弱相依随机向量的尾部

1627

收藏 2022-05-05

英文标题：
《Tails of weakly dependent random vectors》
---
作者：
Peter Tankov
---
最新提交年份：
2016
---
英文摘要：
We introduce a new functional measure of tail dependence for weakly dependent (asymptotically independent) random vectors, termed weak tail dependence function. The new measure is defined at the level of copulas and we compute it for several copula families such as the Gaussian copula, copulas of a class of Gaussian mixture models, certain Archimedean copulas and extreme value copulas. The new measure allows to quantify the tail behavior of certain functionals of weakly dependent random vectors at the log scale.
---
中文摘要：
对于弱相关（渐近独立）随机向量，我们引入了一种新的尾相关函数测度，称为弱尾相关函数。新的度量是在copula的层次上定义的，我们计算了几个copula族，例如高斯copula、一类高斯混合模型的copula、某些阿基米德copula和极值copula。新的度量允许在对数尺度上量化弱相关随机向量的某些泛函的尾部行为。
---
分类信息：

一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Probability 概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
--
一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Risk Management 风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
--

---
PDF下载：
-->

Tails_of_weakly_dependent_random_vectors.pdf
大小:(504.27 KB)

马上下载

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

全部回复

mingdashike22

2022-5-5 19:43:33

弱相依随机向量的尾*摘要针对弱相关（渐近独立）随机向量，我们引入了一种新的尾相关函数测度，称为弱尾相关函数。新的度量是在copula的层次上定义的，我们计算了几个copula族，例如高斯copula、一类高斯混合模型的copula、某些阿基米德copula和极值copula。新的度量允许在对数尺度上量化弱相关随机向量的某些泛函的尾部行为。关键词：尾部相关性，渐近独立性，copulas，正则变化，高斯混合SMSC 2010:60F10，62G321简介本文的目的是提出一种描述渐近独立性（弱尾部相关性）的新方法，并用这种方法研究尾部概率的共态行为，如EPR[min（X，…，Xn）≥ t] 作为t→ ∞ （1） orPr[X+··+Xn≤ t] 作为t→ 0和X≥ 0, . . . , Xn≥ 0.（2）当向量（X，…，Xn）的分量渐近独立时。在多元极值理论中，渐近独立是指当一个随机向量的任意两个分量在适当的尺度上同时大的概率与任意一个分量大的概率相比可以忽略不计时的情况。这确保了向量的独立副本序列的适当重整化分量最大值变得渐近独立。渐近独立随机向量的分量在通常意义上可能是相依的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-5-5 19:43:36

例如*法国巴黎迪德罗大学概率与现代饮食实验室。电子邮件：tankov@math.univ-巴黎狄德罗。众所周知，对于任何非退化协方差矩阵，多元高斯分布都是渐近独立的（Sibuya，1959）。渐近独立性是一种自然属性，通常在来自许多不同应用领域的数据中观察到（De Haan和De Ronde，1998；Maulik et al.，2002；Draisma et al.，2004；Ledford和Tawn，1997，1996；He ffiernan et al.，2005），并且是许多广泛使用的模型的固有特征，例如金融领域。除了已经提到的多元高斯模型外，还可以引用多元广义双曲模型（Schlueter and Fischer，2012），以及更普遍的具有指数衰减混合变量的所有高斯混合模型（见下文第3节）。因此，理解随机向量的渐近独立性是很重要的。在文献中，渐近独立性通常是利用隐藏规则变化的性质引入的（Resnick，2002；Maulik和Resnick，2004；Resnick，2007），这是Ledford和Tawn（1996，1997）引入的尾部依赖系数的一个补充。回想一下，一个值为[0]的随机向量，∞)如果存在函数b（t），则称nis为多变量规则变化→ ∞ 作为t→ ∞ 一个非负氡测量值ν6=0，例如PrhXb（t）∈ ·我→ ν（3）as t→ ∞ 在锥E=[0]上测度的模糊收敛意义下，∞]n\\{0}。现在，X被称为具有隐藏正则变量的性质。如果除（3）外，还存在一个非递减函数b*（t）→ ∞ 这样b（t）/b*（t）→ ∞ 作为t→ ∞ 还有一个氡测量*6=0，使PrhXb*（t）∈ ·我→ ν*（4）在圆锥体上*:= E\\∪ni=1Li，其中Li是第i个坐标轴。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-5-5 19:43:40

换句话说，在隐藏的规则变化下，概率Pr[Xi≥ Xi，Xj≥ xjt]对于任何I6=j的衰变都是有规律的，但速度比单个分量的尾部概率更快。隐藏规则变化理论及其最近的扩展（Das等人，2013年）允许量化尾部概率的渐近行为，如（1）或（2），但它非常适合于具有胖幂律尾和尾部等效裕度的分布，并且不容易适用于（比如）在金融中广泛使用的指数尾部衰减模型。另一种（但相关的）研究渐近独立性内相关性的方法是，观察到，例如，对于同分布正随机变量，在某些情况下，可以使用秩变换来解决非等效裕度问题，这保留了隐藏的规则变化（He Offernan et al.，2005），它不保留某些尾部泛函的结构，人们希望在风险管理应用程序中计算这些尾部泛函。下尾的渐近独立性意味着limx↓0Pr[X≤ 十、Xn≤ x] Pr[x≤ x] =0，通过研究对数标度上的相关极限，可以从多元分布函数中提取关于“剩余”相关性的信息。这导致了所谓的弱尾依赖系数（Coles等人，1999年；Schlueter和Fischer，2012年；Hashorva，2010年；He offernan，2000年），通常定义为（对于二维copula C的较低指数而言）→02 ln uln C（u，u）- 1.（5）该系数是在连接函数的水平上定义的，因此不需要对利润率进行长期假设。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-5-5 19:43:43

