以破产惩罚最小化终生贫困

2022-5-9 04:19:27

用破产惩罚最小化终生贫困Asaf Cohen*弗吉尼亚·R·杨+美国密歇根大学数学系，48109，2018年8月6日摘要我们为希望最大限度地减少终生贫困的个人提供投资建议，并对其破产或破产进行处罚。我们通过财富的非负、非递增函数来衡量财富。因此，财富越低，财富越长，惩罚就越大。本文推广了最小化寿命破产概率和最小化期望寿命占用率的问题，并用公共函数作为两者之间的桥梁。为了说明我们的模型，我们计算了一个特定贫困函数和两个消费函数的最优投资策略，并证明了这些投资策略的一些有趣性质。JEL学科分类。C61，G02，G11。关键词。贫穷破坏起跳时间；最优投资；随机控制。1简介在稀缺[12]中，Mullainathan和Sha Fir描述了研究人员如何直接测量生活在金钱、时间或其他资源稀缺中的人的智力或带宽的减少。这种所谓的带宽税是贫困迫使人们集中精力解决资源短缺问题的结果。在这篇论文中，我们为那些希望尽可能减少其一生贫困的个人提供投资建议，并对其破产或毁灭进行惩罚。

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2022-5-9 04:19:31

我们通过财富的非负、非增长函数来衡量贫困。因此，财富越低，财富越低，惩罚就越大。在大多数关于贫困的工作中，目标是衡量收入或财富在整个人群中的分布情况。在那篇文献中，重点是贫困在一群个体中的分布，而不是像我们在本文中所做的那样，控制给定个体的贫困。换句话说，我们的问题是微观经济学，而不是宏观经济学。*网状物：https://sites.google.com/site/asafcohentau/，电邮：shloshim@gmail.com+网络：http://dept.math.lsa.umich.edu/people/facultyDetail.php?uniqname=vryoung，电邮：vryoung@umich.eduSee[9]和[10]获取这一研究领域的大量参考文献。本文是默顿文集[11]中许多人的观点，因为我们优化了个人投资于Black Scholes市场的目标函数，即一个无风险资产以恒定利率赚取利息，一个风险资产价格遵循几何布朗运动的市场。默顿模型中的个体寻求最大化消费和终端财富的预期效用，而我们模型中的个体则最小化了预期的“贫困”，这是通过（流动）财富的非递减函数来衡量的，而不是消费或终端财富的非递减函数。在我们的模型中，个体的消费率是给定的，但她选择如何投资，以便在其一生中将贫困最小化。我们通过使用价值函数的一阶和二阶导数（即最小预期贫困，并对破产进行惩罚）来描述最优投资政策，而这又是一个（非线性）一阶微分方程的解。我们证明了一般贫困和消费函数的价值函数的比较统计。

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2022-5-9 04:19:35

此外，对于贫困函数和两种类型的消费函数的具体选择，我们计算了价值函数和最优投资政策的（半）显式表达式。对于这些特殊情况，我们使用凸勒让德变换来确定价值函数和相应的最优投资策略。从数学上讲，我们的问题与追求目标的文献中的问题密切相关，比如最小化终身破产的概率，最大化实现遗赠目标的概率，最小化预期终身职业（即财富保持在agiven水平以下的时间），或者最小化终身缩减或预期终身支出缩减的概率。事实上，本文推广了最小化寿命ru In概率和最小化预期终身职业的p问题，贫困函数充当了两者之间的桥梁，如我们在下面的备注2.1中所讨论的。本文的其余部分组织如下。在第2节中，我们描述了金融模型，并定义了最小化对财富的负、非递增函数的期望的问题，即所谓的贫困函数，以及破产惩罚。在这一部分的末尾，我们给出了一个验证引理，用于解决优化问题。在第三节中，我们证明了一般贫困函数的价值函数的一些性质，在第四节中，我们重点讨论了一个特殊的贫困函数和两个消费函数。第五部分总结全文。2模型在第2.1节中，我们介绍了个人投资的金融市场，并定义了个人希望最小化的成本函数。

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2022-5-9 04:19:40

然后，在第2.2节中，我们提出了用于解决个体控制问题的平均引理。2.1背景和问题陈述我们研究的是一个人的模型，他在黑市上连续交易，没有交易成本。允许借贷和卖空。该市场由两种资产组成：早期参考见Young[14]，近期参考见Bayraktar和Zhang[8]。Bayraktar和Young[7]以及Bayraktar等人[4]。贝拉克塔尔和杨[6]。Chen等人，CLLL2015，Angoshtari等人[2]和Angoshtari等人[1]。无风险资产和风险资产。无风险资产的价格遵循确定性DYNAMICSDXT=rXtdt，其中r>0是恒定的无风险回报率。风险资产的价格遵循几何布朗运动，由dst=St（udt+σdBt）给出，其中u>r，σ>0，和（Bt）t≥0是过滤概率空间上的标准布朗运动(Ohm, F、 F={Ft}t≥0，P），其中fti是σ（Bu:0）的增大≤ U≤ t）。让WT表示个人在t时的投资账户财富≥ 0.让πt表示在时间t投资于风险资产的美元金额≥ 0.投资政策{πt}t≥如果是满足RTπsds<∞几乎可以肯定，尽管如此≥ 0.我们假设个人净消费率下的th等于c（w）- A、其中c（w）是财富等于w时的消费率，A≥ 0是固定的收入率。第4节，我们假设c（w）是财富的连续、非递减函数；在第4节。2.我们考虑两种特定的消费率：恒定消费率c（w）=c和比例消费率c（w）=κw。

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nandehutu2022

2022-5-9 04:19:44

然后，财富过程遵循动态dWt=[rWt+（u）- r） tπ- c（Wt）+A]dt+σπtdBt，t≥ 0，W=W。财富第一次达到a，我们称之为破产水平，即τa=inf{t≥ 0:Wt≤ a} 。个人希望避免生活在贫困中，并在其一生中避免破产或毁灭。设τdbe为个体的随机死亡时间，与驱动风险资产p-rice过程的布朗运动d无关。我们假设τdis呈指数分布且危险率λ>0，即P（τd>t）=e-λt.个人寻求在可接受的投资策略上最小化以下成本。J（w；{πt}）：=EwZτa∧τdl（Wt）dt+ρ·1{τa≤τd}（2.1）=EwZ∞λe-λtZτa∧tl（Ws）dsdt+ρe-λτa= 电子战Zτae-λtl（Wt）dt+ρe-λτa,其中，以W=W为条件的Ewdenotes期望，l（·）是一个非负、非递增的函数，用于衡量生活在贫困中的经济和物质成本，dρ>0是对终生破产的恒定惩罚。我们称l（·）为贫困函数。如果我们允许ρ<l（a+）λ，那么个人可能会发现，通过让自己的财富下降到破产水平，而不是继续生活在贫困中，进行经济自杀是有利的。因此，为了防止经济自杀，我们假设ρ≥l（a+）λ贯穿本文。人们可以解释差异ρ-l（a+）λ作为破产的净惩罚，即，在一个人的余生中不在贫困中（接近a）而在破产的惩罚的净额。此外，我们假设l（a+）>0；否则，l（·）≡ 我们的问题相当于最小化终生破产的可能性。由V（w）定义的函数V:=inf{πt}J（w；{πt}）（2.2）是函数的值，在该函数中，我们最小化了过度容许的投资策略。注2.1在[6]中，Bayraktar和Young研究了本文中问题的一个特例，即所谓的终身职业问题。

