具有盈余依赖的对偶模型中的最优红利问题

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收藏 2022-05-11

英文标题：
《On the Optimal Dividend Problem in the Dual Model with Surplus-Dependent
Premiums》
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作者：
Ewa Marciniak and Zbigniew Palmowski
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
This paper concerns the dual risk model, dual to the risk model for insurance applications, where premiums are surplus-dependent. In such a model premiums are regarded as costs, while claims refer to profits. We calculate the mean of the cumulative discounted dividends paid until ruin, if the barrier strategy is applied. We formulate associated Hamilton-Jacobi-Bellman equation and identify sufficient conditions for a barrier strategy to be optimal. Some numerical examples are provided when profits have exponential law.
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中文摘要：
本文研究的是双重风险模型，双重风险模型适用于保费依赖于盈余的保险应用。在这种模型中，保费被视为成本，而索赔则指利润。如果采用障碍策略，我们计算破产前支付的累计贴现股息的平均值。我们建立了相关的Hamilton-Jacobi-Bellman方程，并确定了屏障策略最优的充分条件。给出了利润服从指数规律时的一些数值例子。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Pricing of Securities 证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Optimization and Control 优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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On_the_Optimal_Dividend_Problem_in_the_Dual_Model_with_Surplus-Dependent_Premiums.pdf
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kedemingshi

2022-5-11 07:37:26

关于带urplus依赖的PREMIUMSEWA-MARCINIAK和zbignew-PALMOWSKIABSTRACT的对偶模型中的最优红利问题。本文讨论了保险应用中的双重风险模型，即保费与盈余相关的双重风险模型。在这种模型中，保费被视为成本，而索赔指的是利润。如果采用障碍策略，我们计算破产前支付的累计贴现股息的平均值。我们建立了相关的Hamilton-Jacobi-Bellman方程，并确定了屏障策略达到最优的充分条件。当曲线具有指数规律时，提供了一些数值例子。关键词。分红？PDMP？最佳策略？障碍策略？积分微分HJB方程？双重模型？随机控制？退出问题内容1。导言22。双模式33。经典模型34。最佳股息策略64.1。HJB方程64.2。障碍策略65。例86。附录116.1。验证定理4 116.2的证明。补充事实116.3。定理8的证明136.4。定理证明14参考文献14日期：2021年8月3日2010数学学科分类。60G51、60G50、60K25、93E20。这项工作得到了国家科学中心2015/17/B/ST1/01102拨款的部分支持。第二作者感谢第七届欧洲社区框架计划中的玛丽·居里·伊尔斯奖学金项目REVER-318984的部分支持。2 E.MARCINIAK-Z.PALMOWSKI1。引言最优红利问题涉及到破产时最大化预期贴现累积红利paidup。自De Finetti[13]首次引入障碍策略以来，许多作者都考虑了经典的最优股息问题，在该策略中，给定水平以上的所有盈余都转移到一个收益中，并提出了优化其水平的问题。

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nandehutu2022

2022-5-11 07:37:29

Gerber和Shiu[14]、Asmussen和Taksar[4]以及Jeanblanc和Shiryaev[25]认为布朗运动环境中的最优红利问题。Azcue和Muler[19]以及Schmidli[24]使用Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程组研究了Cram＠er-Lundberg模型下的最优分割策略。此外，Avram等人[8,9]、Kyprianou和Palmowski[15]、Loeffen[16,17]、Loeffen和Renaud[18]、Czarna和Palmowski[11]以及许多其他作者使用概率方法分析了L’evy风险过程的股息问题。在本文中，我们讨论所谓的双重风险过程。在双重模型中，与经典模型相比，保险费率被视为一个成本函数，因此是负的。另一方面，债权应被视为利润或收益，因此，它们使盈余增加；参见[5]、[6]、[10]、[21]。对双重模式有多种解释。例如，它适用于持续支付与研究相关的费用，偶尔从一些发明或发现中获得一些收入的公司。例如，我们可以考虑医药公司、房地产代理公司或经纪公司，这些公司销售的共同基金或保险产品都是前端业务。有关更多详细信息，请参阅[5]。在成本函数为常数且收益由复合泊松过程建模的假设下，对偶模型中的红利壁垒问题需要做大量的工作。Avanzi等人[5]考虑了利润或收益服从指数或指数混合分布的情况，并推导了预期贴现股息值的显式公式。他们还找到了最佳屏障水平。Afonso等人[1]解释并使用了工业模型和经典模型之间的联系。

