高频交易的随机游走

2022-5-6 16:13:45

我们的模型表明，芝加哥和纽约/新泽西金融市场之间长达1200公里的物理分离为系统波动性提供了一个自然上限，并可能有助于在极为繁忙的交易期间保持市场稳定。关键词：高频交易，美国股票，新闻报道。JEL分类：C22、C41、C58、G12、G14、G17。*这项工作得到了赫尔曼研究员基金的支持。+电子邮件：ealdrich@ucsc.com.——电子邮件：iheckenb@ucsc.com§电子邮件：glaughli@ucsc.edu1简介现代电子交易的运作方式，从表面上展示了高效、流动市场的预期属性。与正在交易的基础工具的价格相比，买入价差较小，成交量高，高频交易者竞相进入市场，有关价格发现的信息几乎以光速传播（参见Brogaard et al.（2013）和Hasbrouck and Saar（2013））。在这样一个环境中，各种市场参与者的不同、不断变化的意图谱不断被聚合，因此一个天真但并非毫无道理的期望是，中心极限定理应该发挥根本作用，短期回报应该遵循高斯分布。事实上，从Bachelier（1900）的开创性工作到Black-Scholes期权定价模型（Black and Scholes（1973））的发展，现代金融传统上认为，市场价格波动可以通过高斯随机游动近似到某种有用的程度。这一概念从有效市场假说（Fama（1965））中得到了强化，因为新闻的到来以一种不可预测的方式改变了市场（Hasbrouck（2003））。事实上，观察到的市场收益分布明显是非高斯分布。

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2022-5-6 16:13:48

无论地点和资产类别如何，收益率分布总是有厚尾，并显示出波动率聚集的现象。大量文献描述了观测到的偏离常态的特征和建模（综述见Bouchaud（2005））。在本文中，我们对高频交易（从毫秒到分钟的超时范围）中产生短期市场回报的过程进行了地面层面的重新检查。我们分析了芝加哥商品交易所（Chicago Mercantile Exchange）近一个月交易的E-mini S&P500期货合约的流动性极高的近三个月的最新毫秒分辨率滴答数据。我们的分析从两个基本的实证结论开始。首先，我们发现资产返还有效地分为两类，具有不同的性质：在预先安排的新闻公告后1000秒窗口内交易的结果（称为“主动”期），以及在所有其他时间发生的结果（称为“被动”期）。我们的分析表明，在这种排序机制的条件下，收益率分布表现出非常不同的尾部特征以及波动持续性模式。我们认为这是由于预先安排的新闻公告进入市场带来的冲击。其次，我们证明了当采用交易时间时，被动市场时期的高频收益率可以用高斯分布很好地描述。Brada et al.（1966）引入交易时间的概念，表明如果回报过程从属于连续交易（交易），则资产回报分布接近高斯分布。

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2022-5-6 16:13:52

Mandelbrot和Taylor（1967）表明，由从属交易时间过程组成的高斯随机游走完全符合Mandelbrot（1963）提出的厚尾L’evystable分布。Clark（1973）使用了另一个从属变量，即以交易量衡量的时间，以获得类似的结果。最近，Ane和Geman（2000）表明，当在交易时间中测量时，粗略采样的日内收益率也符合高斯分布。我们的分析表明，交易时间收益的高斯性不会立即扩展到高频日内收益。也就是说，在一天中无条件地考虑时，高频交易时间返回会抑制重尾和波动性聚集。然而，通过排除围绕预定新闻事件的时段，我们证实了交易时间高斯性的存在以及波动持续性的缺乏。基于以上经验观察，本文做出了两个理论贡献。首先，我们通过扩展Chen等人（2013）的马尔可夫切换多重分形持续时间（MSMD）模型，建立了高频交易持续时间模型。SMD模型建立在Mandelbrot等人（1997）、Calvet等人（1997）和Fisher等人（1997）的开创性工作，以及Calvet和Fisher（2001）、Calvet和Fisher（2002）和Calvet（2004）的后续工作的基础上。它提出了一个简化的贸易持续时间模型，该模型具有充分的物理解释，并已被证明能很好地拟合历史数据。由于MSMD模型无法解释高频交易持续时间的某些特征，我们通过构建一个MSMD过程对模型进行了修改，该过程的等待时间取自所选的指数分布，以便其最大预期时间与我们样本中观察到的最大值相匹配。

