最优投资的长时间渐近性

nandehutu2022

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收藏 2022-05-06

英文标题：
《Long time asymptotics for optimal investment》
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作者：
Huyen Pham (LPMA, CREST)
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
This survey reviews portfolio selection problem for long-term horizon. We consider two objectives: (i) maximize the probability for outperforming a target growth rate of wealth process (ii) minimize the probability of falling below a target growth rate. We study the asymptotic behavior of these criteria formulated as large deviations control pro\\-blems, that we solve by duality method leading to ergodic risk-sensitive portfolio optimization problems. Special emphasis is placed on linear factor models where explicit solutions are obtained.
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中文摘要：
本调查回顾了长期投资组合选择问题。我们考虑两个目标：（i）最大化超越财富过程目标增长率的概率（ii）最小化低于目标增长率的概率。我们研究了这些标准作为大偏差控制问题的渐近行为，我们通过对偶方法解决了遍历风险敏感的投资组合优化问题。特别强调线性因子模型，在线性因子模型中可以获得显式解。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Portfolio Management 项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Probability 概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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Long_time_asymptotics_for_optimal_investment.pdf
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kedemingshi

2022-5-6 18:57:37

最优投资的长时间渐近性*Huy^en PHAMLaborato ire de Probabilit\'es etMod\'eles Al\'eatoirescns，UMR 7 599巴黎大学数学系。巴黎迪德罗大学。弗兰德·克雷斯特（frand CREST Ensamarch）2018年3月19日摘要这项调查回顾了长期范围内的石油选择问题。我们考虑了两个目标：（i）最大化超过目标增长率的概率（ii）最小化低于目标增长率的概率。我们研究了这些准则在大偏差控制问题中的渐近行为，我们用对偶方法解决了遍历风险敏感的组合优化问题。特别强调的是线性因子模型，其中得到了明确的解决方案。理学硕士分类（2000）：60F10、91G10、93E20。关键词：长期投资，大偏差，风险敏感控制，遍历方程。*《金融渐近方法》（编辑Friz GatheralGulisashvili Jacquier Teichman）对斯普林格会议录的贡献，以纪念彼得·劳伦斯。1导言动态投资组合选择寻找使某些绩效标准最大化的策略。这是数学金融中的一个主要主题，在半论文[13]中首次连续解决，并通过考虑随机投资机会、市场缺陷和/或交易成本，扩展到各个方向。例如，我们参考教科书[11]、[10]或[19]以及最近的调查报告[12]了解这一主题的发展。投资决策的经典标准是终端财富的预期效用最大化，这要求一方面指定代表投资者偏好的效用函数，另一方面指定有限的期限。在本文中，我们考虑了一种具有长期客观标准的替代行为基础。

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何人来此

2022-5-6 18:57:41

更准确地说，我们关心的是投资组合相对于给定目标的表现，并且有兴趣最大化（或最小化）在时间范围内超过（或低于）目标增长率的可能性。[22]在静态框架中提出了这种标准，并在连续时间框架中研究了[17]和[9]的上攻概率最大化问题。参见离散时间模型中的[21]。[8]和[15]研究了最小化下行风险概率的渐近性。大偏差投资组合优化是一个非标准随机控制问题，采用对偶方法求解。对偶控制问题是一个遍历风险敏感的投资组合优化问题，在[6]中通过马尔可夫环境下的动态规划PDE方法进行了研究，另见[7]，并在时间同质策略下产生了特别容易处理的结果。二元方法的一个很好的特点是，将上行机会最大化或下行风险最小化的客观概率中的目标水平与风险规避的主观程度联系起来，从而使投资者的效用函数内生。本文的其余部分组织如下。第2节规定了大偏差说明。在第3节中，我们阐述了大偏差优化问题的一般对偶关系，包括上界概率最大化和下界风险最小化。在第4节中，我们用Black-Scholes玩具模型说明了我们的结果。最后，我们在第5节中考虑了资产价格的一个因素模型，并通过从风险敏感性控制中解析遍历的Hamilton-Jacobi-Bellman方程来描述大偏差优化问题的最优策略。

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nandehutu2022

2022-5-6 18:57:45

在线性高斯因子模型中给出了显式解。2大偏差标准我们研究一个投资组合选择标准，即无偏好，即客观，无方位，即长期投资。这是一个大偏差标准，我们现在将其描述在一个框架中。关于过滤概率(Ohm, F、 F=（英尺）t≥0，P）支持续集中出现的所有随机量，我们考虑一个无摩擦的金融市场，d资产的正价格过程S=（S，…，Sd）。根据可用信息Ft，在任何时候都有一个代理人将其财富的一小部分π投资于资产。我们用一组可接受的控制策略π=（πt）t表示≥与之相关的正财富动力学过程：dXπt=Xπtπ′tdiag（St）-1dSt，t≥ 0，（2.1）其中diag（St）-1分解第i个对角线项1/Sit的对角线d×d矩阵。然后我们定义了所谓的增长率投资组合，即财富过程Xπ：Lπt:=lnxπt，t的对数≥ 0.我们通过“Lπ”设定投资组合随时间的平均增长率：\'Lπt:=Lπtt，t>0。然后，我们将考虑关于平均增长率的长时间渐近性的两个问题：（i）上升机会概率：给定目标增长率l, 经纪人希望最大化投资组合策略π∈ 美联社LπT≥ l当T→ ∞.（二）下行风险概率：给定目标增长率l, 代理人希望最小化过度投资组合策略π∈ 美联社LπT≤ l当T→ ∞.实际上，当水平时间T趋于一致时，上行变化或下行风险的概率通常在时间上呈指数衰减，我们得到了以下大偏差标准的数学公式：v+(l) := supπ∈阿利姆·苏普特→∞Tln PLπT≥ l, （2.2）v-(l) := infπ∈Alim infT→∞Tln PLπT≤ l.

