交易市场中习惯形成下的最优消费

2022-5-6 15:37:05

香港理工大学项羽在《应用概率年鉴》ARXIV:1408.1382具有交易成本和随机禀赋的市场中习惯形成下的最优消费》一文中研究了具有交易成本和无限禀赋的市场中通过习惯形成偏好的最优消费。为了调整比例交易成本，我们采用了卡巴诺夫的多资产框架和现金账户。在最终时间T，投资者可以获得无限的随机捐赠，我们建议基于严格一致价格体系（SCP）对可接受投资组合进行新定义。我们利用可接受的投资组合证明了一类超套期保值定理，从而得到了市场摩擦下的消费预算约束条件。遵循[32]中类似的思想，利用路径依赖约简和嵌入方法，我们利用一些辅助过程和对偶分析，得到了最优消费的存在唯一性。作为对偶理论的一个应用，本文还讨论了具有特殊折扣因子的市场同构，即具有习惯形成的原始最优消费等价于没有习惯影响的标准最优消费问题，然而，在修正的同构市场模型中。1.导言。金融经济学对消费习惯形成的研究可以追溯到[15]和[28]。据观察，冯·诺依曼-摩根斯特恩公用事业公司无法调整众所周知的股权溢价幅度（见[25]和[4]）。相反，习惯形成偏好既考虑当前的消费选择，也考虑其历史模式。

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2022-5-6 15:37:08

由于其时间不可分离结构，消费的微小变化可能会导致消费净生存水平的大幅波动，这可能解释了均衡模型中风险集的巨大超额收益。同样地，这种新的偏好可以在消费者心理的量化解释中提供一些线索，以解释有投资机会的消费行为。例如，许多emp IRIC研究和心理学报告显示，消费者的满意度水平和风险承受能力有时更多地取决于最近的变化，而不是绝对水平。因此，这种偏好导致平稳消费比显著增长更有利的模式激增，例如家庭消费和其他类型的承诺性支出。此外，正如[11]所指出的，习惯形成使模型能够匹配实际支出对货币政策冲击的反应，而这种新的偏好也可以更准确地复制通胀在去通胀期间的逐渐下降。这种路径依赖偏好的不同应用促使我们在一般的不完全市场模型中进行研究。小学91G10、91B42；次要60G44、49K30关键词和短语：比例交易成本、无限经营基金、可接受投资组合、消费预算约束、消费习惯形成、凸对偶、市场同构数学上，h ab it形成偏好由E[RTU（t，ct）定义- F（c）t）dt]，其中u:[0，t]×（0，∞) → R、累积过程（F（c）t）t∈[0，T]被称为习惯形成或生活过程的标准，描述了消费历史的影响。

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2022-5-6 15:37:11

F（c）的传统定义（见[8]和[9]）由递推方程df（c）t=（δtct）给出- αtF（c）t）dt，F（c）=z，其中贴现因子（αt）t∈[0，T]和（δT）T∈[0，T]被假定为非负的光学过程，且给定实数z≥ 0被称为初始习惯。在本文中，消费习惯被认为是上瘾的，因为ct≥ F（c）t所有t∈ [0，T]。因此，消费率决不能低于生活水平。这种依赖成瘾路径的偏好在文献中被提出为新的范式，并在过去几十年中得到了广泛的研究，参见[2]、[8]、[9]、[31]、[10]、[26]和[32]。在无摩擦不完全半鞅市场中，[32]最近使用凸对偶方法解决了这个优化问题。在[32]中，通过研究辅助原始过程和辅助对偶过程，可以降低路径依赖引起的复杂性。然而，

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2022-5-6 15:37:14

从金融角度来看，调查习惯形成约束以及贸易摩擦影响下的消费流是很自然的。直观地说，维持生活水平和交易成本都可能对交易频率产生负面影响，并建议分配更多财富以保持平稳消费。然而，我们预计这些影响是隐含的和复杂的。首先，本文旨在通过建立最优解的存在性和唯一性的理论基础来研究这个开放问题。在一些具体的模型中，习惯形成和交易成本相互作用的研究以及消费流的敏感性分析将作为未来的项目。在本文中，我们将遵循卡巴诺夫的多资产框架和现金账户，其中比例交易成本通过非负矩阵建模。投资者可以从现金账户中选择中间消费，并在期末从一些或有债权中获得无限的随机支付。值得注意的是，两极关系在二元性方法中起着重要作用。在无摩擦市场（见[32]）中，双极化结果取决于消费预算约束，这是由于光学分解定理（见[22]）而被认为是理所当然的。这种消费过程的不等式描述建议我们在[32]中定义正确的辅助集和辅助对偶集。不幸的是，由于半鞅性质和随机积分理论在具有交易费用的一般模型中缺失，可选分解定理在我们的框架中不再有效。

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2022-5-6 15:37:17

此外，传统的可容许投资组合是基于凸解算cycones和严格一致价格体系（SCPS）仔细定义的，参见[18]、[19]和[3]，并通过[14]定义了基于数量的偏差。在现有文献中，要求每个可容许的投资组合过程从下到下以一个常数为界。在不同的条件下，利用相应的容许策略可以得到一些超套期保值定理。当考虑到无限的随机捐赠时，这种可接受投资组合的定义变得不合适。在无摩擦市场中，[16]和[33]使用了具有过程下限的可接受投资组合，并证明了一些可行或有权益的一类超套期保值定理。该定义的关键要素是等价局部鞅测度集（ELMM），使得财富过程集中的给定最大元素是一致可积鞅，且在关于L的范数拓扑的所有E LMM集中是稠密的(Ohm, F、 P）。在我们的框架中，修改这一定义的一种自然方式是将交易成本的可接受投资组合中的最大元素视为下限。然而，这个结果通常是失败的，因为在任何SCP下，最大元素不是一致可积鞅，请参见[17]中离散时间设置中的一些反例。由于在连续时间模型中，工作投资组合的定义更为复杂，因此有理由相信，可接受投资组合中的最大元素不是明智的选择。另一方面，如果我们选择一个任意过程作为下界，则性质理论中的基本集不一定是封闭的。显然，无约束的随机最终支付使我们无法应用文献中公认的结果，即使用可允许投资组合的超级对冲理论。

