在市场模型（St，Ft，P）中，存在第一类套利，当且仅当存在非负可测随机变量ξ，且P（ξ>0）>0，使得对于所有a>0，存在a-容许交易策略θ，使得V（a，θ）∞≥ ξ几乎可以肯定。如果没有第一类套利，我们认为市场满足NA1（第一类无套利）条件具有消失风险的免费午餐（FLVR）当且仅当存在一个ε>0且（Ft）可容许策略的序列（θn）以及一个收敛为1的正数递增序列（δn），使得P（V（0，θn）∞> -1+δn=1和P（V（0，θn）∞> ε) ≥ ε. 否则，我们认为市场满足NFLVR（没有风险消失的免费午餐）条件。在本节中，我们将假设市场模型（St、Ft、P）满足NFLVR。现在，一个自然的问题是，通过随机时间σ逐步扩大过滤，在添加新信息后，市场是否仍然没有套利。我们将再次假设σ（Ft）-停止时间，即假设（A）满足。如[19]所示，如果S不是半鞅，NA1失败。此外，根据[10]中的Orem 7.2，如果S不是半鞅，则存在风险为零的免费午餐，我们只使用简单的交易策略。由于一般而言，在逐步扩大过滤的情况下，S在时间σ之前仅为半鞅，因此我们将在下文中限制自己的问题，即市场∧σ、 燃气轮机∧σ、 P）无套利。在σ是诚实时间的情况下，这个问题h已在[13]中详细讨论过。另请注意，在整个时间视界上存在一个等价的局部鞅测度[0，∞) 之前已经在[8]中讨论过，其中指出了它与所谓的（H）-假设的联系。7.1. [0，σ]上的NFLVR∧ [T]。

下面的定理给出了在时间范围[0，T]上有NFLVR的必要条件∧ σ] 这里T是一个（Ft）-停止时间。在σ为诚实时间的情况下，可在[13]中找到以下陈述以及长期技术证明。然而，我们将给出一个显然是新的证明，它适用于所有避免停止时间的随机时间，这诉诸于纯粹的直觉推理。为此，我们直接使用NFLVR的上述定义。定理7.2。让T成为一个（Ft）-停止时间。如果PTZP≤ T= 0，则NFLVR在时间范围内也会在扩大的金融市场中出现[0，σ∧ [T]。证明的思想是，即使在时间T，我们也不能确定σ已经发生，因为PTZP≤ T= 0.证明。首先请注意TZP≤ T= 0<=> ZPT>0 P-a.s.我们从矛盾的角度出发：假设在时间范围[0，σ]内扩大的市场中存在一个FLVR∧ [T]。然后存在一系列（Gt）-可容许交易策略（θn）n∈一个递增的确定序列（δn）向1转化，使得对于某些ε>0和所有n∈ N、 P（V（0，θN）σ∧T>-1+δn=1，P（V（0，θn）σ∧T> ε）≥ ε.使用附录中的引理A.1，我们可以找到每个n∈ N一个（Ft）-可预测过程（ynt），使得θ和ynt几乎肯定一致于时间σ，即θnt{t≤σ} =ynt{t≤σ} T≥ 首先，我们将证明每个yn在时间T之前都是S-可积的。为此，让我们用S=S+M+B表示S的（Ft）-半鞅分解，其中M∈ Mloc（Ft）和Bis的有限变化。

根据放大公式（1），存在一个局部（Gt）-鞅，如th atMt∧σ=fMt+Zt∧σdhM，mPiuZPu，t≥ 因此，S到时间σ的（Gt）-半鞅分解由T给出∧σ=S+fMt+eBt∧σ带EBT:=Bt+Zt∧σdhM，mPiuZPu。因为S、M和Fm是连续的，因此B和B也是连续的，所以S、M和Fm的二次变化过程几乎肯定是相等的，并且不依赖于过滤。由于θnis可容许，它在[0，σ]上是S-可积的∧ T]我们等于σ∧T（θnu）dhSiu<∞ 以及rσ∧T|θnu|deBu|∞ 几乎可以肯定。此外，通过渡边不等式，Zσ∧T |θnu | | dhM，mPiu | ZPu≤Zσ∧T（θnu）dhSiu1/2Zσ∧TdhmPiuZPu1/2< ∞ a、 因为MPI是一致可积鞅，TZP>σ几乎是唯一的，参见[17]中的Lemme（4,3）。因此，alsoRσ∧T|θnu|dBu|<∞ 几乎是不安的。现在观察0=PZσ∧T |θnu | dBu |=∞= PZσ∧T | ynu | | dBu |=∞≥ Pσ>T；ZT | ynu | dBu |=∞= EPZPT{RT | ynu | dBu|=∞}同样，0=PZσ∧T（θnu）dhSiu=∞= PZσ∧T（ynu）dhSiu=∞≥ Pσ>T；ZT（ynu）dhSiu=∞= EPZPT{RT（ynu）dhSiu=∞}.由于ZPT>0，我们得出结论：rt|ynu|dBu|∞ 安德特（ynu）dhSiu<∞ 几乎可以肯定，也就是说，直到时间T，ynis S-可积。此外，由于θnis容许存在∈ R+使所有的t≥ 0，P（V（0，θn）σ∧T∧T>-an=1。我们将证明alsoP（V（0，yn）t∧T>-an=1 T≥ 0.假设情况并非如此，即存在t≥ 0与p（V（0，yn）t∧T≤ -an）>0。因为ZPT>0几乎可以肯定，这意味着0<EP{V（0，yn）t∧T≤-an}ZPT= P（V（0，yn）T∧T≤ -一σ>T）=P（V（0，θn）σ∧T∧T≤ -一σ>T）≤ P（V（0，θn）σ∧T∧T≤ -an=0，矛盾。因此，对于（St、Ft、P）市场而言，每种策略都是一种可接受的策略。

