关于模型下资产定价基本定理的注记

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收藏 2022-05-04

英文标题：
《A note on the Fundamental Theorem of Asset Pricing under model
uncertainty》
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作者：
Erhan Bayraktar, Yuchong Zhang, Zhou Zhou
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
We show that the results of ArXiv:1305.6008 on the Fundamental Theorem of Asset Pricing and the super-hedging theorem can be extended to the case in which the options available for static hedging (\\emph{hedging options}) are quoted with bid-ask spreads. In this set-up, we need to work with the notion of \\emph{robust no-arbitrage} which turns out to be equivalent to no-arbitrage under the additional assumption that hedging options with non-zero spread are \\emph{non-redundant}. A key result is the closedness of the set of attainable claims, which requires a new proof in our setting.
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中文摘要：
我们证明了ArXiv:1305.6008关于资产定价基本定理和超级套期保值定理的结果可以推广到静态套期保值可用的期权（\\emph{hedgeting options}）以买卖价差报价的情况。在这种情况下，我们需要使用稳健无套利的概念，在非零利差的套期保值期权是非冗余的额外假设下，它被证明是等价于无套利的。一个关键的结果是一组可实现的主张的接近性，这需要在我们的环境中进行新的证明。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Pricing of Securities 证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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A_note_on_the_Fundamental_Theorem_of_Asset_Pricing_under_model_uncertainty.pdf
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kedemingshi

2022-5-4 20:54:56

关于模型不确定性下资产定价基本原理的一个注记Erhan BAYRAKTAR，YUCHONG ZHANG和ZHOU ZHOU摘要。我们证明了[3]关于资产定价基本定理和超套期保值定理的结果可以推广到静态套期保值的期权（套期保值期权）是以买卖价差报价的情况。在这种情况下，我们需要使用稳健无套利的概念，在非零利差的套期保值期权是非冗余的额外假设下，它与无套利等价。一个关键的结果是一组可实现的主张的封闭性，这需要在我们的环境中有一个新的证明。1.简介我们考虑一个离散时间金融市场，在这个市场中，股票是动态交易的，期权可用于静态对冲。我们假设动态交易的资产是流动的，在该资产中交易不会产生交易成本，但期权的流动性较低，其报价带有买卖价差。（在[2]和[7]中分析了动态交易集上交易成本的更困难问题。）如[3]中所述，我们认为不存在描述资产价格行为的单一模型，而是由概率测度的凸集合P所描述的一组模型，该集合不一定承认优势测度。人们应该认为P是通过校准市场数据获得的。我们有一个集合，而不是一个单一的模型，因为通常我们没有点估计，而是模型参数的置信区间。我们的第一个目标是获得一个标准，用于确定P代表的模型集合是否可行。鉴于P是可行的，我们希望获得动态交易资产上其他期权的价格范围。

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能者818

2022-5-4 20:55:00

结果中的双重因素是鞅测度，它可以正确地为套期保值期权定价（即与报价一致）。正如在经典交易成本文献中，我们需要用更强的鲁棒无套利条件取代无套利条件，我们将在第2节中看到。在第3节中，我们将额外假设具有非零利差的对冲期权是非冗余的（见定义3.1）。我们将看到，在这个假设下，无套利和鲁棒无套利是等价的。我们的主要结果是定理2.1和3.1。关键词和短语。模型不确定性、期权的买卖价格、半静态套期保值、概率测度的非支配集合、资产定价基本定理、超级套期保值、稳健无套利、非冗余期权。本研究得到了国家科学基金DMS-0955463.2二汉贝拉克塔尔、张宇冲和周舟的资助。具有鲁棒无套利的基本定理et St=（St，…，Sdt）是在t时刻d交易股票的价格∈ {0，1，…，T}和H是所有可预测的Rd值过程的集合，将作为我们的交易策略。设g=（g，…，ge）为e期权的报酬，该期权只能在时间零点以买入价和卖出价g，以g进行交易≥ g（不等式在分量上成立）。我们假设g是Borel可测量的，在股票交易中没有交易成本。定义2.1（无套利和稳健无套利）。