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2022-5-9 04:19:47

他们将财富低于0的预期时间最小化，如果财富低于某个非常低的水平，“游戏”就会结束，-[6]中的L。因此，如果设置ρ=1/λ，l（w）=1{w<0}，a=-五十、那么，V in（2.2）加上0以下的现有时间等于[6]中定义的最低使用寿命。注意，通过设置l（w）=1{w≤0}，我们测量财富在0以下的运行时间，通过设置ρ=1/λ，我们假设一旦财富达到a=-五十、然后，个体在贫困中度过余生，预期时间为1/λ。人们可以更普遍地将职业定义为在给定的时间间隔内花费的时间，比如[a，d]，对于破产级别a。如果我们考虑支持存在于[a，d]中的贫困函数，那么本文中的问题将两个看似无关的问题联系起来：用年轻人[14]定义的破产级别a最小化终生破产的可能性，以及最小化[a，d]的预期终身职业。实际上，在一个极端，如果我们设置ρ=1/λ和l（·）≡ [a，d]上的0，则V（2.2）等于寿命破产的最小概率的1/λ倍。相应的最优投资策略不会因这种规模而改变。在另一个极端，如果给定ρ=1/λ，我们在[a，d]上设置尽可能大的l（·），具体地说，l（w）=1{a≤W≤d} ，那么V（2.2）等于区间[a，d]的最小寿命占用。

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2022-5-9 04:19:50

同样，我们假设，如果财富达到a，那么个人在贫困中度过余生，预期时间为1/λ。备注2.2在本文中，我们假设消费率c（·）是财富对（a，∞) 贫困函数l（·）是财富对（a，∞) 有很多不连续的点，所以存在一个独特的ws∈ （a），∞] 对于whichrw<c（w）- A、对于所有w<w，rw>c（w）- A、对于所有w>w，andl（w）=0，对于所有w>w。我们允许ws=∞, 例如，如果c（w）=κw，κ>r，那么情况就是这样≥ 那么我们可以为所有t设置πt=0≥ 0，这意味着DWT=（rWt- c（Wt）+A）dt≥ 0.在这种投资策略下，财富不会减少，因此不会发生终身破产，个人也不会因贫困而受到惩罚。因此，我们称之为安全水平。2.2验证引理本节，我们提供了一个验证引理，将值函数描述为边值问题的唯一解。我们不证明这个定理，因为它的证明与文献中的其他定理相似；例如，参见[5]。每π∈ R、定义以下微分算子LπbyLπf:=（rw+（u- r） π- c（w）+A）fw+σπfww- λf，其中f是一个二次可微函数。引理2.1假设K=K（w）是一个C函数，它在[a，ws]上是递减的和凸的（贫困函数l（·）的不连续点除外，在这里它是C，并且有左和右导数）。

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2022-5-9 04:19:53

假设K满足下列边值问题。infπ{LπK（w）+L（w）}=0，a<w<ws，K（a）=ρ，K（ws）=0。（2.3）然后，由（2.2）定义的价值函数V等于[a，ws]上的K，风险资产的最佳投资金额由π以反馈形式给出*t=-u - rσ·Kw（W）*t） Kww（西）*t）尽管如此，t∈ [0，τa∧ τd]，其中W*3.价值函数的性质在本节中，我们假设，对于给定的消费率c（·）和贫困函数L（·），边值问题（BVP）（2.3）有一个递减的凸解（除了贫困函数的不连续性，这里是c）。当我们在第4节中查看c（·）和l（·）的特定函数形式时，我们构造了BVP的解，但在本节中，我们按照给出的解进行求解。此外，在没有歧义的情况下，我们为该解写V，因为验证引理2.1确保（2.3）的适当解等于值函数。我们在本节中证明了值函数的性质。为此，定义微分器F byF（w，K，Kw，Kw）=λK- infπ（rw+（u）- r） π- c（w）+A）千瓦+σπ千瓦- l（w），（3.1）和使用F重写BVP（2.3），如下所示。F（w，K，Kw，Kww）=0，K（a）=ρ，K（ws）=0。注意，F随K增加，随Kww减少。这些单调性性质允许我们证明下面的比较引理。当ws=∞, 边界条件K(∞) = 0应理解为limw→∞K（w）=0。引理3.1让u，v∈ C（a，ws），除了贫困函数l（·）的不连续点，其中u和v是C的左右导数。假设f（w，u，uw，uw）≤ F（w，v，vw，vww），（3.2）带F（w，u，uw，uw）<∞, 尽管如此，w∈ （a，ws）。如果你（a）≤ v（a）和u（ws）≤ v（西），thenu（西）≤ v（w）代表所有w∈ （a，ws）。证据

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2022-5-9 04:19:56

首先，如果u的最大值- v出现在（a，ws）的边界上，但不在内部，然后是u≤ v在内部，因为u≤ 假设v在边界上。第二，ifu- v在（a，ws）的内部达到一个非正的最大值，那么我们也有u≤ v在内部。第三，俯卧撑- v在w处达到一个严格的正最大值∈ （a，ws）。如果w是贫困函数的连续点，那么uw（w）=vw（w）和d uww（w）≤ vww（w）。因为（w，u（w），uw（w），uw（w））<∞, uww（w）>0或uw（w）=uww（w）=0。在前一种情况下，我们有0≤ F（w，v（w），vw（w），vww（w））- F（w，u（w），uw（w），uww（w））=-λ（u（w）- v（w））- muw（w）（vww（w）- uww（w））uww（w）vww（w）<0，一个矛盾。在后一种情况下，我们有vw（w）=0和vww（w）≥ 0; 因此，0≤ F（w，v（w），vw（w），vww（w））- F（w，u（w），uw（w），uww（w））=-λ（u（w）- v（w））<0，矛盾。如果w是贫困函数的一个不连续点，那么上述论点适用于w- 或者w+。在下一个命题中，我们应用引理3.1来说明（2.2）中的值函数V如何随模型的各种输入而变化。V的许多特性直接来源于它的定义；然而，我们发现，向感兴趣的读者展示如何使用比较引理证明这些性质是有益的。在这个命题中，当我们看到“增加”或“减少”时，我们指的是弱或非严格意义上的。命题3.1（i）V随着破产ρ的惩罚而增加。（ii）V随着贫困函数l的增加而增加。具体而言，如果l（w）≤ l（w）代表所有w∈ （a，ws）（对于所有的w>ws，l（w）=0=l（w），然后V（·；l=l）≤ V（·；l=l）。（iii）V随着消耗函数c的增加而增加。