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可人4

2022-5-6 18:57:48

（2.3）该标准取决于目标概率P和目标增长率l, 但这里没有外生的效用函数，也没有固定的范围。大偏差控制问题（2.2）和（2.3）在随机控制文献中是不标准的，我们将用对偶方法研究这些问题。3双重性在本节中介绍了（2.2）-（2.3）中介绍的大偏差标准的双重表述。给定π∈ A、如果平均增长率投资组合“Lπ”是一个大偏差原则，那么大偏差理论表明，它的速率函数I（，π）应该通过G¨artner-Ellis定理与它的极限对数拉普拉斯变换Γ（，π）联系起来：I(l, π） =supθθl - Γ(θ, π), （3.1）式中，I（，π）是与‘LπT:lim supT的LDP相关联的速率函数→∞Tln PLπT≥ l= - infl′≥l我(l′, π） =我(l, π), l ≥ 极限→∞LπT，（3.2）和Γ（，π）是LπT:Γ（θ，π）：=lim supT的极限对数拉普拉斯变换→∞Tln EeθT′LπT, θ ∈ R、现在的问题是在优化控制π时扩展这种对偶关系（3.1）。为了验证这些想法，让我们从（3.1）-（3.2）上行可能性的最大化中正式推导出来。supπlim supT→∞Tln PLπT≥ l= supπ- 我(l, π)= supπh-supθθl - Γ(θ, π)i=supπinfθΓ(θ, π) - θl（如果我们可以将sup和in f倒置）=infθsupπΓ（θ，π）-θl.因此，我们期望V+(l) = infθΛ+(θ) - θl, （3.3）其中∧+由∧+（θ）=supπΓ（θ，π）定义。换句话说，我们应该在大偏差控制问题的值函数v+和数学金融文献中已知的作为遍历风险敏感投资组合优化问题的值函数∧之间存在对偶关系。现在让我们在一个抽象（无模型）的环境中严格地陈述二元关系。

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kedemingshi

2022-5-6 18:57:51

我们首先考虑上扬概率大偏差概率，并定义相应的对偶控制问题：∧+（θ）：=supπ∈阿利姆·苏普特→∞Tln EeθT′LπT, θ ≥ 0.（3.4）我们很容易从H¨older不等式中看出∧+在R+上是凸的。以下结果与[17]有关。定理3.1假设∧+是有限的，并且对于某些θ，它在（0，\'θ）上是可微的∈ (0, ∞],存在^π（θ）∈ 任意θ的∧+（θ）解∈ (0,θ). 那么，无论如何l < ∧′+（\'θ），我们有：+(l) = infθ∈[0,θ )Λ+(θ) - θl.此外，文中还给出了v+(l), 什么时候l ∈ （∧′+（0），∧′+（\'θ）），是π+，l= ^π(θ(l)), 带∧′+（θ）(l)) = l,而对于v+(l) = 0，什么时候l ≤ ∧′+（0），is:π+（n）=π（θn），其中θn=θ∧′+（0）+nN→∞-→ 0，从这个意义上说→∞林监督→∞Tln P\'Lπ+（n）T≥ l= 五+(l).证据第一步。让我们考虑[0，\'θ）∧上凸函数∧+的芬切尔-勒让德变换形式*+(l) = supθ∈[0,θ)[θl - Λ+(θ)], l ∈ R.（3.5）由于∧+是Con（0，’θ），众所周知（参见[4]中的引理2.3.9]）函数∧*+是凸的、不减损的和令人满意的：∧*+(l) =(θ(l)l - Λ+(θ(l)), 如果∧′+（0）<l < ∧′+（？）θ0，如果l ≤ Λ′+(0),(3.6)θ(l)l - Λ*+(l) > θ(l)l′- Λ*+(l′), Λ′+(0) < l < Λ′+(θ), l′6= l, （3.7）式中θ(l) ∈ （0，’θ）是s.t.∧′+（θ）(l)) = l ∈ (Λ′+(0), Λ′+(θ)). 而且∧*+持续的(-∞, Λ′+(θ)).第二步：上限。总之l ∈ R、 π∈ A、切比雪夫在等式产量中的一个应用：P[\'LπT≥ l] ≤ 经验(-θlT）E[exp（θT′LπT）]， θ ∈ [0，\'）θ）和solim supT→∞Tln P[\'LπT≥ l] ≤ -θl + 林监督→∞Tln E[exp（θT′LπT）]， θ ∈ [0，\'\'θ）。通过∧和∧的定义*+, 我们推断：supπ∈阿利姆·苏普特→∞Tln P[\'LπT≥ l] ≤ -Λ*+(l). （3.8）第3步：下限。

