附录包含有关定理证明中使用的鞅的随机场样本路径的结果4。1和4.2。我们定义了一个完整的过滤概率空间(Ohm, F，（Ft）t∈[0，T]，P）f=FT。从第2节中回忆具有半范数k·km的Fr’echet空间Cm。5.像往常一样，L=L(Ohm, F，P）表示概率收敛的（等价类）随机变量的空间。引理C.1。设m为非负整数，U为Rd中的开集，ξ：U→ Lbe是一个随机函数，其样本路径为Cm=Cm（U），因此对于每个紧集C UE[kξkm，C]<∞.然后是s-tocastic场mt（x），E[ξ（x）|Ft]，t∈ [0，T]，x∈ U、 对D（[0，T]，Cm）中的样本路径进行了修改，并且对于每m个非负整数的多重索引k=（k，…，kd），具有| k |，Pdi=1ki≤ m、 DkMt（x）=E[Dkξ（x）| Ft]，t∈ [0，T]，x∈ U、 其中（2.46）中定义了微分算子。证据通过归纳，可以充分考虑m=0,1的情况。首先假设m=0。众所周知，对于每一个x∈ U、 鞅（x）在D（[0，T]，R）中有一个修正。修正一个紧凑的集合C 你让我≥1b是C的稠密可数子集。

进一步，设Vbe为Rl中的一个开集，ξ=ξ（x，y）：U×V→ Lbe是一个具有连续样本路径的随机场，因此对于每个公司 U×VE[sup（x，y）∈C|ξ（x，y）|]<∞.然后s-tocastic场mt（x，y），E[ξ（x，y）| Ft]，0≤ T≤ T、 x∈ U、 y∈ 五、 在D（[0，T]，C（U×V]）中对样本路径进行了修改。此外，如果ξ的样本路径属于toeC，则D（[0，T]，eC）中的M wi样本路径有一个修改，其中eC=eC（U×V）是C=C（U×V）的以下子空间之一：（C1）eC包含所有非负函数；（C2）eC由所有函数sf=f（x，y）组成，这些函数相对于x不递减；（C3）eC由所有函数f=f（x，y）组成，这些函数与re spect tox凸；（C4）eC由所有函数f=f（x，y）组成，这些函数对于x:f（cx，y）=cf（x，y），c>0是正齐次的。（C5）所有严格正函数的eC证明；（C6）eC由所有函数f=f（x，y）组成，这些函数在gw中相对于x:f（x，y）<f（x，y），x严格递增≤ x、 x6=x；（C7）eC由所有函数SF=f（x，y）组成，这些函数对于x是严格凸的：（f（x，y）+f（x，y））>f（（x+x，y），x6=x。在LemmaC中已经证明了在D（[0，T]，C）中存在样本路径对M的修正。1.此后，我们将使用此修改。项目（C1）-（C4）的断言很简单，因为对于每个人来说∈ [0，T]这些条件显然满足随机场Mt:U的要求→ Land M的样本路径属于D（[0，T]，C）。为了验证（C5），回想一下众所周知的公式，如果N是[0，T]上的鞅，使得NT>0，那么∈[0，T]Nt>0。对于每一个紧集C U×Vwe通过（C5）得到inf（x，y）∈Cξ（x，y）>0，因此，inft∈[0，T]inf（x，y）∈CMt（x，y）≥ 输入∈[0，T]E[inf（x，y）∈Cξ（x，y）|Ft]>0，意味着（C5）。

