此外，通过（6.3），我们得到了ZτVτ+Pdi=1SiτViτ+Xmax，~Sτ≥ 0，P-a.s.对于所有[0，T]值的停止时间τ，其中ZT=dQdP。因此，Vt+Pdi=1SitVit+Xmax，仍然是一个真正的超鞅和er Q∈ M′S和d（6.5）是正确的。定义βT，VT+Pdi=1SiTViT+q·ET。因为VT+（q·ET，\'0）∈ L（^KT），我们得到hVT+（q·ET，\'\'0），ZTi≥ 0Z∈ Zs。因此，对于任何Q，它都是这样∈ Ms（~S），我们有βTZT≥ 0，P-a.s.式中ZT=dQdP。单调C收敛定理意味着对于任何Q∈ Ms（~S），以下holdsEQ[βT]=EP[βTZT]=limm→∞EP[βT{βT≤m} ZT]=limm→∞EQ[βT{βT≤m} ]。在L的范数拓扑中，M′（~S）在Ms（~S）中的密度性质保证了Qn序列的存在∈ 使（6.5）成立。接下来是thatlimm→∞EQ[βT{βT≤m} ]=limm→∞画→∞EQn[βT{βT≤m} ]≤ 画→∞EQn[βT]≤ hx，Zi+limn→∞EQn[q·ET]。很明显，对于任何m>0和每个1≤ 我≤ N、 我们有{EiT>m}≤NXi=1EiT{PNi=1EiT>m}，P- a、 s。。假设EiT≥ P项下0 a.s.意味着EiT≥ Q下0 a.s∈ Ms（~S），后面是（6.6）limm→∞supQ∈Ms（~S）EQ[EiT{EiT>m}]=0,1≤ 我≤ N.通过（6.6）以及摩尔-奥斯古德定理（见[12]第102页定理5）和单调收敛定理，我们推导出→∞EQn[EiT]=limn→∞林姆→∞EQn[EiT{EiT≤m} ]=limm→∞画→∞EQn[EiT{EiT≤m} ]=limm→∞EQ[EiT{EiT≤m} ]=等式[EiT]，1≤ 我≤ N、 哪个给了斯林→∞EQn[q·ET]=EQ[q·ET]。因此，（6.2）适用于任何Q∈ Ms（~S）。自从∈ Ssis武断（6.1）已验证，这完成了（2.5）的证明。固定一个常数^a>0并表示Vacpt0，^a是所有可接受的投资组合V的集合，初始值V=（0，\'0），对于每个^S，存在一个^Xmax，~S∈ X（^a，~S）与VT+（^Xmax，~ST，`0）∈ L（^KT）。下面的引理断言，Vacpt0中元素的总变化，^是有界的不概率。引理6.1。让我们假设一下。1等一下。

对于每一个^a>0，都存在一个概率测度Q~ 求一个常数C>0，使所有V∈ Vacpt0，^a，等式[kV-kT]≤ C^a.引理6.1的证明。对于固定的SCPS Z∈ Zs，存在一个S∈ SSZ∈ Zs（~S）。根据可接受投资组合的定义，我们可以找到一个常数^a>0和Xmax，~S∈ X（~S，^a）使得VT+（Xmax，~ST，`0）∈ L（^KT）和hVτ+（Xmax，~Sτ，`0），Zτi≥ 0 a.s.f或所有[0，T]值停止时间τ和所有Z∈ Zs（~S）。类似于[3]中的引理2.8，应用p部分公式的积分，我们得到hvt，Zti=ZtVudZu+ZtZu˙VcudkVcku+Xu≤子-△武则徐△+Vu，其中右侧s端的第一个积分是局部鞅，因为V是可预测的，因此是局部有界的，见[13]中的命题a.11。因此，存在一系列的稳定时间τnT，例如rτnvudzu是一个鞅。此外，由于V是局部有界的，在不丧失一般性的情况下，我们可以假设th在| Vτn |≤ n、 带着期待，我们到达了目的地-ZτnZu˙VcudkVcku-徐≤τnZu-△似曾相识-徐<τnZu△+似曾相识= -E[hVτn，Zτni]。[3]中的自我融资条件和引理2.8意味着左手边的过程是非负的。法图引理给出了-ZTZu˙VcudkVcku-徐≤子-△似曾相识-徐子△+似曾相识≤ -E[hVτn，Zτni]，N∈ N.对于右边，从Z的塔性质和d鞅性质可以清楚地看出- E[hVτn，Zτni]=-E[hVτn，ZTi]。对于固定的Z∈ Z（~S），~S∈ S和随机下界Xmax，在V的定义中，我们考虑了测度集esM′（~S），{Q∈ Ms（~S）：Xmax，是Q}下的UI鞅。M′（~S）在Ms（~S）中的密度性质意味着Qm序列的存在∈ M′（~S）使得qm在lweredqdp=ZT的范数拓扑中收敛到Q。让我们定义序列ZMBYZM，0t=EhdQmdPFti，Zm，it=Zit，i=1。