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大多数88

2022-5-4 20:55:03

我们说NA（P）条件成立，如果forall（H，H）∈ H×Re，HoST+H+（g-g）- H-（g）- g）≥ 0便士- 准肯定（-q.s.）意味着hoST+h+（g-g）- H-（g）- g） =0 P-q.s.，其中h±是按分量定义的，通常是h的正/负部分。如果存在g′，g′，则条件NAr（P）成立[g′，g′] 如果g有买卖价格g′，g′，ri[g，g]和NA（P）成立。定义2.2（超级对冲价格）。对于给定的随机变量f，其超级套期保值价格定义为π（f）：=inf{x∈ R: （H，H）∈ H×结果x+HoST+H+（g-g）- H-（g）- g）≥ f P-q.s.}。任意一对（H，H）∈ 上述定义被称为se mi静态对冲策略。备注2.1。[1] 设π（gi）和π(- gi）成为giand的超级对冲价格-gi，使用股票和期权（不包括gi）进行混合。NAr（P）意味着-^π(- gi）≤ gi=gi≤ π（gi）或- ^π(- gi）≤ （g′）i<giand gi<（g′）i≤ ^π（gi）（2.1）式中，在稳健无套利的定义中，g′，g′是更可避免的买卖价格。使用稳健无套利的原因是，对于价差非零的期权，能够得到（2.1）中的严格不等式，这对于证明（2.3）中可对冲债权集的封闭性（因此存在最优对冲策略）以及构造对偶元素（见（2.6））至关重要。[2] 显然，NAr（P）暗示着NA（P），但反之则不成立。例如，假设市场上没有股票，只有两个选项：g（ω）=g（ω）=ω，ω∈ Ohm := [0, 1]. Le tP是一组关于Ohm, g=g=1/2，g=1/4和g=1/2。然后NA（P）保持，而NAr（P）失败。如果一个集合对所有P都是P-null，那么它就是P-极的∈ P.如果一个属性在P-极集合外成立，则称其为P-q.s。当我们把两个向量相乘时，我们指的是它们的内积。“ri”代表相对内部。

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能者818

2022-5-4 20:55:07

[g′，g′] ri[g，g]表示成分包含。关于b，A的FTAP 3P的注记∈ Re，letQ[b，a]：={Q<< P:Q是马丁盖尔测度，EQ[g]∈ [b，a]}其中Q<< P表示P∈ P使得Q<< P设Q[b，a]~n：={Q∈ Q:EQ[~n]<∞}. 当[b，a]=[g，g]时，我们放弃超级脚本，只需写Q，Q~n。还有定义：={Q<< P:Q是鞅测度，EQ[g]∈ ri[g，g]}和Qs~n：={Q∈ Qs:EQ[~n]<∞}.定理2.1。让我们≥ 1是一个随机变量，使得|gi |≤ φ i=1，e、以下陈述成立：（a）（资产定价基本定理）：以下陈述相当于（i）N Ar（P）成立。（ii）存在[g′，g′] ri[g，g]这样P∈ PQ∈ Q[g′，g′]~n使得P<< Q.（b）（超级对冲）假设NAr（P）持有。让f：Ohm → R是可测量的，因此| f |≤ φ. 超级套期保值价格由π（f）=supQ给出∈Qs~nEQ[f]=supQ∈Q~nEQ[f]∈ (-∞, ∞], （2.2）并且存在（H，H）∈ H×结果π（f）+HoST+H+（g-g）- H-（g）- g）≥ f P-q.s。。证据很容易看出（a）中的（ii）意味着NA（P）适用于买卖价格为sg′，g′的市场，因此NAr（P）适用于原始市场。剩下的证据由以下两部分组成。第1部分：π（f）>-∞ 以及（b）中最优套期保值策略的存在性。一次我们在setCg:={HoST+H+（g-g）- H-（g）- g）：（H，H）∈ H×Re}- L+（2.3）是P- q、 s.关闭（即，如果（Wn）∞n=1 CG和Wn→ W P- q、先是美国，然后是W∈ Cg），在证明[3，定理2.3]时使用的论点将在第1部分得出结论。我们将在本部分的其余部分中演示CG的封闭性。写g=（u，v），其中u=（g，…，gr）由没有买卖标普读数的对冲期权组成，即gi=gi或i=1，r、而v=（gr+1，…，ge）由那些有扩散的组成，即gi<gifori=r+1，e、为了一些人∈ {0，…，e}。表示u:=（g，…，gr），类似地表示vand v。

