如何组合10亿个字母

2022-5-11 01:43:19

如何将10亿AlphasZura Kakushadze§+1和Willie Yu结合起来2.§QuantigicResolutions LLC1127 High Ridge Road#135，斯坦福德，CT 06905+第比利斯自由大学商学院和物理学院240，第比利斯大卫·阿格马什内贝利巷，0159，乔治亚州新加坡大学路8号杜克国立医学院计算生物学中心169857（2016年2月27日）摘要我们给出了一个计算组合大量字母的最佳权重的实验算法和源代码。该算法不需要O（N）甚至O（N）运算，但成本要低得多，事实上，所需运算的计数与N成线性关系。我们讨论了在没有实际观察到的Alpha二进制或准二进制“聚类”的情况下，当N较大时，优化问题如何简化。我们的算法不需要计算主成分或求大矩阵的逆，也不需要迭代。风险因素项策略的数量通常受到历史观察数量的限制，通过使用可交易资产的头寸数据，可以大幅增加风险因素项策略的数量。Zura Kakushadze博士是QuantigicrSolutions LLC的总裁，第比利斯自由大学的全职教授。电子邮件：zura@quantigic.comWillie余博士是杜克国立大学医学院的研究员。电子邮件：威利。yu@dukenus.edu.sgDISCLAIMER：通讯作者使用这个地址的目的只是为了表明他在出版物中的职业联系。特别是，本文内容并非投资、法律、税务或任何其他此类建议，且不代表Q uantig icrSolutions LLC网站www.quantigic的观点。或者他们的任何一个朋友。1简介和总结既然机器已经接管了alphamining，可用alphas的数量正以指数级增长。

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2022-5-11 01:43:24

在flip方面，这些“现代”字母越来越模糊，越来越短暂。为了减轻这一影响，除其他外，一家公司将大量阿尔法组合起来，并交易所谓的组合“巨型阿尔法”。这是不平凡的。为什么？重要的是要以最佳方式选择alpha权重，即优化该alpha投资组合的回报、Sharpe rat io和/或其他性能特征。优化阿尔法的常用技术在概念上类似于股票投资组合的均值方差投资组合优化[Markowitz，1952]或Shar-pe比率最大化[Sharpe，1994]。然而，也存在一些明显的差异。最平淡无奇的区别是字母的数量可能是巨大的，以几十万、数百万甚至数十亿计。然而，可用的历史（回顾）自然要短得多。这对确定阿尔法权重有影响。让我们看看权重为wi，i=1，…，的阿尔法投资组合的vanilla Sharpe比率最大化，N、其中N是字母数。最佳权重由wi=ηNXj=1C给出-1ijEj（1）其中EJA是我们Alpha的预期回报，C-1 ijis是alphareturn协方差矩阵Cij的逆，η是归一化系数，因此nxi=1 | wi |=1（2）如果我们基于一个实现的回程时间序列计算样本协方差矩阵（见（3）），它是非常奇异的，因为观测值的数量比n小得多。这也发生在股票端口对开本的情况下。在这种情况下，我们可以建立一个适当的风险模型，以取代Cijor选择的商用（多因素）风险模型。对于Alpha，后者根本不存在。那么，我们该怎么办呢？我们可以根据arich在股票风险模型方面的经验，尝试为Alpha建立一个风险模型。

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2022-5-11 01:43:27

就股票而言，更普遍的方法是将风格风险因素（即基于股票的测量或估计属性的风险因素，如规模、价值、价值等）和行业风险因素（即基于股票在部门、行业、子行业中的成员身份的风险因素，这里的“阿尔法”——遵循常见的交易者行话——通常指任何合理的风险因素）结合起来一个人可能希望交易的“预期回报”，不一定与“学术”阿尔法相同。在实践中，通常关于alpha如何构造的详细信息甚至可能不可用，例如，唯一可用的数据可能是位置da ta，因此“alpha”是一组指令，用于在t，t。在古代，阿尔法权重必须是非负的。在许多实际应用中，情况并非如此，因为只有“mega alpha”被交易，而不是单个alpha。没有仓位限制、交易成本等——这些都不会影响我们在这里提出的观点。等等，这取决于特定行业类别（雇员）所使用的非门类。风格因素的数量是有限的，较长水平模型的数量级为10，较短水平模型的数量级约为4。就股票而言，至少对于Shorter horizon模型而言，增加价值最多的是无处不在的行业风险因素（对于一个典型的液体运输领域，风险系数为几百）。然而，Alpha没有类似的（二进制或准二进制）行业分类。实际上，对于许多字母，甚至不知道它们是如何构造的，只知道（历史和期望的）位置。

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大多数88

2022-5-11 01:43:30

即使是公式化的字母[Kakushadze，2015d]也大多非常复杂，以至于实际上不可能以任何有意义的方式对它们进行分类，至少不会导致产生的（二进制或准二进制）“簇”的数量足够多，足以与主成分竞争（见下文）。对于阿尔法[Kakushadze，2014]来说，只有少数几个与prio r i相关的风格因素可以与主成分竞争。就像股票的情况一样，我们可以利用样本协方差（或相关性）矩阵的主成分来建立阿尔法的多因素风险模型。这就是我们的主要观察结果之一。正如我们在下面详细讨论的那样，无论CIJI的FACTO r模型是如何建立的，在缺乏（二进制或准二进制）“聚类”的情况下，当αN的数量为la r ge时，优化（1）总是减少到（加权）回归！这也适用于此类变形的样本协方差矩阵的任何合理现实变形（例如收缩[L edoit and Wolf，2004]），可以视为多因素风险模型。也就是说，无需构建全面风险模型并计算因子共变矩阵或特定（特质）风险。因此，作为最简单的变量，我们从对应于其正特征值的样本协方差矩阵的前M个主分量构造因子载荷矩阵，并使用逆样本方差Cii=σi给出的回归权重回归该因子载荷矩阵上的阿尔法预期收益。然而，事实证明，我们甚至不需要计算主成分，从而进一步降低了计算成本。这里有一个简单的处方来获得体重。从已实现阿尔法回报的时间序列开始（s=1，…，M+1乘以ts）。