，d，t∈ [0，T]。As | Vτn |≤ n、 很明显- E[hVτn，ZTi]=- 林姆→∞E[hVτn，ZmTi]=- 林姆→∞E[hVτn，Zmτni]。遵循引理2的证明。2.我们得到了hV，Zmi是一个真正的超鞅，因为hV，Zmi是[3]中引理2.8给出的局部超鞅，并且它下面也有UI鞅（Xmax，S，\'\'0），Zmi的界。因此- 林姆→∞E[hVτn，Zmτni]≤ - 林姆→∞E[hVT，ZmTi]≤ 林姆→∞E[h（^Xmax，~ST，\'0），Zmi]=limm→∞把所有的部分放在一起，我们可以得出（6.7）E-ZTZu˙VcudkVcku-徐≤子-△似曾相识-徐子△+似曾相识≤ ^a.对于固定Z∈ Zs，让我们定义随机变量α（Z），（Z）inft∈[0，T]| Zt | 1+dwhere（6.8）（Z），esssupη ∈ L（R+，FT）：Zt∈ η-int^K*TT∈ [0，T]a.s。.[3]中的引理3.1指出P（（Z）>0）=1，并且∈[0，T]| Zt | 1+d>0 a.s。。不等式（6.7）意味着E[α（Z）kV kT]≤ ^a.类似于[3]中引理3.2的证明，对于固定Z∈ Zs，我们可以定义C，E[α（Z）]和dqdp，α（Z）C，结论成立。表示Ax={VT:V∈ Vacptx}初始位置x可获得的所有未定权益的集合∈ R1+d。我们将按照以下方式修改Fatou convergence下的贴近度，以适应我们的框架：定义6.1。如果任何固定的^a>0和每个^S，则设定轴称为相对Fatou闭合∈ 具有一个固定的最大元素^Xmax，~S∈ 存在一个序列vn∈ VacPtxSatizing VnT+（^Xmax，~ST，`0）∈ L（^KT）表示每一个∈ 几乎可以肯定的是，我们有一个可测量的随机变量VT∈ 阿克霍尔德。备注10。我们在这里选择的新术语来自以下事实：收敛序列（Vn）n∈Nhas满足下限条件VnT+（^Xmax，~ST，\'0）∈ L（^KT）相对固定的最大元素^Xmax，对于每个^S。相对Fatou闭的定义比Fatou闭的定义更具限制性。

如果一个集合是相对Fatou闭的，那么它显然是Fatou闭的，因为每个常数^a>0是集合X（^S，^a）中所有^S的一个最大元素∈ 党卫军。由于可接受投资组合的定义所造成的复杂性，我们需要在场景中呈现更强烈的条件。最后的相对Fatou封闭性将有助于我们使用一些显式对偶元素来推导集合轴的特征。引理6.2。在假设下2。1、设定轴相对Fatou闭合。引理6.2的证明。结论成立的当且仅当我们可以显示Ais相对封闭，因为很容易看到V∈ Vacptif且仅当V+x∈ Vacptx。在这之前，我们只会证明人工智能是相对封闭的。给定^a>0且对于每个^S∈ Ss，选择并fix一个最大元素^Xmax，~S∈ X（~S，^a）。设VnT+中的一个序列为VnT+（^Xmax，~ST，`0）∈ 对于所有的∈ Ss，所以我们得到了Vn∈ Vacpt0，^a.假设VNTC将a.s.收敛到某个可测量的随机变量X∈ L（R1+d）。根据Lemma6。1和[3]中的命题3.4，存在一系列用VN表示的VN凸组合，其收敛到某个有限变量，可预测的过程V。Hencewe立即得到VT=X和VT+（^Xmax，~ST，\'0）∈ 对于所有的∈ 党卫军。很容易检查条件（2.2）是否成立，因此V是一个自我融资的投资组合过程。这足以证明这是一个可接受的投资组合过程。对于每个∈ Ss，我们考虑任何^Z∈ Zs（~S）和任何t的最大元素^Xmax，~S∈ [0，T]，我们有hvnt+（^Xmax，^St，\'0），^Zti=V0，nt+dXi=1SitVi，nt+^Xmax，~St^Zt和hVt+（^Xmax，St，0），^Zti=Vt+dXi=1SitVit+^Xmax，~St^Zt，这里我们有^Zt=Ehd^QdP和^Q∈ Ms（~S）。同样的∈ Ss，我们现在将每个可接受投资组合Vn定义中的最大元素Xmax，~S视为下界。

