非均匀风险敞口池的资产相关性估计

2022-5-31 00:13:45

非均匀曝光PoolSchristoph-Wunder印前相关估计*2019年9月12日摘要资产相关性估计的可能数据源是默认时间序列。本研究调查了如果假设默认时间序列下的风险敞口池是同质的，而实际上不是同质的，则会产生的系统误差。我们发现，如果错误地假设违约概率（PD）的同质性，那么资产相关性总是会被低估，并且误差越大，PD在风险池中的分布越广。如果敞口池相对于资产相关性本身是不均匀的，那么误差可能会在两个方向上都存在，但对于大多数PD和资产相关性范围，实际上资产相关性被系统地低估了。此外，如果假设资产相关性和PD之间存在负相关性，则这两种影响的累积和误差往往会变得更大，这在许多情况下都是合理的，并且与巴塞尔RWA公式一致。有人认为，所描述的一般同质性效应是从违约数据测量的资产相关性往往低于从资产价值数据得出的资产相关性的原因之一。关键词：资产相关性、违约时间序列、信贷投资组合风险、向下偏差、不均匀性影响1简介目前使用的大多数基于模拟的投资组合模型并不直接模拟违约事件，而是在模拟连续变量的情况下采用违约的结构模型，有时被称为“信誉指数”（Bluhm和Overbeck（2007））或“支付能力变量”（Kalkbrener和Onwunta（2009））。如果某个风险敞口的信誉指数低于与该风险敞口的PDO相关的某个阈值，则记录该风险敞口的违约。

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2022-5-31 00:13:48

不同信誉指数之间的相关性称为*请直接写信给克里斯托夫。wunderer@s-评级风险系统。de，Sparkassen Ratingund Risikosysteme GmbH，莱比锡大街51号，10117柏林；此处所表达的观点是作者的观点，并不反映Sparkassen Rating和Risikosysteme GmbH或其员工的观点。Christoph Wunder感谢Hubert Eckelmann和两位匿名裁判在手稿编写过程中提供的有用意见。预印“资产相关性”。如果采用违约的结构模型，那么资产相关性对其参数化至关重要，它们的估计对建模结果具有直接影响。本文关注的是从违约时间序列估计资产相关性，当建模的风险敞口不属于上市公司，且无法使用基于市场数据的替代估计技术时，这种方法尤为重要。几位作者观察到，根据违约时间序列估计的资产相关性往往低于根据股价时间序列估计的资产相关性（Frye（2008），D¨ullmann et al.（2008），Kalkbrener and Onwunta（2009），Chernihet al.（2010））。作为一种可能的解释，Frye（2008）确定了将资产相关性与违约数据联系起来的违约结构模型的近似性质。另一个非常有效的解释是，通常用于从违约时间序列估计资产相关性的估值器具有向下偏差，导致资产相关性估计值较低（Gordy and Heit field（2010），D¨ullmann et al.（2008），Frei and Wunsch（2018））。由于许多估计员的偏差更多地取决于时间序列的长度，而较少取决于时间序列中考虑的暴露数量，因此这种偏差在实践中往往具有显著的规模（Meyer（2009））。

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2022-5-31 00:13:51

尽管有许多关于这一偏差以及如何纠正这一偏差的问题需要调查，但本文并没有遵循这一路线，而是描述了一种完全不同的机制，据我们所知，这一机制在文献中尚未详细讨论：如果假设一个敞口池在PD和/或资产相关性方面是同质的，但事实上并非如此，然后，该风险敞口池的资产相关性被系统地衡量得过低。由于任何现实生活中的风险敞口池在某种程度上都是不均匀的，这一机制提供了另一种解释，解释了为什么从违约率得出的资产相关性往往低于直接从资产价值数据得出的资产相关性，而这种不均匀性影响并不相关。了解不均匀性影响对实践者有直接影响，实践者应确保仅针对同质风险敞口池估计资产相关性，或使用明确考虑研究风险敞口池不均匀性的估值器。由于所选设置中总会存在一些剩余不均匀性，因此谨慎地假设，除了众所周知的资产相关性估值器的向下偏差外，由于所研究的风险敞口池的剩余不均匀性，还存在另一个向下影响。第2节介绍了基本理论，其中大部分是标准理论，可以在Bluhm et al.（2010）、McNeil et al.（2015）和Lucas（1995）中找到。

