随机矩阵在资产波动相关性中的应用

2022-5-5 01:44:41

随机矩阵在资产波动性相关性中的应用Jay SinghPerimeter理论物理研究所，加拿大安大略省滑铁卢N2L 2Y5*丁海旭加拿大安大略省滑铁卢市滑铁卢大学经济学系N2L 3G1本文应用随机矩阵理论（RMT）中的工具，对标准普尔500指数中各种资产的波动性进行相关性估计。通过将价格波动建模为GARCH（1,1）过程来估计波动性输入。构造了相应的相关矩阵。研究发现，波动率相关矩阵的大量特征值的分布与RMT的分析结果相匹配。此外，在RMT范围内的特征值之间的短程和长程相关性的经验估计与RMT的高斯正交系综（GOE）的分析结果相匹配。为了了解最大特征向量的信息内容，我们估计了GICS行业群体在每个特征向量中的贡献。与价格波动相关矩阵的特征向量相比，波动相关矩阵的最大特征向量中只有少数由单个行业组控制。我们还研究了“波动率-收益率”之间的相关性，得到了类似的结果。一、引言资产收益的波动性是金融研究中最重要的因素之一。自Black-Scholes和自回归条件异方差（ARCH/GARCH）等经典模型诞生以来，对波动率的时变行为的分析在过去几年中受到了越来越多的关注。与资产价格不同，市场的波动是最晚的。换句话说，它不是直接观察到的，因此，一些估计是必要的，以使波动性时间序列“可见”进行分析。

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kedemingshi

2022-5-5 01:44:44

有几种众所周知的衡量波动性的方法。大体上，我们可以将这些方法分为以下三类。第一种是经典的基于参数模型的方法，称为估计效用。特别是，波动率是使用ARCH/GARCH、随机波动率模型等模型生成的。第二种类型被称为隐含波动率，由期权定价公式支持，例如Black-Scholes。在最后一类中，波动率是由高频交易数据（即已实现波动率）非参数构造而成。所有这三种波动性指标都广泛用于金融行业。在本文中，我们希望将传统的波动率分析扩展到多元环境中。在这幅图中，波动率相关性自然被引入。请注意，不同资产的股价波动之间的相关性非常重要，因为它们直接用于马科维茨投资组合理论中的风险管理[1,2]。然而，在实践中，在估计相关性的最终产品中嵌入了不同的噪声源，例如由于*asingh@perimeterinstitute.calimitingLaloux等人在他们的开创性工作[3]中指出，时间域、估算程序效率低下导致的估算误差、模型构建过程中的测量误差等表明，价格波动相关矩阵中的累积噪声可以通过使用随机矩阵理论（RMT）中的工具来解释[4–6]。特别是，他们发现经验相关矩阵的特征值分布（不包括一些最大的特征值）非常适合RMT的Marcenko Pastur分布[4–7]。在[8,9]中，进一步证明了该相关矩阵的性质类似于高斯正交系综（GOE）。

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大多数88

2022-5-5 01:44:48

这些结果强烈表明，在马尔森科-帕斯托分布下的相关矩阵的特征值不包含关于金融市场的真实信息。因此，我们应该系统地从相关性中过滤掉这些噪声，以便更准确地估计未来的投资组合风险（参见[10]和其中的参考文献）。不同资产波动率之间的相关性在投资组合选择、期权定价和某些多元计量经济模型中有助于预测价格和波动率[11,12]。例如，在Black-Scholes模型中，仅暴露于织女星风险的期权组合π的方差由[11]Var（π）=Xi，j，k，lwiwl∧ij∧lkCjk给出。（1）这里是投资组合中的权重，Cijis是基础资产隐含波动率的相关矩阵，Vega矩阵∧ij定义为∧ij=圆周率νj，（2）其中，Pi是期权i的价格，而νjis是期权j下资产的隐含可用性。在波动性套利策略中，通常使用“波动性回报”之间的相关性，即波动性的变化。由于波动率相关矩阵Cijin（1）或波动率收益率之间的相关性通常是估计的，因此它们包含系统误差和随机误差。因此，为了更好地预测风险，我们当然需要估计并去除这些相关矩阵中的噪声。在风险管理和波动性套利策略中使用波动性相关矩阵还有另一个重要方面。一旦得到波动率相关矩阵，人们可以问几个关于特征值和特征向量的有趣问题。在资产或衍生品的风险管理和套利策略中，人们试图利用尽可能多的市场信息。

