ζ ∈ [T]-ro，T]×Bro（so，po）和x∈\'B\'ro（xo）o，\'φ（·s，p）：（t，s，p，x）∈ D×r7-→ 有限公司|s- s|+|p- p |+| x- θ（t，s，p）|.回顾（5.52）和假设3.3，我们可以为每一个定义∈ （0，o]，光滑函数ψ：=v+φ，带φ：（t，s，p，x）∈ D×r7-→ κT- tT- t+’φ（t，s，p，x；s，p）。由v的上半连续性*, 我们从（5.53）和（5.55）推导出v*- ψ关于Boa局部最大化子（~ζ，~x）∈ 博，每一次∈ （0，o），以及*（~ζ，~x）≥ κ.根据上面使用的论点，这意味着▽ζ∈ D<t所有∈ （0，o）在可能选择一个子序列之后。第2步：我们现在展示（ξζ（~ζζ，~x））∈（0，o]一致有界∈ （0，o）.前面的步骤和定理m 2.1意味着-（LSX+LP |SX）ψ；-+1+ψx；-- 1.- ψxo（~ζ，~x）≤ 0.（5.56）基于梯度约束的简单计算-2co≤ ξζ（)ζ，)x）≤2co。（5.57）第三步：我们现在可以总结证据了。我们∈ （0，o]并关注（5.56）中的二阶算子。由（5.54）可知，ψp（~ζ，~x）≥ ι>0，在可能改变o之后。因此，Lemma 5.4的步骤2和（i）暗示-πpp（πp）σξ- H- L^aX|SP+R（~ζ，~x）≤ 0，在哪里∈（0，o]|R|（|ζ，x）∞. 回顾（5.57）以下事实：∈ （0，o]）是有界的，我们最终推断出κT- ≤πpp（πp）σ4co+H+L^aX|SP\'\'φ（·s，p）+R~ζ，~x≤ C为所有人∈ （0，\'o]，对于某些常数C>0（与无关）。作为t→ T，我们得到一个反导数。6第一修正方程的明确解析在本节中，我们证明了L emma 3.4。我们遵循[53]的步骤。也就是说，我们寻求一阶方程（3.7）的解，在边界ξ=0处附加一个条件。我们确定ζ∈ 然后简单地写（ξ） 因为(ζ, ξ).

我们记得我们是在假设3.3下工作的。寻找这种形式的解决方案是很自然的(ξ) =kξ+kξ+kξξ≤ ξ ≤ ξ,-ξ+kξ≤ ξ、 ξ+kξ≥ ξ、 对于一些实数k，k，k，k，k，和ξ≤ ξ. 由于四阶多项式解二阶方程，我们发现：-πppδ（πp）和k=hσδ。（6.1）如果我们现在假设ξ在ξ和ξ点是连续的，我们有12k（ξ）+2k=12k（ξ）+2k=0，也就是说（ξ）=（ξ）=2hσ×πp）πpp，通过πpp>0的事实，这意味着≥ 0和^ξ：=ξ=-ξ=hσ×πpπpp！。现在假设ξ在点ξ处是连续的，ξ导致4k（^ξξ）+2k^ξξ+k=1，-4k（^ξ）- 2k^ξξ+k=-1，（6.2）其中g=k=0。将（6.1）替换为（6.2），-πppδ（πp）（^ξ）+6hσΔ^ξ=3。因为，通过上面的，h=σπpp2（πp）（^ξξ），（6.3）我们得到了^ξξ=δ（πp）πpp！。（6.4）通过假设 在ξ和ξ点。将上述条款汇总在一起，我们最终获得(ξ) =-^ξξξ+^ξξξ-^ξξ ≤ ξ ≤^ξξ ,-ξ -^ξξξ ≤ -^ξξ ,ξ -^ξξξ ≥^ξξ .（6.5）引理3.4中所述的剩余性质在假设3下是直接的。3.7验证示例中的假设在本节中，我们提供命题4.3和4.5的证明。我们还解释了如何构造一个显式的几乎最优策略。7.1指数情况我们在这里提供了4.3的证明。命题4.3的证明首先请注意（4.3）与假设4.2一起构成假设3.3。在假设4.2的b有界条件b下，函数h是有界的，见（4.4）。