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2022-5-11 01:43:33

计算样本方差Cii=σi（但不计算样本相关性）。这需要O（MN）运营成本。规范化收益率viaeRis=Ris/σi。按横截面和顺序进行减量化。让我们把这些被贬低的回报称为Yis。拿我来说- 1列inYis（例如，第一个-1列）。以alpha的预期回报为例，通过二进制“集群”，我们的意思是每个alpha将属于一个且仅属于一个“集群”。所谓准二元c团簇，我们的意思是，大多数情况下都是这样，但阿尔法的一个（小）fr作用可能属于多个（大多数几个）“团簇”。这类似于二元和准二元（即，根据命名惯例，我们有一些属于多个行业、子行业等的企业集团）行业分类。还有稳定问题。很少（如果有的话）跨越行业，使得结构良好的行业分类相当稳定。然而，alpha是短暂的物体，很难被归类为任何类型的稳定二进制或准二进制“簇”。更准确地说，我们可以做到这一点，但在第0个——也是非常好的——近似值中，我们不需要这样做。通过Ei=Ei/σi标准化t hem。在N×（M）上回归- 1）矩阵具有单位权重且无截距。这种重新分配会导致O（MN）运营成本增加。以这个回归的残差eε为例。然后最佳权重wi=ηeεi/σi，其中η通过（2）固定。如果读者只对处方和源代码感兴趣，那么读者可以直接进入附录A，在那里我们为该算法提供源代码，并跳过本文的其余部分。

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kedemingshi

2022-5-11 01:43:38

然而，如果读者想理解为什么这个算法是有意义的，以及，除其他外，如何潜在地增加风险因素的数量≈ 250）到几千，那么读者可能希望继续阅读。总之，计算权重不需要计算任何主成分或对任何大型矩阵求逆，并且只需要O（MN）运算，因此在N中是线性的。此外，该算法不具有时代性，因此无需担心收敛问题。也许有点讽刺的是，这种算法的简单性植根于这个问题的本质，即与大量的字母相比，我们只有少量的观察值。正如我们在接下来的章节中更详细地讨论的那样，除了增加风险因素的数量，只要我们有其他可用信息，就没有人能做到样本外稳定。本文的其余部分组织如下。在第2节中，我们设置了框架和符号。在第3节中，我们将讨论为什么在没有“聚类”的情况下，使用因子模型的优化会减少到大N限制下的回归。第4节我们讨论了为什么这也适用于样本协方差矩阵的变形，因为它们也减少了因子模型。我们还讨论了为什么风格因素几乎没有增加价值，以及如何根据更详细的头寸数据（与历史阿尔法回报数据相反）扩大风险因素的数量。在第5节中，我们讨论了一种情况，即将“市场”模式f或股票的模拟因素考虑在内，以改善alpha por t folio的表现。我们还给出了获得最佳α权重的详细算法，并讨论了计算成本（包括为什么它比主分量法便宜）。

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2022-5-11 01:43:41

我们在第6节简要总结。附录A包含我们算法hm的源代码。附录B包含一些法律术语。第3节和第4节的部分基于[Kakushadze和Yu，2016b]。2样本协方差矩阵。因此，我们有N个收益时间序列。先验地，这些回报可以对应于股票或其他工具、Alpha等。这里我们将是一般性的，并将其简单地称为回报，尽管我们将在下面对这些回报进行一些假设。每个时间序列包含对应于时间ts的M+1观测值，我们将打包用于统计计算，http://www.r-project.org.附录A中给出的源代码不是为了“花哨”，也不是为了速度或任何其他方式而优化的。它的唯一目的是用一种简单易懂的方法来说明正文中描述的算法。应用程序e ndix B中给出了与此代码相关的一些术语。将我们的回报表示为Ris，其中i=1，N和s=1，M、 M+1（这是最近的观测）。样本协方差矩阵（SCM）由cij=MM+1Xs=1XisXjs（3）给出，其中Xis=Ris-里亚尔连续贬低回报；Ri=M+1PM+1s=1Ris。我们感兴趣的是M<N的情况，实际上是M<< N.当M<N时，cijisingular:我们有pm+1s=1Xis=0，所以矩阵xis中只有M列是线性相关的。让我们去掉最后一列：Xi，M+1=-PMs=1Xis。然后我们可以通过前M列表达Cij：Cij=MXs，s′=1Xisφss′Xjs′（4）这里φss′=（δss′+usus′）/M是非奇异的M×M矩阵（s，s′=1，…，M）；我们≡ 1是单位M向量。注意φss′是一个单因素模型（见下文）。挑战在于要么使CijSich变形为非奇异矩阵，要么用构造的非奇异矩阵Γiji代替它，使其合理地逼近Cijin样本，并在样本外预测它。

