小风险规避的高频交易和渐近性

2022-5-5 01:49:59

马尔可夫更新模型中小风险规避的高频交易和渐近性*巴黎大学第7校区和EXQIMpietro分校可能实验室。fodra91@gmail.comHuy^en Phamlaboratoroire de Probabilit\'es etMod\'eles Al\'eatoiresCNRS，UMR 7599巴黎大学7号Diderotpham@math.univ-巴黎狄德罗。2015年1月6日摘要我们在市场微观结构模型中研究了一个最优高频交易问题，该模型旨在很好地兼顾准确性和可操作性。股票价格由马尔可夫更新过程（MRP）驱动，如[22]所述，而市场订单通过与股票价格本身相关的点过程到达限价订单簿。在这个框架中，我们可以复制逆向选择风险，它以两种不同的形式出现：通常是由于大的市场订单影响股票价格并惩罚代理人，而较弱的是由于小的市场订单并降低有利执行的概率。在这个半马尔可夫模型中，我们采用随机控制技术来解决做市问题。在无风险规避的情况下，我们给出了最优控制的显式公式，并用一个简单的线性偏微分方程刻画了值函数。在一般情况下，我们根据前面的结果推导出最优控制和价值函数，并说明风险规避如何影响交易者的策略和预期收益。

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何人来此

2022-5-5 01:50:02

最后，通过使用摄动法，根据两个简单的偏微分方程显式计算了小风险规避的近似最优控制，大大降低了计算成本，并启发了对结果的财务解释。关键词：高频交易，马尔可夫更新过程，标记Cox过程，逆向选择，积分微分方程，摄动法。*我们要感谢AE和两位裁判的大量评论，这些评论有助于改进本文的第一个版本。1简介关于高频交易的现有文献大致可分为两大主流：（i）日内资产价格模型：该分支采用两种不同的理念，致力于在限价指令簿中描述逐笔资产价格。最近的过程方法始于一个宏观的、未被观察到的过程（通常是一种差异），该过程受到一种重现市场微观结构的噪音的污染：在刻度网格中估值的价格的离散性、价格跳跃时间的不规则间隔（称为波动性聚类）以及价格变化的均值回归。这方面的一些论文有[23]、[2]和[29]。相反，微观-宏观方法通过点过程直接模拟观察到的股票价格，参见[10]、[17]、[1]或[7]。这些论文考虑了复杂的模型，主要目的是重现微观结构风格化的事实，如符号图、Epps效应、波动率聚类和短均值回归。通常情况下，主要目的是波动率估计，而交易应用未被研究：这些模型的复杂性导致了控制问题中的高维方程，很难从分析和数值两方面进行处理。

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2022-5-5 01:50:05

（ii）高频交易问题：另一个重要的文献流关注限价指令簿中的交易问题：股票清算和执行问题（[4]、[3]、[11]、[26]等），或者做市商问题（[6]、[16]、[25]、[24]、[21]、[12]等等……）。这些论文使用随机控制方法来确定最优交易策略，它们大多基于资产价格的经典模型，典型的是拟人化或几何布朗运动，而市场秩序流通常由泊松过程驱动，独立于连续价格过程。本文的目标是在这两个文献流之间架起一座桥梁，通过在限价订单簿中构建一个简单的资产价格模型，既要现实，又要捕捉微观结构的主要类型化事实，易于估计和模拟，且易于处理，（易于分析和实施）以便在高频交易应用程序中以良好的财务解释得出明确的公式。由于我们的观点是做市商的观点，即我们只允许通过限价指令与市场互动，因此我们将仅针对代理发布的限价指令，而交易，或等价地称为市场指令，是指到达市场并可能与代理限价指令相匹配的非代理市场指令。我们将利用马尔可夫模型来评估我们的库存，以及如何在高频率下进行评估。我们假设买卖价差是连续的一个滴答声，股票价格跳一个滴答声，这与滴答声大的流动资产一致，见[19]。通过一个纯粹的跳跃过程（而不是一个连续的过程，例如。

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大多数88

2022-5-5 01:50:09

一个布朗运动），我们能够在价格演变和交易到达之间引入概率和机械依赖关系。我们可以简单地介绍下一次价格上涨与下一次价格上涨之前的买卖交易比例之间的相关性，以及上涨风险。在期权定价的背景下，Jumps是市场不完全性的一个来源，导致无法接受的索赔。类似地，电子市场的股价暴涨也是做市商的真正风险来源。更准确地说，代理人面临两种风险：（i）市场风险：当价格突然上涨时，整个代理人库存被重新评估，在一段时间内改变投资组合的价值（即在任何时间内都有一定的风险，而布朗运动具有与区间长度成正比的二次变化）。（ii）逆向选择风险：在我们的模型中，我们假设在时间t时向上（或向下）跳跃对应于一个大的市场订单，在最佳买入（或买入）价格水平上清算流动性。如果代理行发出了小限额指令，比如在投标方，则必须执行后者，因为投标方的大市场指令的目标原则上是清除所有可用的流动性，而不是消耗固定数量的流动性。从这个意义上说，代理人并不影响市场动态。在这种情况下，代理人会受到系统性惩罚，因为她出售liquidityat t-低于t时的价值。这种风险，在市场微观结构文献中称为逆向选择，参见例[28]，将被纳入我们的市场模型中，进行衡量和对冲。我们引入了一个合适的市场订单流模型，考虑到股票价格动态的真实相关性。现有文献已经提供了几个模型，用于限制订单簿中的交易到达。