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2022-5-6 15:37:19

为了总结当前工作中的新挑战，需要解决工作组合的适当定义和使用新组合的消费预算约束问题。我们对现有文献的第一个贡献是对可接受的投资组合流程提出了创新定义。需要注意的是，每个SCP都可以等价地写成一对（Q，~S），其中~S是Q下的局部鞅。尽管股价过程S可能不是半鞅，但每个~S都是局部鞅。因此，我们可以使用SCP中的S从随机积分中确定最大元素，并以适当的方式将其应用于具有交易成本的自融资投资组合的过程下限。这一定义预计会更加复杂，然而，我们提供了一些方便的标准来检查投资组合过程是否可接受。毫不奇怪，本文中最具挑战性的工作是超边缘定理的证明。通过与[22]的比较，指出我们缺乏半鞅性质和可选分解定理。另一方面，我们的结果与[3]不同，因为本文要求对工作投资组合进行更复杂的定义。幸运的是，在我们仔细选择可接受的投资组合的情况下，超高边的结果仍然可以验证。没有消费行为，s超高边定理本身就很有趣。利用这一结果，我们还可以研究具有无限随机禀赋的多个区块的多变量效用最大化问题，见[1]。

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2022-5-6 15:37:22

在[1]的假设3.2和定理3.2中，我们可以在随机禀赋E的条件下∈ L∞.当前工作的另一个主要贡献是建立了具有交易成本、无限随机禀赋和消费习惯形成的严格对偶理论模型。我们的结果将[3]中著名的对偶理论推广到了习惯形成约束的情形，以及[16]中由交易成本引起的市场摩擦。首先，消费预算约束提供了所有金融消费策略集合的不平等特征。通过引入辅助原始过程（~ct）t∈[0，T]式中ct=ct-F（c）和辅助双过程（Γt）t∈[0，T]通过SCP定义，我们可以遵循并修改[32]中的思想和证明，将凸对偶方法应用于抽象优化问题。值得指出的是，习惯形成的数学方法可以让我们考虑一些相关的经济问题，例如交易成本下的耐用商品消费。我们的一般结果也是检验习惯形成偏好与市场价格均衡定理的第一步。从二元性理论和消费预算约束出发，本文还试图讨论具有消费习惯形成的市场和没有习惯记忆的市场之间的市场同构，类似于[31]，然而，在这两个市场上交易都会产生交易成本。对于某些特殊贴现因子（αt）t∈[0，T]和（δT）T∈[0，T]，我们原来的优化问题等价于一个标准的时间可分离效用最大化问题，该问题是在具有mod i fi-random禀赋的同构市场中，在数量变化下的消费问题。

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nandehutu2022

2022-5-6 15:37:25

给出了两个特例，即在同构最优消费问题中，外部数过程甚至会消失。这种市场同构提供了一个切入点，可以在本文中利用现有文献中关于交易成本下标准最优消费的结果来检验习惯影响下的最优消费策略。特别是，如果给定的资产价格过程和交易成本也存在影子p-rice过程，那么影子价格模型中的市场同构将使我们能够获得最优消费选择的闭式反馈公式。本文的其余部分组织如下：第2节介绍了具有交易成本和无限随机禀赋的市场模型，然而，它具有中间消费行为。我们建议使用SCP对适用于市场摩擦的可接受投资组合进行新定义。导出了一类可行未定权益的超套期保值定理。第三部分是关于中间消费和成瘾习惯形成的案例。为了减少路径依赖性，我们定义了辅助原始空间A（x，q，z）、放大空间EA（x，q，z）和辅助双sp acefM。将原问题嵌入到一个具有影子随机禀赋的抽象时间可分优化问题中。在第四节中，我们公式化了随机禀赋可以隐藏的辅助对偶问题。最后阐述了主要理论和一些推论。对于折扣因子的特殊选择，市场同构结果在第5节中进行了研究。第6节给出了前几节中所有主要结果的证明。2.没有中间消费的市场模式。2.1. 市场模型和数学模型的建立。我们考虑一个只有一个现金账户和d个风险资产的金融市场。

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2022-5-6 15:37:28

假设现金账户满足St≡ 1.T∈ [0，T]，它被视为数字。风险资产由d维严格正过程（St）t建模∈[0，T]=（St，…，Sdt）T∈[0，T]在给定的过滤概率空间上(Ohm, F、 F=（英尺）t∈[0，T]，P），其中过滤满足通常条件。到期时间由T给出。（St）t∈[0，T]通常可能不是半马丁盖尔。为了简化我们的符号，我们取F=FT。交易风险资产会产生交易成本。我们定义了一个非负（1+d）×（1+d）-矩阵∧=（λij）0≤i、 j≤d每个λij≥ 0来模拟将第i项转换为第j项资产时必须支付的成本比例因子。显然，对于任何0，λi0=0≤ 我≤ d作为现金账户。这是很自然的（见[29]和[3]）将其强加给0≤ i、 j，k≤ d以下条件成立（1+λij）≤ （1+λik）（1+λkj）。交易成本系数∧可以是常数，也可以以适当的方式依赖于t和ω。在本文中，我们做了与[3]中相同的假设，即买卖过程πijt（ω），（1+λijt（ω））Sjt（ω）Sit（ω），0≤ i、 j≤ d、 c\'adl\'ag代表所有0≤ i、 j≤ d、（1+d）×（1+d）矩阵∏=（πij）0≤i、 j≤dis称之为“买卖矩阵”。我们在Kab-an-ov的框架中工作，该框架以锥值过程的概念为中心。偿付能力锥^K定义为R1+D中的凸多面体锥，单位向量ei，0≤ 我≤ d和向量（1+λij）sjsei-ej，0≤ i、 j≤ d、凸锥-^K应被解释为以零价格提供的投资组合。圆锥体^K如果^K被称为prope r∩(-^K）={0}。在本文中，我们假设th在锥和锥上-适当，并含有R1+d+（有效摩擦）。此外，我们假设FT=FT-和∏T=∏T-a、 s。。球果（^Kt）t∈[0，T]在R1+d值随机变量之间建立一个自然顺序。