因此，（4.7）中定义的地图是有界的。此外，标准ar guments表明，在多项式增长的函数类中，上述方程的粘性解Sense比较成立，见[18]。然后，假设3.6将成立，如果有一个证明存在C>0这样的0≤ u（ζ，x）≤ C（1+| x |）表示所有（ζ，x）∈ D×R和∈ （0,1]，（7.1），其中左侧不等式已经是备注5.2的结果。这也意味着假设3.2。以下论点旨在证明（7.1）的右侧不等式。第一步。我们限制为0<≤ 1.集ψ（t，s，p，x）：=v（t，s，p，x）+ o ξξ（t，s，x）表示（t，s，p，x）∈ D×R，（7.2）其中 是第6节构造的（3.7）的解，但δ=σ=1和πp/πpp=1。以后使用时，请注意它采用非负值。我们用71ξξ表示对应的^ξξ，用71h表示对应的h。然后，71ξξ和71h是常数，并且仅取决于ξ。让我们也来定义一下：=-σDψπp=ηpσ(θ - x） （1）- ξo ξξ) + ξo ξξ(λση- s′πss）-λσηandJ：={（t，s，x）∈ [0，T]×（0，∞) ×R:-ˇξ（t，s）<ξ（t，s，x）<ˇξ（t，s）}={（t，s，x）∈ [0，T]×（0，∞) ×R:-ξ（t，s）<x- θ（t，s）<ˇξ（t，s）}，（7.3）回忆命题4.1和（4.5）。引理3.4允许我们用函数来描述这个域的边界:J±=ξξ= ˇξξ {ξo ξξ= 1}. （7.4）为了以后使用，请注意假设4.2意味着（t，s，x）∈ J==>|x|≤ CKand | p-1^a（t，s，x，p）|≤ 所有病例均p<0.05, （7.5）式中，Ck表示从现在起，在一个通用的正常数上，dep仅在假设4.2中的常数K>0上结束，这可能会随着行的变化而变化。我们现在在J的结束中确定了（to，so，xo）。一般情况将在证明的最后一步讨论。

我们将（X，L）定义为以下问题的解决方案：X=xo+Z·toXτdSτSτ+Z·todL+τ-Z·托德尔-τ、 （·，S，X）∈ Jdt dP-a。E在[to，T]上，L±=Z·toχ{（τ，Sτ，Xτ）∈J±}dL±τ，（7.6），其中S=Sto，so和L=L+- L-其中L+，L-是持续的，不减损的。为了证明上述方法是可行的，我们首先要观察第4.2条的结论，即我们无法找到κ∈ R如此-ˇξ+θ>κ在[0，T]×（0，∞). 因此，当且仅当X满足上述条件时，过程X满足上述条件- κ>0，在这种情况下x- κ=（xo）- κ） 经验Z·t（u）-σ） dτ+Z·tdWτ+Z·tdL+τ-Z·tdL-τ在[to，T]上，带d\'L±=dL±/（Xτ）- κ). 因此，解决（7.6）相当于找到Skorohod问题的解（\'X，\'L）\'X=ln（xo- κ） +Z·t（u）-σ） dτ+Z·tdWτ+Z·tdL+τ-Z·tdL-τ、 U-≤“X≤ U+dt ln=τ-dL，-κ+（±ˇξ+θ）（·S）.从[39，引理6.14]中可以看出，解的存在性，参见构造性证明。我们接下来将（Y，P）定义为Y=yo的解-Z·to（1+）dL+τ+Z·t（1）-）dL-τ、 P=po+Z·to^a（τ，Sτ，Pτ，Xτ）dWτ，（7.7），其中po<0，yo:=ψ（to，so，po，xo）+c，对于某些c>0，将在以后选择。（7.7）的唯一强解的存在性遵循fr om（7.5），即过程Pisa鞅。第二步。现在我们把它的^o引理应用到ψ上。

