随机时间内测量值的变化：详细信息

2022-5-4 23:37:39

随机时间内的测量值变化：DE TAILSD–ORTE KREHERAbstract。本文将Mortimer和Williams（1991）关于概率测度变化的结果推广到随机时间，假设所有鞅都是连续的，且随机时间避免停止时间。我们考虑了随机时间内的局部绝对连续测度变化，诚实时间前后的概率测度变化，以及概率测度到某个时间点的变化。此外，我们应用我们的结果构造了一个等价于放大公式的概率测度变化，并对某类伪停止时间构造了一类保持伪停止时间性质的测度变化。此外，我们研究了一个由连续半鞅建模的价格过程，在逐步扩大的过滤过程中，具有消失风险的非免费午餐（NFLVR）性质在随机时间内的稳定性，该性质避免了停止时间，并根据Az’ema上鞅为这种稳定性提供了充分的条件。1.引言受物理和化学模型的启发，Mortimer和Williams（1991）研究了如何在过滤概率空间上执行测量值的变化，直至达到随机时间σ(Ohm, F、（英国《金融时报》，第页）。更准确地说，在他们题为“测量到随机时间的变化：理论”的论文中，他们在逐步扩大的filtrationg′t=Ft中导出了连续（P，Ft）-鞅到时间σ的半鞅分解∨ σ{σ>s}；s≤ T在等价概率测度Q下，给出了σ的（Q，G′t）危险函数的表达式。为了证明他们的结果，他们使用了基本的方法，不依赖于扩大过滤的理论。

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2022-5-4 23:37:42

此外，Mortimer和Williams（1991）在其论文中声称，“正是这些例子使这个话题引起了一些兴趣”，但他们提供的唯一两个例子涉及标准布朗运动的著名路径分解。在本文中，我们用几种方法扩展了它们的结果，并给出了在σ避免停止时间且所有（Ft）-鞅都是连续的假设下工作的有趣的例子类。正如Mortimer和Williams（1991）所说，我们不依赖过滤放大理论的任何深刻结果，而是选择一种只使用基本方法的直接方法来证明我们的结果。首先，我们将他们的结果推广到阿兰多姆时间内测度e的局部绝对连续变化，这允许我们构造一个概率测度的变化，它等价于时间σ的放大公式。其次，我们研究了诚实时代概率测度的变化。自巴洛（Barlow，1978）的开创性工作以来，诚实时间非常适合逐步扩大过滤，因为在这种情况下，所有（Ft）-半鞅仍然是整个时间范围内扩大过滤中的半鞅。因此，如果σ是一个诚实的时间，我们可以在时间σ之后推广Mortimer和Williams（1991）的Girsanov型定理。而结果本身并不是日期：2016年8月16日。关键词和短语。随机时间、测量值的变化、过滤的逐步扩大、NFLVR。SNF赠款137652和CRC 649的财务支持：感谢您的经济风险。

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2022-5-4 23:37:46

作者丹克斯·阿什坎·尼科巴里、莫妮克·珍布兰科、菲利普·普罗特，以及一位匿名审稿人，感谢他们对手稿的批判性阅读，以及他们的有益评论和评论。非常令人惊讶的是，我们证明这一点的方式很有趣，因为正如Mortimer and Williams（1991）所说，我们没有假定对过滤放大理论有任何先验知识。事实上，事实证明，所谓的相关鞅有一个很好的联系，Az’ema、Meyer和Yor（1992）对其进行了研究。第三，我们研究了Nikeghbali和Yor（2005）引入的伪停车时间测量值的变化。由于有限值诚实时间是可选集的终点，它们的定义独立于潜在的概率度量。然而，ps eudo停止时间并非如此。因此，一个有趣且具有挑战性的问题是分析不同概率测度下伪时间性质的稳定性。对于一类特殊的伪停止时间，我们可以提供一类保持伪停止时间性质的等价概率测度。最后，我们还推广了Mortimer和Williams（1991）给出的布朗路径分解的例子。与Mortimer和Williams（1991）对此示例进行了马尔可夫研究不同，我们的分析仅基于半鞅演算，并使用了与诚实时间相关的一类伪停止时间的Az’ema Supermartingale的特殊结构。本文的最后一部分讨论了随机时间内的无套利问题。由于用随机时间逐步扩大过滤的技术是数学金融中模拟信用风险和内部交易的标准工具，因此这个问题特别有趣。

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2022-5-4 23:37:49

在最近的文献中，根据价格过程、随机时间和精确无风险概念的不同假设，在几篇论文中讨论了这一问题，参见Fontana、Jeanblanc和Song（2013）；Acciaio、Fontana和Kardaras（2016年）；Aksamit、Choulli、Deng和Jeanblanc（2014年）。具体来说，我们假设股票价格过程由连续（Ft）-半鞅建模，来处理以下问题：如果市场满足关于过滤（Ft）的“无风险消失的免费午餐”（NFLVR）条件，那么在什么条件下市场也满足关于逐渐扩大的过滤的NFLVR，直到时间σ？例如，众所周知，诚实时间允许在逐步扩大的过滤中的时间范围[0，σ]进行套利，参见Fontana，Jeanblanc，an d Song（2013）。在本文中，我们考虑了一个避免（Ft）-停止时间的任意随机时间σ，并在假设所有（Ft）鞅是连续的情况下，导出了NFLVR在时间σ之前有效性的有效准则。为此，我们选择了两种不同的方法：首先，我们直接研究NFLVR的定义，而在第二种方法中，我们在放大的过滤中确定局部鞅的定义，并检查在什么条件下它是一致可积鞅，这将不关紧要地表明，由于资产定价的基本定理，NFVLR在时间σ之前是满足的。本文的结构如下：在下一节中，在介绍了一般设置和符号之后，我们回顾了[20]中的结果，并给出了一些关于eof的第一个推论。在第2.3小节中，我们还介绍了Az’Ema超鞅的乘法分解，这将在本文中经常使用。第3节讨论局部绝对连续测度。

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能者818

2022-5-4 23:37:52

之后，我们专门分析了第4节中的诚实时间类和第5节中的伪停止时间类。第6节概括了[20]中给出的示例。最后，在第7节中，我们考虑了在随机时间内无套利的问题，并提供了有效的标准，以证明NFLVR在时间σ之前逐步扩大的过滤中的有效性。一般理论2。1.设置和符号。在本文中，我们研究的是一个经过过滤的概率空间(Ohm, F、（Ft）t≥0，P），其中（Ft）假设满足自然条件，即（Ft）是右连续的，且f包含所有σ-可忽略集。这里是a的子集 Ohm 如果存在序列（Bn）n，则称为σ-negligiblei≥0的su B集合Ohm 以至于锡∈所有人都是如此∈ N、 Bn∈ fnp（Bn）=0。[21]中显示，在自然条件下，任何鞅都允许c`adl`ag修改，我们将始终在下面讨论这种修改。如果（Xt）是实值随机过程，我们用Xt:=sups表示≤tXsand Xt:=infs≤tXs，t≥ 0，它的最高值。在最短的过程中，通过TXa=inf{t>0:Xt=a}获得a级的第一次命中时间∈ R.注意，在自然假设TXA是一个停止时间的情况下，ifX是一个正确的连续适应过程，参见[21]。此外，M（P，Ft）分别表示（P，Ft）-鞅和d Mloc（P，Ft）的集合。穆。i、（P，Ft）本地响应的集合。统一可积（P，Ft）-鞅。最后，我们用σ表示：Ohm → [0, ∞] 我们表示一个F-可测量的随机时间，它会导致逐步扩大的过滤gt:=\\s>t财政司司长∨ σ（{σ>r}；r≤ （s）.在本文中，我们将假设以下两个假设得到满足：（A）σ避免任何（Ft）停止时间：P（σ=T）=0表示任何（Ft）停止时间T。（C）所有（Ft）-鞅都是连续的。我们用ZPt表示：=P（σ>t | Ft）σ的Az’ema上鞅。