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2022-5-6 15:37:31

对于任意停止时间τ，设X，Y为两个Fτ可测随机变量。我们表示XτY如果X- Y∈ L（^Kτ，Fτ）。这里我们定义了L（^Kτ，Fτ），简称L（^Kτ），即所有^Kτ值的Fτ可测随机变量的锥。根据前面的符号，很明显L（R1+d+） L（^KT）。给定R1+d中的一个锥^K，其正极锥由^K定义*, {w∈ R1+d:hv，wi≥ 0, 五、∈^K}。定义2.1。一个适应的R1+d+\\{0}值c`adl`ag过程Z=（Zt，Zt，…，Zdt）t∈z=1的[0，T]被称为交易成本∧的基于数值的一致价格系统，如果Zis amartingale，zi是i=1的局部鞅，d和Zt∈^K*助教。s、因为我非常∈ [0，T]。此外，如果每[0，T]∪ {∞}-值停止时间τ，Zτ∈ int（^K）*τ）关于{τ<∞} 对于每一个可预测的[0，T]∪ {∞}-值停止时间σ，Zσ-∈ int（^K）*σ-) a、 s.关于{σ<∞}. 所有基于数字的一致价格体系（严格一致价格体系）的集合将用Z（严格一致价格体系）表示。为简单起见，我们将CPS写为基于num’eraire（严格）一致的价格体系。在本文中，我们将做出长期假设：假设2.1。存在SCPS:Zs6=.备注1。等效地，每个SCP可以用一对（Q，~S）表示，其中Q等于P和（~St）t∈[0，T]=（~St，~Sdt）T∈[0，T]是Q下的d维局部鞅，参见[29]、[18]和[19]。（Q，~S）与Z有关∈ Zsby设置dqdp=zt和<<Sit=Zit/zt表示i=1，d和T∈ [0，T]。以下定义基于上述等效表述。定义2.2。表示Ss:={（Z/Z，…，Zd/Z）：（Z，Z，…，Zd）∈ Zs}。对于每个固定的∈ Ss，我们定义，nQ:dQdP=ZT，其中ZZ，ZdZ=~S，Z∈ Zso。同样，对于每个固定的∈ Ss，我们定义了Z（~S），nZ=（Z，Z，…，Zd）：Z∈ ZswhereZZ。

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2022-5-6 15:37:34

，ZdZ=所以。显然，索引为S∈ Ss，Zs（~S）可以被视为集合Zs的一个划分，而Ms（~S）={Q:dQdP=ZT，其中Z∈ Zs（▄S）}。我们还表示Ms，SS∈SsMs（~S），然后是Ms={Q:dQdP=ZT，其中Z∈ Zs}。从现在起，通过allowin g在时间t=0时交易N个欧洲未定权益，最终现金支付额=（EiT）1，市场扩大≤我≤N.我们表示q=（qi）1≤我≤Nas或有权益中的静态持有等。通过允许q取负值，而不丧失一般性，我们可以假设EiT≥ 0换1≤ 我≤ N.每个EIT都可能是u形的，但是，本文假设Pni=1对于所有SCP Z在以下情况下是一致可积的：假设2.2。（2.1）limm→∞苏普兹∈ZsE公司DNXi=1EiT{PNi=1EiT>m}，\', 中兴通讯= 0，其中“0”是d维零向量。备注2。条件（2.1）意味着SCP下随机终端的最终超级h封边价格，即supZ∈ZsE[h（PNi=1EiT，\'0），ZTi]=supQ∈MsEQ[PNi=1EiT]<∞. 如果我们需要∈ L∞, 假设2。2.微不足道。在最近的工作中，假设2.2保证了超级套期保值结果适用于所有Z∈ Zs。为了处理无界随机捐赠，具有常数下限的可接受投资组合集通常太小，需要对现金账户中具有一些随机阈值的可接受投资组合集进行扩展。为了将交易成本纳入框架，我们需要通过考虑所有SCP来修改可接受投资组合的定义（参见无价格市场中的[6]和[16]）。因为每个∈ Ssis是一个Q-局部马丁鞅，因此在物理概率测度P下，S是一个半鞅。

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2022-5-6 15:37:37

假设初始财富a>0，对于每个半鞅∈ 设X（~S，a）是~S-市场中非负财富过程的集合。也就是说，X（~S，a）={X≥ 0:Xt=a+（H·S）t，其中H是可预测的，且可S-可积的，t∈ [0，T]}。如果X（~S，A）中的财富过程的终值Xmax，~S不能被X（~S，A）中任何其他过程的终值Xmax，~S支配，则X（~S，A）中的财富过程被称为极大的，由Xmax，~S决定。引理2.1。在假设下2。2，存在一个常数a>0，对于每个∈ Ss，存在一个极大元素^Xmax，~S∈ X（~S，a）和pni=1EiT≤^Xmax，ST.定义2.3。假设2.1，R1+d值过程V=（Vt，Vt，…，Vdt）t∈[0，T]被称为交易成本为∧的自融资投资组合过程（见[3]），如果它满足以下属性：（1）V是可预测的，且P-a.e.V的路径对于每对停止时间0有有限的变化（2）≤ σ ≤ τ ≤ T，我们有（2.2）Vτ- Vσ∈ -^Kσ，τP- a、其中^Kσ，τ（ω），conv[σ(ω)≤t<τ（ω）^Kt（ω）每个ω取R1+D的杆闭合∈ Ohm.备注3。正如R\'asonyi在[27]中的例子所指出的，由于买卖过程被假定为c\'adl\'ag，我们必须同时考虑投资组合过程（Vt）的左跳和右跳∈[0，T]。因此，可预测的过程是模型（Vt）t的自然选择∈[0，T]。如果停止时间τ可预测，则三个值Vτ-, Vτ和Vτ+可以不同。△Vτ=Vτ- Vτ-和△+Vτ=Vτ+- Vτ可以分别模拟时间τ之前的跳跃和时间τ处的跳跃。V的P-a.e.路径有有限变化的条件是为了数学上的方便。但其背后的财务直觉是，具有有限变量轨迹的投资组合过程将导致投资者支付巨大的交易成本。因此，我们只考虑定义2中给出的自我融资投资组合。3.定义2.4。

