我们应该这样理解函数g：当怀疑动力系统需要很长时间才能退出集合S=r时，g（r，θ）必须很大*+×(-π/2，π/2）来自（r，θ）。相反，在基本决定论动力系统的向量场将轨迹推出S的区域，它应该很小。如图4所示，我们不需要考虑S的子域：布朗运动的作用是椭圆的，我们总是可以从沙在S中停留任意长时间的任何点开始建立一些轨迹。注意，当r很小时，起点就在原点附近，无论θ的值是什么，因此，函数g（r，θ）很小（见图4的右侧）。3.2.3次椭圆情形我们现在回到定理4下界的研究。这一结果在下文第29号提案中得到了证实。从推论13中我们知道，在时间和空间变量线性变化的情况下，初始动态可能会简化为图4所示的简化随机演化：左：要避免的区域是θ∈ [π/2, 3π/2]. 椭圆的情况用完整的蓝白双箭头来说明：布朗运动总是向各个方向运动。蓝色：旋转+同质向量场。右：函数θ7→ g（r，θ）表示r的几个值，由方程（25）表示。同样，让我们在极坐标中写出相应的最小生成元Lρ（见第二附录中给出的命题41）：Lρ=-ρrr+θ+sinθrr-sinθcosθrθ+正弦θcosθrrθ+cosθ2rr+cosθ2rθ（37）与ρ=-a2ω。如前所述，我们希望使用类似于椭圆情况下考虑的策略。然而，次椭圆问题更为复杂。

粗略地说，微分分量的退化意味着在π/2附近，（25）的解的路径不能被布朗运动的作用强烈地减慢（见备注23和下面关于布朗桥的研究）。换句话说，我们无法（而且似乎确实不可能）构建一个函数β，使得前面小节中定义的函数ψ是下界的。因此，我们的想法是将区域缩小到{（x，y），x>0}中包含的较小角扇形区域，其中布朗运动的扩散作用更有可能在S中保持该过程。因此，我们考虑一类更一般的函数g（必须在方程中进行校准）和deneg（r，θ）=rnγ（θ）eβ（θ）r（38），其中n是正整数，γ和β是一些充分光滑的函数。现在β应该被一个负常数限定，这样g才有可能有界。选择新函数γ是为了使g在角扇形内部为正，并在S的边界上消失。我们首先描述Lρ对此类函数g的影响（计算推迟到第二个附录）。24号提案适用于任何g∈ CR+×-π,π, R由（38）给出，一个（r，θ）∈ R*+×h-π、 πiLρg（r，θ）=~n（θ）r+~n（θ）+~n（θ）rg（r，θ），其中φ（θ）=-2ρβ(θ) + β(θ) +2 sinθβ（θ）+cosθβ（θ）,φ(θ) = -nρ+β（θ）（4n+2）sinθ+2 cosθ+ （1+2β（θ）cosθ+4β（θ）sinθcosθ）γγ（θ）+β（θ）cosθ+2（n+1）cosθsinθβ（θ），ν（θ）=（n- n） sinθ+cosθ（n+γ（θ）γ（θ））+2（n- 1） sinθcosθγ（θ）γ（θ）。我们现在需要找到一个（开放的）角扇区S={（r cosθ，r sinθ），θ<θ<θ}，一个正整数，一些函数γ和β，比如1。γ（θ）>0（θ，θ），γ（θ）=γ（θ）=0，β（θ）≤ [θ，θ]上的0，2。在S，3上，φ和φ是非负的。ν是下界的。4.

β由一个负常数限定。这就是下一个命题的目的。命题25 Letρ≥ 0.（i）设g由（38）定义，n=2，γ（θ）=(-sin（2θ）ifθ∈ [-π, -π] cos（π/4+θ）ifθ∈ [-π、 π]（39）和β（θ）=-. 然后，对于每r>0和θ∈] -π、 π[与θ6=-π、 Lρg（r，θ）≥ -（3+2ρ）g（r，θ）。（ii）因此，对于任意开放半平面H，S:={（r cosθ，r sinθ），r>0，θ∈] -π,π[}  H、 对于m（H）=1的任何概率测度，我们有lim supt→+∞-tlog（Pm（τH）≥ t） )≤ 3 + 2ρ.注26：图5显示了与随机演化研究的漂移部分相对应的向量场，以及最有利的起点位置（预计是g变大的点），以便将过程保持在S中较长时间。如上所述，现在避免了角扇形[π/4，π/2]，以使过程保持在半平面x>0。此外，图5的右侧显示，也禁止过大的r值（toolarge或太小的值）：小的值是不利的，因为它对应的起始位置非常接近原点（并且自然接近x轴=0）。由于漂移向量场的范数较大，为了使过程保持在S中，布朗运动必须对其进行修正，因此r的大值也是不利的。通过对n和γ的建议选择，我们可以检查φ（θ）=（如果θ为0）∈ [-π, -π)1-sin（2θ）ifθ∈ (-π、 π）图5：左：要避免的域是θ∈ [π/4, 3π/2]. 亚椭圆的情况用秩1双箭头表示：布朗运动只能在垂直方向上移动。蓝色：旋转+同质向量场。右：函数θ7→ g（r，θ）表示r的多个值，因此φ是非负的。因为β是常数，ρ是非负的，所以φ是非负的事实是显而易见的。因此，它仍然需要重点关注。

事实上，简单的计算结果表明，η（θ）=-（3+2ρ）开[-π、 π）鉴于θ ∈ (-π, -π], φ(θ) = -（3+2ρ）+tan（2θ）。第一个断言的结论如下。（ii）根据命题19和前面的内容，对于任何概率测度mS，如mS（S）=1，lim supt→+∞-tlog（PmS（τS）≥ t） )≤ 3 + 2ρ. （40）现在，考虑一下一般情况。设m（H）=1的概率。然后，对于everyt>0，对于每个a.s.最终停止时间T，Pm（τH≥ （t）≥ Pm（τH）≥ T+T）≥ Pm（τH>T，Zs）∈ ss∈ [T，T+T]）。因此，Pm（τH≥ （t）≥ 相对长度单位{τH>T，ZT∈S} P（Zs+T）∈ ss∈ [0，t]|英尺）.根据马尔可夫性质，Pm（τH≥ （t）≥ Em[1{τH>T，ZT∈SPZT（τS）≥ t） ]。如果我们假设T是pm（τH>T，ZT）∈ S） >0，（41）那么，-tlog（Pm（τH）≥ t） )≤ -tlog（Pm（τH>T，ZT∈ S） )-tlog（PmS（τS）≥ t） ，其中Msi是为每个有界可测函数h:R定义的概率度量→ RbymS（h）=Pm（τh>T，ZT∈ S） Em[h（ZT）1{τh>T，ZT∈S} ]。By（40）和Pm（τH>T，ZT）的（严格）正性∈ S） ，我们获得了thatlim supt→+∞-tlog（Pm（τH）≥ t） )≤ 3 + 2ρ.因此，它还有待证明（41）。对于每一个（x，y），这当然足以证明∈ H、 存在一个确定性正T（x，y），使得p（x，y）（τH>T（x，y），ZT（x，y）∈ S） >0。其想法是建立一些“良好”的受控轨迹：让∈ L2，loc（R+，R），并用（z k（t））t表示≥0受控系统的解决方案（˙x（t）=-ρx（t）- y（t）˙y（t）=-ρy（t）+x（t）+~n（t）从z=（x，y）开始∈ H.可以应用经典支撑定理（见[17]），因为扩散系数是Lipschitz连续的。这意味着（41）是真的，只要存在这样一个解（z~n（t））t∈[0，T（x，y）]属于H，因此zа（T（x，y））属于S。可以通过以下引理建立这样的受控轨迹。引理27 Letκ∈ (0, +∞] 设置Hκ={（x，y），y<κx}和H∞= D（{（x，y），x>0}）。（i） 让（x，y）∈ Hκ与y≥ 0