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2022-5-31 00:13:54

作为本节的主要结果，我们了解了属于同质风险敞口池的违约率方差如何与该风险敞口池内的PD和资产相关性分布相关联。在第3节中，我们描述了一个相当普遍的设置，该设置允许我们从数字上研究各种参数注册表下资产相关性的系统低估。特别是，我们研究了不均匀性影响对PD位置和形状的依赖性，以及给定位置池中的资产相关性分布。我们还研究了相关PD和资产相关性文件的影响。预印本第4节我们指向文献中的一些经验证据，第5节我们讨论了获得的结果。2不均匀风险敞口池我们考虑一个分布在K×L子池中的n个风险敞口池，子池中标记有NKLExposures（K，L），使得PKK=1PLl=1nkl=n。假设所有子池在PD和资产相关性方面都是均匀的，即对于给定的K个所有子池（K，1≤ l≤ 五十）共享相同的PD，我们称之为pk，对于给定的lall子池（1≤ k≤ K、 l）共享相同的资产相关性，我们将其称为ρAl。默认事件和默认指标随机变量定义如下：Dikl={子池（K，l）中的风险敞口i违约}Dikl=1如果子池（k，l）中的风险敞口i在本文中以其他方式违约0，则可以理解，违约事件的观察范围始终相同，通常为一年。

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2022-5-31 00:13:57

暴露i的PD是默认指示器随机变量pk=P的期望值迪克尔= E迪克尔对于子池（k，l）中的每个风险敞口i，我们假设其违约事件可以通过一个结构模型进行充分描述，其中一个潜在变量z由所有风险敞口共享，信誉指数yikl特定于考虑的风险敞口yikl=qρAlz+q1-ρAlikl（1）这里z，yikl，ikl公司~ N（0，1）是标准正态分布，z以及所有的异向因子iklare成对独立。常数ρ表示资产相关性以及QρAlρAt给出的两个不同信誉指数yjstis的相关性。此外，我们假设两个信誉指数具有联合的双变量正态分布。有关这种广泛使用的建模方法的一些背景，请参见Bluhm et al.（2010）。

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2022-5-31 00:14:00

违约结构模型的基本假设<=> yikl<ck，其中ck=Φ-1（pk）对于i 6=j，暴露i属于子池（k，l），暴露j属于子池（s，t），我们有：covDikl，1Djst= EDiklDjst公司- E迪克尔EDjst公司= Φck，cs，qρAlρAt- pkpsvar迪克尔= E迪克尔- E迪克尔= 主键- pk（2）预印本取代单一曝光，我们现在考虑一个完整的子池（k，l）和NKL曝光。违约率随机变量DRkl是通过平均NKL违约指标得到的：DRkl=nklXi=1Diklnkl，E（DRkl）=PK使用（2）两个不同的子池（k，l）和（s，t）得出，即COV（DRkl，DRst）=NKLNSTNLXI=1nstXj=1covDikl，1Djst== Φck，cs，qρAlρAt- pkps（3）var（DRkl）=nklnklXi6=jcovDikl，1Djkl+nklXi=1var迪克尔== Φck，ck，ρAl- pk+pk- Φck，ck，ρAlnkl（4）结合K×L子池，我们可以确定整体违约率DR asDR=KXk=1LXl=1nkldrkl，将平均PD定义为p=nPKk=1PLl=1pknkl=E（DR），并使用方程（3）和（4）我们得到var（DR）=KXk，s=1LXl，t=1nklnnstnΦck，cs，qρAlρAt-\'p+\'p-PKk=1PLl=1nklnΦck，ck，ρAln（5）方程（5）允许我们计算非均质敞口池违约率的方差。在我们继续评估同质性假设的影响之前，我们考虑方程（5）的两种特殊情况。首先，我们考虑K=L=1，即我们假设风险池在PD和资产相关性方面是均匀的，并设置p=p，ρA=ρA，c=cto获得var（DR）=Φc、 c，ρA- p+p- Φc、 c，ρAn（6）式（6）等价于式（4）。