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mingdashike22

2022-5-5 01:50:12

这项开创性的工作[20]将这些事件描述为具有自回归行为的时间序列，以模拟交易活动中的强度峰值。其他作者（如[15]）利用建模交易的更新过程，并根据这种流动描述价格形成。[8]提供了一个丰富的例子，其中一个四维霍克斯过程驱动交易和价格，考虑到其所有组成部分的相互作用：不幸的是，这种优雅的方法导致了高维系统，从而导致了计算问题。我们还提到[16]，其中使用了活动到达和中间价变动的广义多变量霍克斯过程来解决做市商问题，以及[27]，作者通过十变量霍克斯过程进行了彻底的统计分析。我们的模型是以价格为中心的，而不是以交易为中心的，因为我们假设交易（无论是哪一方）是由服从于股价的考克斯过程计算的。价格上涨后，交易更加频繁，而随着价格稳定，他们的到达率降低。从这个意义上讲，事件的动态性比泊松过程要丰富得多，而且它们并不像人们通常认为的那样与股价无关。对于这一改进，我们不需要计算成本：我们将看到描述股价的状态变量都是我们所需要的。我们不包括霍克斯过程中的自激成分，以保持模型尺寸最小。通过在计算交易事件的Cox过程中添加标记（确定交易交易方），我们能够复制除了本导言中已经提到的逆向选择之外，另一种限制代理人利益的风险形式，称为弱逆向选择。它来自小型交易流，由那些无法改变市场股价的交易组成。

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2022-5-5 01:50:15

在这种情况下，限价单更有可能在较低的价格上匹配：如果价格可能向下（或向上）跳，很少有交易会达到最佳的买入（或买入）价格，从而限制了建立空头（或多头）仓位的机会（这将是有利于市场方向的w.r.t.）。由于这一特性，由于限价指令的执行而产生的额外收益（相对于市场指令的净收益）由不利的执行概率来补偿。在这种情况下，我们研究了代理人以最佳出价和最佳卖价提交最优限价订单（如[25]中所述，不考虑市场订单以提高问题的可处理性）的做市商问题。经纪人不是唯一的做市商，但只是交易所众多参与者中的一员，她在提供流动性方面没有限制。以前文献中的几位作者，例如在开创性论文[6]中，考虑了限价订单，这些订单以中间价格距离发布，可能是非正面的（论文[16]中有一些例外，它对距离施加了非负面约束）。这导致了高频应用中的一些问题，尤其是对于大型资产（见[19]）或按比例限额订单，其中大部分流动性集中在较低水平，这使得现实生活中的最佳报价四舍五入到勾号网格中成为一个非常重要的问题。通过将实际控制替换为二元控制（限价或非最优价格），我们特别添加了政策约束，但在这样一个特定的背景下，模型更符合现实：估算更容易，政策不像实际情况那样受舍入约束，不存在负发布距离问题，市场利差永远不会改善；换句话说，理论政策不需要转化为真正的贸易政策。

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能者818

2022-5-5 01:50:18

在这个框架下，我们能够导出无风险规避的agent的价值函数和（二元）最优控制的显式公式。接下来，通过微扰技术，我们解决了小风险规避的做市问题。这使我们能够大大降低问题维度，并大大提高优化策略的财务可解释性。特别是，我们清楚地了解模型中收益和风险的潜在来源，以及风险厌恶的引入如何使它们变形。论文的结构安排如下。我们在第2节简要回顾了[22]中介绍的资产价格模型，并得出了一些关于股票价格条件平均值（即趋势指标）的有用结果。在第3节中，我们描述了市场秩序流建模小型市场交易，即保持股价不变的交易。相反，大的市场订单，即直接影响股票价格的订单，被认为是价格动态的一部分。对于小交易，我们引入一个服从股票价格动态的标记Cox过程，以重现弱逆向选择风险以及这两个过程之间的强度相关性。第4节包括做市问题的表述，并描述了代理过程（财富、库存）动力学，而第5节则致力于通过使用小风险规避的摄动方法来解决做市问题。一些数值试验说明了我们的结果。

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2022-5-5 01:50:21

我们在第6节中总结，并在附录中收集了一些有用的结果。从现在开始，为了保持符号紧凑，我们将使用，对于任何函数f=f（x），x∈ Rn，以下符号：xf（x）：=f（x）- f（x）中，我们将省略下标x = 当上下文没有歧义时。2.限价指令簿中的股票价格我们考虑一个模型，该模型适用于限价指令簿（LOB）中股票的中间价格（最佳买入价和最佳卖出价之间的算术平均值），且买卖价差为2δ>0。为了简单起见，我们假设股票价格只上涨一个点。中间价（Pt）t≥0是由c`ad-l`ag分段常数过程定义的pt:=P+2δNtXn=1Jn，（2.1）其中Pis是以2δZ，Nt（表示滴答时间）表示的开盘中间价，是与价格跳跃时间（Tn）n相关的点过程，即Nt:=infn:Pnk=1Tk≤ T,Jn（称为价格方向）是序列中的值{-1，+1}表示价格是上涨（Jn=+1）还是下跌（Jn=-1）在时间Tn.2.1马尔可夫更新模型中，我们使用[22]中的马尔可夫更新方法对标记点过程（Tn，Jn）n进行建模，并简要回顾主要特征。价格方向由MarkovchainJn=Jn驱动-1Bn=JkYi=1Bi，n≥ 1，（2.2）其中B≡ （Bn）是一个独立于（Jn）的i.i.d.序列，根据伯努利定律分布{-1，+1}带参数（1+α）/2，α∈ [-1, 1). 换句话说，在相同（或相反）方向上两次连续跳跃的可能性由p[jn]给出-1=±1]=1±α，n≥ 1，其中α表示两个连续价格方向Jn之间的相关性-1和Jn在与马尔可夫链（Jn）相关的平稳测度π=（1/2，1/2）下。