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2022-5-11 01:43:44

让我们首先讨论后一种方法。3因子模型通过因子模型为CIJI构建非奇异替换Γij=ξiδij+KXA，B=1的一种流行方法——至少在股票的情况下是如此OhmiAΦABOhm这里的jB（5）：ξ是每个收益的特定（又称特质）风险；OhmIa是一个N×K因子加载s矩阵；ΦABis是K×K因子协方差矩阵（FCM），a，B=1，K.系数K的数量<< N使FCM比SCM更稳定。Γijis的优点是，如果FCM是正定义且所有ξi>0，则它是正定义（因此是可逆的）。出于我们的目的，这里可以方便地写出ΓijviaΓij=ξiξjγij，其中γij=δij+KXA=1βiAβjA（6）cijd的整体标准化不会影响权重wiin（1），因此分母中M的无偏估计与分母中M+1的最大似然估计之间的差异对于我们的目的来说无关紧要。此外，在大多数应用程序中>> 1.关于股权多因素模型，请参见[Grinold and Kahn，2000]和中的参考文献。阿尔法的多因素模型方法在[Kakushadze，2014]中进行了详细阐述和讨论。βiA=eβiA/ξi。这里（用矩阵表示法）eβ=OhmeΦ，andΦ是Φ的cholesky分解，soeΦeΦT=Φ。权重（1）（Cijr替换为Γij）由wi=ηξiNXj=1γ给出-1ijEjξj=ηξi“Eiξi-NXj=1KXA，B=1βiAQ-其中QAB=δAB+QAB，QAB=PNi=1βiAβiB。该矩阵的对角元素a r e QAA=1+PNi=1βiA。因此，如果所有qAA=PNi=1βiA>> 1，我们暂时会认为是这样，然后是QAB≈ qAB=PNi=1zieβiAeβiBandwi≈ ηzi“Ei-NXj=1KXA，B=1eβiAq-1ABeβjBzjEj#=ηziεi（8），其中εi是eIoverβiA的横截面加权回归的残差，权重zi=1/ξi，或者，等价地，eεi=εi/ξi是Ei=Ei/ξi overβiA的单位加权回归的期望值。

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2022-5-11 01:43:48

所以，（1）r导出一个回归。问题是为什么——或者更准确地说，什么时候——所有的qAA>> 1.当i）N较大，且ii）向量βiA中没有“聚集”时，就是这种情况。也就是说，对于指数i的大多数值，我们没有消失或较小的βiA值，只有一小部分具有βiA~>1.没有“集群”，要有qAA~<1.我们必须有β-iA<< 1，即γij，因此Γij几乎是对角的。例如，考虑一个具有均匀βi的单因子模型（K=1）≡ β. 在这个模型中，我们有均匀的成对关联ρ=β/（1+β）。为了不让这些相关性变得很小，我们必须有β~>1.现在，Q=1+Q，其中Q=Nβ。对于大N，我们有Q>> 1，Q≈ q、在这种情况下，我们有一个关于截距的加权回归。因此，在没有“聚类”的情况下，当N较大时，因子模型仅适用于通过特定风险ξi确定回归权重的范围。因此，FCM不会影响回归残差：它们在βiA（以矩阵表示）β的线性变换下是不变的→ βU，其中UABis是一般的非奇异矩阵。“集群”呢？对于大量交易基本上重叠的阿尔法股票（例如，流动性最高的2500只美国股票），没有“集群”解决方案，因为它们不能像股票的行业分类那样以二进制方式进行分类，而且阿尔法股票的这种分类通常是不可能的。因此，任何风险因素都缺乏“聚类”，类似于风格因素或主成分。4变形样本协方差矩阵我们现在讨论去噪或正则化SCM，使其不是非奇异的。在这方面经常使用的一种方法是所谓的收缩[Ledoit和Wolf，没有截距，除非它包含在EβiA.2004列的线性组合中]。它通常被视为多因素风险模型的“替代品”。

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2022-5-11 01:43:51

然而，正如最近在[Kakushadze，2016]中讨论的那样，收缩的供应链也是一个因素模型。事实上，收缩是更一般变形的一种特殊情况，其中，与（4）中的SCM cij不同，使用secij=ij+MXs，s′=1Xiseφss′Xjs′（9）这里是矩阵假设Ij为正定义，且（相对）稳定。我们必须有ecii=Cii，所以这对二、先验的在其他方面，这可能是武断的。矩阵φss′是（4）中φss′的变形。（9）的问题在于：i）在实践中我必须与我们试图对其协方差矩阵建模的潜在收益有一定的相关性；ii）先验地，不清楚变形矩阵φss′应该是什么。可用数据仅限于N×M矩阵Xis和固定的矩阵φss′。为了超越这些数据，我们必须引入一些额外的输入。正如12世纪乔治诗人肖塔·鲁斯塔维利所说，“罐子里的东西就是会流出来的东西。”然而，并不是所有的东西都失去了。事实上，我们有大量的N（并且没有“集群”），这使事情变得简单。实际上，矩阵这不能武断。它必须以某种方式——无论是直接的还是间接的——与我们所追求的协方差矩阵的回报有关。最简单的选择是对角矩阵ij=Diδij。更一般地说，我们可以ij是形式（5）的K因子模型，ij=Γij，具有适当的斜对角Γii。事实上，实际上，还有什么可以我会在实践中吗？如果我们知道如何写出一个非因子模型协方差矩阵t，它很好地逼近Cm，并且是样本外稳定的，那么这篇论文将是非常不同的！假设Ij是一个K因子模型（K=0对应于对角线ij）由（5）给出，变形矩阵也是一个因子模型。实际上，eCij=ξiδij+K+MXα，β=1bOhmiαbΦαβbOhm这里的jβ（10）：指数α=（A，s）取K+M值；BOhmiA=OhmiA；BOhmis=Xis，s=1，MbΦAB=ΦAB，A，b=1。