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何人来此

2022-5-11 07:37:34

Avanzi和Gerber[6]研究了受扩散扰动的对偶模型。利用拉普拉斯变换方法，他们确定了所有障碍策略中的最优策略。Bayraktar等人[10]利用波动理论证明了所有光谱正L’evy过程的屏障策略的最优性。他们用所谓的标度函数来描述最佳势垒。此外，他们还通过注资找到了解决分歧问题的办法。最后，Albrecher等人[2]使用拉普拉斯变换研究了纳税情况下的对偶模型。在本文中，我们将分析一个双重模型中的红利问题，该模型具有储备相关的风险过程。我们将使用分段确定马尔可夫过程（PDMP）理论和鞅性质。假设没有交易成本，我们会找到相应的HJB系统。在下一步中，我们将找到最优的障碍策略，并给出障碍策略达到最优的充分条件。[20]中已经分析了相应的经典模型。在本文中，我们还展示了两种模型之间的联系。作为副产品，我们得到了一些出口问题公式，可以用来解决注资问题（见[10]）。论文的结构如下。在第2节中，我们介绍了基本符号，并描述了我们处理的对偶模型。第3节专门讨论了相应的经典模型，其中我们展示了关于退出和注资问题的结果。在第4节中，我们介绍了验证定理。我们还分析了障碍策略，并给出了障碍策略在所有允许策略中达到最优的充分条件。在第6节中，我们给出了所有的证明。第5节介绍了一些例子。双重红利问题32。

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何人来此

2022-5-11 07:37:39

对偶模型在对偶模型中，初始资本x>0的盈余过程R（不支付股息）求解以下微分方程：Rt=x-Ztp（Rs）ds+N（t）Xk=1Ck，其中p是给定的确定性、绝对连续的正代价函数和{Ck}∞i=1是i的序列。i、 d.具有分布函数F的正随机变量，代表注资。以上是一个强度λ>0的独立泊松过程，模拟了资本注入发生的时间。我们假设Rt→ ∞ a、 s.as t→ ∞, 对于密度为F和eC的Lebesgue测度，F是绝对连续的∞.为了研究红利问题，我们考虑受控盈余过程Xπ满足以下随机微分方程：Xπt=X-Ztp（Xπs）ds+N（t）Xk=1Ck- Lπt，其中π是一个策略，它来自于所有的类∏，可容许的“红利控制”，导致直到时间t的红利的累积数Lπt。我们说，如果进程Lπ是c`adl`ag，则红利策略π是可容许的，不递减的，从零开始（Lπ0）-= 0）并适应符合通常条件的风险流程R的自然过滤。此外，在任何时候，股息支付都小于可用储备的规模（Lπt）- Lπt-≤ Xπt-).利息对象是截至破产时间的累计贴现股息的平均值：（1）vπ（x）：=Ex“Zσπe-qtdLπt#，其中σπ：=inf{t≥ 0:Xπt≤ 0}是毁灭时间和q≥ 0是给定的折扣率。我们采用了关于Px（·）：=P（·| Xπ0）存在期望的假设-= x）。