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2022-5-5 01:50:26

对于α=0，股价的跳跃是独立的，对于α>0，股价是短期趋势的，而对于α<0，股价表现出短期均值回归，这是关于高频数据的一个众所周知的程式化事实，通常称为微观结构噪声。在第二步中，我们对计数过程（Nt）进行建模。用n表示：=Tn- Tn-1.≥ 0，n≥ 1，价格跳跃时间的到达时间，我们假设，以Jn为条件-1，（Sn）是一个独立的随机变量序列，其分布F±（s）：=PSn+1≤ sJnJn-1= ±1, N≥ 1.s≥ 0，密度f±（s），无质量。我们可以很容易地检查（Sn）是否也是无条件的。i、这意味着（Nt）是更新过程，到达时间分布为byF:=1+αF++1- αF-. （2.3）我们定义了{-1，+1}It:=JNt，t≥ 0，它在时间t给出了股票价格最后一次上涨的方向。（It）是一个半马尔科夫过程，在这个意义上，这对（It，St）是一个马尔科夫过程，其中St:=t- sup{Tn:Tn≤ t}≥ 0，t≥ 0，（2.4）是自上次价格上涨以来经过的时间。最后，我们设置为h±（s）：=lims→0+服务提供商s≤ Sn+1≤ s+s、 Jn+1=±Jn锡≥ s、 Jn=1±αf±（s）1- F（s），s≥ 0表示同一（或相反）方向的价格跳跃强度函数，假设为有界连续函数，并定义u（s）（或σ（s））作为股价条件趋势（或搅动状态）的度量：u（s）：=h+（s）- H-（s），σ（s）：=h+（s）+h-（s）≥ 0.我们记得，经过的时间过程（St）是一个同质马尔可夫跳跃过程，具有随机强度σ（St）（与更新过程Nt相同，因为它们在同一时间跳跃）和最小生成元：ν（s）7→φs+σ（s）[~n（0）- ~n（s）]。数据样本我们参考[22]对趋势参数α、更新时间分布f±和跳跃强度h±（s）进行统计估计。

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2022-5-5 01:50:28

在续集中，市场数据取自2011年2月9:00:000至17:00:00.000（CET）对未来三个月Eurostox50的逐点观察。此外，由于（Nt）是与（2.3）中给出的更新分布F相关联的更新过程，为了获得s的自然重标度，我们通常将其称为^s:=F-1（s），s≥ 0作为与经过的时间s相关联的更新分位数。为了提高结果的可解释性，本文中的所有图表都根据该转换重新缩放状态变量s。图1绘制了h±（s）的形式，作为更新分位数的函数：回复强度h-（s）对于小更新，趋势强度h+（s）的w.r.t.占主导地位，而对于更高的分位数（>0.50），这种差异趋于消失，以h+（s）占主导地位结束-（s）在正确的边界上。这表明，当价格是稳定的，即其报价在相当长的时间内保持不变时，微观结构的均值回归消失，价格看起来像伯努利随机游走。图1：作为更新分位数（α）函数的h±（s）的非参数估计=-0.75），自举95%置信区间。2.2股票价格条件平均值和趋势指标表明，价格过程（Pt）嵌入了一个带有三个可观察状态变量的马尔可夫系统：（Pt，It，St）是一个马尔可夫过程，具有最小生成元：ν（p，i，s）7→φs+Xν∈±hν（s）ν（p+2νδi，νi，0）。（2.5）在续集中，为了将我们的模型应用于做市商问题，我们将广泛使用地平线上股票价格平均值的性质，即π（t，p，i，s）：=Et，p，i，s[PT]。

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2022-5-5 01:50:31

（2.6）这里，Et，p，i，s注意到初始条件下的期望算子（Pt，It，St）=（p，i，s），（t，p，i，s）∈ [0，T]×2δZ×{-1，+1}×R+。我们用一个单独的部分来研究这个函数，它在附录B中得到了充分的发展。在这里，我们集中在以下命题中关于π（t，p，i，s）的主要结果，这将是本文剩余部分的有用参考。提议2.1。（2.6）中的函数π由π（t，p，i，s）=p+iθ（t，s），（2.7）给出，其中θ（t，s）是-Mθ- 2Δu（s）：=-θT-θs- u（s）θ（t，0）+σ（s）θ（t，s）- 2Δu（s）=0，θ（T，）=0，（2.8）表示（T，s）∈ [0，T]×R+。此外，固定的≥ 0，θ（t，s）：=θt（t，s）满足极限→∞θT（T，s）=2δ∧α（s）1- α=: θ∞（s） ,，（t，s）∈ R+，（2.9）式中∧α（s）：=PJI=+1，S=S=Xν∈±ν1 + να1.- Fν（s）1- F（s）,带?α（0）=α和?α（s）≡ α如果标记和勾号时间是独立的。证据见提案B.1、B.2和B.3。备注2.1。从函数π的定义和关系式（2.7）中，我们可以看到θ=θT限制了概率表示：θT（T，s）=EPTPt=0，It=+1，St=s, （2.10），可以解释为股价的鞅偏差（θ≡ 0表示价格是鞅）。3市场订单流量建模和逆向选择在本节中，我们对市场订单流量进行建模，即LOB中limitorders的对应交易。我们区分两种类型的市场订单：1。根据上一节描述的机制，大型市场订单会改变买入价或卖出价，从而导致中间价上涨；2.不影响价格的小型市场订单。让我们首先描述一下大型市场订单的影响。假设有一个限价订单，比如说在投标价格上。如果一个大的市场订单到达了出价，并消耗了所有可用的流动性，价格就会下降。