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2022-5-6 15:37:40

如果自我融资投资组合V额外满足（见[14]中的定义13），则称其为可接受（基于数量）。（3）存在阈值A>0，使得VT+（A，\'0）∈ L（^KT）和hVτ+（a，\'0），Zτi≥ 对于所有[0，T]值的停止时间τ和每个SCPS Z∈ Zs，其中0是d维零向量。相反，如果一个自我融资的投资组合V满足以下属性（3\'）存在一个常数a>0，那么它被称为可接受（基于数量）∈ Ss，存在一个极大元素xmax，~S∈ X（~S，a）带VT+（Xmax，~ST，`0）∈ L（^KT）和hVτ+（Xmax，~Sτ，`0），Zτi≥ 对于所有[0，T]值的停止时间τ和每个Z，均为0 P-a.s∈ Zs（~S）。用Vacptand和setVacptx表示所有可接受的动态投资组合过程集，{V∈ V=x=（x，x，…，xd）}，对于某些初始位置x∈ R1+d.备注4。很明显，每个可容许的投资组合过程都是可接受的，因为每个constanta>0是X（~S，a）中的一个最大元素。为了看到这一点，我们注意到∈ Ss，存在Q~ Psuch，即∧S是Q-局部鞅。因此，我们可以得出这样的结论：每一个S都是一个半鞅，对于局部有界的S，[5]中的定理7.2，对于非负的S，[21]中的定理1.3。此外，半鞅不满足风险条件为零的免费午餐，见[7]中的定理1.1。因此，X（~S，a）中没有表示常数a的最大元素。然而，上述定义总体上似乎是抽象的，因为它涉及所有S CP。在下一个示例中，我们将提供一些易于检查的条件，以确保自融资投资组合V是可接受的：示例2.1。如果存在带a的非负P-鞅W，supQ∈MsEQ[WT]<∞使VT+（WT，\'0）∈ L（^KT）和hVτ+（Wτ，\'0），Zτi≥ 每年0美元。

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2022-5-6 15:37:43

对于所有[0，T]值的停止时间τ和f或所有SCPS Z∈ Zs，我们可以得出结论，自我融资投资组合V是可以接受的。为了说明这一点，我们通过遵循引理2.1的相同论证，得到了每一个∈ Ss，存在一个极大元素Xmax，~S∈ X（~S，a）使WT≤ Xmax，~ST.此外，对于每个~S∈ Ss，我们也知道（Xmax，~St- Wt）t∈[0，T]是P下的上鞅，因为每个Xmax都是伪鞅。由此得出Xmax，~Sτ- Wτ≥ 所有[0，T]值的停止时间τ均为0 P-a.s。绕过不等式V和L（R1+d+）的事实 L（^KT），我们可以证明可接受投资组合的所有条件都满足。例2.2。设S为严格正半鞅，交易费用λij=λ∈（0，1）是所有0的固定常数≤ 我≤ d和1≤ J≤ d、众所周知∈ Ss，我们有（1）- λ）静坐<~静坐<（1+λ）静坐，P- a、 s.1≤ 我≤ d、 t∈ [0，T]。因此，对于任何固定常数k>0，我们得到了任何常数a>（1- λ） kPdi=1Siandall[0，T]-值停止时间τ，0<a+Zτ（1- λ） k‘1dSu<a+Zτk‘1dSu，其中‘1是d维单位向量，导致0<a+（1- λ） kdXi=1（Siτ）- Si）<a+Zτk'1d'Su。对于每个固定的∈ Ss，我们可以选择Xmax，~S∈ X（~S，a）使得Xmax，~ST≥ a+RTk¨1d¨Su。很容易看出（a+Rtk＠1d＠Su）t∈[0，T]是局部鞅，因此在所有Q下为上鞅∈ Ms（~S）。同时，根据[7]的定理5.7，对于任何Xmax，~S∈ 存在一些Q*∈ Ms（~S）是Q下的UI鞅*. 因此，Xmax，~Sτ≥ a+Rτk\'1dSuQ*-a、 s.forall[0，T]值的停止时间。自从Q*等价于P，我们推导出Xmax，~Sτ≥ a+Rτk¨1d¨Suholds P-a.s.让我们表示Bt，a+（1- λ） kPdi=1（Sit）- Si）对于t∈ [0，T]。

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2022-5-6 15:37:45

因此，对于每个∈ Ss，存在一个Xmax，~S∈ X（~S，a）使得bτ<Xmax，~Sτ，P- a、 s。。因此，在这个市场中，如果自我融资投资组合V满足以下条件：VT+（BT，\'0）∈L（^KT）和hVτ+（Bτ，\'0），Zτi≥ 对于所有[0，T]值的停止时间τ和所有SCPSZ，均为0 P-a.s∈ Zs，上述论点意味着V是一个可接受的投资组合过程。现在我们继续展示一类超套期保值定理，它适用于一些可行的或有索赔，使用可接受的投资组合。下一个假设需要排除一些民事案件。假设2.3。对于任何非零向量q∈ RN，随机变量q·ETI在SCP下的市场中不可复制。表示H（x，q）初始位置为x的可接受投资组合过程集∈ R1+D最终值决定了支付(-q·ET，\'0），即（2.3）H（x，q），{V:VT+（q·ET，\'0）∈ L（^KT），V∈ Vacptx}，（x，q）∈ K其中有效域K由（2.4）K，int{（x，q）定义∈ R1+d+N:H（x，q）6=}.2.2. 对一些可行的未定权益的超边缘化结果。让我们考虑抽象的setc（x，q），{g∈ L+（R1+d）：VT+（q·ET，\'0）- G∈ L（^KT），V∈ H（x，q）}，（x，q）∈ K.以下结果首先给出了使用所有SCP的C（x，q）中元素的特征。引理2.2。假设2。1,2.2，如果（x，q）∈ K、对于任何g∈ C（x，q），我们有（2.5）E[hg，ZTi]≤ hx，Zi+E[h（q·ET，\'0），ZTi]，Z∈ Zs。备注5。在[16]中，在没有交易成本的情况下，作者只要求随机捐赠的超级对冲条件，即supQ∈我∞ 所有人1≤ 我≤ N由于随机积分的特殊性质，它们可以用所有等价局部鞅测度M的子集M′证明类似于（2.2）的不等式，它依赖于随机禀赋ET，参见[16]中的引理4和引理5。