注意，这个论点显然延伸到了这样的情况，当nu是一个Fσ-集，也就是一个闭集的可数并。案例（C6）和（C7）通过重新参数化从（C5）开始。例如，在（C6）中定义seteU r2和随机场η：eU×V→ 土地N:eU×V×[0，T]→ LaseU，{（x，x）：xi∈ U、 x≤ x、 x6=x}，η（x，x，y），ξ（x，y）- ξ（x，y），Nt（x，x，y），Mt（x，y）- Mt（x，y）。虽然seteU不是开放的，但它是一个Fσ集。将（C5）应用于η和n，然后得到ξ和M的（C6）。引理C.3。除了引理C.2的假设之外，假设（C.6）E[sup（x，y）∈U×Dξ（x，y）]∞,对于每个紧集D 五、然后是LemmaC的发音。2也适用于以下子空间：（C8）eC由所有非负函数f=f（x，y）组成，因此对于ev e，增加序列（Cn）n≥1套U型紧凑型，带∪N≥1Cn=Uand，适用于每个比较集 Vlimn→∞好的∈U/Cnsupy∈Df（x，y）=0；（C9）eC由所有函数f=f（x，y）组成，因此对于每一个增量序列ce（Cn）n≥1套U型紧凑型，带∪N≥1Cn=U，对于eve rycompac t集合D Vlimn→∞好的∈U/Cnsupy∈Df（x，y）=-∞.证据对于（C8）的证明，回想一下Doob不等式，如果（Nn）n≥1是一系列的内浇口→ L中的0，然后（Nn）*T、 sup0≤T≤T | Nnt |→考虑到（C.6），我们推导出，对于紧集（Cn）n≥1和D如（C8）中的limn→∞E[supx∈U/Cnsupy∈Dξ（x，y）]=0。（C8）对于M的样品样本的有效性如下所示：∈U/Cnsupy∈D（M（x，y））*T≤ sup0≤T≤好的∈U/Cnsupy∈Dξ（x，y）|Ft]，其中我们使用了（C8）ξ中的事实≥ 0 .最后，如果我们观察到函数f=f（x，y）满足（C9）当且仅当对于每个正整数n，函数gn（x，y），max（f（x，y）+n，0），（x，y），则（C9）从（C8）开始∈ U×V，满意度（C8）。致谢。

我们感谢安德烈亚斯·哈默尔（Andreas Hamel）对附录A中使用的子函数maxrule的参考。参考文献[1]彼得·班克和德米特里·克拉姆科夫。一个大型投资者以不同的市场价格进行交易的模型。I：单周期情况。arXiv:1110.322v2011年10月。统一资源定位地址http://arxiv.org/abs/1110.3224v2.[2] 彼得·班克和德米特里·克拉姆科夫。一个大型投资者以不同的市场价格进行交易的模型。II：连续时间案例。arXiv:1110.3229v2，2011年10月。统一资源定位地址http://arxiv.org/abs/1110.3229v2.[3] 彼得·班克和德米特里·克拉姆科夫。关于价格影响模型中的随机微分方程。随机过程。应用程序。，1 23(3):1160–1175, 2013. ISSN 0304-4149。doi:10.1016/j.spa。2012.10.011. 统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1016/j.spa.2012.10.011.[4] 罗丝·安妮·达娜。金融模型中ArrowDebreu均衡的存在性、唯一性和确定性。J.数学。经济。，22(6):563 –579, 1993. ISSN 0304-4068。内政部：10.1016/0304-4068（93）90005-6。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1016/0304-4068(93)90005-6.[5] Rose Anne Dana和Cuong Le Van。具有完全市场的LPS空间中的资产均衡：对偶方法。J.数学。经济。，25(3):263–280, 1996. ISSN 0304-4068。内政部：10.1016/0304-4068（95）00735-0。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1016/0304-4068(95)00735-0.[6] Jean Baptiste Hiriart Urruty和Claude Lemar\'echal。fcon v ex分析的基本原理。Grundlehren文本版。施普林格·维拉格，柏林，2001年。ISBN 3-540-42205-6。[7] Ioannis Karatzas、John P.Lehoczky和Steven E.Shreve。随机动态消费/投资模型中多重均衡的存在唯一性。数学奥普。决议，15（1）：80-1281990年。ISSN 0364-765X。内政部：10.1287/摩尔。15.1.80. 统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1287/moor.15.1.80.[8] 久田弘。随机流和随机微分方程，剑桥高级数学研究第24卷。剑桥大学出版社，剑桥，1990年。

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