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何人来此

2022-5-6 16:13:55

直观地说，这个过程描述了一个有两种交易者的环境：多数交易者类型，通常是交易扭曲且不经常暂停的交易者（例如算法交易者），少数交易者类型，很少下订单，间隔时间较短（机构投资者）。由此产生的截断马尔可夫切换多重分形持续时间（TMSMD）模型在拟合高频交易持续时间的经验密度以及捕捉波动性的强自相关方面做得更好。本文的第二个理论创新是，我们将交易时间高斯随机游动与上面的TMSMD过程结合起来，来描述资产收益在时钟时间内的分布。特别是，我们证明，我们的数据的锁定时间和交易时间之间的从属转换可以使用TMSMDM模型有效地解释。在这个维度上，我们的工作与Ane和Geman（2000）的工作有很大不同：他们从时钟时间资产周转率分布的非参数估计开始，反向工作，隐式定义与交易时间高斯性一致的非参数交易密度，我们首先将交易时间收益的参数分布与持续时间的参数模型（以及相关的交易到达过程）结合起来，以描述时钟时间收益的分布。我们的贡献是重要的，因为它促进了一种结构化和节约的方法，以近似观察到的资产回报的演变。最后，我们使用时钟时间收益率的分层模型，推断交易持续时间（或者，交易率）和市场波动性之间的经验关系。我们的模型暗示了在何种条件下，贸易利率可能会导致前所未有的高度波动和潜在的市场失灵。

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2022-5-6 16:13:59

我们强调，在市场压力和不同交易所之间不协调的限制规则的情况下，这可能会发生。我们的论文如下。我们首先在第2节中描述我们的数据，并在第3节中对主动和被动子周期期间的数据分布特征进行分析。在第4节中，我们描述了时钟时间内资产回报的复合多重分形模型，该模型由交易时间回报的高斯模型组成，并对Chen等人（2013）的MSMD模型进行了修改。第5节评估模型，并将蒙特卡罗模拟与观测数据进行比较。第6节对模型进行了外推，以得出结论，即在波动性极高的时期，市场行为会受到影响。第7节结束。2数据在本文中，我们专门对芝加哥商品交易所（CME）近月E-mini标准普尔500期货合约（商品代码ES）进行分析。尽管欧洲期货交易所提供多种电子迷你产品，但标准普尔500指数期货合约的交易量最大，因此通常被称为电子迷你。正如其名称所示，E-mini是一种基于标准普尔500指数价值的期货合约，其国家价值为该指数的50倍。我们通过解析CME历史文件（编码中缀格式），获得了2013年5月18日至2013年8月18日期间逐笔交易的完整记录，我们在第4节和第5节中使用这些文件来估计和评估我们的模型。我们还获得了2010年4月27日至2012年8月17日27个月期间的类似数据，该数据用于第6节中报告的样本外分析。尽管E-mini是一种不在股票交易所交易的期货合约，但它的统计行为将股票市场的动态描述为一个漏洞。

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2022-5-6 16:14:02

这归因于其流动性以及伊利诺伊州和新泽西州期货和股票交易所之间的价格形成和信息传递关系，如劳克林等人（2014年）所研究。E-mini期货周一至周五交易，从前一天中央时间下午5:00开始，到下午4:15结束，每天的维护交易从中央时间下午3:15到下午3:30暂停。我们将单毫秒内发生的多笔交易汇总为单位交易，并将毫秒的最终有效价格指定给它们作为交易价格。虽然不是一个完美的近似值，但该假设利用了一个事实，即具有相同时间戳的多笔交易通常可归因于一个单一的侵入订单，以相同的价格水平填充多个静止订单，并允许我们在后续模型中规避与零持续时间相关的奇点。我们得出的样本期数据共包含6832305笔此类交易。E-mini的报价相当于标准普尔500指数的指数值。由于标准普尔500指数是一种指数而非交易资产，其价值以“点”而非美元来衡量，因此E-mini价格以“点”来表示。E-mini报价中的最小滴答增量为0.25点，这是E-mini价格变化（上升或下降）的最小值。实际上，E-mini合约的最小规模是50美元×标准普尔500指数的价值，这意味着实际交易价格是报价的50倍，相应的最小增量为12.50美元。对于本文的其余部分，我们将使用E-mini报价，以点为单位，直接对应于标准普尔500指数值。

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能者818

2022-5-6 16:14:06

在2013年5月至8月期间，标准普尔500指数在NP=1570和P=1710之间交易，这表明标准普尔500指数的指数涨幅通常最小P/P~ 1.5 ×10-4.由于我们对调查新闻事件期间和非事件期间的日内资产收益分布感兴趣，我们考虑了根据新闻事件排序的数据子样本。由于E-mini是一个市场总体上的期货合约，它几乎完全受主要宏观经济公告的影响，而不是受小规模、行业或企业特定新闻的影响。出于这个原因，我们用今日日历（econoday.com）对新闻事件时段进行分类，该日历列出了美国主要的预先安排的新闻公告，并为《华尔街日报》等媒体的日历提供了权力。由于大多数预先安排的新闻公告都是在上午8:30和10:00发布的，因此我们形成了一个事件驱动的数据集，记录了在新闻公告之后1000秒（约16分钟）内发生的所有电子迷你交易。也就是说，事件驱动的数据集由大约上午8:30-8:46和上午10:0010:16的交易组成，这些交易发生在样本期内任何预定的新闻发布之后。我们形成了一个相应的非事件驱动子样本，在未安排公告的日子里，构成了同一时间窗口内的所有交易。1000秒的窗口包括从最快的算法交易者到人工阅读新闻、考虑其影响并根据其得出的结论进行交易的人类交易者。在本文的其余部分中，我们将事件驱动的子样本称为主动数据，非事件子样本称为被动数据。