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2022-5-6 15:37:49

此外，子集M′足以建立共轭对偶的双极性结果。在有交易成本的模型中，可接受投资组合的定义更为微妙。同样，我们可以使用给定的随机端点定义一个子集Ms（~S），使得每个^Xmax，~Sfoundin Lemma2。1是Q下的真鞅∈毫秒（秒）。然而，这个集合不再适用于我们的模型，因为每个可接受的投资组合都需要一些不同的下限Xmax，对于所有[0，T]-停止时间τ，Xmax不一定是Ms（~S）下的鞅。为了解决这个问题，我们需要避免[16]中的子集技巧，并证明整个集合Z的超级混合结果。为此，我们必须做出假设。2.这比supZ的常规超级对冲要求更强∈泽赫德PNi=1 | EiT |，\', 中兴∞.另一方面，下一个结果给出了一个标准来检查给定的过程是在setC（x，q）还是在NOT中。引理2.3。让我们假设一下。1等一下。设g为R1+d-值，FT-可测的随机向量，使得存在一个常数a>0，且对于每个S∈ Ss，存在一个极大的e-lementXmax，~S∈ X（~S，a）使得g+（Xmax，~ST，`0）∈ L（^KT）。If（2.6）E[hg，ZTi]≤ hx，Zi， Z∈ Zs，其中x∈ R1+d，存在V∈ v.真空，真空VT.真空VT.真空VT.真空VT.真空VT.真空VT.真空VT.真空VT.真空VT.真空VT.真空VT.真空VT.真空VT.真空- G∈ L（^KT）。备注6。外稃2。2和引理2.3一起提供了一个超级对冲定理，用于使用可接受的投资组合的一些可行或有权益。在没有中间消费的情况下，我们还可以研究具有无界随机禀赋的每项资产的终端财富的多变量效用最大化问题，类似于[1]。此外，使用可接受的投资组合，我们可以对少量随机捐赠进行基于边际效用的价格敏感性分析，类似于[24]，但在比例交易成本下。

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2022-5-6 15:37:51

这些方向的一些潜在扩展将作为未来的研究项目安排。3.具有消费和习惯形成的市场模式。3.1. 设置在本节中，我们采用了第2节中的金融市场模型，该模型具有比例交易成本和无限随机捐赠。此外，我们开始假设，在投资期内，代理人也可以从现金账户中选择中间消费。消费率过程用（ct）t表示∈[0，T]。为了简化符号，从t=0开始，我们假设投资者持有初始财富V=（x，\'\'0）和x∈ R、也就是说，现金账户中的初始位置是x∈ R，每个风险资产账户的初始头寸为0。定义3.1。假设2。1,2.2和2.3，并设（x，\'0，q）∈ K、消费过程（ct）t∈[0，T]被称为（x，q·E）-可融资的，如果存在自融资且可接受的投资组合∈ H（x，q），在（2.3）中定义，表示V=（x，\'0）和VT+(-RTctdt+q·ET，\'0）∈ L（^KT）。表示所有（x，q·ET）可融资消费流程的集合。提案3.1（消费预算约束）。让我们假设一下。1、2.2和2.3暂停。设（x，\'0，q）∈ K，定义见（2.4）。我们有一个过程c∈ Cx，q·ETif且仅当（3.1）EHZTCTDI≤ x+E[h（q·ET，\'0），ZTi]，Z∈ Zs。在本文中，我们对考虑消费行为路径依赖特征的时间不可分离消费偏好感兴趣。特别地，我们引入了消费习惯形成过程F（c）tG，该过程由代理的过去消费积分和初始habitF（c）t=ze的指数加权平均值驱动-Rtαvdv+Ztδse-Rtsαvdvcsds，t∈ [0，T]，其中常数z≥ 0被称为初始习惯。一般来说，贴现因子α和δ被假定为非负的可选过程，允许对其进行绑定。

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2022-5-6 15:37:54

然而，出于可积性的考虑，我们假设RT（δu- αu）du<∞ a、每个t的s∈ [0，T]。本文感兴趣的是传统的情况，即从某种意义上说，消费习惯是上瘾的≥ F（c）t，T∈ [0，T]，即投资者当前的消费率不得低于生活水平。投资者的偏好由效用函数U[0，T]×（0，∞) → R、这样，对于每一个x>0，U（·，x）在[0，T]上是连续的，并且对于每一个T∈ [0，T]，函数U（T，·）是严格凹的，严格递增的，连续可微的，并且满足INDA条件：（3.2）U′（T，0），limx→0U′（t，x）=∞, U′（t，∞) , 利克斯→∞U′（t，x）=0，其中U′（t，x），徐（t，x）。每个t∈ [0，T]，我们通过U（T，x）=-∞ 对于所有x<0的情况，这相当于成瘾性习惯形成约束≥ 效用函数的凸共轭由v（t，y），supx>0{U（t，x）定义- xy}，y>0。在[32]之后，我们假设U在x=0和x=∞.假设3.1。效用函数U满足合理的交感弹性（RAE）条件，atx=∞ x=0，即（3.3）AE∞[U]=lim supx→∞监督∈[0，T]xU′（T，x）U（T，x）< 1和（3.4）AE[U]=lim supx→0监督∈[0，T]xU′（T，x）|U（T，x）|< ∞.此外，为了在时间t上一致地得到一些不等式，我们假设（3.5）limx→∞输入∈[0，T]U（T，x）> 0和（3.6）limx→0监督∈[0，T]U（T，x）< 0.RAE条件（3.3）和（3.4）没有限制性。例如，众所周知的discountedlog效用函数U（t，x）=e-βtlog x和贴现功率效用函数U（t，x）=e-βtxpp（p<1，p6=0）满足条件（3.3）和（3.4）。