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mingdashike22

2022-5-6 18:57:56

首先考虑一下这个案例l ∈ （λ′+（0），∧′+（\'θ）），让我们定义概率测度QTon(Ohm , FT）通过：dQTdP=exphθ(l)Lπ+，lT- ΓT（θ）(l), π+，l)i、（3.9）式中ΓT（θ，π）=lne[exp（θT′LπT）]，θ∈ [0,θ), π ∈ A.对于任何ε>0，我们有：Tln P[l - ε<Lπ+，lT<l + ε] =TlnZdPdQTnl-ε<Lπ+，lT<l+εodQT≥ -θ(l)l + ε+TΓT（θ）(l), π+,l)+Tln QTl - ε<Lπ+，lT<l + ε,我们在上一个不等式中使用（3.9）。通过对对偶问题的定义，这个结果是：lim infT→∞Tln P[l - ε<Lπ+，lT<l + ε] ≥ -θ(l)l + ε+ Λ+(θ(l))+ lim infT→∞Tln QThl - ε<Lπ+，lT<l + εi≥ -Λ*+(l) - θ(l)ε+lim infT→∞Tln QThl - ε<Lπ+，lT<l + εi，（3.10），其中第二个不等式后面是∧的定义*+（由于（3.6）的原因，事实上与等式相等）。我们现在展示：lim infT→∞Tln QThl - ε<Lπ+，lT<l + εi=0。（3.11）表示在qtlπ+下的c.g.f，lT.对于所有ζ∈ R、我们有（3.9）：ΓT（ζ）：=ln EQT[exp（ζLπ+，lT） ]=ΓT（θ）(l) + ζ, π+,l) - ΓT（θ）(l), π+,l).因此，通过定义杜阿尔控制问题（3.4），我们得到了f或所有ζ∈ [-θ(l),θ-θ(l)):林监督→∞TΓT（ζ）≤ Λ+(θ(l) + ζ) - Λ+(θ(l)). （3.12）正如在这个证明的第1部分中，通过切比雪夫不等式，我们得到了所有ζ∈ [0,θ - θ(l)):林监督→∞Tln QTh′Lπ+，lT≥ l + εi≤ -ζ(l + ε） +lim supT→∞TΓT（ζ）≤ -ζ (l + ε) + Λ+(ζ + θ(l)) - Λ+(θ(l)),其中，第二个不等式来自（3.12）。我们推导出lim supT→∞Tln QTh′Lπ+，lT≥ l + εi≤ -sup{ζ(l + ε) - Λ+(ζ) : ζ ∈ [θ(l),θ)}-Λ+(θ(l)) + θ(l) (l + ε)≤ -Λ*+(l + ε) - Λ+(θ(l)) + θ(l) (l + ε) ,= -Λ*+(l + ε) + Λ*+(l) + εθ(l), （3.13）第二个等式和最后一个等式来自（3.6）。类似地，我们得到了所有ζ∈ [-θ(l), 0]：lim supT→∞Tln QTh′Lπ+，lT≤ l - εi≤ -ζ (l - ε） +lim supT→∞TΓT（ζ）≤ -ζ (l - ε) + Λ+(θ(l) + ζ) - Λ+(θ(l)),所以：lim supT→∞Tln QTh′Lπ+，lT≤ l - εi≤ -sup{ζ(l - ε) - Λ+(ζ) : ζ ∈ [0, θ (l)]}-Λ+(θ(l)) + θ(l) (l - ε)≤ -Λ*+(l - ε) + Λ*+(θ(l)) -εθ(l).