此外，通过与上述相同的推理，我们可以推断P（V（0，yn）T>-1+δn）=1。每n∈ N我们定义（Ft）-交易策略θnt:=ynt{0≤T≤Tnε}，式中Tnε：=inf{t≥ 0:V（0，yn）t=ε}。显然，θ也是可容许的，p（V（0，θn）T>-1+δn）≥ P（V（0，yn）T>-1+δn）=1。此外，PV（0，θn）T>ε≥ P（Tnε）≤ T）=P( U≤ T:V（0，yn）u≥ ε)≥ P( U≤ σ ∧ T:V（0，yn）u≥ ε） =P( U≤ σ ∧ T:V（0，θn）u≥ ε)≥ P（V（0，θn）σ∧T≥ ε) > ε.选择eε：=ε/2，这将给出关于（Ft）的FLVR，这在假设中是不可能的。备注7.3。事实上，在eorem 7.2声明中要求TZQ≤ T对于some测度Q~ 这直接来自定理的陈述，但也可以被看作如下：由于ρ：=dQdP>0，我们有{ZP>0}={h>0}={ZQ>0}=> TZP=TZQa。s、 7.2。[0，σ]上的局部鞅定义及等价局部鞅测度∧ [T]。不必直接使用NFLVR的定义，还可以利用资产定价的基本定理，参见定理7.5，并寻找下面定义的双变量的存在性。这种方法将用于以下内容。定义7.4。在市场模型（St，Ft，P）中，我们称之为o严格正局部（Ft）-鞅（Lt），L=1和L∞> 0 a.s.局部鞅定义，如果过程（LtSt）是局部（Ft）-鞅eP:=L∞.P一个等价的局部鞅测度（ELMM），如果存在一个局部鞅导数（Lt），它是由L封闭的一致可积鞅∞.[10]和[18]中可以找到以下非常重要的定理的证明，但[18]中的证明并不适用于有限时间范围的情况。定理7.5。

在金融市场模型（St，Ft，P）中，NA1条件相当于局部鞅的e xi恶臭NFLV R条件等价于ELMM的存在。在下文中，我们将通过在放大过滤中寻找局部鞅函数/ELMM来探讨NA1/NFLVR在随机时间内的问题。自始至终，我们将用Q=ρ表示。P（St，Ft，P）市场的ELMM，该市场因OREM 7.5而存在，因为假设该市场满足NFLVR。如前所述，我们用ρt:=EP（ρ| Ft），t表示≥ 0，它相对于（Ft）的Radon Nikoydm导数。此外，wedenote by ZP=NPDPT表示ZP的It^o-Watanabe分解，参见备注2.7。下面的引理a在[13]中证明了Q=P的诚实时间的情况，其中指出它在更大的普遍性中也成立。为了完整性，我们还提供了一个证明。引理7.6。过程（ρt）∧σ/NPt∧σ） t≥0是（St）的局部鞅函数∧σ） 在过滤（Gt）中，即在时间范围[0，σ]内，N A1相对于（Gt）成立。证据首先注意，过程（ρt∧σ/NPt∧σ） 定义明确，sin ce TZP>σa.s.IfX∈ Mloc（P，Ft），然后通过放大公式（2）将processeseXt:=Xt∧σ-Zt∧σdhX，NPisNPsandeNPt:=NPt∧σ-Zt∧σdhnpis是局部（P，Gt）-鞅。由此，我们得到了关于[0，σ]，d的^o公式XNP=dXNP-X（NP）dNP+X（NP）dhNPi-dhX，NPi（NP）=XNPdeXX+dhX，NPiXNP-登普-dhNPi（NP）+dhNPi（NP）-dhX，NPiXNP=XNPdeXX-登普！。因此∧σ/NPt∧σ) ∈ Mloc（P，Gt）。特别是，取X=（ρt）得到（ρt）∧σ/NPt∧σ) ∈Mloc（P，Gt）。由于NP是一个非负局部（P，Ft）-鞅，所以它不会爆炸。因此，P（NPσ=∞) = 此外，我们可以选择X=（ρtSt），这是局部（P，Ft）-鞅，因为（ρt）是（St，Ft，P）市场中的局部鞅定义。