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2022-5-6 15:37:57

实际上，如果效用函数具有有限的下界条件inft∈[0，T]U（T，0）>-∞, 条件（3.4）得到验证。另一方面，也很容易检查效用函数U（t，x）=-Ex不满足条件（3.4），效用函数U（t，x）=xlog xd不满足条件（3.3）。此外，额外条件（3.5）和（3.6）也没有限制性。实际上，效用函数满足RAE条件（3.3）和（3.4），当且仅当其有效变换a+bU（t，x）满足任意常数a，b>0的RAE条件（3.3）和（3.4）。如[32]中所述，我们将O表示为相对于过滤（Ft）t的可选集的σ-代数∈[0，T]，且设d¨P=dt×dP为产品空间上的度量(Ohm ×[0，T]，O）定义为“P[A]=EPhZTA（T，ω）dti，用于A∈ O.我们用L表示(Ohm ×[0，T]，O，\'P）（L）(Ohm ×[0，T]）（简称）乘积空间上关于可选σ-代数O的所有随机变量的集合，赋予了测度P中收敛的拓扑结构。从现在开始，我们将识别可选随机过程（Yt）T∈[0，T]与随机变量Y∈ L(Ohm ×[0，T]）。我们还定义了正正态的L+(Ohm ×[0，T]，O，\'P）（L）+(Ohm 作为Y=Y（T，ω）的集合∈ 真是太好了≥ 0，P- a、 s。。此时，f或任何（x，\'0，q）∈ K和任意z≥ 0，我们可以通过a（x，q，z），nc，将所有（x，q·ET）-具有习惯形成约束的金融消费过程集定义为产品空间上的一组随机变量∈ L+(Ohm ×[0，T]）：ct≥ F（c）t，T∈ [0，T]和c∈ Cx，q·ETo=nc∈ L+(Ohm ×[0，T]）：ct≥ F（c）t，T∈ [0，T]和ehztctztdi≤ x+E[q·ETZT]，Z∈ Zso。但是，对于某些值（x，\'0，q），集合A（x，q，z）可能为空∈ K和z≥ 0的约束条件。

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可人4

2022-5-6 15:38:00

我们将把自己局限于有效域L，它被定义为集合内部的并集，这样A（x，q，z）就不是空的，边界{（x，q，z）∈ RN+2:（x，\'0，q）∈ K和z=0}:L，intn（x，q，z）∈ RN+2:（x，\'0，q）∈ K、 z>0使得A（x，q，z）6=o∪{（x，q，z）∈ RN+2:（x，\'0，q）∈ K和z=0}。从定义来看，“L”包括零初始习惯的特殊情况，即z=0。通过选择（x，q，z）∈L，我们现在可以通过（3.7）u（x，q，z），supc定义原始效用最大化问题的初步版本∈A（x，q，z）EhZTU（t，ct）- F（c）t）dti（x，q，z）∈L.重要的是对贴现因子α和δt施加以下附加条件，这对原始效用优化问题的适定性至关重要：假设3.2。非负可选过程（αt）t∈[0，T]和（δT）T∈假设[0，T]满足（i）对于任何非零向量（q，z）∈ RN+1，随机变量-zRTeRt（δv）-αv）dvdt+q·Etisno在SCPS下不可复制。（ii）我们有（3.8）个supZ∈ZsEhZTeRt（δv）-αv）dvZtdti<∞.（iii）存在一个常数“x>0，使得（3.9）EhZTU-（t，\'xe）-Rtαvdv）dti<∞.备注7。如果随机贴现过程（αt）t∈[0，T]和（δT）T∈假设[0，T]是有界的，则满足条件（3.8）和（3.9）。条件（3.8）是众所周知的随机变量R（δv）的超边缘性质-αv）原始市场上的dvdt。下面的引理给出了域“L.引理3.1”的明确特征。在假设2.1、2.2和条件（3.8）下，有效域“L”可以写成“L=n（x、q、z）∈ RN+2:z≥ 0和x+E[q·ETZT]>zEhZTeRt（δv-αv）dvZtdti，Z∈ Zso。3.2. 路径依赖减少。为了处理优化问题中的路径依赖结构，我们将遵循[32]中的技巧，并定义辅助过程ct=ct- F（c）t，t∈ [0，T]。

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nandehutu2022

2022-5-6 15:38:02

用（3.10）`A（x，q，z），{c）表示所有辅助过程的集合∈ L+(Ohm ×[0，T]）：~ct=ct- F（c）t，T∈ [0，T]，c∈ A（x，q，z）}。以下引理是其定义的结果。引理3.2。对于每个固定值（x、q、z）∈L，setsA（x，q，z）和a（x，q，z）之间有一对一的对应关系，对于所有的（x，q，z）∈\'L，我们有\'A（x，q，z）6=.对于每个SCPS Z∈ Zs，我们介绍了以下重要的辅助可选过程Γt，Zt+δtEhZTteRst（δv-αv）dvZsdsFti，T∈ [0，T]，并通过（3.11）fM，nΓ确定所有这些辅助过程的集合∈ L+(Ohm×[0，T]）：ΓT，Zt+δtEhZTteRst（δv-αv）dvZsdsFti，T∈ [0，T]，Z∈ Zso。由于一般假设随机贴现过程δ和α是无约束的，在条件（3.8）下，辅助对偶过程Γ定义良好，但它不一定是可积的。集合A（x，q，z）的下一个等价刻画对于减少路径依赖特征并将我们的问题嵌入p空间上的辅助抽象优化问题至关重要。引理3.3。对于（x，q，z）∈L，我们可以将A（x，q，z）重写为A（x，q，z）=n＠c∈ L+(Ohm ×[0，T]）：EhZTctΓtdti≤ 十、- zEhZTwtΓtdti+E[q·ETΓT]，Γ ∈fMo，其中wt，eRt(-αv）深静脉血栓∈ [0，T]。为了建立共轭对偶，我们需要将有效域L扩大到一个自然域，否则域上的约束将影响正确对偶问题的定义。首先，原始集A（x，q，z）需要扩大到以下抽象版本A（x，q，z），nc∈ L+(Ohm ×[0，T]）：EhZTctΓtdti≤ 十、- zEhZTwtΓtdti+E[q·ETΓT]，Γ ∈fMo，其中n为（x，q，z）∈ RN+2。第二，我们需要考虑扩大的域LL，int{（x，q，z）∈ RN+2:eA（x，q，z）6=}.下一个结果表明，在集合L处的th确实是有效域“L引理3.4”的扩大。