定义s etM′（~s，n），{Q∈ Ms（~S）：Xmax，~S，是Q}下的UI鞅。因此，存在一个Qm序列∈ M′（~S，n）收敛到作为M的^Q→ ∞ 在Lunder P.的范数拓扑中，如果必要，通过传递到下一个ce，我们推导出Z0，mt收敛到^ZtP-a.s∈ [0，T]式中，Z0，mt=E[dQmdP | Ft]。因此，对于任何t∈ [0，T]，以下观点成立：V0，nt+dXi=1SitVi，nt+^Xmax，~St^Zt=limm→∞V0，nt+dXi=1SitVi，nt+^Xmax，~St另一方面，对于每个固定的Q∈ M′（~S，n），类似于引理6的证明。1，我们得到（V0，nt+Pdi=1SitVi，nt）Z0，mt是一个真正的超鞅。此外，我们还有随机积分^Xmax，它是Qm下的一个上鞅，因此^Xmax，~SZ0，mis是另一个上鞅。因此，对于任何[0，T]值的停止时间τ，V0，nτ+dXi=1SiτVi，nτ+^Xmax，~SτZ0，mτ≥ 嗯V0，nT+dXi=1SiTVi，nT+^Xmax，~STZ0，mT我们知道VnT+（^Xmax，~ST，\'0）∈ L（^KT）产生（V0，nT+Pdi=1)SiTVi，nT+^Xmax，ST）Z0，mT≥ 0，P-a.s.，因此法图引理导致V0，nτ+dXi=1SiτVi，nτ+^Xmax，~Sτ^Zτ≥ 嗯V0，nT+dXi=1SiTVi，nT+^Xmax，~ST^ZTFτi.因为VnT也会逐点收敛到V，同样是通过VnT+（^Xmax，~ST，\'0）∈ L（^KT）和法图引理，我们得到了Vτ+dXi=1SiτViτ+^Xmax，~Sτ^Zτ≥ 嗯VT+dXi=1SiTViT+^Xmax，~ST^ZT因此，我们可以看到≥ 0，P-a.s.，相当于hVτ+（^Xmax，^sτ，\'0），^Zτi≥ 0，P-a.s.对于所有[0，T]值的停止时间τ和任何^Z∈ Zs（~S）。总之，证明了极限过程V是一个可接受的投资组合，其常数^a>0且^Xmax，~S∈ X（~S，^a）验证了Ais相对封闭的事实。引理6.3。对于每个固定的n∈ N、 让我们定义截断终端清算值SANx的集合，{Y:Y=VT{VT|≤n} ，VT∈ Ax}。此外，我们认为集合A∞x、 序号∈奶奶。

我们有以下特征（6.9）A∞x=nY∈ L∞r（R1+d，FT）：E[hY，ηi]≤ 苏普特∈A.∞xE[hVT，ηi]，η ∈ L（^K）*T） 哦，我在哪里∞r（R1+d，FT）是所有R1+d值和FT可测随机向量Y的集合∈ L∞因此，e xi sts a>0，并且对于每个▄S，存在一个Xmax，▄S∈ X（~S，a）带Y+（X最大，~ST，`0）∈L（^KT）。证据对于任何常数κ>0和每ξ∈ {ξ：kξk∞≤ κ} ，我们总是可以找到常数a=κ+1，并且对于每个∈ Ss，我们可以选择Xmax，~St≡ A.∈ X（~S，a）代表所有t∈ [0，T]所以ξ+（Xmax，~ST，\'0） L（R1+d+） L（^KT）。此外，对于任何VT∈ ax和相应的xmax，我们声称VT{|VT|≤n} +（x最大，~ST，\'0）∈ L（^KT）。为了看到这一点，我们注意到|≤n} +（x最大，~ST，\'0）≥ VT{| VT|≤n} +（Xmax，ST，0）1{VT|≤n}=VT+（x最大值，ST，0）{| VT|≤n}∈ L（^KT）。（6.10）因此，收敛于a.s.的有界序列也是相对法头收敛的。外稃6。2表示轴相对Fatou闭合，因此可以直接导出∞带球{ξ：kξk∞≤ κ} 每个κ>0的概率都是闭合的。根据经典结果，见[20]中的命题5.5.1，A∞xis弱*闭合（即，闭合在σ（L）中∞, 五十） ）。根据[20]中的T heorem 5.5.3，我们得出（6.9）成立。引理2.3的证明。已经证明Axis是相对封闭的，我们现在继续验证∞xis在Ax中的密度相对较低。为此，让我们考虑一下∈ 常数^a>0且^Xmax，~S时的ax∈ X（~S，^a）表示每个~S∈ 党卫军。我们需要证明序列VnT的存在∈ A.∞使VnT+满意（^Xmax、~ST、\'0）∈ 对于所有的∈ Ssas以及VNT→ VTa。s修正VT，类似于[3]的定理4.1，我们考虑由vnt=VT{|VT定义的vntd序列|≤n} 。很明显，VnT∈ 安克斯 A.∞x、 按照（6.10）中的相同论点，也很容易看到vnt+（^Xmax，^ST，\'0）∈ 对于所有的∈ SSN∈ N