它存在于远低于隐藏正则变化所需的严格条件下（因为这里只对对数尺度渐近感兴趣），但弱尾依赖系数的知识并不能提供关于函数（1）或（2）的信息，它们也依赖于边缘。在本文中，我们发展了弱尾依赖函数（5）的一个函数扩展，我们称之为弱尾依赖函数。对于copula的下尾，弱尾依赖函数由χ（λ，…，λn）=limu定义→0最小uλiln C（uλ，…，uλn），λ，λn≥ 0.（6）弱尾依赖函数对弱尾依赖系数的扩展在精神上与尾依赖函数对强尾依赖系数的扩展有些相似（Joe等人，2010；Kl–uppelberg等人，2008，2007）。我们计算了常用的copula族的弱尾依赖函数，特别是高斯copula和具有指数衰减混合变量的所有高斯混合模型，并表明（1）或（2）等泛函的对数标度符号在边缘弱假设下用弱尾依赖函数表示。特别是（见定理1），如果X，Xnare值为（0，∞), 具有存活功能的“F”，\'\'fn和生存copula C，因此对于k=1，n、 ln’Fk（x）~ λkln¨F（x）as x→ +∞ 对于某些常数λ和函数F，ln Pr[min（X，…，Xn）≥ [t]~miniln‘Fi（t）’χ（λ，…，λn），作为t→ +∞, 式中，利用公式（6）从copula C计算出¨χ。另一方面（见推论2），如果X，Xnare随机变量的值为（0，∞), 用分布函数F，fn和copula C，对于k=1。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-5-5 19:43:47

n，ln-Fk（x）随着x的变化而缓慢变化↓ 0和LN Fk（x）~ λkln F（x）对于某些常数λ和某些函数F，则ln Pr[x+···+Xn≤ [t]~miniln-Fi（t）χ（λ，…，λn），作为t↓ 0.分布函数缓慢变化的假设包括所有具有规则变化左尾的分布，以及参数族，如对数正态分布、伽马分布、威布尔分布和金融数学文献中的许多分布。对数标度上的渐近等价假设确保了成分定律具有相似的渐近行为，但并不是很严格：例如，不同的成分可以遵循具有不同参数的对数正态分布，或者具有具有具有不同指数的规则变尾。因此，我们的方法提供的信息比隐藏的规则变化（允许计算尖锐的渐近性）少，但另一方面，它适用于更广泛的环境。论文的其余部分结构如下。第2节介绍了弱尾相关函数的定义和基本性质。第3节给出了普通copula族弱尾依赖函数的显式形式。最后，第4节介绍了弱尾部依赖函数与尾部概率（如（1）和（2））的渐近性之间的联系，并用一个来自金融数学的例子说明了该理论。在本文中，我们写f~ g as x趋向于whenverlimx→af（x）g（x）=1和f。g wheneverlim supx→af（x）g（x）≤ 1.我们记得，函数f被称为缓慢变化的函数，当x趋于0时，函数f的值会缓慢变化→0f（αx）f（x）=1对于所有的α>0。最后，我们定义n:={w∈ 注册护士：威斯康星州≥ 0，i=1，n、 nXi=1wi=1}。我们还记得随机向量的copula（Y。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

可人4

2022-5-5 19:43:50

，Yn）是一个函数C:[0，1]n:[0，1]，满足假设odC是Lebesgue-Stieltjes积分意义上的一个正度量，oC（u，…，un）=0，当至少一个k的uk=0时，oC（u，…，un）=uk ui=1，当所有i 6=k时，以及≤ Y伊恩≤ yn]=C（Pr[Y≤ y] ，Pr[Yn≤ （y，…，yn）∈ 注册护士。根据Sklar定理，copula存在，并且当Y，它们是连续的。我们参考Nelsen（1999）了解有关copulas的详细信息。2弱尾依赖函数定义1。copula C的弱下尾依赖函数χ（λ，…，λn）由χ（λ，…，λn）=limu定义→0miniln uλiln C（uλ，…，uλn），（7）当所有λ，λn≥ 0，使得λk>0至少为1k，标准约定为ln 0=∞ 和1/∞ = 0.备注1。因此，本文将重点放在弱尾函数上。copula的其他尾部的弱尾部依赖函数可以用类似的方式定义。例如，copula C的weakuper尾依赖函数由¨χ（λ，…，λn）=limu定义→0最小uλiln C（uλ，…，uλn），其中C是与C相对应的生存copula。从本文给出的弱下尾依赖函数的性质和形式可以很容易地导出weakuper尾依赖函数的性质及其形式。备注2。假设u>0时C（u，…，u）>0，且letbC（z，…，zn）=C（e-ZE-对于z，锌≥ 0.那么（7）等于tolnbC（λz，…，λnz）~ -maxiλiχ（λ，…，λn）z作为z→ +∞.因此，弱尾相关函数的存在是一种多变量正则变分性质，其指数为对数尺度上的copula对数的1。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-5-5 19:43:53