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2022-5-31 00:14:03

注意，var（DR）随ρA严格增加，因此ρA∈ 如果var（DR）、p和n已知，并且var（DR）位于以下界限之间，则可以从数值上退出[0，1]：-p） pn编号≤ var（DR）≤ （1）- p） p（7）预印本（6）提供了一种从观察到的违约时间序列估计资产相关性的简单方法：首先p被估计为平均观察到的违约率，然后var（DR）被估计为定期违约率观察的样本方差。最后，ρAis从（6）中退出，如前所述。然而，请注意，该估计器（通常称为“矩量法”估计器）是有偏差的：估计资产组相关性往往被低估，违约率观测的可用时间序列越短，平均低估的程度就越大。这一观察结果与函数var（DR）相关-→ ρAvar（DR）是凹面的（见Gordy and Heit field（2010））。然而，这种估计偏差并不是本研究的重点，也不影响其主要结论。我们还将L=1，K>1视为方程（5）的另一个特例，即我们假设风险池在资产相关性方面是同质的，而不是PD。设置ρA=ρaan和nk=nk1后，我们得到var（DR）=KXk，s=1nknnsnΦ（ck，cs，ρA）- \'p+\'p-PKk=1nknΦ（ck，ck，ρA）n（8）重新排列项，注意Φ（ck，cs，·）严格递增，我们可以看到var（DR）是ρAsuch的严格递增函数，如果给定了nk，pk和var（DR），并且var（DR）位于一定的界限之间，则ρAcan可以退出。

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2022-5-31 00:14:07

因此，可以定义一个适用于不均匀风险池的ρaca估值器，但该估值器的性质以及它与Gordy and Heit field（2010）的估值器MLE3（用于相同目的）的比较方式不在本文的范围内。3数值研究3.1设置为了将方程式（5）应用于风险敞口池，首先选择一个同质子池的特定星座，其特征是以下参数，我们将其组合称为风险敞口星座：oK：使用的PD桶数oL：使用的资产相关桶数oρAl，1≤ l≤ 五十： L资产相关桶的不同ρAvaluesopk，1≤ k≤ K： K PD铲斗的不同PD值onkl，1≤ k≤ K、 1个≤ l≤ 五十：每个L×K敞口池中的敞口数量选择敞口星座后，将通过两种方式计算整体资产相关性。一次是直接通过平均风险组合中定义的风险池之间的资产相关性，得出“ρA”，另一次是通过使用风险组合中包含的信息预印本，通过方程式（5）计算总体违约率DR的方差，然后通过方程式（6）对违约率的方差进行补偿，假设基础风险池是同质的。§ρ是在（错误的）假设下测量的资产相关性，即暴露星座在PD和资产相关性方面实际上是同质的。ρa与平均资产相关性ρa之间的差异是通过同质性假设得出的误差度量。在结果部分中，我们观察了比率ρA%=|ρA/|ρAto来描述这种差异。人们预计ρA%取决于曝光星座的特性，不均匀度就是其中之一。

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kedemingshi

2022-5-31 00:14:10

曝光星座由几个参数表征，我们将其组合称为输入配置：on=PKk=1PLl=1nkl：曝光总数op=nPKk=1PLl=1nklpk：平均PDoσ（p）=qnPKk=1PLl=1nkl（pk- (R)p）：PD文件的标准偏差o(R)ρA=nPKk=1PLl=1nklρAl：平均资产相关性oσ（ρA）=qnPKk=1PLl=1nkl（ρAl- ρA）：ρApro文件的标准偏差oτ（p，ρA）：Kendall的资产相关性和PDpro文件的秩相关系数，参见Lindskog et al.（2003）了解其与线性相关系数的关系。对于其计算，我们使用tau-b的公式，这是Kendall\'stau的一个变量，用于离散数据，包括对关系的校正，请参见SAS（1999）：τ（p，ρa）=PKk=1PLl=1nkl（Akl- Bkl）√DrDc，其中kl=Xk<iXl<jnij+Xk>iXl>jnij，Bkl=Xk<iXl>jnij+Xk>iXl<jnijDr=n-KXk=1LXl=1nkl！，Dc=n-LXl=1KXk=1nkl！给定一个曝光星座，我们可以诊断相应的输入配置，但为了研究ρA%对给定输入配置的依赖性，我们需要推导一个对应的曝光星座。为了做到这一点，我们需要根据我们对准确性的要求选择桶数K和L，并做出一些分布假设，以获得PD和资产联合相关性文件{pk，ρAl，nkl}。基于高斯copula和beta分布边缘的这种构造的技术细节可以在附录中找到。我们在这里以及整篇论文中写道，“测量”以强调从业者的潜在误差，但我们的方法从风险星座的分析属性中得出资产相关性，并且分析中不包括估计误差。预印本3.2不均匀的PD文件对于第一系列结果，我们假设资产相关性ρAto在给定的风险池内是均匀的，即。