此外，VT- L∞ A.∞x、 尽管如此∈ A.∞x、 作为一个∞xis在Ax中的密度相对较低，我们可以尝试使用（6.9）来描述Ax中的元素。对任何人来说∈ Ax，我们可以找到一个常数a>0，并且对于每个S，存在一个Xmax，S∈ X（~S，a）使得Y+（Xmax，~ST，`0）∈ L（^KT）。因此，存在一个序列Yn∈ A.∞xsuch thatYn+（x最大值，ST，0）∈ L（^KT）和yn收敛到Y a.s。。因此，法图引理导致（6.11）E[hY+（Xmax，~ST，\'0），ηi]≤ 苏普特∈A.∞xE[hVT，ηi]+E[h（Xmax，ST，0），ηi]，η ∈ L（^K）*T） 。右侧ide的第二个期望值是自Xmax以来定义得很好的≥ 上午0点。。另一方面，假设Y+（Xmax，ST，0）∈ L（^KT），我们可以构造Yn=y1{Y|≤ n}∈ L∞这样的话，相对而言，Y和Y会汇合在一起。此外，通过（6.11），我们可以推断出每个Ynsatis fie[hYn，ηi]≤ 苏普特∈A.∞所有η的xE[hVT，ηi]∈ L（^K）*T、 （英国《金融时报》）。所以呢∈ A.∞十、 斧头。Axis Fatou相对封闭的事实产生了这样的结果∈ 斧头。根据上述论点，集合ax可以在ax=nY时重写∈ L（R1+d，FT）：存在一个大于0的值，并且对于每个S∈ 存在一个最大值，~S∈ X（~S，a）带Y+（X最大，~ST，`0）∈ L（^KT）和E[hY+（Xmax，ST，0），ηi]≤ su pVT∈A.∞xE[hVT，ηi]+E[h（Xmax，ST，0），ηi]，η ∈ L（^K）*T） o.（6.12）选择X/∈ 斧头。根据（6.12），对于任何a>0和Xmax，~S∈ 存在η∈ L（^K）*T） 使得（6.13）E[hX+（Xmax，ST，0），ηi]>supVT∈A.∞xE[hVT，ηi]+E[h（Xmax，ST，0），ηi]。特别是，我们可以考虑Xmax，~St≡ a代表t∈ [0，T]。因此，（6.13）简化为（6.14）E[hX，ηi]>supVT∈A.∞xE[hVT，ηi]。因此，我们可以定义过程Zt=e[η| Ft]，t∈ [0，t]并通过定义获得E[hX，ZTi]>hX，Zi。根据[3]中定理4.1的相同证明，很容易验证ZT是CPS。让Z成为一个SCP，对于0≤ β<1非常小，过程Zβt=βZst+zt是一个SCP S。我们将有E[hX，ZβTi]>hX，Zi。根据（2.6），g∈ 斧头。

因此存在aV∈ v.真空，真空VT.真空VT.真空VT.真空VT.真空VT.真空VT.真空VT.真空VT.真空VT.真空VT.真空VT.真空VT.真空VT.真空- G∈ L（^KT）。6.2。第3节主要结果的证明。命题的证明。1.如果c∈ Cx，q·ET，存在一个可接受的投资组合V∈ H（x，q）这样ZTctdt，\', 中兴通讯≤ hVT+（q·ET，\'0），ZTi，Z∈ Zs。而且，对于每个Z∈ Zs，我们有EhDRTctdt，\', ZTEi=EhRTctdtZTi。通过部件积分和选择定位序列，我们推导出EHDZTctdt，\', ZTEi=EhZTctZtdti。遵循引理2的证明。2，我们得到了[hVT+（q·ET，\'0），ZTi]≤ x+E[h（q·ET，\'0），ZTi]，Z∈ Zs和hnce（3.1）h olds。另一方面，对于过程c≥ 0满足（3.1），让我们定义g（RTctdt-q·ET，\'0）。根据引理2.1，存在一个常数^a>0，并且对于每个^S，存在一个^Xmax，^S∈ X（~S，^a）这样的q·ET≤ ζPNi=1 | EiT |≤^Xmax，^ST。它遵循g+（^Xmax，^ST，^0）∈ L（^KT）。此外，通过（3.1），我们得到了[hg，ZTi]≤ x=h（x，\'0），Zi。外稃2。3表示存在V=（x，\'0）的可接受投资组合，使得- g=VT+(-RTctdt+q·ET，\'0）∈ L（^KT）。因此，结论认为c∈ Cx，q·ET.引理3.1的证明。我们的研究表明，对于所有人（x、\'0、q）∈ K和z>0，（6.15）x+E[q·ETZT]≥ zEhZTeRt（δv）-αv）dvZtdti，Z∈ Zsif且仅当A（x，q，z）6=.一方面，对于固定的（x，`0，q）∈ K和z>0，这样在A（x，q，z）6=, 存在c∈ L+带ct≥ F（c）t∈ [0，T]和HZTCTZTDI≤ x+E[q·ETZT]，Z∈ Zs。我们声称这个选择≥ \'\'CTT∈ [0，T]何时开始≡ F（`c）是一个持续存在的消费过程，它一直等于它的习惯形成过程。