由于这种对数尺度变换的存在，弱尾相关函数的存在与原始尺度下分布的规则变化特性没有直接关系，特别是，它不是由隐藏的规则变化特性暗示的。弱下尾相关函数的性质copula的弱下尾相关函数χ（λ，…，λn）为0阶齐次函数：对于所有r>0，χ（rλ，…，rλn）=χ（λ，…，λn）。它相对于copula的一致性顺序增加，并允许以下边界（上界是由于copula上的Frechet-Hoe效应上界）：0≤ χ（λ，…，λn）≤ 1.对于copula C的独立性⊥（u，…，un）=u。我们得到了χ（λ，…，λn）=maxiλiPiλi。对于完全相关的copula Ck（u，…，un）=min（u，…，un）得到了上界。更重要的是，如以下命题所示，对于任何下尾强尾依赖系数非零的copula，弱下尾依赖函数等于其上界。因此，尾部相关性的这种度量与成分具有交感独立性的分布相关。在陈述结果之前，我们回顾一下以下定义。定义2。acopula C的强尾依赖系数（对于下尾）由λL=limu定义↓0C（u，…，u）u，只要存在极限。当λL>0时，copula在下尾具有渐近依赖性。提议1。假设copula函数C具有强尾依赖系数λL>0。然后，C的弱下尾依赖函数等于上界：χ（λ，…，λn）=1，λ, . . . , λn≥ 0.证明。根据λL的定义，对于任何ε>0且u足够小的情况，C（u，…，u）≥ （λL）- ε） u.利用copula在每个参数中增加的事实，我们得到了，对于通常很小的，lnc（uλ。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-5-5 19:43:57

，uλn）ln u≤ln（λL）- ε） max lnλu表示↓0ln C（uλ，…，uλn）ln u=max（λ，…，λn）。结合这一点和连接词的Frechet-Hoe-offing上界，证明是完整的。不同copula家族的强尾依赖系数在Nelsen（1999）中列出；贺福南（2000年）。特别是，我们知道高斯copula具有渐近独立性（Sibuya，1959）。相比之下，所有具有规则变尾的椭圆分布的copula，尤其包括t-copula，都具有渐近依赖性（Hult和Lindskog，2002），因此，对于这些copula，弱尾相关函数等于1.3弱下尾相关函数对于普通copula族高斯copula，具有相关矩阵R的高斯copula是具有相关矩阵R和非恒定分量的任何高斯向量的唯一copula（它不依赖于平均向量和分量的方差）。下面的命题刻画了高斯copula的弱下尾相关函数。提议2。设C是一个n维高斯copula，其相关矩阵R为det r6=0。那么，χ（λ，…，λn）=maxiλiminw∈nw>∑w，对于所有λ，λn>0，其中矩阵∑具有系数∑ij=Rij√λiλj，1≤ i、 j≤ n、证据。设X=（X，…，Xn）为中心高斯向量，协方差矩阵∑如上所述。证明基于以下引理。引理1。设X为n维中心高斯向量，协方差矩阵∑假定为非退化。然后存在正常数c和c，以及一个带1的整数n≤ \'n≤ n因此，对于所有足够大的z，c|z|ne-z2明∈nw>∑w≤ Pr[X≥ ZXn≥ z]≤C|z|ne-z2明∈nw>w（8）证明。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-5-5 19:44:00

该证明基于Hashorva和H¨usler（2003）给出的多元高斯尾估计。以t=z1为例，使用本参考文献命题2.1中介绍的符号，我们可以看到（i）|它|不依赖于zand，我们设置了| n=|它|；（ii）每∈ 对于某些常数ci>0，hi=ciz；（iii）在（Hashorva and H¨usler，2003，等式（1.2））中定义的函数R（t）与1/t相当于t→ +∞; 最后（iv）常数αt=minx≥tx>∑-1x=zminx≥1x>∑-1x。利用拉格朗日乘子的方法，我们进一步得到了minx≥1x>∑-1x=最大λ≥0分钟∈Rnx>-1x- λ> （十）- 1） =最大λ≥0-λ> ∑λ+λ>=最大ρ≥0，w∈N-ρw>∑w+ρ=maxw∈西北⊥∑w；所以αt=zminw∈西北⊥∑w.则（8）中的上界和下界遵循Hashorvava和H¨usler（2003）中的公式（3.8）。从上述引理出发，利用中心高斯向量的对称性，我们推导出Ln Pr[X≤ ZXn≤ z]~ -z2 infw∈nw>z趋于∑-∞. 将其应用于单个高斯变量yieldsln Pr[Xi≤ z]~ -zλi，z→ ∞.现在结合这些估计，得到ε和z足够小，-z（1+ε）2 infw∈nw>∑w≤ ln Pr[X≤ ZXn≤ z] =lnc（Pr[X≤ z] ，Pr[Xn≤ z] )≤ lnc（e）-zλ（1）-ε), . . . , E-zλn（1）-ε)).让u=e-z（1）-ε） /2，这导致1+ε（1）- ε） infw∈nw>wln u≤ lnc（uλ，…，uλn）。除以miniln uλ，利用ε是任意的这一事实，我们最终得到maxiλiinfw∈nw>∑w≤ 林素普→0最小uλlnc（uλ，…，uλn）。上限可以用类似的方式获得。下一个结果描述了高斯均值-方差混合的边缘尾行为和弱的低尾依赖函数。提议3。设Y=（Y，…，Yn）>是具有相关矩阵R的中心非退化高斯变换器，并设u∈ Rn，σi=√对于i=1，如果i=1，N