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2022-5-9 04:19:59

具体而言，如果c（w）≤ c（w）f或所有w∈a、 ws, 其中Ws是c的安全水平，然后是V（·；c=c）≤ V（·；c=c）打开a、 ws.（iv）V随危险率λ减小。（v） v随着风险资产的漂移而降低。在l（·）的不连续点d处，我们要求（3.2）保持在w=d- w=d+。（vi）V i nc与风险资产σ的波动性有关。证据为了证明（i），设0<ρ≤ ρ、对于i=1,2，定义Vi（·）：=V（·；ρ=ρi）和Fi（·）：=F（·；ρ=ρi）。我们有F（w，V，（V）w，（V）ww）=0=F（w，V，（V）w，（V）ww），V（a）=ρ≤ ρ=V（a），V（ws）=0=V（ws）。因此，通过引理3.1，它遵循V≤ V.证明（ii），让l（w）≤ l（w）代表所有w∈ 对于i=1,2，定义Vi（·）：=V（·；l=li）和fi（·）：=F（·；l=li）。我们有f（w，V，（V）w，（V）ww）=l（w）- l（w）≥ 0=F（w，V，（V）w，（V）ww），V（a）=ρ=V（a），V（ws）=0=V（ws）。因此，根据Lemm a 3.1，V≤ V.属性（iii）-（vi）的证明是相似的，所以我们把它们留给读者。备注3.1属性（i）-（iii）具有直观意义，并易于从V的定义中理解。财产（iv）也源于V的定义；具体来说，如果λ增加，则贴现函数e-λtin（2.1）对于所有t≥ 0.从直观的角度来看，如果λ增加，那么个人更有可能死亡，从而减少在贫困中浪费时间或毁灭的机会。我们预计房地产（v）和（vi）将保持不变，因为增加u或减少σ意味着风险资产是一种更有效的投资，可以避免贫困和破产。在定义值函数V时，如果我们设置l≡ 0，则价值函数等于[14]中定义的终身破产的最小概率（乘以ρ）。因此→ 0，我们期望V接近寿命破产的最小-最小概率，这确实是事实，正如我们在下面引理的帮助下证明的那样。引理3.2修正ε>0。

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2022-5-9 04:20:04

让你，v∈ C（a，ws），除了在povertyfunction l（·）的不连续点，在该点上u和v是C的左导数和右导数。假设SUPW∈[a，ws]| F（w，u，uw，uw）- F（w，v，vw，vww）|<ε，（3.3）与F（w，u，uw，uww）<∞, 尽管如此，w∈ （a，ws）。如果u（a）=v（a）和u（ws）=v（ws），那么| u（w）- v（w）|<ε/λ∈ （a，ws）。证据如果[a，ws]上的u=u，那么证明就完成了。现在我们来处理[a，ws]上u 6=v的情况f。在不失去普遍性的情况下，我们可以假设-v达到严格正的最大值w∈ （a，ws）。如果WI是贫困函数的连续点，那么uw（w）=vw（w）和uww（w）≤ vww（w）。因为F（w，u（w），uw（w），uww（w））<∞, uww（w）>0或uw（w）=uww（w）=0。在前一种情况下，我们有-ε ≤ F（w，v（w），vw（w），vww（w））- F（w，u（w），uw（w），uww（w））=-λ（u（w）- v（w））- muw（w）（vww（w）- uww（w）uww（w）vww（w）<-λ（u（w）- v（w））；在l（·）的不连续点d处，我们要求（3.3）保持在w=d- w=d+。因此，u（w）- v（w）<ε/λ。在后一种情况下，我们有vw（w）=0和vww（w）≥ 0; 因此-ε ≤ F（w，v（w），vw（w），vww（w））- F（w，u（w），uw（w），uww（w））=-λ（u（w）- v（w））和u（w）- v（w）<ε/λ。如果w是贫困函数的间断点，那么上述论点适用于w- 或者w+。在下一个命题中，我们应用引理3.2证明（2.2）中的值函数V相对于贫困函数是连续的。命题3.2 V关于贫困函数l是连续的。具体而言，如果| l（w）-l（w）|<ε表示所有w∈ （a，ws）（对于所有的w>ws，l（w）=0=l（w），然后|V（·；l=l）- V（·；l=l）|<ε/λ，在[a，ws]上均匀分布。证据假设| l（w）- l（w）|<ε表示所有w∈ 定义Vi（·）：=V（·；l=li）和fi（·）：=F（·；l=li）表示i=1,2。我们有| F（w，V，（V）w，（V）ww）- F（w，V，（V）w，（V）ww）|=|0- （l（w）- l（w））|<ε。此外，V（a）=ρ=V（a），V（ws）=0=V（ws）。

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2022-5-9 04:20:07

因此，引理3.2得出| V- [a，ws]上的V |<ε/λ。下一个推论来自命题3.2。推论3.1设Vdenote为寿命破产时间ρ的最小概率。那么limklk∞→0V（w）=V（w），对于所有w∈ [a，ws]，其中kl k∞= 苏普∈[a，ws]| l（s）|。4分段常数贫困函数在本节中，我们重点讨论一个特定的贫困函数和两个消费函数。贫困函数由L（w）给出=l、 a≤ W≤ d、 0，w>d，（4.1），其中0<l≤ ρλ是贫困生活的运行成本，d>a是贫困水平。人们可以把（4.1）中给出的l（·）看作是非负、非递增函数的构建块。实际上，我们可以把任何这样的函数看作是形式Ln（w）=b+mnXi=1bi{a的函数递增序列的逐点极限≤W≤di}；例如，见Royden[13]。在第4.1节中，我们假设消费率是恒定的；在第4.2节中，我们假设消费率与财富成正比。我们在这两个部分的工作很容易扩展到l（·）由（4.1）给出，消费率在财富上是分段线性的情况。此外，我们期望第4.1.3节和第4.2.3节中关于最优投资策略的定性结果能够扩展到l（·）是任何非负、非递增函数的更一般情况，正如我们在第5.4.1节中讨论的，在本节中，我们解决了当r消耗为常数时的问题，即c（w）≡ c、我们假设c>A；否则，最小化问题就无关紧要了。安全级别wsequalsc-在这种情况下，我们假设d<c-也就是说，贫困水平低于安全水平。我们首先分析一个辅助自由边界问题（FBP）。