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2022-5-6 15:38:05

我们可以用byL=intn（x，q，z）等价刻画集合L∈ RN+2:x+E[q·ETZT]- zEhZTeRt（δv）-αv）dvZtdti≥ 0, Z∈ Zso。基于抽象的原始集a（x，q，z），我们通过（3.12）~u（x，q，z），sup ~c来定义辅助原始效用最大化问题∈eA（x，q，z）EhZTU（t，~ct）dti（x，q，z）∈ L.从A（x，q，z）的定义（x，q，z）∈L安第斯山脉（x，q，z）代表（x，q，z）∈ 五十、外稃3。1.安德烈玛3。4.暗示 L.如果我们限制（x，q，z）∈\'L 五十、以下等价关系适用于A（x，q，z）=eA（x，q，z）。值函数之间的等价性如下，即u（x，q，z）=u（x，q，z）。此外*t） t∈[0，T]是u（x，q，z）的最优解当且仅当（~c）*t） t∈[0，T]=（c）*T-F（c）*)t） t∈[0，T]是≈u（x，q，z）的最优解。因此，我们将路径依赖效用最大化问题（3.7）转化为辅助抽象效用最大化问题（3.12），而不考虑hab信息，但考虑额外的影子随机禀赋w.4。双重问题和主要结果。与[16]和[32]类似，我们首先介绍了集RR，rin（y，r）∈ RN+2:xy+(-z、 q）·r≥ 0 f或全部（x、q、z）∈ 瞧，在哪里(-z、 q）·r，-zr+PNi=1qirifor r=（r，…，rN）∈ RN+1。对于任何（y，r）∈ R、我们将对偶集（y，R）定义为辅助集（y，R），nΓ的适当扩展∈ L+(Ohm×[0，T]）：EhZTctΓtdti≤ xy+(-z、 q）·r代表所有c∈eA（x，q，z）和（x，q，z）∈ 瞧。（3.12）的辅助双重效用最大化问题现在可以表示为（4.1）~v（y，r），infΓ∈eY（y，r）EhZTV（t，Γt）dti（y，r）∈ 我们的主要结果是关于抽象优化问题最优解的存在性和两个值函数之间的共轭对偶定理。定理4.1。让我们假设一下。1,2.2,2.3,3.1和3.2保持。此外，设u（x，q，z）<∞ 对于某些（x，q，z）∈ L

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2022-5-6 15:38:08

然后我们有（i）函数u（x，q，z）是(-∞, ∞)-在L上取值，v（y，r）为(-∞, ∞)-在R上取值。值fu的共轭对偶性?u和?v成立：?u（x，q，z）=inf（y，R）∈R~v（y，r）+xy+(-z、 q）·r, （x，q，z）∈ 五十、 ~v（y，r）=sup（x，q，z）∈L~u（x，q，z）- xy- (-z、 q）·r, （y，r）∈ R.（ii）最优解Γ*问题（4.1）存在且对所有（y，r）而言都是唯一的∈ R.（iii）最优解c*问题（3.12）的（x，q，z）存在，并且对所有（x，q，z）都是唯一的∈ L.此外，在等价类中存在一个表示，即c*t（x，q，z）>0，t的P-a.s∈ [0，T]。（iv）u映射L到R的超差，即。， ~u（x，q，z） R表示（x，q，z）∈ L此外，如果（y，r）∈ ~u（x，q，z），~c*（x，q，z）和Γ*（y，r）由Γ关联*t（y，r）=U′（t，~c*t（x，q，z）），或*t（x，q，z）=I（t，Γ）*t（y，r）），t∈ [0，T]，EhZTc*t（x，q，z）Γ*t（y，r）dti=xy+(-z、 q）·r.（v）如果我们限制初始财富x、初始持有q和初始习惯形成z的选择，比如（x，q，z）∈\'L 五十、最优解c*（x，q，z）到原始效用最大化问题（3.7）存在并且是唯一的。除此之外，我们对任何t∈ [0，T]，~c*t（x，q，z）=c*t（x，q，z）- F（c）*)t（x，q，z）或c*t（x，q，z）=c*t（x，q，z）+ZtδseRts（δv-αv）dv~c*s（x，q，z）ds+zeRt（δv-αv）dv。备注8。

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2022-5-6 15:38:11

对于（x，q，z）∈\'L 五十、如果最优解Γ*辅助对偶问题（4.1）的（y，r）在于（3.11）中定义的辅助对偶设置，即存在SCPS Z0，*（y，r）如（4.2）Γ*t（y，r）=Z0，*t（y，r）+δtEhZTteRst（δv-αv）dvZ0，*s（y，r）dsFti，T∈ [0，T]，最优消耗可以用这个SC-PS-Z显式表示*（y，r）∈ ZSTATC*t（x，q，z）=zeRt（δv-αv）dv+It、 Z0，*t（y，r）+δtEhZTteRst（δv-αv）dvZ0，*s（y，r）dsFti+ZtδseRts（δv-αv）dvIs、 Z0，*s（y，r）+δsehztserrls（δv-αv）dvZ0，*l（y，r）dlFsids，t∈ [0，T]。（4.3）交易成本对最佳消费流的影响隐含在（3.11）中双setfM的定义和SCPS Z0的选择中，*（y，r）的分解形式（4.2）。对于一般问题，我们不能得出最优消费在交易成本∧项下是单调的结论。此外，我们还可以观察到，最优消费与贴现因子α和δ密切相关。例如，如果δ增加，即消耗历史在F（c）中有更多的权重*), （4.3）右侧的第一项增加，但（4.3）右侧的第二项减少，不清楚（4.3）的第三项是否单调。一般来说，双优化器Γ*（y，r）可能不在s etfM中，因此Γ*（y，r）不一定具有（4.2）中SCPS Z0的分解形式，*（y，r）。然而，杜阿尔优化器可能有一个很好的分解形式。特别地，我们可以导出以下关于最优策略的显式性质的特殊例子。推论4.1。让我们考虑具有常数贴现因子δ和α以及对数效用函数u（t，x）=logx的市场模型。