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-5-5 19:44:04

假设Z是一个正随机变量，密度ρ（s）满足ρ（s）=e-θs+o（s），s→ ∞θ>0时。让X被X定义=√ZY+Zu。然后o对于i=1，n、 ln Pr[Xi≤ x]~2θp2θσi+ui- uix，x→ -∞.o X的copula具有弱的下尾依赖函数χ（λ，…，λn）=maxiλiminvnq2θv>Rv+（)u>v）-§u>vo，其中最小值在集合中占据五、∈ Rn，vi≥ 0，i=1，n、 nXi=1viλi（q2θ+～ui- ui）≤ 1..请注意，在一般情况下，aGaussian混合物的弱下尾依赖函数可能取决于相关矩阵R、归一化平均向量¨u和衰减率θ，因为所有这些参数都会影响随机向量的依赖结构。然而，在对称情况下（u=0），很容易看出弱下尾依赖函数仅依赖于相关矩阵。推论1。让X=√其中Y是以相关矩阵R为中心的高斯向量，假设为非退化，Z满足命题3的假设。那么，χ（λ，…，λn）=maxiλiminw∈N√w> ∑w，其中矩阵∑具有系数∑ij=Rijλiλj。命题3和推论1提高了我们对混合变量指数衰减的高斯混合模型的尾相关性的理解。例如，取u=0，我们得到χ（1，…，1）=minw∈N√w> Rw<1，只要相关矩阵R是非生成的。因此，通过命题1，我们得出结论：混合变量呈指数衰减的高斯方差混合模型没有强的尾部依赖性。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-5-5 19:44:09

特别是，对于n=2，R=1ρ1！和χ（1，1）=r1+ρ，我们恢复并扩展了Schlueter和Fischer（2012）的主要结果，其中该值是针对广义双曲分布计算的。更准确地说，在本参考文献中，弱尾依赖系数（对于左尾）定义为limu→02 ln（u）ln C（u，u）- 1，对应于2χ（1，1）- 在我们的符号中为1，并且等于tor1+ρ- 1.命题3的证明基于Gulisashvili和Tankov（2014）的以下估计。引理2。设Y为具有非退化协方差矩阵B的中心高斯向量，并设u∈ 注册护士。假设Z是一个随机变量，其值为（0，∞) 允许密度ρ假设ρ（s）≤ 总工程师-θsfor s≥ 1，其中θ>0和c>0是常数。然后，存在C>0，使得对于足够大的k，PrhnXi=1eYi√Z+μiZ≤ E-基≤ 总工程师-C*θk，其中c*θ=薄荷≥0maxw∈nnθt+（1+tu>w）2w>Bwto=maxw∈n2θp2θw>Bw+（u>w）- u>w.（9）o假设ρ（s）≥ 总工程师-θsfor s≥ 1，其中θ>0和c>0是常数。然后，存在C>0，使得对于足够大的k，PrhnXi=1eYi√Z+μiZ≤ E-基≥ Ck-氖-C*θk，命题3的证明。在命题3的假设下，对于每一个ε>0，我们可以找到常数c>0和c>0，从而-（θ+ε）s≤ ρ（s）≤ 总工程师-(θ-ε） s，s≥ 1.使用引理2的边界，取对数，对于足够小的x，lnc- n ln lnx+c*θ+εlnx≤ ln PrhnXi=1eXi≤ xi≤ ln C+C*θ-εln x.除以ln x并传递到极限x→ 0到getc*θ+ε≥ lim supx→0ln公关Pni=1eXi≤ 十、ln xlim infx→0ln公关Pni=1eXi≤ 十、自然对数≥ C*θ-ε.自从c*θ在θ中明显是连续的，ε是任意的，我们得出结论limx→0ln公关Pni=1eXi≤ 十、ln x=c*θ.将此结果应用于单个组件Xi，我们得到limx→0ln Pr[eXi≤ x] Lnx=2θp2θσi+ui- ui.因此，ln Pr[eXi≤ x] 当x趋于0时缓慢变化，根据定理1，χ（λ。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