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2022-5-6 16:14:09

尽管在活跃数据的时间窗口内交易更为频繁，但只有约45%的时间窗口与预定的新闻公告一致：在三个月的样本中，共有43个新闻时段和54个非新闻时段。因此，这两个数据集的大小大致相同：主动数据中有191127条记录，被动数据中有174041条记录。因此，我们下面的结果不是时钟时间（两个数据集都来自同一天内的时间段）或样本量的伪影。图1描述了我们的数据集在主动和被动期间E-mini价格的样本路径。蓝色表示数据的有效期，蓝色表示数据的剩余期。图中左上角的面板显示了样本中所有日期上午10:00后1000秒的价格序列，并显示了当时的新闻公告。这些构成43个新闻事件窗口中的11个；其余32条新闻公告发生在上午8:30。价格以10秒为增量进行采样，并按初始价格进行标准化，以便每个系列从原点开始。单个系列的阴影和纹理与实际宣布与之前一致预测的差异程度有关。实线表示超出共识的公告，虚线表示未达到共识。此外，我们根据与共识的偏差百分比对数据进行排序，使用较深的颜色表示更强的表现，使用较浅的颜色表示较弱的表现。图例brie fly描述了每次公告的日期和性质，以及之前的共识和实际报告值。例如，2013年5月23日上午10:00的公告报告了美国4月份的新房销售情况。

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2022-5-6 16:14:14

此前的预测是，共售出42.5万辆，实际报告价值为45.4万辆，超出普遍预期6.8%。图1右上角的面板显示了随机选择的11天的类似时间序列，其中上午10:00没有新闻公告。《人物传奇》讲述了过去的几天。在这种情况下，着色根据1000秒样本结束时的返回量对序列进行排序，颜色越深表示返回量越大，颜色越浅表示返回量越小。图1的下部面板复制了上部面板的时间序列，但根据交易时间而不是时钟时间聚合价格。正如我们将在下一节中正式说明的那样，交易时间是根据发生的特定交易数量来衡量时间增量的，而不是根据特定数量的挂钟时间。在这种情况下，我们选择m=40，这意味着图1:E-mini S&P 500期货合约价格在10:00a后1000秒的时间序列图。m、新闻公告（红色）和上午10:00后的1000秒，随机选择几天不发布公告（蓝色）。通过从所有后续值中减去初始价格，所有价格均正常化。上面的面板显示时钟时间价格，而下面的面板显示交易时间价格。图例会报告选择日期和各个新闻公告的信息。上面板中的阴影区域描绘了预期的1-标准普尔500指数的σ布朗运动扩散范围，通过对σ=0.1（内包络）和σ=0.2（外包络）的高斯波动率进行去年化得到。每个时间单位由40个交易定义，由此产生的交易时间序列描述了以该频率采样的价格。情节的两个特点值得强调，尽管我们将在本文的其余部分更详细地讨论它们。

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2022-5-6 16:14:17

首先，相对于起始点而言，活跃期的价格波动要比被动期的波动大得多。图1上部面板中的阴影区域描绘了预期的1- 通过对σ=0.1（内包络）和σ=0.2（外包络）的高斯波动率进行去年化，得出标准普尔500指数上的σ布朗运动微分界限。我们注意到，这些波动率可以大致等同于CBOE波动率（VIX）指数分别为10和20的值，在我们的分析所涵盖的3个月期间，这两个指数几乎限制了美国股市。（2013年8月5日，VIX指数的最低观察收盘价为11.84，2013年6月20日，最高观察收盘价为20.49。）如图所示，新闻发布后的E-mini价格往往会超过标准普尔500指数的预期波动率，而非新闻时段的E-mini价格则更可能处于阴影范围内。需要注意的第二个特点是，贸易时间序列的长度并不一致。这是因为在1000秒的时间窗口中，每个窗口中发生的交易数量并不相同。事实上，从图中可以明显看出，超出预期的报告后的交易时间序列比低于共识的报告短，表明负面消息的交易量更大。在黄金交易时间面板（右下）中也观察到了类似的特征，因为在价格下跌期间，交易似乎更重。3日内资产收益的经验分布在本节中，我们强调观察到的日内资产收益分布的一些关键特征。我们将时钟时间返回定义为rτ（t）=p（t）- p（t）- τ）（1）其中p（t）是时间t时资产的价格，τ是考虑中的时钟持续时间（例如1000毫秒）。