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2022-5-6 15:38:13

对于双优化器Γ*（y，r），定义流程*t（y，r），Γ*t（y，r）- δtEhZTtΓ*s（y，r）eRst(-αv）DVDFti，T∈ [0，T]。如果过程（Yt）没有∈[0，T]是严格正鞅，我们有（4.4）Γ*t（y，r）=y*t（y，r）+δtEhZTteRst（δv-αv）dvY*s（y，r）dsFti，T∈ [0，T]，相应的最优消费策略由（4.5）c明确给出*t（x，q，z）=（ze（δ-α） t+δ-αY*t（y，r）（δe（δ-α）（T）-（t）-α） +Rtδ-αY*s（y，r）δe（δ-α）（t）-s）（δe（δ-α）（T）-（s）-α） ds，δ6=α，z+Y*t（y，r）1+δ（t-t） +RtY*s（y，r）δ1+δ（T）-s） ds，δ=α，对于t∈ [0，T]，其中（y，r）满足xy+(-z、 q）·r=T。相应的最佳生活习惯形成标准为（4.6）F（c）*（x，q，z））t=（ze（δ-α） t+Rtδ-αY*s（y，r）δe（δ-α）（t）-s）（δe（δ-α）（T）-（s）-α） ds，δ6=α，z+RtY*s（y，r）δ1+δ（T）-s） ds，δ=α。此外，我们还具有以下性质：（i）如果δ-α>0或δ=α>0，生活水平过程（F（c*)t） t∈[0，T]是时间T方面的一个递增过程。（ii）如果α=0且δ或T足够大，则最优消费策略渐进地类似于c*t（x，q，z）≈ zδt，t∈ [0，T]，因此它几乎满足了消费棘轮约束，即消费过程在时间T上增加。（iii）如果δ- α ≥ 0，过程（c）*t（x，q，z）Y0，*r（y，t）∈[0，T]是一个子鞅。如果*= 1，存在一个概率测度Q*~ 使最优消耗（c*t（x，q，z））t∈[0，T]是Q下的子鞅*wheredQ*dP=Y*T（y，r）。如果δ=α=0，则过程（c*t（x，q，z）Y0，*r（y，t）∈[0，T]是鞅。（iv）如果是*（y，r）=1，最佳初始消耗量由（4.7）c明确给出*（x，q，z）=（z+δ-αδe（δ-α） T-α、 δ6=α，z+1+δT，δ=α。备注9。同样，如果双优化器发生在setfM中，我们必须有Y*（y，r）=Z（y，r）对于某些SCP Z∈ 这也意味着*（y，r）=1。

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2022-5-6 15:38:17

因此，推论4的断言（iii）和（iv）。1.显然，情况是这样的*（y，r）=Z（y，r）。永远不要错过，双重优化器Γ*（y，r）对于某些鞅y可能具有分解形式（4.4）*（y，r）不是资产价格过程和交易成本∧5的SCP。具有交易费用模型中的市场同构。本节规定了以下关于非负可选贴现因子的假设。假设5.1。过程（δt）- αt）t∈[0，T]是时间T的确定函数。考虑交易成本为∧的相同资产价格过程S。下一个定理陈述了一个重要的观察结果，即习惯形成下的效用最大化等价于在数量和新随机禀赋变化的修正市场模型中，消费的标准时间可分离效用最大化。提议5.1。让我们假设一下。1等一下。考虑到最初的财富x>0和初始habitz≥ 0时，原始优化问题（3.7）等价于以下时间可分效用最大化问题：在数量变化下的消耗：（5.1）^u（x，q，z），sup^c∈^A（x，q，z）EhZTU（t，^ctGt）dti。这里，我们考虑相同的基础资产价格过程S和交易成本∧。

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可人4

2022-5-6 15:38:20

集合^A（x，q，z）是所有（x，NT）可融资消费过程的集合，具有新的随机禀赋NT，q·ET- 兹特(-αv）dvGtdt和外部辅助过程（5.2）Gt，1+δtZTteRst（δv-αv）DVD，t∈ [0，T]。特别是，最优消费c*（x，q，z）与问题（3.7）的习惯形成*t（x，q，z）=^c*t（x，q，z）Gt+ZtδseRts（δv-αv）dv^c*s（x，q，z）Gsds+zeRt（δv）-αv）dv，t∈ [0，T]，其中^c*（x，q，z）是效用最大化问题（5.1）中的最优消费，具有thenum’eraire GTNT和新的随机捐赠。在特殊情况下，num’eraire过程（Gt）t∈[0，T]可能不会影响命题5.1中的效用最大化问题，因此同构优化问题成为经典的最优消费问题。下面我们列出两个例子来说明isomorp问题的简单性。推论5.1。让我们考虑假设5下的对数效用函数U（t，x）=logx。1.具有习惯形成的原始效用最大化问题（3.7）与消费^u（x，q，z），sup^c上的同构效用最大化问题等价∈^A（x，q，z）EhZTU（t，^ct）dti- EhZTU（t，Gt）dti，其中^A（x，q，z）的定义与命题（5.1）中的定义相同。因此，考虑标准效用最大化问题（5.3）π（x，q，z）=sup^c就足够了∈^A（x，q，z）EhZTU（t，^ct）dti。此外，我们有*t（x，q，z）=^c*t（x，q，z）Gt+ZtδseRts（δv-αv）dv^c*s（x，q，z）Gsds+zeRt（δv）-αv）dv，t∈ [0，T]，其中^c*（x，q，z）是问题（5.3）在具有随机禀赋NT=q·ET的同构市场中的最优消费- 兹特(-αv）DVGTDT推论5.2。

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nandehutu2022

2022-5-6 15:38:23

如果num’eraire进程（Gt）没有∈[0，T]是在假设5下G=1的鞅。1.具有习惯形成的原始效用最大化问题（3.7）等价于消费（5.4）u（x，q，z）=supc的标准同构效用最大化问题∈\'A（x，q，z）EhZTU（t，~ct）dti，其中（3.10）中定义的\'A（x，q，z）是在同质市场中所有（x，RT）可融资消费过程与资产价格过程（St）t的集合∈[0，T]和交易成本∧，其中RT，q·ET- 兹特(-αv）dvdt。此外，我们有*t（x，q，z）=c*t（x，q，z）+ZtδseRts（δv-αv）dv~c*s（x，q，z）ds+zeRt（δv-αv）dv，t∈ [0，T]，其中c*（x，q，z）是问题（5.4）在具有随机禀赋RT的同构市场中的最优消费。市场同构显著降低了路径依赖的复杂性，因为在没有习惯形成约束的新市场模型中，无法找到最优消费。值得注意的是，如果资产价格过程和交易成本∧存在影子价格过程，则市场同构可以在无摩擦影子价格市场中进行，其基础价格过程甚至可以允许一些具有习惯形成和转移成本的封闭形式反馈消费策略。6.主要结果的证明。6.1. 第二节主要结果的证明。引理2的证明。1.对于每个∈ Ss，假设2.2小点在于a，supQ∈Ms（~S）EQhNXi=1EiTi<∞.根据股票价格为S的无摩擦市场中终端财富和等价局部鞅测度之间的一般对偶结果，见[23]，可以得出如下结论：存在一个负财富过程（Xt）t∈[0，T]=（a+（H·S）T）T∈[0，T]∈ X（~S，a）使XT≥PNi=1EiT。如果X本身是X（~S，a）中的一个极大元，则结论显然成立。

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