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2022-5-31 00:14:15

L=1，但我们假设PDs的分布。对于本节中的结果，我们选择K=1000。此外，我们选择n=10非常大，ρA=12%，这是一个在实际相关范围内的值。图1显示，对于不同的p和s（p）=σ（p）√(R)p（1-p）我们始终有ρA%<100%，即如果假设风险敞口池为同质敞口池，则测量资产相关性始终会降低。我们使用s（p）来表征Pd分布的宽度，而不仅仅是σ（p），以便使不同的p值的标准偏差具有可比性。图1：实测资产相关性占实际资产相关性的百分比，使用n=10，K=1000，L=1，ρA=12%。如果s（p）=0，即如果PD在整个池中保持不变，则资产相关性不会减少，因为在这种情况下，方程式（6）和（5）是相同的。s（p）=1意味着投资组合分为两个风险池，PDs p=0，p=100%。总体违约率不再是随机的，var（DR）=0。从（6）中提取资产相关性将导致n限值中的|ρA=0→ ∞. 当0<s（p）<1时，资产回退相关性降低，并且这种降低增加了较大的s（p）值。请注意，如果我们改变资产相关性ρA，图1中显示的图片不会发生显著变化。对于目前显示的结果，我们将风险敞口数n设置为10。然而，对于小n，资产相关性降低的影响增加。如果PD很小，那么对于相当多的n，这种增加已经开始，参见图2作为示例。然而，请注意，小n仅对s（p）>0引起的资产相关性预印本减少有放大作用，它本身没有影响，因为s（p）=0，方程式（6）和（8）是相同的。

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2022-5-31 00:14:18

还请注意，对于较小的“p”，存在一个最小的nbelow，从方程（8）中获得的var（DR）位于（7）中给出的界限之外，因此方程（6）无法反转。如果n很小，则将单个曝光放置在PD桶中可能会影响曝光池的平均PD，这导致观察到输入配置的“p”和曝光星座的“p”可能相差超过1%，这是本文其他地方使用的公差。然而，图2所研究案例的相对差异始终小于20%。图2：实测资产相关性占实际资产相关性的百分比，K=1000，L=1，ρA=12%，s（p）=20%。3.3资产相关性的不均匀性我们现在假设风险池中的PD为常数，但允许资产相关性在其平均值ρa附近分布。我们取K=1和L=1000，并按上述步骤进行处理，但可以看到截然不同的情况：如果ρa增加，资产相关性并不总是降低。是否有还原取决于ρAas以及p和s（ρa）。然而，图3-5中的结果表明，对于在实践中非常相关的参数区域，我们可以预期资产相关性的降低。

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2022-5-31 00:14:21

如果p>1%且ρA<20%，则尤其如此，但对于较低的PDs，只要ρAis较小，也是如此。只有对于极低的PDs和相当高的ρAwe，资产相关性才会增加，特别是当s（ρA）也很高时。预印图3：测量的资产相关性为实际平均资产相关性的百分比，使用n=10，K=1，L=1000，p=20%。图4：使用n=10、K=1、L=1000、p=2%，测量资产相关性作为实际平均资产相关性的百分比。预印图5：测量的资产相关性为实际平均资产相关性的百分比，使用n=10，K=1，L=1000，p=0.1%。3.4 PD和资产相关性的不均匀性现在，我们考虑在PD和资产相关性方面不均匀的池。随着计算在数值上变得更加昂贵，我们仅使用K=200和L=100，但如果我们设置g=10和pmid=pmedian（这些技术参数请参见附录），我们仍能准确反映我们感兴趣的输入配置。对于p<0.1%，只有重要的差异，因此我们从分析中排除了PD范围。对于给定的输入配置，我们计算ρa%并将其称为ρa%ρp，然后设置（p）=0%，计算ρa%并将其称为ρa%ρ，最后保持s（p）不变，设置（ρa）=0%，计算ρa%并将其称为ρa%p。对于所研究的所有情况，我们发现，非均匀PD和非均匀资产相关性的影响以近似多重的方式叠加：ρa%ρp≈ ρA%ρA%p（9）表1和表2说明了ρA=4%和ρA=20%的这种关系，以及不同的ρp值。我们已经检查了关系（9）对于ρA、？p、σ（p）、σ（ρ）和ρA的所有组合的有效性∈ {1%，4%，12%，20%，40%}，\'p∈ {0.1%，1%，2%，5%，10%，20%}，σ（p）∈ {5%，20%，50%}，σ（ρ）∈ {5%，20%，50%}并发现它始终有效。实际上，前面的组合研究了ρA%ρp≤ ρA%ρA%p为真，即。

