我们使用行业权重向量的反向参与率（27）作为几个行业的重大贡献的指标，并比较其回报和波动特征向量。我们发现，与收益特征向量相比，极少数波动性最大的特征向量由少数行业群体主导。这一结果与实际观察到的结果一致。例如，通过在不同的经济部门实现投资组合的多样化，可以降低投资组合的风险，但要消除波动风险要困难得多。最后在第六节中，我们讨论了我们结果的稳健性。由于我们的结果是基于对所有GARCH（1,1）过程（8）的427×3参数的估计，因此有必要了解当我们有一个非常小或大量的参数时，它们是如何受到影响的。尽管在数量上存在微小差异，但我们的结果在两种情况下在质量上保持不变。在附录C中，我们还总结了将RMT应用于波动率回报之间相关性的结果，这些结果定义为（C1）。在这种情况下，我们发现最大特征值为91，73%的特征值为纯噪声。与收益率特征向量相比，波动率-收益率相关矩阵的特征向量较少，且主要由几个行业集团控制。然而，与波动率相关矩阵相比，这些特征向量携带了更多关于行业组的信息。在五个最大特征向量中，我们还发现主导行业组与五个最大回报特征向量中出现的相同。在本文中，我们使用一种最简单的方法GARCH（1,1）来估计日波动率。然而，还有各种其他的代理和估算方法。例如，还有其他多变量波动模型[38]。通过观察市场上的期权价格来估计资产的隐含波动率。

人们还可以使用高频数据来估计价格的方差或平均绝对偏差。将RMT的工具应用于所有这些指标，以深入了解波动性之间的相关性，这将是一件有趣的事情。由于标的资产的隐含波动率随行权和到期日的变化而变化，我们预计相关结构会更加丰富。本文无疑为这些方向迈出了第一步。请注意，RMT在金融市场中的最初应用是基于价格波动之间的相关性[3]。在本文中，我们转而关注这些波动的第二个时刻。要深入了解金融市场，需要了解其组成部分之间的所有相关性。因此，将我们的工作扩展到已实现的高阶矩，例如偏度和峰度，这将是一件有趣的事情，它可以通过经验来估计。本文的主要结果之一是证明了波动率相关矩阵的特征值中有大量是纯噪声。由于波动率相关矩阵在风险管理和预测中有应用[11,12]，因此理解波动率相关矩阵如何被清理以只携带真实信息是很自然的。下一步将是看看这个干净的波动率相关矩阵如何改进价格预测和风险估计。我们在这里只列出了少数，但有大量文献将矩阵清洗方法应用于财务相关性[10,39–44]。预计这些工具也将在挥发性相关矩阵中找到应用。在V B部分中，我们比较了GICS行业群的最大特征向量中包含的信息。我们观察到，波动率相关矩阵的最大特征向量中，很少有行业集团占据主导地位。

由于我们期望这些特征向量能够携带有关市场的真实信息，因此有两种可能性。首先，对于收益相关矩阵的特征向量，观察到少数最大的特征向量在时间上是相当稳定的。因此，这些特征向量在更长的时间内由特定的行业群体主导。随着人们转向较小的价值观，稳定的时间尺度开始减小。对于波动率相关矩阵，很可能只有两个或三个最大的特征向量是稳定的，其余的只是“随机的”。然而，这种可能性并不符合这样一个事实：与返回corl∑（l）20 2 4 6 8 100.0 0 0.5 1.0 1.5 2.0相比●●●●●●●●●● ●●c=1c=2c=2.65c=3c=3.5（a）图11：（在线颜色）我们显示了展开参数c不同值的数字方差，保持w=0.0047固定。实线是GOE数方差的理论值。我们发现，当我们改变c时，经验模型接近GOE的确切结果。在c=2.65的最佳值附近的小范围内，经验估计相对稳定。在同一时间段内，波动率相关性更强。因此，这导致了第二种情况，即波动性可能会以非线性结构组织起来，这些结构由不同的行业集团重叠而成。由于这些想法在波动性风险管理和波动性套利策略中非常有用，因此研究波动性投资者的时间演化和结构将非常有趣[13,14,28–35]。致谢：我们感谢塞缪尔·巴斯克斯和约翰·尼米宁的富有洞察力的评论和建议。我想感谢罗伯特·迈尔斯在这项工作中给予的支持和鼓励。同时感谢萨普瓦·纳拉扬和海德尔·莫拉迪的几次有趣的讨论。这项研究得到了周界理论物理研究所的部分支持。

周边研究所的研究由加拿大政府通过加拿大工业部和安大略省通过研究和创新部提供支持。附录A：高斯加宽和去折叠高斯值在本附录中，我们讨论了波动率相关矩阵特征值的高斯加宽过程。随机矩阵特征值λiof的经验累积概率分布由，F（λi）=NNXj=1Θ（λi）给出- λj）。（A1）其中N是特征值的总数，Θ（λi）是Heaviside阶跃函数。这种概率分布可以分为两部分，F=Fav（λ）+Ff（λ），（A2），其中Favis是平均部分，而Ffis是flucturatingpart，在系综上平均时为零。现在我们可以用累积概率分布的平均部分得到展开的特征值ξi，ξi=NFav（λi）。（A3）展开的特征值是特征值λitoξi的映射，因此它们具有均匀分布。此外，注意（A1）和（A3），ξi独立于N。为了从估计的累积概率（A1）中分离Fav，我们使用高斯加宽程序[26]。我们用平均λi标准偏差ηi的高斯分布替换每个特征值λiin（A1）处的δ函数峰值。为了估计每个特征值ηi的最佳值，我们将特征值标度除以宽度为w的特定“子带”，并将其编号为asm={1，2，…}。我们计算每个子带中特征值之间的平均距离，并用dm表示。然后，对于每个特征值λi，我们发现标准偏差ηi=2 c dm，（A4），其中c是一个加宽参数，dmi使得特征值λi延伸到子带m。与理论结果相比，通常选择子带宽度w和加宽参数c的值，以获得短程和长程相关性的最佳fit。