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2022-5-5 01:50:35

然后，代理限价指令以新的最佳要价执行，即它成为市场买入指令，因此执行不利。这种现象在有关市场微观结构的文献中被称为逆向选择。我们将在下一节详细讨论此功能，请参见备注4.1。我们现在关注的是通过标记点过程（θk，Zk）建模的小型市场订单。1。时间戳：递增序列（θk）表示（小）市场订单的到达时间戳。2.标记：标记（Zk）∈ {-1，+1}，表示交换的一方，条件是当Zk=-1（resp.+1），交易以最佳出价（resp.ask）价格交换，即市场卖出（resp.buy）订单已到达。在本文中，我们不考虑交易规模。市场订单统计过程。一方面，我们假设与（θk）相关的计数过程（Mt）是具有条件强度λ（St）的Cox过程，其中λ是R+上的有界连续函数。Mt（简单泊松法）扩展了泊松法。对于λ的估计，我们使用了一种基于点过程MLE算法的参数化方法（参见[5]），如图2所示，其中λ被描述为更新分位数的函数。当价格非常不稳定时，许多交易都会进入限价订单。相反，当价格稳定时，交易活动较弱，但存在。图2：λ（s）=λ+a exp的估计(-ks）。条件订单到达率随时间呈指数衰减，没有事件发生，但从未完全消失，如λ>0所示，表示过程的基本强度和最小强度。市场秩序交易方。另一方面，我们假设LOB中的市场订单交易和股票价格通过关系Zk:=ΓkIθk进行关联-, （3.1）在哪里≡ （Γk）是i.i.d。

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2022-5-5 01:50:38

序列，独立于所有其他过程，并根据伯努利定律分布{-1，+1}带参数（1+ρ）/2，带ρ∈ (-1, 1). 因为ρ=Corr（Zk，Iθ）-k），1。对于ρ=0，交易双方不依赖于股票价格，市场订单流独立地到达最佳出价和最佳要求。这是文献中常见的假设，参见[6]；2.对于ρ>0，大多数交易方与股票价格最后一次跳跃的方向一致：市场订单更多地到达limitorder book的强侧（+），即与最后一次跳跃方向相同的那一方——当价格上升（或下降）时，最佳询问（或出价）；3.对于ρ<0，大多数交易方与股价最后一次上涨的方向不一致：市场订单更多地到达弱势方(-) limitorder book，即当价格上涨（或下跌）时，与上一次跳跃相反的一侧-最佳出价（或询问）。我们将一致（+）和不一致（-）的贸易强度定义为λ±（s），与h±（s）的符号一致：=1 ± ρλ（s），s≥ 0.（3.2）弱逆向选择风险。利用强大的大数定律，对真实数据的估计得到ρ的值-50%. 这意味着约有3/4的交易出现在limitorder book的薄弱环节。回想一下，股票价格通常表现出短期均值回归，即价格增量的负相关α，因此αρ>0。α和ρ具有相同符号的事实与执行动力学一致。相反，假设α和ρ具有相反的符号，比如α<0和ρ>0，并假设最后一个价格向下跳。

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2022-5-5 01:50:41

那么ρ>0意味着大部分交易将以最佳出价进行，因此将在牛市中执行限价买单（因为α<0），从而允许最佳出价的做市商打开低风险的可盈利头寸。数量αρ是极限指令w.r.t.对趋势捕捉效率的度量：它越大，通过极限指令建立有利头寸的概率越低。这一数量弥补了限价指令执行的内在优势（一个价差对一个市场指令而言），并首次解释了做市不是一个小游戏的原因。我们将这种现象称为弱逆向选择，与上述通常的逆向选择（另见备注4.1）相比，这种现象与大型市场订单有关。4.做市商问题：代理策略。代理策略包括连续下小批量的限制订单∈ N \\（0），（其中小指的是所有做市商提供的总流动性的水渍险），以双方可获得的最佳价格。然后，做市策略由一对可预测的过程来描述（`+`-) 在{0，1}中取值。当`+t=1（分别为`-t=1），在时间t时，在强（或弱）侧发布大小为L的限价单，而在相反的情况下，不提交限价单或取消限价单。我们用A表示做市商控制的集合“=（“+”`-).每次小额市场订单到达限价订单簿时（根据第3节中描述的机制），如果代理已在相应的一侧下了订单，则后者将根据随机变量执行，其分布可能会根据账簿匹配规则有所不同。我们回顾了我们可以处理的两个主要框架。1.

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大多数88

2022-5-5 01:50:45

价格-时间优先级（PTP）：在PTP订单簿中，订单根据其价格（更优先于接近中间价格的订单）和时间（如在单队列中）匹配。按比例：在（纯）按比例的订单簿中，有价格优先权（如PTP），但没有时间优先权。当一笔交易到达时，多个做市商被执行，按照一定比例奖励更大规模的限价订单。请注意，如果价格上涨，且代理商有条件在价格上涨后立即下限价订单，那么她会在询价方（旧订单）发现大量并发限价订单，而在报价方则很少。当价格猛跌时，情况是对称的。然后我们考虑{0，…，L}上的分布θ±（dk，L），其中θ-（dk，L）（resp.θ+（dk，L））是在limitorder book（附录A中提供了θ±的估算程序）的一致（或不一致）侧，即强（或弱）侧，大小为L的限制订单的执行数量的分布。我们用θm±（L）：=Zkm±（dk，L），m=1,2，（4.1）表示这些分布的第一和第二矩。备注4.1（逆向选择风险）。再次回顾，分配的符号不得解释为限制订单簿的询问/出价侧，而是限制订单簿的强/弱侧，考虑到最后的价格方向。此外，为了与小代理假设（价格是外生的，不受代理策略的影响）一致，我们假设，如果价格跨越代理下达的限价单的水平，则后者会自动执行。可以这样说，由于代理人规模较小，价格的上涨与她的限价单的存在无关，因为一个大的市场订单的目标是（至少）达到最佳水平。