然后，对于每一个v∈ (-∞, y] ，存在一个受控区域（xа（t），yа（t））t≥0从（x，y）和一个正tv开始，使得{z~n（t）：t≥ 0} Hκ∩ H∞, xа（Tv）>0和yа（Tv）=v.（ii）Let（x，y）∈ Hκ与y≤ 考虑（x（t），y（t））t≥0自由动力系统的解决方案（即，带有的受控轨迹）≡ 0）从（x，y）开始。然后，存在T>0使得（x（T），y（T））T∈[0，T] Hκ，使得（x（T），y（T））=（aT，0）aT>0。此外，写入（x，y）=（rco(-θ） ，rsin(-θ） ）（r>0和θ∈ (π -Arctan（κ），0]），这个性质与T=θ和aT=re有关-ρθ.备注28注意，这个引理也将用于命题35的证明（见步骤3）。这就是为什么它的陈述比我们证明前一个命题所需要的要尖锐一些的原因。证明（i）在不丧失一般性的情况下，我们只在κ<+∞. 这样做的目的是使第二组分的导数足够大。更准确地说，对于每M>0，（˙xM（t）=-ρxM（t）- yM（t）˙yM（t）=-确定受控轨迹的方程式（通过设置φ（t）=-M+ρyM（t）+xM（t））。此外，用z=（x，y）表示它的起点，我们有ym（t）=-Mt+YAN和xM（t）=x+Mρ+yρE-ρt+Mρt-Mρ-yρ。首先，让我们选择足够大的M，以便所有t≥ 0，xM（t）>0和（xM（t），yM（t））∈ Hκ，即xM（t）>0和κxM（t）- yM（t）≥ 0代表所有t≥ 0.对oft导数的简单研究→ xM（t）产量T≥ 0，xM（t）≥ xM（t*M） 和t*M=ρlog1+ρM（y+ρx）和xm（t*M） =Mρlog1+ρM（y+ρx）-yρM→+∞-----→ x、 因此，对于每一个ε>0，存在足够大的Mε，使得x（t*Mε）≥ κx- ε.

对任何M>0和t使用该值≥ 0，yM（t）≤ yand设置ε=κx-y、 我们得到了T≥ 0，xMε（t）>0和κxMε（t）- yMε（t）>0。因为yMε是一个连续函数，所以yMε（t）→ -∞ 作为t→ +∞, 因此，对于每个人来说∈ (-∞, y] 存在Tv>0，使得yMε（Tv）=v.（ii）由于自由动力系统的解满足（x（t），y（t））=re，因此结果是明显的-ρt（cos（t）- θ） ，sin（t-θ） ）t≥ 0现在我们可以证明定理4的下界了。提案29 Let（Zt）t≥0是（7）与（1）的解决方案+√)A.≤ 设τ=inf{t>0，Xt=0}。然后，对于每个概率测度，m（{（x，y），x>0}）=1，lim supt→+∞-tlog（Pm（τ）≥ t） )≤3+aωω.备注30 Sinceaω=（ba-)-,支持（a，b），0<（1）+√)A.≤B3+aω= 3 + (+√)-≤ 4.这对应于定理4中给出的界。然而，读者可以注意到，上述结果产生了一些更明确的界限。特别是，当a趋于0时，3+a/ω趋于3。ProofLet z=（x，y）∈ r使x>0。由于布朗运动的对称性，我们可以检查Pz（τ≥ t） =P-z（τD）-≥ t） 其中z=（x，y）*, D-= {（x，y），x<0}和τD-= inf{t≥ 0，Zt∈ Dc-}.第二，设置v=（b（a- b） ，1）*Pv=（v，Bv）和B=ω（A+aI）。根据推论13，存在α>0，使得（~Zt）t≥0:= (√ωαP-1vZtω）t≥0是（25）的解。分别用（x，y）和（~x，~y）表示标准基和基中的坐标B=（v，Bv）。计算PV（x，~y）*, 一种是在新的基础上检查集合D-对应于半平面Hκ，由Hκ={（~x，~y），~y<κx}定义，其中κ=ωB-A..此外，从（~Zt）t的定义来看≥0，我们有τ-zD-= ~τ- ~zHκ与~τHκ=inf{t≥ 0，~Zt∈ Hcκ}和∧z=√ωαP-1vz。尤其是P-z（τD-≥ t） =P-~z（~τHκ≥ ωt），所以对于任何概率，比如m（{（x，y），x>0}）=1，Pm（τD）-≥ t） =Pm（τHκ≥ ωt）式中m:=mo （z）7→ -√ωαP-1vz）满意度m（Hκ）=1。

现在，什么时候+√)A.≤ b、 一张支票≥ 1，使得Hκ包含命题25（在极坐标中写入）的集S={（~x，~y），~x>0，~y<~x}。应用这个命题的第二项ρ=a/（2ω），我们最终得出结论→+∞-tlog（Pm（τ）≥ t） ）=ωlim supt→+∞-ωtlog（P)m（)τHκ≥ ωt）≤ ω3+aω.在这一节中，我们研究与我们的动力系统相关的扩散桥。然后我们用它来建立P（x，y）（τ）的一些下界≥ t） （式中τ：=inf{t≥ 0，Zt∈ （x，y，x<0}）。4.1桥梁的小时间爆炸我们的目标是证明定理6并讨论一些相关结果。因为我们主要是利用问题的高斯特征，所以我们可以直接使用过程Z，其演化由（7）给出。然而，第2.1小节中的计算表明，更可取的做法是首先考虑第2.2小节中的简化。所以我们首先考虑二维的Ornstein-Uhlenbeck过程（Zt）≥0B（Xt，Yt）t≥他们的进化是由dXt=(-ρXt- Yt）dtdYt=(-ρYt+Xt）dt+√2dWt（42），其中ρ∈ R和（Wt）t≥0是标准的真布朗运动。让我们进一步假设Z的初始条件是一个确定性点Z=（x，y）*∈ R