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2022-5-4 23:37:55

它分解为asZPt=mPt- APtwith mPt=EP（AP∞|Ft）是一致可积鞅，（APt）是过程（{σ）的（Ft）-对偶可选投影≤t} ）t≥0.我们注意到，在假设（C）下，（{σ）的对偶可预测投影≤t} ）t≥0，因为在这种情况下，与（Ft）相关的可预测和可选西格玛场重合。此外，请注意，在假设（AC）下，Az’ema supermartingale是连续的，ZPt=mPt-因此，它的Doob Meyer分解。关于双重选择和双重可预测预测预测的定义和性质，我们请读者参阅[12]第VI.2章。设ρ为非负F-可测随机变量，期望值为1。那么Q:=ρ。定义了一个新的概率度量，它与P绝对连续。我们用（ρt）表示。（eρt）ρ在（Ft）上的选择投影。（Gt）满足所有t≥ 0，ρt:=EP（ρ| Ft），eρt:=EP（ρ| Gt），其中（eρt）被选择为c`adl`ag，并且（ρt）由于（c）而连续。此外，我们还定义了（P，Ft）-超马氏体：=EP（ρ{σ>t}| Ft），t≥ 0.根据Bayes的公式一hasht=ρt·Q（σ>t | Ft）=：ρtZQt。由于σ避免了停车时间，P（σ=∞) = 0和σ几乎肯定是有限的P。因此，ZPand和h几乎都像t一样向零收敛→ ∞.如果h是严格正的，我们用μ表示h的随机对数，即ht=e（u）t。过程μ又是一个（P，Ft）-上鞅，Doob-Meyer分解μ=uL-uF，其中uL∈ Mloc（P，Ft）和uFis增加。此外，h、u、uL和uL都是连续的。如果h不是严格正的，那么过程u，因此也是uLandu，只在随机区间[0，Th]上定义得很好。2.2.Girsanov型orems。我们现在准备回忆[20]引理2的结果。定理2.1。假设h是严格正的，让U=（Ut）t≥0可以是局部（P，Ft）鞅。

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2022-5-4 23:37:58

然后是过程{σ>t}Vtexp（uFt）T≥0是局部（Q，Gt）-鞅，其中v:=U- 胡，我。此外，这个过程uFt∧σT≥0是（{σ）的（Q，Gt）-对偶可预测投影≤t} ）t≥0.证明。在[20]中，G′t=Ft证明了这一说法∨σ{σ>s}；s≤ T而不是上面定义的GT。然而，由于（G′t）-鞅仍然是关于（G′t）的右连续增广（Gt）的鞅，因此这个断言很容易理解。作为上述结果的直接结果，我们推导出推论2.2。假设h是严格正的。如果你∈ Mloc（P，Ft），然后VT∧σ=Ut∧σ- 胡，好的∧σ∈ Mloc（Q，Gt）。证据带你去≡ 定理2.1中的1得到thattht:={σ>t}expuFt∈ Mloc（Q，Gt）。因为V是连续的，[H，V]≡ 因此，乘积HV是局部（Q，Gt）-鞅当且仅当V也是局部（Q，Gt）-鞅只要Ht-> 0，即在区间[0，σ]上。备注2.3。如果我们选择ρ≡ 1在上述推论中，我们恢复了截至时间σ的扩大公式（参见[11]，第XX.76段）：对于任何M∈ 我们有100万吨∧σ-Zt∧σdhM，ZPisZPs=Mt∧σ-Zt∧σdhM，mPisZPs∈ Mloc（P，Gt）。备注2.4。在[20]中，作者证明了他们的结果，但没有应用任何来自渐进式扩大过滤理论的结果。当然，推论2.2也可以通过应用Firs t Girsanov定理和Q下的放大公式来实现。对于所谓的诚实时间，这在第XX段中完成。在[11]的第81页中，在不依赖假设（AC）的情况下，证明了上述结果的更一般版本。接下来，我们证明定理2.1也成立，如果h不一定严格正。定理2.5。如果U=（Ut）t≥0是局部（P，Ft）-鞅，然后Xt:={σ>t}Vtexp（uFt）和Vt∧σ是局部（Q，Gt）-鞅，其中Vt∧σ=Ut∧σ- 胡，好的∧σ.证据首先我们在Q处显示thσ<Th= 1.对于本注释，Th=Tρ∧ TZQbecauseht=ρtZQt。

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2022-5-4 23:38:02

但是我们有q（Tρ<∞) = EPρ{Tρ<∞}= EPρ∞{Tρ<∞}= EP0·{Tρ<∞}= 0.由于σ避免了P下的停止时间，且Q与P绝对连续，因此Q（σ=Th）=0且σ也几乎肯定是Q-有限的。因此，Qσ ≥ Th= Qσ>Th= Qσ>TZQ= EQZQTZQ=0。特别是，这意味着X是Q-a.s.定义得很好，因为μ在间隔[0，Th]上定义得很好。对于每n秒∈ N我们写Unt:=Ut∧Th1/n，t≥ 0.根据定理2.1，过程Xnt:=Xt∧Th1/nis每n的局部（Q，Gt）-鞅∈ 因此，X是区间上的一个局部（Q，Gt）-鞅第0位=锡∈Nh0，Th1/niand自第0位 [0，σ]Q-几乎可以肯定的是，这个影响在于xt={σ>t}vtex（uFt）∈ Mloc（Q，Gt）。最后∧σ）是一个局部（Q，Gt）-鞅，其推理与循环2.2的证明相同。2.3. Az’ema上鞅的乘法分解。在进行进一步的扩展和应用之前，我们在本小节中介绍了Az’ema supermartingale的所谓It^oWatanabe分解，这将在以下章节中经常使用。由于它比Doob Meyer分解更不为人所知，webrie很容易回忆起[14]中结果的连续版本，参见[5]。定理2.6。设Z是Doob Meyer分解Z=m的连续非负上鞅- A.然后Z分解为唯一的Z=ND，其中N是一个从N=1开始的连续非负局部鞅，D是一个连续递减过程，使得N和D在集合{Z=0}上都是常数。此外，Nand D由dt=Zexp给出-Zt∧Tzdasz！，Nt=EZt∧TZdmsZs！。备注2.7。如果Z=ZPis是σ的Az’ema上鞅，那么zpt=0<=> 邮电部- APt=EP（AP）∞- APt | Ft）=0<=> APt=APs s≥ t、因为API是一个不断增长的过程。因此，APand MPO仅在集合{ZP>0}上移动。因此，在这种情况下，processesDPt=exp-ZtdAPsZPs, NPt=EZtdmPsZPs定义明确且供应充足（dDP） {ZP>0}resp。