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2022-5-5 01:50:48

此外，由于价差持续为一个刻度，订单以最佳价格下单，当价格上涨时，限价订单会自动转换为市场订单，并立即执行。请注意，这种情况对代理尤其不利：她以要价出售（或购买）股票-+ δ（分别为投标价格）-- δ），而目前的中间价是Pt=Pt-+ 2δ（分别为Pt=Pt-- 2δ），所以在这两种情况下，每一批都会损失δ！突然执行既违背市场，也没有让她有时间结束价差，留下空头头寸：她面临着对手选择和库存风险。这种被称为逆向选择的现象在[16]中也得到了考虑，例如，作者考虑了具有随机均值回复漂移（称为α）的布朗股价，它受到流入流动交易的影响。在本文中，一个在买卖方的流动交易，使随机漂移向上（向下）跳跃，重现了交易流和股价动态之间的内在联系。财富和库存过程。我们假设每笔交易都有固定成本ε≥ 0.然后让我们用（Xt）和（Yt）表示描述代理人投资组合的财富和存货，分别在R和Z中估值。引理4.1。对于做市策略而言∈ A、投资组合价值过程X和Y的动力学由dxt=Xν给出∈±Zk`νt-（νPt）-信息技术-+ δ - ε)Rtrdν（dt，dk，St-) + Rjmpν（dt，dk，St-),dYt=-Xν∈±Zkν`νt-信息技术-Rtrdν（dt，dk，St-) + Rjmpν（dt，dk，St-),其中，Rtrd±（分别为Rjmp±）是强度为λ±（St-) dt θ±（dk，L）（分别为h±（St-) dt δL（dk）），δLis是L证明下的狄拉克测度。为了验证这些想法，假设在时间t，i=It-= +1，即价格的最后一次上涨（在i=-1.证明是对称的。那么如果`±t-= 1，即。

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2022-5-5 01:50:51

如果代理人在强势（即询问）或弱势（即出价）方下了限价单：1。要么她可以通过随机数量k的输入交易执行，其中k具有分布θ±（dk，L），交易强度λ±（St-)2.或者她可以完全被处决，因此k=L，通过价格的跳跃，以h±（St-).在这两种情况下，代理库存Y都会跳跃k、而她的财富X跃升了k倍±Pt-（资产出售或购买），加上做市价δ（差价的一半）减去固定成本ε。备注4.2。在续集中，将很方便地介绍这个过程：Qt:=ItYt，称为强库存过程。因为它在{-1，1}仅当弱侧存在价格跳变时才跳变ν=-, 然后我们从Y的动力学中看到∈ A、 Qevolves依据：dQt=-Xν∈±Zkν`νt-Rtrdν（dt，dk，St-) +Xν∈±Z(ν - 1） Qt-- k`νt-Rjmpν（dt，dk，St-) .价值函数我们现在考虑做市优化问题的以下标准，通常在[6]、[15]、[25]中采用：代理人正在寻找最佳可接受的做市策略，该策略在最终日期T时使其预期投资组合价值最大化，以中间价进行评估，同时通过二次惩罚项ηYT控制其最终库存，具有风险规避参数η≥ 0.我们现在可以在MRP模型中定义与做市问题相关的价值函数：v（t，p，i，s，x，y）：=max`∈AEt，p，i，s，x，yXT+YTPT- ηYT, （4.2）对于（t，p，i，s，x，y）∈ [0，T]×2δZ×{-1，+1}×R+×R×Z，其中Et，p，i，s，x，yde在初始条件Pt=p，It=i，St=s，Xt=x，Yt=y下注释了期望算子。选择线性/二次效用函数而不是指数效用函数纯粹是因为计算简单：状态变量中的多项式效用函数允许我们根据其程度拆分PDE，减少问题维度。

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2022-5-5 01:50:55

启用术语-ηYT限制了代理人的库存风险：代理人不希望在交易日结束时持有大量头寸，而这些头寸将通过影响市场的独特市场指令执行。二次型与具有恒定流动性形状的限额指令簿一致，如[14]所述：风险规避参数η必须被视为代理人对最终市场指令的主观厌恶。最近还证明，该风险术语源于模型模糊性，见[13]。由于交易周期通常很短（分钟），这种惩罚会影响整个策略，并在整个交易过程中提供出色的库存控制，我们将在后面说明。作为替代，这种惩罚可以用-ηRTtYudu，基本上不改变我们将采用的参数来解决控制问题。然而，正如我们将在下一节中看到的那样，虽然对最终库存的惩罚会导致半显式计算，但在考虑整个交易时间间隔内的惩罚时，情况不再如此。5值函数和最优控制：从（P，I，S）的极小生成元表达式（2.5）和受控过程的动力学（X，Y）的摄动逼近引理4.1中，由与控制问题（4.2）相关的动态规划产生的汉密尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程如下所示：(-五、T-五、s-Pν∈±最大值`∈{0,1}hν（s）hJν[`]，vi+λν（s）hTν[`]，vi=0，v（T，）=x+yp- ηy（5.1）表示（t，p，i，s，x，y）∈ [0，T]×2δZ×{-1，+1}×R+×R×Z，其中hj±[`]，vi:=v（t，p±2δi，±i，0，x+L`（±ip+δ- ε），yiL`），（5.2）hT±[`]，vi:=Zv（t，p，i，s，x+k`（±ip+δ- ε），y ik`）θ±（dk，L）。（5.3）这些操作员的解释相当清楚：1。