第2小节的论点。1证明Z是高斯的，更精确地说，我们有：引理31，对于任何t≥ 0，zt分布为均值mt（z）和方差∑t的高斯定律，其中mt（z）B exp(-ρt）xcos（t）- ysin（t）xsin（t）+ycos（t）∑t（1，1）B1- E-2ρt2ρ-E-2ρt2（1+ρ）（sin（2t）- ρcos（2t））-ρ2（1+ρ）∑t（1,2）=∑t（2,1）Be-2ρt2（1+ρ）（cos（2t）+ρsin（2t））-2（1+ρ）∑t（2,2）B1- E-2ρt2ρ+e-2ρt2（1+ρ）（sin（2t）- ρcos（2t））+ρ2（1+ρ）证明-ρ -11-ρC和B√从第2.1小节开始，我们得到了任何t≥ 0，在一只手上mt（z）=exp（At）z=exp(-ρt）cos（t）-sin（t）sin（t）cos（t）xy另一方面，（18）的有效性。我们计算了所有的s≥ 0，exp（As）CC*经验（A）*s） =2 exp(-2ρs）cos（s）-罪（s）罪（s）因（s）0 00 1因为（s）罪恶（s）-罪(s)因(s)= 2经验(-2ρs）罪(s)-因为（s）罪恶（s）-原因（s）罪恶（s）原因（s）= 经验(-2ρs）1.- cos（2s）-罪（2s）-sin（2s）1+cos（2s）下面是直接积分中∑t项的公布表达式。对于∑t（1，1），我们有∑t（1，1）=Ztexp(-2ρs）（1- cos（2s））ds=1- 经验(-2ρt）2ρ- <Ztexp（2（i）- ρ） s）ds=1.- 经验(-2ρt）2ρ- <exp（2（i）- ρ） （t）- 12（i）- ρ)=1.- 经验(-2ρt）2ρ+2（1+ρ）<（ρ+i）（exp（2）（i）- ρ） （t）- 1))=1 - 经验(-2ρt）2ρ+2（1+ρ）（exp(-2ρt）（ρcos（2t）-罪（2t））- ρ)对于t>0，让我们用pt（z，z）dz表示z的定律，知道z=z。用上面引理的符号我们得到了 t>0， z、 z∈ R、 pt（z，z）=2πdet（∑t）exp(-（z）- mt（z））*（2∑t）-1（z）- mt（z）））利用贝叶斯公式，我们得到了0<t<t和z，zT∈ R、 zT=zT（仍然是Z=Z）的定律允许密度与z7成正比→ pt（pt）z-t（z，zT）其中z∈ R.这是一个非退化高斯定律，假设η（T）T（z，zT）（分别σ（T）T）是它的平均向量（分别是它的协方差矩阵），下面的公式（44）将表明协方差矩阵不依赖于zand zT。

我们进一步定义 U∈ [0,1]，νz，zT（u）B6u（1- u） （十）- xT）其中zB（x，y）*和zTB（xT，yT）*. 下一个结果包含了我们需要的所有技术细节。32号提案适用于所有z，zT∈ 兰德u∈ （0,1），我们有限制→0+Tη（T）uT（z，zT）=~nz，zT（u）limT→0+σ（T）uT（z，zT）=0简化符号的证明，对于u∈ （0，1），我们表示vb1-u、 ηuBη（T）uT（z，zT）和σuBσ（T）uT（z，zT）。用引理31表示，向量ηua和矩阵σuare使得对于任何z∈ R、 （z）- ηu）*σ-1u（z- ηu）=（z- muT（z））*Σ-1uT（z）- muT（z））+（zT- mvT（z））*Σ-1vT（zT）- mvT（z））+C（z，zT），其中C（z，zT）是独立于z的归一化项。因此ηu=σu（e-ρuTSuBuz+e-ρvTB*vSvzT）（43）σu=苏+e-2ρvTB*vSvBv-1（44）任何w≥ 0，BwBcos（wT）-sin（wT）sin（wT）cos（wT）SwB∑-1wT=Dw∑wT（2,2）-∑wT（1,2）-∑wT（1,2）∑wT（1,1）DwB det（∑wT）=∑wT（1,1）∑wT（2,2）-（wT（1，2））所有这些表达式都依赖于T>0，并且通过将它们扩展到小T>0，将获得宣布的收敛。事实上，简单的计算表明∈ （0,1），asT→ 0+,∑wT（1,1）∑wT（1,2）∑wT（1,2）∑wT（2,2）=2（重量）+O（重量））-（wT）+O（（wT））-（wT）+O（（wT））2wT+O（（wT））！式中O（（wT）p）代表p∈ R、 表示以a（wT）p为界的量，统一覆盖ρ∈ [-1，1]和足够小的重量。

接下来是dw=（wT）+O（（wT））Sw=（wT）+O（（wT）-2） （wT）+O（（wT）-1） （wT）+O（（wT）-1） wT+O（1）！用它来表示v∈ （0，1），我们有e-2ρvT=1+O（vT）和bv=1+O（（vT））-vT+O（（vT））vT+O（（vT））1+O（（vT））我们推断-2ρvTB*vSvBv=（vT）+O（（vT）-2) -（vT）+O（vT）-1)-（vT）+O（vT）-1） vT+O（1）！因此，从（44）中，我们得到了u∈ （0，1），σu=d（u，v）2（u+v）（uv）T+O（T）3（u）- v） （紫外线）T+O（T）3（u）- v） （紫外线）T+O（T）6（u+v）uvT+O（T）d（u，v）=12（u+v）（u+v）- 9（u）- v） +O（T）-1） 回顾v=1-u、 看来d（u，v）=12+O（T-1） 所以我们得到σu=（uv）T+O（T）（u）- v） （uv）T+O（T）（u）- v） （紫外线）T+O（T）2（u+v）uvT+O（T）（45）提案中宣布的第二个趋同随即出现。为了推断第一个，webegin通过检查u∈ （0,1），e-ρuTSuBu=（uT）+O（（uT）-2) -（uT）+O（（uT）-1） （uT）+O（（uT）-1) -uT+O（1）！E-ρvTB*vSv=（vT）+O（（vT）-2） （vT）+O（vT）-1)-（vT）+O（vT）-1) -vT+O（1）！结合（45），我们得到σue-ρuTSuBu=1.- 3u+2u+O（T）-u（1）- u） T+O（T）6u（1-u） T+O（1）1- 4u+3u+O（T）σue-ρvTB*vSv=3u- 2u+O（T）u（1）- u） T+O（T）-6u（1-u） T+O（1）-2u+3u+O（T）在这些表达式中，（2，1）-条目爆炸为T→ 0+，它解释了上述η（T）uT（z，zT）命题中考虑的重整化以及由此产生的收敛。注33：注意，当x=xT（即如果zand Zt在同一条垂直线上）时，下面的垂直布朗运动更容易将它们联系起来。因此，ψz，zt的第二个分量等于0。在这种情况下，我们期望（η（T）uT）的第二个分量在T→ 0.进一步推动之前的发展成果（σue）-ρuTSuBu）2,1=6u（1- u） T- 2ρu（1）-u） (二)- u） +O（T）（46）和（σue）-ρvTB*vSv）2,1=-6u（1- u） T- 2ρu（1）-u） +O（T）。