可人4

2022-5-5 19:44:12

，λn）=maxiλic*λi=2θp2θσi+ui的θ- ui。然而，由于χ仅取决于copula，因此它对于转换ui7是不变的→ αiui和σi7→ αiσifor i=1，n对于任意向量α∈ 有积极的成分。因此，对于任意λi>0，人们总是可以找到αi>0，使得λi=2θp2θ（αiσi）+（αiui）- αiui.为了完成证明，将其替换为c的表达式*θ，并在优化问题中改变变量vi=wiαiσi2θ。阿基米德连接函数回忆起给定一个函数φ：[0，1]→ [0, ∞] 它是连续的，严格递减的，并且它的逆φ-1是完全单调的，带生成元φ的阿基米德copula由c（u，…，un）=φ定义-1{φ（u）+··+φ（un）}。下面的简单结果给出了阿基米德copula的弱下尾依赖函数。当lnφ-1是有规律变化的，包括带有φ的甘贝尔连接-1（t）=exp(-t1/θ）和其他几个家族。提议4。设C是一个具有生成函数φ的阿基米德copula。（i）。如果lnφ-1在不同的时间点上有规律的变化+∞ 当指数α>0时，则χ（λ，…，λn）=max（λ，…，λn）λ1/α+··+λ1/αnα（ii）。如果lnφ-1在不同的时间变化缓慢+∞, 然后χ（λ，…，λn）=1标记4。lnφ-1 E在0处有规律地变化对于C处于Gumbel copula的最大吸引域是足够的（Genest and Rivest，1989）。然而，对于弱下尾依赖函数的存在，我们需要lnφ-1.在不同的时间点+∞ 这是一种不同的情况。备注5。当lnφ-1有规律地变化，但不是缓慢地变化+∞,命题1意味着copula C在左尾中没有强依赖性，这意味着强尾依赖系数λ等于零。当φ-1变化缓慢，情况不那么清楚。对于阿基米德copula，强尾相关系数由λL=limu给出↓0C（u。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-5-5 19:44:17

，u）u=limu↓0φ-1{φ（u）+··+φ（un）}u=limt→∞φ-1（nt）φ-1（t）。因此，当φ-1在不同的时间缓慢或有规律地变化+∞, λLexists是严格正的，所以对于所有的λ，…，χ达到其上界χ（λ，…，λn）=1，λn≥ 然而，当λL=0而χ（λ，…，λn）=1时，也存在一些情况。实际上，函数φ-1（u）=e-{ln（1+u）+}+是维度为2的阿基米德copula的一个有效的逆生成函数，并且在+∞ （这意味着λL=0）但lnφ-1.慢悠悠的。证据首先假设-1随指数α>0而有规律地变化。通过定义χ，χ（λ，…，λn）=limu→0max（λ，…，λn）ln ulnφ-1{φ（uλ）+··+φ（uλn）}=limu→0max（λ，…，λn）lnφ-1（φ（u））lnφ-1{φ（eλln u）+··+φ（eλnln u）}根据正则变函数的反演定理（Bingham et al.，1989），函数u7→ φ（eu）在不同温度下有规律地变化-∞ 指数为1/α。因此，对于任何ε>0且u足够小的情况，（1- ε）（λ1/α+··+λ1/αn）φ（u）≤ φ（eλlnu）+··+φ（eλnln u）≤ （1+ε）（λ1/α+···+λ1/αn）φ（u），我们使用lnφ的规则变化得出结论-1以及ε是任意的这一事实。这个案子的证据是-1缓慢变化的情况与此类似。极值连接函数弱下尾依赖函数可以交替表示如下。χ（λ，…，λn）=-最大λiln limt→∞C{（e）-λ） t，（e）-λn）t}t.（10）设C为极值copula（De Haan and Ferreira，2007，第6章），即满足C（u1/m，…，u1/mn）m=C（u，…，un），m的copula∈ N*, （联合国）∈ [0,1]n，其中n*表示除零以外的一组自然数。由（10）可知，C的弱下尾依赖函数由χ（λ，…，λn）=-maxiλiln C（e）-λ, . . .

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-5-5 19:44:20

E-λn）.4弱相依随机向量的尾部渐近在本节中，我们将展示如何使用弱尾部相依函数来表征弱相依随机向量分量的某些泛函的对数尺度尾部行为。我们的第一个例子表明，在边缘相对较弱的假设下，弱相关随机向量的分布函数的尾部的对数尺度渐近行为可以从弱尾部相关函数推导出来。定理1。（i）让X，Xnbe（a，b）中有值的随机变量，其中b∈ R∪{+∞} 具有边际生存函数¨F，满足以下假设的Fn和生存连接对于每个k=1，n、 ln’Fk（x）~ λkln¨F（x）as x↑ b对于某些常数λk>0和某些函数“F”——copula C允许弱上尾依赖函数“χ”。那么limx↑bln Pr[最小（X，…，Xn）≥ x] miniln Pr[Xi≥ x] ＝χ（λ，…，λn）。（ii）让X，Xnbe（a，b）中值的随机变量，其中a∈ R∪{-∞} 用边际分布函数F，fn和copula C满足以下假设对于每个k=1，n、 ln Fk（x）~ λkln¨F（x）as x↓ 对于某些常数λk>0和某些函数F，copula C允许一个弱的低尾依赖函数χ。那么limx↓aln Pr[max（X，…，Xn）≤ x] miniln Pr[十一]≤ x] =χ（λ，…，λn）。证据我们只证明了第一部分，第二部分的证明非常相似。首先，观察这个pr[min（X，…，Xn）≥ x] =Pr[x≥ 十、Xn≥ x] =C{F（x），…，\'Fn（x）}。根据该定理的假设，对于任何ε>0且x足够接近b，`F（x）λk（1+ε）≤\'\'Fk（x）≤\'F（x）λk（1）-ε），k=1，n、因此，C{F（x）λ（1+ε），…，\'F（x）λn（1+ε）}≤ Pr[min（X，…，Xn）≥ x]≤ C{F（x）λ（1）-ε), . . .