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2022-5-5 01:50:58

一方面，hJ±[`]，vi表示由于价格上涨（发生在强度率h±（s））而在LOB的±侧执行限价指令时，价值函数的变化，因此，在价格上涨（逆向选择）后，大市场指令在不利价格下交易总规模L；2.另一方面，hT±[`]，vi表示当LOB±侧的alimit订单`由小型市场订单（其强度为λ±（s））执行时，价值函数的变化，因此数量k∈ （0，…，L）以有利的当前价格与概率θ±（dk，L）进行交易。通过考虑特定的等待策略，即，`=0，在（4.2）中，我们得到：vhold（t，p，i，s，x，y）：=x+yEt，p，i，s[PT]- ηy≤ v（t，p，i，s，x，y），（5.4），我们用vmm表示：=v- vhold是非负函数，表示由于最优做市策略，相对于持有策略的附加值。从引理B.1中，设置新的状态变量，称为strong inventoryq:=iy，我们可以看到vhold可以分解为：vhold（t，p，i，s，x，y）=（x+yp）+（qθ（t，s））- （ηq）=投资组合价值+鞅偏差- 库存惩罚该分解的第一项是当前投资组合价值的总和，以中间价格估值，而第二项与q成正比。函数θ（t，s）（在第2.2段中研究）表示与鞅价格的平均距离，即它衡量股票价格在漂移和反转方面的平均行为。对于θ>0（分别θ<0），到期时股价的平均值将反映一个漂移（分别回复）分量，而对于θ≡ 股票价格是一个鞅。下一个结果提供了值函数v.引理5.1的先验上界。

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mingdashike22

2022-5-5 01:51:01

存在一些正常数cst.v（t，p，i，s，x，y）≤ x+yp+eC（T-t）（1+| y |），适用于所有（t，p，i，s，x，y）∈ [0，T]×2δZ×{-1，+1}×R+×R×Z.证明。让我们考虑一下函数：ψ（t，p，x，y）：=x+yp+eC（t-t）（1+| y |）对于某些正常数C.那么，假设h±和λ±有界，比如说B∞, 直接的计算表明：-φT-Xν∈±最大值`∈{0,1}hν（s）hJν[`]，νi+λν（s）hTν[`]，νi≥ CeC（T）-t）（1+| y |）- 2B∞L |δ- ε|+2δ| y |+2LeC（T-（t）≥ 0，对于足够大的C。根据Dynkin的纯跳跃过程公式，我们推导出过程φ（t，Pt，Xt，Yt）是任何`的超鞅∈ A、所以：Et，p，i，s，x，yXT+YTPT- ηYT≤ Et，p，i，s，x，yν（T，PT，XT，YT）≤ ~n（t，p，x，y）。（5.5）自从∈ A在上述不等式中是任意的，这表明了所需的上界：v≤ φ.上述引理和下界（5.4）以及θ有界（见命题2.1）表明，值函数v定义明确，满足x的线性增长条件，y的二次增长条件。为了解决与最优控制问题（4.2）相关的HJB方程，我们将执行以下步骤：1。我们首先考虑代理人不受任何风险规避（η=0）影响的情况，并提供最优控制的分析公式和计算价值函数的数值方法；2.由于变量的适当变化，我们对与风险规避η>0的控制问题相关的HJB方程进行降维，并作为前一种情况的非显式变形获得最优控制；3.

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2022-5-5 01:51:05

最后，当η→ 0+，我们根据四线性模型的分辨率，提供了具有小风险规避的最优控制的显式形式，并给出了该结果的财务解释。5.1无风险规避情况在本节中，我们将处理η=0的特殊情况。没有风险规避意识的代理人不会担心自己的市场地位，因为持有大量库存的任何惩罚都不会影响她的效用函数，也不会有任何库存约束。我们的猜测是，在价值函数的分解中：v=vhold+vmm，做市部分vmm完全独立于当前投资组合，即来自变量（x，p，i，y），并且在无风险规避的情况下仅依赖于（t，s）。我们确实对价值函数和最优控制进行了如下描述。定理5.1。对于η=0，控制问题（4.2）的值函数由v=vhold+vmm，vhold（t，p，i，s，x，y）=x+yp+qθ（t，s），vmm（t，s）=ω（t，s）给出，其中ω（t，s）=xν∈±Et，sZTtmax（Gν（u，Su），0）du, （5.6）对于（t，s）∈ [0，T]×R+，其中g±（T，s）：=λ±（s）（δ）- ε θ（t，s））θ±（L）- h±（s）（δ+ε+θ（t，0））L，（5.7）（回忆（4.1）中的±（L））。此外，最优控制以反馈形式给出：^`（t，s）=1G±（t，s）>0，t∈ [0，T]，s∈ R+。（5.8）证据。问题（4.2）在于一般的马尔可夫决策过程（见最近的书[9]），并且已知（见[31]或[18]）相应的值函数v是HJB方程（5.1）的粘性解。现在让我们考虑v的一个候选函数，形式为：u（t，p，i，s，x，y）：=x+yp+qθ（t，s）+ω（t，s），对于某些要确定的函数ω。首先，观察u满足（5.1）中η=0的终端条件：u（T，p，i，s，x，y）=x+yp i fω满足终端条件：ω（T，s）=0。