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2022-5-4 23:38:06

供应（dhNPi） {ZP>0}。此外，考虑到分解ZP=NPDPwe，我们可以在放大公式（1）中用ZpB替换NPP，因为它的乘积公式为：对于任何M∈ Mloc（P，Ft），我们有（2）公吨∧σ-Zt∧σdhM，NPisNPs∈ Mloc（P，Gt）。注意，如果所有t的ZPt>0 a.s≥ 0可以写入ZPt=NPt·exp(-这里是∧Pt:=-ln（DPt）在信用风险文献中被称为强度过程。因此，该过程在信用风险建模中特别重要。然而，强度和过程取决于潜在的概率度量。因此，人们可能想知道，在强度过程不变的情况下，概率测度是否存在变化。下面的定理回答了这个问题。定理2.8。假设ρ>0 P-a.s.，并且（eρt）是连续的。如果ZP=NPDPandZQ=nqdenote，则P和Q下σ的Az’ema上鞅的It^o-Watanabe分解，则DPt=DQta。s、尽管如此，t≥ 0.备注2.9。直观地说，为了通过概率测度的变化影响σ的强度，（Gt）-氡Nikodym密度（eρt）应该包含一个关于不连续鞅{σ的随机积分≤t}-Rt∧σdAPsZPs。事实上，上述定理表明，通过连续（Gt）-鞅的度量变化不会改变强度过程。另见[8]中的定理6.3。为了证明定理2.8，我们需要计算过程ht=EPρ{σ>t}|Ft= EPeρt{σ>t}|Ft.这需要在时间σ之前了解过程的行为（eρt）。因此，以下关于时间σ的有界（Gt）-鞅的表示结果非常有用。这是[17]中Th\'eor\'eme 5.12和Lemme 5.15的直接结果，参见[15]中的alsoTheorem 3.1。定理2.10。

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2022-5-4 23:38:09

对于任何有界ζ∈ Gσ存在局部（P，Ft）-鞅M和富足（Ft）-可预测过程K suc h thatEP（ζ| Gt）=Mt-ZtdhM，ZPisZPs-ZtKsZPsdAPson{σ>t}。此外，如果t7→ EP（ζ| Gt）几乎肯定是连续的（即它不会在σ处跳跃），然后k≡ 0.证明。为了证明这个定理，我们可以进行与[15]中定理3.1的证明完全相同的计算，而不使用任何鞅表示性质。因为我们只对时间σ之前的行为感兴趣，所以我们不需要（H′）假设。备注2.11。在时间σ之前，不需要假设（AC）来获得任意有界（Gt）-鞅的特征，参见[15]。然而，上述公式对于我们的目的是有效的。我们现在准备证明定理2.8。证据（定理2.8）对于每n∈ N集τN:=inf{t≥ 0:eρt=n}。那么每个n都存在∈ N an（Ft）-停止时间νN确保τN∧σ=νn∧σ、参见引理A.1。定理2.10适用于eρτn∧σ给出了所有t的局部（P，Ft）-鞅Mnsuchthat的存在性≥ 0，ht∧νn=EPeρt∧νn∧σ{σ>t∧νn}英尺∧νn= EPeρt∧τn∧σ{σ>t∧νn}英尺∧νn= EPMnt∧νn-Zt∧νndhZP，MnisZPs{σ>t∧νn}英尺∧νn= EPMnt∧νn-Zt∧νndhNP，MnisNPs{σ>t∧νn}英尺∧νn=Mnt∧νn-Zt∧νndhNP，MnisNPsZPt∧因此，对于所有的t≥ 0，ρt∧νnNQt∧νnDQt∧νn=ρt∧νnZQt∧νn=ht∧νn=Mnt∧νn-Zt∧νndhNP，MnisNPs核不扩散条约∧νnDPt∧因为ρ>0几乎肯定，我们有{ZP>0}={h>0}={ZQ>0}。此外，这个过程Mnt∧νn-Zt∧νndhNP，MnisNPs核不扩散条约∧νn=MnNP+Zt∧νnNPsdMns+Zt∧νnMns-ZsdhNP，MniuNPu一个非负局部（P，Ft）-鞅。自从ρt∧νnNQt∧νn也是一个非负局部（P，Ft）-鞅，It^o-Watanabe分解的唯一性Mnt∧νn-Zt∧νndhNP，MnisNPsNPt∧νn=ρt∧νnNQt∧νnand DPt∧νn=DQt∧在{ZP>0}={ZQ>0}上最肯定的是。因为τn→ ∞, 我们已经吃过了∧σ） =supn（τn）∧ σ） =σ，这意味着ν：=supnνn≥ 几乎可以肯定。但随后ZPν=0=ZQνa.s。

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2022-5-4 23:38:13

因此≥ TZP=TZQP-a.s.因为DQ和Dp是单调递增的，所以请求后面会发送n→ ∞, 注意到dp和dqa在时间TZP=TZQ之后是常数。下面的反例表明，定理2.8中不能放弃（eρt）是连续的假设。例2.12。设N是一个非负局部鞅，从N=1开始，几乎肯定地收敛到零，并设置σ=sup{t>0:Nt=Nt}。根据Doob的maximalequality，参见[23]中的引理2.1，Psups>tNs>a英尺=Nta a>Nt，这意味着th atZPt=Psups>tNs>Nt英尺=NtNt=1+ZtdNsNs- 日志新界.因此，supp（dhNi） {ZP>0}和supp（dN） {ZP>0}。因此，定理2.6中定义的乘法分解的唯一性意味着np=N和DP=N。现在我们可以取ρ=logN∞因为EPlogN∞= NR∞daa=1。然后=EP日志N∞{sups>tNs>Nt}英尺= EP日志sups>tNs{sups>tNs>Nt}英尺= NtZ∞Ntlog（x）xdx=NtNt（1+log（新界）应用引理A.1，eρt=EP（ρ| Gt）={σ≤t} 日志新界+{σ>t}EP日志N∞{σ>t}英尺ZPt={σ≤t} 日志新界+{σ>t}NtNt·ht={σ≤t} 日志新界+{σ>t}1+对数新界= 日志新界+{σ>t}。因此，eρ是一个完全不连续的（P，Gt）-鞅，ρt=log新界+新界北。因此，ZQt=htρt=NtNt1+对数新界ρt=NtNt1+对数新界NtNt+Ntlog新界=Nt+Ntlog新界Nt+Ntlog（Nt）。自那时起（Nt/ρt）∈ Mloc（Q，Ft），zqt的It^o-Watanabe分解使得形式zqt=Ntρt·1+log（Nt）Nt=nqtdqt，其中dqt=1+log（Nt）Nt6=Nt=dpt足够大。3.测量的局部绝对连续变化在本节中，我们稍微改变了第2.1节中介绍的一般设置。我们不再依赖于随机变量ρ的存在≥ 0来定义Q，但是我们将只假设存在一些非负（P，Gt）-鞅（eρt），期望为1。和前面一样，（ρt）是（eρt）的（Ft）可选投影。