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2022-5-11 01:43:55

KbΦss′=eΦss′，s，s′=1，M和bΦAs≡ 0.在这里，我们把φss′=（1）翻译成我们的语言- ζ） φss′和（“shr油墨目标”）ij=ζΓij，其中重量（“收缩系数”）为0≤ ζ ≤ 1，而Γij（通常选择为对角线矩阵或低K的K因子模型）是这样的，即Γii=Cii。这是ZK自己翻译的一句格言，来自鲁斯塔维利唯一已知的史诗中的一节，该诗的标题被错误地翻译为“豹皮骑士”（或类似）。InZK的拙见是，它不仅是格鲁吉亚文学中最伟大的杰作，也是有史以来最伟大的文学作品之一。它包括1600多个押韵完美的shairi orRustavelian qua系列，每行包含16=8+8个音节，第8和第9个音节之间有一个caesura。人类的大脑是如何做到如此完美的，令人难以置信，尤其是考虑到这首诗讲述了一个极其复杂的故事，包括对话、失语等。现在我们的状态良好。事实上，假设N较大且没有“聚类”，我们知道（1）中使用Cij（而不是Cij）的优化——一种因子模型——减少了N×（K+M）因子加载矩阵Xb上预期收益的加权回归Ohmiα，与变形矩阵φss′中的FCMΦ无关，并且我们甚至没有（足够约束的）计算指导原则。我们只需要以某种方式计算回归权重zi=1/ξi，即具体值。4.1回归权重呢？具体风险如下（10）。然而，为了计算它们，我们需要知道ΦABandeφss′。实际上，回想一下Cii=Cii，我们有ξi=Cii-KXA=1OhmiAΦABOhmiB-MXs=1Xiseφss′Xis′（11）因此，就变形矩阵φss′而言，我们有M（M+1）/2个参数可以使用，但没有太多的指导来进行游戏。事实上，这里没有灵丹妙药。

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2022-5-11 01:43:58

简单本质上是我们唯一可以遵循的灯塔。。。因为最后我们有一个加权回归，它本身不需要知道ΦABoreφss′，只要我们知道权重，我们可以简单地取ξi=Cii。这似乎与（11）相矛盾，但事实并非如此。这是因为，在权重zi的重新标定下，残差ε是不变性的→ λzi，其中λ>0。因此，设置ξi=Ciiis相当于设置ξi=ζCii，其中0<ζ<1，这简化了K（K+1）/2（来自ΦAB）加上M（M+1）/2（来自φss′）的N个条件。对于足够大的N，这个系统似乎是过度约束的，但总是存在一个“解”：我们可以简单地取K=0和φss′=（1）- ζ） φss′。那么，除了逆样本方差，我们还能得到其他权重吗？答案是肯定的。这是一个简单的处方。如上所述，我们可以设置φss′=（1- ζ） φss′，但将Γij作为非平凡因子模型（K>0）。我们必须有Γii=ζCii。一般来说，ξ不等于重标度Cii。有一个不可能的例外：如果我们取Γij，就有一个统一的相关矩阵。使相关性为ρ。那么我们有Γij=ζσiσj[（1- ρ） δij+ρuiuj]，其中ui≡ 1是单位N向量。在这种情况下，我们有ζi=ζ（1- ρ） Cii。因此，在这个单因素模型中，权重与逆样本方差相同，尽管回归超过M+1列。如果我们采用不同的因子模型（即使是具有不均匀相关性的单因子模型），通常ξi不等于重新标度的Cii。那么，风险因素应该/可能是什么？非平凡算法需要确保所有ξiso计算均为正且与FCM一致。[K akushadze and Yu，2016a]中给出了此类算法和源代码（见下文）。这是带有对角线“收缩目标”的收缩（见脚注14）。如[Ledoit and Wolf，2004]所述。也就是说，Xis中的M列，s=1，M，加上等于σi的单列。

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2022-5-11 01:44:01

通常情况下，后者与前者的线性组合之间有很高的相关性（见be low）。事实上，我们将在下面讨论，与σi成比例的因子应全部去掉，即从因子载荷矩阵xb中去掉Ohmiα，无论后者是如何构造的（见第5节）。4.2额外风险因素的候选因素由于我们假设没有“聚类”，即我们无法为我们的回报构造二元分类，对于额外的K风险因素可以是什么，这里有两个明显的选择：i）主成分和ii）风格因素（类似于股票风险模型中的因素）。下面我们将讨论第三种可能性。4.2.1主要成分该想法是采用SCM CIJA的第一个K<M主要成分Ohm伊莉亚。更确切地说，还有另一种选择，也就是OhmiA=σiV（A）i，A=1，K、其中V（a）i，a=1，N、是样本相关性矩阵ψij=Cij/σiσj的主成分。通常，两种选择之间的差异不是决定是否做出选择，后者优先（通常产生更好的结果），因为它会将（倾斜的、准对数正态分布的）波动性σi剔除，并与ψij的主成分进行处理，其对角线元素取区间值(-1，1）并且分布紧密。因此，我们将在这里采用这种方法。如上所述，eφss′=（1- ζ） φss′，我们取ΦAB=ζλ（A）δAB，因此我们的变形SCMeCij=ξiδij+σiσjKXa=1λ（A）V（A）iV（A）j+σiσj（1）- ζ） MXa=K+1λ（a）V（a）iV（a）j（12）这里：λ（a）是对应于主分量V（a）i（λ（1）的特征值≥λ(2)≥ ··· ≥ λ（M）和λ（a）≡ a>M时为0）；ξi=ζσiPMa=K+1λ（a）[V（a）i]。就回归而言，这种结构只影响回归权重szi=1/ξi。事实上，前M个主成分V（a）i，a=1，M、与Xis上的回归相同，s=1。