^a的定义和上述动态导致了toYT- ψ（T，ST，PT，XT）=c-中兴通讯LSX+LP | SXψ（τ，Sτ，Pτ，Xτ）dτ-中兴通讯（1+）+ψx（τ，Sτ，Pτ，xτ）dL+τ+ZTto(1 - ）+ψx（τ，Sτ，Pτ，xτ）迪勒-τ≥ C-中兴通讯LSX+LP | SXψ（τ，Sτ，Pτ，Xτ）dτ- ZTto[1+1]ξo ξξ（τ，Sτ，Xτ）]dL+τ+ZTto[-1 + ˇξo ξξ（τ，Sτ，Xτ）]dL-τ.接下来，我们将讨论（7.4）和L+，L的特征-在（7.6）中，为最后一个表达式提供lowerbound:YT- ψ（T，ST，PT，XT）≥ C-中兴通讯LSX+LP | SXψ（τ，Sτ，Pτ，Xτ）dτ=：c- E。（7.8）我们首先考虑左侧项。ψ的定义及恒等式v（T，s，p，x）=g（s）- 十、-ηln(-p） ，见提案4.1，铅玩具T+l（XT）- g（ST）+ηln(-PT）≥ YT- ψ（T，ST，PT，XT）+ψ（T，ST，PT，XT）+l（XT）- g（ST）+ηln(-PT）≥ YT- ψ（T，ST，PT，XT）+ o ξξ（T，ST，XT）-XT |。还记得吗 ≥ 0.我们也从（7.5）和（7.6）中知道| XT |≤ CK。因此，我们从上面得出：l（XT）- g（ST）+ηln(-PT）≥ YT- ψ（T，ST，PT，XT）- 对。（7.9）我们现在考虑（7.8）中的右边项。因为πp>0和ˇ 不要依赖于p，可以应用引理5.4的展开式。这意味着E=ZTtoσηξ（τ，Sτ，Xτ）+σδ（ˇξξo ξξ（τ，Sτ，Xτ）+R（τ，Sτ，Pτ，Xτ）dτ（7.10），其中φ=0和w:=ˇ的映射R由（5.13）给出.基于假设4.2条件b的直接计算，^a和π的具体形式，以及（7.5）导致|R≤ 关于J的关闭，因此：|R（·S，P，X）|≤CK。从假设4.2、（4.4）和（7.3）也可以得出|ξξ（·S，X）|≤ CK。最后（6.5）为参与定义G 为剩余期限提供统一基金。因此| E|≤ CK。（7.11）组合（7.8）、（7.9）和（7.11）导致toYT+l（XT）- g（ST）≥ C-ηln(-PT）- 对。（7.12）回想一下，CKD只依赖于K，而不依赖于c。

因此，我们可以选择c=（CK+1），并从前面的不等式中得到ψ（YT+l（XT）- g（ST））≥ 佩特-η，所以e[ψ（YT+l（XT）- g（ST））]≥ 爱伦·坡-η（7.13），因为P是一个马尔廷格尔。第三步。请注意，策略L不满足受理条件（2.3）。然而，在下面的第4步中，我们克服了这一问题，将L替换为适当停止的a（参见定义（7.15））。为了实现这一目标，我们首先在下面证明，latterinequality意味着SUPL∈L（to，so，yo，xo）EΨ(，L）> po，（7.14），其中我们通过设置，L:=Yto，yo，，LT+l（Xto、xo、so、LT）- g（Sto，soT）。