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2022-5-4 23:38:16

此外，我们将假设甲烷F=F∞:=Wt≥0英尺那(Ohm, F、（Gt）t≥0，P）是概率空间满足部分随机条件（P）的自然增强，可在附录九中找到≥ 0我们现在通过Qt=eρt.P|Gt定义一个概率度量Qton gtt。这个概率测度族是一致的，因为我们假设概率空间满足条件（P）和自然条件（b但不是通常的！）[21]中的假设和推论4.9给出了F=G上的测度Q的存在性∞这样Q | Gt=所有t≥ 0.注意，对于P，Q只是局部绝对连续的，我们用Q来表示 P.在这种情况下，我们通过ht:=EP（eρt{σ>t}|Ft）定义过程h。如果Q<< P、该定义与第2.1节中的定义一致。u现在可以像以前一样定义。在这种情况下，定理2.1的以下扩展版本成立。定理3.1。假设Q P.如果U=（Ut）t≥0是局部（P，Ft）-鞅，则过程Xt:={σ>t}Vtexp（uFt）和Vt∧σ都是局部（Q，Gt）-鞅，其中vt∧σ：=Ut∧σ- 胡，好的∧σ.证据自从Q | Gn<< P | GN该索赔适用于每一个Unt:=Ut∧根据定理2.5。尤其是，所有流程都在N上定义良好∈N[0，N]=R+。但局部在Mloc（Q，Gt）中的每一个过程实际上都是整个时间区间上的局部鞅。研究测量值的局部绝对连续变化的动机来自这样一个事实，即它可能允许我们通过将随机时间σ推到单位来消除随机时间σ，如下例所示。例3.2。考虑ρt={σ>t}ZPt。这确实定义了一个（Gt）-鞅：对于s≤ t、 EP{σ>t}ZPtGs={σ>s}ZPs·EP{σ>t}ZPt财政司司长={σ>s}ZPs，其中我们使用引理A.1来计算条件期望。在上述定义的测量条件下，σ被推到自q（σ）起的单位≤ t） =EPeρt{σ≤t}= EP{σ>t}ZPt{σ≤t}= 0 T≥ 这是可能的，因为eρt→ 每年0美元。

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2022-5-4 23:38:21

因此，Q不是绝对连续的∞. 因此，Q只对σ之前发生的事件赋予正权重。此外，如果Z是一个有界随机变量，对于某些t是Ft可测的≥ 0，然后q（Z）≤ x） =P（Z）≤ 十）十、∈ R、因为ρt≡ 1为所有t≥ 0.因此，《金融时报》事件不会“感觉”到衡量标准的变化。特别是，任何（P，Ft）-鞅也是（Q，Ft）-鞅，根据定理3.1，也是（Q，Gt）-鞅，因为ht=ρt=1f或所有t≥ 0和σ=∞ Q-a.s.注意，在计算前σ事件时，这种测量值的变化与简单地向下投影（Ft）具有相同的影响。实际上，在时间σ之前，每个Gt可测的随机变量等于一个Ft可测的随机变量，f或每个Ft∈ Ftone hasEPFt{σ>t}= EP{σ>t}ZPt·FtZPt= 情商FtZPt= EPFtZPt.3.1. 测量值的变化，相当于放大公式。如前所述，我们用ZP=npdpit^o-Watanabe表示σ的z′ema上鞅分解。假设NP是一个纯鞅，我们可以得到etdQdPGt=eρt={σ>t}DPt。我们可以很容易地确定这定义了一个（Gt）-鞅：对于s≤ t、 EP{σ>t}DPtGs={σ>s}ZPs·EP{σ>t}DPt财政司司长={σ>s}ZPs·EPNPt财政司司长={σ>s}DPs。如例3.2所示，我们有Q（σ<∞) = 因此，任何局部（Q，Ft）-鞅也是局部（Q，Gt）-鞅。然而，nowht=ρt=npt是非平凡的，因此根据通常的Girsanov定理，度量变化将影响（P，Ft）-鞅：给定局部（P，Ft）-鞅U，过程vt:=Ut-ZtdhNP，UisNPs=Ut-ZtdhZP，UisZPs，t≥ 根据定理3.1，0是局部（Q，Gt）-鞅，因为Vt=Vσ∧tQ几乎可以肯定是所有t≥ 0.因此，以这种方式更改度量值与在时间σ之前的P下应用放大公式具有相同的效果。

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2022-5-4 23:38:24

这可以与[28]相比较，其中放大公式是通过传递与ZP相关的所谓F¨ollmer测度得出的，并与[26]中提出的放大过滤的局部解方法相比较。还要注意的是，在这个设置中，我们有任何可测量的随机变量Ft，EPFt{σ>t}= 情商FtDPt.由于DPTA在减少，因此可以将DPTA解释为上述公式中的贴现系数。备注3.3。在[9]中，上述计量变更通过简化形式法应用于可违约证券的估值。然而，在本文中，默认时间被直接建模为完全不可访问的停止时间，而不执行过滤的渐进放大。下面的例子提供了一些直觉，说明上述测量变化如何将σ推到单位。例3.4。考虑随机时间σ=supT≥ 0:Nt=sups≤tNs= 啜饮T≥ 0:Nt=infs≤tNs,其中，N被假设为N=1的非负（P，Ft）-鞅，几乎肯定会向零收敛。在这种情况下，NP=N，参见示例2.12。如果我们把（eρt）作为上述条件，N的倒数变成Q-鞅：对于s≤ t、情商新界财政司司长=ρsEPρtNt财政司司长=纳什。然而，1/N在Q下不是收敛于单位而是收敛于零，因为Q是F上的奇异顶∞. 对于所有ε>0的情况，我们通过控制收敛得到了t→ ∞,QNt>ε= EPNt{1/ε>Nt}→ 因此，σ=∞ Q-a.s.备注3.5。在上面的计算中，我们假设NP是真鞅。如果NP只是一个局部（P，Ft）-鞅，如果e上定义了与（eρt）相关的F¨ollmer测度，则可以进行类似计算。在这种情况下，Q下的随机时间σ被（eρt）的爆炸时间“替换”，这几乎肯定等于（Ft）-停止时间TDPQ。4.诚实时间衡量标准的变化在本节中，我们关注一类特殊的随机时间，称为诚实时间。

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2022-5-4 23:38:27

设置与第2节开头所述相同。定义4.1。随机时间(Ohm, F、如果对于任何t>0，σ等于{σ<t}上的Ft可测随机变量，则称P为诚实。备注4.2。请注意，诚实时间的定义并不取决于概率测量。如[17]的命题（5,1）所示，如果σ是诚实的，则存在一个选择集∧，使得σ（ω）=sup{t：（t，ω）∈ {σ<∞}. 由于在假设（C）下，可选和可预测的σ场相等，我们可以假设w.l.o.g.集合∧是可预测的。此外，P（σ=∞) = 0由于（A）和d，因此σ是我们设置中预测集的结束。4.1. 经过一段诚实的时间后改变了衡量标准。到目前为止，我们只关注测量值在任意随机时间σ内的变化。当然，我们不能期望推论2.2的分析在任意随机时间σ之后成立，因为一般来说（Ft）-半鞅不一定是（Gt）-时间σ之后的半鞅。然而，如果σ是一个诚实时间，那么众所周知，当从（Ft）传递到（Gt）时，半鞅性质保持不变，参见[17]中的Th\'eor\'eme（5,10）。因此，在这种情况下，我们可以期望推论2.2扩展到整个时间范围。我们在本小节中的目标是通过与[20]中类似的方法证明这一结果，即不依赖过滤放大理论的任何结果。在本节的其余部分中，我们假设σ是一个诚实的时间。如前所述，假设存在一个非负随机变量ρ，期望值为1，weset Q=ρ。P.我们定义了（P，Ft）-次鞅k viakt=EP（ρ| Ft）- ht=EPρ{σ≤t} |英尺.在下面我们将使用固定的≥ 0表示区间[u]上的（P，Ft）-鞅的P过程类，∞).