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2022-5-6 16:14:20

可在交易时间内提供回报的另一种定义，其中时间增量通过固定的交易数量来衡量：rm（n）=p（n）- p（n）- m），（2）其中n表示第n次交易，m表示单位时间内的交易数量。无论时间尺度如何，经验资产回报率（以时钟时间衡量）通常表现出显著特征，如瘦肉症和条件异方差。几十年来，为了对收益率分布的重尾（Mandelbrot（1963））以及波动率的强自相关（Engle（1982）和Bollerslev（1986））进行建模，人们付出了大量努力。在随后的分析中，我们展示了Bradaet al.（1966）、Mandelbrot and Taylor（1967）、Clark（1973）和Ane and Geman（2000）的观察结果，即交易时间回报率几乎是高斯分布的，在控制预先安排的新闻公告时，会延伸到高频、日内回报率。3.1日内时钟时间和交易时间分布如第2节所述，43个1000秒主动时间间隔包含191127个交易，而54个1000秒被动时间间隔包含174041个交易。这相当于活动子样本和3中平均每秒4.44个事务。被动子样本中每秒22个事务。为了取得平衡，我们在剩下的分析中假设1个刻度（事务）对应于0.25秒，或250毫秒。我们考虑τ={250、500、1000、4000、10000、30000}毫秒（即我们的最大时间尺度为30秒）和m={1、2、4、40、400、4000}交易的时间累计回报，根据我们的近似值，这些交易大致是对应的时间间隔。图2给出了在主动和被动新闻状态下单一时间尺度的经验收益分布：τ=10000毫秒（10秒）和m=40次交易。

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2022-5-6 16:14:25

上面一行图描绘了我们样本中离散观测收益的经验密度函数，叠加在通过最大似然估计的高斯分布上。为了突出分布尾部的差异，在对数刻度上用纵轴显示这些数据。图2中的第二行图显示了上部面板中分布的相应分位数（Q-Q）图。Q-Q图比较了两种分布的分位数，是可视化它们之间偏离点的有力方法。图2：主动和被动子样本的时钟时间和交易时间回报的经验密度和Q-Q图。时钟时间间隔τ=10000毫秒（10秒），交易时间间隔m=40（选择与时钟时间间隔大致匹配）。不需要像我们在上面的面板中那样将数据转换成对数刻度。因此，底部一行绘制了每个数据集的经验分位数与通过最大似然法获得的高斯分布的理论分位数（尽管x轴上的分位数已经标准化）。如果理论密度和经验密度重合，它们的分位数将呈现线性关系。偏差通过Q-Q图中的非线性突出显示。正如我们将在下面更详细地看到的那样，图2显示了时钟时间日内收益在主动和被动时间段都具有重尾，这表明生成数据的概率分布比高斯分布具有更高的极端事件概率（即使在被动、非事件期间）。活跃期交易时间回报也是如此。在Q-Q图中，可以看到经验分布的特征重尾，即偏离线性的凹凸。

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2022-5-6 16:14:28

值得注意的是，图2最后一列中的经验性和相应的Q-Q图表明，被动周期、交易时间收益率非常接近高斯分布——它们不像其他数据集那样具有极端事件的倾向性。这是我们分析的一个关键结果，我们将在接下来的章节中对其进行更详细的分析。在本节剩余部分，我们将通过Q-Q图描述分布差异。图3显示了我们考虑的所有时间标度在主动和被动期间的时钟时间和交易时间回报的Q-Q图。图中第一行和第二行的面板分别比较了主周期和被动周期的时钟时间回报的经验分位数与最佳高斯分布的理论分位数。第三行和第四行中的面板对于交易时间回报是相同的。图3：时钟时间和滴答时间以及主动和被动子样本中收益的样本Q-Q图。每个面板对应于主动或被动数据子样本期间的时钟时间或交易时间间隔。纵轴表示数据的样本分位数，横轴表示最佳高斯分布的理论分位数。毫不奇怪，图3的上几行显示，在各种日内时间尺度上，时钟时间收益分布与高斯密度明显不同。事实上，每个面板上显示的模式都表明尾巴很重，尤其是在时间尺度上，而随着τ的增加，细荨麻疹的发病率降低。除了随着τ的增加而减小尾重外，主动周期和被动周期时钟时间返回的比较表明，主动、新闻事件周期的尾重要大得多。