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大多数88

2022-5-31 00:14:25

叠加效应从来没有弱于乘法效应。图6和图7显示了与表1和表2相同的“ρa”和“p”选项，p和ρAcan之间的负相关性如何增加资产相关性预印本ρa%ρa%pρa%pρa%pρa%pρp'p 0.1%85.7%46.6%39.9%37.9%1.0%82.2%68.3%56.1%55.2%5.0%80.1%84.2%67.4%67.1%20.0%78.6%91.9%72.2%72.2%50.0%78.1%93.7%73.1%表1：以实际平均资产相关性百分比表示的实测资产相关性，使用n=10、K=200、L=100、？ρa=4%、τ=0%，s（ρA）=20%，s（p）=20%。ρA%ρA%pρA%ρA%pρA%ρp'p 0.1%101.6%45.2%45.9%44.5%1.0%99.1%67.6%67.0%66.3%5.0%97.6%84.1%82.0%81.8%20.0%96.4%91.9%88.7%88.6%50.0%96.0%93.7%90.0%90.0%10，K=200，L=100，(R)ρA=20%，τ=0%，s（ρA）=20%，s（p）=20%。进一步减少，以及正相关如何缓解。

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2022-5-31 00:14:28

对于p=50%，未观察到相关性对结果结果的影响。图6：测量资产相关性作为实际平均资产相关性的百分比，使用n=10、K=200、L=100、？ρA=4%、s（ρA）=20%、s（p）=20%。预印图7：测量资产相关性作为实际平均资产相关性的百分比，使用n=10、K=200、L=100、？ρA=20%、s（ρA）=20%、s（p）=20%。4经验证据本研究中理论分析的不均匀性影响可以在实践中观察到。Dietsch和Petey（2004）报告了按评级等级划分的法国中小企业的资产相关性估计值，见表3：基于整体工具的资产相关性估计值低于仅限于一个评级等级区间的所有估计值。很明显，整个风险敞口池PD的不均匀性强于单独采取的任何一个评级区间的不均匀性，因此该数据与本研究的结果一致。Hamerle等人（2003年）（表1）使用标准普尔1982年至1999年的评级数据来估计公司的资产相关性。如果他们假设PD加班时间不变（本文中也有此假设），则他们会报告表4中给出的结果。同样，这些结果与本研究的结果一致。Haddad（2013）（表5，最后一行）报告了加拿大中小企业的类似情况，Castro（2012）（表6、7、9）显示了穆迪从1970年到2009年跨越不同地区和行业的评级数据结果。通过整个池估计的资产相关性始终低于在特定区域或特定行业估计的资产相关性，与用于估计的建模假设无关。Demey et al.（2004）进行蒙特卡罗实验，以研究各种资产相关性估值器的小样本特性。

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2022-5-31 00:14:30

他们研究的一个方面是相对于PD不均匀的暴露池的影响。他们给出的结果（Demey et al.（2004）中的表A、B和C）显示，资产相关性降低ρA1（高）0.02192 0.02293 0.02314 0.02675 0.01516 0.01997 0.02988（低）0.0307总计0.0128表3：Dietsch和Petey（2004）报告的法国中小企业资产相关性测量值，引自Ashimoto（2009）。评级ρABB 0.06042B 0.04516CCC 0.06949所有等级0.03948表4：基于标准普尔数据的公司实测资产相关性，改编自Hamerle et al.（2003）。非均匀暴露池的估算。Demey et al.（2004）还从标准普尔违约数据中得出了不同行业部门的资产相关性估计值，并观察到，如果他们估计了所有行业部门的资产相关性，那么估计的资产相关性就会降低（Demey et al.（2004）中的c.f.备注1）。Kalkbrener和Onwunta（2009）使用标准普尔1981年至2009年的评级数据，使用不同的最大似然估计量计算13个行业板块的资产相关性。在表2的第一列中，他们显示了在不考虑评级信息的情况下估计的每个行业部门的资产相关性，即隐含假设PD的同质性。在表2的第二列中，它们显示了在假设每个行业细分为7个评级类别下估计的每个行业的资产相关性，并且仅在这些评级类别内假设PD的同质性。比较结果，他们发现，除一个行业外，所有行业中第一列的相关性估计值均低于第二列的估计值。