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2022-5-5 01:44:51

例如，价格波动相关矩阵的特征向量表明，股票市场中最相关的结构（在较长时间内也保持稳定）是行业部门【9、13、14】。在这种情况下，通过选择与所有相关特征向量正交的投资组合向量，可以显著降低投资组合风险。现在，在波动率相关矩阵的情况下，人们自然会问，它的特征向量是否携带有关市场的新信息，以及它们在时间上是否稳定。如果是，那么如何利用这一点来更好地估计风险和改善波动性风险策略？在本文中，我们将RMT工具应用于波动率相关矩阵。我们使用了一个经过充分研究的计量经济学模型GARCH（1，1），来估计资产波动性的时间演化[15–17]。在GARCH（1，1）过程中，波动性被衡量为价格波动的标准偏差。在计量经济学文献中，我们确实意识到有相当复杂的模型可用于测量每日波动性。然而，已经观察到，如果人们不关心波动性对价格波动的不对称反应，即杠杆效应[18]，GARCH（1,1）在很大程度上不会被任何其他模型超越[19,20]。因此，GARCH（1,1）至少被视为分析的起点。我们将多变量模型和其他波动性指标的使用留给未来的工作。论文的其余部分组织如下。在第二节中，我们讨论了本研究中使用的数据，以及如何对价格波动进行建模以生成波动性时间序列。利用波动率时间序列，我们构造了相关矩阵，并计算了第三组的特征值。

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2022-5-5 01:44:54

然后，通过用解析表达式拟合特征值的累积概率分布，我们找到了符合RMT的Marcenko Pastur分布的最佳特征值数。一旦我们知道哪些特征值可能是纯噪声，我们就会进行进一步的测试，以确保它们是独立的。我们在第四节中研究了这些特征值的统计性质。计算了最近邻间距分布、次最近邻间距分布和展开特征值的数量方差。前两个量测试特征值之间的短期相关性，后一个量评估长期相关性。我们发现这些量与RMT的GOE分析结果非常一致。在第五节中，我们研究了特征向量统计，发现最大特征值对应的特征向量是“市场模式”。由于市场模式的特征值是资产总数的顺序，因此市场与资产的波动性之间具有很强的相关性。正如我们在第V A节中所讨论的，市场模式也会影响马尔森科牧场分布下的特征向量。我们进一步计算了GICS产业群在本征向量中的分布，本征向量应携带真实信息。价格波动的相关矩阵在马尔岑科Pastur分布之外，在时间上相对稳定，并由特定行业群体主导[13,14,21]。然而，在波动率相关矩阵的情况下，只有少数最大的特征向量由特定行业主导。在第六节中，我们通过与GARCH（1,1）相比，对参数数量较少和较多的时间序列进行建模，来讨论我们结果的稳健性。

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2022-5-5 01:44:57

最后在第七节中，我们总结了我们的研究结果，并讨论了未来的发展方向。在附录C中，我们提到了将theRMT应用于波动率回报相关矩阵的结果。二、波动率和相关性矩阵的估计在本文中，我们使用标准普尔500指数中427只股票在2009年7月1日至2013年6月28日期间的每日收盘价[22]。我们用N表示股票总数（N=427），用T表示价格波动的时间序列长度（T=1005）。省略的公司是在这段时间内离开或加入标准普尔500指数的公司。请注意，我们的数据属于包含2008-09年经济危机余震的时间段。据观察，市场在波动期通常具有很强的相关性[23]。因此，与[3,9]中的分析相比，收益率和波动率相关矩阵的更多特征值倾向于偏离标准RMT结果。为了对每个时间序列进行建模，我们首先通过ri定义时间t时库存i的回报率，t=log（Pi，t+1/Pi，t），其中Pi是库存i的价格∈ {1，2，…，N}∈ {1,2，…，T}。我们可以规范化收益率时间序列，使其具有单位方差和零均值，值得一提的是，本文讨论了三种类型的相关矩阵：收益率相关矩阵定义（5），波动率相关矩阵（11）和波动率收益率相关矩阵（C2）。对于少数时间序列，我们观察到它们要么是非平稳的，要么GARCH（1,1）不是估计波动率的好模型。因此，本文也不考虑这些时间序列。以N×T矩阵git的形式写入，使得git=ri，T- 其中，ri=hri，ti和σi=qh（ri，t- “-ri）i.（4）在我们的符号中，尖括号表示时间序列的平均值，除非明确说明。

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2022-5-5 01:45:01

现在，价格波动的相关矩阵可以写成asc=TGGT。（5）为了方便起见，我们将C称为返回相关矩阵。此外，我们通过对收益率ri建模，使用单变量GARCH（1,1）过程来估计波动性时间序列。一般来说，在GARCH框架中，条件均值ri和条件方差σi，tat t，给定信息，都是时间的函数：\'ri，t=hri，t|Itie，（6）σi，t=h（ri，t- |ri，t|Itie。（7）这里，hie表示集合中的平均值，它是关于时间t之前价格的信息。本文使用标准的GARCH（1,1）结构。在对条件平均值和条件波动率进行建模的过程中，有两个方程，ri，t=σi，ti、 t，σi，t=αi+αiri，t-1+βiσi，t-1、（8）在哪里i、这是从高斯分布中提取的随机元素。存量系数αi、αi和βi使用标准计量经济学软件包进行估算[24]。使用这些参数，我们可以根据（8）顺序估计波动性时间序列σi。正如一般观察到的，我们发现波动率的分布非常接近对数正态分布。在图1中，我们绘制了对数（σi，t）的分布，它很好地符合美国的平均分布-4.099±.001，标准偏差0.379±.001。我们可以再次标准化波动性时间序列，使其具有零均值和单位方差：bσi，t=σi，t- “∑isi。（9）这里值得一提的是，在将数据输入GARCH结构之前，进行单位根检验以验证平稳性条件。对数σtP（对数σt）-5.5-4.5-3.5-2.50.0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2图。1：（彩色在线）显示了日波动率对数的概率密度分布，即对数（σi，t）。波动性时间序列是通过将标准普尔500指数中427只股票的价格波动建模为单变量GARCH（1,1）过程生成的。