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可人4

2022-5-4 20:55:11

定义：={HoST+α（u- u）：（H，α）∈ H×Rr}- L+。那么C就是P- q、由[3，定理2.2]封闭。让我们→ W P- q、 s.带Wn=HnoST+αn（u- u） +（βn）+（v）- v）- （βn）-（五）- v）- 联合国∈ Cg，（2.4）等式[g]∈ [b，a]表示EQ[gi]∈ [bi，ai]对于所有i=1，e、 4二汉·贝拉克塔尔、张宇冲和周周（Hn，αn，βn）∈ H×Rr×Re-兰登∈ L+。如果（βn）没有界，那么如果必要，通过传递到子序列，我们可以假设0<| |βn | |→ ∞ 并重写（2.4）asHnβnoST+αn | | |βn | |（u- u）≥Wn | |βn||-βn | |βn||+（五）-v）+βn | |βn||-（五）- v）∈ C、其中| |·| |代表sup标准。因为C是P- q、 s.闭合，上面右侧的极限也在C中，即存在一些（H，α）∈ H×Rr，使得HoST+α（u- u）≥ -β+（v）- v） +β-（五）- v），P- a、其中β是（βn）nalong的极限，它是| |β| | |=1的某个后续ce。NA（P）表示hoST+α（u- u） +β+（v）- v）- β-（五）- v） =0，P- a、 s。。（2.5）当β=：（βr+1，…，βe）6=0时，我们假设βe6=0，但不丧失一般性（w.l.o.g.）。如果βe<0，那么我们有（2.5）个thatge+Hβ-eoST+αβ-e（u）- u） +e-1Xi=r+1β+iβ-e（gi）-gi）-β-iβ-e（gi）- gi）= 通用电气，P- a、 s。。因此^π（ge）≤ 这与ge强大的无套利特性（见（2.1））相矛盾。这里^π（ge）是使用S和g（不包括ge）的ge的超级套期保值价格。同样，如果βe>0，我们得到一个矛盾。因此（βn）是有界的，并且有一个极限β∈ 重新-从（2.4）HnoST+αn（u- u）≥ Wn- （βn）+（v）- v） +（βn）-（五）- v）∈ C、沿（nk）k，W上方右侧的极限- β+（v）-v） +β-（五）- v），在C中也是因为它的封闭性，这意味着∈ Cg。第二部分：（一）=> （ii）在（a）部及（b）部中。我们将通过归纳套期保值期权的数量来证明结果，如[3，定理5.1]所示。假设结果适用于选项g，通用电气。

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kedemingshi

2022-5-4 20:55:14

我们现在介绍一个额外的选项f≡ ge+1和| f |≤ 在时间零点，可用b id询问价格f<f。（如果f的买入价和卖出价相同，则价格与[3]相同。）（一）==> （ii）在（a）中：设π（f）为股票的超级套期保值价格，g，根据NAr（P）和（3.3），在诱导假说的（b）部分中，我们有f>f′≥ -π(-f）=infQ∈Qs~nEQ[f]和f<f′≤ π（f）=supQ∈Qs~nEQ[f]（2.6）式中[f′，f′] （f，f）来自robus t no套利的定义。这个问题在于存在Q+，Q-∈ Qs~n使得EQ+[f]>f′和EQ-[f] <f′，其中f′=（f+f′），f′=（f+f′）。根据归纳假设（a），存在[b，a] ri[g，g]对于任何P∈ P、我们可以找到∈ Q[b，a]P<< Q<< P.负=min（b，EQ+[g]，EQ-[g] 和g′=max（a，EQ+[g]，EQ-[g] ）FTAP 5上的注释，其中最小值和最大值按部件计算。我们有[b，a] [g′，g′] ri[g，g]和Q+，Q-∈ Q[g′，g′]~n。现在，让P∈ 归纳假设的P.（a）意味着Q的存在∈ Q[b，a]~n Q[g′，g′]P<< Q<< P.定义：=λ-Q-+ λQ+λ+Q+。然后Q∈ Q[g′，g′]~n和P<< Q.通过选择合适的权重λ-, λ, λ+∈ (0, 1), λ-+ λ+λ+=1，我们可以得到等式[f]∈ [f′，f′] ri[f，f]。（3.3）在（b）中：设ξ为|ξ|≤ φ. 写出π′（ξ）作为它的超边缘曲线，当股票和g，通用电气≡ ge+1进行交易，Q′~n：={Q∈ Q~n：等式[f]∈ [f，f]}和Q\'s~n：={Q∈ Qs~n：等式[f]∈ （f，f）}。我们想展示π′（ξ）=supQ∈Q′s~nEQ[ξ]=supQ∈Q′~nEQ[ξ]。（2.7）很容易看出π′（ξ）≥ supQ∈Q′~nEQ[ξ]≥ supQ∈Q′s~nEQ[ξ]（2.8），我们将关注反向不等式。我们首先假设ξ从上方有界，因此π′（ξ）<∞. 通过平移，我们可以假定π′（ξ）=0。首先，我们展示π′（ξ）≤ supQ∈Q′~nEQ[ξ]。必须证明序列{Qn}的存在性 Q~n使limnEQn[f]∈ [f，f]和limnEQn[ξ]=π′（ξ）=0。