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大多数88

2022-5-11 07:37:43

注意，除非另有说明，否则我们用σ代替σπ来简化符号。股息优化问题在于找到（2）v（x）：=supπ给出的所谓价值函数v∈πvπ（x）与最优策略π*∈ 使v（x）=vπ*（x）为了x≥ 在下一小节中，我们将介绍一些经典模型的结果，这些结果可用于解决对偶问题。3.经典模型经典模型和对偶模型之间的联系至关重要，因为我们将使用一些已经推导出的经典模型的方法和结果。4 E.MARCINIAK-Z.Palmowski在经典模型中，我们考虑了初始资本为x>0的盈余过程R（在任何监管之前），由以下随机微分方程描述：~Rt=~x+Ztp（~Rs）ds-N（t）Xk=1Ck，其中p是一个给定的确定的、正的和绝对连续的溢价函数。这里，generic表示根据泊松过程N到达的索赔金额或损失。设Xt是一个反映过程，满足方程Xt=x+Ztp（Xs）ds-N（t）Xk=1Ck+~Lt，其中~Lt=-~XtI{Xt<0}。请注意，Lis是一个不减损的自适应过程，具有L0-= 0.以上lt表示截至时间t的注资总额。我们将首先演示如何识别Ex“Zt+ae”-qtdLt#，其中T+a:=inf{T≥ 0:Xt≥ a} 。它是通过受控过程X达到a>0时注入资本的平均贴现值。两个函数wqa和Gq，w对于解决这个问题至关重要。R的双边退出问题和单边退出问题有如下联系：（3）Exhe-q)τ+aI{τ+a<)τ-}i=~Wq（x）~Wq（a），对于x∈ [0，a]（4）~Gq，w（x）：=Exhe-q~τ-w（|R)τ-|)I{τ-<∞}i、对于x>0，其中a>0，τ+a=inf{t≥ 0:Rt≥ a} 和∧τ-a=inf{t≥ 0:~Rt<a}。函数Gq，为一些一般的正惩罚函数w定义。

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kedemingshi

2022-5-11 07:37:46

关于函数WQ和Gq的存在性和性质，请参阅[3]和[20]。注意，R是一个分段确定的马尔可夫过程。通过A，我们表示R的完整生成器，即：Am（x）=p（x）m（x）+λZ∞（m（x）- z）- m（x））dF（z）作用于绝对连续函数m，使得Xσi≤t | m（~Rσi）- m（~Rσi）-)|< ∞ 无论如何≥ 0.在{σi}i之上∈N∪{0}表示索赔发生的时间（见Davis[12]和Rolski等人[23]）。此外，m表示m的密度。注意，任何绝对连续且最终由一个函数控制的函数，都在完整生成器A的域中，这是假设EC<∞. 回想一下，对于进程域中的任何函数mE-qtm（~Rt）-中兴通讯-qs~A- 气m（~Rs）ds，t≥ 0这是一个鞅。对偶红利问题5Marciniak和Palmowski[20]表明，如果C的索赔额分布是绝对连续的，那么函数)Wqand)Gq是可微的，并且满足方程：（5）)A)Wq（x）=q)Wq（x）对于x≥ 0，~Wq（x）=0表示x<0，~Wq（0）=1和（6）~A ~Gq，w（x）=q ~Gq，w（x）表示x≥ 0，~Gq，w（x）=w（x）表示x<0。现在，我们提请大家注意反射过程X的退出问题。正水平a>0的首次通过时间表示byT+a:=inf{t≥ 0:~Xt>a}。下面的结果表示了退出时间T+ain项的拉普拉斯变换，即函数WqandGq，1。定理1。设a>0，x∈ [0，a]和q≥ 0.如果T+a<∞ P-a.s.Thenexe-qT+ai=~Z（x）/~Z（a），其中（7）~Z（x）：=1.-~Gq，1（0）~Wq（x）+~Gq，1（x）代表x≥ 当x<0时，0和Z（x）=1。证据由?Gq，1和?Wq（8）（?A）的性质- qI）~Z（x）=0表示所有x>0，~Z（x）=1表示x≤ 注意，Z在R上是连续的，在R\\{0}上是连续可微的，左右导数为0。因此，Z在R上是绝对连续的。此外，Z由集合上的某个函数控制(-∞, a）。