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2022-5-5 01:45:04

数据集的偏度为0.19，峰度为3.01。红线是平均值的高斯函数-4.097±.001，标准偏差0.378±.001。波动性时间序列σi，t:\'σi=hσi，ti和si=qh（σi，t- “∑i）i.（10）bσi，t分布中的正尾很好地符合幂律系数4.5，这接近5分钟间隔内高频回报的绝对偏差的5.4[2]。现在，我们可以安排标准化波动率bσi，tas N×T矩阵的时间序列，然后波动率相关矩阵由c=TGGT给出。（11）使用波动率相关矩阵，可以计算特征值λi和共轭特征向量vi。现在在下一节中，我们将从RMT中找到密度分布中的最佳特征值数。三、 RMT和特征值分布在本节中，我们将波动率相关矩阵（11）的特征值分布与RMT的分析结果进行比较。注意，相关矩阵没有（N- 1） /2个独立分量和一个长度T>N的时间序列用于估计相关矩阵。然而，如果时间序列是不相关的，则相关性的经验估计需要有限长度的时间序列。在RMT的上下文中，假设我们有N个长度为T的不相关时间序列，随机元素取自具有零均值和标准偏差s的高斯分布。我们可以将这些时间序列安排在N×T矩阵R中。对于这些时间序列，我们可以计算相关矩阵，即Wishart矩阵RRT/T，以及其特征值的分布。在极限N→ ∞ 和T→ ∞, 由于Q=T/N是固定的，特征值的分布就变成了众所周知的Marcenko Pastur分布[4,25]：PRM（λ）=Q2πsp（λ+- λ)(λ -λ-)λ、（12）式中λ±=s1+Q±√Q. （13）其中λ表示特征值，λ-≤ λ ≤ λ+.

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2022-5-5 01:45:07

λ±值均大于零，且仅当Q→ 1，零和λ之间的间隙-消失了，我们恢复了维格纳半圆定律。对于有限的T和N，两端λ±处的突然剪切效应被快速衰减的尾巴所取代。注意，当随机、不相关时间序列的元素具有高斯分布时，（12）是精确的。如果从L’evy稳定范围外的幂律分布中提取随机元素，本征分布仍然与（12）[5，9]一致。由于波动率时间序列大致服从对数正态分布，我们用对数正态分布的随机元素显式构造了长度为T的时间序列。我们发现（12）与这些人工时间序列的相关矩阵的特征值分布一致。此外，随着时间序列之间的相关性被引入，一些特征值开始移出整体分布（12）[7]。这些特征值携带有关市场的真实信息。在这种情况下，有效标准偏差sin（12）与其时间序列的原始值不同。我们可以用“噪声”来表示大部分分布，因为它不代表任何信息状态。然而，该制度之外的特征值对应于真正的相关性，相关特征向量代表市场的相关部分。在下一节中，我们将展示相关矩阵的某些特征值是如何形成大部分分布的，这些特征值与RMT的解析表达式（12）非常吻合。据观察，即使时间序列具有良好的相关性，也可能出现类似（12）的分布。因此，我们在第四节中对Marcenko Pastur分布下的特征值进行了进一步检查，并将结果与GOE的解析表达式进行了比较。A.

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2022-5-5 01:45:10

特征值密度利用波动率相关矩阵（11），我们可以计算其特征值，并按λν（λ）λN0的顺序进行排序。00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.050 5 10 150 118 2360 2图。2：（在线上色）我们绘制了波动率相关矩阵的特征值直方图。y轴是宽度为0.001的容器中特征值的频率。平滑图是RMT的分析结果（12）。这是通过拟合累积概率分布（15）中的数据点（14）来估计的。该函数的参数分别为q=2.351、s=0.09952±0.00005和α=0.3890±0.0014。我们进一步将估计图乘以系数（.001Pλ<λ+ν（λ）/α），以匹配y轴上的频率标度。（插图）我们表明，最大特征值λN=237比分布的大部分更大。λ如果（λi）N0=1610.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.050.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6图。3：（彩色在线）阶梯函数是波动率相关矩阵特征值的经验累积概率分布（14）。平滑图是Q=2.351、s=0.09952±0.00005和α=0.3890±0.0014的分析系数（15）。为了生成该特征值，首先使用N=161个特征值，该边缘用垂直虚线显示。{λ，λ，…，λN}，其中λ是最小的，λ是最大的特征值。特征值直方图如图2所示。首先我们注意到最小特征值λ=0.0015，这是正的。其次，分布的尾部正在平稳衰减，而不是突然终止。我们还注意到，最大特征值λNis约为237，远大于大部分分布中的值。这些观察结果与我们的样本数据集的特征相一致，在样本数据集中，市场被发现非常不稳定且具有强相关性。