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kedemingshi

2022-5-11 01:44:04

. . , M、因为这两个矩阵通过线性变换V（a）i=PMs=1XisUsa相互关联，其中usa是非奇异的M×M矩阵。至于ξi，计算它需要计算前K个主分量。对于足够低的K<< M我们可以使用幂迭代法[Mises and Pollaczek Geiringer，1929]（算法见第4.1小节，r源代码见附录B[Kakushadze and Yu，2016b]）。如果K~ M、然后我们可以使用无迭代法（算法见第4.2小节，R源代码见附录C[Kakushadze and Yu，2016b]）。例如，我们可以通过计算前几个原则来计算回归权重，例如分类有一个形式的因子负荷矩阵（或其列的子集）OhmiA=ωiδG（i），A，其中G:{1，…，N}→ {1，…，K}将我们的N个返回映射到K个“簇”。然而，请注意，“权重”ωi（不要与投资组合权重wiin（1）混淆）可以是负的（包括负的），并且不需要与单位N向量ui成比例≡ 1.回想一下ecii=Cii，Cij=σiσjPMa=1λ（a）V（a）iV（a）j。注意ξi/ζσi=1-PKa=1λ（a）[V（a）i]；a>1项由较小的特征值加权。这需要O（niterMN）操作，其中迭代次数为niter>> K.随着K的增加，在某个点上~>M，使用下一种方法更有意义。这需要O（MN）运营成本。分量（与反向样本方差不同），然后对EIX进行加权回归。但是请注意，对于N>> 1第一主成分通常与截距有较大的横截面关系，即θ=√NPNi=1V（1）i接近于1，所以如果我们取K=1，ξi接近于重新标度的Cii。此外，更高的主成分条件是转帐（见脚注22）。4.2.2风格因素风格因素基于我们收益的测量或估计属性。

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大多数88

2022-5-11 01:44:08

即使是股票，它们的数量最多也只有10个。在Alphas的情况下，先验可能的风格因素是波动性、营业额、动量和容量的日志[Kakushadze，2014]。我们将在下面讨论前三个问题。这里的故事分为两部分。首先，如果我>> 1，那么从一般的角度来看，很明显，如果我们保持回归权重不变，在回归中加入一些风格因素不会产生很大的差异。其次，上述三个风格因素对成对相关性的预测效果不佳。对于营业额，这是基于[Kakushadze，2015d]中的经验证据提出的。对波动率的相似分析得出了相同的结论，即波动率对数不是预测相关性的良好指标。动量定义为一段时间内的平均回报。预期回报率也被定义为一段时间（可能是其他时间）内的平均实现回报率。将资本分配给Alpha本身就是一种“动力”策略：通常情况下，人们不会反对过去表现良好的Alpha。在回归（部分“杀死”阿尔法）中包括因子载荷矩阵中的动量。风格因素可能产生差异的一个地方是计算回归权重。也就是说，我们不把它们包括在回归中，但将权重设为zi=1/ξI，其中特定风险ξ仅适用于基于风格因素的因素模型。也就是说，我们通过因子对相关矩阵ψij进行建模。e、，在第0近似下，基于主成分的ξi仍然接近重标度Cii。假设势头是正的；另一方面，我们可以用动量代替波动率，因为它的分布不太偏斜。

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2022-5-11 01:44:11

如果动量等于实际收益，那么这就是夏普e比率。然而，能力很难实现，也不清楚它是否会增加价值。在[K akushadze，2015d]之后，我们定义了νi=ln（σi/u），其中u是指νihas z e romean。我们定义了三种对称张量组合xij=uiuj、yij=uiνj+ujνi和zij=νiνj（ui≡ 1是单位N向量）。我们进一步定义了一个综合指数{a}={（i，j）|i>j}，其中L=N（N- 1） /2值，即，我们将一般对称矩阵gijin的反对角下三角r元素拉到向量Ga上。这样我们可以构造四个L向量ψa，xa，yaandza。现在我们可以对xa、yaza和za进行一次ψa的线性回归。注意xa≡ 1是简单的inter-cept（单位L向量），所以这是ψa对Ya和Za与截距的回归。表1和图1总结了基于[Kakushadze，2015 d]中相同数据的结果，证实了上述结论。这并不一定意味着“曲棍球棒”Alpha（即那些在过去表现出色但有“流线型”的Alpha）不用于构建Alpha组合。如果我们用动量代替波动性，动量定义为[Kakushadze，2015d]中数据样本整个周期内的实际回报率，那么动量对数也不能很好地预测成对相关性。表2和图2总结了回归结果。该模型基于四个因素中的全部或部分因素，即截距、波动性对数、翻转对数和动量对数。如前所述，截距本身会使样本方差缩小，但与其他因素结合会产生差异。我们总是可以简单地将逆样本方差作为回归权重，而不必费心计算基于风格因素的特定风险。如果不使用真实寿命阿尔法进行详细分析，则不清楚基于风格因素的回归权重是否会增值。

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2022-5-11 01:44:14

无论如何，我们不需要在回归中包含样式。4.2.3如何计算特定风险？在这里，我们将讨论计算特定风险的最简单方法，尽管这既不是唯一的方法，也不一定是最好的方法。如上所述，不必通过因子模型对SCM CIJJ进行建模，而是可以方便地对样本相关矩阵ψij进行建模。让相应的因子模型beeΓij=eξiδij+KXA，B=1eOhm安倍晋三Ohm其中eΓij=Γij/σiσj，eξi=ξi/σi，andOhmiA=OhmiA/σi.首先，在不失去普遍性的情况下，我们可以假设Ohm它们是线性独立的。其次，我们可以假设它们形成一个正交基，即矩阵HAB=PNi=1eOhm依斯克拉OhmiBis是K×K单位矩阵：HAB=δAB。事实上，我们总是可以通过变换（在matr ix符号中）e确保正交性或恶意性Ohm →EOhm （eHT）-1，其中eh是H的holesky分解，所以heht=H。此外，我们有eΓii=ψii≡ 1.与男性OhmiA，FCMΦabi是样本相关矩阵在由E列定义的K维超平面上的投影Ohmi在n维空间中：ΦAB=NXi，j=1eOhmiAψijeOhmjB（14）然后从（13）中得出特定风险：eξi=eΓii-KXA，B=1eOhm安倍晋三OhmiB=1-KXA，B=1eOhm安倍晋三OhmiB（15）然而，这种方法有一个警告。对于一般矩阵Ohmi不能保证所定义的ξ是正的，它们应该是正的。这就带来了很多限制Ohm伊莉亚。作为一个例子，让我们讨论一下K=1的情况。对于K=1，事情会简化。让我们表示E的唯一列OhmiAviaβi.ThenPNi=1βi=1和ξi=1- κβi（16）见e。g、，[Kakushadze，2015c]或[Kakushadze和Yu，2016a]进行更详细的讨论。式中，κ=PNi，j=1βiψijβj≤ λ（1），a和λ（1）是ψij的最大本征值。因此，所有ξi>0的有效条件是所有βi<1/λ（1）。