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2022-5-9 04:20:11

然后，在第4.1.2节中，通过Legendre变换，我们将FBP与最小化贫困函数期望值的问题联系起来，并对终身破产进行惩罚。最后，在第4.1.3节中，我们研究了最优投资策略的性质。4.1.1相关自由边界问题考虑[0，ya]上的以下FBP，其中0<yd<ya，两者都有待确定。λ^L（y）=-（r）- λ） y^Ly（y）+my^Ly y（y）+（c- A） y+l1{yd≤Y≤ya}，^L（0）=0，^Ly（yd）=d，^L（ya）=aya+ρ，^Ly（ya）=a，（4.2），其中：=u - rσ.在下面的位置中，我们给出了FBP（4.2）的解。命题4.1[0，ya]上自由边界问题（4.2）的解由^L（y）给出=kyβ+c- 是的，是的∈ [0，yd），kyβ+kyβ+c- Ary+lλ，y∈ [yd，ya]，（4.3）其中：-C- 应收账- Dβy1-βd，（4.4）k:=-1.- ββ- βC- 应收账- A.y1-βa-ββ- βρ -lλY-βa，（4.5）k:=-β- 1β- βC- 应收账- A.y1-βa+β- βρ -lλY-βa，（4.6）β：=2mh（r- λ+m）+p（r- λ+m）+4λmi>1，（4.7）β：=2mh（r- λ+m）-p（r）- λ+m）+4λmi<0。（4.8）自由边界的比率yda:=ydya∈ （0，1）唯一解g（y）=0，其中g由g（y）=β（1）定义- β)C- 应收账- A.lλyβ-β+ (β- β)C- 应收账- A.ρ -lλyβ（4.9）- (β- β)C- 应收账- Dlλy1-β- (β- β)C- 应收账- Dρ -lλy+β（β- 1)C- 应收账- A.lλ，自由边界Ya可以用ydaviaya=ββ表示- 1lλy-β-da+ρ -lλC-应收账- a、（4.10）自由边界yd=ya·yda。此外，^L是递增的、凹的和C的，除了y=yd，其中它是Cand，有左导数和右导数。证据我们首先展示了YDAA和YA的定义。为此，我们首先声明g in（4.9）在（0,1）中有唯一的零。实际上，gy（y）=（β- β)(1 - β） lλy-β+ρ -lλ·βC- 应收账- A.yβ-1.-C- 应收账- D.（4.11）由于β>β和ρ≥lλ，因此gy表达的前两个因素为正。第三个学期最多换签一次。

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kedemingshi

2022-5-9 04:20:14

因此，g最多一次改变其单耳性。而且，因为g（0）=β（β- 1)C-应收账- A.lλ<0和g（1）=（β- β）（d）- a） ρ>0，由此可知，g in（4.9）在（0,1）中有唯一的零，因此YDAI定义良好。还要注意，ya>0是因为ρ>lλ，β>1，而a<c-应收账；因此，YD是积极的，比ya少。现在我们来证明（4.3）中给出的表达式确实是FfBP的解。首先，我们可以验证^L（y）=jyβ+jyβ+c-Ary+lλ{yd≤Y≤ya}解（4.2）中的微分方程，对于某些常数jand j.从^L（0）=0，我们推断当0时j=0≤ y<ya，来自^Ly（yd-) = d、我们得到（4.4）。根据ya的边界条件，我们得到（4.5）-（4.8）。现在我们通过使用边界条件^L（yd+）=^L（yd），来证明^L是Cat y=d-) ^Ly（yd+）=d，我们得到：-C- 应收账- Dβy1-βd+β- βlλy-βd，（4.12）k=-ββ- βlλy-βd.（4.13）通过将（4.5）和（4.12）等价，我们得到了βda-β(1 - β)C- 应收账- A.对- ββ(β- β)ρ -lλ= -(β- β)C- 应收账- Dyd+ββlλ，从中得出thatya=-βhlλ+ρ -lλyβdai-(β- β)C-应收账- Dyda+β（1）- β)C-应收账- A.是的。（4.14）同样，通过将（4.6）和（4.13）相等，我们得到（4.10）。最后，通过将ya（4.10）和（4.14）的两个表达式相等，我们得到g（yda）=0。换句话说，yaare ydaare选择了^L是Cat y=d。我们现在证明了^L在[0，ya]上是增加的和凹的。因为^Ly（ya）=a≥ 0时，仅显示凹度是有效的，这是通过在[0，ya]上显示^Ly y<0来实现的。我们分别在[0，yd]和[yd，ya]上验证了后者。为了你∈ [0，yd），我们有^Ly y（y）=-(β- 1)C-应收账- Dyd史密瑟斯β-2，这是阴性的，因为β>1，d<c-阿弗利∈ （yd，ya），代数运算，加上（4.5），（4.6）和（4.10），得到^Ly y（y）∝ - (1 - β） lλy-βdaβ史密瑟斯β-β- β!- (β- β)ρ -lλ史密瑟斯β-β、因为β>1，β<0，和ρ≥lλ。

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2022-5-9 04:20:18

4.1.2自由边界问题与贫困最小化之间的关系我们现在证明了FBP（4.2）的解（4.3）的勒让德变换是值函数V（2.2），从而为V提供了一个隐式表达式。因为^L是凹的，我们可以定义它的凸勒让德变换，如下面的命题。命题4.2定义^L on的凸勒让德变换0，c-应收账byL（w）：=max0≤Y≤ 耶^L（y）- 怀伊。（4.15）那么，当L（·）由（4.1）和c（·）给出时，L等于值函数V（2.2）≡ c、证据。我们证明了L满足验证引理；因此，V=L。修正w∈0，c-应收账.最大化子y（w）解^Ly（y（w））- w=0。因此，y（w）=（^Ly）-1（w）=:I（w）。（特别是，从（4.2）可以得出y（a）=yaand y（d）=yd。）更一般地，我们得到lw（w）=-I（w）=-y（w）和Lww（w）=-1/^Ly y（y（w））。从这两个表达式可以看出，L是递减的且凸的0，c-应收账.通过替代y（w）=-Lw（w）转化为FBP（4.2）和d，通过使用在上述段落中获得的表达式，我们推导出在L上求解以下g BVP0，c-应收账.λL（w）=（rw）- （c）- A））Lw（w）- mLw（w）Lww（w）+l1{a≤W≤d} ，L（a）=ρ，L（c）-Ar=0。（4.16）第一个边界条件来自L（a）=^L（ya）- aya=ρ。要获得第二个边界条件，请注意，因为^L（y）-C-Ary是凹的，因为涡流^L（y）-C- 阿利y=0=^Ly（0）-C- Ar=0，由此得出^L（y）-C-Ary正在减少0，c-应收账. 因为我C-应收账= max0≤Y≤ 耶（耶）-C-因此，在yc达到最大值-Ar=0；在此之前，我C-应收账= 0.很明显，当l（w）由（4.1）和c（w）给出时，（4.16）相当于（2.3）≡ C