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mingdashike22

2022-5-11 07:37:49

因此，Z在分段确定马尔可夫过程Xt的域中∧T+a（见Davis[12]和Rolski等人[23]）。这意味着∧T+a:=e-q（t）∧T+a）~Z（~Xt∧T+a）-Zt∧T+ae-qs~AX- 气~Z（~Xs）Ds是生成器~AXof ~Xt的鞅∧T+agiven by:~AXm（x）=~p（x）m（x）+λZx（m（x- z）- m（x））dF（z）+λ（m（0）- m（x））P（C>x）。注意，Z（x- z） =z（0）表示所有z≥ x、因此，通过（8），我们得到了Kt∧T+a=e-q（t）∧T+a）~Z（~Xt∧T+a），它以supx为界∈[0，a]{Z（x）}<∞. 因此Kt∧T+ais是一个一致可积（UI）鞅和Z（x）=Ex[Kt∧T+a]→ Ex[KT+a]=~Z（a）Ex[e-qT+a]as t→ ∞.我们在上述假设中使用了T+a<∞ a、这就完成了证明。备注2。请注意，函数Ex[e]-对于任何a>0的情况，qT+a]在（0，a）上增加，因此Z（x）必须在（0，∞). 此外，Z在R上是连续的，在R\\{0}上是连续可微的。从（4）和定理1中，利用R和X的强马尔可夫性质，我们可以得到以下重要恒等式。6 E.MARCINIAK-Z.PALMOWSKITheorem 3。（i）为了x≥ 当q>0时，它认为~g（x）：=ExZ∞E-qsdLs= -告密-q~τ-~Rτ-i+Exhe-q~τ-iEZ∞E-qsdLs=~Gq，|x |（x）+~Gq，1（x）~g（0）。（9）（ii）让∈ (0, ∞). 为了所有的x∈ [0，a）我们有（10）个前“ZT+ae”-qsdLs#=g（x）-~Z（x）g（a）/~Z（a）。最优股利策略4。1.HJB方程。为了证明对偶问题（2）的所有可容许策略∏中的一个特殊红利策略∏的最优性，我们考虑了以下Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）系统：max{（a）- qI）m（x），1- m（x））}=0表示x>0，m（x）=0表示x≤ 0，（11）其中A是分段确定马尔可夫过程R的完整生成器，由以下公式给出：（12）Am（x）=-p（x）m（x）+λZ∞（m（x+y）- m（x））dF（y），作用于绝对连续函数m，使得Xσi≤t | m（Rσi）- m（Rσi）-)|< ∞ 无论如何≥ 0，其中{σi}i∈N∪{0}表示索赔发生的时间（见Davis[12]和Rolski等人[23]）。

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可人4

2022-5-11 07:37:54

在这种情况下，m表示m的密度。回想一下，任何绝对连续且最终由一个函数支配的函数，都在完全生成器A的域中。定理4。（验证定理）假设m:[0，∞) → [0, ∞) 是连续的，m（0）=0。当x<0时，将m延伸至负半轴m（x）=0。假设m是Con（0，∞). 如果m满足（11），那么m≥ v on（0，∞).定理4的证明见附录。4.2. 障碍策略。在这一小节中，我们考虑了屏障策略πβ，它支付了高于固定水平β的所有费用≥ 0作为股息。我们发现vπβ由（1）定义。为此，我们将使用经典模型中的方法。考虑经典的风险过程Rβ，其中p（·）=pβ（·）：=p（β）- ·), ~x=β- x、我们的想法是将双模型中跨越势垒β的跳跃转化为经典模型中低于零时发生的注入。图1显示了经典模型和双模型之间的这种联系。利用这种对应关系，通过直接应用（10）中给出的结果，我们得到了障碍策略下的价值函数。双重红利问题7图1。经典与双重模式。定理5。我们有，vπβ（x）：=vβ（x）=gβ（β- 十）- Zβ（β- x） gβ（β）/Zβ（β）0≤ 十、≤ β、 x- β+vβ（β），x>β，（13），其中gβ（β- x）：=~g（~x）在（9）中给出。备注6。注意vβ在[0]上是连续的，∞) vβ（0）=0。还要注意，vβ解一个积分微分方程：（14）（A- qI）vβ（x）=0表示x∈ (0, β).此外，vβ是Con（0，β），vβ，vβ在β处左连续，在0处右连续。我们从最优障碍位于0的情况开始，也就是说，根据这个策略，支付所有初始资本作为股息是最优的。8 E.MARCINIAK-Z.PALMOWSKITheorem 7。如果-p（x）+λEC- qx≤ 0代表所有x≥ 对于所有x，v（x）=v（x），势垒策略πβ和β=0是最优的。证据