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2022-5-5 01:45:13

请注意，由于相关矩阵的轨迹被固定为N，当λN变大时，分布的峰值接近于零。为了拟合（12）中的大部分特征值分布，我们使用经验累积分布函数F（λi）=NNXj=1Θ（λi）- λj）。（14）这里的Θ（λ）是Heaviside阶跃函数，我们在图3中绘制了F（λi）作为特征值的函数。因为只有一部分特征值是噪声，所以我们定义了F（λi）infm（λ）=αZλ的一部分-∞dλPRM（λ，s），（15），参数为sandα，保持Q=T/N固定。如图2所示，大量特征值不在大部分分布范围内。因此，当α仅与（14）中的部分经验累积分布F（λi）进行比较时，引入α来处理（15）中的归一化。此外，当多个特征值超出RMT时，有效标准偏差会发生变化。特别是，如果时间序列相关性较弱，则只有少数特征值大于λ+，这是RMT的理论界（13）。然后，有效标准偏差约为≈ 1.-NNXi=N+1λi，（16），其中Nis是属于Marcenko Pastur分布（12）的特征值的数量。为了将数据填入（15）中，我们首先在经验累积分布（14）中选择特征值{λ，λ，…，λN}和相应数据点的子集。然后我们将这些数据点填入（15）中，并通过最小化均方根误差（RMSE）来估计α和Sb。所选数据点的最小RMSE可表示为，E（N）=minα，svuutNNXi=1F（λi）- FRM（λi，α，s）.（17）我们将E（N）作为图4的函数。看来●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●N1E（N1）120 140 160 180 200●N1=1610.001 0.004 0.008图。

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2022-5-5 01:45:16

4：（彩色在线）我们绘制了经验累积概率分布（14）的淹没点最佳RMT的均方根误差（RMSE）。当我们改变N时，我们在N=161时接近局部最小值。这一点由一条垂直虚线指出。在N=161附近，E（N）有一个局部最小值，超过这个阈值，E（N）开始几乎线性增加。通过这种方式，我们找到了一个用于拟合RMT结果（15）的“最佳”特征值数。请注意，Nis的值对设置程序和使用的指示器敏感。然而，噪声的精确分布有一条衰减的尾巴，而不是（12）中的锐利边缘。因此，Ndo的微小变化不会高估噪音。对于N=161，估计参数为s=0.009952±0.00005和α=0.3890±0.0014。利用（13），我们还估计λ-= .0012和λ+=0.0272。对于这些参数值，概率密度（12）如图2所示。最后，我们发现不存在=173个特征值，因此λi≤ λ+并且它们属于Marcenko Pastur分布。我们注意到，sandα的估计值接近于我们从（16）中得到的值，即s≈ 0.00429和α≈ N/N=0.4051。四、在上一节中，我们研究了在Marcenko Pastur分布下哪些特征值可能是纯噪声。然而，时间序列很有可能包含真正的相关性，然后其分布与Marcenko Pastur分布非常相似。因此，我们进行了进一步的诊断测试，以确保由RMTlimits限定的特征值确实是噪声。由于相关矩阵是实对称矩阵，我们使用这些数据来评估零假设，即它属于RMT的GOE。

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2022-5-5 01:45:20

为此，我们将NGEIGEN值之间的短期和长期相关性与GOE的分析结果进行比较。通过定义，随机矩阵的GOE有两个重要性质。首先，如果M是实对称矩阵，并且是GOE的一个元素，那么它的所有元素都是统计独立的。第二，系综在正交变换下是不变的。换句话说，元素M的任何变换→ 其中O是实正交矩阵，使得M元素的联合概率不变。由于这种对称性，GOE的元素表现出一些普遍的性质。由于这些性质中有一些是自平均的，我们可以通过研究一个单一的、大的元素来观察这些性质。特别是，我们通过计算展开特征值的最近邻和次近邻间距分布来研究短程相关性。我们还通过计算数字方差来比较特征值之间的长期相关性。即使对于少数落在RMT范围内的特征值，即N=172，我们也发现GOE的普遍性质非常一致。A.最近邻间距分布GOE的第一个测试是挥发性相关矩阵未展开特征值的最近邻间距分布。为了展开本征值，我们使用了高斯加宽技术，正如[26]中哈伯德模型中所使用的那样。高斯展开过程在附录A中进行了简要总结。我们考虑了理论界（13）内的所有Neigen值，并计算展开的特征值ξi。通过定义（A3），展开的特征值是λitoξ的映射，ξi为均匀分布。现在我们估计最近邻空间d=（ξi+1）的分布- ξi）如图5所示。