因此，yo=v（to，so，po）+ o ξξ（to，so，po，xo）+（CK+1）≥ v（to，so，po，xo），因此u（to，so，po，xo）=-2（v- v） （致so po xo）≤ ˇ o ξξ（to，so，po，xo）+（CK+1）。回想一下假设4.2意味着 o ξξ在x中呈线性增长，在其其他变量中呈均匀增长，在0<中呈线性增长≤ 1，见备注3.5。后者导致了7.1的右手侧。第四步。我们现在证明我们的索赔（7.14）。回顾（7.5）和g有界的事实，（7.12）意味着yT+l（XT）≥ -CK-ZTtoγτdWτ，对于满足|γ|的一些可预测过程γ≤ 所有0<0≤ 1.然后，从[36]thay+l（X）≥ -CK- 等式[ZTtoγτdWτ| F·]≥ -CK+M，其中M=-R·toγτdWτ满足Ehe2ηsup[to，T]|Mi≤ CK。给定k≥ CK，我们现在用τk表示第一次，在这样的Y+之后l（X）=-k、 SetL，k:=L·∧τk.（7.15）那么，L是连续的，L，k∈ L（to，so，yo，xo）代表所有k≥ 1.此外，由于ψ≤ 0,Ψ(，L）- Ψ(，L，k）≤ -Ψ(-k） 1{τk≤T}≤ -Ψ(-k） 1{sup[to，T]|M|≥K-CK}。我们接下来使用（7.13）和马尔可夫不等式来获得PoE-η≤ Ehψ(，Li≤ Ehψ(，L，k）i-Ψ(-k） CK/e2ηk=Ehψ(，L，k）i+ck-ηk.那么，takingk:=-η-1lnpo（e）-η- 1） /CK+ 1（7.16）导致（7.14），回想一下po<0。第五步。

还有待解释如何考虑一般情况（to，so，xo）∈ [0，T]×（0，∞) x R.首先注意，即时转移允许从初始位置（yo，xo）传递到（y′o，x′o），其中y′o:=yo+l（xo）- x′o），（7.17）x′o:=xo+[-ξ（to，so）+θ（to，so）- xo]+- [xo]- ˇξ（to，so）- θ（to，so）]+。（7.18）在备注5.1中，一个hasv（to，so，po，xo）≤ v（to，so，po，x′o）+x′o- xo+| xo- x\'o|≤ v（to，so，po，x′o）+x′o- xo+（CK+|xo |），其中最后一个不等式来自假设4.2。因此，（v- v） （致so po xo）≤ （v- v） （to，so，po，x′o）+xo- x′o+x′o- xo+（CK+| xo |）≤ （v- v） （to，so，po，x′o）+（CK+|xo |）。由于（to，so，x′o）属于J的闭包，我们可以应用前面步骤的分析来得出结论。上述论点的一个副产品是显式构造了一个策略y L，它对于交易成本问题是O（）-最优的。根据假设4.2中的常数K，可以恢复下列命题中的常数K。提议7.1。让命题4.3的条件成立。然后，存在一个常数CK>0，因此以下条件成立：Fix（to，so，xo，po）∈ [0，T]×（0，∞) ×R×(-∞, 0),  ∈ （0，1），letyo:=ψ（to，so，po，xo）+（CK+1），其中ψ定义为（7.2），（y′o，x′o）定义为（7.17）-（7.18），L，kbe通过（7.6）-（7.15）-（7.16）的解给出初始条件（to，so，x′，y′，和Lo:=Lk+x′- xo，thenEhψ(，Lto，所以，哟，xo）我≥ po和yo=v（to，so，po，xo）+O（）。（7.19）证据。我们首先证明了（7.19）的左侧不等式。当（to，so，xo）属于（7.3）中定义的J的结论时，则（x′o，y′o）=（xo，yo），这是命题4.3证明中构造的直接产物。