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2022-5-4 23:38:31

此外，对于每个t≥ 0我们选择一个满足定义4.1要求的Ft可测随机变量σt，即{σ<t}σ={σ<t}σt引理4.3。修理你≥ 设Y是（Ft）适应的过程，使得（{σt≤u} ktYt）t≥U∈穆洛克（P，Ft）。那么Yt{σ≤u}∈ Muloc（Q，Gt）。证据因为任何（Ft）-局部化序列也将用作（Gt）-局部化序列，所以我们只需要证明鞅情形。由于σ是一个避免停止时间的诚实时间，我们对任何有界测试函数Fs∈ 财政司司长≤ t、你呢≤ s≤ t、等式（Yt{σ）≤u} Fs）=等式（Yt{σ）≤t} {σt≤u} Fs）=EP（Ytρ{σ≤t} {σt≤u} Fs）=EP（Ytkt{σt≤u} Fs）=EP（Ysks{σs≤u} Fs）=EP（Ysρ{σ）≤s} {σs≤u} Fs）=等式（Ys{σ）≤u} 财政司司长）。如果再加上r≤ s、然后是一个getsEQ（Yt{σ≤u} {σ≤r} Fs）=等式（Yt{σ）≤u} {σ≤s} {σs≤r} Fs）=等式（Yt{σ）≤u} {σs≤r} Fs）=等式（Ys{σ）≤u} {σs≤r} Fs）=等式（Ys{σ）≤u} {σ≤s} {σs≤r} Fs）=等式（Ys{σ）≤u} {σ≤r} 财政司司长）。单调类定理允许我们得出结论：Yt{σ≤u} 是关于英尺∨ σ({σ≤r} )；R≤ （t）T≥u、由于关于某些函数的鞅仍然是关于其右延拓的鞅，因此我们得出结论：Yt{σ≤u}∈ μ（Q，Gt）。备注4.4。注意如果（Yt）t≥uis是关于Q和（Gt）t的鞅≥uon集合{σ≤ u} {的子集{也可测}≤ u} 。例如Yt{ui≤σ<uj}T≥U∈ Mu（Gt，Q）每0≤ ui<uj≤ u、引理4.5。设（Yt）是一个实值连续（Gt）自适应过程，使得该过程（{σ≤u} （Yt）∨U- 于t≥0∈ 所有u>0的Mloc（Q，Gt）。然后（Yt）∨σ- Yσ）t≥0∈ Mloc（Q，Gt）。证据首先假设Y是有界的，然后用注释4.4表示所有u>v≥ 0,{v≤σ<u}（Yt∨U- （于）T≥0∈ M（Q，Gt）。我们用（Gt）-停止时间sn:=n2nXk=1kn{（k）的递减序列来近似σ-1)2-N≤σ<k2-n} +∞{σ≥n} ，只取了很多值。

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2022-5-4 23:38:36

那么对于s≤ t和Gs∈ 因为Y被假定为有界且连续的，所以等式（（Yt∨σ-Yσ）Gs）=limn→∞等式（（Yt）∨锡- Ysn）Gs）=limn→∞EQn2nXk=1{sn=k2-n} （Yt）∨（k2）-n）- Yk2-n） Gs！=画→∞n2nXk=1EQ{（k）-1)2-N≤σ<k2-n} （Yt）∨（k2）-n）- Yk2-n） |{z}∈M（Q，Gt）Gs= 画→∞n2nXk=1EQ{（k）-1)2-N≤σ<k2-n} （Y）∨（k2）-n）- Yk2-n）Gs= 画→∞EQn2nXk=1{sn=k2-n} （Y）∨（k2）-n）- Yk2-n）Gs！=画→∞EQ（（Ys）∨锡-Ysn）Gs）=EQ（（Ys）∨σ- Yσ）Gs），这证明了Yt∨σ-Yσ∈ M（Q，Gt）。现在，一般情况是将Y本地化。定理4.6。让σ成为一个诚实的时间，并假设（Ut）t≥0是局部（P，Ft）-鞅。然后进程vt:=Ut-Zσ∧天呐-Zσ∨tσdhU，kisks是局部（Q，Gt）-鞅。证据从定理2.5我们已经知道（Vt∧σ） t≥0是局部（Q，Gt）-鞅。因此，仍需证明Vt∨σ-Vσ∈ Mloc（Q，Gt）。根据引理4.5，如果所有u>0，{σ≤u} （Vt）∨U-Vu）={σ≤u} Vut∈ Mloc（Q，Gt）<=>{σ≤u} Vut∈ Muloc（Q，Gt），我们为每个∈ R+Ft自适应过程VST:=Ut∨s- 我们-Zt∨Sshdhk，Uyuku。因此，如果我们能证明，对于ALU，引理4.3的应用将产生结果≥ 0，（{σt≤u} ktVut）t≥U∈ 穆洛克（P，Ft）。首先要注意的是f或所有t≥ u、 mut:={σt≤u} kt=EP（ρ{σ）≤t、 σt≤u} |Ft）=EP（ρ{σ）≤U∧t} |Ft）=EP（ρ{σ）≤u} |Ft），因此每固定u>0，亩∈ μ（P，Ft）。我们对t应用分部积分≥ uto-getd（{σt≤u} ktVut=d（mutVut）=Vutdmut+mutdVut+dhmu，Vuit=Vutdmut+{σt≤u}ktdUt-dhk，Uitkt+ dhk，你知道吗= Vutdmut+mutdUt，这是Muloc（P，Ft）的一个元素，根据需要，每个u>0。备注4.7。事实上，我们知道定理4.6的一个更一般的版本在没有假设（AC）的情况下仍然成立。这可以通过应用第一个Girsanov定理和第二个诚实时间的放大公式来证明，正如[11]第81段所做的那样。然而，请注意，我们的证明并没有使用放大公式。它只使用诚实时间的定义4.1。

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能者818

2022-5-4 23:38:39

因此，通过设置ρ作为副产品≡ 1我们确实恢复了σ之后的膨胀公式。4.2. 相对鞅。给定一个诚实的时间σ，前一小节中介绍的过程k实际上是一个所谓的“相对鞅”。[6]中介绍了相对鞅，定义如下。定义4.8。让σ成为一个诚实的时间和（Yt）一个（Ft）适应的正确的连续过程，比如Y∞:= 极限→∞Y几乎肯定存在于L（P）中。如果Yt=EP（Y），则称为与σ相关的相对鞅∞{σ≤t} |Ft）为所有t≥ 因此，对于一个诚实的时间σ，过程kt=EP（ρ{σ≤t} |Ft）是一个最终值为k的相关鞅∞= EP（ρ| F）∞). 因此，与σ相关的相对鞅类将为我们提供很好的非平凡例子来说明定理4.6。下面的相对鞅的结果非常有用。引理4.9。设（Yt）是（D）类的连续非负素鞅，其DoobMeyer分解为Y=M+F，其中M∈ Mloc（P，Ft）和F是一个逐渐适应（Ft）的过程。假设M=F=0，P（Y∞= 0）=0，度量（dFt）由集合{t:Yt=0}进行。那么（Yt）是与σ=sup{t相关联的相对鞅≥ 0:Yt=0}。使用引理4.9，我们现在可以给出一个应用Theorem 4.6的例子。例4.10。设B为标准（P，Ft）-布朗运动，L表示其在零级的本地时间。设置σ=sup{σ≤ 1:Bt=0}。次主舱| Bt∧1 |=Zt∧1SN（Bu）dBu+Lt∧1 ful函数符合引理4.9的假设，因此是与σ相关的相对鞅。