在第四节的讨论中，我们将波动率相关矩阵的特征值之间的相关性与GOE进行比较，我们使用了w=0.0047和c=2.65。请注意，在第IV B节中的nextto最近邻间距分布的情况下，我们用偶数和奇数i对两个不同组中的特征值λii进行分类，然后分别展开每个组。因此，在这些情况下，为了保持关联结构与IV A和IV C节中的展开一致，我们使用η偶数/oddi=C deven/oddm。最后，在比较经验数据和RMT结果的属性时，需要确保该协议不是因为特定的展开参数选择。我们应该注意到，当展开参数在特定范围内变化时，经验结果会收敛到理论值。通常，短程关联对展开过程不太敏感，这种收敛在长程关联中更明显。在图11中，我们展示了各种c值的数字方差，保持w=0.0047固定。可以清楚地看到，当c达到最佳值时，数字方差的估计值接近GOE的理论值。我们观察到类似的行为时，不同，保持固定。附录B：去除市场模式后的特征值为了去除市场模式的影响，我们将标准化波动率时间序列Bσi回归到V A节中讨论的市场模式（24）。如（25）所示，剩余时间序列ε可以从Bσi，t=αi+βiMt+εi，t，（B1）进一步用于计算相关矩阵C。相关矩阵C的元素与原始相关矩阵C相关，如下所示：Cij=hεiεji＠si＠sj（B2）=Cij＠si＠sj-βiβjλNNsisj。（B3）这里Si是剩余时间序列εi的标准偏差。在获得（B3）时，我们还使用了hεii=0，hεiMi=0，时间序列bσi的方差为1。

如果市场弱相关，λn不会很大。此外，整体市场动态对单个时间序列和系数的影响较小。在这种情况下，如果所有i的si=s，到（B3）的前导顺序，λi=λis.（B4），让我们假设只有市场模式在Marcenko Pastur分布之外。在这种情况下，所有的βi近似相等，βi≈ 1/N。利用剩余时间序列的方差εi，~s≈ 1.-λNN。（B5）这可以进一步用在（B4）中，以得到∧i≈ λiN/（N）-λN）。注意，这与方程（25）后面讨论的特征值标准化的论点一致。然而，如果λNis非常大，对（B4）的修正将不可忽略。对于挥发相关矩阵，最大特征值为N阶。因此，尽管λi接近λiN/（N-λN），我们观察到有明显的修正。波动率回报行业权重向量（a）图12：（彩色在线）我们展示了与波动率回报相关矩阵的六个最大特征向量相对应的权重向量分量。就波动率而言，最大的贡献来自以下行业群体：426个——公用事业，425个——银行和能源，424个——银行和能源，423个——房地产，422个——半导体和半导体设备，421个——家庭和个人产品。请注意，五个最大特征向量中的行业组与回报特征向量中的主要组匹配，如图9所示。附录C：波动率回报之间的相关性在本附录中，我们简要介绍了RMT在波动率回报上的应用结果。使用挥发性时间序列σi，tin（8），我们可以确定挥发性回报率Δσi，t=logσi，t+1σi，t. （C1）这些波动率-收益率时间序列进一步标准化，使其具有零均值和单位方差。

我们可以用N×（T）来排列这些时间序列- 1） 矩阵和定义相关矩阵xc=T-1GT。（C2）●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●波动率回归对数（λ~i）对数（Ii）●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●.5.0005.005.05（a）图13：（彩色在线）我们绘制了波动率回报特征向量的权重向量的逆参与比。在对数图上，x轴是我们在去除市场影响后得到的特征值。垂直虚线显示了20个最大特征值落下的位置。我们可以看到，与返回相关矩阵相比，较少的特征值具有较大的逆参与比。然而，与波动率相关矩阵相比，更多的特征向量得到了行业集团的主要贡献。对于该矩阵，最小特征值为.05，最大特征值为91。我们可以遵循第三节中的程序，发现现在73%的特征值属于马尔森科牧场分布。

特征值的统计性质也与GOE的一致。我们在相应的高斯分布范围内找到了相应的高斯分布。最大的特征向量也是市场模式。按照第V A节中的程序，我们可以消除市场模式的影响，并使用投影矩阵（26），计算行业权重向量。波动率-收益相关性线性模型（25）优点的度量（30）为Kvr=0.32。在图12中，我们展示了六个最大特征向量的权重向量，不包括市场模式。再次，与收益特征向量相比，由少数行业主导的波动性收益特征向量更少。对于权重向量，我们还可以计算反向参与率，如图13所示。我们可以进一步将反向参与率与我们在第V节B中定义的基准值I进行比较。我们发现，波动率-收益率相关矩阵的二十个最大特征向量中，有十二个的反向参与率低于该基准值。这个数字小于16，这是我们得到的波动率相关矩阵。这表明，对于我们所讨论的数据，与波动率特征向量相比，波动率收益特征向量包含更多关于行业组的信息。我们还注意到，收益率和波动率-收益率相关矩阵的五个最大特征向量中的主要行业组是相同的。[1] 哈利·马科维茨。投资组合选择。《金融杂志》，7（1）：77-911952年。[2] J.P.Bouchaud和M.Potters。金融风险和衍生产品定价理论：从统计物理到风险管理。剑桥大学出版社，2003年。[3] L.Laloux、P.Cizeau、J.-P.Bouchaud和M.Potters。金融相关矩阵的噪声修饰。

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