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2022-5-6 16:14:31

这和我们预期的完全一样，因为在新闻发布后的时期，价格大幅波动的频率应该更高。图3的第三行显示，主动子样本期间的交易时间回报与主动子样本和被动子样本期间的时钟时间回报非常相似：瘦素性荨麻疹随着m的减少而减少。然而，图的最后一行突出了上述令人惊讶的结果：在被动、非事件时间段，交易时间回报完全符合高斯分布。我们强调，这一实证结果具有非常重要的资产定价含义。事实上，交易时间收益的高斯性，控制forknown新闻公告，将是我们在第4和第5节给出的模型和结果的基础。在研究日内数据时，交易时间收益的高斯性并不明显，因为新闻事件期间的交易对收益的无条件分布有很大影响。出于空间考虑，我们没有为完整的数据样本（没有对新闻事件进行排序）包括Q-Q图，但是相应的经验分布看起来与我们为活动子样本显示的非常相似。也就是说，在预先安排的新闻公告的有限时间内进行交易对无条件回报分布的尾部概率有很大影响。相比之下，如图3底部的面板所示，如果只考虑非事件时间的回报，高斯分布提供了一个很好的结果。知道在市场活动静止期，交易时间累积的资产回报服从高斯分布是一个非常有力的结果。图4和图5分别描述了图3的Q-Q图中考虑的时钟时间和交易时间间隔的收益和平方收益的样本自相关函数（ACF）。

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2022-5-6 16:14:36

人们普遍认为，资产收益率除了在特定的时间尺度上表现出显著的自相关外，没有表现出显著的自相关，在这种时间尺度上，出价/出价反弹和均值回归会导致相邻交易之间出现负相关。图4证实了这些程式化的事实：尽管最近的时间尺度和最低的滞后，但回报率没有自相关。无论是主动期还是被动期，交易时间收益的自相关性似乎比时钟时间收益的自相关性更弱。事实上，对于τ=250ms和τ=500ms，时钟时间在第一个滞后之后返回显著且衰减的自相关，这是交易时间数据中不存在的一个特征，或者对于m=1（其中似乎存在非常小且显著的滞后-2自相关）来说，至少只有轻微的自相关。图4：时钟时间和交易时间以及主动和被动子样本中收益的样本自相关图。每个面板对应于主动或被动数据子样本期间的时钟时间或交易时间间隔。如图5所示，收益平方的ACF通常用于诊断波动的持续性，这是金融资产收益的一个有充分记录的属性。特别是，图5第二行中对应于被动周期、时钟时间返回的面板是波动持续性的典型例子。剩下的面板显示，活跃期收益率（时钟时间和交易时间）表现出波动持续性，但其一致性较差，而被动期、交易时间收益率在固定时间尺度上仅表现出轻微的波动持续性，持续性随着m的增加而迅速减小。

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2022-5-6 16:14:38

后一种结果是数据的一个特征，它将使我们能够从高斯分布中独立得出大致的通行期、交易时间收益，并将有助于第5节中建立时钟时间收益分布的蒙特卡罗近似。图5：时钟时间和交易时间以及主动和被动子样本中平方收益的样本自相关图。每个面板对应于主动或被动数据子样本期间的时钟时间或交易时间间隔。4模型在本节中，我们开发了一个时钟时间收益的分层模型，该模型混合了贸易时间收益的分布和贸易到达的分布。对于给定的交易时间间隔m，我们假设交易时间收益独立于高斯分布rm（n）i.i.d。~ N（u，σ），n、（3）根据方程式（3），当m=1时，每笔交易之间的价格差异会产生高斯回报。然而，我们的符号概括为允许每个交易的价格差异遵循高斯分布，这是高斯聚集的直接结果。贸易抵达将根据稍后指定的计数流程进行分配。对于给定的时钟持续时间τ，我们将用相应的概率P（Nm（τ）=k表示m周期执行的事务数为Nm（τ），k={0，1，2，…}。如果我们只观察在时间间隔τ上聚合的收益，那么我们对随机变量rτ（t）=Nm（τ）Xi=1rm（n）的分布感兴趣。（4） rτ（t）的概率密度函数为，p（rτ（t）|u，σ）=∞Xk=1pkXi=1rm（n）Nm（τ）=k，u，σ！P（Nm（τ）=k）。（5）该分布被描述为一个有限的高斯混合模型，其混合权重根据Nm（τ）的概率分布而变化。

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能者818

2022-5-6 16:14:43

该模型也可以被描述为一个两阶段的层次模型，其中许多交易是从第一阶段的Nm（τ）分布中得出的，单个τ周期收益是从rτ（t）=PNm（τ）i=1rm（n）的高斯分布中得出的~ NNm（τ）u，pNm（τ）σ在第二阶段。在本节剩余部分中，我们将考虑方程（5）在不同气体消耗下Nm（τ）分布的特殊情况。4.1复合泊松过程建模贸易到达的起点是假设它们遵循泊松过程：Nm（τ）~ 泊松（γτ）orP（Nm（τ）=k）=（γτ）kk！经验{-γτ}，（6）其中γ是到达强度参数。在这种情况下，等式（5）变成sp（rτ（t）|u，σ）=∞Xk=1σ√2πkexp(-（Pki=1rm（n）-ku）kσ）×exp{-γτ}（γτ）kk！。（7）这是Press（1967）和Press（1968）开发的复合泊松过程的一个版本。不幸的是，它的密度函数不能以封闭形式得到。然而，密度可以很容易地通过蒙特卡罗模拟进行近似：首先根据高斯分布进行独立绘制，然后根据从泊松密度绘制的整数偏差累积随机数。或者，在某些情况下，我们可以用一个解析公式来近似方程式（7）：当τ与γ相对较大时，N（γτ，√γτ）密度可以很好地近似于泊松（γτ）密度。在这种特殊情况下，rτ（t）也近似地分布为高斯分布（以这种方式将两个高斯密度组合在一起会产生另一个高斯密度）。然而，对于较小的τ值（当解析高斯近似不成立时），rτ（t）的结果分布表现为细荨麻疹。