（47）结合上一证明末尾的计算，我们推断，如果x=xT，则平均向量不需要重正化，我们得到limt→0+η（T）uT（z，zT）=x（1）- 4u+3u）y- （2u）-3u）yT- 6ρu（1）-u） x特别是即使在z=zT的情况下，渐近桥也不会静止（除了ify=0），sincelimT→0+η（T）uT（z，z）=x（1）- 6u+6u）y- 6ρu（1）-u） 十）.与引言中认可的符号约定类似，对于T>0和z，z∈ R、 设P（T）z，zbe过程z根据（42）演化的规律，以事件{z=z，ZT=z}为条件，考虑过程ξ（T）B（ξ（T）u）u∈[0,1]定义人： U∈ [0,1]，ξ（T）uB T ZT uUnder P（T）z，ZT这个过程是高斯过程，命题32可以看到固定z，z的情况∈ R、 asT变为0+，ξ（T）以概率（在P（T）z，z下）收敛于确定性轨迹φz，z，关于C（[0，1]，R]）上的一致范数。的确，limT→0+Tσ（T）uT（z，zT）=0甚至可以满足这种行为。

使用第2.2节中描述的线性时空变换，这个结果可以用定理6的形式重新描述。注释34在注释33之后，如果z=（x，y）和z=（x，y）是x=x，那么过程ξ（T）B（eξ（T）u）u∈[0,1]，定义如下： U∈ [0,1]，eξ（T）uB ZT uc在概率上（在P（T）z，z下）向确定性轨道e~nz，z，关于C（[0,1]，R]）上的一致范数收敛，其中 U∈ [0,1]，eаz，z（u）Bx（1）- 4u+3u）y- （2u）- 3u）y- 6ρu（1）-u） x使用第2.2小节中描述的线性时空变换，该结果也可以在引言的原始设置中重写。4.2持续率上限的概率证明（42）相关的扩散桥的先前发展使我们能够检索到P（τ）的下限≥ t） ，用于（13）中定义的τ。提案35（i）Let（Zt）t≥0是（42）的ρ的解≥ 0.对于κ≥ 1，设Hκ={（x，y），y<κx}。然后，对于任何正ρ，都存在一个常数∧>0，使得对于任何ρ∈ [0，ρ]κ≥ 3ρ和任意z∈ Hκ，可以找到一个常数C（取决于zas以及参数ρ和κ），例如pz（τHκ≥ （t）≥ C经验(-λt），t>0。（ii）设（Zt）为（7）的解。存在∧>0，如果0<2a≤ b、 我们每个人都有∈ D={（x，y），x>0}Pz（τ）≥ （t）≥ C经验(-λωt），t>0，其中ω=pab- a/4和C是一个依赖于z、a、b和C的常数。注36可能更精确，同样的证明表明，对于所有ε，ε>0，可以找到相应的λ（ε，ε）>0，这样（i）满足如果κ≥ 3(1 + ε)ρ/2, κ ≥ ε和ifeλ替换为λ（ε，ε）（常数C也必须依赖于ε和ε）。因此，在（ii）条件b中≥ 2a可以用b代替≥ （5/4+ε）a的价格必须取决于ε>0。但我们认为，即使这些结果也不是最优的（例如。

人们可能希望（ii）中的条件b>（1/4+ε）a，所以我们不会详细介绍它们。提案35只是说明了如何进一步利用这些桥梁。证明（i）证明分为三个步骤。在第一个例子中，我们展示了我们可以构建一个Hκ子集，其中与（42）相关的任何桥，从S开始和结束（在时间T变小时），都很有可能保持在Hκ中。然后，在第二个例子中，我们使用了一个与命题15的证明中使用的马尔可夫类型参数相近的马尔可夫类型参数，当（Zt）t的起点≥最后，我们将结果推广到Hκ中的任何初始点。第一步。infz，z的下界∈SP（T）z，z（τHκ>T）对于特定的T>0。设z=（x，y）和zT=（xT，yT）属于R。分别用ηuT（z，zT）和ηuT（z，zT）表示η（T）uT（z，zT）的第一坐标和第二坐标。首先，根据命题32（以及它的证明中描述的更精确的展开式）和（46）和（47），我们检查ηuT（z，zT）=x+（xT）- x） （3u）- 2u）+ γ（z，zT，T）（48）和ηuT（z，zT）=6u（1- u） （十）- xT）T+2ρu（1）-u） （（2）-u） x+（1+u）xT）+γ（z，zT，T）（49），其中γ和γ满足：存在T>0和一个正常数C，使得每T∈ （0，T]，对于任何zand Zt和任何ρ∈ [0，ρ]（由于（46）和（47）中的O（T）相对于R+的紧致集合中的ρ的一致性|γ（z，zT，T）|≤ C（|z |+|zT |）T和|γ（z，zT，T）|≤ C（|y |+| yT |+（|z |+| zT |）T）。第二，根据[1]中的定理V.5.3（应用于α=1和K=T），存在一个普适常数，使得T≥ 0, H≥ 1，P（T）z，zTsupu∈[0，T]| ZuT- η（T）uT（z，zT）|>h！≤ 总经验-h2′σT式中，σT=supu∈[0,1]|（σ（T）uT）1,1 |+supu∈[0,1]|（σ（T）uT）2,2 |。根据32号提案，每∈ [0,1]，σ（T）uT（z，zT）→ 0作为T→ 0.请注意，这种收敛在zand Ztd中是一致的，因为协方差矩阵不依赖于它们。

由（45）可知，在u中的收敛性似乎也是一致的，并且对ρ中σ（T）（uT）的依赖性进行了更精确的研究，实际上，对于每一个ρ>0，supρ∈[0，ρ]，z，zT∈R′σTT→0---→ 0.用h应用上一个不等式=√σT，我们推断存在T∈ （0，T）每T∈ （0，T），每z，zT∈ 兰德每ρ∈ [0，ρ]，P（T）z，zTsupu∈[0，T]| ZuT- η（T）uT（z，zT）|≤√σT！≥.现在我们将构建一个盒子S=[1，1+h]×[-h、 h]（其中为正数）存在正T，因此当（z，zT）∈ S、 平均η（T）uT（z，zT）停留在大于Hκ边界1的位置。检查R的一个点（x，y）从（x，y）到边界的距离Hκ等于|κx- y|/√κ+1，因此我们需要找到h，手按顺序排列∈信孚∈[0,1]κηuT- ηuT>pκ+1√σT≥√2κ√σT.（50）注意，T，hand h将取决于ρ，但不取决于ρ∈ [0，ρ]和κ≥ 1κ≥ 3ρ.利用（48）和（49），我们得到存在C>0，使得对于每个ρ∈ [0，ρ]，对于每个∈ （0，T]和每（z，zT）∈ SηuT≥ 1.- C（1+h+h）T和ηuT≤2Th+3ρ+Ch+C（1+h+h）T.（51）式（51）表明只要κ-3ρ- C（h+h）（1+κ）T-第二- Ch>√2κ√σT.考虑到κ≥ 1和κ≥ 3ρ，如果>2C（h+h）T+2Th+Ch，则满足上述不等式+√√σT.（52）不再依赖于κ的关系。我们现在可以设置例如hB Tand hB Tand choose T∈ （0，T]足够小，以至于（52）是满意的。因此，子集=[1，1+h]×[-h、 hκ的h]对于每一ρ∈ [0，ρ]和κ≥ 1κ≥ 3ρ，wehavenfz，z∈SP（T）z，z（τHκ>T）≥. （53）第2步。z时Pz（τHκ>t）的下界∈ 我们考虑时间T>0和子集=[1,1+h]×的情况[-h、 h]的hκ（仅取决于ρ），其中（53）适用。