一般情况如命题4.3证明的第5步所述，注意到ψ（to，so，po，xo）=ψ（to，so，po，x′o）+x′o-xo+| xo-x′o |=ψ（to，so，po，x′o）-l（xo）-命题4.1和（6.5）。为了证明（7.19）中的右侧身份，必须使用命题4.3和回忆（6.5）：（ψ）- v）（to，so，po，xo）=（ψ）- v） （to，so，po，xo）+（v）- v）（to，so，po，xo）=O（）。在一个额外的正则条件下，可以得到一个在前导阶处最优的策略。提议7.2。让命题4.3的条件成立。进一步假设| sδss |≤ 那么，这里存在CK>0，这样就成立了：Fix（to，so，xo，po）∈ [0，T]×（0，∞) ×R×(-∞, 0),  ∈ （0,1），setyo:=（v+u+u） o ξξ（to，so，po，xo）+（CK+1），让（y′o，x′o）定义为（7.17）-（7.18），用^ξξ代替（7.6）-（7.15）的解给出的ˇξ，L，kbe，用ˇξξ代替ˇξ和叉：-η-1lnpo（e）-η- 1） /CK+ 1和初始条件（to，so，x′o，y′o），并设置L：=L，k+x′o- xo，thenEhψ(，Lto，所以，哟，xo）我≥ po和yo=v（to，so，po，xo）+O（）。证据我们只是简单地描述一下这个证明，因为它是对命题7.1的证明的一个简单的改编，另请参见下面命题4.5的证明。我们逐行遵循命题7.1证明的论点，但用ψ定义ψ和j：=v+^u+ o ξξ，J：={（t，s，x）∈ [0，T]×（0，∞) ×R:-ξ（t，s）<ξ（t，s，x）<ξ（t，s）}。^u是（3.5）的经典解，而 解（3.7）意味着（7.10）isE=ZTtoR（τ，Sτ，Pτ，Xτ）dτ的计数器，其中R由φ=u和w的（5.13）给出. 观察到（7.5）仍然有效，因为^u和 依靠p和s^usand sso ξξ′J是有界的。

在我们的附加假设下，很容易从引理5.4的证明（见5.13）中检查| E|≤ CK：sδssis有界的附加假设允许控制TERML 在R中，而其他术语受假设4.2的约束。7.2动力案例我们现在提供命题4.5的证据。由于它非常接近于第4.3条的建议，我们将重点放在差异上。命题4.5的证明。我们只展示了，对于任何紧子集Bo(-∞, 存在co，o>0，使得u（ζ，x）≤ 所有（ζ，x）的co（1+x）∈ [0，T]×（0，∞) ×Bo×R，∈ （0，o]（7.20）从现在开始，我们将定义一个紧凑的子集 (-∞, 0). 我们还发现了另一个严重的挫折 (-∞, 0）以至于Bo Int（B），用CB>0表示一个最多依赖于B的通用常数，它可能会随着行的变化而变化。稍后会很清楚，B可以根据Bo选择。第一步。