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kedemingshi

2022-5-4 20:55:18

（参见[3]的第30页了解为什么会出现这种情况。）换句话说，我们想在{EQ[（f，ξ）]：Q处显示th∈ Q~n}∩[f，f]×{0}6= .假设上面的十字路口是空的。然后存在一个向量（y，z）∈ Rwith |（y，z）|=1，它将两个闭凸集严格分开，即存在b∈ R s.t.supQ∈Q~nEQ[yf+zξ]<b和infa∈[f，f]ya>b.（2.9）它跟在thaty+f后面- Y-f+π′（zξ）≤ π′（yf+zξ）≤ π（yf+zξ）=supQ∈Q~nEQ[yf+zξ]<b<y+f- Y-f、（2.10）其中第一个不等式是因为可以超复制zξ=（yf+zξ）+(-yf）从首字母大写π′（yf+zξ）- y+f+y-f、第二个不平等是由于拥有更多的套期保值选择权会降低套期保值成本，而中间的不平等是由（b）归纳假设造成的。最后两个不等式是由（2.9）引起的。由（2.10）可知π′（zξ）<0。因此，我们必须使z<0，否则π′（zξ）=zπ′（ξ）=0（因为超级套期保值价格是正同质的）。回想一下，我们在第（a）部分中已经证明Q′~n6=. 让Q′∈ Q′~n Q。等式后面的（2.10）部分意味着yeq′[f]+zEQ′[ξ]<y+f- Y-f、自EQ′[f]∈ [f，f]，我们得到zEQ′[ξ]<y+（f）- 等式′[f]）- Y-（f）-等式′[f]）≤ 0.由于z<0，等式′[ξ]>0。但是通过（2.8），等式′[ξ]≤ π′（ξ）=0，这是一个对照。6二汉贝拉克塔尔、张宇冲和周舟接下来，我们展示supQ∈Q′~nEQ[ξ]≤ supQ∈Q′s~nEQ[ξ]。对于任何ε>0和每个q，都需要显示∈ Q′~n，我们可以找到Qs∈ Q’sа使得EQs[ξ]>EQ[ξ]- ε. 为了这个目的，让Q′∈ Q′s~n在（a）部分是非空的。定义：=（1）- λ） Q+λQ′。我们有Qs<< P的凸性，和Qs∈ Q′s~nifλ∈ （0,1）。此外，方程[ξ]=（1）- λ） EQ[ξ]+λEQ′[ξ]→ 式[ξ]为λ→ 因此，对于λ>0且非常接近于零的情况，在满足方程[ξ]>EQ[ξ]的基础上构造的qs- ε. Hencewe证明了Q′~n上的上确界和Q′s~n是相等的。