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大多数88

2022-5-6 18:57:59

（3.14）到（3.13）-（3.14），我们得到：lim supT→∞Tln qtn′Lπ+，lT≤ l - εo∪n′Lπ+，lT≥ l + εoi≤ 最大值林监督→∞Tln QTh′Lπ+，lT≥ l + εi；林监督→∞Tln QTh′Lπ+，lT≤ l - εi≤ 最大值-Λ*+(l + ε) + Λ*+(l) + εθ(l); -Λ*+(l - ε) + Λ*+(θ(l)) -εθ(l)< 0，其中str ict不平等性由（3.7）得出。这意味着QT[{Lπ+，lT≤ l - ε} ∪{Lπ+，lT≥ l + ε}] → 0，因此是QT[l - ε<Lπ+，lT<l + ε] → 1当T到达单位时。特别是（3.11）是满意的，通过在（3.10）中将ε发送到零，我们得到l′< l <∧′+（\'θ）：lim infT→∞Tln P[\'Lπ+，lT>l′] ≥ limε→0lim infT→∞Tln P[l - ε<Lπ+，lT<l + ε]≥ -Λ*+(l).通过∧的连续性*+在(-∞, ∧′+（′θ）），我们得到了→∞Tln P[\'Lπ+，lT≥ l] ≥ -Λ*+(l).最后一个不等式结合（3.8）证明了v的断言+(l) 什么时候l ∈ (Λ′+(0), Λ′+(θ)).现在，考虑一下这个案例l ≤ ∧′+（0），并定义ln=∧′+（0）+n，π+（n）=π（θ）(ln））。然后，根据（3.10）中的相同论点lN∈ （λ′+（0），λ′+（\'θ）），我们得到了有限的信息→∞tlnp[\'Lπ+（n）T≥ l] ≥ limε→0lim infT→∞Tln P[lN- ε<Lπ+（n）T<ln+ε]≥ -Λ*+(ln）。通过将n发送到单位，以及∧的连续性*+, 我们得到了信息→∞lim infT→∞tlnp[\'Lπ+（n）T≥ l] ≥ -Λ*+（λ′+（0））=0，再加上（3.8），证明结束。注3.1定理3.1表明，通过解决对偶控制问题，可以解决上界概率大偏差控制问题。当目标增长率达到一定水平时l 如果小于∧′+（0），那么从长期来看，几乎肯定可以实现以上的平均增长期l, 在某种意义上，v+(l) = 0，具有几乎最优的投资组合策略，该策略不依赖于此级别。当目标水平l 位于∧′+（0）和∧′+（′θ）之间，最优策略取决于该水平，并从θ=θ点的对偶控制问题∧+（θ）的最优策略中获得(l). Wh en∧′+（\'θ）=∞, 即

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何人来此

2022-5-6 18:58:03

λ+是陡峭的，对于所有的l.否则，问题仍有待解决l > Λ′+(θ). 接下来，让我们考虑下行风险概率，并定义相应的双重控制问题：∧-（θ）：=infπ∈Alim infT→∞Tln EeθT′LπT, θ ≤ 0.（3.15）∧的凸性-不像∧+那么简单，需要额外的条件，即容许控制集A是凸的。实际上，在这种条件下，我们从动力学（2.1）中观察到，财富过程的凸组合就是财富过程。因此，对于任何θ，θ∈ (-∞, 0), λ ∈ (0, 1), π, π∈ A、存在π∈ 在λθ+（1）处- λ） θXπT+（1）- λ)θλθ+ (1 - λ） θXπT=XπT。通过对数函数的凹性，我们得到了XπT≥λθ(λθ+ (1 - λ） θ）lnxπT+（1）- λ)θ(λθ+ (1 - λ） θ）lnxπT，通过设置θ=λθ+（1- λ） θ<0:θT′LπT≤ λθT′LπT+（1）- λ） θT′LπT.在这个关系的两边取指数和期望，利用H¨older不等式，我们得到：eθT′LπT≤EeθT′LπTλEeθT′LπT1.-λ.取对数，除以T，将T发送到单位，由于π，π在A中是任意的，我们通过定义∧得到-:Λ-(θ) ≤ λΛ-(θ) + (1 - λ)Λ-（θ），即∧的凸性-在R上-. 自∧-（0）=0，凸函数∧-要么是在niteon(-∞, 0）或在R上定义-. 我们现在陈述下行风险大偏差概率的对偶关系，其证明见[15]。定理3.2假设∧-是有区别的(-∞, 存在^π（θ）∈ A∧的解决方案-（θ） f或任何θ<0。那么，无论如何l < Λ′-（0），我们有：v-(l) = infθ≤0Λ-(θ) - θl,以及v的最优控制-(l), 什么时候l ∈ (Λ′-(-∞), Λ′-（0）is:π-,l= ^π(θ(l)), 带∧′的-(θ(l)) = l,而v-(l) = -∞ 什么时候l < Λ′-(-∞).注3.2定理3.2表明，下行风险大偏差控制问题可以通过解决双重控制问题来解决。

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kedemingshi

2022-5-6 18:58:06

当目标增长率达到一定水平时l 小于∧′-(-∞), 然后你可以找到一个投资组合策略，这样平均增长率几乎永远不会低于这个水平l 从长远来看-(l) = -∞.当目标水平l 位于∧′之间-(-∞) 和∧′-（0），最优策略取决于该水平，并由对偶控制问题∧的最优策略得到-（θ）点θ=θ(l). 对偶问题的解释对于θ6=0，对偶问题可以写成θ∧±（θ）=supπ∈阿利姆·苏普特→∞JT（θ，π），其中JT（θ，π）：=θTln EeθT′LπT,在文献中被称为风险敏感控制问题。泰勒展开式θ=0证明了风险敏感性参数θ：JT（θ，π）所起的作用 ELπT+ θT Var（`LπT）+O（θ）。这种关系表明，对风险敏感的控制相当于使马科维茨问题具有动态性：在方差受到约束的情况下，使预期平均增长率最大化。[2]和[3]以及遍历情况下研究了有限期T上的风险敏感投资组合标准→ ∞, 由[6]和[16]提出。内生效用函数回顾增长率是财富过程的对数，上界大偏差概率的二元关系形式上意味着大视界T:P\'Lπ+，lT≥ l 经验五+(l)T= 经验Λ+(θ(l))T- θ(l)lT 嗯Xπ+，lTθ (l)ie-θ(l)T、 θ(l) > 0.同样，我们对下行风险概率进行了预测：PLπ-,lT≤ l 嗯Xπ-,lTθ (l)ie-θ(l)T、 θ(l) < 0.换句话说，目标增长率水平l 内生地确定风险规避参数1-θ(l) 具有恒定相对风险规避（CRRA）效用函数和较大投资期限的代理。

