我们现在通过线性抛物积分微分方程的解来近似ψ：(-L△ψ=0，△ψ（T，s，q）=q，（5.23），用费曼-卡克公式表示：△ψ（T，s，q）=Et，s，q^QT]。实际上，通过考虑函数¨Φ（t，s，q）：=q+2qζ（t，s）+ζ（t，s），其中ζ是从步骤1中定义的，ζ是在（5.18）中定义的，经过一些繁琐但简单的计算后，我们发现l¨Φ=2q- Mζ+Xν∈±νhν（s）+λν（s）θν（L）Gν（t，s）>0+ζt+ζs+σ（s）ζ（t，0）+Xν∈±hν（s）L- 2Lζ（t，0）+ λν（s）θν（L）- 2θν（L）ζ（t，s）.由于ζ满足方程（5.17），且ζ是Feynman-Kacrepresentation给出的（5.19）的唯一有界解，这表明√Φ是（5.23）的解，并且通过唯一性，我们推断出√ψ=挈Φ。最后，还需要证明R（η）：=ηΦ- ζ(η)= η(~Ψ - ψ）是一个非负的o（η）函数，即H:=°ψ- ψ是一个非负函数，当η为零时收敛到零。根据（5.21）和（5.23），由于L是一个线性算子，函数H的解为：(-LH+Z（η）（t，s，q）=0，R（η）（t，s，q）=0，因此由费曼-卡克公式给出：H（t，s，q）=Et，s，qZTtZ（η）（u，Su，^Qu）du.通过（5.22）和单调收敛定理，我们得出结论：H是非负的，并且当η为零时收敛到零。备注5。1.通过方程（5.13）计算ζ（η）（t，s，q）需要用q指数的一维偏微分方程非线性系统的数值分辨率∈ Z.或者，小风险规避的一阶展开式（q引导项为二次型）涉及通过线性偏微分方程系统计算（ζ，ζ）。值得注意的是：1。借助于近似方法，我们求解了四个线性简单偏微分方程（对于θ、ω、ζ、ζ），将问题的维数降低了一个；2.

由于Z是一个有限集，数值解需要域截断和边界条件的指定，而该问题不影响近似解；3.数值格式可以简单地并行化：ω（t，s）的解依赖于θ（t，s），而ζ（t，s）的解依赖于ζ（t，s），但这两对相互独立，导致了自然的并行化。备注5.2。从最优控制的结构（5.14）和小展开式（5.16）出发，我们得到了一个近似的最优极限阶控制，它由以下公式给出：η‘（η）±（t，s）：=1G±（t，s）>hC±，＠ζ（η）i，其中＠ζ（η）（t，s，q）：=ηq+2qζ（t，s）+ζ（t，s）.近似最优反馈控制可以改写为：*`（η）±（t，s）：=1G±（t，s）>η（A（t，s）2B（t，s）q，其中（t，s）：=h±（s）L（L）- 2ζ（t，0））+λ±（s）θ±（L） 2ζ（t，s）θ±（L）（5.24）B（t，s）：=h±（s）L+λ±（s）θ±（L）≥ 0（5.25）<<（η）>>是最优控制的近似值，即<<（η）>>-^`(η)±→ 0，当η变为0时，因为|ζ（η）- ζ（η）=o（η）。风险规避导致的控制调整可以理解为：。1.（5.24）中的库存独立部分影响代理策略，即使其库存量为q=y=0：在无风险规避的情况下，代理在η（t，s）>0时下限价单，但当η>0时，该交易壁垒——取决于这对（t，s）组合——由风险规避本身的倍数提高。代理人变得谨慎，决定只在最有利的情况下进入市场，但如果预期收益很小，即使是积极的，也放弃交易。这一结果如图5所示，其中q=0的非交易区域增长了w.r.t。η=0的情况下，反映了代理人增加的交易厌恶。2.第（5.25）节中存货的线性部分负责控制存货的绝对价值，以减少代理人对存货和市场风险的暴露。对于q>0（即。

iy>0），对强势（或弱势）的调整将贸易壁垒降低（或上升）η的倍数：代理人决定在较少（或更多）限制条件下对强势（或弱势）进行交易，以减少（或不增加）其绝对库存。图6总结了这一结果，其中，对于较大的库存值，代理仅在一侧独立地进行，以便将绝对位置恢复为较小的值。图5:Q=0的交易区域和不同的风险规避。图表显示了风险厌恶情绪的增加如何使交易区域变形，扩大了代理不发送任何订单的区域。图6：不同q值和积极风险规避的最佳政策时间0。代理只在强库存中的大（小价值）的强（弱）方发挥作用，以免暴露于库存风险。问≈ 该政策考虑了做市策略带来的库存风险和纯收益。6结论和进一步发展在本文中，我们开发了配套论文[22]中描述的框架，以便为做市商问题提供应用。多亏了考克斯模型，我们能够包含匹配引擎，并完成最佳水平的订单簿模型：仅直接描述小型交易，而影响股票价格的大型市场订单则包含在股票价格动态本身中。作为无风险规避情况的变形，采用微扰技术推导最优控制，有助于提高财务解释能力，降低问题的维数及其数值解的计算成本。