每≥ 1，wehavePz（τHκ>`T，Z`T∈ （S）≥Pz（τHκ>`T，Z`T∈ S|τHκ>（`- 1） T，Z(`-1） T∈ S） Pz（τHκ>（`- 1） T，Z(`-1） T∈ S） 。根据马尔可夫性质，Pz（τHκ>`T，Z`T∈ S|τHκ>（`- 1） T，Z(`-1） T∈ S） =ZH（z）uz(`-1） T（dz）在哪里 Z∈ S、 H（z）bpz（ZT）∈ S） ZSP（T）z，z（τHκ>T）uz，T（dz）。和uz(`-1） 这是Z的条件定律（在Pz下）(`-1） Ton{τHκ>（`- 1） T，Z(`-1） T∈ S} 。由于（53）和uz的支持`-1） 包括在S中，我们得到p（τHκ>`T，Z`T）∈ （S）≥ P（τHκ>（`- 1） T，Z(`-1） T∈ S） 带：=infz∈SPz（ZT）∈ S） 。注意，对于T>0，转变密度R3 z7→ fz，T（z）BdPz（ZT）∈dz）dz是关于（z，z）的正的和连续的∈ （R） 。因此，通过S的紧性，系数是正的。此外，它在满足命题35条件的κ、ρ上是一致的（但先验取决于ρ，就像T和S一样）。那么，因为对于所有的t>0，Pz（τHκ>t）≥ Pz（τHκ>kTT，ZkTT）∈ S） ，式中，kT=bt/tc+1，我们从一个归纳式推导出，对于每个z∈ S、 Pz（τHκ>t）≥ kT≥ C经验(-λt），其中∧λ=-对数（）/T（仅取决于ρ）。第三步。z时Pz（τHκ>t）的下界∈ Hκ。这一步的思想与命题25（ii）的证明是相同的。更准确地说，将上面得到的下限扩展到anyz=（x，y）∈ Hκ（直到一个常数C，该常数取决于z），它足以建立一个可控的区域（z~n（t））t≥0使得zа（0）=z，zа（t）属于S，并且使得zа（t）∈ 每个人的Hκ∈ [0，t]。由于引理27（ii），考虑y=0的情况就足够了。我们相继治疗了x病例≤ 1和x≥ 1+h.如果x≤ 1，其思想是连接自由动力系统路径的一个点，该点通过zS=（1+h/2，0）。更准确地说，通过引理27（ii），我们知道解（x（t），y（t））t≥0到自由动力系统，从（0，-（1+h/2）eρπ）在时间π/2通过Z，C={（x（t），y（t）），0<t<π/2}是包含在（0+∞) ×(-（1+h/2）eρπ，0）。

它仍然是连接C点（不排除Hκ）。这可以用引理27（i）和v=-（1+h/2）eρπ。假设现在x≥ 1+h。在ρ>0和ρ=0的情况下，构造略有不同（根据命题35的假设，排除了ρ<0的情况）。如果ρ>0，我们通过以受控轨迹穿过[z，zS]段来连接zS。集合（x（t），y（t））t≥0=（xe）-ρt，0）t≥0.这个轨迹可以看作是从zof开始的解（˙x（t）=-ρx（t）- y（t）˙y（t）=-ρy（t）+x（t）+~n（t）带洎（t）=-x（t）。因此，这是一条受控轨迹，在一段时间内明显穿过[z，zS]。最后，如果ρ=0，我们加入一个点z=（x，-h/2）使用引理27（i）。如果x≤ 1.我们只考虑第一种情况。所以我们可以假设x≥ 1+手我们加入点zS=（1+h/2，-h/2）通过用受控轨迹（更精确地说，（x）穿过段[z，~zS]）- ht/2，-h/2）t≥0是一条受控轨迹）。这就结束了（i）的证明。（ii）根据推论13，存在α使得（^Zt）t≥0B√ωαP-1vZtωT≥0是（25）的解。提醒一下τ=inf{t>0，<（Zt）<0}，对于R的子集C，设置τ^ZC=inf{t>0，^Zt∈ 抄送}。与命题29的证明类似，我们检查每个z∈ {（u，v），u>0}，Pz（τ>t）=P^z（τ^ZHκ>ωt），其中ω=pab- a/4，κ=ω（b-a） Hκ={（u，v），v<κu}和^z属于Hκ。结果如下：应用该命题的第一部分，ρ=a/（2ω）。事实上，假设κ≥ 3ρ等于b≥ 2a。对于另一种情况，κ≥ 1，考虑到ω<√ab，b就足够了- a/2≥√ab，娜米莉芭≥1+√请注意1+√≤ 2.5模拟和统计考虑在本节中，我们将简要地关注一些与控制（1）轨迹解的实参数估计有关的统计问题。

我们表示未知的底层参数（a*, B*, C*) 并旨在开发这些参数的统计估计方法。我们还对过程的平均时间（Xt）t感兴趣≥0返回平衡价格。当c*很小，可以证明这样的平均时间接近T*/2（关于随机动力系统的小噪声渐近性，见[11]和[2]的结果），其中*是与模型相关的确定性过程的周期：T*:=2πω*ω在哪里*:=拉*（b）*-A.*). （54）有点滥用语言，T*然后将被称为伪周期的过程。很自然地，人们会怀疑它是否足以进行第一次估算（a*, B*) 然后，将这些估计（^a，^b）插入上面给出的分析公式。我们将在下一段中描述如何使用最大似然估计来近似（a）*, B*). 然后，一项简短的模拟研究显示，从插入（54）的值（^aML，^bML）得出的伪周期^T的估计器表现出截然不同的行为。当c很小时，我们将这种估计与从X=0级的命中次数得出的更自然的估计进行比较，并表明在某些情况下，最后一种估计可以更好地恢复T*. 在我们的简短研究中，我们假设这个过程从平衡点开始，即X=0。这一假设略微简化了下文推导的主题。5.1参数a的最大似然估计*b*统计设置在本段中，我们首先详细说明了表示（a）的实参数的最大似然估计的计算*, B*) 当你观察价格X在0到T之间的整个轨迹时。