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能者818

2022-5-4 20:55:21

这就完成了上限ξ的证明。最后，当ξ不是从上面有界时，我们可以将前面的结果应用于ξ∧ n、然后让n→ ∞ 并用Cgin（2.3）的封闭性来表示（3.3）h。这个论点将与[3，Thorem 3.4]证明中的最后一段相同，我们在这里省略它。3.具有非冗余假设的一个更清晰的基本定理我们现在引入n on-冗余的概念。有了这个额外的假设，我们将使结果更加精确。定义3.1（非冗余）。如果股票和其他对冲期权不完全可复制，即不存在x，则称对冲期权为非冗余期权∈ R和asemi静态对冲策略（H，H）∈ H×Resuch thatx+HoST+Xj6=ihjgj=giP-q.s。。备注3.1。NAr（P）并不意味着无冗余。例如，在市场中只有两个相同的选项，其收益在[c，d]中，相同的买卖价格b和令人满意的b<c和a>d，这将给出一个简单的反例，即NAr（P）成立，但我们有冗余。引理3.1。假设所有利差非零的对冲期权都是非冗余的。那么NA（P）意味着NAr（P）。证据设g=（g，…，gr+s），其中u:=（g，…，gr）由不带出价的套期保值期权组成，即gi=gi或i=1，r、和（gr+1，…，gr+s）由那些带有bid-askspread，即gi<gifor i=r+1，r+s。我们将通过对s的归纳来证明这个结果。显然，当s=0时，这个结果成立。假设s=k的结果成立≥ 对于s=k+1，表示v:=（gr+1…，gr+k），v:=（gr+1，…，gr+k）和v:=（gr+1，…，gr+k）。

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何人来此

2022-5-4 20:55:25

表示f:=gr+k+1。根据归纳假设，存在[v′，v′] （v，v）使NA（P）在市场中持有股票、期权u和期权v，且任何买卖价格b和a均满足[v′，v′] [b，a] （五，五）。让vn∈ （v，v′），vn∈ （v′，v），fn>fand-fn<f，使得vnv，vnv，fnfand-fnf。我们将证明，对于一些n，NA（P）持有股票，期权u，期权v持有买卖价格和vn，期权f持有买卖价格和fn。我们将用矛盾来说明这一点。FTAP 7上的注释如果没有，则每个n都存在（Hn、hnu、hnv、hnf）∈ H×Rr×Rk×R，使得hnoST+hnu（u- u） +（hnv）+（v）-vn）- （hnv）-（五）-vn）+（hnf）+（f-fn）- （hnf）-（f）-fn）≥ 0，P-q、 s.（3.1）和上述严格不等式在某些Pn下以正概率成立∈ P.Hencehnf6=0。通过标准化，我们可以假设|hnf |=1。通过提取子序列，我们可以。l、假设hnf=-1（假设hnf=1时的参数为s im ilar）。如果（hnu，hnv）是无界的，那么我们假设0<cn:=| | |（hnu，hnv）| |→ ∞. 通过（3.1）我们得到了HNCNoST+hnucn（美国）- u） +（hnv）+cn（v）-vn）-（hnv）-cn（v）- vn）-cn（f）- fn）≥ 0，P- q、 s。。根据[3，定理2.2]，存在H∈ H、例如，HoST+hu（美国）- u） +h+v（v）- v）- H-v（v）- v）≥ 0，P- q、其中（hu，hv）是（hnu/cn，hnu/cn）沿| |（hu，hv）| |=1的某些序列的极限。NA（P）表示hoST+hu（u- u） +h+v（v）- v）- H-v（v）- v） =0，P- q、 s。。（3.2）由于（hu，hv）6=0，（3.2）控制了（u，v）的非冗余假设。因此，（hnu，hnv）是有界的，而w.l.o.g.假设它有极限（^hu，^hv）。然后应用（3.1）中的[3，定理2.2]，存在^H∈ H使^HoST+^hu（u- u） +h+v（v）- v）-^h-v（v）- v）- （f）- f）≥ 0，P- q、 s。。NA（P）表示^HoST+^hu（u- u） +h+v（v）- v）-^h-v（v）- v）- （f）- f）=0，P- q、它反对f的非冗余假设。