我们首先从（4.9）推导出，对于（t，p）∈ [0，T]×(-∞, 0）一个人有θ（t，p）=λm（t）σ（1+β）(-p）-β、 δ（t，p）=θ（t，p）（λσ（1+β）- 1） ，^a（p）=λββ+1(-p） h（t，p）=σπpp（πp）（t，p）^ξ（t，p），^ξ（t，p）=δ（t，p）（πp）πpp（t，p）.（7.21）让(, h） 定义为引理3.4，注意(（·，ξ），h）只依赖于p，对于ξ∈ R.设^u为（3.7）的解。从（7.21）中不难推断出一个hasf（t，p）=f（t，-1)(-p）-β与f（·，-1) ∈ C∞b（[0，T]），f∈ {θ，δ，^ξ，h，^u}。（7.22）我们设置ψ=v+^u+ o ξξ，^a：=-σDψψp，and j：={（t，p，x）∈ [0，T]×(-∞, 0）×R:-ξ（t，p）<ξ（t，p，x）<ξ（t，p）}。（7.23）我们现在在J的损失中确定（to，so，xo），一般情况在命题4.3的证明的步骤5中处理。我们让阿宝∈ B andyo:=c+ψ（to，so，po，xo），（7.24），对于某些c>0的情况，以后再选择。

我们下一步将（Y，X，S，L，P）定义为命题4.3的证明，但带有(,^ξ）代替（ˇ,（ξ），即P=po+Z·to^a（τ，Sτ，Pτ，Xτ）dWτ，X=xo+Z·toXτdSτSτ+Z·todL+τ-Z·托德尔-τ、 （·，P，X）∈ Jdt dP-a.e.o n[to，T]，L±=Z·toχ{（τ，Pτ，Xτ）∈J±}dL±τ，（7.25）andY=yo-Z·to（1+）dL+τ+Z·t（1）- ）dL-τ、 yo:=c+ψ（to，so，po，xo）。我们声称存在一个解，对于所有的q>0，存在CqB>0，它仅限于B和q，因此∈（0,1]E“支持∈[t，t]|Pt|q+|Pt|-Q#≤ CqB。（7.26）这将在下面的步骤3中得到证明。自^u以来， ≥ 0，且^u不依赖于x，与命题4.3的证明步骤2中的参数相同，导致toY+l（X）≥ c+ψ（·S，P，0）- E（·）≥ c+v（·，S，P，0）- E，（7.27）其中E:=X|+Z·toσπpp（πp）ξξ+σδ(ξξo ξξ）+H^u+R（τ，Xτ，Pτ）dτ=X|+Z·toR（τ，Sτ，Pτ，Xτ）dτ，其中第二个等式来自以下事实： 因此，lve（3.5）和（3.7）分别为φ：=^u和w:=. 观察定义R的所有函数都是p变量的幂乘以，至少乘以。此外，X的定义与（7.23）和（7.21）相结合意味着X也由| P中的多项式控制。也就是说，我们可以发现qβ，Cβ>0，这只依赖于β，因此-1Ztto | R（τ，Sτ，Pτ，Xτ）|dτ+|Xt |≤ Γt:=Cβsup[to，t]（1+| P）|-qβ+| Pqβ），t∈ [to，T]。（7.28）我们现在取c=35/2。自从v≥ -κ、 （7.27）暗示l（X）≥ -κ + 25/2+ 5/2(1 - 1/2Γ).让τ成为第一次，这样Y+l（X）等于5/2- κ. 我们让（~Y，~X）受到我们遵循的策略的约束，即继续[to，τ[a]并在τ处平仓，即（~Y，~X）=（Y，X）1[[to，τ]∧T[[+（Yτ）∧Tl（Xτ）∧T） ）1[[τ]∧T、 [T]]。请注意，此策略在构造中是可接受的。设置一个：={ΓT≤ 1}.