这当然是对真实统计问题的理想化和戏剧性的简化，因为在实际情况下，我们只能处理离散观测网格（k）中的一些X值)0≤K≤t/.即使 与观察时间长度相比，对于一些真正的统计应用来说，t是最重要的，我们简化了这项简短的研究，只考虑连续的观察时间。我们留下一个重要的问题，即两者之间的统计平衡 以及未来的工作。在这种情况下，很容易恢复参数c*通过考虑轨道的标准化二次变化（Xs）0≤s≤t、 c*=因此，在续集中，我们只考虑a的估计问题*b*我们假设c的知识*（为了方便起见，我们将其设为1）。为了估算（a）而改变测量公式*, B*), 我们只能处理进程x，因为Y依赖于未观测到的参数b*通过关系 T≥ 0，Yt=b*Ztexp（b）*（s）- t） ）dXs- B*Xt。对于（a，b）的任何选择∈ R+，我们认为 T≥ 0，Ybt=bZtexp（b（s- t） ）dXs- bXt，（55）andHa，bt=（b）- a） Xt+Ybt。在等式（55）中，Yb取决于增量dXs。一个简单的部分积分可以得到等价的表达式： s≥ 0，Ybs=e-英国电信-bZtebsXsds.Y=Yb的事实*遵循流程Y的定义。因此，（Xt）t≥0satis fiesdxt=Ha*,B*tdt+dBt。现在，我们可以应用Girsanov公式：如果我们用Pa表示*,B*根据这个过程的规律，我们得到了测量公式的变化：dPa*,B*dQ（X）=expZtHa*,B*s（Xs）dXs-ZtHa*,B*s（Xs）ds.最大似然给定任何轨迹X，我们可以定义参数（a，b）的对数似然如下：Lt（a，b）=ZtHa，bs（Xs）dXs-ZtHa，bs（Xs）ds。上述表达式可以使用部分积分进行修改。

然后我们得到“稳健”公式：Lt（a，b）=b- A.Xt- T+ XtYbt+ZtbXs+bXsYbs-h（b）- a） Xs+YBSID。（56）最大似然估计量正式定义为（^aMLt，^bMLt）：=arg max（a，b）∈R+Lt（a，b）。对于任何b≥ 0分，7分-→ Lt（a，b）是一个凹函数，因此是给定任意b的最佳值isab=b+RtXsYbsds+t-XtRtXsds。因此，通过最大化B7获得^bmlti-→ Lt（ab，b）。不幸的是，我们没有找到任何关于关系b 7的明确公式-→ Yb。因此，估计b*, 我们对b的最优值进行了详尽的数值研究，得到了^bMLt。5.2平均伪周期T的估计*有了命中时间策略，就有可能估计T*使用上面定义的最大似然估计量（^aMLt，^bMLt），并将其插入关系式（54）（该关系式仅适用于T*在高噪声水平下）^TMLt:=2πr^aMLt^bMLt- ^aMLt/4.当然，这个估计器能够很好地逼近T*高度依赖于（^aMLt，^bMLt）的无症状行为。我们将在下一节讨论与本研究相关的几个统计问题。我们还可以将^tmlt与一种更自然的方法进行比较，通过考虑（Xs）0的0级交叉时间序列来估计沿轨道的平均返回时间≤s≤t、 从这个角度来看，让我们考虑一下 > 0，并定义与轨迹（Xs）0关联的骨架链≤s≤t、 序列（τk）k≥0K和（rk）k≥0初始化为：τ：=0和r:=inf{s≥ τ| | Xs |≥ }并递归地构建如下：K≥ 0τk+1:=inf{s≥ rk |Xs=0}和rk+1:=inf{s≥ τk | | Xs |≥ }.当c*因为它很小，我们现在可以用这个结构定义一个非常自然的平均伪周期估计量。

如果我们设置Nt:=sup{k≥ 0 |τk≤ t} ，我们开始t:=2PNtk=1（τk+1- τk）Nt=2τNt- τNt。5.3统计性能和开放性问题建立^T的数值性能tand^TMLt，我们使用以下统计设置：在[0，T]上定义的几个轨迹在一些离散时间（tk）0上观察到≤K≤K.以恒定的步长对观测时间进行均匀采样 这样tk- tk-1= . 我们对我们的两个估计器在两种不同的渐近设置下的行为感兴趣：o高分辨率采样方案 -→ 0o长时间观察T-→ +∞.出于我们的目的，阈值是在多次运行估值器后根据经验确定的。应该仔细挑选，因为 是一个参数，该参数能够区分x=0的实际交叉点与布朗噪声执行的模型的自然波动性。因此，对 应与c中包含的噪声级有关*. 在我们的模拟中，我们选择了 = C*√. 我们使用N=10的蒙特卡罗模拟来获得^T的分配坦德尔特*.此外，我们使用了具有多个步长的随机微分方程的离散化版本。我们在图6中展示了^tmlts在几种大小的离散化步长下的性能 以及^T的表演图7。人们可能会立即注意到，步长 对^tmltt恢复能力有重要影响*虽然这个参数对估计量^T似乎不那么重要t、 模拟显示，较小的, ^TMLt的偏差越小。此外，估计值的方差主要由模拟的长度（时间t）决定。因此，对于固定的模拟步长，图6和图7表明使用^T似乎更好推断*.

什么时候可以让 7.-→ 0时，最大似然估计似乎更方便。我们简短地描述了几个与T的估计有关的问题*. 首先，在 以及t的影响，需要了解t的估算*使用MLE。这个问题可能需要仔细理解对数似然Lt定义的自然分数函数。我们的模拟往往表明(, （t）-→ (0, +∞) 应考虑获得最佳估计。第二，门槛的大小 在定义^T时虽然这对^T的能力有很大影响，但尚未从理论上对其进行研究很好地恢复*. 因此，也应该存在一个精确的渐近区域(, （t）-→ (0, +∞) 这可能允许获得statisticalreconstruction属性。最后一个结果应该通过仔细检查图6：T的估计得出*对于a=1、b=6、c=1的观测时间t，使用^tmltt。（左上角： = 10-2，c=1，右上角： = 5.10-3，左下角： = 10-3，右下角： = 5.10-4).（Xt）t花费的当地时间≥0级左右（到fix）) 以及使用定理4可以得到的撞击时间的集中率。最后，分析了T*以及（Xt）t所需的预期时间≥恢复到均衡价格仍然是个谜。我们只在小噪声渐近中确定了这种联系，尽管这种关系在T的更一般情况下似乎是正确的*, 一个理论上的证明是错误的。这三个问题远远超出了本研究的范围，我们将它们留给未来的研究。6结论本文提出了投机泡沫演化模型。动力学必须至少达到二阶，才能有机会显示这种现象典型的弱周期行为。

这第二个顺序是由正在考虑的过程加权其过去的演变来推断其未来行为的方式（在最近的过去增加/减少，有利于立即遵循相同的趋势）引起的。通过修改权重，可以以相同的方式获得所有阶（包括非整数阶）的动力学。在“微观层面”，后者与许多代理人为了推测未来进化而使用的向后时间窗口的分布有关。但我们把自己局限于二阶动力学：它是最简单的一种，在某种意义上，它模仿牛顿力学，也属于二阶力学，即直接影响加速度的力。一个主要的区别是噪声进入我们的建模，这是保持所研究系统的一些稳定性所必需的。然而，非正式地说，这种与运动物理定律的类比可以揭露房地产机构和大众媒体使用的一些误导性论点：他们主要通过对作用力进行清点来解释价格的演变。图7：对*使用^Tt关于a=1，b=6，c=1的观察时间t。（左上角： = 10-2，c=1，右上角： = 5.10-3，左下角： = 10-3，右下角： = 5.10-4).在住房市场中，如贷款利率、人口增长等（所有这些因素以及相反的杠杆作用都在我们的参数a中总结），忘记了演化方程的顺序（由参数b诱导）。