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2022-5-9 04:20:23

当消费率为常数时，下列定理为贫困函数的最小期望提供了一个隐式表达式，并对终身破产进行了惩罚。定理4.1当l（·）由（4.1）和c（·）生成时≡ c、值函数V（2.2）等于V（w）=-k（β）- 1） yβ（w）+k（1）- β） yβ（w）+lλ，a≤ W≤ d、 β- 1βC- 应收账- DydC- A.- rwc- A.- 研发部ββ-1，d<w≤C-Ar，（4.17），最优投资策略以反馈形式b yπ给出*t=π*（W）*t），其中W*是最优控制的财富和π*定义为π*（w）=-u - rσkβ（β- 1） yβ-1（w）- kβ（1）- β） yβ-1（w）, A.≤ w<d，u- rσ（β）- 1)C-应收账- W, d<w≤C-Ar.（4.18）这里，kand kare分别由（4.5）和（4.6）以及y（w）给出∈ [yd，ya]是kβyβ的唯一解-1（w）+kβyβ-1（w）+c- Ar=w.（4.19）注意，在间隔d、 c-应收账, π*（w）与经典终生破产问题（无贫困）中的最优策略相同；见[14，等式（11）]。定理4.1的证明。从命题4.2中，我们知道V=L。因此，充分证明L（w）等于（4.17）中的表达式。我们分别分析了这两个案例≤ W≤ d<w≤C-Ar.如果≤ W≤ d、然后，根据（4.2）中的边界条件，ddyh^L（y）- 怀伊y=yd=^Ly（yd）- w=d- W≥ 0，（4.20）和ddyh^L（y）- 怀伊y=ya=^Ly（ya）- w=a- W≤ 0.（4.21）根据命题4.1，^L是凹的；因此，对于固定的w，函数^L（y）- wy也是凹的。从不等式（4.20）和（4.21）中可以看出，存在唯一的y（w），对于这两个不等式，人们基本上是平等的∈ [yd，ya]最大化^L（y）- wy和y（w）可被识别为（4.19）的唯一解。本案中的证据通过回顾（4.15）中L（w）的定义来完成。如果d<w≤C-Ar，然后再根据（4.2）中的边界条件（因为^L是Cat y=yd），ddy[^L（y）- [wy]y=yd=d- w<0。同样，对于固定的w，函数^L（y）- wy是凹的。

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kedemingshi

2022-5-9 04:20:27

因此，存在唯一的y（w）∈ [0，yd）使^L（y）最大化- 王寅。具体而言，y（w）=C- A.- rw-kβrβ-1.然后，通过使用（4.4）和（4.15）中L和^L之间的关系，进行证明。4.1.3最优投资策略的性质在本节中，我们研究（4.18）中最优投资策略的性质；因此，在本节中，我们假设l由（4.1）和c（w）给出≡ c、下面的命题提供了最优策略在每个区间（a，d）和（d）上单调作为财富函数的必要和充分条件d、 c-应收账.命题4.3设π*表示风险资产的最佳投资金额，如（4.18）所示。（i） π*随着w的增加而减少d、 c-应收账;（ii）π*在（a，d）中随w减小当且仅当（β）- 1)(β- β)ρ -lλyβda+（1）- β） lλhβ（β- 1） yβ-βda+β（1）- β）我≥ 0; （4.22）（iii）π*在（a，d）中随w增加当且仅当（β）- 1)ρ -lλyβda+（1）- β)(β+ β- 1） lλ≤ 0.（4.23）（iv）如果（4.22）和（4.23）都不成立，则存在w∈ （a，d）使得π*在（a，w）中随w减小，在（w，d）中随w增大。证据性质（i）紧跟π的第二个表达式*在（4.18）中。我们现在证明性质（ii）-（iv）。首先，因为y（w）=-因为V是凸的，所以wy（w）<0。因此wπ*（w）∝Ykβ（β- 1） yβ-1.- kβ（1）- β） yβ-1.∝ kβ（β- 1） yβ-β+kβ（1）- β)∝ -(β- 1)β(1 - β） lλ+（β）- β)ρ -lλyβdayyaβ-β- β(1 - β） lλ=：p（y）。请注意，p（y）随y减小。因此，对于所有y，p（y）<0∈ （yd，ya）当且仅当p（yd）≤ 0，相当于不平等（4.22）。同样，对于所有y，p（y）>0∈ （yd，ya）当且仅当ifp（ya）≥ 0，相当于不平等（4.23）。最后，如果（4.22）和（4.23）都不成立，则存在y∈ （yd，ya）使得p（y）>0表示y∈ （yd，y）和p（y）<0表示y∈ （耶，耶）。通过将wequal设置为（4.19）左侧的表达式，第（iv）项如下。

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2022-5-9 04:20:30

接下来，我们研究π*随模型的某些参数而变化。最后，我们从一个关于yda的引理开始。引理4.1自由边界的比率yda满足以下不等式。yda>C- A.- rdc- A.- 拉β-1，（4.24）由此得出，Y随l增加，随ρ减少。证据因为ydais是由（4.9）给出的g的（0，1）中的u nique 0，并且因为g（0）<0和g（1）>0，所以不等式（4.24）成立当且仅当ifgC- A.- rdc- A.- 拉β-1!< 0，相当于C- A.- rdc- A.- 拉β-ββ-1<1，这是真的。因此，我们证明了不等式（4.24）。将g（yda）=0与l完全区分，得到0=gy（yda）伊达l+g（y）Ly=yda；（4.25）因此，由于gy（yda）>0，表明yda随l增加，这就足以表明g（y）Ly=yda<0。这是显而易见的g（y）Ly=yda=-l（β- β)ρC- 应收账- A.yβda-C- 应收账- D伊达, （4.26）由于不平等而为负（4.24）。关于ydadereduces与ρ的证明是相似的，所以我们省略了它。当贫困的惩罚f相对于破产的惩罚ρ增加时，我们期望最优投资策略随着l的增加而增加（随着ρ的增加而减少），因为个体有更大的脱贫动机，而对风险资产进行更大的投资是实现这一目标的最佳方式。（回想一下，我们假设ρ≥lλ，这样个人就不会希望经济自杀。）命题4.4风险资产的最佳投资金额π*（w）对于w，随着ρ（弱）增加，随着l（弱）增加，随着ρ（弱）减少∈ （a，d）且与l和ρ无关∈d、 c-应收账.证据很明显，从π的表达式*在（4.18）上d、 c-应收账, π*在这个区间上独立于l和ρ。因此，我们重点展示π*（w）在cr中，l代表w∈ （a，d）。首先，我们证明π*（a+）随着l的增加而增加。