这就产生了圣∧σρt∧σNPt∧σ∈ Mloc（P，Gt）及其前（ρt∧σ/NPt∧σ） 是[0，σ]上放大过滤的局部鞅函数。备注7.7。NA1在逐步扩大的过滤中的有效性最近被证明具有更大的普遍性，无需假设（AC），参见[1,2,3]。[13]表明，对于诚实时间，条件PTZP≤ T= 我们在定理7.2中推导出的0，对于[0，T]上的NFLVR，不仅是有效的，而且是必要的∧ σ] 一个完整的市场。然而，条件PTZP≤ T= 如以下示例所示，即使在一个完整的市场中，通常也不需要0。例7.8。设σ为有界的P-伪停止时间。然后1-ZP=AP=1，因此PTZP≤ 1.= 1.然而，由于σ是P-pseud o-停止时间，因此EPρσ=1和NP≡ 1.因此，（ρt）∧σ） 是EPρσ=1的局部鞅，由于Emma 7.6，因此是一致可积的martin gale，它定义了∧σ、 燃气轮机∧σ、 P）市场模式。因此，NFLVR在[0，σ]=[0，σ]区间的扩大市场中保持稳定∧ 1].接下来，我们证明了一个充分必要的判据，使得（ρt∧σ/NPt∧σ） 是时间区间[0，σ]上的一致可积鞅∧ T]，其中T是（Ft）-停止时间。事实证明，这个标准的限制性比条件P要小TZP≤ T= 0在定理7.2中推导。定理7.9。让T成为一个（Ft）-停止时间。然后ρt∧σ∧TNPt∧σ∧T∈ 穆。i、 （P，Gt）<=> EP数据处理∞{TNP≤T}= 0.证明。局部（Gt）-鞅（ρt）∧σ∧T/NPt∧σ∧T） T≥0是一致可积鞅当且仅当EP（ρσ）∧T/NPσ∧T） =1。

因为σ<TZP=TNP∧ 当然了，EPρσ∧TNPσ∧T= EPnTZP>σoρσ∧TNPσ∧T= EPZTZPρu∧特恩普∧TdAPu= EPZTZP∧TρuNPudAPu+nTZP>到ρTNPTAPTZP- 恰当的= EP-ZTZP∧TρudDPu+nTZP>到ρTNPTmPTZP- 恰当的= 情商1.- 民进党∧T+nTZP>ToZPTNPT= 情商1.- 民进党∧T+nTZP>ToDPT= 1.- 情商DPTZPnTZP≤到= 1.- 情商DPTZPnTNP≤到= 1.- 情商数据处理∞nTNP≤到,在上一次平等中，我们使用了supp（dDP） {ZP>0}，参见备注2.7。最后请注意数据处理∞{TNP≤T}= 0<=> EP数据处理∞{TNP≤T}= 0备注7.10。对于一个诚实的时间σ，ZPis的乘法分解由zpt=NPt/NPt给出，其中np是一个几乎肯定收敛到零的非负局部鞅，参见引理4.11。由于非负局部鞅几乎肯定不会爆炸，DP∞=NP∞> 因此，这个过程ρt∧σ∧T/NPt∧σ∧T是一致可积鞅当且仅当ifPTNP≤ T= PTZP≤ T= 0.特别是，如果TNP=∞ 几乎是绝对的∧t/NPσ∧t） t≥0实际上是一个真正的鞅，而不是一个严格的局部鞅，参见[13]中的备注3.6。然而，请注意，定理7.9暗示ρt∧σ/NPt∧σ永远不是一致可积的。我们现在可以推导出定理7.2的结果，作为定理7.9的推论。推论7.11。让T成为一个（Ft）-停止时间。如果PTZP≤ T= 0，然后在时间间隔[0，T]扩大的市场中∧ σ].证据如果PTZP≤ T= 0，那么T≥ TNP= PT≥ TNP≥ TZP= 因此，该主张遵循定理7.9、引理7.6和定理7.5。此外，取T=∞ 在定理7.9中，我们得到以下推论。推论7.12。如果DP∞= 几乎可以肯定的是，NFLVR在[0，σ]与过滤（Gt）相关的区间内保持不变。当然，每一次伪停车时间都会填满DP∞= 1.- 美联社∞= 1.- 1 = 0.