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mingdashike22

2022-5-6 18:58:09

此外，最优策略π±，l对于v±(l) 预计将为CRRA效用最大化问题SUPπ的解决方案提供良好的近似值∈AE（XπT）θ(l),有一个很大但有限的时间范围。4玩具模型：Black-Scholes案例我们在一个玩具示例中展示了前一节的结果，即Black-Scholes模型，其中一个存货的价格过程为DST=Stbd+σdWt, T≥ 0.我们还考虑具有固定比例投资组合策略的代理。换句话说，容许控制集A等于R。给定一个常数比例π∈ R投资于股票，以单位资本开始w.l.o.g.时，代理人的平均增长率投资组合等于lπT=lπTT=bπ-σπ+ σπWTT。因此，\'LπT根据高斯定律分布：\'LπT Nbπ-σπ，σπT,其（极限）对数拉普拉斯函数等于Γ（θ，π）：=（limT）→∞)Tln EheθT′LπTi=θhbπ- (1 - θ） σπio上突变概率。上边情形下的对偶控制问题由∧+（θ）=supπ给出∈RΓ（θ，π）=(∞, 如果θ≥ 1，Γ（θ，^π（θ））=b2σθ1-θ、如果0≤ θ<1，其中^π（θ）=bσ（1- θ).因此，在[0,1]上∧+可微，且∧′+（0）=b2σ，且∧′+（1）=∞, i、 e.∧是陡峭的。根据定理3.1，上界大偏差概率的值函数明确计算为：v+(l) := supπ∈我是苏普特→∞Tln PLπT≥ l= inf0≤θ< 1Λ+(θ) - θl=（0，如果l ≤ ∧′+（0）=b2σ-p∧′+（0）-√l, 如果l > 具有最佳策略的∧′+（0）：π+，l=bσ，如果l ≤ ∧′+（0）q2lσ、如果l > Λ′+(0).注意，当l ≤ 在∧′+（0）中，我们不仅有OREM 3.1中所述的近似最优控制，还有π+=b/σ给出的最优控制，这正是具有对数效用函数的经典Merton问题的最优组合。事实上，在这个模型中，我们根据大数定律：\'Lπ+T→b2σ=∧′+（0），随着T进入完整性，因此限制→∞Tln P[\'Lπ+T≥ l] = 0=v+(l).

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kedemingshi

2022-5-6 18:58:14

否则，什么时候l > ∧′+（0），最优策略取决于l, 而且目标增长率水平越高，e对股票的投资就越多下行风险概率。下侧情况下的对偶控制问题由∧给出-（θ） =infπ∈RΓ（θ，π）=Γ（θ，π）（θ））=b2σθ1- θ, θ ≤ 0，其中^π（θ）=bσ（1）- θ).因此∧-在R上是可区分的-带∧′的-(-∞) = 0和∧′之间-（0）=b2σ。从理论3。1，下行大偏差概率的值函数显式计算为：v-(l) := infπ∈Rlim infT→∞Tln PLπT≤ l= infθ≤0Λ-(θ) - θl=(-∞, 如果l < 0-p∧′-(0) -√l, 如果0≤ l ≤ Λ′-（0）=b2σ，最优策略：π-,l=r2lσ、如果0≤ l ≤ Λ′-(0).此外，当l < 0，然后选择π-= 0，我们有Lπ-T=0，所以P[\'Lπ-T≤ l] =0，因此v-(l) = -∞. 换句话说，当目标增长率l < 0，什么都不做，我们就有了v的最佳策略-(l).备注4.1上述直接计算依赖于我们将投资组合π按比例限制为常数的事实。实际上，如果我们允许先验投资组合策略π，那么价值函数和最优策略的合法形式保持不变∈ A根据可用信息随时间变化，即F-可预测。这需要更多来自随机控制和偏微分方程的先进工具以更一般的框架呈现在续集中。5因素模型我们考虑一个市场模型，其中一个无风险资产的价格S=1，d个股票的价格S由DST=diag（St）控制b（Yt）dt+σ（Yt）dWt）dYt=η（Yt）dt+γ（Yt）dWt，其中Y是以Rm表示的因子过程，W是d+m维标准布朗运动。假设系数b，σ，η，γ满足正则条件，从而确保上述随机微分方程存在唯一的强解，且σ也是满秩的，即。