为了了解这一点，通过定义F（c）和约束ct≥ F（c）t，它跟在df（c）t后面≥ （δtF（c）t- αtF（c）t）dt，F（c）=z。而且，我们总是有‘ct=（δt‘ct）- αt\'ct）dt，\'c=z，由此可解出\'ct=zeRt（δv-αv）深静脉血栓∈ [0，T]。通过subtr作用，它遵循thatter（δv-αv）dv（F（c）t- \'\'ct）≥ 0，t∈ [0，T]。因此，ct≥ \'ct=zeRt（δv-αv）深静脉血栓∈ [0，T]和引理3。1.Werriveat（6.15）。考虑（x，\'0，q）∈ K和z>0，使（6.15）保持不变。我们总是可以建造ct≡ \'ct=zeRt（δv-αv）DVCT≡ F（c）tholds。A（x，q，z）和引理3的定义。1.y.C∈ A（x，q，z），因此A（x，q，z）6=.到目前为止，已经证明intn（x，q，z）∈ RN+2:（x，\'0，q）∈ K、 z>0使得A（x，q，z）6=o=n（x，q，z）∈ RN+2:z>0和x+E[q·ETZT]>zEhZTeRt（δv-αv）dvZtdti，Z∈ Zso。（6.16）只要证明z=0的等价性clB=B=B就足够了，其中我们定义了n（x，q）∈ RN+1：（x，\'0，q）∈ Ko，B，n（x，q）∈ RN+1:H（（x，\'0），q）6=o、 B，n（x，q）∈ RN+1:x+E[q·ETZT]≥ 0, Z∈ Zso。对于第一个等式，B clB。只需验证clB B.选择（x，q）∈ clBand let（xn，qn）n≥b中收敛到（x，q）的序列。如果我们证明H（（x，\'\'0），q）6=. 修复Vn∈ H（（xn，\'0），qn），n≥ 1，由旅鼠制作。2，我们有[hVnT+（qn·ET，\'0），ZTi]≤ xn+E[h（qn·ET，\'0），ZTi]，Z∈ Zs。自（xn）n≥1收敛到x和（qn）n≥1在q附近，存在常数M>0和M>0，使得f或n足够大，我们有xn<M和qn<M。因此，当n较大时，我们有Vn∈ 真空与qn·ET≤ MPNi=1 | EiT |。外稃2。1断言存在一个常数^a>0，并且对于每个^S，存在一个^Xmax，^S∈ X（~S，^a）使得VnT+（^Xmax，~ST，`0）∈ L（^KT）表示足够大的n。

然后，我们可以应用L emma 6.1和[3]中的命题3.4，必要时将其传递到凸组合，并假设Vn收敛到一个有限的变量，可预测的过程点。特别地，我们得到了VT+（q·ET，\'0）∈ L（^KT）式中q，limn→∞qn。自从≤ ζPNi=1 | EiT |式中ζ=max1≤我≤N | qi |，由Lemma2创作。1同样，存在一个常数a>0，并且对于每个S∈ Ss，存在一个Xmax，~S∈ X（~S，a）使得VT+（Xmax，~ST，`0）∈ L（^KT）。此外，法图引理给出了e[hVT+（q·ET，\'0），ZTi]≤ 画→∞E[hVnT+（qn·ET，\'0），ZTi]≤ 画→∞xn+E[h（qn·ET，\'0），ZTi]= x+E[h（q·ET，\'0），ZTi]，对于所有Z∈ Zs。接下来就是e[hVT，ZTi]≤ x=h（x，\'0），Zi，Z∈ Zs。通过外稃2。3.存在一个可接受的投资组合^V=（x，\'0）和^VT-及物动词∈ L（^KT），因此是^V∈ H（（x，\'0），q）。给B看 B、 对于固定的（x，q）∈ B、 存在一个V∈ H（（x，\'0），q），然后是引理2。2领先于0≤ E[hVT+q·ET，ZTi]≤ x+E[h（q·ET，\'0），ZTi]，Z∈ Zs，这就完成了证明。If（x，q）∈ B、 定义FT随机变量g，-q·ET≥ -ζPNi=1 | EiT |，此处wζ=max1≤我≤N|qi |。根据假设2.2，引理2.1，存在一个常数a>0，对于每一个S，存在一个（g+Xmax，S，\'0）∈ L（^KT）。此外，我们还有E[gZT]=E[-q·ETZT]≤ x=h（x，\'0），Zi，Z∈ Zs。外稃2。3保证存在可接受的投资组合^V=（x，\'0）和^VT- （g，\'0）∈L（^KT）。因此，我们有^VT+（q·ET，\'0）∈ L（^KT）和V∈ H（（x，\'0，q）），这验证了 引理3.3的证明。设置)ct=ct- F（c）并由此得出Ct=zeRt（δv-αv）dv+~ct+ZtδseRts（δv-αv）dvcsds。表示wt，eRt（δvαv）dv。