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2022-5-11 01:44:18

我们可以用一个更强大的条件来代替这个条件，避免计算最大特征值：一个有效的条件是所有的βi≤ 1/λ*, λ在哪里*=NPNi，j=1ψij。注意βi≡ 1/√N、这与作为唯一风险因素的截距相对应，满足了这一条件。如果βi呈偏态分布，则通常会出现违反此条件的情况，例如，如果βi∝ σi；然而，例如，βi∝ ln（σi）这种违规行为要么是缺席，要么是罕见的，可以通过在少数违规元素中“统治”来处理。参见R函数qrm。[Kakushadze and Yu，2016a]附录A中的fr（），用于suchan算法，该算法是为一般K因子模型（不仅仅是K=1）构建的。然而，当我们有多种因素时，事情会变得更加棘手。基于多因素模型中单个列的Ifξi>0的所有K 1因子模型OhmiA，在K-f参与者模型中，我们仍然可以有一些ξi<0。参见第4节中的a算法和[Kakushadze and Yu，2016a]中R源代码的附录B，以避免这个问题（即使对于K=1）。然而，让我们不要忽视一个与计算特定风险相关的问题，即使它们都是正面的。计算ξivia（15）涉及SFCMΦAB，后者又涉及样本相关矩阵ψijvia（14）。而ΦABis预计比ψijas更不稳定，我们有K<< N、使用FCMin（15）仍然会给回归权重添加一些噪声。这与使用逆样本方差（即ξi）进行对比≡ 1），作为回归权重，它们在样本外相对稳定。

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2022-5-11 01:44:21

这句话同样适用于所有K值。4.3我们可以增加因素的数量吗？因此，虽然我们可以尝试使用回归权重，但这是否会影响回归权重并不十分清楚，尤其是我们仍然局限于M个风险因素，这相当于第一个M个主成分——尽管我们在第一个例子中不必计算主成分。问题是，我们能否在回归中增加因子负荷矩阵中的列数，因为这可能会覆盖风险空间中的更多方向，并改善样本外性能。平淡地说，答案是我们需要更多的信息，即额外的投入来实现这一点。这里有一种方法[Kakushadze，2014]。这里的想法是，假设所有阿尔法基本上都有重叠的交易范围，我们可以将每个基础可交易资产的风险敞口视为一个风险因素——为了真实性，假设我们将美国股票视为基础可交易资产。这是有道理的，但问题是，这个因素应该借用什么矩阵Ohm尿布？在这种情况下，A只是在tradinguniverse中标记股票，比如说，它是流动性最强的2500个股票，所以K很大，比M的典型值大得多，在（慷慨的）1年回顾中，M的典型值只有250左右。如果我们要进行回溯测试，每个alpha的历史股票头寸数据必须可用。让这个位置数据是PIA，也就是美元持有量，许多Alpha可能比这更短暂。在由A标记的股票中，由i标记的阿尔法在由ts标记的时间，对于每个给定的对i，s，标准化的suchthatPA | PiAs |=1。我们可以尝试构造Ohm从Piasbyget中去掉时间序列指数s.最明显的选择OhmiA=M+1PM+1s=1pias不作为一段时间内的PIA波动的标志，通常假设Alpha的持有期较短。

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2022-5-11 01:44:25

我们需要一个未签名的数量来定义Ohm伊莉亚。我们可以使用OhmiA=M+1M+1Xs=1 | PiAs |（17）这只是第i个α对A标记股票的平均相对敞口。这一定义的一个潜在“缺点”是，如果头寸界限——称为BiA——是在单个α的水平上施加的，对于一些流动性较低的股票，PiAs可能会饱和这些界限。从一般风险管理的角度来看，这些界限在所有Alpha中都是一致的。例如，有人可能希望将头寸上限设置为以下较小者：i）总美元投资的一小个百分位数——这是一个多元化的界限；和ii）ADDV的一个（通常是不同的）小百分比（平均每日美元交易量）——这是一个流动性约束（如果需要清算头寸）。如果在大多数情况下边界是饱和的，这可以有效地减少独立风险因素的数量，以及定义寿命Ohm我可能需要对这些股票进行调整（见[Kakushadze，2014]）。然而，如果在组合alpha级别施加边界，则这不是问题。假设N>> K、即使有更多的风险因素（17），我们的优化也会简化为加权回归。我们可以简单地选择权重作为逆样本方差。或者，我们也可以尝试计算具体情况。为此，我们需要FCMΦAB，并适当规范化OhmiA，FCMΦabi是股票的协方差矩阵。在第零近似下，我们可以将其设置为ΦAB≈ σAδAB，其中σA是股票的样本变量。或者，我们可以使用商业风险模型，也可以有机地构建它们，例如在[Kakushadze，2015c]和[Kakushadze and Yu，2016 a]中。另见第6节。5.一个问题因此，总结而言，我们的优化（1）减少到非标准化的RETURNSEEI=Ei/ξ，超过因子负荷矩阵OhmiA=OhmiA/ξi.为了简单起见，让我们假设ξi=σi。