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何人来此

2022-5-6 18:58:18

d×d-矩阵σ′是可逆的。投资组合策略π是一个Rd值的适应过程，代表投资于d储蓄的财富的分数。A中π的可容许条件将在稍后进行精确计算，但目前需要π满足可积条件：ZT |π′tb（Yt）| dt+ZT |π′tσ（Yt）|dt<∞, a、对于所有的T>0。增长率组合由以下公式得出：LπT=ZTπ′tb（Yt）-π′tσ′（Yt）πtdt+ZTπ′tσ（Yt）dWt。对于任何θ∈ R、 π，我们计算增长率组合的对数拉普拉斯函数：ΓT（θ，π）：=lneeθLπT= 在EhEZTθπ′tσ（Yt）dWteθRTf（θ，Yt，πt）dti，其中e（.）表示多尔指数，f是函数：f（θ，y，π）=π′b（y）-1.- θπ′σ′（y）π。我们现在施加可接受性条件，即π位于A，如果Dol’eans Dade lo calmartingale ER.θπ′tσ（Yt）dWt0≤T≤这是任何T>0的真鞅，这是由Novikov条件保证的。在这种情况下，这个Dol’s Dade指数定义了一个相当于P on的概率度量Qπ(Ohm, 我们有：ΓT（θ，π）=ln EQπhexpθZTf（θ，Yt，πt）dti、其中Y受QπbydYt控制=η（Yt）+θγ（Yt）σ′（Yt）πtdt+γ（Yt）dWπt.与来自Girsanov定理的Wπa Qπ-布朗运动。然后我们考虑双重控制问题：o上升机会：对于θ≥ 0，∧+（θ）=supπ∈阿利姆·苏普特→∞Tln-EQπhexpθZTf（θ，Yt，πt）dti、 o下行风险：对于θ≤ 0,Λ-（θ） =infπ∈Alim infT→∞Tln-EQπhexpθZTf（θ，Yt，πt）dti、这些问题在文献中称为遍历风险敏感控制问题，并在[1]、[5]和[14]中用动态规划方法进行了研究。现在让我们正式推导与这些风险敏感控制问题相关的遍历方程。

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何人来此

2022-5-6 18:58:21

我们考虑了有限期风险敏感随机控制问题：u+（T，y；θ）=supπ∈AEQπhexpθZTf（θ，Yt，πt）dtY=yi，θ≥ 0u-（T，y；θ）=infπ∈AEQπhexpθZTf（θ，Yt，πt）dtY=yi，θ≤ 0，并使用形式替换：lnu±（T，y；θ） λ±（θ）T+ν±（y；θ），对于大T，在对应的汉密尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程中，对于u±：u±T=supπ∈研发部θf（θ，y，π）u±+（η（y）+θγ（y）σ′（y）π）′Dyu±+tr（γγ′（y）Dyu±）,我们得到该对的遍历HJB方程（λ±（θ），Γ±（，θ））为：Γ（θ）=η（y）′Dy~n+tr（γγ′（y）Dy~n）+γ′（y）Dy~n+ θsupπ∈Rdhπ′（b（y）+σ（y）γ′（y）Dy~n-1.- θπ′σ′（y）πi，对于θ<1定义良好。在上述等式中，Γ（θ）是∧±（θ）的候选解，而Γ是Γ±（θ）的候选解。这可以被改写为一个半线性遍历偏微分方程，它在梯度上有二次增长：Γ（θ）=η（y）+θ1- θγσ′(σσ′)-1b（y）.Dyа+tr（γγ′（y）Dyа）+Dyа′γ（y）Id+m+θ1- θσ′(σσ′)-1σ（y）γ′（y）Dy~n+θ2（1）- θ） b′（σ′）-1b（y），（5.1）和对偶问题最优反馈控制的候选者：^π（y；θ）=1- θ(σσ′)-1（y）b（y）+∑γ′（y）Dy~n（y；θ）.

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能者818

2022-5-6 18:58:24

（5.2）我们现在面临的问题是：o遍历偏微分方程（5.1）的对解（Γ（θ），Γ（，θ））的存在性我们有Γ（θ）=∧±（θ）吗？Γ的域是什么？我们给出了一些假设，这使我们能够回答上述问题。（H1）b，σ，η和γ是光滑的，整体上是Lipschitz。（H2）σ′（y）和γγ′（y）均为椭圆形：存在δ，δ>0 s.t.δ|ξ|≤ ξ′σ′（y）ξ≤ δ|ξ|, ξ、 y∈ Rm，δ|ξ|≤ ξ′γ′（y）ξ≤ δ|ξ|, ξ、 y∈ Rm。（H3）存在c>0和c≥ 0 s.t.b（σ∑′）-1b（y）≥ c|y|- CY∈ Rm。（H4）稳定条件：存在c>0和c≥ 0 s.t。η（y）- γσ′(σσ′)-1b（y）.Y≤ -c | y |+c根据[1]（另见[15]和[20]），下一个结果说明了ergo-dic方程的光滑解的存在。命题5.1在（H1）-（H4）下，对于任何θ<1，都存在一个解（Γ（θ），Γ（；θ）），对于遍历HJB方程s.t:o对于θ<0，Γ（；θ）是上界的Γ（y；θ）-→ -∞, as | y |→ ∞,o 对于θ∈ （0，1），魟（；θ）是下限魟（y；θ）-→ ∞, as | y |→ ∞,和Dy~n（y；θ）≤ Cθ（1+| y |）。现在，我们将遍历方程的解与双重风险敏感控制问题联系起来。换句话说，这意味着有限视界r isk-sen正态随机控制收敛于遍历方程的分量Γ。我们区分下行和上行情况下行风险：在这种情况下，在[15]中显示，对于所有θ<0的解（Γ（θ），Γ（；θ）到（5.1），以及Γ（.，θ）和上边界，是唯一的（直到Γ（；θ）的一个ad ditiveconstant），我们有：Γ（θ）=∧-(θ), θ < 0.此外，对于∧，存在一个可容许的最优反馈控制^π（.，θ）-（θ）由（5.2）给出，其中因子过程Y在Q^π下是遍历的。[15]也证明了Γ=∧-是有区别的(-∞, 0).