为了进一步的发展，更复杂的股票价格模型可以引入统计套利机会，我们可以通过最优控制技术来捕捉。A代理执行分布的估计±（dk，L）不幸的是，在执行或回溯测试零情报策略之前，无法估计代理执行，即在限制指令簿的两侧连续下限制指令。这个问题不容易克服：需要一个高频回溯测试平台来估计执行率。假设代理人总是被安排在强弱一方，在她被执行或不再以最佳价格被安排时立即更新她的位置，wede Fineek±：=在（Tk）中±侧的交易数量-1，Tk]- 1Bk=±，其中Bk=JkJk-1与（2.2）相同。遵循“战略”≡ 1.代理人在一侧连续下L号限额订单。我们可以确定统计数据ek±（i）：=i号代理人交易的数量∈ （Tk）中±侧的{1，…，L}-1，Tk]- 1Bk=±，i=L。然后，通过设置EN:±=PNk=1Ek±和EN±（i）：=PNk=1Ek±（i），根据强大的大数定律，我们得到了概率分布±（dk，L）：eNEN的估计量-→ θ±（{i}，L），i=1，五十、 作为N→ ∞.B函数θT（T，s）的性质为了将我们的模型应用于做市商问题，我们将广泛使用（2.6）中定义的水平股价平均值的性质。B.1偏微分方程表示我们首先给出由股票价格的算术性质及其对称性引起的分解。B.1提案。函数π分解为：π（t，p，i，s）=p+iθ（t，s）（B.26），其中θ是线性积分微分方程的唯一有界连续粘性解：-θT-θs- u（s）θ（t，0）+σ（s）θ（t，s）- 2Δu（s）=0，关于[0，T）×R+，θ（T，）=0，（B.27）证明。

首先，我们从纯跳跃过程的标准结果（见[9]）中知道，在强度函数h±的连续性下，由（2.6）中的期望定义的函数π是一个连续函数。此外，通过Feynman-Kac表示定理，它是线性积分微分方程的解：(-πT-πs-Pν∈±hν（s）π（t，p+2Δνi，νi，0）=0，π（t，）=p，（B.28）表示（t，p，i，s）∈ [0，T]×2δZ×{-1，+1}×R+。此外，通过考虑函数φ±（t，p）=p±C（t- t） ，我们很容易在假设h±有界的情况下进行检查，对于足够大的C，分别为-) 是（B.28）的上解（和下解）。然后，根据Dynkin的公式，过程（φ+（t，Pt））t（resp.（φ-（t，Pt））t）是一个上鞅（分别是次鞅），因此：-（t，p）=p- C（T）- （t）≤ Et，p，i，s[~n-（T，PT）＝π（T，p，i，s）（B.29）＝Et，p，i，s[ν+（T，PT）〕≤ ν+（t，p）=p+C（t）- t） ，表示（t，p，i，s）∈ [0，T]×2δZ×{-1，+1}×R+。另一方面，从价格过程的加性结构（2.1）来看，很明显（2.6）中定义的函数π被分解为：π（t，p，i，s）=p+κ（t，i，s），对于一些不依赖于p的函数κ。现在让我们设置：κ±（t，s）：=κ（t，±1，s）。然后，从（B.28），我们看到（κ+，κ-) 是抛物线性微分方程组的有界对解：(-κ±T-κ±s+h-（s） κ±- h±（s）κ±（t，0） 2Δu（s）- H-（s） κ（t，0）=0，κ±（t，）=（B.30）我们观察到(-κ-, -κ+）也是同一方程组（B.30）的有界对解，我们通过抛物型线性积分微分方程组（参见[30]）的唯一性推断出κ+=-κ-. 然后我们设置θ：=κ+，使κ（t，i，s）=iθ（t，s），即（B.26）成立，这特别意味着θ是连续的，我们从（B.30）中清楚地看到θ满足方程（B.27）。