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能者818

2022-5-11 07:37:58

考虑h（x）=x，我们有（A）- q） h（x）=-p（x）+λZ∞zdF（z）- qx≤ 因此h满足（11），根据定理4，我们得到h≥ v on（0，∞). 然而，h是势垒策略π的值函数。因此，对于所有x，h（x）=v（x）≥ 0和π确实是最优的。我们将在x=β时检查vβ的平滑度，以便找到候选β*以获得最佳的路障水平。特别是，我们将证明最佳势垒β*由以下公式得出：（15）β*:= infβ ≥ 0:vβ（β-) = 1..下一个定理是关于β的存在性*.定理8。假设p是[0]上的C函数，∞) 使得λEC>p（0）>0，并且存在^x>0这样的p（^x）>λEC- q^x.然后是β*存在和β*∈ （0，^x）。在下一个结果中，我们给出了屏障策略达到最优的充分条件。定理9。假设β*< ∞ 存在和p∈ C.让-p（x）- 对于所有x，q<0≤ β*. 然后是障碍策略*是最优的，v（x）=vβ*（x）为了所有的x≥ 此外，在这种情况下，v（x）用边界条件v（β）唯一地解方程（14）*) = 1.备注10。请注意，当p（x）=p为常数时，所有假设均满足，且路障策略始终是最优的。[10]中已经证明了这一点。在一般保费函数的情况下，我们推测这并不总是正确的（即使β*定义明确）。不幸的是，由于这种情况下HJB方程的复杂性，很难构建反例。5.例如在本节中，我们假设注射尺寸为指数分布，参数u>0。然后方程（14）可以转化为（16）- p（x）vβ（x）+（up（x）- p（x）- λ - q） vβ（x）+uqvβ（x）=0，初始条件为vβ（0）=0和p（0）vβ（0）=λuZβvβ（Z）e-uzdz+uZ∞β（z）- β+vβ（β））e-uzdz。例1。考虑一个由p（x）=c给出的递增理性成本函数2.- （1+x）-1..对于较大的现有储量，该溢价函数趋于恒定2c，且在[c，2c]范围内。

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mingdashike22

2022-5-11 07:38:01

通过数值求解方程（16），我们可以识别β*然后再加上一些观察结果。对于计算，我们使用了势垒值函数方程的表示（13）。我们跳过这里的细节。还要注意的是，双倍股息问题见表1。依赖性β*c.q=0.1，u=0.01，λ=0.1c 1 1.4 1.6 2 2.6 3 4.5β*26.5 32.2 34.25 37.1 38.3 37.1 26.6 17.5表2。依赖性β*q.u=0.01，λ=0.1，c=2q 0.08 0.09 0.1 0.12 0.14 0.15 0.17β*49.4 42.3 37.1 29.8 25.5 23.2 20.25表3。依赖性β*当然。q=0.1，λ=0.1，c=2u0.005 0.007 0.01 0.015 0.017 0.02 0.025 0.27β*54.7 46.6 37.1 24.2 19.7 13.1 4.65 2.93图2。最佳势垒分别作为q、u和c与β的函数*1对应于具有ppremium函数和β的模型*2对于定理8中p.c>λ/u的模型，可以得出势垒水平β*定义良好，根据定理9，障碍策略πβ*这是最优的。在表1、2和3中，我们给出了数值结果。10 E.MARCINIAK-Z.Palmowski图3。最佳势垒分别作为q和c的函数与β*3对应于高级函数p.例2。在这个例子中，我们研究了指数型成本函数p（x）=2c（1+e）-十）-1比上一个例子更快地收敛到常数。尽管如此，我们仍然希望这两个函数具有相似的性质，因为这两个函数在c和2c之间的值范围相同。等式（16）再次产生势垒水平β的数值*这是由定理8和9定义的，并且在所有允许的策略中都是最优的。图2比较β*在这两个例子和预测中，特定值非常接近。从上面的数值分析可以看出，对β有很大的影响*此外，最佳势垒水平β*在这两种情况下，随着μ的增加以及q的增加而迅速降低。