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nandehutu2022

2022-5-4 20:55:28

当我们另外假设g的非重复性时，我们有以下FTAP和超级套期保值结果，即NA（P）而不是NAr（P）。定理3.1。假设所有利差非零的对冲期权都是非冗余的。让我们≥ 1是一个随机变量，使得| gi |≤ φ i=1，e、以下陈述成立：（a\'）（资产定价基本定理）：以下陈述相当于（i）N a（P）成立。（二）P∈ PQ∈ Q~n使得P<< Q.（b\'）（超级对冲）假设NA（P）持有。让f：Ohm → R是可测量的，因此| f |≤ φ. 超级套期保值价格由π（f）=supQ给出∈Q~nEQ[f]∈ (- ∞ , ∞ ], （3.3）并且存在（H，H）∈ H×结果π（f）+HoST+H+（g-g）- H-（g）- g）≥ f P-q.s..8二汉贝拉克塔尔、张宇冲和周周。(a)(ii)==> （a\'）（i）是临时的。如果（a\'）（i）成立，那么引理3.1，（a）（i）在Theorem 2.1成立，这意味着（a）（ii）成立，因此（a\'）（ii）成立。最后，引理3.1和定理2.1（b）暗示了（b\'）。备注3.2。定理3.1将[3]的结果推广到期权价格以买卖价差报价的情况。当P是所有概率测度的集合，且给定的期权都是写在动态交易资产上的看涨期权时，[4]得到了与定理3.1-（a）相似的期权买卖价差结果；参见其中的命题4.1，尽管非冗余条件实际上并未出现。

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nandehutu2022

2022-5-4 20:55:31

（[4]的目的是获得期权价格之间的关系，这对于排除半静态套利是必要且有效的，证明依赖于确定正确的关系集，然后确定鞅测度。）然而，在[4]中使用的无套利概念是不同的：作者假设在[6]中没有弱套利；另见[5]和[1]。（回想一下，如果对于任何给定的模型（概率测度），存在一种套利策略，即经典意义上的套利，那么市场被称为弱套利。）这里和[3]中使用的套利概念较弱，因为我们说非负财富（P-q.s.）是一种套利，即使只有一个P，财富过程是一种经典的套利。因此，我们的无套利条件比[4]中使用的条件更强。但是我们从一个更强的假设中得到的是鞅测度Q的存在性∈ Q k对于每个P∈ P.鉴于[4]只保证存在一个鞅测度，该鞅测度可以正确地为套期保值期权定价。参考文献[1]B.Acciaio、M.Beiglb–ock、F.Penkner和W.Schachermayer。资产定价基本理论和超级复制定理的无模型版本。出现在数学金融领域。也可在ArXivas 1301.5568上获得。[2] E.Bayraktar和Y.Zhang。交易成本和模型不确定性下资产定价的基本定理。ArXiv电子版，2013年9月。[3] B.布查德和M.纳茨。非支配离散时间模型中的套利和对偶。出现在应用概率年鉴上。也可在ArXiv as 1305.6008上获得。[4] 劳伦特·库斯科特。不存在套利和精确校准的期权价格条件。《银行与金融杂志》，31（11）：3377–33972007。[5] 马克·戴维斯、扬·奥布洛伊和维马尔·拉瓦尔。加权方差掉期价格的套利界限。

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能者818

2022-5-4 20:55:35

出现在主题金融中。[6] 马克·H·A·戴维斯和大卫·G·霍布森。交易期权价格的范围。数学《金融》，17（1）：2007年1月至14日。[7] Yan Dolinsky和H.Mete Soner。具有比例交易成本的稳健套期保值。金融斯托赫。，18(2):327–347, 2014.[8] Y.卡巴诺夫和M.萨法里安。有交易成本的市场，数学理论。Springer Verlag BerlinHeidelberg，2009年。[1]中的无套利假设是[6]中的模型独立套利。然而，该论文通过假设可以购买超线性增长期权进行静态对冲，排除了依赖模型的套利。关于FTAP 9（Erhan Bayraktar）数学系的说明，密歇根大学，密歇根州安纳伯市教堂街530号，邮编：48104，美国电子邮件地址：erhan@umich.edu（张宇冲）密歇根大学数学系，美国密歇根州安娜堡教堂街530号，邮编48104电子邮件地址：yuchong@umich.edu密歇根大学数学系，密歇根州安娜堡教堂街530号，邮编：48104，美国电子邮件地址：zhouzhou@umich.edu

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