θ的唯一性是通过观察得到的，如果θ是（B.27）的另一个有界粘性解，那么π（t，p，i，s）：=p+iθ（t，s）是（B.28）的一个解，在p中具有线性增长条件，因此通过方程的唯一性：△π=π，因此θ=θ。B.2概率表示我们现在使用基于该表示的概率方法（2.10）研究θ（t，s）的进一步界，以及它在大视界的渐近行为。为了强调对视界T的依赖性，我们将θT（T，s）表示为θ（T，s），并将下一跳w.r.T.的条件平均值定义为△α（s）：=EJI=+1，S=S, s∈ R+，（B.31）=EJJ=+1，T≥ s. 引理B.1。对于有限状态空间E上的马尔可夫更新过程（Jk，Tk），qij:=P[Jk=j |Jk-1=i]，Fij:=P[Tk- Tk-1.≤ s | Jk=j，Jk-1=i]，i，j∈ E、 我们有p[Jk=j |Jk-1=i，Tk- Tk-1.≥ s] =Qij1- Fij（s）1-Pj∈EQijFij（s），i，j∈ E.（B.33）证据。一个简单的Bayes参数给定sp[Jk=j |Jk-1=i，Tk- Tk-1.≥ s] =P[Jk=j，Tk- Tk-1.≥ s|Jk-1=i]P[Tk- Tk-1.≥ s|Jk-1=i]=P[Tk- Tk-1.≥ s|Jk-1=i，Jk=j]P[Jk=j |Jk-1=i]Pj∈EP[Tk- Tk-1.≥ s|Jk-1=i，Jk=j]P[Jk=j |Jk-1=i]=Qij（1）- Fij（s））Pj∈EQij（1）- Fij（s））=Qij1- Fij（s）1-Pj∈EQijFij（s）。B.2提案。对于s∈ R+，*α（s）=Xν∈±ν1 + να1.- Fν（s）1- F（s）. （B.34）特别是i）~α（0）=α，而ii）如果标记和勾选时间是独立的，则~α（s）≡ α.证据通过将引理B.1应用于驱动股票价格的马尔可夫更新过程，因此表示法为：E={-1，+1}，Qij=1+ijα，Fij=Xν∈±Fν{ij=ν}，我们对任何i∈ E:Xj∈EjP[J=J | J=i，T≥ s] =Xj∈EjQij1- Fij（s）1-Pj∈EQijFij（s）=Xν∈±ν1 + να1.- Fν（s）1- F（s）,从（B.32）中可以看出（B.34）。从（B.31）和（2.2）中，我们可以直接看到∧α（0）=E[J | I=+1，S=0]=E[B]=α。

最后，如果（Nt）和标记过程（Jk）的滴答时间是独立的，那么F+=F-= F，通过（B.34），我们得到：△α（s）=Xν∈±ν1 + να= α.最后，我们通过马尔科夫更新过程的标准再生参数来描述θ的渐近行为。B.3提案。本文给出了θT（T，s）的渐近性质→∞θT（T，s）=2δ∧α（s）1- α, s∈ R+。证据在时间T（T<∞, 由于过程NTI假设为非爆炸性的，我们有：PT=P+2δJ，IT=J，ST=0，和soEPTP=0，I=1，S=S= 2δEJI=+1，S=S= 2δ∧α（s）。（B.35）从（2.1）和（2.2）中，我们得到了所有的t≥ T:Pt=Pt+2δNtXk=2Jk=Pt+2δJNtXk=2kYi=1Bi！，式中（Bn）是均值α的i.i.d伯努利变量，与J无关，这证明了pt（T，J）≡ PT+2δJ^PNt-1，带^Pn≡nXk=1kYi=1Bi，（B.36），其中（^Pn）独立于J，平均值E[^Pn]=Pnk=1αk。现在，根据θ的概率表示（2.10）和价格过程的时间同质性，我们得到了。r、 t.to（t，J）和（B.35）-（B.36）：limT→∞θT（T，s）=limt→∞θt（0，s）=limt→∞EPtP=0，I=1，S=S= 2δα（s）+2δα（s）limn→∞E^Pn= 2δα（s）+2δα（s）∞Xk=1αk=2δα（s）∞Xk=0αk=2δ√α（s）1- α,证据到此为止。参考文献[1]F.Abergel和A.Jedidi。订单建模的数学方法。《国际理论与应用金融杂志》，2013年第16（5）期。[2] Y.Ait Sahalia、P.Mykland和L.Zhang。在存在市场微观结构噪声的情况下，对连续时间过程进行采样的频率。《金融研究回顾》，18:351–4162005。[3] A.阿方西、A.弗鲁思和A.希德。具有一般形状函数的极限订货书的最优执行策略。《定量金融》，2010年10:143–157。[4] 阿尔姆格伦和克里斯。投资组合交易的最佳执行。《风险杂志》，3:5-392000。[5] P.安德森、O.博尔根、R.吉尔和N.基丁。基于计数过程的统计模型。斯普林格，1993年。[6] M。

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