因此，当β∈ (-1/2，0），当β=-1/2，与前面的示例（密度在原点处变小）相比。正如在（4.11）之后的讨论中所指出的，自2 |β以来，累积分布的条件（4.1）在这里得到满足|-1 > -1.如[5]所述，该CEV模型可以通过额外的不可预测的独立跳变到故障消除来进一步增强。这将导致在0处增大质量，在（0，∞), 不影响德涅斯的形状。为了从数值上检验我们的结果，我们首先需要计算欧洲看跌期权的价格，对于成熟度T≥ 0和K≥ 0，由p（K）=E[（K）给出- ST）+]=pK+Z（0+∞)（K）-s） +fST（s）ds。（5.8）然后，我们提供了我们的质量在零近似下的数值比较，即隐含波动率微笑与真实微笑。更准确地说，我们将公式（4.6）和（4.2）与直接积分公式（5.8）计算的真实隐含波动率微笑进行比较。图s 6和图s 8中的“两项近似”指的是（4.6），当考虑到| x阶的项时|-1/2，且“三项近似”对应于公式中的所有项，直到| x阶|-1.我们将考虑几种情况，这取决于零质量的大小。在图6中，零处的质量为SMALL（p≈ 1.47%），而在零质量较大的情况下（p≈ 71.89%）可以在图7中观察到。

可以看出，我们的显式渐近公式（4.6）很快接近非显式公式（4.2），为小对数货币的隐含波动率微笑提供了一个很好的近似值。此外，在图8中，我们将（4.6）与Gulisashvili（4.2）进行比较，作为期权到期日的函数（对数货币x的两个不同值）。（a） CEV模型中的隐含波动率微笑（b）错误图6：CEV模型中隐含波动率微笑的比较。这里，s=0.1，T=1，β=-0.3，σ=0.5，给出了零p时的质量≈ 1.47%. Gulisashvili的实线近似值为（4.2），虚线“三项近似值”为新公式（4.6）。5.3.2吸收的Ornstein-Uhlenbeck过程连续资产价格动态的另一个例子是，质量累积为零，并允许通过Ornstein-Uhlenbeck（OU）过程建立明确的公式，即SDE的独特强解（a）CEV模型中的隐含波动率微笑（b）错误图7：CEV模型中的隐含波动率微笑的比较。这里，s=0.1，T=1，β=-0.4，σ=1，给出零p时的质量≈ 71.89%. Gulisashvili的实线近似为（4.2），虚线“三项近似”为新公式（4.6）。图8:CEV模型中隐含波动率的比较。这里，我们取s=0.1，β=-0.1，σ=1，我们让到期日从2年到20年不等。实线（值位于右垂直轴上）表示质量为零。虚线、c圆圈和十字分别表示真实的微笑、古利萨什维利公式（4.2）和我们的新近似值（4.6）（所有数值均位于左垂直轴上）。前三张图对应于取对数-货币x=-5，底部三个x=-2.dSt=-kStdt+σdWt，其中S=S>0，k，σ>0。

然后St=sexp(-kt）+σRtexp(-k（t）- u） 平均值为E（~St）=sexp的dWuis-aGaussian过程(-kt）和协方差函数Cov（~St，~Ss）=σkexp(-韩国新罕布什尔州。原点是可以实现的，我们定义为当它第一次达到零时停止：让τ≡ inf{t≥ 0:~St=0}，然后是St≡~St{t<τ}。对于每一个t>0，sty定律的形式为ut（dy）=P（St=0）δ（dy）+ft（s，y）dy；根据Borodin和Salminen[4]，我们得到P=P（St=0）=P（τ）≤ t） =2N-sσ√e2kt- 1., （5.9）和英尺（s，y）=P~St∈ 小明≤s≤t~Ss>0=2新罕布什尔州2yse-ktp2πσ（1）- E-2kt）经验-y+se-2kt2σ（1）- E-2吨）, 对于所有y>0。（5.10）注意ft（s，y）~ cty作为y↓ 0，所以F（K）- F（0）~ ctKas K↓ 使用（5.9）和（5.10），欧式期权的数值评估是直接从蒙特卡罗模拟OU路径的ftor数值积分得到的；对于较小的对数货币，隐含波动率文件的形状再次由定理4.2描述（最终将在x趋于的极限内）-∞, 5.4关于微笑参数的一些评论值得注意的是，大多数关于隐含波动率参数的最新文献似乎没有考虑到在初始点出现大规模波动的可能性。我们讨论了两个无套利的例子：theSSVI模型[16]，以及郭等人[22]提出的参数化。首先，注意以下关于总隐含方差w（x）≡ ti（x）：如果q=N-1（p）6=0，那么（3.6）意味着w（x）- 2 | x |=√ti（x）-p2 | x|√ti（x）+p2 |x|→ sgn（q）∞ =-∞ 如果0<p<1/2+∞ 如果p>1/2。（5.11）5.4.1 SSVIGatheral和Jacquier[16]建议使用以下函数族对总隐含方差进行建模：wSSVI（x）=θ1+ρx+p（ρx+ρ）+1- ρ, （5.12）式中，θ>0，ψ>0和ρ∈ (-1，1）是三个参数。