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2022-5-5 01:45:23

RMT的标准结果之一是，GOE展开特征值的最近邻间距分布是著名的Wigner猜想[4–6]：PGOE（d）=πdexp-πd. （18）我们将最近邻spacingin（βPGOE）的估计密度与归一化参数β进行比较。如图5所示，经验数据符合GOE的分析表达式。我们发现β=0.98±0.05，这与精确值β=1非常接近。我们进一步发现，对于最近邻间距分布，KolmogorovSmirnov统计量为0.066，p值为0.48。在0.05的显著水平下，Kolmogorov-Smirnov的p值根据其分布和GSE进行检验。dnnP（dnn）0 1 2 3 40.2 0.6 1.0图。5：（彩色在线）我们绘制了高斯展开特征值的最近邻间距分布直方图。平滑图是β=0.98±0.05的fβPGoE，PGoE由（18）给出。Kolmogorov-Smrinov统计量和与分析表达式（18）相关的相应p值分别为0.066和0.48。B.次近邻间距分布GOE的第二个测试是将未展开特征值的次近邻间距分布与RMT结果进行比较。对于GOE，展开特征值的下一个到最近邻间距的分布与GSE的最近邻间距分布等价[4–6]。这被称为GOE的GSE测试。GSE最近邻间距的解析表达式为，PGSE（d）=πdexp-9πd. （19）为了计算次近邻间距的经验值，我们选择RMT范围内的所有特征值（13）。我们进一步将这些特征值λiin除以两个集合，其中有偶数和奇数索引i。现在，这两个集合都是这样的，即原始序列的相邻特征值在同一组中。

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2022-5-5 01:45:27

对于每个集合，按照附录A中的程序，我们进行高斯加宽，并计算未展开特征值ξ偶数/奇数。利用这些展开的特征值，我们计算最近邻空间deven/odd=（ξ偶数/oddi+1）-每一组中的ξ偶数/奇数）。现在，我们结合这两个集合中的数据，得到原始特征值序列中次近邻间距的概率密度。密度分布如图6所示，我们用归一化常数β将其表示为（βPGSE）。我们发现β=0.96±0.05，非常接近精确值。KolmogorovSmirnov统计数据为次近邻分布NNNP（dnnn）0.0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.00.0 0 0.4 0.8 1.2FIG。6：（在线上色）我们绘制高斯展开值的次色调最邻近间距分布直方图。平滑图为fβPGSE，其中β=0.96±0.05，PGSEI由（19）给出。KolmogorovSmrinov统计量和参考分析分布（19）的相应p值分别为0.063和0.55。但p值为0.063，在0.5的显著水平上，p值不能放弃零假设。C.数字差异在本节中，我们将特征值之间的长期相关性与GOE的分析结果进行比较。有一些系统的例子，其中哈密顿不属于GOE，但光谱中的短程关联确实与GOE中的短程关联相似[5]。因此，为了确定Marcenko Pastur分布下的特征值是纯噪声的事实，需要将特征值之间的长期相关性与前述分析结果进行比较。探测特征值之间的长程、两级相关性的一个量是数差。它被定义为在每个折叠特征值ξi[4–6]周围的长度间隔内，展开特征值的数量的方差：∑（`）=NNXi=1（n（ξi，`）- hn（ξi，`）iξ）。

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2022-5-5 01:45:31

（20）这里Nis是展开特征值的个数，n（ξi，`）是区间[ξi]中的特征值个数- `/2，ξi+/2]。此外，hn（ξi，`）iξ是区间[ξi]中特征值个数的平均值- `/这里对展开的特征值ξi进行平均。由于展开的特征值具有均匀分布，hn（ξi，`）iξ=`。如果光谱是平移不变的，那么数字方差可以写成∑（l）=`-2Z`dr（`- r） Y（r），（21），其中Y（r）与两点相关性有关。如果特征值之间没有长程相关性，则得到Y=0，∑（`）=`的泊松谱。然而，GOE的yf表达式采用以下形式：y（r）=y（r）+dy（r）drZ∞rdry（r），（22）其中y（r）=sin（πr）πr。（23）为了从经验上估计数字方差，我们使用附录A中的高斯加宽程序展开了IGENV值。由于数字方差考虑了长期相关性，它受到λ处两个边的影响-和λ+，尤其是当Nis与`相比不是很大时。因此，我们仅使用分布大部分的特征值来估计数方差。GOE的经验估计和数字方差（20）的理论值如图7所示。我们发现这是因为≤ 10，结果与精确结果非常吻合。然而，如插图所示，对于较大的`，数字方差会偏离拓朴森谱。这种行为在特征值数量不是很大的情况下很常见。第IV A、IV B和IV C节的结果表明，波动率相关矩阵特征值的短期和长期相关性与RMT GOE的分析结果非常相似。这些结果有力地支持了相关矩阵的特征值是纯噪声的假设，该矩阵属于MarCenkopasur分布。

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2022-5-5 01:45:34

在下一节中，我们将研究挥发性相关矩阵的特征向量的性质，并将其与收益相关矩阵的特征向量进行比较。V.特征向量统计量在本节中，我们研究波动率相关矩阵的特征向量的性质。我们首先回顾了收益相关矩阵（5）特征向量的一些结果。在价格波动的情况下，已经观察到大多数特征值都属于Marcenko Pasturd分布，只有很少的特征值不属于批量分布。特征向量的组成部分是共轭噪声特征值，具有高斯分布[3,8,9]。最大特征值的特征向量共轭为“市场模式”。这种模式相当于一个投资组合，每个资产的权重相等。此外，理论值之外的其他较大特征值均∑（l）2●●●●●●●●●● ●0 2 4 6 8 100.0 1.0 2.0●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●0 25 500.0 1.5 3.0图。7：（在线上色）我们将数字方差绘制为间距参数`的函数。黑点是以理论边λ+为界的特征值的估计数方差。光滑线是GOE数方差的理论值。虚线是不相关泊松特征值的数字方差，即∑=`。（插图）黑点是估计数方差，平滑线是放弃数方差的理论值。我们可以看到，对于大的`，估计的数字方差与GOE不同。这通常是在我们处理有限个特征值时观察到的。RMT的边缘，预计将携带真正的相关性。