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2022-5-11 01:44:28

更进一步，让我们来谈谈OhmiAto是M demeed returns Xis，s=1，M、也就是说，我们没有使用任何额外的方式或其他风险因素。然后，样本相关矩阵由（我们用指数s标识指数A）ψij=MXs，s′=1e给出Ohm是φss′e吗Ohmjs′（18）总体规范化因素是非实质性的，出于审美原因而包括在内。很明显，E列Ohm只不过是前M个主成分V（a）i，a=1，M、 ψij。对于大的N向量，主成分V（1）iI接近适当的归一化单位N向量：V（1）i≈ 1/√N.回想（8）（见后面的讨论）权重≈ ηeεi/σi，其中eεi是Ei=Ei/σi的回归残差Ohm具有单位权重，或等效于主成分V（a）i。这意味着Pni=1V（1）即εi=0，因此，许多权重为负（假设预期回报均为正）。也就是说，香草优化迫使我们接受许多积极的预期回报，因为它对冲了所有同时出现的亏损。这是一种过度杀戮，字面上是“杀戮”阿尔法：如果阿尔法在平均水平上不具有高度相关性，那么大多数阿尔法一次都亏损是可能的，但可能性很小。假设对提款的容忍度，我们可以放松这种对冲。5.1一个单因素的例子为了进一步说明这一点，让我们考虑一个简单的例子。让我们假设真实关联矩阵有统一的对角元素：ψij=（1）-ρ） δij+ρuiuj，其中ui≡ 1是单位N向量。然后权重由（注意这是精确的）：wi=ηξi“eEi”给出-ρ1+（N）- 1） ρNXi=1eEi#（19），其中eei=Ei/ξi，和ξi=√1.- ρσi.所以，如果ρ>0和N>> 1/ρ，则r.h.s.方括号中的表达式。

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2022-5-11 01:44:32

（19）的横截面近似相等，许多权重为负。我们怎样才能做到这一点？5.2去除“整体”模式在股票投资组合中有大量股票的情况下，我们也有相同的行为，即样本相关性矩阵的第一个主成分接近重新缩放的截距。这就是所谓的“市场”模式，它描述了所有股票的整体同步运动，即整个大盘的同步运动。然而，就股权融资而言，“市场”模式的问题受到抑制。因此，对于美元中性投资组合而言，由于美元中性约束，几乎一半的权重为负。在只做多的投资组合中，通常不会直接优化原始预期收益，而是根据bro ad基准进行优化。在这方面，alpha port folio优化类似于仅长投资组合优化，因为σII的分布是倾斜的，大致呈对数正态分布，Ei也是如此，所以Ei的分布不是很明显，大致呈正态分布；se e[Kakushadze和Tulchinsky，2016]。例如，参见[Bouchaud and Potters，2011]，其中回顾了随机矩阵理论在股票样本相关矩阵建模中的应用，以及其中的参考文献。股票因此，在这里，我们也可以针对基准阿尔法投资组合（相对于（1））进行优化。例如，我们可以取wbenchmarki=ηEiσi（20），它对应于取SCM Cij的对角线部分。还有其他选择。或者，我们可以简单地删除“整体”模式（即，类似于股票投资组合的“市场”模式）。一种方法是取M个主成分，简单地去除第一个主成分，即在因子负荷矩阵上运行回归Ohm′ia=V（a）i，a=2，然而，这需要计算主成分。有一个更简单的方法。我们接受Ohmisin（18）并贬低其专栏。

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2022-5-11 01:44:35

让蜜蜂飞吧Ohm*是只有我- 其中1列是线性独立的。所以，我们可以过度回归Ohm*s=1，M-1.这消除了“整体”模式，虽然一些权重可能仍然是有益的，但它们的数量将相对有限（不是权重的大约一半）。经过回溯测试的夏普rat io将下降，投资组合回报率将上升。5.3回归过程总结为了清晰起见，让我们把所有的部分放在一起，形成一个逐步的总结：o1）从阿尔法回归指数的时间序列开始，i=1，N、 s=1，M+1.o2）计算连续降级的收益Xis=Ris-M+1PM+1s=1Ris.o3）计算样本方差σi=Cii=MPM+1s=1Xis.o4）计算标准化降级收益Ys=Xis/σi.o5）仅保留Ys中的前M列：s=1，M.o6）横截面尺寸∧is=Yis-NPNj=1Yjs.o7）只保留第一个M- λ中的1列为：s=1，M- 1.o8）取α预期回归Ei并将其标准化：eEi=Ei/σi.o9）计算单位加权回归Ei的残差eεiof10）将α投资组合权重设置为wi=ηeεi/σi.o11）设置归一化系数η，使pni=1 | wi |=1。附录A中给出了上述程序的R中的源代码。如果我们希望使用（17）中的R isk因子作为基础可交易项，那么我们只需用相应的因子加载矩阵（见附录A）替换上述步骤9）中的∧isin。此外，在上面的步骤4）-11）中，我们可以使用基于主成分或风格因子（见上文）计算的特定变量ξi，而不是使用样本方差σi。在这里，我们故意使用与上述符号稍有不同的符号。如前所述，i=1，N标记字母；s=1，M+1标记了时报ts。在接下来的内容中，它们的正常化无关紧要。此步骤将删除“整体”模式，如果需要，可以跳过此步骤。