结论A {τ≥ T}源于最后一个不平等和Γ是不减损的事实。然后我们得到了ψ（~YT+l（~XT））i≥ Ehψ（25/2+Φ（PT））1Ai- |Ψ(5/2- κ） |P[Ac]≥ E[PT]-E|PT|+ |Ψ(5/2- κ)|P[Ac]=po-E|PT|+ |Ψ(5/2- κ)|P[Ac]，（7.29），其中我们使用了P是（7.26）的鞅这一事实。我们现在呼吁（7.26）和（7.28）奥布坦|PT|≤ CB，|ψ（5/2）- κ） |=5β/2和P[Ac]≤ 6+5βE|ΓT|12+10β≤ 5βCB。综上所述，对于某些cB>0，这只取决于B，Ehψ（~YT+l（~XT））i≥ 阿宝- cB，因此，通过（7.24），我们的选择c=35/2，事实上， 满足（7.22）并且v在p，v（to，so，po）中不递减- ~cB，xo）≤ v（to，so，po，xo）+cB5/2，（7.30）对于某个常数cB>0，只有dep在B上结束。步骤2。因为CBD不依赖于po∈ B、 上述情况适用于任何p∈ B代替po。设置ι（p）：=p+p的5/2∈ 波，还记得那波吗 Int（B）。然后，0>ι（p）- ~cB=p+5/2- ~cB≥ p代表所有人p∈ 船和0<≤ B，对某些人来说B∈ （0，1）使得p+5/2B∈ B全部p∈ 波。至于剩下的证据，我们假设∈ 波。然后，（7.30）应用于ι（po）而不是po，并且v在p中不减少这一事实意味着v（to，so，po，xo）≤ v（to，so，ι（po）- ~cB，xo）≤ v（to，so，ι（po），xo）+cB5/2。我们现在使用（4.9）来获得v（to，so，po，xo）≤ v（to，so，po，xo）+5/2β-1米（至）|po+5/2B-β-1+cB5/2。这证明了（7.20）。第三步。这有待于证明我们的主张。利用下面的（7.22）和（6.5），我们得到了^a是J上的局部Lispchitz，并且存在一个函数f∈ C∞b（[0，T]）使得| a（T，p，x）|≤(-p） β+1m（t）+f（t）-σx+σxξo ξ（t，p，x）, （t，p，x）∈ [0，T]×(- ∞) 由引理3.4的（7.22）和（ii）可知| a（t，p，x）|≤ CK | p | for（t，p，x）∈ J（7.31），对于f和m足够小的。特别是，系统（7.25）的存在将自动暗示（7.26）。

对于ρ>0，设置Bρ=[-eρ，-E-ρ] 设^a，ρ为Lipschitz函数，使得^a，ρ=^aon[0，T+1]×Bρ×R和^a，ρ=0on[0，T+1]×Bc2ρ×R。通过在[T，T+1]上取它们的值，所有函数都扩展到[0，T+1]。集合Jρ：=（[0，T+1]×（B2ρ）c×R）∩ J是有界的，从[25]可以看出，存在一个强解（P，ρ，X，ρ）到（7.25），其中^a，ρ位于f^a的位置。设τρ是P到达Bρ边界后的第一次。forρ>|ln(-po）|，（X，ρ，P，ρ）在[to，τρ]上解（7.25）∧ [T]]。由（7.31）可知τρ∧ （T+1）收敛到T+1的概率为ρ→ ∞. 因此，在可能经过一个子空间nce（τρn）n之后≥1，它几乎必然收敛到T+1作为n→ ∞. 让我们设置（X，P）：=（xo，po）1{to}+Xn≥1] ]τρn-1∧T、 τρn∧T]]（X，ρn，P，ρn）与约定τρ：=T。因为（X，ρn，P，ρn）=（X，ρn+k，P，ρn+k）在[to，τρn∧T]]，对于所有k≥ 1，它在每个[[to，τρn]上求解（7.25）∧ [n]≥ 1.自（τρn）∧ （T+1）n≥1几乎可以肯定的是，T+1等于n→ ∞, （X，P）在[to，T]上解（7.25）。备注7.3。与命题7.1和命题7.2的证明中相同的论点表明，上述观点允许基于v，u， θ，满足Ehψ(，Lto，所以，哟，xo）我≥ poforyo=（v+^u+） o ξξ（to，so，po，xo）+C5/2=v（to，so，po，xo）+o（），其中C>0可以显式计算。附录我们给出了定理2.1、定理2.3和命题2.2的完备性证明。这些结果基本上是未知的，但我们的框架需要一些轻微的调整。定理2.1和2.3的证明：我们关注定理2.1的证明。理论2。3是通过将以下参数与[12]而不是[9]的结果相结合而得到的。[9]中的论点本身不能用于获得定理2.1，因为它们作为假设4在我们的上下文中可能不成立。