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2022-5-6 16:14:48

因此，正如我们将在下文中看到的，短期内的泊松交易到达能够部分解释资产回报的极端事件，尽管它们不足以解释波动性聚集。重要的是要注意，泊松贸易到达的假设意味着，贸易持续时间以指数随机变量的形式分布，其速率为γ。在第5节中，我们将估计该模型的参数。我们将看到，虽然交易持续时间的指数模型（交易到达的泊松模型）可以部分解释收益率分布和波动率聚集的严重问题，但相对于交易持续时间的实际分布，它是不分散的，不能充分解释数据的这些特征。因此，需要一个更好的贸易持续时间模型来充分解释观测数据。4.2复合多重分形过程Chen等人（2013）开发了一个贸易持续时间模型，该模型更充分地解释了日内贸易到达的动态。该论文的模型，即马尔可夫转换多重分形持续时间（MSMD）模型，建立在Calvetand Fisher（2001）、Calvet and Fisher（2002）和Calvet（2004）的多重分形波动率模型之上。特别是，作者采用多重分形波动率模型，将贸易持续时间（而非波动率）解释为潜在冲击的集合。它们表明，MSMD在解释1993年交易的各种股票的交易日数据方面做得相当好。MSMD模型的核心组件是一组“k”潜在状态变量Mk，i，它们服从两状态马尔可夫切换过程，具有不同程度的持续性，γk，fork=1，2，“好的。

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2022-5-6 16:14:54

也就是说，贸易持续时间di的分布由方程di=εiλi（8a）εi控制~ Exp（1）（8b）λi=λ′kYk=1Mk，i（8c）Mk，i=M和概率γkMk，i-1其他（8d）γk=1- (1 - γ′k）bk-\'k（8e）M=M概率为1/22-母性智慧。（8f）因此，MSMD可以用五个参数简洁地描述：∈ N、 λ>0，γ′k∈ （0,1），b∈ (1, ∞) 还有m∈ （0，2）。直觉是，在知道潜在状态变量的值的条件下，交易持续时间以指数形式分布，强度参数λi。然而，随着时间的发展，潜在状态Mk，i，具有不同持续度的切换值γk。这导致交易持续时间的无条件分布是指数的混合，这与第4.4节中描述的观测数据的过度分散性。潜在状态可以解释为在不同的时间尺度上具有不同影响的冲击，一些具有短期影响，而另一些具有长期影响。值b控制着持久性参数γk之间的紧密关系，并对模型的简约性负责：即使有大量的潜态k，模型也总是以总共五个参数为特征。b的选择决定了持久性参数值的异质性程度。有关MSMD模型的更多信息，请参见Chen等人（2013）和Calvetand Fisher（2008）。图6类似于Chen等人（2013）的图5。它显示了对MSMDdurations的模拟（使用表2中的“k=7”参数值）和潜在状态的相关时间路径，以及复合强度参数λi。图的倒数第二个面板描述了随机强度参数（在对数尺度上），该参数由以不同频率切换的最近状态驱动。

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2022-5-6 16:15:02

这与贸易持续时间的简单指数模型形成对比，该模型定义了一个恒定的强度参数。结果表明，MSMD持续时间比恒定强度指数的持续时间表现出更大的异质性。Chen等人（2013年）将持续时间模型中的随机强度比作收益模型中的随机波动：“正如随机波动‘增加’高斯条件收益分布，MSMD‘过度分散’指数条件持续时间分布也是如此。”（第9页）。事实上，如下文所述，我们发现随机强度在离散时间和尾部育肥回报中起着双重作用。正如贸易持续时间的指数模型与贸易到达的泊松模型相关联，MSMD模型也与贸易到达模型相关联。和泊松一样，指定概率P（Nm（τ）=k），对于k=0，1，2。，与MSMDmodel相对应也会导致无法以封闭形式获得的时钟时间返回分布。然而，与复合泊松过程不同的是，对于高斯混合模型中用作混合权重的计数分布本身，我们无法获得封闭形式的解。幸运的是，我们可以通过蒙特卡罗模拟来近似计数分布。我们在第4.4节中展示了这种近似的一个例子。在MSMD模型下，rτ（t）的分布保持其层次结构，单位时间内的交易数量来自第一阶段的混合泊松分布。当高斯混合权重对应于与MSMD持续时间相关的计数概率时，我们将rτ（t）称为复合多重分形过程。