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2022-5-4 23:38:43

S设置ρ=|B |我们对t有≤ 1，kt=|Bt |=Ztsgn（Bu）dBu+Ltρt=EP（ρ| Ft）=EP（|B | Ft）=Z∞-∞|x+Bt | p2π（1- t）经验值-x2（1）- （t）dx=|Bt |·2Φ|英国电信|√1.- T- 1.+r2（1）- t） π·exp-|Bt | 2（1）- （t）ht=ρt- kt=2 | Bt |·Φ|英国电信|√1.- T- 1.+r2（1）- t） π·exp-|Bt | 2（1）- （t）dht=2Φ|英国电信|√1.- T- 1.sgn（Bt）dBt+有限变异部分。因此，根据定理4.6，过程wt:=Bt-Zt∧σsgn（Bs）hΦ|学士学位|√1.-s- 1ids | Bs | hΦ|学士学位|√1.-s- 1i+q1-s2π·exp-|Bs | 2（1）-（s）+Zt∧1t∧σdsbsa是（Q，Gt）-布朗运动。4.3. 一个例子与诚实时代的Az’ema SuperMartingale的特殊结构有关。根据Az’ema的结果（参见[4]第300页的Th’eor’eme），在一段诚实的时间内，σ为过程的双p可预测投影APO{σ≤t}T≥0假设（AC）下的满意度，支持磷酸二铵nZP=1o。在[23]中，该性质被用于推导与（AC）下的诚实时间相关的Az’ema超鞅的一般结构，参见[23]中的定理4.1]：引理4.11。对于诚实时间σ，存在一个非负局部（P，Ft）-鞅（Nt）t≥N=1且为Nt的0→ 0 P-a.s.使得zpt=P（σ>t | Ft）=NtNt。因此，根据与例2.12相同的推理，ZPI的It^o-Watanabe分解由Zpt=NPTDPt，NPt=NTA和DPt=Nt=NPt，t给出≥ 引理4.12。设σ为诚实时间，用ZPt=NPt/NPt表示引理4.11中给出的ZPt=P（σ>t | Ft）的乘法成分。那么APσ=AP∞对所有人来说，x≥ 0，PAPσ∈ dx英尺= NPte-集合{x>APt}上的xdx。证据从[23]中的引理2.1我们知道，对于x>0，P小吃≥tNPs>x英尺=NPtx∧1.此外，它遵循引理4.11和it^o的乘积公式，即APt=logNPt,这意味着APσ= EPZ∞阿普达普=· EP美联社∞=· EP日志NP∞=Z∞P日志NP∞> 十、dx=Z∞E-√xdx=1=EP美联社∞.因此，由于A是非递减的，我们必须有APσ=AP∞a、美国。

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2022-5-4 23:38:47

因此，PAPσ>x英尺= P美联社∞> 十、英尺= PNP∞> 前任英尺={NPt>ex}+{NPt≤ex}NPte-十、引理4.12允许我们提供一个有趣的度量变化类别的例子，即使它们可能对给定的（Ft）有不同的影响，局部鞅U在过滤（Ft）中产生相同的（Gt）-U到时间σ的半鞅分解：例4.13。假设σ是最短时间的h，设f:R+→ R+是任何可测量的函数∞f（x）e-xdx=1。然后通过引理4.12，ht=EPFAPσ{σ>t}英尺= EPZ∞tfAPu大埔英尺= 埃普扎普∞APtf（x）dxFt！=EPZAPσAPtf（x）dxFt！=NPtZ∞APtZyAPtf（x）dx e-ydy=NPtZ∞阿普茨∞xe-ydyf（x）dx=NPtZ∞APtf（x）e-xdx，dht=Z∞APtf（x）e-xdx dNPt- NPtf恰当的E-APtdAPt，dut=dhtht=dNPtNPt-F恰当的E-APtdAPtR∞APtf（x）e-xdx=dZPtZPt+d logZ∞APtf（x）e-xdx！，kt=EPFAPσ{σ≤t}英尺= EPF恰当的{σ≤t}英尺= F恰当的1.- ZPt,dkt=-F恰当的dZPt+1.- ZPtdhf恰当的我=-F恰当的dZPt。应用定理4.6我们可以看到，给定一个连续的局部（P，Ft）-鞅U，过程∧σ：=Ut∧σ-Zt∧σdhZP，UisZPs+Zσ∨tσdhZP，Uis1- ZPs，t≥ 0是一个局部（Q，Gt）-鞅，适用于上述定义的所有度量Q，并与函数f satisfyingR相关∞f（x）e-xdx=1。因此，我们注意到过滤（Gt）中U的半鞅分解不依赖于f。然而，注意到Q相对于P的（Ft）-RadonNykodim密度依赖于f:ρt=ht+EPFAPσ{σ≤t}英尺= NPtZ∞APtf（x）e-xdx+f恰当的1.- ZPt.5.测量到伪停止时间的变化在本节中，我们重点讨论一类特殊的随机时间，称为伪停止时间，这类时间在[22]中介绍。定义5.1。正随机变量σ：(Ohm, F）→ （R+，B（R+）称为（P，Ft）伪停止时间，如果每个一致可积（P，Ft）-鞅M的EPMσ=epmf。在[22]中，证明了伪停止时间可以用许多不同的方式来表征：定理5.2。

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2022-5-4 23:38:50

以下是等式：（1）σ是（P，Ft）-伪停止时间。（2）美联社∞≡ 1几乎可以肯定。（3） APσ~ U[0,1]。（4）对于任意局部（P，Ft）-鞅M=（Mt）t≥0，过程（Mt）∧σ） t≥0是局部（P，Gt）-鞅。（5） ZP=1- API是一个递减（Ft）-可预测的过程。证据[22]中的定理1给出了（1）、（2）、（4）和（5）之间的等价性，而蕴涵（1）=>（3）是[22]中命题2的直接结果。最后，关系（2）<=> （3）根据APσ和AP的拉普拉斯变换之间的一般关系∞: 实际上，因为（APt）是（{σ）的双重可预测投影≤t} ），我们有λ·EPE-λAPσ= λ·EPZ∞E-λAPudAPu= 1.- EPE-λAP∞, λ > 0.5.1. 第一个结果。我们立即推导出下面的引理。引理5.3。设σ为（P，Ft）-伪停止时间，并假设ρ=Mσ，其中Mis是从M=1开始的严格正一致可积（P，Ft）-鞅。然后∧σ=Ut∧σ-Zt∧σdhM，U是一个局部（Q，Gt）-鞅。证据根据伪停止时间特性，EPMσ=EPM=1。因此，ρ定义良好。此外，由于定理5.2的第（4）部分，给定任何局部（Ft）-鞅U，过程（Ut）∧σ）是一个局部（Gt）-鞅。尤其是∧σ）是一个局部（Gt）-鞅，由Mσ闭合，因此是一个非if或mly可积（Gt）-鞅。因此，通常在放大过滤中使用的Girsanov表示∧σ=Ut∧σ-Zt∧σdhM，U是一个局部（Q，Gt）-鞅。备注5.4。或者，引理5.3也可以通过应用推论2.2和HT=EP来证明Mσ{σ>t}|Ft= EPMσ∧t{σ>t}|Ft= Mt·P（σ>t | Ft）=Mt（1- APt）。注意，我们不能选择ρ=M∞而不是引理5.3中的ρ=Mσ，因为在一般情况下∞|Gσ）6=Mσ，除非σ是停止时间。此外，通常ρt6=Mt，即。