在天文学领域，我们可以观察到太阳和地球之间的主要相互作用是通过引力进行的，这样我们就可以得出结论，我们的星球很快就会落在太阳里。幸运的是，我们基本上被动力学定律的二阶所拯救，这使得地球能够绕太阳转！我们还假设平衡水平X=0的排斥力是线性的，在（1）中由dritf项导出-aXtat任意时间t。该漂移项模拟可能是非线性的经济扩张力。然而，我们的线性化可以被视为至少接近平衡状态X=0的一阶有效近似值。从数学的角度来看，我们主要关注的是均衡“价格”的回归时间，我们已经证明，它比放松均衡价格分布更集中。这一特征解释了典型轨迹的气泡/几乎周期性方面。我们在定理4中得到了这个浓度率的一些上界和下界。即使我们的下界和上界之间仍有大约10阶的差距，使用[7]中描述的Fleming-Viot类型算法进行的大量模拟（本文中未显示）也会导致λ（D）=log（2）πω的猜想。我们的框架的一个缺陷是，参数a、b和c被假定为与时间无关，这一假设在实践中肯定是错误的。我们的模型应该只适用于少数几个时期，一个更精确的建模将考虑a、b和c的时间不均匀性。这种扩展仍然是高斯的，但其研究超出了本文的范围。然而，从启发性的角度来看，让我们来考虑一下图8所示的1995年至2013年法国房价指数与每户可支配收入的关系。

考虑一下这张图片中显示的数量的对数，因为它是一个比率，而不是图8所示的差异：法国资产价格指数与可支配收入的弗里吉特曲线[12]。在介绍中被通缉。如果我们假设第1.1节中给出的推测模型可以应用于本案例，那么在1965-1998年间有效的系数a、b和c似乎与1998-2013年间的系数不同。为了简单起见，让我们假设c没有变化（分辨率太粗，无法检查），并将a、a、b分别称为a和b的值。a<a可以用以下事实来解释：在第二个时代，条件更利于购买，尤其是由于低利率。此外，人们可以说，互联网的出现可能改变了代理人在短期和长期内了解价格波动的范围。因此，它对b的影响是不明确的（重申1/b应该与向后时间窗口的平均长度成比例）。为了得到一个大致的想法，我们可以如下进行。让我们看看1965年、1999年和2008年的结核病。图8表明，在系数a和系数c之间有三个周期，在系数a和系数c之间有四分之一的周期（除非平衡价格本身发生了变化，2006年至2012年之间的演变被解释为一个新时代的一个周期和一半）。因此，1/ω和1/ω应分别与（t）成正比- t） /3和4（t）- t） 。由于我们不打算非常精确，让我们假设 那是乐队吗 b、 所以ω≈√ab，ω≈√阿班达布≈ χabwhereχB12（t）- t） t- T为了推导另一个等式，让我们相信遍历定理发生得非常快（过程的不可逆性允许）。

因此，根据备注9，我们将- tZttXsds≈ cb+a2a≈ cb2at- tZttXsds≈ cb+a2a≈ cb2a（更仔细地说，应该计算经验方差），它遵循thatba≈ eχB其中eχB（t- t） RttXsds（t- t） RTTXSDS可以在图8中进行数值计算。我们推断≈ χ5/3eχ1/3ab≈ χ2/3eχ1/3B从数值上，我们得到了χ2/3eχ1/3≈ 3.73>1，所以互联网的出现似乎促使人们更愿意利用最近的房地产市场趋势进行投机。最后，利用定理4中得到的下限，我们可以假设指数价格X在2017年（相当于约13%的年平均损失）之前达到均衡水平1（见图8）的概率至少为50%。因此，我们可以怀疑，房地产经纪人通常宣布的著名的“飞吻登陆”是否更有可能以崩盘告终。关于持续率我们的目标是证明准平稳分布及其持续率的存在，如注释5所述。它基于本附录中的一般考虑，因为它们不会导致（15）等明确的估计，从实践角度来看，这些估计比λ（D）的存在更重要。此外，这些先验界限将有助于后续的开发。回想一下D{（x，y）∈ R:x>0}然后让这就是它的边界。我们感兴趣的是LD，即（9）给出的微分算子L在D上的Dirichlet边界条件的实现D.从概率论的角度来看，它是按照以下方式构建的。对于任何一个z∈ R、 让（Zzt）t≥0是一个扩散过程，其演化由L决定，初始条件为ZZ=z。从z开始，（Zzt）t≥0可通过求解随机微分方程（7）获得，系数由（8）给出。

设τ为（13）定义的停止时间，即τB inf{t≥ 0:Zzt∈ D} 无论如何≥ 0，任意z∈ D和定义在D上的任何可测有界函数，考虑到pdt[f]（z）be[f（Zzt）1t<τ]（57）回想一下，u是L的不变高斯概率测度，用uDits restrictionto D表示。然后，pdtca可以扩展为L（uD）上的收缩算子。事实上，让ptb成为与L:any z关联的fulloperator∈ D和定义在R上的任何可测有界函数f，我们有Pt[f]（z）be[f（Zzt）]（58）因为μ对于Pt是不变的，对于定义在D上的任何可测有界函数f（假设它在D之外消失，可以将其视为rb上的函数），我们通过柯西-施瓦辛格等式，uD[（PDt[f]）得到≤ uD[PDt[f]]≤ uD[Pt[f]]≤ u[Pt[f]]=u[f]=uD[f]这个界限允许在L（uD）上延长PDTA的收缩。马尔可夫性质意味着（PDt）t≥0是一个半群，很容易在L（uD）中看到它是连续的。算子LDI被定义为这个半群的生成元（在Hille Yoshida意义上）：它的域D（LDT）是L（uD）的密度子空间，由函数f组成，使得（PDt[f）- f） /t在t变为0+时在L（uD）内收敛，并且通过定义极限为LD[f]。光谱-Ld允许最小元素（模数）λ（D）。这是一个正实数，本附录的主要目的是证明备注5中的断言是正确的。