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2022-5-31 00:14:34

所有行业细分的平均值第一列中的估计相关性为16.3%，第二列中为19.8%。文献中报告的并非所有观察结果都给出了迄今为止所述的清晰图景，其中在敞口池中测量的资产相关性小于在该池每个部分中测量的资产相关性。但为了与本研究的结果保持一致，不需要这样一个清晰的画面，特别是如果不同子池的资产相关性估计值差异很大。例如，Dietsch和Petey（2004）报告了德国的资产相关性估计，其中可以看出，整体资产相关性估计往往低于仅为一个PD桶计算的估计，但存在一些异常值。D¨ullmannand Koziol（2013）全面概述了资产相关性研究，其中一些研究进一步证明了本文所述的不均匀性影响。预印本5讨论本文中的研究表明，在与从业者最相关的情况下，如果资产相关性是根据不均匀风险敞口池的违约率时间序列估计的，则资产相关性被低估。这种低估与目前使用的大多数估计器的估计偏差是向下的（参见D¨ullmann et al.（2008）），如果默认时间序列变长，估计偏差通常会减小（c.f.Gordy and Heit field（2010））。接下来的论文将研究不均匀性效应如何与不同资产相关性估计器的估计偏差相结合。

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2022-5-31 00:14:36

然而，可以说的是，在s（p）=1的极端情况下，观测到的违约率将随时间保持不变，任何有用的资产相关性估计值ρA将给出ρA≈ 因此，0与|ρa和默认时间序列的长度无关，因此，至少在这种极端情况下，没有现实的估计器能够补偿不均匀性影响。即使仅从一个PD区间估计资产相关性，也必须预期低估，因为为PD区间中的所有敞口分配相同PD的评级系统不会考虑所有可用信息，而“完美”评级系统分配的真实PD将不均匀。尚未研究这种不均匀性的相关性，但最有可能的是，它会导致低估资产相关性，并且这种影响越大，分配PD的评级系统的区分力越低。以类似的方式，风险敞口池中的资产相关性总是不均匀的，这也会导致在许多情况下低估资产相关性，正如我们在第3.3节中看到的那样。如果资产相关性是直接从资产价值变化的时间序列中测量出来的，那么这种低估的来源就不存在了，因此本文的发现为以下观察结果提供了解释：根据违约时间序列估计的资产相关性往往低于根据资产价值数据测量的资产相关性（c.f.D–ullmann et al.（2008），Frye（2008），Kalkbrener和Onwunta（2009）以及Chernih等人（2010））。第3.2节所述和图1所示的资产相关性的大幅降低要求PD具有相当强的不均匀性，有人可能会认为，只要小心一点，在实践中可以避免这种强烈的不均匀性。

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2022-5-31 00:14:41

然而，第3.4节中的观察结果表明，不均匀性对PD和资产相关性叠加的影响可以通过PD和资产相关性之间的负相关性进一步增加，这导致了已经相当有限的同质性以及一些适度的负相关性导致测得的资产相关性显著降低的情况。例如，如果我们选择“p=1%，σ（p）=0.5%（因此s（p）=5%），以及“ρA=4%，σ（ρA）=2%（因此s（ρA）=10%）和τ=-20%，那么观察到的资产相关性降低已经接近15%。图8显示了相应曝光星座的边际PD和ρA分布以及联合PD-ρA分布。如果PD是用一个评级系统来衡量的，而该评级系统本质上不能包含所有预测信息，并且如果同质性预测图8：n=10，K=50，L=50，p=1%，s（p）=5%，ρa=4%，s（ρa）=10%，τ=-20%，ρA%=85.8%的特定风险部分的资产相关性仅通过根据行业和地区等特征将风险敞口分配给该风险部分来确保。请注意，有一些证据表明，较大的公司往往具有较高的资产相关性（因为它们较少依赖特质因素来驱动其风险）以及较低的RPD，因此，如果风险敞口池与公司规模不一致，则PD和资产相关性之间会产生负相关Lee et al.（2009）。巴塞尔RWA公式隐含地假设资产相关性和PD之间存在负相关性。另请参阅Chernih et al.（2010）（图1）和Tarashev and Zhu（2007）（表3）以获取一些经验证据，以及Lopez（2004）和Lee et al。