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2022-5-5 01:45:37

在长达十年的时间里，几乎没有发现最大的特征向量在时间上是最佳的[13,14]。然而，当一个人从最大值移动到一些较小的值时，稳定性的持续时间缩短，最终特征向量变得随机。为了理解这些最大特征向量中包含的信息，其中一种方法是将它们分解为工业组[13,14]。据观察，虽然大多数小特征向量随机将权重分配给所有行业，但最大特征向量由一个或两个行业主导。在V B部分，我们采用同样的方法来研究波动率相关矩阵的特征向量的性质。在第V A节中，我们首先讨论了波动率相关矩阵的特征向量的分布。我们发现，与收益相关矩阵类似，与最大特征值共轭的特征向量是市场模式。然后我们重点讨论了特征向量在RMT范围内与特征值共轭的分布。由于相关矩阵的最大特征值λNof为特征值总数N的数量级，我们发现它显著影响其他特征向量。然而，一旦我们消除了市场模式的影响，我们发现投资分布是高斯分布，与theRMT一致。接下来，我们研究了V B段中与最大特征向量共轭的特征向量的信息含量-4.-2 0 2 40.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50 10.0 1.5 3.0图。8：（彩色在线）黑色实线是随机矩阵特征向量的高斯分布。虚线和虚线是波动率相关矩阵的几个特征向量的分布，这些特征向量深入到Marcenko Pastur分布中。

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2022-5-5 01:45:41

这些特征向量是在从波动性时间序列中去除市场模式的影响后获得的，并且非常适合高斯分布。（插图）我们展示了市场模式的组件分布。虚线是完全随机特征向量的高斯分布。在市场模式下，我们估计不同行业组在这些特征向量中的权重。有趣的是，我们发现，与收益率相关矩阵相比，波动率相关矩阵的最大特征向量很少由几个行业集团主导。A.特征向量的分布为了研究特征向量统计，我们首先对与特征值λi相关的每个特征向量vi进行归一化，例如vTivi=N。我们发现，对于最大特征值λN，相关特征向量的大部分分量都聚集在一个周围。该特征向量是市场模式，其分布如图8的插图所示。现在，我们研究了与Marcenko Pastur分布下的特征值共轭的特征向量。根据RMT，这些特征向量应该具有高斯分布。然而，我们发现，这种分布的峰值比高斯分布更明显。我们在特征向量中也观察到类似的行为，但它没有那么强。由于这两种情况下最大的特征值与批量特征值相比要大得多，市场模式对其他特征向量有显著影响[13,14,27]。因此，消除市场模式的影响并重新检查特征向量分布是合理的。为了消除市场模式的影响，我们对市场模式变量的波动性时间序列进行回归，并使用残差重新计算相关矩阵[13,14]。如果市场模式是特征向量vN，我们可以为市场asM=vTNG=NXi=1vN，iGit编写波动性时间序列。

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2022-5-5 01:45:44

（24）G是一个N×T矩阵，包含（9）中定义的标准化波动率bσi，T的时间序列。为了消除市场模式的影响，这是所有资产的一个共同因素，我们构建了以下回归，bσi，t=αi+βiMt+εi，t，（25），其中αi和βi是股票的特定常数，剩余εi为hεii=0，hεiMi=0。使用上述回归的估计残差来构造相应的相关矩阵C、其特征值λi和特征向量vi。首先，我们发现与之前的市场模式相关的特征值之一为零。我们还观察到，经过适当的重标度后，MarCenkopasur分布下的特征值λi非常接近其原始值λi。为了看到这一点，我们回忆起特征值之和λiis N，即Pλi=N。之前，对于原始相关矩阵C，除最大特征值λN外的特征值之和为（N）- λN）。现在，如果我们均匀地重新缩放新的特征值，使得它们的值为（N）- λN），我们发现∧i（N- λN）/N相当接近λi。我们也可以从原始时间序列的有效方差变化中看到这种重新缩放。我们在附录B中对此进行了详细说明。在去除共同市场因素后，我们发现vi的特征向量分布合理地符合高斯分布。我们在图8中展示了几个特征向量的分布。请注意，本征向量被标准化，使得vTivi=N。在该图中，粗黑线是方差为1的高斯分布。B.行业组和收益特征向量的比较在本节中，我们将波动率相关矩阵的相关特征向量中包含的信息与收益相关矩阵的相关特征向量中包含的信息进行比较。