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何人来此

2022-5-5 01:51:08

此外，通过定义（5.2）和（5.3）运算符J±和t±，我们得到Ut+Us=qθt+θs+ωt+ωs,hJ±[`]，ui=q（±2δ±θ（t，0）- θ（t，s））+ω（t，0）+L`(-δ - - θ（t，0）），hT±[`]，ui=Zk`（δ）- ε θ（t，s））θ±（dk，L）。然后我们看到，u是HJB方程（5.1）的解，满足ω：-ωT-ωs- σ（s）ω（t，0）-Xν∈±最大值（Gν（t，s），0）+q(-Mθ- 2Δu（s））|{z}=0乘（2.8）=0，ω（T，）=0，（5.9）注意，G±有界为h±且λ±假定有界。然后，由以下公式定义的（非负）函数：△ω（t，s）：=Xν∈±Et，s“ZTtmax（Gν（u，Su），0）du#是有界的，并且是（5.9）的一个粘性解，由Feynman-Kac表示，对于这样的线性积分微分方程，回顾（St）是一个具有强度σ（St）的分段确定性跳跃过程。因此，通过取ω=#ω，我们通过构造可以看到函数u（t，p，i，s，x，y）：=x+yp+qθ（t，s）+ω（t，s）是HJB方程（5.1）的粘度解。通过一阶积分微分方程（5.1）（见[30]）的唯一性，我们推导出v=u。接下来，让我们考虑从`上的最大值获得的LOB的±侧的反馈控制`` `∈ h±（s）hJ±[`]，vi+λ±hT±[`]，vi的{0,1}。换句话说，^`±=1<==> h±（s）hJ±[1]、vi+λ±（s）hT±[1]、vi>h±（s）hJ±[0]、vi+λ±（s）hT±[0]、vi。通过替换分解v=x+yp+qθ（t，s）+ω（t，s），我们可以看到±=<==> G±（t，s）>0。最后，让我们检查一下这种反馈控制是否提供了最佳控制。

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2022-5-5 01:51:11

事实上，由于它在HJB方程中的参数最大，我们有(-五、T-五、s-Pν∈±hν（s）hJν[^`ν]，vi+λν（s）hTν[^`ν]，vi=0，v（T，）=x+yp，（5.10），因此通过费曼-卡克表示上述线性积分微分方程：v（T，p，i，s，x，y）=Et，p，i，s，x，yh^XT+YTPTi，其中^x和^y是引理（4.1）中具有动态性的财富和库存过程，由策略（T，T）控制-),^`-（t，圣-))T∈ A.这表明了这种反馈控制的最佳性。财务解释（5.8）中描述的强（或弱）最优策略是依赖于G±（t，s）的二元控制。用超平面z=0切割表面z=G±（t，s），并将超平面上方的部分投影到（t，s）-平面上，我们得到交易区域。由于控制是主动执行的，而且执行是在交易或价格上涨时进行的，最优控制自然地分解为两部分，如G±in（5.7）的表达式所示：G±（t，s）=Gtrd±（t，s）- Gjmp±（t，s），：=λ±（s）（δ）- ε θ（t，s））θ±（L）- h±（s）（δ+ε+θ（t，0））L.1。交易部分Gtrd±：代理订单由随机大小的小型市场订单（不影响股价）匹配。由于被动执行（做市收益），她获得了每一个执行批次的半价差，她失去了交易成本，而且由于她的库存发生变化，她失去了将（平均）保持仓位直到地平线的鞅距离θ（t，s）（注意：这个数量可能为负）。这种情况对经纪人来说是有利的，因为她有时间在股价再次上涨之前结束价差，并且她已经在股票的中间价评估中获得了半个百分点的加权平均收益率：这种收益来自穿制服的小交易者，他们无法使股价上涨，需要做市商提供的流动性。2.

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能者818

2022-5-5 01:51:14

跳转部分Gjmp±：代理订单以h±（St）的速率通过大市场订单打包股票价格结算。与之前一样，由于被动执行（做市收益），对于每一个执行的批次，她获得了一半的价差，但由于股票价格上涨而失去了价差，以被动的一半价差结束，她失去了交易成本，并且由于库存变化，她失去了鞅距离θ（t，0）（价格刚刚跳升）。综上所述（5.7），很明显，大额订单导致的限价订单执行是代理人的风险来源，称为逆向选择。这是因为大量市场订单导致价格上涨，因此不允许代理关闭价差。相反，当股价突然下跌/上涨时，代理人发现自己在购买/出售L个地块（最大允许大小）。正如人们所看到的，“交易”案例对代理人来说是一个积极的事件，因为它导致了一个适当的做市策略，在买入和持有组合不会带来实质性收益的情况下收集利差，而“跳跃”则代表了一个消极的事件，因为它导致了一个不利的执行，即我们卖出（或买入）一只价值下降（或上升）的股票。因此，我们对股票价格的定点过程建模导致了一个更现实的模型，评估在负面情况下执行的风险，如果股票价格是一个连续的过程，这是不可能的。因此，数量G±被解释为做市策略产生的投资组合价值，而（5.6）中的价值函数vmm=ω自然是投资组合价值的预期收益。最佳控制由贸易关系决定。由于往返执行，纯做市收益，2。由于θ（t，s）的相关信息，趋势或逆转预测，3。

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2022-5-5 01:51:17

限制逆向选择风险。通过强调最优控制对视界T的依赖性，我们将^`（T，s）写成^`（T，s），从（5.8）和（2.9）可以看出，它在大视界收敛到平稳值：limT→∞^\'T±（T，s）=1G∞±（s）>0（5.11）带G∞±（s）：=λ±（s）（δ）- ε θ∞（s） θ±（L）- h±（s）（δ+ε+θ）∞（0））L.我们在图3中绘制了做市绩效ω，在图4中绘制了最优限价指令控制。图3：ω（T）- t、 s）用于不同的s型截面。在远离地平线的地方，代理的每时间单位的线性平均增益取决于开始经过的时间。在分配队列中，经纪人在稳定时间进入市场后获得更多收益，股票价格不太可能上涨，这对做市商来说是一个完美的场景。图4：η=0的最佳策略。代理在小时间和大时间内都将其限制订单放在强侧，而在弱侧发布则被限制为大s：这是由于θ（t，s）的行为，改变购物车右侧的标志，诱导makermaker在侧边下订单，以利用下一跳的预期。对于t→ 0，地平线很远，政策稳定在（5.11）中描述的渐近值.5.2小风险规避案例在本节中，我们证明了对于小风险规避，与最优控制问题（4.2）相关的HJB方程（5.1）的解是η=0情况下解的变形，并且我们明确描述了这种变形。我们首先给出了问题的精确解，即（η=0）值函数的非显式变形，如果不想包含近似参数，可以对其进行数值计算。这一结果将帮助我们从概率表示的角度说明特定策略如何影响价值函数。定理5.2。