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2022-5-31 00:14:45

（2009）对该主题进行更深入的讨论。虽然我们相信本文中描述的影响是真实而重要的，但值得强调的是，我们对得出结论所做的假设：预印本我们假设第2节中所述的违约结构模型和因子模型实际上是适用的，并且风险敞口群随时间保持不变。我们还假设PD和资产相关性可以用贝塔分布近似，它们的相关性可以用高斯copula建模。这些分布假设显然影响了本文中报告的数字结果，但可以说，这并不是本文的主要结论，即忽略不均匀性影响会导致资产相关性测量值降低。参考Bluhm，C.和Overbeck，L.（2007）。结构化信贷组合分析、篮子和CDO。CRC出版社。Bluhm，C.、Overbeck，L.和Wagner，C.（2010年）。《信贷风险建模导论》，第二版。CRC出版社。Castro，C.（2012年）。组合信贷风险中资产相关性的置信集。《罗萨里奥经济评论》（RevistadeEconomia del Rosario），15（1）：19–58。Chernih，A.、Henrard，L.和Vandu Offel，S.（2010年）。调节信贷相关性。《风险模型验证杂志》，4（2）：47–64。Demey，P.、Jouanin，J.-F.、Roget，C.和Roncalli，T.（2004）。违约相关性的最大可能性估计。风险，第104–108页。可以在以下位置找到重要更正：http://www.thierry-roncalli.com/download/correction-mledc.pdf.Dietsch，M.和Petey，J.（2004）。中小企业风险敞口应被视为零售风险敞口还是企业风险敞口？法国和德国中小企业违约概率和资产相关性的比较分析。《银行与金融杂志》，28:773–788。D¨ullmann，K.和Koziol，P.（2013）。评估中小企业银行贷款的最低资本要求。

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2022-5-31 00:14:48

《技术报告》2013年22月，德意志联邦银行。D¨ullmann，K.、K¨ull，J.和Kunisch，M.（2008）。从股票价格或违约率估计资产相关性——哪种方法更好？2008年4月技术报告，德意志联邦银行。Frei，C.和Wunsch，M.（2018）。自相关时间序列的矩估计及其在违约相关性中的应用。《信贷风险杂志》，14（1）：1–29。Frye，J.（2008）。结构投资组合模型中的相关性和资产相关性。《信贷风险杂志》，4（2）。Gordy，M.和Heit field，E.（2010年）。portfoliocredit风险模型的小样本估计。金融工程最新进展：2009年基尔TMU国际金融工程研讨会论文集。世界科学出版社。PREPRINTHaddad，J.M.（2013）。加拿大中小企业投资组合的综合相关性和资本估计：对巴塞尔协议的影响。未发表的工作文件。可用位置：http://www.greta.it/credit/credit2013/PAPERS/Speaker/thursday/11_Haddad.pdf.Hamerle，A.、Liebig，T.和R¨osch，D.（2003年）。信用风险因素建模和baselII IRB方法。技术报告2003年2月，德意志联邦银行。桥本，T.（2009）。信贷风险分析的资产相关性——日本公司违约数据的实证研究。技术报告09-E-3，日本银行。Kalkbrener，M.和Onwunta，A.（2009）。验证结构性信贷组合模型。COMISEF工作文件系列（WPS-014）。可用位置：http://comisef.eu/files/wps014.pdf.Lee，J.，Wang，J.，和Zhang，J.（2009）。平均资产相关性与违约概率之间的关系。穆迪KMV技术报告。Lindskog，F.、McNeil，A.和Schmock，U.（2003）。椭圆分布的Kendallτ。《信用风险：测量、评估和管理》，Physica Verlag，第149-156页。Physica。Lopez，J.A.（2004年）。

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2022-5-31 00:14:52

平均资产相关性、违约概率和资产规模之间的经验关系。《金融中介杂志》，13（2）：265–283。Lucas，D.J.（1995年）。违约相关性和信用分析。《固定收益杂志》，第76-87页。McNeil，A.J.、Frey，R.和Embrechts，P.（2015）。量化风险管理。普林斯顿大学出版社。Meyer，C.（2009）。部门内资产相关性估计。《风险模型验证杂志》，3（3）：47–79。SAS（1999年）。关联度量，SAS OnlineDocR. 可用位置：http://v8doc.sas.com/sashtml/stat/chap28/sect20.htm.Tarashev，N.和Zhu，H.（2007）。组合信用风险度量中的建模和校准错误。BIS工作文件，230。Tasche，D.（2016）。将分布与风险价值和预期缺口相匹配，并将其应用于担保债券。《信贷风险杂志》，12（2）：77–111。预印本6附录给定一个特定的输入配置{n，\'p，σ（p），\'ρa，σ（ρa），τ}，我们需要构建一个与其对应的曝光星座。所选择的方法是在PD维度上具有β分布，以及ρa维度和ρa与PD之间依赖关系的高斯copula。标准贝塔分布具有支持度[0，1]，这将适用于PD和ρ分布，但特别是对于PD分布，通常几乎没有接近PD=1的质量，因此可以减少贝塔分布的支持度以提高数值效率。请注意，β分布的参数α和β可以是任意平均值u∈]0，1[和任何方差0<σ<u（1- u）（c.f.Tasche（2016），附录1）。如果K=1，我们只需设置p=(R)p。