根据[16，定理4.2]，如果两个条件θ|（1+|ρ|）<4和θ|（1+|ρ|）都满足，则参数化（5.12）不存在套利（对于给定的到期日T）≤ 4人感到满意；此外，条件θД（1+|ρ|）≤ 4被证明是必要的[16，引理4.2]。很容易看到wSSVI（x）/|x |→θψ（1±ρ）为x→ ±∞. 根据无套利的必要条件θ|（1+|ρ|）≤ 4.为了获得最大斜率极限↓-∞wSSVI（x）/|x |=2对于左翼，我们需要施加ρ≤ 0和θ|（1+|ρ|）=4。上面的第二个条件表明我们在一个可能参数集的边界上。以下参数取自[10，第7.2节]：假设θ|（1+|ρ|）=θ|（1- ρ） =4，不难看出以下展开式成立：wSSVI（x）- 2 | x |=θ（1）- ρ） +O|x|→θ(1 - ρ） 作为x↓ -∞. （5.13）上述限制与（5.11）中的两种情况相矛盾。作为结论，在保持无放射性条件的情况下，SSVI参数化中不能嵌入正质量P6=1/2。5.4.2郭等人[22]提出的参数化是w（x）=θψ（xξ（θ）），其中ξ（u）≡ α1 - E-uu和ψ（z）≡ |z|+1+p1+| z|.αθ>0。因为展开式w（x）=α| x |（1- E-θ） +θ+O（|x）|-1/2）随着x趋于稳定-∞, 交感斜率↓-∞w（x）|x |等于2当且仅当α（1）- E-θ) = 2. 但这意味着Slimx↓-∞（w（x）- 2 | x |）=θ，再次与（5.11）相矛盾，因此排除了质量为零的可能性。一个小女孩。1.保持微笑和微笑的对称性，让自己变得成熟。

函数g（K）≡KSPSK, K>0，（A.1）允许定义Black-Scholes隐含波动率函数IG，当G被视为成熟度为T的看涨价格时。标识（K）=IGSK（A.2）在[17,18]中被证明并用于传递最初为隐含波动微笑（K）的正确部分制定的A症状结果↑ ∞) 左边（K）↓ 0).提议A.1。当p>0时，F值为k7→ （A.1）中定义的G（K）不是买入价函数。证据假设G（·）是一个随机数为T的看涨期权价格函数，那么G（K）=E（X）- K） +对于某些可积随机变量X.方程（1.8）意味着limk↑∞G（K）=limK↑∞KSPSK= limK\'↓0SK′P（K′）=pS>0，这与limK相矛盾↑∞G（K）=limK↑∞E（X）- K） 由支配收敛决定+=0。G是真正的看涨价格函数，而且G≡ C、 与基本定律的对称性有关。用Q表示由氡Nikodym密度dQ/dP=ST/S定义的概率测度。如果S/Studer Q的分布与ST/Sunder P的分布相同，则STI的分布称为几何对称（见Carr和Lee[6]）。例如对数正态分布和不相关随机波动率模型（零风险利率）。很容易看出[6，定理2.2和推论2.5]，几何对称意味着（实际上相当于）看跌期权价格对称性C（K）=G（K）（A.3），其中G在（A.1）中定义。请注意，（A.3）也可以用更“对称”的方式写成P（K，S）=C（S，K），从而使现货价格显式出现。方程（A.2）表明，Put-Ca-ll对称性反过来等价于隐含波动率微笑的对称性，与对数货币指数I（x）=I有关(-x） ，为了所有的x∈ R.（A.4）（A.4）和（A.3）的等价性给出了命题A.1的以下推论：推论A.2。

如果p>0，则到期时的隐含波动率T在（A.4）意义上不能是对称的。备注A.3。请注意，Q（ST>0）=EP[（ST/S）11ST>0]=1，因此，当ST的P分布中有一个原子为零时，S/StI Q几乎可以确定。然而，由于Q（S/ST>0）=1，在这种情况下，S/ST的Q分布不能与ST/Sin的P分布一致。这是另一种证明当P分布中有一个原子为零时，几何对称性，也就是微笑的对称性并不成立的方法。备注A.4。在[25，定理4.1]中，假设p=0，Lee证明了恒等式IP（x）=IQ(-x） 式中，IQ表示标在S/STand上的期权的隐含波动率，该S/STand根据测度Q定价。尽管对于P下非负的任何股价分布，IP和IQ这两个函数都有很好的定义，但在命题A.1的证明中使用的相同论点表明，恒等式IP（x）=IQ(-x） 当p>0时不成立。参考文献[1]M.Abramowitz和I.Stegun，《数学函数手册》，纽约多佛，第10版，1972年。[2] K.Aludaat和M.Alodat，《关于逼近正态分布函数的注释》，应用数学科学，2（2008），第425-429页。[3] S.Benaim和P.Friz，《规则变化和微笑渐近性》，数学金融，19（2009），第1-12页。[4] A.Borodin和P.Salminen，《布朗运动手册》。事实与公式，伯赫奥瑟，巴塞尔，1996年。[5] L.Campi，S.Polbennikov和A.Sbuelz，《基于股权的系统性信贷风险：一个带有违约跳跃的CEV模型》，经济动力学与控制杂志，33（2009），第93-108页。[6] P.Carr和R.Lee，Put call Symmety:扩展与应用，数学金融，19（2009），第523-560页。[7] M.Chesney、M.Jeanblanc和M.Yor，《金融市场的数学方法》，斯普林格出版社，2009年。[8] D.科库列斯库、H.杰曼和M。

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2007年斯德哥尔摩PDE和财务会议演示，可在http://www.math.kth.se/pde_finance07/.