根据富比尼-托内利定理，我们可以推导出ehztctztdti=zEhZTwtZtdti+EhZT~ct+ZtδseRts（δv-αv）dvcsdsZtdti=zEhZTwtZtdti+EhZT~ctZtdt+ZTδs~csZTseRts（δv）-αv）dvZtdtdsi=zEhZTwtZtdti+EhZTctZtdt+ZTδtctehzttrst（δv-αv）dvZsdsFtidti=ZEHZTWTZTDI+EhZTΓtdti。（6.17）根据（6.17）中的类似计算，我们还得到了ehztwtdti=EhZTΓwtΓtdti。最后，通过ΓT的定义观察到ZT=ΓT，因此E[q·ETZT]=E[q·ETΓT]，从而完成了证明。引理3.4的证明。对于任何（x，q，z）都足以证明这一点∈ RN+2，我们有一个（x，q，z）6=当且仅当（6.18）x+E[q·ETZT]- zEhZTeRt（δv）-αv）dvZtdti≥ 0代表所有Z∈ Zs。如果A（x，q，z）6=, 根据其定义，存在一个^c∈ L+这样对于任何Z∈ zs和任何Γ∈调频0≤ EhZTΓctΓtdti≤ 十、- zEhZTwtΓtdti+E[q·ETΓT]=x- zEhZTeRt（δv）-αv）dvZtdti+E[q·ETZT]，因此（6.18）的适用性很小。另一方面，如果（6.18）成立，选择ct就足够了≡ 0∈A（x，q，z），完成了证明。6.3. 第4节主要结果的证明。定理4.1的证明分为以下几个结果。对于向量p=（p，p，…，pN）∈ RN+1，我们表示Zs（p）的子集，使得∈ Zs（p），EhZTeRt（δv-αv）dvZtdti=p，E[EiTZT]=pi，1≤ 我≤ N.将集合P定义为L与超平面y的交点≡ 1.给定p∈ P、 我们还可以定义辅助集Fm（P），nΓ∈ L+：Γt=Zt+δtEhZTteRst（δv-αv）dvZsdsFti，T∈ [0，T]，Z∈ Zs（p）o。因此，EhRTΓwtΓtdti=pand E[EiTΓT]=pi，1≤ 我≤ N为所有人Γ∈fM（p）。引理6.4。在所有理论假设下。1.当且仅当ifp时，setfM（p）不为空∈ 尤其是，[P∈PfM（p）=fM。证据定义集合P′，{P∈ RN+1:fM（p）6=}. 有必要验证P=P′。根据[16]引理8的证明，很容易显示方向P P′。对于另一个方向，让p∈ P′（x，q，z）∈ clL和Γ∈fM（p）。

我们声称存在c∈eA（x，q，z）使得P[~c>0]>0。然后得出0<EhZTctΓtdti≤ x+(-z、 q）·p.因为（x，q，z）是从clL中任意选择的，所以我们得到p∈ P.我们现在开始证明索赔成立。选择任意（x，q，z）∈ clL，表示随机变量Φ，-zRTeRt（δv）-αv）dvdt+q·ET.引理3。4导联tox+E[h（Φ，\'0），ZTi]≥ 0, Z∈ Zs，产生thatx+infZ∈ZsE[h（Φ，\'0），ZTi]≥ 0.通过定义ofeA（x，q，z）和引理3的证明。3，如果所有元素c∈eA（x，q，z）满足c≡ 0，我们可以推断出一个^Z的存在性∈ z使得x+E[h（Φ，\'0），^ZTi]=0。这意味着E[h（Φ，\'0），^ZTi]=在fZ中∈ZsE[h（Φ，\'0），ZTi]。然而，根据Theorem2的证据。[30]的第11部分和假设3.2的第（i）部分，我们可以推导出f或任何Z∈ ZsinfZ∈ZsE[h（Φ，\'0），ZTi]<E[h（Φ，\'0），ZTi]<supZ∈ZsE[h（Φ，\'0），ZTi]，这是一个矛盾。引理6.5。让p∈ P、 我们有FM（P）eY（1，p）。证据结果由引理3直接跟随。1和定义主任（p）。引理6.6。在定理4.1的所有假设下，对于任何（x，q，z）∈ 五十、 非负随机变量c∈ L+(Ohm ×[0，T]）属于a（x，q，z）当且仅当（6.19）EhZTΓctΓtdti≤ x+(-z、 q）·p，P∈ P和Γ∈fM（p）。证据如果c∈不等式（x.6）和引理（x.6）紧随其后。另一方面，对于任何c∈ L+(Ohm 所以（6.19）成立，我们有supΓ∈fMEhZTctΓtdt+zZTeRt(-αv）dvΓtdt- q·ETΓTi=支持∈PsupΓ∈fM（p）EhZTΓctΓtdt+zZTeRt(-αv）dvΓtdt- q·ETΓTi=支持∈PsupΓ∈fM（p）EhZTΓctΓtdti+（z，-q） ·p≤ x、 这是定义a（x，q，z）的结果，即∈eA（x，q，z）。提议6.1。在定理4.1的所有假设下，族（eA（x，q，z））（x，q，z）∈土地（y（y，r））（y，r）∈r具有以下性质：（1）对于任意（x，q，z）∈ 五十、 se teA（x，q，z）在L中包含一个严格正的随机变量+(Ohm ×[0，T]）。