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-5-5 19:44:23

，F（x）λn（1）-ε） }通过定义弱下尾依赖函数，对于足够接近b的x，我们得到了‘F（x）’χ-1（λ，…，λn）（1+ε）maxiλi≤ Pr[min（X，…，Xn）≥ x]≤“F（x）”χ-1（λ，…，λn）（1）-ε）取对数并利用ε是任意的这一事实表明↑bln Pr[最小（X，…，Xn）≥ x] maxiλiln\'F（x）=χ-1（λ，…，λn）和相应的↑bln Pr[最小（X，…，Xn）≥ x] ln miniPr[Xi≥ x] =\'\'χ-1（λ，…，λn）。在边缘分布函数对数尺度上缓慢变化的假设下，同样的渐近行为扩展到随机向量的更复杂函数。推论2.o让我们 [0, ∞)nbe一个可测量的集合，使得存在0<k<k<∞用[K，∞)N A. [k，∞)让X，Xnbe值为（0，∞) 用边际生存函数F，Fn和Survival满足以下假设：对于每个k=1，n、这是一个缓慢变化的过程+∞ 和令人满意的Fk（x）~ λkln F（x）as x↑ +∞对于一些常数λk>0和一些函数F，copula C允许一个弱的上尾依赖函数¨χ。那么limx↑+∞ln Pr[（X，…，Xn）∈ xA]miniln Pr[Xi≥ x] =χ（λ，…，λn.）让我们 [0, ∞)一个有界可测集，存在0<k<k<∞ 用[0，k]n A. [0，K]让X，Xnbe随机变量的值在（0，∞) 用边际分布函数F，满足以下假设的F和Copula C对于每个k=1，n、 ln Fk在零处缓慢变化，满足ln Fk（x）~ λkln F（x）as x↓ 0对于一些常数λk>0和一些函数F，copula C允许一个弱的低尾依赖函数χ。那么limx↓0ln Pr[（X，…，Xn）∈ xA]miniln Pr[Xi≤ x] =χ（λ，…，λn）。备注6。取A={x∈ 注册护士：xi≥ 0，i=1。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

何人来此

2022-5-5 19:44:28

，n，Pxi≤ 1} 例如，在第二部分中，我们可以计算Pr[X+··+Xn]的渐近性≤ x] 作为x→ 0.关于边际分布的假设包括，例如，在零处规则变化的分布以及在零处缓慢变化的分布。它排除了零衰减非常快的分布，例如正态逆高斯分布。请注意，当Fis定期变化时，可以放松对A的假设，只假设A∈ (0, ∞)在第一部分中，A在第二部分中有界。证据为了证明这两部分非常相似，我们将重点放在推论的第二部分。根据A，Pr[max（X，…，Xn）的假设≤ [xk]≤ Pr[（X，…，Xn）∈ xA]≤ Pr[max（X，…，Xn）≤ xK]。另一方面，由于lnf（x）在零处缓慢变化，ln Pr[Xi≤ [Kx]~ ln Pr[Xi≤ [kx]~ ln Pr[Xi≤ x] 作为x→ 例子在这个例子中，我们展示了如何使用本文中获得的渐近结果来分析多维Black-Scholes模型中期权组合的尾部行为。需要强调的是，多维Black-Scholes模型不能充分描述市场压力时期的市场运动（McNeil et al.，2010）。然而，这个模型，以及更普遍的多元高斯分布，仍然被实践者广泛用于日常风险管理，因此，在这个模型中理解投资组合的尾部行为非常重要。固定一个时间范围T，并让（X，…，Xn）表示n个风险资产在该时间范围内对数周转的向量。对于i=1，…，则T日的资产价格由Si=exi给出，n其中，我们假设在不损失一般性的情况下，所有资产的初始值均标准化为1。我们假设n个风险资产遵循多维Black-Scholes模型。这意味着向量（X。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

可人4

2022-5-5 19:44:31

，Xn）是高斯分布，wedenote由BT表示协方差矩阵，由uT表示平均向量。我们感兴趣的是n风险资产上的欧式看涨期权组合的尾部行为。为了简化讨论，我们假设投资组合中每个风险资产只包含一个选项，但该设置显然可以扩展到任意数量的选项。期权的对数行距用（k，…，kn）表示，到期日用（T，…，Tn）表示，其中Ti>T表示i=1，n、假设利率为零，T日第i期权的价格由Black-Scholes公式给出（Black and Scholes，1973）：Pi=eXiN（d+）- 伊金（d）-), d±=Xi- kiσi√钛- T±σi√钛- T、 σi=pBii，其中N是标准正态分布函数。对于现实世界中的风险管理应用程序来说，假设用于期权定价的波动率σi为常数且等于√比伊。在实践中，我们需要假设股票收益率和波动率的多元高斯分布，或者引入所谓的叠加波动率偏斜，即假设σiis是Si的（通常是递减的）确定性函数。因此，这个例子应该被视为一个玩具例子，其主要目的是说明和激励论文的理论。这一理论在全面风险管理中的应用有待进一步研究。以下命题阐明了概率型[P+··+Pn]的渐近行为≤ z] 当z趋于0时。令人惊讶的是，尽管Black-Scholes模型中的资产收益率曲线非常细（高斯），但期权组合的分布具有幂律尾。这反映了期权比股票风险大得多的事实。提议5。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-5-5 19:44:35