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mingdashike22

2022-5-11 07:38:04

我们还可以观察到最佳势垒水平相对于c的凹度。例3。让我们考虑一个由p（x）=c+0.11+x给出的递减溢价函数。定理9意味着当q>0.1时，势垒策略β*在所有可接受的策略中是最优的。当谈到β的性质时*, 它们与前面的示例相同（参见图3）。双重红利问题116。附录6。1.验证定理的证明4。修正任意x∈ (0, ∞) π∈ Π. 由{tn}∞n=1所有Lπ的跳跃时间。因为m是C（0，∞) 和Xπt∧σπ∈ [0, ∞), 我们可以使用它的公式来处理Yt:=e-q（t）∧σπ）m（Xπt∧σπ），给出：Yt- Y=Zt∧σπe-qs（A）- qI）m（Xπs-)ds+Mt-Zt∧σπe-qsdLπ，cs+X0≤tn≤T∧σπe-qtn[m（Xπtn-+ CNtn新界北- Lπtn）- m（Xπtn）-+ CNtn其中Lπ，cdenotes是Lπ的连续部分，Mt是M=0的鞅。自满足感（11）以来，我们已经- Y≤Zt∧σπe-qs（A）- qI）m（Xπs-)ds+Mt-Zt∧σπe-qsdLπ，cs-X0≤tn≤T∧σπe-qtnLπtn≤ -Zt∧σπe-qsdLπs+Mt.接受期望并使用m≥ 0，我们得到m（x）≥ 前任E-q（t）∧σπ）m（Xπt∧σπ)+ ExZt∧σπe-qsdLπs≥ ExZt∧σπe-qsdLπs.t→ ∞ 应用单调收敛定理得到：m（x）≥ vπ（x）。因此，由于π∈ π和x是任意的，我们证明了期望不等式（x）≥ v（x）代表所有x∈ [0, ∞). 6.2. 其他事实。在证明本文的主要结果之前，我们先证明了这些证明中使用的一些辅助因子。引理11。让β≥ 0.假设我们有一个函数hβ：R→ [0, ∞), 使得hβ（x）=x- β+hβ（β）对于所有x>β和hβ（x）=0对于所有x≤ 0.如果函数hβ（x）解方程（A- qI）hβ（x）=0表示0<x<β，边界条件hβ（β）=1，然后hβ（x）=vβ（x）表示所有x≥ 0.12 E.MARCINIAK-Z.Palmowski引理11的证明。表示Xβ：=Xπβ。取任意的x∈ [0, β].

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何人来此

2022-5-11 07:38:08

应用伊藤公式求e-qthβ（Xβt），我们得到-q（t）∧σβ）hβ（Xβt∧σβ）i=hβ（x）+Ex“Zt∧σβe-qs（A）- qI）hβ（Xβs）ds#+Ex“Zt∧σβe-qshβ（Xβs）dLβ，cs#+ExX0≤s≤T∧σβe-qshβ（Xβs）-- Lβs）- hβ（Xβs）-)我Lβs>0= hβ（x）+Ex“Zt∧σβe-qs（A）- qI）hβ（Xβs）ds#- 前任X0≤s≤T∧σβe-qsLβsILβs>0.注意，在正跳跃之间，过程Xβ减小，因此Lβ，c≡ 0.此外，Xβs-> βon{Lβs>0}和hβ（Xβs-- Lβs）=hβ（β）。因此，在重新安排并让t→ ∞, 我们得到hβ（x）=Ex“Zσβe-qsdLβs#=vβ（x）。这就完成了证明。引理12。假设p是Con（0，∞) 而且-p（x）- 对于所有x，q<0∈ （0，β）。如果vβ（β-) ≥ 那么vβ（x）在Con（0，β）中，并且它在（0）上增加和凹，∞).证据我们首先证明vβ在（0，β）上增加。设τ+a:=inf{t≥ 0:Rt≥ a} 和τ-:= inf{t≥0:Rt<0}。根据PDMP RTMP的强马尔可夫性质，所有0<y<x<βvβ（y）=vβ（x）Eyhe-qτ+x；τ+x<τ-i<vβ（x），这就完成了这个陈述的证明。此外，由于p是Cby（14），我们得到vβ是Con（0，β），vβ在β处是连续的。此外，如果我们对（14）进行微分，我们得到：（17）p（x）vβ（x）=(-p（x）- λ - q） vβ（x）+λZβ-xvβ（x+z）f（z）dz+λz∞β-xf（z）dz。因此，由于vβ（β-) ≥ 1.我们得到了p（β）vβ（β）-) ≤ -p（β）- λ - q+λZ∞f（z）dz=-p（β）- q<0。现在假设vβ不是凹的。然后通过vβ的连续性，存在^x∈ （0，β），使得vβ（^x）=0，且vβ（x）对于所有x小于0∈ （^x，β）。因此，假设vβ（β-) ≥ 1,0=p（^x）vβ（^x）=(-p（^x）- λ - q） vβ（^x）+λZβ-^xvβ（^x+z）f（z）dz+λz∞β-^xf（z）dz<(-p（^x）- λ - q） vβ（^x）+λvβ（^x）Zβ-^xf（z）dz+λvβ（^x）z∞β-^xf（z）dz=(-p（^x）- q） vβ（^x）<0。这就导致了矛盾。因此，对于所有x，vβ（x）<0∈ (0, β). 我们准备证明主要结果。双重红利问题136.3。定理8的证明。