非负随机变量c∈ L+(Ohm ×[0，T]）属于a（x，q，z）当且仅当（6.20）EhZT~ctΓtdti≤ xy+(-z、 q）·r，（y，r）∈ R和Γ∈eY（y，r）。（2） 对于任何（y，r）∈ R、 seteY（y，R）在L中包含一个严格正的随机变量+(Ohm ×[0，T]）。非负随机变量Γ∈ L+(Ohm ×[0，T]）属于y（y，r）当且仅当（6.21）EhZT~ctΓtdti≤ xy+(-z、 q）·r，（x，q，z）∈ L和c∈eA（x，q，z）。证据我们首先证明断言（1）成立。为此，我们选择（x，q，z）∈ L.因为L是一个开集，所以有一个常数λ>0，这样（x- λ、 q，z）∈ L.L et＠c∈eA（x）- λ、 q，z），因为wt=e-对于t，Rtαvdv>0∈ [0，T]，对于任何Γ∈fM，我们得到了≤ 十、- λ - zEhZTΓwtΓtdti+E[q·ETΓT]。根据假设3。2，让常数β，supZ∈ZsEhRTeRt（δv）-αv）dvZtdti<∞ 对于所有t，定义过程ρt，λβ~wt>0∈ [0，T]。无论如何∈fM，它遵循着ehztρtΓtdti≤ EhZT（~ct+ρt）Γtdti≤ 十、- λ - zEhZTΓwtΓtdti+E[q·ETΓT]+λβEhZTΓwtΓtdti≤ 十、- λ - zEhZTwtΓtdti+E[q·ETΓT]+λ≤ 十、- zEhZTΓwtΓtdti+E[q·ETΓT]。严格正随机变量ρ的存在性∈eA（x，q，z）是定义FEA（x，q，z）的结果。假设（6.20）在一定程度上保持不变∈ L+。作者：Lemm a6。5.我们有∈fM（p）eY（1，p）代表allp∈ 因此，（6.19）成立，通过艾玛6.6，我们得到∈eA（x，q，z）。相反地，让c∈eA（x，q，z），不等式（6.20）后面是y（y，r）、（y，r）的定义∈ R.对于断言（ii）的证明，作为键（y，R）=eY（ky，kr）f或所有k>0和（y，R）∈ R、 对于某些p，考虑（y，R）=（1，p）的情况是很有必要的∈ P.严格正解的存在性∈ Zs（p）意味着严格正Γ的存在∈fM（p）。

外稃6。5再次暗示Γ∈eY（1，p）代表p∈ P.第二部分直接来自于Ey（y，r）的定义。定理4.1的证明。一旦我们在命题6中得到抽象的两极结果。在假设2.1、2.2、2.3、3.1和3.2下，证明严格遵循了[32]中定理4.1和4.2的论点。推论4.1的证明。如果这个过程*t（y，r）=Γ*t（y，r）- δtEhZTtΓ*s（y，r）eRst(-αv）DVDfti是一个严格正鞅，利用Fubini定理和tower性质，可以很容易地证明Γ*t（y，r）=y*t（y，r）+δtEhZTteRst（δv-αv）dvY*s（y，r）dsFti，T∈ [0，T]。此外，由于δ和α都是常数，通过改变条件期望和积分的顺序，我们得到了Γ*t（y，r）=y*t（y，r）1+δZTte（δ-α） （s）-t） ds=Y*t（y，r）δδ-αe（δ）-α） （T）-（t）-αδ-α, δ6=α，Y*t（y，r）1+δ（T）- （t）, δ = α.对于对数效用函数U（t，x）=logx，我们有I（t，x）=x，因此是rem4的（v）部分。1意味着最优消费策略由（4.5）明确给出，相应的最佳习惯形成过程由（4.6）明确给出。理论第四部分。1也意味着ehztc*t（x，q，z）Γ*t（y，r）dti=EhZT1dti=t=xy+(-z、 q）·r.此外，推论4的断言（i）。1是显式公式（4.6）的直接结果。对于断言（ii），如果α=0，我们得到C*t（x，q，z）=zeδt+Y*t（y，r）eδ（t-t） +δeδ（t）-T）中兴通讯*s（y，r）ds。自从*（y，r）是严格正的，很明显，如果贴现因子δ或时间范围足够大，右侧的第二项和第三项将足够小，并且Zδ将是领先项。因此，c*t（x，q，z）≈ 就时间t而言，这是一个递增的过程。