当z趋于0时，ln Pr[P+··+Pn≤ z]~在津福∈nw>σw，其中∑是一个n×n矩阵，元素由∑ij=BijTσiσjp（Ti）给出- T）（Tj- T）。证据PPn是高斯随机变量（X，…，Xn）的明显增函数和连续函数。因此，（P，…，Pn）的copula是具有相关矩阵的高斯copula，元素为Rij=Bijσiσj。它仍然用来表征P，…，Pn的分布函数的渐近行为，请注意。让√Xi=Xi- uiTσi√t对于i=1，n和definefi（x）=euiT+xσi√TN{d+（x）}- ekiN{d-（x） }，d±（x）=xrTTi- T-uiT+kiσi√钛- T±σi√钛- 那么，~xi是一个标准正态随机变量。来自著名的等价物CEN（x）~E-x | x|√2π，x→ -∞,人们很容易推断出thatfi（x）~σi（Ti）- T）xT√2πeki-D-（x），x→ -∞. （11）取对数，我们得到fi（x）~ -xT2（Ti）- T），x→ -∞安德夫-1i（u）~rTi- TTlnu，u→ 0.因此，Pisatis fiesln Pr[Pi]的分布函数≤ x] =ln N{f-1i（x）}~ -F-1i（x）~ -钛- TTlnx，x↓ 0，因此推论2的假设满足λi=Ti- t和F（x）=1/x，然后应用命题2和推论2得出结果。数字说明图1以对数标度绘制了三种不同资产上的三种看涨期权组合的分布函数。参数的数值为b=0.2 0.1 0.10.1 0.2 0.10.1 0.1 0.2, u =- 0.1- 0.1- 0.1.时间范围为T=0.25（年），期权对数罢工为ki=0，i=1、2、3的期权到期日为Ti=0.5。这些价值可以被认为是金融市场的典型价值。该图绘制了期权组合的分布函数，以及带有斜率infw的直线∈nw>由命题5预测的∑wP，在对数刻度中。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-5-5 19:44:39

我们在分布函数的左尾观察到幂律衰变，衰变率（对数图的斜率）似乎接近理论预测。我们强调的事实是，我们的结果可能不会用于实际计算分布函数，因为它们只提供对数尺度的渐近性。然而，他们对分布的尾部行为提供了充分的概念。与隐藏规则变化相比，当资产和期权相同时，多维Black-Scholes模型中期权组合的左尾行为也可以使用隐藏规则变化进行分析。对于本图的假设，假设投资组合包含两个选项（n=2），将一般情况留待进一步研究。让子=-1/ln{1- N（~Xi）}表示i=1，2。众所周知（韦勒和库利，2014年，第6页），对于所有z，z>0，t PrhZb（t）>z，Zb（t）>zi→ （zz）-2ηas t→ ∞式中η=（1+ρ）/2和b（t）=U-1（t）其中u（t）=t1/ηL（t），L（t）=（1+ρ）3/2（1- ρ)-1/2（4πlnt）-ρ/(1+ρ). （12）对于所有x，x>0，Pr[P-1> 德克萨斯州，P-1（tx）]=Pr[Z>g（tx），Z>g（tx）]，0.0001 0.001 0.01 0.1 10值0。00010.011概率Monte Carlo CDFAsymptoteFigure 1：多维Black-Scholes模型中三个看涨期权组合分布函数的左尾。其中i=1，2，gi（t）=-自然对数1.- NF-1iT.作为t→ ∞, 显然，gi（t）~ ~gi（t）：=NF-1iT.此外，使用等价物（11）和N的渐近展开式-1例如，在（Blair等人，1976年，第828页）中，很容易证明-1i（u）=fi{N-1（1/u）}~ 西乌蒂-T（lnu）1-T2（Ti-T）e-ciq2TTi-Tln uwhereCi=2T√2πσi（Ti）- T）3/2eci-ki（2√π） TTi-Tand ci=uiT+kiσi√钛- T+σi√钛- T.换句话说，~g-1i（u）=uTTi-TLi（u），其中Li是一个随u缓慢变化的函数→ ∞. 因此，gi（t）=tTi-TTLi（t），其中Li随t缓慢变化→ ∞.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-5-5 19:44:43