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2022-5-4 23:38:53

M不是指过滤过程中Q相对于P的密度（Ft）。下一个例子概括了[20]中的例子2，并为我们提供了一类非平凡的度量变化，其最大值为伪停止时间σ，不影响（Ft）-鞅。例5.5。设σ为a（P，Ft）-伪停止时间，设f:R+→ R+是满足Rf（x）dx=1的任何可测量函数。我们选择ρ=fAPσ. 然后=EPFAPσ{σ>t}|Ft= EPZ∞tfAPu大埔英尺=ZAPtf（x）dx，dht=-F恰当的dAPt，dut=dhtht=-F恰当的dAPtRAPtf（y）dy=-duFt.通过推论2.2，对于过程（Ut）中的每个连续局部（P，Ft）-鞅U∧σ） t≥0是局部（Q，Gt）-鞅，因为hU，u它∧σ= -胡适∧σ=0表示所有t≥ 0.注意，ρ的这个特殊选择在σ：（Ut）之前对连续（Ft）-鞅没有任何影响∧σ）对于满足rf（x）dx=1的任何选择，都是局部（Q，Gt）-鞅。与诚实时间相反，P-伪停止时间的定义取决于潜在的概率度量。下面的例子表明，在概率测度的等价变化下，伪stoppingtime属性实际上可能会丢失。例5.6。设σ为F∞-可测量（P，Ft）-伪停止时间和定义随机变量ρ=2ZPσ∈ F∞. S因ZPσ~ U[0，1]根据定理5.2，度量Q=ρ。Pis定义良好，相当于P。我们有eρt=2EPZPσ燃气轮机= 2{σ≤t} ZPσ+2{σ>t}EPZPσ{σ>t}|FtZPt=2{σ≤t} ZPσ+2{σ>t}EPR∞T1.- APu大埔英尺ZPt=2{σ≤t} ZPσ+{σ>t}1.- 恰当的ZPt=ZPt∧σ+{σ≤t} ZPσ，在时间σ处跳跃。此外，ht=EPeρt{σ>t}|Ft= ZPt·EP{σ>t}|Ft=ZPt.因为ρ=EP（ρ| F∞) = ρ∞6=1几乎可以肯定，连续一致可积鞅（ρt）与1不相同。

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2022-5-4 23:38:56

因此，考虑到ZPis的有限变化，ZQt=htρt=ZPtρt不是有限的变化，这意味着σ不是Q-伪停止时间。然而，σ的伪停止时间性质在许多情况下是非常可取的，因为局部鞅在逐渐扩大的过滤中是局部马丁鞅的一部分，直到时间σ，因此半马丁鞅分解不会改变。因此，概率测度是否存在保持伪停时特性的等价变化是一个有趣的数学问题。以下这类措施变化的例子取自信贷风险文献，被称为“Cox构造”。例5.7。假设存在一个独立于F的随机变量U∞P>t=exp(-t）尽管如此，t≥ 0.设∧t为∧的（Ft）自适应连续递增过程∞= ∞ a、 s和d定义σ：=inf{t≥ 0:λt≥ U} 。那么σ是P-pseud o-停止时间，因为zpt=P（σ>t | Ft）=P（λt<U | Ft）=exp(-∧t）。让ρ∈ F∞是EPρ=1的严格正随机变量，定义等效测量值Q:=ρ。P.ThenZQt=htρt=EP（EP（ρ{σ>t}|F∞)|Ft）ρt=EP（ρ·P∧t<U | F∞)|Ft）ρt=EP（ρexp(-∧t）| Ft）ρt=exp(-∧t）。因此，σ是P-和Q-伪停止时间。而且，ZQ=ZPalmost是肯定的。事实上，我们可以证明，在这种情况下，过滤（Ft）浸没在较大的过滤（Gt）中。在金融环境中，如果我们假设股票价格是一个（Ft）适应的过程，那么任何等价的局部鞅测度（参见下面的定义7.4）确实可以用一些ρ来识别∈ F∞因此，如果σ的构造如上所述，则在放大过滤中仍然是一个等价的鞅度量。对于任意P-伪停止时间，刻画保持伪停止时间的测度变化是一个非常具有挑战性且尚未解决的问题，这超出了本文的范围。

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2022-5-4 23:39:00

然而，在下一小节中，我们将讨论伪stoppin g次的某个子类的这个问题，并构造一类具有所需性质的非平凡测度变化。5.2. 一类特殊的伪停止时间。在[22]的第3.2节中，作者提供了在假设（AC）：引理5.8下pseu do停止时间的系统构造。让我和Az\'ema supermartingale Zlentp一起度过一段诚实的时光。那么σ：=supt<L:ZLt=ZLL= 啜饮t<L:ZLt=ZLt是一个P-伪停止时间，它的Az′ema上鞅由zσt:=P（σ>t | Ft）=ZLt，t给出≥ 0.在本章中，我们将只考虑通过引理5.8构造的伪停止时间。这样做的好处是，我们对相关Az’ema su permartingale的结构有更具体的了解。让我们看一个例子。例5.9。我们假设过滤概率空间(Ohm, F、（Ft，P）满足帕萨拉西条件（P），且其上存在（P，Ft）-布朗运动B。让我们为所有人定义一个∈ R和s≥ 0停止时间τas:=inf{t>s:Bt=a}以及随机时间L:=sup{t<τ：Bt=0}，σ：=sup{t<L:Bt=Bt}=sup{t<L:BL=Bt}。然后zp，Lt:=P（L>t | Ft）=1- B+t∧τ、参考文献[25]中的VI.7.12，这意味着σ是（P，Ft）-伪停止时间，参考引理5.8。实际上，这是D.Williams提供的伪停止时间的原始示例，参见[27]。b:R→ R是有界函数，设ρt=EZtb（Bs）dBs.根据诺维科夫准则（ρt）t≥0是一个正（P，Ft）-鞅，根据条件（P）-定义F上的度量Q∞这就是DQDPFt=ρt， T≥ 0.注意，一般情况下，Q只在局部等同于P，也就是说，它可能是F上P的单数∞.根据Girsanov定理，过程wt:=Bt-Ztb（Bs）是Q布朗运动，B是It^o扩散。

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2022-5-4 23:39:03

我们用s（·）表示它的Q尺度函数。利用B的Markov性质，我们计算了L的Q-Az′ema上鞅为（3）ZL，Qt:=Q（L>t | Ft）={τ>t}Qτt>τt | Ft=s（1）- s英国电信∧τs（1）- s（0）∧1.由于s是严格递增函数，σ=sup{t<L:BL=Bt}=supt<L:sBL= s（英国电信）= supnt<L:ZL，QL=ZL，Qto。根据引理5.8，σ因此也是Q-伪停止时间。在上述示例中，选择度量变化，使得Q下诚实时间L的Az'ema supermartingale是P下L的Az'ema su permartingale的单调变换，参见方程（3）。这保证了他们两人同时达到了自己的目标。因此，通过引理5.8与L关联的P-伪停止时间与通过引理5.8与L关联的Q-伪停止时间是一致的。然而，该构造是为这个处理同质差异的特定示例量身定制的，不容易推广。下面的定理提供了一类度量变化，它保持了通过引理5.8构造的P-P seudo停止时间的伪停止时间特性。他们的想法是，在新的测度Q下，下面诚实时间的Az’ema Super-artin gale将是Lunder测度P下的Az’ema Super-artin gale的单调变换。定理5.10。设L为Az’ema supermartingale ZP，Lt:=P（L>t | Ft）的真实时间，并定义P-伪停止时间σ：=supnt<L:ZP，Lt=ZP，LLo。此外，设g:[0，1]→ R是满足Xp的勒贝格可积函数Zzg（y）dydz=1。对于NP=1的非负局部P-鞅，我们可以写出ZP，Lt=NPt/NPt，几乎完全收敛到零。如果过程ρt:=eztgnps！dNPs2NPs！是一致可积（P，Ft）-鞅，那么σ也是关于测度Q:=ρ的Q-伪停止时间∞.P.证明。