同样，我们可以得出结论，最优消费过程满足棘轮约束。对于断言（iii），如果δ- α ≥ 0，很明显C*t（x，q，z）Y*t（y，r）=（ze（δ-α） 泰*t（y，r）+δ-α（δe（δ-α） （T）-（t）-α） +Rt（δ）-α） Y*t（y，r）y*s（y，r）δe（δ-α） （t）-s） （δe（δ-α） （T）-（s）-α） ds，δ>α，zY*t（y，r）+1+δ（t-t） +Y*t（y，r）RtY*s（y，r）δ1+δ（T）-s） ds，δ=α。就像我一样*t（y，r）是一个m-artin-gale，很容易得出乘积c*t（x，q，z）Yy，rti是一个子鞅。如果我们有*（y，r）=1，通过定义测量的等效概率q*dP=Y*T=Γ*T（y，r），最佳消耗过程c*（x，q，z）是测度q下的子鞅*. 在δ=α=0的特殊情况下，即习惯形成过程保持恒定的初始习惯z，过程C*（x，q，z）Y*（y，r）是鞅。再说一次，如果*（y，r）=1，在概率测度Q下，最优消费过程为amartingale*. 此外，根据显式公式（4.5），如果我们有*（y，r）=1，很明显，初始消耗量由（4.7）给出。因此，断言（iv）成立。6.4. 第5节主要结果的证明。命题的证明。1.如果过程δt- α是时间t的确定函数，（3.11）中给出的辅助对偶集Fm的定义可以显著简化为Fm=nΓ∈ L+：Γt=ZtGt，T∈ [0，T]，Z∈ Zso，其中工艺（Gt）t∈[0，T]在（5.2）中定义。等价地，外稃3。3可以根据SCPS Z重写∈ Zsby\'A（x，q，z）=nc∈ L+：EhZTctGtZtdti≤ 十、- zEhZTwtGtZtdti+E[q·ETGTZT]，Z∈ Zso。回想一下，ZST是基础资产（St）t的所有SCP的集合∈[0，T]的交易成本为∧，且A（x，q，z）是所有辅助过程（~ct）T的集合∈[0，T]我们定义了没有习惯形成的辅助效用最大化问题。

命题3。1，即消费预算约束表征，意味着过程（~ctGt）t∈[0，T]是同构市场中具有相同非衍生资产（St）T的可融资消费过程∈[0，T]和交易成本∧以及初始财富x和ran dom捐赠NT=-zRTwtGtdt+q·ETGT。根据（Gt）t的定义∈[0，T]，我们注意到GT=1，因此，可以将NT简化为NT=-表示所有同构消费过程的集合∈ [0，T]，其中c∈\'A（x，q，z），辅助时间可分离效用最大化问题等价于^u（x，q，z）=sup^c∈^A（x，q，z）EhZTU（t，^ctGt）dti，其中外部过程（Gt）t∈[0，T]可以被视为一个贴现过程或一个数值过程，并且证明是完整的。推论5.1的证明。让我们考虑对数效用函数U（t，x）=logx。显然，效用最大化问题（5.1）在^c上∈^A（x，q，z）相当于^u（x，q，z）=sup^c∈^A（x，q，z）EhZTlog（^ct）dti- EhZTlog（Gt）dti。它进一步等价于随机禀赋NTπ（x，q，z）=sup^c的同质市场模型中消费的标准效用最大化问题∈^A（x，q，z）EhZTlog（^ct）dti。推论5.2的证明。支持外部过程（Gt）t∈[0，T]是G=1，引理为3的鞅。3导致A（x，q，z）=nc∈ L+：EhZTctGtZtdti≤ 十、- zEhZTwtGtZtdti+E[q·ETGTZT]，Z∈ Zso=nc∈ L+：EhZTctZtdtGTi≤ 十、- zEhZTwtZtdtGTi+E[q·ETZTGT]，Z∈ Zso=nc∈ L+：E^PhZTctZtdti≤ 十、- zE^PhZTwtZtdti+E^P[q·ETZT]，Z∈ Zso，其中d^PP=GT。

然而，我们从定义中知道，GT=1和之前的^P=P给出了所有辅助过程（6.22）\'A（x，q，z）=n~c的模拟特征∈ L+：EhZTctZtdti≤ 十、- zEhZTwtZtdti+E[q·ETZT]，Z∈ Zso。值得注意的是，num’eraire流程（Gt）∈[0，T]在对原始集合A（x，q，z）的定义中消失。让我们考虑股票价格（St）t的同构市场模型∈[0，T]和交易成本∧和随机捐赠RT=-zRTwtdt+q·ET.命题3。1意味着每个（~ct）t∈[0，T]是（x，RT）-可融资的消费过程。因此，辅助问题变成了一个标准的效用最大化的消费与你的习惯形成，我们有相等的u（x，q，z）=sup＠c∈\'A（x，q，z）EhZTU（t，ct）dti，其中\'A（x，q，z）是市场上所有（x，RT）可融资消费流程的集合，具有相同的资产流程（St）t∈[0，T]和交易成本∧，这就完成了证明。感谢：作者感谢副主编和匿名推荐人对本文的介绍所做的批评性评论和有用的建议。参考资料。[1] G.Benedetti和L.Campi。具有比例交易成本和随机捐赠的多元效用最大化。暹罗J.控制优化。，50(3):1283–1308, 2012.[2] J·Y·坎贝尔和J·H·科克伦。习惯的力量：基于消费的股市行为解释。《政治经济学》，107:205–251，1999年。[3] L.Campi和W.Schachermayer。卡巴诺夫交易成本模型中的一个辅助复制定理。财务部。斯托克。，10:579–596, 2006.[4] G·M·康斯坦丁尼德斯。习惯形成：解决股权溢价之谜。工作文件系列。芝加哥大学商学院证券价格研究中心，1988年。[5] F.德尔班和W.沙切迈耶。资产定价基本定理的一般版本。

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