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kedemingshi

2022-5-5 01:45:47

主要结论是，与相应的收益特征向量相比，本应携带关于市场的真实信息的波动特征向量中，很少有由行业团体主导。这一结果与观察到的结果一致，即在实验室中，工业重量向量的挥发度为Ig。9：（在线彩色）左列显示了收益相关矩阵四个最大特征值的权重向量（27）的分量，不包括市场模式。左栏包含波动率相关矩阵四个最大特征值的权重向量。通过比较IGenvectors 423，我们可以很快观察到，波动率特征向量并不是由单一行业组主导的，无论回报率特征向量如何。我们还指出了在这些特征向量中贡献最大的行业群体。作为回报，特征向量和GICS行业组如下：426-公用事业，425-银行，424-能源，423-房地产。对于波动性特征向量，最大的行业组为：426-房地产，425-公用事业，424-半导体和半导体设备，423-消费者服务。在市场上，要使投资组合的波动风险多样化要困难得多。我们首先在特征向量中估计GICS行业群体的贡献。

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2022-5-5 01:45:50

然后，我们感谢塞缪尔·巴斯克斯向我们指出了这一点。●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●返回对数（λ~i）对数（Ii）●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●0.20 2.00 20.00.0005.005.05（a）●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●挥发度（λ~i）对数（Ii）●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●.005.05.5 50.0005.005.05（b）图。

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2022-5-5 01:45:53

10：（在线彩色）面板（a）显示了返回特征向量的行业权重向量（27）的反向参与比，作为对数图中∧离子的函数。垂直虚线显示了特征值λ的位置，在右边有20个特征值。RMT边界外特征值的线性回归参与比的斜率为1.52，如图中的实线所示。面板（b）显示了波动性特征向量的权重向量的逆参与比，作为∧离子对数图的函数。同样，垂直线显示了超过该位置的20个最大特征值。在这种情况下，我们可以看到，与收益相关矩阵相比，只有少数最大特征值具有较大的反向参与率，并且由少数行业集团主导。通过比较行业贡献的反向参与率，我们观察到，相对较少的波动特征向量从特定行业群体获得主导贡献。使用标准化收益的时间序列（3），我们计算相关矩阵（5）。我们遵循第三节中描述的程序。我们发现，收益相关矩阵的75%特征值属于RMT的分析界限。市场的运动掩盖了其组成部分之间的若干相关性[13、14、27]。因此，为了在特征向量中看到行业群的存在，我们使用（25）中讨论的技术消除了市场模式的影响。在经过清理的波动率和收益特征向量中，我们计算了不同行业组的贡献，如下所示。我们使用四位数代码系统对GICS行业集团中的427家公司进行分类。24组通过分类实现。每组都有公司，其中1,2，g=24。每个集团（即na）的公司数量从4家到42家不等。

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2022-5-5 01:45:57

现在，我们可以定义一个g×N投影矩阵P，它估计每个行业在特征向量中所占的比例[13,14]。投影矩阵中的条目为，Pai=1/naif库存i属于a0组，否则。（26）在P中，a行是一个权重为1/1的向量，所有a组中的公司都是这样。我们还定义了每个特征向量的一个向量u共轭，它的组成部分是后者的四分之一，即ui，j=~vi，j。请注意，在去除市场模式的影响后，~vire表示相关矩阵的特征向量。投影矩阵作用于向量ui，并给出g维权向量ρi：ρi=γiP ui。（27）这里γ是归一化常数，使得Pga=1ρi，a=1。理想情况下，对于市场模式vN，ρn的所有成分应为1/g。在图9中，我们比较了收益率和波动率相关矩阵的四个权重向量。现在我们可以简单地使用逆参与比Ii，Ii=gXa=1ρi，a，（28）的权重向量ρias作为一个单一行业在相应特征向量vi中占主导地位的指标。如果一个投资行业由单一行业主导，那么在权重向量中，所有元素都将为零，不包括一个。在这种情况下，反向参与率为1。然而，如果所有行业团体在一个投资组合中的贡献相等，则反向参与率将为1/g。在图10（a）和图10（b）中，我们在对数图上绘制了收益率和波动率相关矩阵的权重向量的反向参与率。x轴是特征值λi，我们从标准化收益率和波动率时间序列中去除市场模式的影响后得到。灰色区域表示在这两种情况下由RMTlimits（13）限定的区域。在[13,14]中，作者研究了1000只股票的回报相关矩阵，并观察到与20个最大特征相关的特征向量在一年的时间尺度上几乎是稳定的。

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大多数88

2022-5-5 01:46:00

然而，当一个人移动到更小的特征值时，特征向量随着时间变得越来越不稳定。在图10（a）和图10（b）中，我们绘制了垂直虚线来指示位置，超过该位置，二十个最大特征值将下降。现在，我们集中研究这二十个最大的特征向量。回报率和波动率特征向量的行业权重结构明显不同。如图10（a）所示，在收益相关矩阵的情况下，最大特征值具有较大的反向参与率，且仅由少数行业团体主导。事实上，在RMT界限之外，逆参与比似乎遵循幂律，作为指数为1.52的特征值的函数。在RMT范围内，反向参与比为1/g。这表明所有行业群体都随机参与这些特征向量。相应地，在图10（b）中波动率相关矩阵的情况下，与收益率相关矩阵相比，反向参与率较小的特征向量数量相当大。为了便于比较，让我们设定一个基准值，即反向参与比I=1/12。这是一个假设权重向量的反向参与率，因此它包含来自一半行业组的相等贡献，而不包含来自其他行业组的贡献。在20个最大波动率特征向量中，有16个特征向量的反向参与率低于该基准值。对于返回特征向量，这个数字只有两个。我们还注意到，对于收益率和波动率相关矩阵的一些最小特征向量，逆参与比较大。