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2022-5-4 23:39:07

我们设定Q=ρ∞.P和定义：=HNPTNT·不扩散核武器条约≥ 0，其中h:[0，1]→ R+是函数h（x）=ZxexpZzg（y）dydz。请注意，hs atisesg（x）h′（x）+h′（x）=0，h（1）=h′（1）=1，h（0）=0。这意味着M是局部（Q，Ft）-鞅。事实上，根据吉尔萨诺夫的理论：=NPt-ZtgNPsNPs！DNPs2nps是一个局部（Q，Ft）-鞅，dmt=hNPtNPt！dNPt+NPth\'NPtNPt！“dNPtNPt-dNPtNPt#+h′NPtNPt！DNPtNPt=[h（1）- h′（1）]dNPt+h′NPtNPt！deNt=h\'NPtNPt！登特，因为dNPnNP=NPo。此外，h严格地随着h（1）=1而增加。因此，NP=M和l=supnt>0:NPt=NPto=supt>0:Mt=Mt.自从→ 几乎可以肯定，ZQ，Lt:=Q（L>t | Ft）=mtmtmt=hNPtNPt！NPtMt=HNPTNT！=HZP，中尉.但是σ=supnt<L:ZP，Lt=ZP，LLo=supnt<L:ZQ，Lt=ZQ，LLo和σ是引理5.8的Q-伪停止时间。我们现在给出一个函数g的例子，它完全满足定理5.10中要求的可积条件。例5.11。考虑g（x）=x- c、其中c>0的选择应确保Zexp1.- Z- c（1）- z）dz=1。使用产品集成，ZTNP核动力源dNPs=NPtNPt！- 1.-ZtNPsdNPs核动力源-2NPs核动力源dNPs-ZtdNPs核动力源≤ -ZtNPs核动力源dNPs+2ZtdNPsNPs<=>ZtNPs核动力源dNPs≤ 日志NPt,Xt:=ZtdNPsNPs=NPtNPt- 1+ZtNPsdNPs核动力源=NPtNPt- 1+对数NPt≥ -1，Yt:=ZtgNPsNPs！dNPsNPs=ZtNPsdNPs核动力源- CZTDNPS≤ c+对数NPt≤ c+对数NP∞.首先要注意的是，X=（Xt）是一个一致可积的鞅，有界于fr om以下，因为∞= 0- 1+电子日志NP∞= 0- 1+1=0，其中我们使用了NP∞~ 实验（1），参考引理4.12。此外，支持≥0EPXt≤ EP1+对数NP∞=Z∞（1+x）e-xdx=5。因此X是平方可积的∞= 埃普斯∞gNPtNPt！脱欧≤ （1+c）·EPhXi∞< ∞.作者：伯克霍尔德·戴维斯·甘迪≥0|Yt|<∞ 支配收敛定理得到Y=（Yt）的鞅性。

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能者818

2022-5-4 23:39:10

而且对所有人来说≥ 0，EPexpYt≤ ec/2·EPexp日志NP∞= ec/2·EPqNP∞= ec/2·Zdx√x=2ec/2。在等式中，由y（exp/t）表示≥0是一致可积的s次鞅，Kazamaki判据意味着（ρt）的一致可积性。[20]中示例1的推广在本节中，我们回到[20]，这是本文的出发点。目的是推广[20]中的例子1，它与布朗运动的路径分解有关。因为在这个例子中，σ是最短时间的h，我们可以使用定理4.6将测量变化扩展到时间σ之外。此外，在[20]中，作者对他们的例子进行了阿马尔科夫式的研究。然而，事实证明，他们的例子与引理5.8中的构造有关，它允许我们从不同的角度来看待它，并将其扩展到一般的诚实时代。其结构如下：让σ成为一个诚实的时间。在本小节中，其关于toP的Az’ema上鞅将用Doob-Meyer分解Zσt=mσt表示为Zσt=P（σ>t | Ft）- 然后通过引理5.8，π=sup{t<σ：Zσt=Zσ∑}是P-伪停止时间，Zπt:=P（π>t|Ft）=infu≤tZσu=Zσt=：1- Aπt为allt≥ 0.根据定理5.2，我们知道Aππ是均匀分布的，我们可以定义ρ：=f（Aππ）∈ C[0，1]，f>0，rf（x）dx=1。

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2022-5-4 23:39:15

那么EPρ=1，我们有t=Eρ{σ>t}|Ft= Ef（Aππ）{σ>t}|Ft= Ef（Aππ）{σ>t≥π} |英尺+Ef（Aππ）{π>t}|Ft.例5.5中已经计算了Rhs上的第二项f（Aππ）{π>t}|Ft=ZAπtf（x）dx。关于第一项，我们有p（σ>t）≥ π| Ft）=P（σ>t |Ft）- P（π>t | Ft）=Zσt- ZπtandEf（Aππ）{σ>t≥π} |英尺= Ef（1）- Zσπ）{σ>t≥π} |英尺= Ef（1）- Zσt）{σ>t≥π} |英尺= f（1）- Zσt）·（Zσt）- Zπt）=f（Aπt）·（Zσt）- Zπt）。因此，ht=ZAπtf（x）dx+f（Aπt）（Zσt- Zπt）dht=-f（Aπt）dAπt+f′（Aπt）（Zσt）- Zπt）dAπt+f（Aπt）（dZσt）- dZπt）。从1- Aπt=Zπt=Zσt，我们有supp（dAπt） {Zπt=Zσt}，这意味着th atdht=f（Aπt）（dZσt）- dZπt- 因此，dut=dhtht=f（Aπt）dZσtRAπtf（x）dx+f（Aπt）（Zσt）- Zπt），duFt=f（Aπt）dAσtRAπtf（x）dx+f（Aπt）Aπt，其中我们使用了supp（dAσt） {Zσt=1}，参见引理4.12。因为σ是诚实的，所以对于所有t>0，都存在一个Ft可测量的dom变量σtsuchthatσ=σton{σ<t}。事实上，我们可以选择σt=sup{u≤ t:Zσu=1}因为σ=sup{u≥ 根据[17]中的Lemme（5,2），0:Zσu=1}。SinceAπ=1- Zπ=1- Zσπ=1- Zσσ=1- Zπσ=Aπσ，这意味着kT=EPf（Aππ）{σ≤t} |英尺= EPf（Aπσ）{σ≤t} |英尺= Fπσt(1 - Zσt）dkt=-FπσtdZσt+{σt=t}（1- Zσt）df（Aπt）=-Fπσt因此，关于{σ≤ t} 我们有kt=f（Aπσ）（1）- Zσt）。现在我们可以应用定理4.6来推断f或任何局部（P，Ft）-鞅U的过程vt=Ut-Zt∧σf（Aπs）dhmσ，UisRAπsf（x）dx+f（Aπs）（Zσs）- Zπs）+Zσ∨tσdhmσ，Uis1- Zσ是局部（Q，Gt）-鞅。当然，结果并不令人惊讶，因为ρ=Aππ=Aπσ∈ Gσ。因此，测量值在σ之后没有影响，我们确实从区间[σ]上P下的放大公式中恢复了USAUALTERM∧t、例如，可以在[17]中找到，Th\'eor\'eme（5,10）。让我们简要回顾一下[20]中的示例1，看看它在上述框架中是如何实现的。例6.1。

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