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可人4

2022-5-11 07:38:12

从（14）和（12）中，我们可以得出结论，（0，β）上的vβ满足以下等式：（18）- p（x）vβ（x）- （λ+q）vβ（x）+λZβ-xvβ（x+z）f（z）dz+λz∞β-x（x+z）- 初始条件vβ（0）=0时，β+vβ（β））f（z）dz=0。我们记得我们正在寻找β*满足vβ*(β*) = 1.Letuβ（x）：=vβ（x）。通过对方程（18）的变换，我们得到了以下关于uβ的Fredholm方程：（19）uβ（x）=Gβ（x）+ZβK（x，y）uβ（y）dy，其中Gβ（x）：=λp（x）Z∞β-x（x+z）- β） f（z）dz,K（x，y）：=(-0的qp（x）≤ Y≤ xλp（x）R∞Y-xf（z）dz代表y>x≥ 0.在（19）中取x=β，得到以下等式：（20）uβ（β）=λp（β）E（C）-qp（β）Zβuβ（y）dy。我们表示：γ（β）：=uβ（β）。我们想证明β的存在*使（21）γ（β*) = 1.根据我们的假设：（22）γ（0）=λp（0）E（C）>1。我们将证明（23）γ（^x）≤ 1.事实上，假设γ（^x）>1。然后通过引理12，我们得到u^xis增加，因此所有y的u^x（y）>1∈ （0，^x）。因此γ（^x）=λp（^x）E（C）-qp（^x）Z^xu^x（y）dy≤λp（^x）E（C）-qp（^x）^x<1。这样我们就得出了一个矛盾。通过不等式（22）和（23）得到（21），有必要证明γ是一个连续函数。后者来自以下观察。我们表示βbβ（x）=bβ（x）- bβ-（x）对于一般函数bβ。从（19）可以看出βuβ（β）=ZβK（β，y）βuβ（y）dy14 E.MARCINIAK-Z.Palmowski，因此功能β→ βuβ（β）是连续的。注意，从最后的结论来看ββuβ（β）=βuβ（β）=0和函数β→ uβ（β）=γ（β）也是连续的。这就完成了屋顶。6.4. 定理9的证明。由于引理12，我们有vβ*（十）≥ vβ*(β*) = 1代表所有x∈ (0, β*).此外，（A）- qI）vβ*（x） =0代表x∈ (0, β*). 还有待证明（A）- qI）vβ*（十）≤ 0表示x>β*.

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何人来此

2022-5-11 07:38:16

自从β*（x） =x- β*+ vβ*(β*) 对于x>β*, 我们有：（24）（A）- qI）vβ*（x） =-p（x）+λZ∞zdF（z）- q（x）- β*+ vβ*(β*)).注意vβ*因此，假设p∈ C、函数（A）- qI）vβ*（x）是连续的atx=β*. 因此我们有一个- qI）vβ*(β*) = 0.假设-p（x）- Q≤ 0加上（24）给出了所需的不等式。因此，根据定理4，vβ*（十）≥ v（x）代表所有x≥ 同时，从值函数的定义，我们得到了vβ*（十）≤ v（x）代表所有x≥ 0.vβ*（x） =v（x）并通过引理11，v必须用边界条件v（β）唯一地解方程（14）*) = 1.这就完成了屋顶。参考文献[1]阿方索，L.B.，卡多佐R.M.R.和多斯雷斯E.（2013）双重风险模型中的股息问题。保险、数学和经济学，53906-918。[2] Albrecher，H.，Badescu，A.L.和Landriault，D.（2008）关于纳税的双重风险模型。保险：数学与经济学，42（3），1086-1094。[3] Albrecher，H.，Constantinescu，C.，Palmowski，Z.，Regensburger，G.和Rosenkranz，M.（2013）具有剩余相依保费的保险风险模型的精确和渐近结果。暹罗应用数学杂志，73（1），47-66。[4] Asmussen，S.和Taksar，M.（1997）最优股息支付的控制扩散模型。保险：数学与经济学，20（1），1-15。[5] Avanzi，B.，Gerber，H.U.和Shiu，E.S.W.（2007）双重模型中的最优股息。保险：数学与经济学，41111-123。[6] Avanzi，B.和Gerber，H.U.（2008）具有扩散的对偶模型中的最优红利。《阿斯汀公报》，38（2），653-667。[7] Avram，F.，Palmowski，Z.和Pistorius，M.（2007）关于谱负L’evy过程的最优红利问题。《应用概率年鉴》，17（1），156-180。[8] F.阿夫拉姆、Z.帕尔莫夫斯基和M.皮斯托留斯。