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2022-5-5 01:46:02

与[9]一致，我们观察到这些特征向量是“本地化”的，并且从特定行业组的少数股票中获得了大量贡献。上述观察结果表明，波动率相关矩阵的特征向量不像回报率相关矩阵那样包含关于行业组的信息。然而，我们消除市场模式影响的方法很有可能是不充分的，而且由于市场仍然隐藏着关于挥发性投资行业中行业群体的信息，因此产生了强烈的非线性影响。为了证实剩余时间序列εiin（25）确实独立于市场模式M，我们可以使用一个称为广义峰度的量[2]。其思想是首先将残差εi和市场模式M转换为bεi=F-1i（εi）和cm=F-1M（M），使得每个bεiandcM的分布是单位方差的高斯分布。如果ε和M是独立的，那么bε和M也是独立的。为了检验线性模型背后的这个假设，我们可以研究广义峰度，κi=hbεicMi-hbεiihcMi- 2hbεicMi（29），如果（25）成功，如果消除市场模式的影响，则该值应非常小。我们可以进一步定义以下度量Ek=NNXi=1κi（30），作为这方面任何模型的优点。对于波动性特征向量，该指标的值为Kv=0.082，对于回报特征向量，该指标的值为Kr=0.115。这两个值都相当小，表明模型（25）确实成功地消除了市场模式的影响。事实上，Kv<kri表明，与回报率相比，该模型更适用于波动性！本节的结果强烈表明，根据行业组对波动率相关矩阵的最大特征向量进行解释是不够的。我们认为，这可以归因于以下两个原因。

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2022-5-5 01:46:06

首先，排除波动率相关矩阵中最大的两个或三个特征向量，其他特征向量在时间上可能非常不稳定。另一种可能性可能是，波动性将市场的不安全因素与行业群体区分开来。更好地理解波动率相关矩阵最大特征向量的时间演化和信息含量，必将在波动率风险管理中有重要的应用。在这种情况下，应用聚类分析[28–31]中的工具，并进一步研究[13,14,32–35]沿线特征向量的时间演化将是有趣的。六、结果的稳健性在本节中，我们对我们的结果进行了一些稳健性诊断分析。在我们的程序中，我们通过将427个单独的收益时间序列建模为GARCH（1,1）过程来估计波动性时间序列。总的来说，池中有3×427个估计参数。我们探索了参数数量的不同区域。首先，我们考虑所有427时间序列的一个GARCH（1,1）模型t、 σt=α+αrt-1+βσt-1.（31）这里是时间t和这是从学生的t分布中抽取的随机变量。系数α、α和β是需要估计的参数。该估计采用标准最大似然估计程序，联合对数似然函数L定义如下，L=NXi=1Li（α，α，β| ri）。（32）这里，Li（α，α，β| ri）代表股票i的单个收益时间序列ri，t的对数似然函数。进行此练习的动机来自观察，即对于N=427，收益相关矩阵的最大特征值约为193。这意味着共轭特征向量，即市场本身，是强相关的。因此，我们可以假设一个通用的GARCH模型控制着市场。我们确实发现，所有估计参数都具有统计学意义。

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2022-5-5 01:46:08

重复第三节、第五节中的计算，我们发现，尽管数值有微小变化，但主要结果在质量上是相同的。我们的第二个实验是，我们将每个时间序列建模为一个更广义的ARMA（pi，qi）GARCH（1,1）过程[17]，而不是像第二节那样在GARCH（1,1）中拟合返回时间序列。这个模型由byri给出，t=φi+piXj=1φijri，t-j+ait+qiXk=1θikai，t-k、 ai，t=σi，ti、 t，（33）σi，t=αi+αiai，t-1+βiσi，t-1.第一个方程是ARMA（pi，qi）平均方程，另外两个方程是GARCH（1,1）波动方程。φij是自回归系数，θij是移动平均参数。αi，αi和βi是标准的garch（1,1）参数。我们首先通过将时间序列建模为基于BIC度量的ARMA过程，找到了piand QI的“最佳”值[36,37]。有了这些最优订单，我们同时拟合模型（33）并估计所有自由参数[24]。正如预期的那样，我们发现，尽管数值存在微小差异，但第三节、第四节和第五节中的主要结果仍然完整。七、本文研究了波动率相关矩阵的特征值和特征向量的性质。通过将价格波动建模为GARCH（1,1）过程，我们估计了标准普尔500指数中427只股票的波动时间序列。估计波动率的经验分布符合对数正态分布。利用这些波动性时间序列，我们构造了波动性相关矩阵，并研究了其特征值的分布。通过在解析表达式中拟合经验累积概率分布，我们发现约40%的特征值属于Marcenko Pastur分布（12）。然而，在同一时间段内，回报相关矩阵约75%的特征值在RMT的分析范围内。

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