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2022-5-11 01:44:39

然后我们也会看到下面的下一步。没有拦截。例如，可以是（17）或以上步骤5）中定义的Yi的并集（删除任何linearlydepe独立列）。5.4计算成本如何？很明显，上述步骤的成本都不超过O（MN）操作（步骤9除外），回归分析。回归残差由εi=eEi给出-NXj=1M-1Xs，s′=1∧是Υ-1ss′∧js′（21），其中Υss′=PNi=1∧是∧是∧。计算这个（M）-1） ×（M）-1）矩阵运算成本为0（MN）。直接颠倒it成本O（M）运营。其余的（苏姆索弗s、s′、j等）成本为O（MN）操作，因此回归也会如此。5.5这与主要成分有关吗？答案是肯定的。如上所述，样本相关矩阵ψij=PMs，s′=1Yisφss′Yjs′（其中φss′=（δss′+usus′）/M；我们≡ 1是单位M向量），因此i的M列只是前M个主成分V（a）i，a=1，M、 ψij。因此，在上述步骤中，我们可以使用主成分而不是Yi，并得到与加权wi相同的结果。然而，计算第一个M主成分需要额外的O（MN）操作。6结论如上所述，在没有“聚类”的情况下，当字母数较大时，优化（通过最大化夏普比）会减少为（加权）回归，无论我们是从构造的因子模型开始，还是从样本协方差矩阵变形开始。这是因为这种变形本身并不是因素模型。我们还认为，在大多数情况下，预期收益回归的因子载荷由历史收益的时间序列矩阵（适当地去量化、归一化和修剪）给出，在此基础上计算（奇异）样本协方差矩阵。

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2022-5-11 01:44:42

回归权重可以被重新描述为预期收益、事实r荷载矩阵和α权重的标准化，可以被视为逆样本方差，或者在某些实际模型中被视为特定方差。然而，通过（15）计算这些特定变量需要通过（14）计算因子协方差矩阵（从而向回归权重中添加噪声），而不需要计算样本方差。这方面有一个显著的例外，也就是说，如果我们通过（17）将基础可交易资产（股票）本身作为风险因素。在这种情况下，不需要通过线性组合的样本协方差矩阵来计算因子协方差矩阵Φabn。Υss′具有因子形式的事实与N无关>> 实际上，实际上>> M.我们可以继续上面的步骤；或者，我们可以简单地删除第一个主成分，这将给出一组略有不同的wi。阿尔法的回归。相反，它可以被视为股票的协方差矩阵。后者不需要计算为股票回归的样本共变矩阵，这将是样本外不稳定的，甚至是奇异的。相反，我们可以使用构建的股票协方差矩阵，例如通过fa-cto r模型[Kakushadze，2014]。我们可以事先使用商业上可用的风险模型（尽管它们不一定是样本外稳定的），或者通过杂种优势风险模型[Kakushadze，2015c]或杂种优势CAPM[Kakushadze and Yu，2016a]等有机地构建它们。事实上，在第零近似下，我们可以设置ΦAB≈ σAδAB，其中σA是样本（历史）股票波动率或期权隐含波动率。一旦我们确定ΦAB，我们可以通过（15）计算具体的方差。然而，实际上这里有一个警告。

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2022-5-11 01:44:45

需要注意的是，如果我们用股票协方差矩阵r ix来识别ΦAb，那么因子载荷矩阵由（17）给出，最多只有一个先验未知的总体归一化常数。所以我们可以把它当作一个自由参数，考虑一个单参数的特殊方差族。然后，可以通过优化实现的性能来确定该参数的值，该参数不需要是样本外稳定的，并且可能需要根据短期回溯频繁重新计算。这为计算特定方差提供了一个明确的处方。或者，我们可以使用样本方差，这是相对稳定的样本外和简单的计算。另一种选择是使用基于主成分（见[Kakushadzeand Yu，2016b]和上文）或风格因素计算的特定方差。后一种情况通常需要使用更复杂的方法，如[Kakushadze and Yu，2016a]中讨论的方法。我们的优化简化为回归的一个好处是，它的计算成本很低，可以很容易地进行修改，以纳入阿尔法权重的界限。事实上，由于wi与回归残差成正比，我们可以简单地使用[Kakushadze，2015b]中讨论的有界回归。类似地，我们可以通过[Kakushadze，2015a]中讨论的方法纳入交易成本。最后，让我们提到，如果我们使用[Kakushadze and Yu，2016b]的alg算法来建立统计风险模型，其中包括将风险因素（即主成分）K的数量与特定风险结合起来，我们最终将得到K<M主成分的回归，回归权重等于反向特定方差。

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2022-5-11 01:44:48

在股票的情况下，这比回归M个主成分的效果更好，回归权重特别设置等于K<M的K因子模型的逆特定方差[Kakushadzeand Yu，2016b]。这一点可能适用于，也可能不适用于，例如，N~ 十万个现实生活中的阿尔法。α权重的R代码在本附录中，我们给出了基于回归计算α权重的R源代码。下面的代码基本上是不言自明和直截了当的，尽管并非交易领域中的所有股票都可能是可选择的，并且意味着易挥发的。此外，还不清楚隐含波动是否会增加价值[Kakushadze，2015c]。因为它只是遵循5.3小节中的算法和公式。它由单个函数calc.opt组成。权重（e.r、ret、y=0、s=0、rm.总体=T）；e、 ris是我们希望优化的预期收益的N向量；N是基本收益的数量（例如Alpha）；ret是一个N×（M+1）回报矩阵；M+1是时间序列中数据点的数量（例如，天）；y是N×K因子加载矩阵OhmiA，A=1，K、预先计算的，例如，通过（17）；否则，如果使用默认的y=0，代码将计算因子载荷矩阵Ys（s=1，…，M）- 1 ors=1，M取决于rm。总体=T或rm。总体=F–见下文）基于时间序列ret，通过第5.3小节的算法；s是通过（15）或（16）计算的特定风险ξipre的N向量；否则，如果使用默认的s=0，代码将s计算为样本方差的平方根；rm。总的来说，如果为真（默认），则意味着“总的”模式被取消；o另一方面，它被保留（见第5.3小节）。输出是优化的α权重的N向量wi，其被指定为pni=1 | wi |=1。

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