我们将解释brie fly如何修改它。首先，这并没有改变[9，推论2.9]中（GDP1）的证明，这反过来又通过与[9，第5节]中相同的参数得出了粘性上解性质。同样，只要[9，推论2.9]中所述的（GDP2）有效，就可以复制次解析性质[9，第5节]的证明。根据[9]，如果施加额外的约束Yt，y，，L，情况就是这样+l（Xt、x、s、L）≥ -c在[t，t]上，c>0固定，独立于控制L。然后，他们的固定假设4被满足，参见[36，引理3.3]，它在容许控制L上建立了一个统一的边界。然后，相应的值函数v，c满足其上半连续包络v，c*是{v，c上（2.7）的粘性子解，*（t，s，p，x）+l（x）>-c} ，由[9，第5节]提出。相关算子序列收敛到（2.7）中的一个，如c→ ∞. 根据粘度溶液的标准稳定性结果，参见例[4]，这意味着松弛半极限v，∞ *由v定义，∞ *（t，s，p，x）：=lim-sup（c，t′，s′，p′，x′）→(∞,t、 s，p，x）v，c*（t′，s′，p′，x′）是（2.7）的粘度亚溶液。注意，v，∞ *≥ v*通过单调性。逆不等式是否成立还有待检验。但L定义中的可采性约束意味着，对于所有ι>0的情况，我们可以找到cι>0，从而v，cι≤ v+ι≤ v*+ι.命题2.2的证明：让我们首先证明z>π（t，s，p）。然后，我们可以找到（θ，α）∈U×A使得ψ（Zt，s，z，θT-g（St，St））≥ Pt，p，αT.根据（2.6）之后的讨论，我们可以限制Pt，p，α在ψ的图像中取值，之前在Φ的定义域中取值。

因为Φ是非递减的，所以Zt，s，z，θT≥ G圣，圣+ΦPt，p，αT.然后，Φ的凸性和Φ′的事实o 我是身份的化身，s，z，θT≥ G圣，圣+ Φ o I（^qQt，sT）+Φ′o I（^qQt，sT）（Pt，p，αT- I（^qQt，sT））=g圣，圣+ Φ o I（^qQt，sT）+^qQt，sT（Pt，p，αT- I（^qQt，sT））。我们以Qt，s下的期望作为结论。因为Zt，s，z，θ是一个Qt，s-上鞅，作为一个从下面有界的局部鞅，而Pt，p，αa p-鞅，^q和Qt的定义，slead到y≥ γ+^q（p- p） =γ，其中γ表示（2.9）中的右侧项。这表明π（t，s，p）≥ γ.为了证明逆不等式成立，只需注意我们的可积性条件意味着我们可以找到θn∈ U（t，s，zn）使得zt，s，zn，θnT=Hn：=g（St，St）+Φo I（^qt，sT）∨ (-n） ，其中zn:=EQt，s[Hn]↓ γas n→ ∞. 然后，Eψ（Hn）- g（St，St））↓ EI（^qt，sT）= p、 由mo notone收敛和^q定义。参考文献[1]A.Altarovici，J.Muhle Karbe和H.M.So ne r.固定交易成本的渐近性。预印本，arXiv:1306.28022013。[2] C.阿特金森和S.莫哈维萨。考虑交易成本的多资产组合优化。应用数学金融，11（2）：95–123，2004年。[3] G.巴勒斯和H.M.索纳。具有交易成本的期权定价和非线性Black-scholes方程。《金融与随机》，2（4）：369-3971998。[4] G.巴勒斯和P.E.苏加尼迪斯。完全非线性二阶方程逼近格式的收敛性。作为症状分析，4:271–283，1991年。[5] 比丘奇先生。利用最优投资的渐近分析，对带有交易成本的或有债权债务进行定价。预印本，arXiv:1112.301221011。[6] 比丘奇先生。具有交易成本的有限时间最优投资的渐近分析。《暹罗金融数学杂志》，3（1）：433-4582012。[7] M.比丘奇和S.E.史莱夫。效用最大化以交易成本交易两个期货。

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