通过渐近反演，我们可以证明以下关系。■李（t）~ C-钛-TTi钛- TTln t-钛-特提奇蒂-TT√2英寸t，t→ ∞. （13）现在假设选项和资产是相同的，因此T=T、~L=~L:=L和~~g=~g:=g。然后，Pr[P-1> 德克萨斯州，P-1（德克萨斯州）]~（二十）-T-T2ηTU{g（t）}。因此，我们得出结论，这对夫妇（P-1，P-1）具有隐藏的调节特性，因此pr[P+P]≤ z] =Pr[（P-1，P-1) ∈zA]~U{g（1/z）}ν（A），其中={x>0，y>0:x+y≤ 1} 而ν是由ν（（x，∞) ×（x，∞)) = （二十）-T-T2ηT。一个简单的计算表明，ν（A）=γB（1+γ，2+γ），其中B是Eulerβ函数，γ=T- 最后，我们已经证明了→ 0，Pr[P+P]≤ z]~ zT-TηTγB（1+γ，2+γ）~L（1/z）1/ηL（zT）-TT），其中函数Lis在（12）中明确给出，函数L满足交感关系（13）。很容易看出，在这种情况下，infw∈nw>∑w=ηTT- T、因此，上述公式的前导项与命题5一致。总之，在这个例子中，隐正则变分理论允许在一个相当严格的同质投资组合假设下计算尖锐的渐近性，而本文的方法适用于一般情况，但只允许我们计算对数尺度渐近性。确认本研究得到了ANR项目前言（ANR-14-CE050028）和风险基金会主席“金融风险”的支持，该主席由OCI\'et\'e G\'erale赞助。参考Bingham，N.H.，C.M.Goldie和J.L.Teugels（1989）。规则变化，第27卷。剑桥大学出版社。布莱克、F.和M.斯科尔斯（1973年）。期权和公司负债的定价。政治经济学杂志3637-654。Blair，J.，C.Edwards和J.Johnson（1976年）。误差函数逆的有理切比雪夫近似。计算数学30（136），827–830。Coles，S.，J.He Offernan和J.Tawn（1999年）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-5-5 19:44:46

极值分析的依赖性度量。极端2（4），339-365。Das，B.，A.Mitra，S.Resnick等人（2013年）。生活在多维边缘：利用规则变化寻找隐藏的风险。应用概率的进展45（1），139–163。De Haan，L.和J.De Ronde（1998年）。海风：工作中的多元极端。极端情况1（1），7-45。De Haan，L.和A.Ferreira（2007年）。极值理论：导论。斯普林格。Draisma，G.，H.Dress，A.Ferreira和L.De Haan（2004年）。二元估计：渐近独立的依赖性。伯努利10（2），251–280。Genest，C.和L-P.Rivest（1989年）。甘贝尔极值分布族的特征。统计与概率字母8（3），207-211。Gulisashvili，A.和P.Tankov（2015）。一揽子期权的隐含波动性是极端打击。《金融学中的大偏差和渐近方法》，Friz，P.，J.Gathereal，A.Gulisashvili，A.Jacqier，A.和J.Teichman（编辑），Springer。哈索瓦，E.（2010）。关于椭圆分布的剩余依赖指数。统计与概率字母80（13），1070-1078。Hashorva，E.和J.H¨usler（2003）。在多元高斯尾上。统计数学研究所年鉴55（3），507-522。He Offfernan，J.，S.Resnick等人（2005年）。隐藏的规则变化和ranktransform。应用概率的进展37（2），393–414。何福南，J.E.（2000）。尾部依赖系数的目录。极端3（3），279-290。Hult，H.和F.Lindskog（2002年）。椭圆分布中的多元极值、聚集和依赖。应用概率的进展34（3），587–608。Joe，H.，H.Li和A.K.Nikoloulopoulos（2010）。尾依赖函数和藤连接函数。多变量分析杂志101（1），252–270。克鲁佩尔伯格，C.，G.库恩和L.彭（2008）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-5-5 19:44:51

多元尾相关函数的半参数模型——渐近相关情况。斯堪的纳维亚统计杂志35（4），701-718。吉隆伯格，C.，G.库恩，L.彭等（2007）。估计椭圆分布的尾相关函数。伯努利13（1），229-251。Ledford，A.W.和J.A.Tawn（1996年）。多元极值的近似独立性统计。Biometrika 83（1），169-187。Ledford，A.W.和J.A.Tawn（1997年）。对连接区域内的依赖性进行建模。英国皇家统计学会期刊：B辑（统计学方法学）59（2），475–499。Maulik，K.和S.Resnick（2004年）。隐藏规则变化的特征和例子。极端情况7（1），31-67。K.莫利克、S.雷斯尼克、H.罗茨恩等人（2002年）。渐近独立性和网络传输模型。应用概率杂志39（4），671-699。麦克尼尔，A.J.，R.Frey和P.Embrechts（2010）。定量风险管理：概念、技术和工具。普林斯顿大学出版社。内尔森，R.（1999）。连接词导论。斯普林格。Resnick，S.（2002年）。隐正则变分、二阶正则变分和交感独立性。极端5（4），303-336。Resnick，S.I.（2007）。重尾现象：概率和统计建模。斯普林格。Schlueter，S.和M.Fischer（2012年）。椭圆广义双曲分布的弱尾相关系数。极端情况15（2），159-174。西布亚，M.（1959年）。二元极端统计，I.统计数学研究所年鉴11（2），195-210。韦勒、G.B.和D.库利（2014）。通过期望最大化进行似然推理的隐藏规则的和特征。Biometrika，即将出现。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

分享

扫码加好友，拉您进群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群