Webegin通过更精确地描述λ（D）的存在性：命题37存在一个数λ（D）>0和两个函数*∈ D（劳工处）∩Tr≥1Lr（uD）\\{0}，在D上为正，因此ld[~n]=-λ（D）~nLD*[φ*] = -λ（D）~n*劳埃德在哪里*是LDin L（uD）的算子伴随。从本质上说，这个结果是Krein-Rutman定理的结果（这是Perron-Frobenius定理的一个有限版本，例如参见杜的论文[8]），而本征函数属于Lp（uD）而不是L（uD）的事实来自于下面Dirichlet半群的双曲性。严格的证明依赖于一个简单的关于算子PDtfort>0的内核的技术引理。为了验证它们的存在性，我们首先回到给定t>0时的pT：根据第2节的计算，这个运算符实际上是由内核给出的 Z∈ R F∈ L（u），Pt[f]（z）=Zpt（z，z）f（z）u（dz），其中 z、 z∈ R、 pt（z，z）Bsdet（∑）det（∑t）exp-（z）- （zt）*∑t（z）- zt）+（z）*∑z（59）对于ZTB exp（At），zIt很容易从（57）和（58）中得出结论，PDt也是如此：存在一个函数D（z，z）7→ pDt（z，z）≥ 0以至于 Z∈ D F∈ L（uD），PDt[f]（z）=ZpDt（z，z）f（z）u（dz）和 z、 z∈ D、 pDt（z，z）≤ pt（z，z）（60）基于D的亚椭圆度的更多定义参数，可以看到D上的映射是连续且正的。

我们现在可以陈述一个简单但关键的观察结果：引理38对于任何r>1，存在一个时间Tr>0，这样 T≥ Tr，Z（pDt（Z，Z））ruD（dz）uD（dz）<+∞根据（60）证明，证明z（pt（z，z））ru（dz）u（dz）<+∞这可以通过（59）和第2节中给出的exp（tA）∑和∑的显式计算得到。现在我们可以讨论命题37，我们首先用r=2的引理38来找到一些T>0，这样对于T≥ Twe-haveZ（pDt（z，z））uD（dz）uD（dz）<+∞这意味着Hilbert-Schmidt类的PDTI是一个紧算子。进一步注意，PDtis的光谱半径对所有t均为正值≥ 事实上，这个特征可以从定理4的第二个界推导出来，这意味着对于所有的z∈ D、 PDt[1D]（z）=Pz[τ>t]>0。因此我们可以应用Krein-Rutman定理（见Du[8]的定理1.1和1.2），其中抽象的Banach X空间应该是L（uD），锥K应该由L（uD）的非负元素组成：如果θt>0是PDt的谱半径，则存在正函数∈ L（uD）\\{0}使得Pt[~nt]=θtаt。该性质表征θ和θt（直到常数因子）：如果θ是正实数，如果∈ L（uD）是一个正函数，因此Pt[~n]=θ，然后是θ=θ，且а与аt成正比。这建议考虑重整化uD[аt]=1，以便唯一确定а（为正）。根据前面的性质，我们推导出≥ 等等∈ N、 ~nnt=~ntandθnt=θnt。事实上，需要注意的是，Pdnt[~nt]=（PDt）n[~nt]=θnt~ntWe可以推导出任何r∈ Q∩ [1, +∞), νTr=~nTandθTr=θrT：用p，q写r=p/q∈ N并注意到，~nT=~npT=~nqrT=~nrta和类似的θpT=θqrT=θpT。让我们定义φB PDTφT=θTφT。由于T>0且PDT（L（uD））包含在LD的域中，我们有∈ D（LD）。

此外，根据L（uD）中的Hille-Yoshida一般理论，limt→0+PDT+t[~nt]- PDT[~nT]T=LD[PT[~nT]]因此考虑了具有qt形式的T∈ 当Q+为零时，我们推导出ld[~n]=limq∈Q、 Q→0+θq+1T- θTTqаT=θTln（θT）TаT=ln（θT）Tа仍需设置λ（D）=-ln（θT）/T。由于θ是收缩算子pt的谱范数，因此λ（D）≥ 0.定理4的第一个界可以检查λ（D）>0：从柯西-施瓦兹不等式，我们得到所有f∈ L（uD）和所有z∈ D、 （PDT[f]）（z）≤ PDT[f]（z）PDT[1D]（z）≤ PDT[f]（z）supz∈DPDT[1D]（z）由此得出uD[（PDT[f]）]≤ 苏普兹∈DPDT[1D]（z）uD[PDT[f]]≤ 苏普兹∈DPDT[1D]（z）uD[f]所以PDTsatis fiesθT的范数算子=PDTL（uD）→L（uD）≤ 苏普兹∈DPDT[1D]（z）=supz∈DPz[τ>T]（61），其本身严格小于1，以使T足够大。根据上述参数，我们得出λ（D）>0的结论。现在让我们检查一下∈Tr≥1Lr（uD），因为我们事先只知道∈ L（uD）=Tr∈[1,2]Lr（uD）。这是由于（PDt）t的夸张≥0.设r>2，相应的Tr>0，从而满足引理38的结论∈ L（uD）可以给出。Cauchy-Schwarz和H¨older不等式表明，对于所有的z∈ D和所有t≥ Tr，（PDt[f]（z））r=Zf（z）pDt（z，z）uD（dz）R≤Zf（z）uD（dz）RZ（pDt（Z，Z））uD（dz）R≤Zf（z）uD（dz）RZ（pDt（Z，Z））ruD（dz）将该界与uD（dz）积分，得出如下结论：Z（PDt[f]）rduDR≤Z（pDt（Z，Z））ruD（dz）uD（dz）RZf（z）uDdz）也就是说，PDT将L（uD）连续发送到Lr（uD）中。如果t的形式为Tq加q∈ Q∩ [1, +∞), 我们从φTq=PDTq[φTq]/θTq中得到，φ=φTq属于Lr（uD）。同样的参数也适用于伴随半群（PD）*t） t≥0

t>0的元素允许内核pD*这里 t>0， z、 z∈ D、 警察局*t（z，z）BuD（z）pDt（z，z）uD（z）=u（z）pDt（z，z）u（z）我们最终得到了相同的数量λ（D），因为对于任何t>0的运算符pDt和PD*它们具有相同的光谱半径。设νDbe为D上的概率测度，其中*/uD[~n*] 下一个结果显示了（14）的有效性：命题39概率测度νDis是LDD的准平稳分布，而下一个结果表明τ是以参数λ（D）的指数规律分布的。证明一个测试函数f∈ D（LD）被给予。我们计算所有t≥ 0,tνD[PDt[f]=νD[LDPDt[f]=uD[ν*LDPDt[f]]/uD[~n*]= uD[LD*[φ*]PDt[f]]/uD[~n*]= -λ（D）uD[[~n*]PDt[f]]/uD[~n*]= -λ（D）νD[PDt[f]]通过积分，可以得出νD[PDt[f]=exp(-λ（D）t）νD[f]至少对于f∈ D（LD），但通过通常的近似程序，这可以扩展到任何可测量且有界（或非负）的F。这意味着对于速率为λ（D）的LDM，ν是准平稳分布。特别是当f=1D时，我们得到pνD[τ>t]=νD[PDt[1D]=exp(-λ（D）t）νD[1D]=exp(-λ（D）t），相当于τ在PνD下以参数λ（D）的指数规律分布。界限（15）现在很容易推断。事实上，回顾在命题37的证明中，λ（D）根据θt的定义（以及可以选择任意大的事实），我们从定理4的第一个界得出λ（D）≥ ln（2）ω/π。定理4的第二个界m=νDgives表示λ（D）≤ 4.备注40νd是与LD相关的唯一准平稳概率测度吗？优先顺序必须小心，因为这对于通常的一维Ornstein-Uhlenbeck过程来说是错误的。