下面的例子，kn own作为“Emery”的例子，说明还有其他随机时间，它满足推论7.12的假设，因此允许等价的局部鞅测度达到时间σ。例7.13。设W为（P，Ft）-布朗运动，设σ=sup{t≤ 1:2Wt=W}。相应的Az'ema上鞅为zpt=rπZ∞|Wt|√1.-txe-x/2dx=mPt-rπZt | Wu |（1）- u） 3/2exp-Wu2（1）- u）Dump6≡ 1，参见[16]中的第5.6.5节。每n∈ N定义挫折N=（|Wu |>rn） U∈1.-n、 一,)注意1=P（W6=0）=limn→∞P（Bn）。在片场上，我们为大家准备了∈1.-n、 一,,|吴|√1.- u>√还有亨塞兹∞|吴|√1.-uxe-x/2dx≤Z∞|吴|√1.-u（x）- 1） e-x/2dx=|Wu|√1.- uexp-Wu2（1）- u）.因此，以下估计值适用于Bn:ZdAPtZPt≥Z1-ndAPtZPt=Z1-ndAPtqπR∞|Wt|√1.-txe-x/2dx≥Z1-ndAPtqπ| Wt|√1.-特克斯-Wt2（1）-（t）=Z1-ndt1-t=∞.因此，在每个BNP上，我们都有DP∞= DP=exp-ZdAPtZPt= 0，并在otone convergenceEP上以m为单位数据处理∞= 画→∞EP数据处理∞Bn= 0<=> 数据处理∞= 0 P-a.s.附录a.a.1。一个有用的引理。例如，在图XX中可以找到以下著名的Lemm a。第75页，共[11]。引理A.1。（1） 如果G是一个（Gt）-可预测过程，那么存在一个（Ft）-可预测过程Fsuch thatGt{t≤σ} =Ft{t≤σ} ，t≥ 0.（2）如果ξ是一个P-可积变量，则EP（ξ{σ>t}| Gt）={σ>t}EP（ξ{σ>t}| Ft）ZPt。（3） 如果T是一个（Gt）-停止时间，那么存在一个（Ft）-停止时间S，即T∧ σ=S∧ σ.A.2。条件（P）。以下条件可追溯到Parthasarathy，参见[24]，并在[21]中标记为条件（P）。定义A.2。让(Ohm, F、 （Ft）t≥0）是一个经过过滤的可测空间，因此F是由（Ft）t生成的σ代数≥0:F=Wt≥0英尺。

我们应该说，只有当（Ft）t时，财产（P）才成立≥0享受以下条件：o对于所有t≥ 0，由可数个集合生成的FTI。o尽管如此，t≥ 0，存在一个抛光空间Ohmt、 和一个满射映射πtfromOhm 到Ohmt、 因此，fti是πtof-Borel集的逆像的σ-代数Ohmt、 对于所有的B∈ Ft，ω∈ Ohm, πt（ω）∈ πt（B）意味着ω∈ B.o如果（ωn）n≥0是元素的序列Ohm 这样的话≥ 0，N\\N≥0An（ωn）6=,式中，An（ωn）是fn中包含ωn的集合的交集，则∞\\N≥0An（ωn）6=.参考文献[1]B.Acciaio、C.Fontana和C.Kardaras。第一类套利和过滤扩大了金融模型的复杂性。即将出版的《随机过程及其应用》，2016年。[2] A.Aksamit、T.Choulli、J.Deng和d M.Jeanblanc。半鞅模型的无套利到ran dom h orizon。预印本，可从arXiv获得：1310.1142v2，2014。[3] A.Aksamit、T.Chou-lli、J.Deng和M.Jeanblanc。在逐步扩大的背景下进行套利。C.Hillairet等人，《编辑，套利，信用和信息风险》，北京大学数学系第6卷，第55-88页。《世界科学》，2014年。[4] J.阿兹埃马。《过程的一般应用》，第一卷《数学发明》，1972年第18:293–336页。[5] J.阿兹埃马。表示乘法d\'une surmartingale bornee。Z.Wahrscheinlichkeits理论观点。格比特，45:191–2111978。[6] J.Az\'ema、P.A.Meyer和M.Yor。鞅。在J.Az\'ema等人的《编辑》，S\'Eminare deprobabilit\'es XXVI，数学课堂讲稿第1526卷，第307-321页。柏林斯普林格，1992年。[7] 巴洛。对过滤的研究扩展到包括诚实的时间。Z.Wahrscheinlichkeits理论观点。格比特，44:307-3231978。[8] D.科库列斯库、M.珍布兰科和A.尼基·阿里。

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