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2022-5-9 04:20:33

通过使用方程（4.5），（4.6）和（4.10），我们得到π*（a+）=u- rσ（β）- 1)C- 应收账- A.(1 - β） lλy-β-da+ρ -lλlλy-β-da+ρ -lλ. （4.27）将该表达式与l区分开来，以获得π*（a+）L∝ ρ - βlρ -lλ伊达伊达l、这是正的，因为β<0，并且Y随着引理4.1中的l而增加。因此，π*（a+）随着l的增加而增加。接下来，我们证明π*（d）-) 随着l的增加而增加。通过使用方程（4.12）、（4.13）和（4.10），我们得到π*（d）-) =u - rσ（β）- 1)\"C- 应收账- D- βC- 应收账- A.lλlλy1-β-da+ρ -lλ伊达。（4.28）将该表达式与l区分开来，以获得π*（d）-)L∝ ρyda- L(1 - β） lλy-β-da+ρ -lλ伊达L∝ (β- 1)C- 应收账- A.yβ-1da>0，其中第二行从（4.25）、（4.26）和（4.11）开始。因此，π*（d）-) 随着l增加。接下来，我们推导出π的微分方程*关于（a，d），我们用它来表示π*（弱）在该时间间隔内随l增加。将（4.16）中的微分方程改写如下：；我们用V代替LλV=（rw）- c+A）+u- rπ*Vw+l。将该表达式与w区分开来，将两边除以Vw，然后重新排列结果以获得u- rπ*w=λ- r+m+u- rσrw- c+Aπ*. （4.29）最后，支撑姿势l≤ l、让πi（·）=π*（·；l=li）表示i=1，2。我们希望证明π（w）≤ π（w）表示所有w∈ （a，d）。相反地，假设某个时间点的π（w）>π（w）∈ （a，d）；那么，因为π（a+）<π（a+）和π（d-) < π（d）-), 因此π- πtakesa在某些w处的正最大值∈ （a，d）。那么，0=u- r（（π）w（w）- （π） w（w））=u- rσ（rw）- c+A）π（w）-π（w）> 0，矛盾。因此，π≤ πin（a，d）。类似的证明表明π*（w）（弱）随着w的ρ减小∈ （a，d），所以我们省略了这个证明。

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2022-5-9 04:20:36

在一个相关的结果中，我们将th表示为l→ 0+, π*探讨了最小化终身破产概率的最优投资策略。提案4.5liml→0+π*（w） =π（w），对于所有w∈a、 c-应收账, 其中π（w）：=u-rσ（β）- 1)C-应收账- W当c（w）时，是最小化终身破产概率的最优投资策略≡ c、证据。对于w来说，结果是明确的∈d、 c-应收账因为π*（w） =π（w）表示所有w∈d、 c-应收账.对于w∈ （a，d），π*由w=a+时的值和（4.29）中的微分方程确定。注意，在微分方程中，π*wdepends仅通过π在参数l上*.因此，这足以表明liml→0+π*（a+）=π（a+），这在（4.27）中是清晰的，因为→0+y-β-da∈ [0, 1]. 备注4.1注意，当l=0时，不等式（4.22）严格成立；因此，当l足够小时，π*随着w的开启（a，d）而减小。换句话说，当l足够小时，π*在（a，d）上的行为类似于π*随w减小，且“接近”π。作为命题4.4和命题4.5的推论，我们观察到，在我们的模型中，投资于风险资产的最佳金额比简单地最小化终身破产概率时更大。a<w<d，π的推论4.1*（w） >π（w），对于d<w<c-Ar，π*（w） =π（w）。特别是π*（d）-) > π*（d+）。证据这个结果紧随命题4.4和命题4.5，因为当贫困惩罚l=0时，π是最优策略。备注4.2因为π*（w） =π（w）对于w>d，当她不贫困时，个人在投资中是近视的。也就是说，当财富达到a级破产时，她投资的唯一惩罚就是ρ。

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2022-5-9 04:20:39

在他们的结论中，Mullainathan和Sha fir[12]假设，当资源丰富时（对于我们的问题，w>d），存在着癌症的种子，因为人们目光短浅地浪费他们的资源，稀缺发生得比人们在资源丰富时更有效地使用他们的资源更快。另一方面，π与破产水平无关；因此，我们也可以说，当财富达到d>a，即贫困水平时，我们的个人投资就好像她将得到全额惩罚一样。4.2比例消费率在本节中，我们解决了当比例消费率与财富成正比时的优化问题，即c（w）=κw。我们假设e为κ>r，a>aκ-避免心房病例；参见[14]中的第4.1节。在按比例消费的情况下，没有安全水平；更准确地说，ws=∞.该分析与第4.1节中的分析类似。具体地说，我们首先研究了一个辅助的FBP，然后将其与最小化贫困函数期望的问题联系起来，通过Legendre变换对终身破产进行惩罚。最后，研究了最优投资策略的性质。