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2022-5-6 16:15:05

复合多重分形过程的优势在于基础计数过程的可变性：相对于图6:k=7的MSMD交易间持续时间模拟，概率在更大种类的计数上的分散。上面板描述了潜伏期和MSMD强度参数的时间路径，下面板描述了自身的持续时间。该图的布局与Chen等人（2013）的图5所示相同。简单的泊松模型会在高斯混合中产生更大的不均匀性，从而为rτ（t）产生更厚的尾部。直观地说，随机变量rτ（t）以更高的概率在各种不同的高斯和之间切换。此外，复合多重分形模型通过马尔可夫切换潜在状态，在交易持续时间分布中产生自相关，从而明确产生波动持续性。4.3复合截断多重分形过程我们通过对MSMD模型的修改来扩充上述持续时间模型。具体而言，我们将MSMD模型与指数模型混合，使其预期最大值等于数据中观察到的最大持续时间，从而截断MSMD模型。我们将在第5节中提供有关安装程序的更多细节。数学上，di=min{dMSMD，dExp}（9a）dMSMD~ MSMD（`k，λ，γ`k，b，m）（9b）dExp~ Exp（νmax），（9c），其中等式（9b）表示DMSMD遵循系统（8）中概述的MSMD过程，选择νmax使Emax{dExp}等于数据中观察到的最大持续时间。截断过程可以被概念化为两种类型的交易者的结合，这两种交易者的特点是不同的统计过程。

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2022-5-6 16:15:10

一种类型的订单遵循与MSMD模型相关的计数过程，并构成交易所的大部分交易。第二类订单遵循一个简单的泊松事件时钟，只有当第一类订单之间的持续时间足够长时，才会产生交易。直观地说，这些类型可以被视为算法交易者（遵循MSMD计数过程），它们以较低的延迟竞争订单执行，以及人类交易者（遵循指数），它们相对于大部分交易独立地和外源性地行动，其订单发送的频率要低得多（持续时间更长）。与MSMD模型一样，截断的MSMD模型与只能通过蒙特卡罗近似获得的计数过程相关联。同样地，使用方程（5）中的关联截断MSMD计数过程产生rτ（t）的过程，我们称之为复合截断多重分形过程。我们将在第4.4节和第5节中展示，后一种模型可以更好地描述观测到的高频回波数据。4.4持续时间模型的比较我们现在对估计的持续时间模型进行简要比较，然后在第5节详细描述估计结果。这有助于激发以后的讨论，并强调模型组件的优缺点。图7显示了三个模型各500000个模拟持续时间的直方图，使用表1中报告的估计参数（第5节中描述）。每个面板描绘了一个模型的模拟持续时间直方图，并与被动期E-mini数据中观察到的持续时间直方图叠加。我们在200ms处截断直方图，将注意力集中在最大概率质量的区域。

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2022-5-6 16:15:13

此外，为了突出分布尾部的差异，我们在对数刻度上显示了垂直轴。从图中可以明显看出，指数持续时间模型相对于MSMD和截断MSMD（TMSMD）模型提供的数据分布非常差。事实上，后两种模型所表现出的一个重要特征（如数据中所示）是过度分散：贸易持续时间的方差超过了它们的预期值。在指数模型下，E[di]=Var（di）。然而，数据分布的不对称性和长右尾产生了E[di]<Var（di）的实证结果。Chen等人（2013年）详细讨论了这一特征。图8显示了被动周期观测持续时间、模拟MSMD和TMSMD持续时间与模拟指数持续时间的Q-Q图。第二个面板是第一个面板的复制品，但纵轴上的比例有所缩小。从图中值得注意的最重要的是，数据的经验分布比指数分布的尾部要重得多。这一特性是上述过度分散的原因。此外，MSMD和TMSMD模型都会产生带有重尾的持续时间分布，但MSMD分布的细尾病相对于数据中观察到的情况来说是过度的。另一方面，TMSMD分布提供了一个更为接近的函数。贸易持续时间模型的另一个重要特征是自相关结构。图9显示了为每个模型模拟以及被动周期E-mini数据计算的100个滞后的样本自相关。正如Chen等人所指出的。

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2022-5-6 16:15:17

（2013），观察到的交易间持续时间在其自相关结构中表现出缓慢衰减，这表明图7：指数、MSMD和TMSMD模型下的模拟持续时间直方图，以及被动期E-mini回报数据中观察到的交易间持续时间。正在刷新长内存属性。相比之下，指数模型没有表现出自相关性，因为持续时间是以该模型的i.i.d.方式绘制的。另一方面，SMD和TMSMD模型对数据的样本自相关函数提供了更好的拟合，TMSMD与样本自相关函数非常接近。匹配持续时间的密度函数和自相关函数对于生成观测到的股票时间收益动态至关重要。最后，图10显示了与图7的持续时间密度和时钟时间间隔τ=10000 ms相关的计数密度。也就是说，使用每个模型的数据和模拟，我们在图8：分位数-分位数图中获得了贸易到达的各自频率计数。纵轴显示了SMD和TMSMD模型下模拟持续时间的分位数，以及被动期E-minireturns数据中观察到的交易间持续时间。横轴显示指数模型下模拟持续时间的分位数。所有模型参数取自表1。连续10000毫秒的时间间隔。为了突出尾部差异，我们再次在对数刻度上显示垂直轴。这些是方程式（5）中使用的实际密度的近似值，用于获得第4.1-4.3节中时钟时间返回的各种复合分布。每个面板将与持续时间模型相关的密度与数据的密度叠加。