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2022-5-31 00:14:55

如果K>1，我们确定pmin，Pmax如下：pmin=F-1'p，σ（p）公斤, pmax=F-1'p，σ（p）1.-公斤此处为F-1'p，σ（p）代表具有平均值'p、标准偏差σ（p）和支持度[0，1]的反向β分布函数；g是一个决定贝塔分布支持度应降低到何种程度的因素。除非考虑非常极端的分布或极端的τ，否则它对结果几乎没有影响。除非另有说明，否则已使用g=1000。将范围[pmin，pmax]划分为大小相等的桶是次优的数字，因为PD文件通常非常倾斜。因此，我们定义了一个中点pmi，并确保将[pmin，pmid]和[pmid，pmax]分为K/2个桶。作为中点，除非另有说明，否则我们选择pmid=(R)p，其他选项包括pmid=pmodeor pmid=pmedian。我们定义=pmid- pminpmax- Pm和铲斗极限bp（m），0≤ m级≤ Kbp（m）=（pmin+（pmax- pmin）mKif t=pmin+（pmax- pmin）t1-2吨1.-tt200万- 1.如果t 6=请注意，极限情况t=1/2对应于对称PD分布，铲斗的均匀分布是合适的。对于t 6=1/2，给定公式得出PD铲斗的尺寸在整个范围内平稳变化。通过构造，我们得到bp（0）=pmin，bp（K）=pmax，bp（K/2）=Pm，并且我们可以确定分配给每个K PD桶的PD值：1≤ k≤ K:pk=bp（K）-bp（k- 1）（10）以类似的方式预印，我们还确定了ρA桶限值bρ（m），0≤ m级≤ L和分配给每个LρA桶ρAl，1的ρAvalues≤ l≤ 五十、为了在L×K敞口桶之间分配敞口，我们为1定义了一个辅助变量XKL≤ k≤ K、 1个≤ l≤ 五十： xkl=CBp（Bp（k）），Bρ（Bρ（l）），sinπτ（11）式中，C（u，v，ρ）=ΦΦ-1（u），Φ-1（v），ρ二元正态copula是否持续扩展到u，v=±1，Bpis是累积β分布，平均值p和标准偏差σ（p）在支持度上定义【pmin，pmax】。

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大多数88

2022-5-31 00:14:58

请注意，通常在[0，1]中定义了Betadistribution，但收缩支撑的线性变换是向前延伸的。类似地，Bρ是累积β分布，平均值ρA和标准偏差σ（ρA）定义在支架上【ρAmin，ρAmax】。注意，如果是一个二元正态copula，并且有很多桶，Kendall的τ和线性相关系数ρ通过ρ=sin连接πτ, 参见Lindskoget等人（2003年）。我们选择以Kendall的τ作为输入，而不是线性相关系数ρ，因为我们使用了非正态边缘分布，因此在产生的曝光星座中看到的线性相关将不同于线性相关系数ρ=sinπτ最初用于方程式（11）。Kendall的τ对变化的边缘分布是不变量，因此更适合我们的研究：我们期望在得到的曝光星座中看到的τ等于方程式（11）中使用的τ，至少如果K和L足够大，以限制由于屈曲引起的误差。使用xkl，现在可以迭代计算每个桶中的曝光数nkl：nkl=max0，+ nxkl+k-1Xi=1l-1Xj=1nij-kXi=1l-1Xj=1nij-k-1Xi=1lXj=1nij（12）请注意，这种迭代定义确保了由于强制使用整数nkl而产生的误差不会累积，并且在产生的曝光星座图中看到的曝光总数将非常接近n。方程式（12）和方程式（10）一起，让我们计算任意所需数量的桶K和L以及任意给定的自一致性的曝光星座图{pk，ρAl，nkl，K，L}输入配置{n，\'p，σ（p），\'ρA，σ（ρA），τ}。

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