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2022-5-9 04:20:42

只要证明与第4.1节中相应的证明相似，我们就忽略它们。4.2.1相关自由边界问题考虑[0，za]上0<zd<za的以下FBP，两者都有待确定。λ^M（z）=-（r）- κ - λ） z^M（z）+mz^Mzz（z）- Az+l1{zd≤Z≤za}，^M（0）=0，^Mz（zd）=d，^M（za）=aza+ρ，^Mz（za）=a，（4.30），其中，与之前一样，M=u - rσ.在下面的位置中，我们给出了FBP（4.30）的解。命题4.6[0，za]上FBP（4.30）的解由^M（z）给出=kzγ+Aκ- rz，z∈ [0，zd），kzγ+kzγ+Aκ- rz+lλ，z∈ [zd，za]，（4.31），其中：=D-Aκ- Rγz1-γd，k:=1- γγ- γA.-Aκ- Rz1-γa-γγ- γρ -lλZ-γa，（4.32）k:=-1.- γγ- γA.-Aκ- Rz1-γa+γ- γρ -lλZ-γa，（4.33）γ：=2mh（r- κ - λ+m）+p（r- κ - λ+m）+4λmi∈ （0,1），γ：=2mh（r- κ - λ+m）-p（r）- κ - λ+m）+4λmi<0。自由边界的比率zda:=zdza∈ （0，1）唯一解h（z）=0，其中h由h（z）=- γ(1 - γ)A.-Aκ- Rlλzγ-γ- (γ- γ)A.-Aκ- Rρ -lλzγ（4.34）+（γ- γ)D-Aκ- Rlλz1-γ+ (γ- γ)D-Aκ- Rρ -lλZ- γ(γ- 1)A.-Aκ- Rlλ，自由边界Za可以用zdaviaza=γ1表示- γlλz-γda+ρ -lλA.-Aκ-r、（4.35）自由边界zd=za·zda。此外，^M i是递增的、凹的和C，除了在z=zd处，在z=zd处，C具有左导数和右导数。证据这个证明类似于命题4.1的证明。ZDAA和zaarewell的参数已经确定。实际上，hz（z）=（γ- γ)(1 - γ） lλz-γ+ρ -lλ·-γA.-Aκ- Rzγ-1+D-Aκ- R.（4.36）由于γ>γ和ρ≥lλ表示，hz表达式的前两个因子为正。第三个学期最多换签一次。因此，h在mostonce改变其单调性。而且，因为h（0）=γ（1- γ)A.-Aκ-Rlλ<0和h（1）=（γ- γ） ρ（d）- a） >0，则h in（4.34）在（0,1）中有唯一的零，因此ZDAI定义良好。

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2022-5-9 04:20:45

还要注意的是，由于ρ>lλ，γ<1，以及a>aκ，所以za>0-R因此，ZD为正，小于za。（4.31）中的表达式（以及上述定义的Za和zd）解决了FfBP的论点与命题4.1的证明中的论点几乎相同；因此，我们省略它。^M是递增的和凹的证明也是相似的。主要区别在于^Mzz的明确表达。为了z∈ [0，zd），我们有^Mzz（z）=-(1 - γ)D-Aκ-Rzdzzdγ、这是阴性的，因为γ<1，d>Aκ-r、为了z∈ （zd，zA），代数操作，连同（4.32），（4.33）和（4.35），产生^Mzz（z）∝ - (1 - γ） lλz-γdaγzzdγ-γ- γ!- (γ- γ)ρ -lλzzdγ-γ、这是负值，因为γ>0，γ<0，和ρ≥lλ。4.2.2自由边界问题与贫困最小化之间的关系在本节中，我们证明了FBP（4.30）的解（4.31）的勒让德变换是（2.2）中给出的值函数，从而为其提供了一个重要的合法表达式。因为^M是凹的，我们可以定义它的凸勒让德变换，如下面的命题所示。命题4.7定义[0]上^M的凸勒让德变换，∞) byM（w）：=max0≤Z≤扎伊姆（z）- wzi。然后，当l（·）由（4.1）和c（w）=κw证明给出时，M等于值函数V（2.2）。在命题4.2的证明中，V=M的结论表明M满足验证引理的条件。证明之间的主要差异在于w=ws时的边界条件。具体来说，我们需要展示limw→∞M（w）=0。对于w<d，我们有dzh^M（z）- wziz=zd=^Mz（zd）- w=d- w<0，所以z（w）最大化^M（z）-wz位于（0，zd）和satis^Mz（z（w））- w=0。接下来是z（w）=W-Aκ-rkγ-1.-γ、 M（w）=^M（z（w））- wz（w）=k（1）- γ)W-Aκ-rkγ-γ1-γ.因此，limw→∞根据要求，M（w）=0。

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2022-5-9 04:20:48

当消费率与财富成正比时，下列定理为贫困函数的最小期望值的值函数提供了一个隐式表达式，并对终身破产进行了惩罚。这个证明类似于定理4.1中关于e的证明，所以我们省略了它。定理4.2当l（·）由（4.1）表示，c（w）=κw时，值函数V（2.2）等于V（w）=k（1）- γ） zγ（w）+k（1）- γ） zγ（w）+lλ，a≤ W≤ d、一,- γγD-Aκ- RzdW-Aκ-研发部-Aκ-R-γ1-γ、 w>d，最优投资策略以反馈形式byπ给出*t=π*（W）*t），其中W*是最优控制的财富和π*定义为π*（w）=u - rσkγ（1）- γ） zγ-1（w）+kγ（1）- γ） zγ-1（w）, A.≤ w<d，u- rσ（1）- γ)W-Aκ-R, w>d（4.37），在这里，kand kare分别给出了BY（4.32）和（4.33）以及z（w）∈ [zd，za]是kγzγ的唯一解-1（w）+kγzγ-1（w）+Aκ- r=w.4.2.3最优投资策略的性质在本节中，我们研究（4.37）中最优投资策略的性质；因此，在本节中，我们假设l（·）由（4.1）和c（w）=κw给出。以下命题表明，该策略随着财富在每个区间（a，d）和（d）上的增加而增加，∞).命题4.8（4.37）中给出的风险资产的最佳投资金额随（a，d）和（d）中的w而增加，∞).证据π*随着w的增加（d，∞) 紧跟π的第二个表达式*（w）在（4.37）中。现在，考虑一下w∈ （a，d）。在命题4.3的证明中，我们观察到了这一点，因为z（w）=-Vw（w），因为V是凸的，所以wz（w）<0。因此wπ*（w）∝Z-kγ（1）- γ） zγ-1.- kγ（1）- γ） zγ-1.∝ kγ（1）- γ） zγ-γ+kγ（1）- γ)∝ (1 - γ)γ(1 - γ） lλ+（γ）- γ)ρ -lλzγda阿扎γ-γ- γ(1 - γ） lλ>0。接下来，我们研究π*随模型的某些参数而变化。