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2022-5-6 16:15:20

正如我们在第4.1节中提到的，与指数持续时间模型相关的计数过程是一个泊松过程，如图10的第一个面板所示。显然，泊松分布对数据的拟合度很差，尤其是在与低计数和高计数相关的区域。在这种特殊情况下，τ的值比λ大得多，密度接近高斯分布（回想一下，纵轴以对数单位表示）。因此，我们预计混合高斯和泊松密度的复合泊松过程将无法很好地拟合数据，在这种特殊情况下，它们将非常符合高斯分布。相比之下，与MSMD和TMSMD持续时间相关的计数过程提供了更好的fit，尽管它们的右尾相对于数据衰减得太快。MSMD模型再一次为数据的经验密度提供了更好的拟合。图9：指数、MSMD和TMSMD模型下模拟持续时间的样本自相关函数，以及被动期E-mini returnsdata中观察到的交易间持续时间。5估计和结果利用第2节和第3节中描述的静态市场E-mini回报数据，我们估计了方程（5）中的成分分布参数，并从混合模型进行了模拟。特别是，我们首先估计了第4节中描述的持续时间模型，然后将其与交易时间收益的估计高斯分布合成为时钟时间收益的综合分布。

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2022-5-6 16:15:24

我们使用蒙特卡罗近似法计算时钟时间收益的分布，并使用好几项指标和分布距离来评估候选模型。我们估计组成部分分布参数的贸易时间尺度m的选择不是模型固有的先验条件——理论上，我们可以估计m的各种值的组成部分分布。相反，我们只关注最可能的贸易时间尺度m=1，因为这最接近于基本的交易图10：τ=10000 ms的计数过程分布。每个面板显示了与本节描述的其中一个模拟（指数、MSMD和TMSMD）相关的计数分布，并覆盖了被动期E-mini回报的经验计数密度。使用表1中报告的参数估计值进行模拟。过程在这样一个精确的时间尺度上估计模型后，我们就可以从任何持续时间较长的时钟时间间隔的时钟时间回报分布中获得模拟。如果我们估计了largerm的交易时间成分，这是不可能的：我们将无法模拟分辨率低于所选m的时钟时间标度的时钟时间回报。尽管我们没有在这里报告结果，我们对m>1的模型进行了估计，并将其与具有可比分辨率的时钟时间模拟进行了比较——我们下面报告的结果对m.5.1泊松/指数估计的选择是稳健的。泊松分布的平均γ贸易到达的假设对应于平均v=γ呈指数分布的持续时间。证明指数平均值的最大似然估计是^ν=^γ=nnXi=1di，（10）其中di，i=1，2。

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2022-5-6 16:15:27

n是给定交易时间标度的观察持续时间，m。表1第1列和第2列报告了m=1时η和γ的估计值，以及它们的标准误差的参数自举估计值。虽然这些参数（以及第5.4节中的高斯分布参数）的渐近标准误差估计值很容易获得，但我们报告了bootstrap估计值，以与下面的SMD结果保持一致。报告的标准误差几乎与估计的交感神经误差相同。指数/泊松TMSMD滴答时间高斯νγνmaxuσ300.7 3.326e-03 5866-7.103e-05 0.1196（2.405e-03）（2.642e-08）NA（2.928e-04）（2.072e-04）表1：指数、高斯和TMSMD参数的估计。对于TMSMD模型，k=7，剩余的MSMD估计值与表2中给出的值相对应。正确解释表1中的强度参数非常重要。由于我们现在回归到一个假设，即在特定时间间隔内到达的交易数量τ以泊松分布，因此Nm（τ）遵循强度参数γτ：Nm（τ）的泊松过程~ P oisson（γτ）。（11）等式（11）表示，在一个区间内到达的mth交易数量τ为P oisson（γτ）。在我们的例子中，我们通过m=1和单位时间间隔τ=1毫秒来估计泊松参数。由此得出的估计值^γ=0.003326告诉我们，我们大致预期为0。每毫秒到达003326次交易，或大约每秒三次交易。然而，考虑到泊松率参数是如何随时间单位变化的，这也意味着我们预计大约15笔交易在5秒钟内，30笔交易在10秒钟内，依此类推。5.2继Chen等人之后的MSMD估计。

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