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2022-5-5 01:51:21

与控制问题（4.2）相关的值函数由v（t，x，p，i，s，y）给出：=v（η）（t，x，p，i，s，y）=v（0）（t，x，p，i，s，y）- ζ（η）（t，s，q），（5.12），其中v（0）（t，x，p，i，s，y）是无风险规避情况下控制问题的解（定理5.1），而ζ（η）（t，s，q）是非负的，并且是唯一的粘度解，q为二次增长-ζ(η)T-ζ(η)s-Pν∈±min`∈{0,1}hRν[`]，ζ（η）+ 最大值（Gν（t，s），0）- `对于（t，s，q），Gν（t，s）i=0，ζ（η）（t，）=ηq，（5.13）∈ [0，T]×R+×Z，其中Gν（T，s）由（5.7）和dr±[`]给出，ζ（η）E:=h±（s）ζ（η）（t，0，±q）- L`+λ±（s）Zζ（η）（t，s，q） k`）θ±（dk，L）。此外，问题（4.2）的最优控制由^`（t，s）以反馈形式给出：=^`（η）±（t，s）=1G±（t，s）>hC±，ζ（η）i，（5.14），其中dc±，ζ（η）E:=h±（s）ζ（η）（t，0，±q）- L）- ζ（η）（t，0，±q）+ λ±（s）Zζ（η）（t，s，q） k） θ±（dk，L）。证据首先，让我们正式推导出当使用ANSATZ（5.12）时，应满足ζ（η）的方程。根据（5.2）和（5.3）中运营商的定义，我们有v（η）t+v（η）s=v（0）t+v（0）s-ζ(η)t+ζ(η)s,DJ±[`]，v（η）E=DJ±[`]，v（0）E- ζ（η）（t，0，±q）- L`），DT±[`]，v（η）E=DT±[`]，v（0）E-Zζ（η）（t，s，q） k`）θ±（dk，L）。插入（5.1），并使用定理5.1中v（0）的分解，在一些简单的计算之后，我们看到ζ（η）应该满足PDE（5.13）。现在，让我们证明v（η）的形式为（5.12）。根据备注4.2中定义的强库存过程Q的动力学，我们注意到方程（5.13）实际上是与控制问题相关的HJB方程：△ζ（η）（t，s，Q）：=inf`∈AEt，s，qhZTtXν∈±最大值（Gν（u，Su），0）- `νuGν（u，Su）（t，s，q）的du+ηQTi（5.15）∈ [0，T]×R+×Z。很明显，ζ（η）是非负的，通过在（5.15）中取零控制，我们可以看到ζ（η）（T，s，q）≤ ω（t，s）+ηq，回顾ω的表达式（5.6）。

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2022-5-5 01:51:25

由于ω是有界的，这表明∧ζ（η）在q中是二次增长的，在（t，s）中是一致的。然后，我们从[31]和[30]中得知，ζ（η）是（5.13）的唯一粘度溶液。因此，通过定义函数ζ（η）=ζ（η），我们可以通过构造看到函数u（η）：=v（0）+ζ（η）是HJB方程（5.1）的粘性解，并且通过该方程的唯一性（见[30]），我们推导出v（η）=u（η）。让我们考虑反馈控制^`（η）±，对于强侧和弱侧，它们在R±[0]，ζ（η）和G±（t，s）-R±[1]，ζ（η）, 并精确地以表格（5.14）给出。然后，从vη的分解（5.12），^`（η）±实际上在`上达到最大值∈ h±（s）DJ±[`]，v（η）E+λ±DT±[`]，v（η）E的{0,1}，通过与定理5.1中关于`（0）±的相同论证，这表明了`（η）±的最优性。风险规避导致的变形函数ζ（η）是非线性积分微分方程（5.13）的解，可以通过数值求解。我们使用扰动方法来推导小风险规避η的ζ（η）的一阶展开式。定理5.3。函数ζ（η）（t，s，q）可以通过ζ（η）（t，s，q）=η线性逼近η>0q+2qζ（t，s）+ζ（t，s）- R（η）（t，s，q），（5.16），其中1。ζ是线性积分微分方程的唯一有界连续粘度解：(-Mζ+Pν∈±νhν（s）L+λν（s）θν（L）Gν（t，s）>0=0ζ（t，）=0（5.17），其中M是（2.8）中定义的线性算子，并允许概率表示：ζ（t，s）=E^YT |^YT=0，It=+1，St=s]，其中^Y是由反馈策略^`=（t，St）控制的库存过程-),^`-（t，圣-))tde定义在（5.8）中，2。ζ（t，s）=Xν∈±Et，shZTtXν∈±Su（νh）L- 2Lζ（t，0）（5.18）+λν（Su）θν（L）- 2θν（L）ζ（u，Su）Gν（u，Su）>0duis的唯一有界连续粘性解-ζT-ζs- σ（s）ζ（t，0）-Pν∈±hν（s）L- 2Lζ（t，0）+ λν（s）θν（L）- 2θν（L）ζ（t，s）Gν（t，s）>0=0，ζ（t，）=0，（5.19）3。

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