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可人4

2022-5-6 18:58:27

因此，根据定理3.2，下行风险大偏差概率的解由以下公式给出：-(l) = infθ≤0Γ(θ) - θl, l < Γ′（0），最优控制：π-,lt=π（Yt；θ）(l)), Γ′(θ(l)) = l, l ∈ (Γ′(-∞), Γ′（0）），而v-(l) = -∞ 对于l < Γ′(-∞).o 优势：在这种情况下，0<θ<1，遍历方程没有唯一的解（Γ（θ），Γ（；θ）），而Γ（；θ）则是唯一的，甚至是[6]中指出的加性常数。一般来说，我们只有一个验证类型的结果，即如果过程Y在Q^π下是遍历的，那么Γ（θ）=∧+（θ），并且∧π（，θ）是∧+（θ）的最佳反馈控制。在下一段中，我们考虑一个线性因子模型，它可以导出显式计算。5.1线性高斯因子模型我们考虑线性因子模型：dSt=diag（St）（BYt+B）dt+σdWt），在Rd中，dYt=KYtdt+γdWt，在Rm中，具有Rm中的稳定矩阵K，Ba常数d×m矩阵，Rd中的Ba非零向量，秩d的σad×（d+m）-矩阵和γa非零m×（d+m）矩阵。我们正在寻找二次型遍历方程（5.1）的候选解：ν（y；θ）=C（θ）y.y+D（θ）y，y∈ 对于一些m×m矩阵C（θ）和D（θ）。将这种形式的φ代入（5.1），我们发现C（θ）必须解代数Riccati方程：C（θ）′γId+m+θ1- θσ′(σσ′)-1σγ′C（θ）+K+θ1- θγσ′(σσ′)-1B′C（θ）+θ1- θB′（σ∑′）-1B=0，（5.3），而B（θ）由K+θ1- θγσ′(σσ′)-1B+γId+m+θ1- θσ′(σσ′)-1σγ′C（θ）′D（θ）+θ1- θσγ′C（θ）+B′（σσ′）-1B=0。然后，Γ（θ）由以下公式给出：Γ（θ）=tr（γγ′C（θ））+D（θ）′γ（Id+m+θ1- θσ′(σσ′)-1σ）γ′D（θ）+θ1- θB′（σ∑′）-1σγ′D（θ）+θ1- θB′（σ∑′）-1B，最优反馈控制的候选者是：^π（y；θ）=1- θ(σσ′)-1.（B+σγ′C（θ））y+B+σγ′D（θ）.在[6]中，证明了存在一些足够小的正θ，s.t。对于θ<θ，存在Riccati方程（5.3）s.t的解C（θ）。

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大多数88

2022-5-6 18:58:31

Y在Q^π下是遍历的，s oby检验定理Γ（θ）=∧±（θ）。在[17]中研究的一维资产和因素模型中，我们得到了更精确的结果。实际上，在这种情况下：d=m=1，Riccati方程是C（θ）中的一个二阶多项式方程，它允许两个表达式根，由：C±（θ）=-K |γ|1.- θ1.- ρ|γ| BK |σ|±p（1）- θ)(1 - θβ)1 - θ(1 - ρ),对于所有θ≤θ，其中θ=β∧ 1, β = 1 - ρ+ρ -|γ| BK |σ|> 0，其中|γ|（resp.|σ|）是γ（resp.σ）的欧几里德范数，ρ∈ [-1，1]是S和Y之间的相关性，即ρ=γσ′|γ| |σ|。实际上，只有解C（θ）=C-（θ）在这个意义上是相关的，对于这个根，Y在Q^π下是遍历的，因此通过验证定理：∧±（θ）=Γ（θ）=|γ| C-（θ） +|γ| D（θ）1 +θ1 - θρ+θ1 - θB |σ|ρ|γ| D（θ）+θ1- θB |σ|，θ<θ，式中（θ）=-BK |σ|θρ|γ| C-（θ） +B |σ|p（1）- θ)(1 - θβ），并且∧±（θ）的最优控制由以下公式给出：^π（y；θ）=（1- θ） |σ| hB |σ|+ρ|γ| C-(θ)y+B |σ|+ρ|γ| D（θ）i.此外，在[17]中还证明了Γ′（0）=B2 |σ|-B |γ| 4 |σ| K>0（回想一下K<0），函数Γ是陡峭的，即limθ↑θΓ′(θ) = ∞.根据定理3.1和3.2，上扬概率和下扬风险大偏差概率的解由以下公式给出：+(l) = inf0≤θ<θΓ(θ) - θl, l ∈ R、五-(l) = infθ≤0Γ(θ) - θl, l < Γ′（0），具有最优控制和近似最优控制+(l):π+，lt=π（Yt；θ）(l)), Γ′(θ(l)) = l, 什么时候l > Γ′（0），π+（n）t=^π（Yt；θn），其中θn=θ（Γ′（0）+n）n→∞-→ 0，什么时候l ≤ Γ′（0）和v的最优控制-(l):π-,lt=π（Yt；θ）(l)), Γ′(θ(l)) = l, l ∈ (Γ′(-∞), Γ′（0））.5.2个例子o布莱克-斯科尔斯模型。这对应于B=0的情况。那么，β=’θ=1，C-（θ） =D（θ）=0，D so∧±（θ）=Γ（θ）=θ1- θB |σ|，θ < 1.因此，我们获得了与第4节所述相同的最优策略平皿重沸模型。