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2022-5-9 04:20:51

最后，我们从一个关于zda的引理开始。引理4.2自由边界之比zda满足以下不等式。zda>d（κ）- r）- Aa（κ- r）- A.γ-1，（4.38），由此得出Zdain随l增大，随ρ减小。证据因为zdai是由（4.34）给出的h的（0，1）中唯一的零，并且因为h（0）<0和h（1）>0，所以不等式（4.38）成立当且仅当ifhd（κ）- r）- Aa（κ- r）- A.γ-1!> 0，相当于d（κ）- r）- Aa（κ- r）- A.γ-γγ-1<1，这是真的。因此，我们证明了不平等性（4.38）。将h（zda）=0与l完全微分，得到0=hz（zda）zdal+h（z）Lz=zda；（4.39）因此，因为hz（zda）>0，为了表明Zdain随l增加，就足以表明h（z）Lz=zda<0。这是显而易见的h（z）Lz=zda=l（γ）- γ)ρA.-Aκ- Rzγda-D-Aκ- Rzda, （4.40）由于不平等（4.38）而为负。zdadecreates与ρ的证明是相似的，所以我们省略了它。当贫困的惩罚f相对于破产的惩罚ρ增加时，我们期望最优投资策略随着l的增加而增加（随着ρ的减少），因为个体有更多的动力摆脱贫困，如第4.1.3节所示。命题4.9风险资产的最佳投资金额π*（w）对于w，随着ρ（弱）增加，随着l（弱）增加，随着ρ（弱）减少∈ （a，d）且与l和ρ无关∈ （d），∞).证据很明显，从π的表达式*在（d）的（4.37）中，∞), π*与该间隔上的陆地ρ无关。因此，我们重点展示π*（w） w随l增加∈ （a，d）。首先，我们证明π*（a+）随l增加。通过使用方程（4.32）、（4.33）和（4.35），我们得到π*（a+）=u- rσ（1）- γ)A.-Aκ- R(1 - γ） lλz-γda+ρ -lλlλz-γda+ρ -lλ.

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kedemingshi

2022-5-9 04:20:54

（4.41）将该表达式与l区分开来，以获得π*（a+）L∝ ρ - γlρ -lλzdazdal、这是正的，因为γ<0，zDain随引理4.2中的l而增加。因此，π*（a+）随着l的增加而增加。接下来，我们证明π*（d）-) 通过找到kand-kanalogousto方程（4.12）和（4.13）的表达式，以及（4.35），我们得到π*（d）-) =u - rσ（1）- γ)\"D-Aκ- R- γA.-Aκ- Rlλlλz1-γda+ρ -lλzda#。（4.42）将该表达式与l区分开来，以获得π*（d）-)L∝ ρzda- L(1 - γ） lλz-γda+ρ -lλzdaL∝(1 - γ)A.-Aκ-Rz1-γda-γA.-Aκ-Rzγ-1da+D-Aκ-R> 0，其中第二行从（4.39）、（4.40）和（4.36）开始。因为分子和分母都是正的，所以这个不等式成立，其中后者从hz（zda）>0开始；见下文（4.36）中的论点。因此，π*（d）-) 随着l的增加。与（4.29）平行，我们有以下π的微分方程*关于（a，d），我们用来证明π*（弱）在该时间间隔内随l增加。u - rπ*w=λ- r+κ+m+u- rσ（r- κ） w+Aπ*. （4.43）假设≤ l、让πi（·）=π*（·；l=li）表示i=1，2。我们希望证明π（w）≤ π（w）表示所有w∈ （a，d）。相反，假设π（w）>π（w）对于某些w∈ （a，d）；那么，因为π（a+）<π（a+）和π（d-) < π（d）-), 因此π- π在某个点取正最大值∈ （a，d）。那么，0=u- r（（π）w（w）- （π） w（w））=u- rσ（（r- κ） w+A）π（w）-π（w）> 0，矛盾。因此，π≤ πin（a，d）。类似的证明表明π*（w）（弱）随着w的ρ减小∈ （a，d），所以我们省略了这个证明。在一个相关的结果中，我们将th表示为l→ 0+, π*探讨了最小化终身破产概率的最优投资策略。提案4.10liml→0+π*（w） =π（w），对于所有w∈ （a），∞), 其中π（w）：=u-rσ（1）-γ)W-Aκ-R当c（w）时，是最小化终身破产概率的最优投资策略≡ κw.证明。

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nandehutu2022

2022-5-9 04:20:57

对于w来说，结果是明确的∈ （d），∞) 因为π*（w） =π（w）表示所有w∈ （d），∞). 福鲁∈ （a，d），π*由w=a+时的值和（4.43）中的微分方程确定。注意，在微分方程中，π*wdepends仅在参数l v iaπ上*. 胡斯，这足以证明liml→0+π*（a+）=π（a+），从（4.41）中可以清楚看出，因为liml→0+y-β-da∈ [0, 1].作为命题4.9和命题4.10的推论，与推论4.1平行，我们观察到π*（w）≥ π（w）。备注4.2中的注释也适用。a<w<d，π的推论4.2*（w）大于π（w），对于w>d，则为π*（w） =π（w）。特别是π*（d）-) > π*（d+）.5结论我们确定了一个人的最佳投资策略，该策略旨在最大限度地减少预期的终身贫困，并对给定的贫困函数、非负的、非递减的财富运行函数进行破产惩罚。我们的工作与优化投资相关，以最大化消费或终端财富的预期效用；然而，我们认为，与效用函数相比，个体更容易选择贫困函数。因此，我们认为，将预期终身贫困最小化，并对破产进行惩罚，比最大化预期效用更为客观。对于第4.1节中考虑的具体案例，我们证明了最优投资策略随贫困水平l而增加，随破产惩罚ρ而减少。我们希望这些属性能保持更普遍的贫困和消费功能。

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2022-5-9 04:21:01

也就是说，如果l（·）≤ l（·）或如果ρ≥ ρ、然后我们期望π（·）≤ π(·).对于第4.1节中考虑的具体案例，我们证明，当财富高于贫困水平d时，个人会进行最佳投资，就好像她在最小化自己生命毁灭的可能性，这是一个短视投资的例子。在许多其他的目标寻求问题中，我们观察到了Such近视。事实上，Bayraktar和You ng[3]发现了最佳投资策略，以最小化持续消费和无借贷约束投资下终身破产的可能性，也就是说，个人在风险y资产上的投资不允许超过我们对更普遍的贫困和消费函数的预期。也就是说，如果l（w）≡ 对于d<w<ws，对于某些d∈ （a，ws），则我们期望最优投资策略将等于在相同消费函数下使终生破产概率最小化的投资策略。她现在的财富。在这种约束下，当约束没有约束时（特别是在更高的财富水平上），个人投资就好像约束不存在一样。最近，Bayraktar等人[4]和Bayraktar及Young[7]分别确定了最佳投资策略，以最大限度地提高在有和没有人寿保险的情况下实现遗赠目标的概率。在不购买人寿保险（特别是在较低的财富水平上）是最佳选择的财富地区，投资者会像不购买人寿保险一样进行双重投资。最后，Angoshtari等人[1]最小化了预期寿命，即一个人的财富花费低于最大财富的某个倍数。结果表明，在提取现金时，最优投资策略与最小化相同财富间隔的预期寿命占用的策略相同。

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