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何人来此

2022-5-11 07:38:20

（2007）关于谱负L’evy过程的最优红利问题。《应用概率年鉴》，17（1），156-180。[9] Avram，F.，Palmowski，Z.和Pistorius，M.R.（2015）关于存在惩罚函数的L’evyrisk过程的Gerber–Shiu函数和最优股息分配。《应用概率年鉴》，25（4），1868-1935年。[10] Bayraktar，E.，Kyprianou，A.E.和Yamazaki，K.（2014）关于双重模型中的最优股息。《阿斯汀公报》，43（3），359-372。[11] Czarna，I.和Palmowski，Z.（2010）谱负L’evy风险过程的巴黎延迟红利问题。优化理论与应用杂志，161（1），239-256。[12] Davis，M.H.A.，马尔可夫模型和优化，统计学和应用概率专著，伦敦查普曼和霍尔（1993）[13]德费内蒂，B.（1957）Su un\'Impostatazione alternativa della teoria collettiva del rischio。跨。实习医生。《国会法案》，2433-443。[14] Gerber，H.U.和Shiu E.S.W.（2004）最优红利：布朗运动分析。《北美精算杂志》，8（1），1-20。[15] Kyprianou，A.和Palmowski，Z.（2007）一般L’evy保险风险过程中de Finetti股息问题的分布研究。应用概率杂志，44（2），428–443。[16] Loeffen，R.（2008）关于谱负L’evy过程的de Finetti红利问题中障碍策略的最优性。《应用概率年鉴》，18（5），1669-1680。[17] Loeffen，R.（2009）一个具有交易成本的最优红利问题，适用于谱负L’evy过程。保险：数学与经济学，45（1），41-48。[18] Loeffen R.和Renaud，J.F.（2010）De Finetti的最优股息问题，破产时有一个精确的惩罚函数。保险：数学与经济学，46（1），98-108。双重红利问题15[19]巴勃罗，A.和诺拉，N。

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mingdashike22

2022-5-11 07:38:23

（2005）克拉姆-伦德伯格模型中的最优再保险和股息分配政策。数学金融，15（2），261-308。[20] Marciniak，E.和Palmowski，Z.（2016）关于具有剩余从属资产的保险风险模型的最优红利问题。优化理论与应用杂志，168723-742。[21]Ng，A.C.Y.（2009）在一个双重模型上进行了研究，该模型的股息应为零。保险：数学与经济，44315-324。[22]Pistorius，M.（2004）关于光谱单侧L’evy过程的退出和遍历性，反映在其内部。《理论概率杂志》，17（1），183-220。[23]Rolski，T.，Schmidli，H.，Schmidt，V.和Teugels J.，保险和金融的随机过程，John Wiley&Sons，Chichester（1999）[24]Schmidli，H.（2006）非寿险的优化。随机模型，22（4），689-722。[25]詹布兰·派克，M.和Shiryaev，A.（1995）股息流动的优化。俄罗斯数学调查，50（2），257-277。位于克拉科夫的AGH科技大学，应用数学学院，波兰。电子邮件地址：marciniak。ew@gmail.comMATHEMATICAL波兰沃克罗瓦夫大学研究所。电子邮件地址：zbigniew。palmowski@gmail.com

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三江鸿

2022-5-14 06:09:31

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