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mingdashike22

2022-5-6 18:58:34

在这个模型中，股价S的对数由一个或nstein-Uhlenbeck过程Y控制，这对应于B=K<0，B=|γ|>0，γ=σ，因此ρ=1的情况。那么，β=0，θ=1，C-（θ） =|K | |σ|1.-√1.- θ, D（θ）=-θ、所以Γ（θ）=|K|1.-√1.- θ+ θ|σ|, θ < 1,Γ′(0) =l :=|K |+|σ|，Γ′(-∞) = l:=|σ|,θ(l) = 1.-l - ll - l, l > l.上界概率大偏差概率的解由以下公式给出：+(l) =-(l-l)l-l+|K |，如果l >l0，如果l ≤l.最优（接近最优）投资组合策略：π+，lt=K- 4(l -l)|σ| Yt+，如果l >lπ+（n）t=K- 1/n |σ| Yt+，如果l ≤l.下行风险大偏差概率的解决方案如下：-(l) =(-(l-l)l-l, 如果l < l ≤l-∞, 如果l ≤ l,最优波尔图利奥策略：π-,lt=-4(l - l)|σ| Yt+，如果l< l ≤l参考文献[1]Bensoussan A.和J.Frehse（1992）：“关于RN中遍历控制的Bellman方程”，J.ReineAngew。数学429, 125-160.[2] Bielecki T.R.和S.R.Pliska（1999）：“风险敏感动态资产管理”，应用。数学优化。，39, 337-360.[3] Davis M.和S.Lleo（2008）：“风险敏感的基准资产管理”，QuantitativeFinance，8415-426。[4] Dembo A.和O.Zeitouni（1998）：大偏差技术和应用，第二版，Springer Verlag。[5] Fleming W.和W.McEnea ne y（1995）：“有限期内的风险敏感控制”，SIAMJ。继续和Optim。，33, 1881-1915.[6] Fleming W.和S.J.Sheu（2000）：“风险敏感控制和最优投资模型”，数学。《金融》，10197-213。[7] Guasoni P.和S.Robertso n（20 12）：“长期投资组合和风险溢价”，应用概率年鉴，22239-284。[8] Hata H.，Nagai H.和S.J.Sheu（2010）：“最小化下行风险的概率的渐近性”，《应用概率年鉴》，20，52-89。[9] Hata H.和J。

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kedemingshi

2022-5-6 18:58:37

塞金（2005）：“用考克斯·英格索尔·罗斯利率解决长期投资问题”，数学进展。经济。，8, 2 31-255.[10] Karatzas I.和S.Shreve（1998）：数学金融方法，斯普林格。[11] Korn R.（1997）：最优投资组合：连续时间最优投资和风险管理的随机模型，世界科学基金会，新加坡。[12] L iu R.和J.Muhle Karbe（2013）：“随机投资机会的投资组合选择：用户指南”，预印本。[13] 梅尔顿·R（1971）：“连续时间模型中的最优消费和投资组合规则”，《经济理论》J.3373-4 13。[14] Nagai H.（1996）：“风险敏感控制的贝尔曼方程”，SIAM J.Cont.和Optim。，34, 74-10 1.[15] Nagai H.（20 12）：“通过大偏差方法最小化下行风险”，应用概率年鉴，22608-669。[16] Nagai H.和S.Peng（2002）：“有限时间范围内具有部分信息的风险敏感动态投资组合优化”，《应用概率年鉴》，12173-195。[17] Pham H.（2003）：“最优长期投资的大偏差方法”，金融与随机，7169-195。[18] Pham H.（2007）：“金融和保险业中大型债务的一些应用和方法”，巴黎普林斯顿数学金融讲座，Lect。《数学笔记》，1919卷。[19] Pham H.（2009）：金融应用的连续时间随机控制和优化，Springer，SMAP系列。[20] Rob ertson S.和H.Xing（2013）：“梯度上具有二次增长的半线性方程解的大时间行为”，arXiv:1307.534 3[21]Stettner L.（2004）：“对偶和风险敏感的投资组合优化”，金融数学，尹G和张Q编，Contemp。数学351, 333-347.[22]Stutzer M.（2003）：“具有内生效用的投资组合选择：大偏差方法”，J.计量经济学，116365-386。

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